โคไซน์ของมุมแหลมเป็นเท่าใด กฎสำหรับการค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

เรียกว่าอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ไซนัสของมุมเฉียบพลันสามเหลี่ยมมุมฉาก.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

โคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เรียกว่าอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์ของมุมแหลมสามเหลี่ยมมุมฉาก.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

แทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิดเรียกว่า แทนเจนต์ของมุมแหลมสามเหลี่ยมมุมฉาก.

tg \alpha = \frac(a)(b)

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

อัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้ามเรียกว่า โคแทนเจนต์ของมุมแหลมสามเหลี่ยมมุมฉาก.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

ไซน์ของมุมใดก็ได้

พิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งมุม \alpha สอดคล้องกันเรียกว่า ไซน์ของมุมใดก็ได้การหมุน \alpha

\บาป \อัลฟา=y

โคไซน์ของมุมใดก็ได้

คำว่า abscissa ของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งมุม \alpha สอดคล้องกันเรียกว่า โคไซน์ของมุมใดก็ได้การหมุน \alpha

\cos \อัลฟา=x

แทนเจนต์ของมุมใดก็ได้

อัตราส่วนของไซน์ของมุมการหมุนตามอำเภอใจ \อัลฟา ต่อโคไซน์เรียกว่า แทนเจนต์ของมุมใดก็ได้การหมุน \alpha

ตาล \อัลฟา = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

โคแทนเจนต์ของมุมใดก็ได้

อัตราส่วนของโคไซน์ของมุมการหมุนตามอำเภอใจ \อัลฟา ต่อไซน์ของมันเรียกว่า โคแทนเจนต์ของมุมใดก็ได้การหมุน \alpha

CTG\อัลฟา =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

ตัวอย่างการหามุมตามใจชอบ

ถ้า \alpha คือมุม AOM โดยที่ M คือจุดของวงกลมหน่วย ดังนั้น

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

ตัวอย่างเช่น ถ้า \มุม AOM = -\frac(\pi)(4)ดังนั้น: พิกัดของจุด M เท่ากับ -\frac(\sqrt(2))(2), แอบซิสซามีค่าเท่ากัน \frac(\sqrt(2))(2)และด้วยเหตุนี้

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

ทีจี;

กะรัต \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

ตารางค่าไซน์ของโคไซน์ของแทนเจนต์ของโคแทนเจนต์

ค่าของมุมหลักที่เกิดขึ้นบ่อยแสดงอยู่ในตาราง:

	0^(\วงกลม) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\left(\pi\right)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\left(2\pi\right)
\บาป\อัลฟา	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\คอส\อัลฟา	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\อัลฟา	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
CTG\อัลฟ่า	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

ครูเชื่อว่านักเรียนทุกคนควรจะสามารถคำนวณและรู้สูตรตรีโกณมิติได้ แต่ไม่ใช่ครูทุกคนที่อธิบายว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร ความหมายของพวกเขาคืออะไรพวกเขาใช้ที่ไหน? ทำไมเราถึงพูดถึงสามเหลี่ยม แต่ในตำราเรียนแสดงเป็นวงกลม? ลองเชื่อมโยงข้อเท็จจริงทั้งหมดเข้าด้วยกัน

วิชาที่โรงเรียน

การศึกษาวิชาตรีโกณมิติมักจะเริ่มต้นในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 7-8 ในเวลานี้ นักเรียนจะได้รับการอธิบายว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร และขอให้นักเรียนแก้ปัญหาทางเรขาคณิตโดยใช้ฟังก์ชันเหล่านี้ ต่อมาสูตรและนิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้นปรากฏขึ้นซึ่งจำเป็นต้องแปลงพีชคณิต (สูตรมุมสองและครึ่ง ฟังก์ชันกำลัง) และงานเสร็จสิ้นด้วยวงกลมตรีโกณมิติ

อย่างไรก็ตาม ครูไม่สามารถอธิบายความหมายของแนวคิดที่ใช้และการบังคับใช้สูตรได้อย่างชัดเจนเสมอไป ดังนั้นผู้เรียนจึงมักไม่เห็นประเด็นในวิชานี้และข้อมูลที่จำได้ก็จะถูกลืมอย่างรวดเร็ว อย่างไรก็ตาม เมื่อคุณอธิบายให้นักเรียนมัธยมปลายทราบ เช่น ความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันและการเคลื่อนที่แบบสั่น การเชื่อมต่อเชิงตรรกะจะถูกจดจำไปอีกหลายปี และเรื่องตลกเกี่ยวกับความไร้ประโยชน์ของวัตถุนั้นก็จะกลายเป็นเรื่องในอดีต

การใช้งาน

เพื่อความอยากรู้อยากเห็น เรามาดูฟิสิกส์สาขาต่างๆ กันดีกว่า คุณต้องการกำหนดระยะของกระสุนปืนหรือไม่? หรือคุณกำลังคำนวณแรงเสียดทานระหว่างวัตถุกับพื้นผิวบางอย่าง? แกว่งลูกตุ้มดูรังสีที่ผ่านกระจกคำนวณการเหนี่ยวนำ? แนวคิดตรีโกณมิติปรากฏในเกือบทุกสูตร แล้วไซน์และโคไซน์คืออะไร?

คำจำกัดความ

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์คืออัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉากเดียวกัน ไม่มีอะไรซับซ้อนอย่างแน่นอนที่นี่ บางทีนักเรียนมักจะสับสนกับค่าที่เห็นในตารางตรีโกณมิติเพราะมันเกี่ยวข้องกับรากที่สอง ใช่การได้ทศนิยมนั้นไม่สะดวกนัก แต่ใครบอกว่าตัวเลขทั้งหมดในคณิตศาสตร์ต้องเท่ากัน?

จริงๆ แล้ว คุณสามารถหาคำใบ้ตลกๆ ได้ในหนังสือปัญหาตรีโกณมิติ คำตอบส่วนใหญ่จะเป็นเลขคู่ และในกรณีที่แย่ที่สุดจะมีรากของสองหรือสาม ข้อสรุปนั้นง่ายมาก: หากคำตอบของคุณกลายเป็นเศษส่วน "หลายเรื่อง" ให้ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาอีกครั้งเพื่อหาข้อผิดพลาดในการคำนวณหรือการให้เหตุผล และคุณมักจะพบพวกเขา

สิ่งที่ต้องจำ

เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์อื่นๆ ตรีโกณมิติมีข้อมูลที่ต้องเรียนรู้

ขั้นแรกคุณควรจำค่าตัวเลขสำหรับไซน์สามเหลี่ยมมุมฉาก โคไซน์ 0 และ 90 รวมถึง 30, 45 และ 60 องศา ตัวชี้วัดเหล่านี้พบได้ในปัญหาเก้าในสิบของโรงเรียน การดูคุณค่าเหล่านี้ในตำราเรียนจะทำให้คุณเสียเวลาไปมากและไม่มีที่ไหนเลยที่จะดูค่าเหล่านี้เลยในระหว่างการทดสอบหรือการสอบ

ต้องจำไว้ว่าค่าของทั้งสองฟังก์ชันต้องไม่เกินหนึ่ง หากในการคำนวณของคุณมีค่าอยู่นอกช่วง 0-1 ให้หยุดและลองแก้ปัญหาอีกครั้ง

ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์เท่ากับหนึ่ง หากคุณพบค่าใดค่าหนึ่งแล้ว ให้ใช้สูตรนี้เพื่อค้นหาค่าที่เหลือ

ทฤษฎีบท

มีสองทฤษฎีบทพื้นฐานในตรีโกณมิติพื้นฐาน: ไซน์และโคไซน์

ข้อแรกระบุว่าอัตราส่วนของแต่ละด้านของสามเหลี่ยมต่อไซน์ของมุมตรงข้ามจะเท่ากัน อย่างที่สองคือหากำลังสองของด้านใดก็ได้โดยการบวกกำลังสองของด้านที่เหลือทั้งสองแล้วลบผลคูณสองเท่าคูณด้วยโคไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง

ดังนั้น ถ้าเราแทนค่าของมุม 90 องศาลงในทฤษฎีบทโคไซน์ เราจะได้... ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตอนนี้ หากคุณต้องการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก คุณไม่ต้องกังวลอีกต่อไป - ทฤษฎีบททั้งสองที่กล่าวถึงจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก

เป้าหมายและวัตถุประสงค์

การเรียนรู้วิชาตรีโกณมิติจะง่ายขึ้นมากเมื่อคุณตระหนักถึงข้อเท็จจริงง่ายๆ ข้อเดียว: การกระทำทั้งหมดที่คุณทำมุ่งเป้าไปที่การบรรลุเป้าหมายเดียว คุณสามารถหาพารามิเตอร์ใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมได้หากคุณทราบข้อมูลขั้นต่ำสุดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม ซึ่งอาจเป็นค่าของมุมหนึ่งมุมและความยาวของสองด้านหรือตัวอย่างเช่น สามด้าน

ในการระบุไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ของมุมใด ๆ ข้อมูลเหล่านี้ก็เพียงพอแล้วและด้วยความช่วยเหลือเหล่านี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปได้อย่างง่ายดาย เกือบทุกครั้ง คำตอบต้องใช้ค่าใดค่าหนึ่งที่กล่าวถึง และสามารถพบได้โดยใช้สูตรเดียวกัน

ความไม่สอดคล้องกันในการเรียนรู้วิชาตรีโกณมิติ

คำถามที่น่าสับสนประการหนึ่งที่นักเรียนต้องการหลีกเลี่ยงคือการค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างแนวคิดต่างๆ ในวิชาตรีโกณมิติ ดูเหมือนว่าสามเหลี่ยมจะใช้เพื่อศึกษาไซน์และโคไซน์ของมุม แต่ด้วยเหตุผลบางประการจึงมักพบสัญลักษณ์ในรูปวงกลม นอกจากนี้ยังมีกราฟคล้ายคลื่นที่ไม่สามารถเข้าใจได้อย่างสมบูรณ์ที่เรียกว่าคลื่นไซน์ ซึ่งไม่มีความคล้ายคลึงภายนอกกับวงกลมหรือสามเหลี่ยม

นอกจากนี้ มุมจะถูกวัดเป็นองศาหรือเรเดียน และตัวเลข Pi ซึ่งเขียนง่ายๆ เป็น 3.14 (ไม่มีหน่วย) ด้วยเหตุผลบางประการปรากฏในสูตรซึ่งสอดคล้องกับ 180 องศา ทั้งหมดนี้เชื่อมโยงกันอย่างไร?

หน่วยวัด

ทำไม Pi ถึงเป็น 3.14 กันแน่? คุณจำได้ไหมว่าความหมายนี้คืออะไร? นี่คือจำนวนรัศมีที่พอดีกับส่วนโค้งของครึ่งวงกลม ถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมคือ 2 เซนติเมตร เส้นรอบวงจะเท่ากับ 3.14 * 2 หรือ 6.28

ประเด็นที่สอง: คุณอาจสังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างคำว่า "เรเดียน" และ "รัศมี" ความจริงก็คือว่า หนึ่งเรเดียนมีตัวเลขเท่ากับมุมที่ยื่นจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังส่วนโค้งที่มีรัศมียาวหนึ่งรัศมี

ตอนนี้เราจะรวมความรู้ที่ได้รับและทำความเข้าใจว่าเหตุใดจึงเขียน "Pi ครึ่งหนึ่ง" ที่ด้านบนของแกนพิกัดในตรีโกณมิติและ "Pi" เขียนทางด้านซ้าย นี่เป็นค่าเชิงมุมที่วัดเป็นเรเดียน เนื่องจากครึ่งวงกลมมี 180 องศา หรือ 3.14 เรเดียน และเมื่อมีองศา ที่นั่นก็มีไซน์และโคไซน์ ง่ายต่อการวาดรูปสามเหลี่ยมจากจุดที่ต้องการ โดยแยกส่วนต่างๆ ไว้ตรงกลางและไปยังแกนพิกัด

มาดูอนาคตกันดีกว่า

ตรีโกณมิติที่ศึกษาในโรงเรียน เกี่ยวข้องกับระบบพิกัดเส้นตรง โดยที่ไม่ว่าจะฟังดูแปลกแค่ไหน เส้นตรงก็คือเส้นตรง

แต่ยังมีวิธีที่ซับซ้อนกว่าในการทำงานกับอวกาศ: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่นี่จะมากกว่า 180 องศา และเส้นตรงในมุมมองของเราจะดูเหมือนส่วนโค้งจริง

มาเปลี่ยนจากคำพูดไปสู่การกระทำกันดีกว่า! หยิบแอปเปิ้ลหนึ่งลูก ใช้มีดตัดสามครั้งเพื่อว่าเมื่อมองจากด้านบนคุณจะได้รูปสามเหลี่ยม นำผลแอปเปิ้ลออกมาแล้วดูที่ "ซี่โครง" ที่ปลายเปลือก พวกเขาไม่ตรงเลย ผลไม้ในมือของคุณสามารถเรียกได้ว่ากลมตามอัตภาพ แต่ตอนนี้ลองนึกดูว่าสูตรจะต้องซับซ้อนแค่ไหนซึ่งคุณสามารถหาพื้นที่ของชิ้นที่ตัดได้ แต่ผู้เชี่ยวชาญบางคนแก้ปัญหาดังกล่าวทุกวัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติในชีวิต

คุณสังเกตไหมว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดสำหรับเครื่องบินจากจุด A ไปยังจุด B บนพื้นผิวโลกของเรานั้นมีรูปร่างส่วนโค้งที่เด่นชัด เหตุผลง่ายๆ ก็คือ โลกมีลักษณะทรงกลม ซึ่งหมายความว่าคุณไม่สามารถคำนวณได้มากนักโดยใช้รูปสามเหลี่ยม คุณต้องใช้สูตรที่ซับซ้อนมากขึ้น

คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีไซน์/โคไซน์ของมุมแหลมในคำถามใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับอวกาศ สิ่งที่น่าสนใจคือมีปัจจัยมากมายมารวมกันที่นี่: ต้องใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเมื่อคำนวณการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ไปตามวงกลม วงรี และวิถีโคจรต่างๆ ที่มีรูปร่างที่ซับซ้อนมากขึ้น กระบวนการปล่อยจรวด ดาวเทียม กระสวยอวกาศ การปลดยานวิจัย สังเกตดาวฤกษ์ที่อยู่ห่างไกลและศึกษากาแลคซีที่มนุษย์ไม่สามารถไปถึงได้ในอนาคตอันใกล้

โดยทั่วไปแล้ว กิจกรรมสำหรับผู้ที่รู้ตรีโกณมิตินั้นกว้างมากและดูเหมือนจะขยายออกไปเมื่อเวลาผ่านไปเท่านั้น

บทสรุป

วันนี้เราได้เรียนรู้หรืออย่างน้อยก็ย้ำว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร สิ่งเหล่านี้เป็นแนวคิดที่คุณไม่จำเป็นต้องกลัว แค่ต้องการมัน แล้วคุณจะเข้าใจความหมายของมัน โปรดจำไว้ว่าตรีโกณมิติไม่ใช่เป้าหมาย แต่เป็นเพียงเครื่องมือที่สามารถใช้เพื่อสนองความต้องการที่แท้จริงของมนุษย์ เช่น สร้างบ้าน สร้างความมั่นใจในความปลอดภัยในการจราจร หรือแม้แต่สำรวจจักรวาลอันกว้างใหญ่

อันที่จริง วิทยาศาสตร์อาจดูน่าเบื่อ แต่ทันทีที่คุณพบวิธีที่จะบรรลุเป้าหมายและการตระหนักรู้ในตนเอง กระบวนการเรียนรู้จะน่าสนใจและแรงจูงใจส่วนตัวของคุณจะเพิ่มขึ้น

สำหรับการบ้านลองหาวิธีใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติในพื้นที่ที่คุณสนใจเป็นการส่วนตัว ลองจินตนาการ ใช้จินตนาการของคุณ แล้วคุณจะพบว่าความรู้ใหม่ๆ จะเป็นประโยชน์กับคุณในอนาคต นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังมีประโยชน์สำหรับพัฒนาการคิดโดยทั่วไปอีกด้วย

ในบทความนี้ เราจะแสดงวิธีให้ คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมและจำนวนในวิชาตรีโกณมิติ- ที่นี่เราจะพูดถึงสัญลักษณ์ ยกตัวอย่างรายการ และให้ภาพประกอบแบบกราฟิก โดยสรุป ให้เราวาดเส้นขนานระหว่างคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในตรีโกณมิติและเรขาคณิต

การนำทางหน้า

คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

เรามาดูกันว่าแนวคิดของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เกิดขึ้นในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอย่างไร ในบทเรียนเรขาคณิต จะให้คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และต่อมามีการศึกษาตรีโกณมิติซึ่งพูดถึงไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนและจำนวน ให้เรานำเสนอคำจำกัดความทั้งหมดนี้ ยกตัวอย่าง และแสดงความคิดเห็นที่จำเป็น

มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากหลักสูตรเรขาคณิต เรารู้คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พวกมันถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้เราให้สูตรของพวกเขา

คำนิยาม.

ไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

คำนิยาม.

โคไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

คำนิยาม.

แทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก– นี่คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด

คำนิยาม.

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก- นี่คืออัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้าม

นอกจากนี้ยังมีการแนะนำการกำหนดไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ด้วย - sin, cos, tg และ ctg ตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น หาก ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก C ดังนั้นไซน์ของมุมแหลม A จะเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้าม BC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB นั่นคือ sin∠A=BC/AB

คำจำกัดความเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมจากความยาวที่ทราบของด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากรวมถึงจากค่าที่ทราบของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ โคแทนเจนต์และความยาวของด้านใดด้านหนึ่งเพื่อหาความยาวของด้านอื่นๆ ตัวอย่างเช่น หากเรารู้ว่าในสามเหลี่ยมมุมฉาก AC ขาเท่ากับ 3 และด้านตรงข้ามมุมฉาก AB เท่ากับ 7 เราก็สามารถคำนวณค่าโคไซน์ของมุมแหลม A ตามคำจำกัดความ: cos∠A=AC/ เอบี=3/7.

มุมการหมุน

ในวิชาตรีโกณมิติ พวกเขาเริ่มมองมุมให้กว้างขึ้น - พวกเขาแนะนำแนวคิดเรื่องมุมการหมุน ขนาดของมุมการหมุน ไม่เหมือนมุมแหลม ไม่จำกัดอยู่ที่ 0 ถึง 90 องศา มุมการหมุนในหน่วยองศา (และหน่วยเรเดียน) สามารถแสดงด้วยจำนวนจริงใดๆ ตั้งแต่ −∞ ถึง +∞

ในแง่นี้ คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ไม่ได้กำหนดเป็นมุมแหลม แต่เป็นมุมที่มีขนาดตามอำเภอใจ - มุมการหมุน พวกมันจะได้รับผ่านพิกัด x และ y ของจุด A 1 ซึ่งจุดเริ่มต้นที่เรียกว่า A(1, 0) ไปตามการหมุนของมันด้วยมุม α รอบจุด O - จุดเริ่มต้นของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม และศูนย์กลางของวงกลมหน่วย

คำนิยาม.

ไซน์ของมุมการหมุนα คือลำดับของจุด A 1 นั่นคือ sinα=y

คำนิยาม.

โคไซน์ของมุมการหมุนα เรียกว่า abscissa ของจุด A 1 นั่นคือ cosα=x

คำนิยาม.

แทนเจนต์ของมุมการหมุนα คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด A 1 ต่อจุดหักล้างของมัน นั่นคือ tanα=y/x

คำนิยาม.

โคแทนเจนต์ของมุมการหมุนα คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด A 1 ต่อพิกัด นั่นคือ ctgα=x/y

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุม α ใดๆ เนื่องจากเราสามารถหาค่าแอบซิสซาและพิกัดของจุดได้เสมอ ซึ่งได้มาจากการหมุนจุดเริ่มต้นด้วยมุม α แต่แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมใดๆ แทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับมุม α ซึ่งจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่มีจุดหักมุมเป็นศูนย์ (0, 1) หรือ (0, −1) และสิ่งนี้เกิดขึ้นที่มุม 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k ราด) อันที่จริง ที่มุมการหมุนเช่นนั้น นิพจน์ tgα=y/x ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากนิพจน์มีการหารด้วยศูนย์ สำหรับโคแทนเจนต์นั้น ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับมุม α ซึ่งจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่มีพิกัดเป็นศูนย์ (1, 0) หรือ (−1, 0) และสิ่งนี้เกิดขึ้นสำหรับมุม 180° k, k ∈Z (π·เค ราด).

ดังนั้น ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมการหมุนใดๆ แทนเจนต์ถูกกำหนดสำหรับทุกมุมยกเว้น 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดสำหรับทุกมุมยกเว้น 180° ·k , k∈Z (π·k ราด)

คำจำกัดความรวมถึงการกำหนดที่เราทราบอยู่แล้วว่า sin, cos, tg และ ctg และยังใช้เพื่อกำหนดไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน (บางครั้งคุณสามารถค้นหาการกำหนด tan และ cotที่สอดคล้องกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์) . ดังนั้นไซน์ของมุมการหมุน 30 องศาสามารถเขียนได้เป็น sin30° รายการ tg(−24°17′) และ ctgα สอดคล้องกับแทนเจนต์ของมุมการหมุน −24 องศา 17 นาที และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α . โปรดจำไว้ว่าเมื่อเขียนหน่วยวัดเรเดียนของมุม มักจะละเว้นการกำหนด "rad" ตัวอย่างเช่น โคไซน์ของมุมการหมุนของสามไพราด มักจะเขียนแทน cos3·π

โดยสรุปประเด็นนี้ เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อพูดถึงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน วลี "มุมการหมุน" หรือคำว่า "การหมุน" มักถูกมองข้ามไป นั่นคือแทนที่จะใช้วลี "ไซน์ของมุมอัลฟาการหมุน" มักใช้วลี "ไซน์ของมุมอัลฟา" หรือที่สั้นกว่านั้นคือ "ไซน์อัลฟา" เช่นเดียวกับโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

นอกจากนี้เรายังจะกล่าวอีกว่าคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้สำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา เราจะพิสูจน์เรื่องนี้

ตัวเลข

คำนิยาม.

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวน t คือตัวเลขที่เท่ากับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนในหน่วย t เรเดียน ตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น โคไซน์ของตัวเลข 8·π ตามคำจำกัดความคือตัวเลขที่เท่ากับโคไซน์ของมุม 8·π rad และโคไซน์ของมุม 8·π rad เท่ากับ 1 ดังนั้น โคไซน์ของตัวเลข 8·π เท่ากับ 1

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตัวเลข ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนจริง t แต่ละตัวสัมพันธ์กับจุดบนวงกลมหน่วยโดยมีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม และไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดผ่านพิกัดของจุดนี้ ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติมนี้

ให้เราแสดงวิธีการโต้ตอบระหว่างจำนวนจริงและจุดบนวงกลม:

• หมายเลข 0 ถูกกำหนดให้เป็นจุดเริ่มต้น A(1, 0);
• จำนวนบวก t สัมพันธ์กับจุดบนวงกลมหน่วยซึ่งเราจะไปถึงถ้าเราเคลื่อนที่ไปตามวงกลมจากจุดเริ่มต้นในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาแล้วเดินไปตามเส้นทางที่มีความยาว t
• จำนวนลบ t สัมพันธ์กับจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเราจะไปถึงได้หากเราเคลื่อนที่ไปตามวงกลมจากจุดเริ่มต้นในทิศทางตามเข็มนาฬิกาแล้วเดินไปในเส้นทางที่มีความยาว |t| -

ตอนนี้เรามาดูคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวน t สมมติว่าตัวเลข t ตรงกับจุดบนวงกลม A 1 (x, y) (เช่น ตัวเลข &pi/2; ตรงกับจุด A 1 (0, 1))

คำนิยาม.

ไซน์ของจำนวน t คือลำดับของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ตรงกับเลข t นั่นคือ sint=y

คำนิยาม.

โคไซน์ของจำนวน t เรียกว่า abscissa ของจุดในวงกลมหน่วยซึ่งตรงกับเลข t นั่นคือ cost=x

คำนิยาม.

แทนเจนต์ของจำนวน t คืออัตราส่วนของพิกัดต่อจุดหักมุมของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งสอดคล้องกับตัวเลข t นั่นคือ tgt=y/x ในสูตรที่เทียบเท่ากันอีกสูตรหนึ่ง ค่าแทนเจนต์ของตัวเลข t คืออัตราส่วนของไซน์ของจำนวนนี้ต่อโคไซน์ ซึ่งก็คือ tgt=sint/cost

คำนิยาม.

โคแทนเจนต์ของจำนวน t คืออัตราส่วนของ abscissa ต่อพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข t นั่นคือ ctgt=x/y อีกสูตรหนึ่งคือ ค่าแทนเจนต์ของจำนวน t คืออัตราส่วนของโคไซน์ของจำนวน t ต่อไซน์ของจำนวน t: ctgt=cost/sint

ที่นี่เราทราบว่าคำจำกัดความที่เพิ่งให้นั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของย่อหน้านี้ อันที่จริงจุดบนวงกลมหน่วยที่ตรงกับตัวเลข t เกิดขึ้นพร้อมกับจุดที่ได้จากการหมุนจุดเริ่มต้นเป็นมุม t เรเดียน

มันยังคุ้มค่าที่จะชี้แจงประเด็นนี้ สมมุติว่าเรามีค่า sin3 เราจะเข้าใจได้อย่างไรว่าเรากำลังพูดถึงไซน์ของเลข 3 หรือไซน์ของมุมการหมุนของ 3 เรเดียน? ซึ่งมักจะชัดเจนจากบริบท ไม่เช่นนั้นอาจไม่มีความสำคัญพื้นฐาน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมและตัวเลข

ตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า แต่ละมุมของการหมุน α สอดคล้องกับค่าsinαที่เฉพาะเจาะจงมาก เช่นเดียวกับค่าcosα นอกจากนี้ มุมการหมุนทั้งหมดที่ไม่ใช่ 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) จะสอดคล้องกับค่า tgα และค่าอื่นที่ไม่ใช่ 180°k, k∈Z (πk rad ) – ค่า ของctgα ดังนั้น sinα, cosα, tanα และ ctgα จึงเป็นฟังก์ชันของมุม α กล่าวอีกนัยหนึ่ง สิ่งเหล่านี้คือฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงมุม

เราสามารถพูดในทำนองเดียวกันเกี่ยวกับฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลข แท้จริงแล้ว จำนวนจริง t แต่ละตัวสอดคล้องกับค่า Sin และราคาต้นทุนที่เฉพาะเจาะจงมาก นอกจากนี้ ตัวเลขทั้งหมดที่ไม่ใช่ π/2+π·k, k∈Z จะสอดคล้องกับค่า tgt และตัวเลข π·k, k∈Z - ค่า ctgt

เรียกว่าฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน.

มักจะชัดเจนจากบริบทว่าเรากำลังเผชิญกับฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมหรืออาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลข มิฉะนั้น เราสามารถมองตัวแปรอิสระว่าเป็นทั้งการวัดมุม (อาร์กิวเมนต์เชิงมุม) และอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลข

อย่างไรก็ตาม ที่โรงเรียนเราศึกษาฟังก์ชันตัวเลขเป็นหลัก นั่นคือ ฟังก์ชันที่มีการโต้แย้งตลอดจนค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องเป็นตัวเลข ดังนั้นหากเรากำลังพูดถึงฟังก์ชันโดยเฉพาะ ขอแนะนำให้พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข

ความสัมพันธ์ระหว่างคำจำกัดความจากเรขาคณิตและตรีโกณมิติ

หากเราพิจารณามุมการหมุน α อยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา ดังนั้น คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนในบริบทของตรีโกณมิติจะสอดคล้องกับคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของ มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งกำหนดไว้ในหลักสูตรเรขาคณิต เรามาพิสูจน์เรื่องนี้กัน

ให้เราพรรณนาวงกลมหน่วยในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy ลองทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้น A(1, 0) . ลองหมุนเป็นมุม α ตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา เราจะได้จุด A 1 (x, y) ให้เราปล่อยเส้นตั้งฉาก A 1 H จากจุด A 1 ไปยังแกน Ox

เห็นได้ง่ายว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุม A 1 OH เท่ากับมุมการหมุน α ความยาวของขา OH ที่อยู่ติดกับมุมนี้จะเท่ากับจุดหักมุมของจุด A 1 นั่นคือ |OH |=x ความยาวของขา A 1 H ตรงข้ามกับมุมเท่ากับพิกัดของจุด A 1 นั่นคือ |A 1 H|=y และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก OA 1 เท่ากับ 1 เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย จากนั้น ตามคำนิยามจากเรขาคณิต ไซน์ของมุมแหลม α ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก A 1 OH เท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นคือ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= ปี/1=ปี และตามคำจำกัดความจากตรีโกณมิติ ไซน์ของมุมการหมุน α เท่ากับพิกัดของจุด A 1 นั่นคือ sinα=y นี่แสดงให้เห็นว่าการหาไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นเทียบเท่ากับการหาไซน์ของมุมการหมุน α เมื่อ α อยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 องศา

ในทำนองเดียวกัน แสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความของโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมเฉียบพลัน α นั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความของโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α

อ้างอิง.

1. เรขาคณิต. เกรด 7-9: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ล. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ฯลฯ] - ฉบับที่ 20 อ.: การศึกษา, 2553. - 384 น.: ป่วย. - ไอ 978-5-09-023915-8.
2. โปโกเรลอฟ เอ.วี.เรขาคณิต: หนังสือเรียน. สำหรับเกรด 7-9 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A.V. Pogorelov - ฉบับที่ 2 - อ.: การศึกษา, 2544. - 224 หน้า: ป่วย. - ISBN 5-09-010803-X.
3. พีชคณิตและฟังก์ชันเบื้องต้น: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 9 / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; เรียบเรียงโดยแพทย์สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ O. N. Golovin - ฉบับที่ 4 อ.: การศึกษา, 2512.
4. พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - ม.: การศึกษา, 2533 - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
5. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
6. มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ใน 2 ส่วน ส่วนที่ 1: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 4, เสริม. - อ.: Mnemosyne, 2550. - 424 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-00792-0.
7. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 10: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; แก้ไขโดย เอ.บี. ซิจเชนโก้. - ฉบับที่ 3 - I.: การศึกษา, 2010.- 368 หน้า: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

บทเรียนในหัวข้อ “ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก”

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา - แนะนำแนวคิดของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สำรวจการขึ้นต่อกันและความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้

การพัฒนา - การก่อตัวของแนวคิดของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์เป็นฟังก์ชันของมุม, ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ, พัฒนาการของการคิดเชิงตรรกะ, การพัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง;

การศึกษา – การพัฒนาทักษะการทำงานอิสระ วัฒนธรรมพฤติกรรม ความแม่นยำในการจดบันทึก

ความคืบหน้าของบทเรียน:

1. ช่วงเวลาขององค์กร

“การศึกษาไม่ใช่จำนวนบทเรียนที่เรียน แต่เป็นจำนวนความเข้าใจ ดังนั้นถ้าคุณต้องการก้าวไปข้างหน้าก็รีบๆและระวังด้วย”

2. แรงจูงใจในบทเรียน

ปราชญ์องค์หนึ่งกล่าวว่า “การปรากฏสูงสุดของวิญญาณคือจิตใจ การแสดงเหตุผลสูงสุดคือเรขาคณิต เซลล์เรขาคณิตเป็นรูปสามเหลี่ยม มันไม่สิ้นสุดเหมือนกับจักรวาล วงกลมคือจิตวิญญาณของเรขาคณิต รู้จักวงกลม และไม่เพียงแต่จะรู้จักจิตวิญญาณของเรขาคณิตเท่านั้น แต่คุณยังจะยกระดับจิตวิญญาณของคุณอีกด้วย”

เราจะพยายามทำวิจัยร่วมกับคุณเล็กน้อย มาแบ่งปันความคิดของคุณที่เข้ามาในใจของคุณ และอย่ากลัวที่จะทำผิดพลาด ความคิดใดๆ ก็สามารถกำหนดทิศทางใหม่ในการค้นหาให้กับเราได้ ความสำเร็จของเราอาจดูไม่ยิ่งใหญ่สำหรับใครซักคน แต่ความสำเร็จนั้นจะเป็นความสำเร็จของเราเอง!

3. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

มีมุมอะไรบ้าง?

สามเหลี่ยมคืออะไร?

องค์ประกอบหลักที่กำหนดรูปสามเหลี่ยมคืออะไร?

สามเหลี่ยมมีกี่ประเภทขึ้นอยู่กับด้านข้าง?

สามเหลี่ยมมีกี่ประเภทขึ้นอยู่กับมุม?

ขาคืออะไร?

ด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร?

ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอะไร?

คุณรู้ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยมนี้อย่างไร

ทำไมคุณต้องรู้ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุม?

ปัญหาอะไรในชีวิตที่สามารถนำไปสู่ความจำเป็นในการคำนวณด้านที่ไม่รู้จักในรูปสามเหลี่ยม?

คำว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" มาจากคำภาษากรีก "hyponeinouse" ซึ่งหมายถึง "การเหยียดเหนือบางสิ่งบางอย่าง" "การหดตัว" คำนี้มีต้นกำเนิดมาจากภาพของพิณกรีกโบราณซึ่งมีสายขึงที่ปลายขาตั้งสองอันตั้งฉากกัน คำว่า "cathetus" มาจากคำภาษากรีก "kathetos" ซึ่งหมายถึงจุดเริ่มต้นของ "เส้นลูกดิ่ง" "ตั้งฉาก"

Euclid กล่าวว่า “ขาเป็นด้านที่ล้อมรอบมุมฉาก”

ในสมัยกรีกโบราณ วิธีการสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากบนพื้นเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ในการทำเช่นนี้พวกเขาใช้เชือกผูก 13 นอตในระยะห่างเท่ากัน ในระหว่างการก่อสร้างปิรามิดในอียิปต์ สามเหลี่ยมมุมฉากถูกสร้างขึ้นในลักษณะนี้ นี่อาจเป็นเหตุผลว่าทำไมสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3,4,5 จึงถูกเรียกว่าสามเหลี่ยมอียิปต์

4. ศึกษาเนื้อหาใหม่

ในสมัยโบราณ ผู้คนเฝ้าดูดวงดาวและจากการสังเกตเหล่านี้ พวกเขาได้จัดทำปฏิทิน คำนวณวันที่หว่าน และเวลาที่เกิดน้ำท่วมในแม่น้ำ เรือในทะเลและคาราวานบนบกเดินทางโดยดวงดาว ทั้งหมดนี้นำไปสู่ความจำเป็นในการเรียนรู้วิธีการคำนวณด้านข้างของสามเหลี่ยม โดยสองจุดยอดอยู่บนพื้น และจุดที่สามแทนด้วยจุดบนท้องฟ้าที่เต็มไปด้วยดวงดาว ตามความต้องการนี้ วิทยาศาสตร์ตรีโกณมิติจึงเกิดขึ้น - วิทยาศาสตร์ที่ศึกษาการเชื่อมต่อระหว่างด้านของรูปสามเหลี่ยม

คุณคิดว่าความสัมพันธ์ที่เรารู้อยู่แล้วเพียงพอที่จะแก้ไขปัญหาดังกล่าวหรือไม่ เพราะเหตุใด

จุดประสงค์ของบทเรียนวันนี้คือเพื่อสำรวจความเชื่อมโยงและการพึ่งพาใหม่ๆ เพื่อให้ได้มาซึ่งความสัมพันธ์ ซึ่งในบทเรียนเรขาคณิตครั้งต่อไป คุณจะสามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้

มาสัมผัสบทบาทของนักวิทยาศาสตร์กันเถอะ และตามอัจฉริยะโบราณอย่าง Thales, Euclid, Pythagoras เราจะเดินไปตามเส้นทางแห่งการค้นหาความจริง

สำหรับสิ่งนี้เราจำเป็นต้องมีพื้นฐานทางทฤษฎี

ไฮไลท์มุม A และขา BC เป็นสีแดง

ไฮไลท์เอซีขาเป็นสีเขียว

ลองคำนวณว่าส่วนใดเป็นด้านตรงข้ามของมุมแหลม A ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยเราจะเขียนอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

อัตราส่วนนี้มีชื่อพิเศษ เพื่อให้ทุกคนในทุกจุดบนโลกเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึงตัวเลขที่แสดงถึงอัตราส่วนของด้านตรงข้ามของมุมแหลมต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก คำนี้เป็นไซน์ เขียนมันลงไป เนื่องจากคำว่าไซน์ที่ไม่มีชื่อของมุมจะสูญเสียความหมายทั้งหมด สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์จึงเป็นดังนี้:

ตอนนี้ให้เขียนอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉากสำหรับมุมแหลม A:

อัตราส่วนนี้เรียกว่าโคไซน์ สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์:

ลองพิจารณาความสัมพันธ์อื่นสำหรับมุมแหลม A: อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน:

อัตราส่วนนี้เรียกว่าแทนเจนต์ สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์:

5. การรวมวัสดุใหม่

มารวมการค้นพบขั้นกลางของเราเข้าด้วยกัน

ไซน์คือ...

โคไซน์คือ...

แทนเจนต์คือ...

บาป ก =	บาป เกี่ยวกับ =	บาปเอ 1 =
เพราะ A =	เพราะ เกี่ยวกับ =	เพราะเอ 1 =
ตาล เอ =	ทีจี เกี่ยวกับ =	ตาล เอ 1 =

แก้ปากเปล่าหมายเลข 88, 889, 892 (ทำงานเป็นคู่)

การใช้ความรู้ที่ได้รับมาแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติ:

“จากหอคอยประภาคารที่สูง 70 ม. เรือลำหนึ่งสามารถมองเห็นได้ในมุม 3° ถึงขอบฟ้า มันเป็นอย่างไร

ระยะทางจากประภาคารถึงเรือ?

ปัญหาได้รับการแก้ไขในเบื้องหน้า ในระหว่างการสนทนา เราจะวาดภาพและจดบันทึกที่จำเป็นไว้บนกระดานและในสมุดบันทึก

เมื่อแก้ไขปัญหา จะใช้ตาราง Bradis

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาหน้า 175

แก้หมายเลข 902(1)

6. ออกกำลังกายเพื่อดวงตา

โดยไม่ต้องหันศีรษะ ให้มองไปรอบๆ ผนังห้องเรียนรอบปริมณฑลตามเข็มนาฬิกา กระดานดำรอบปริมณฑลทวนเข็มนาฬิกา รูปสามเหลี่ยมที่แสดงบนขาตั้งตามเข็มนาฬิกา และสามเหลี่ยมเท่ากันในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา หันศีรษะไปทางซ้ายแล้วมองไปที่เส้นขอบฟ้า และตอนนี้อยู่ที่ปลายจมูก หลับตา นับถึง 5 เปิดตา แล้ว...

เราจะวางฝ่ามือของเราไว้ที่ดวงตาของเรา
มากางขาที่แข็งแรงของเรากันเถอะ
เลี้ยวขวา
ลองมองไปรอบ ๆ อย่างสง่าผ่าเผย
และคุณต้องไปทางซ้ายด้วย
มองจากใต้ฝ่ามือของคุณ
และ - ไปทางขวา! และอีกอย่างหนึ่ง
ข้ามไหล่ซ้ายของคุณ!
ตอนนี้เรามาทำงานกันต่อ

7.งานอิสระของนักศึกษา

แก้หมายเลข.

8. สรุปบทเรียน การสะท้อนกลับ ดี/แซด

คุณได้เรียนรู้สิ่งใหม่อะไรบ้าง? ในชั้นเรียน:

คุณเคยพิจารณาไหมว่า...

คุณวิเคราะห์...

คุณได้รับ...

คุณได้ข้อสรุปแล้ว...

คุณได้ขยายคำศัพท์ของคุณด้วยคำศัพท์ต่อไปนี้...

วิทยาศาสตร์โลกเริ่มต้นด้วยเรขาคณิต บุคคลไม่สามารถพัฒนาวัฒนธรรมและจิตวิญญาณได้อย่างแท้จริงหากเขาไม่ได้เรียนเรขาคณิตที่โรงเรียน เรขาคณิตเกิดขึ้นไม่เพียงแต่จากการปฏิบัติเท่านั้น แต่ยังมาจากความต้องการทางจิตวิญญาณของมนุษย์ด้วย

นี่คือวิธีที่เธออธิบายความรักในเรขาคณิตของเธอในเชิงกวี

ฉันชอบเรขาคณิต...

ฉันสอนเรขาคณิตเพราะฉันชอบมัน

เราต้องการเรขาคณิต ถ้าไม่มีมัน เราก็ไปไม่ถึงไหนเลย

ไซน์ โคไซน์ เส้นรอบวง ทุกอย่างมีความสำคัญที่นี่

ทุกสิ่งเป็นสิ่งจำเป็นที่นี่

คุณเพียงแค่ต้องเรียนรู้และเข้าใจทุกสิ่งอย่างชัดเจน

ทำงานที่ได้รับมอบหมายและทดสอบให้ตรงเวลา

เราจะเริ่มศึกษาตรีโกณมิติด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก เรามานิยามกันว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร รวมถึงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมด้วย นี่คือพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ให้เราเตือนคุณว่า มุมขวาเป็นมุมเท่ากับ 90 องศา กล่าวอีกนัยหนึ่งคือหักมุมครึ่งทาง

มุมแหลม- น้อยกว่า 90 องศา

มุมป้าน- มากกว่า 90 องศา เมื่อนำไปใช้กับมุมดังกล่าว “ป้าน” ไม่ใช่การดูถูก แต่เป็นคำทางคณิตศาสตร์ :-)

ลองวาดสามเหลี่ยมมุมฉากกัน มุมขวามักจะเขียนแทนด้วย โปรดทราบว่าด้านตรงข้ามมุมจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกัน มีเพียงขนาดเล็กเท่านั้น ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุม A จึงถูกกำหนดไว้

มุมนี้แสดงด้วยตัวอักษรกรีกที่เกี่ยวข้อง

ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

ขา- ด้านที่วางตรงข้ามมุมแหลม

ขานอนตรงข้ามกับมุมเรียกว่า ตรงข้าม(สัมพันธ์กับมุม) ขาอีกข้างหนึ่งซึ่งวางอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของมุมนั้นเรียกว่า ที่อยู่ติดกัน.

ไซนัสมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

โคไซน์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:

แทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน:

คำจำกัดความอื่น (เทียบเท่า): ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของไซน์ของมุมต่อโคไซน์:

โคแทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้าม (หรือซึ่งเท่ากันคืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์):

สังเกตความสัมพันธ์พื้นฐานของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ด้านล่าง พวกเขาจะเป็นประโยชน์สำหรับเราเมื่อแก้ไขปัญหา

มาพิสูจน์กันหน่อย

โอเค เราได้ให้คำจำกัดความและเขียนสูตรไปแล้ว แต่ทำไมเรายังต้องการไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์?

เรารู้ว่า ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ.

เรารู้ถึงความสัมพันธ์ระหว่าง ฝ่ายสามเหลี่ยมมุมฉาก. นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ปรากฎว่าเมื่อรู้สองมุมในรูปสามเหลี่ยม คุณจะพบมุมที่สามได้ เมื่อรู้ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว คุณจะพบด้านที่สามได้ ซึ่งหมายความว่ามุมต่างๆ มีอัตราส่วนของตัวเอง และด้านข้างก็มีอัตราส่วนของตัวเอง แต่คุณควรทำอย่างไรหากคุณรู้มุมหนึ่ง (ยกเว้นมุมฉาก) และด้านใดด้านหนึ่งในสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่คุณจำเป็นต้องหาด้านอื่นๆ

นี่คือสิ่งที่ผู้คนในอดีตพบเจอเมื่อทำแผนที่พื้นที่และท้องฟ้าที่เต็มไปด้วยดวงดาว ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถวัดทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมโดยตรงได้เสมอไป

ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ - เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันมุมตรีโกณมิติ- ให้ความสัมพันธ์ระหว่าง ฝ่ายและ มุมสามเหลี่ยม. เมื่อรู้มุมแล้ว คุณสามารถค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดได้โดยใช้ตารางพิเศษ และเมื่อรู้ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมของสามเหลี่ยมและด้านใดด้านหนึ่งแล้ว คุณจะพบส่วนที่เหลือ

นอกจากนี้เรายังจะวาดตารางค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุม "ดี" จากถึง

โปรดสังเกตขีดกลางสีแดงสองอันในตาราง ที่ค่ามุมที่เหมาะสม ไม่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ลองดูปัญหาตรีโกณมิติหลายประการจาก FIPI Task Bank

1. ในรูปสามเหลี่ยม มุมคือ , . หา .

ปัญหาจะได้รับการแก้ไขภายในสี่วินาที

เนื่องจาก , .

2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมคือ , , . หา .

ลองหามันโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

บ่อยครั้งในปัญหาจะมีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมและหรือที่มีมุมและ จำอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับพวกเขาด้วยใจ!

สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมและขาตรงข้ามกับมุมที่ เท่ากับ ครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.

สามเหลี่ยมที่มีมุมและเป็นหน้าจั่ว ด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดใหญ่กว่าขาเป็นเท่า

เราดูปัญหาในการแก้ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉาก นั่นคือ การหาด้านหรือมุมที่ไม่รู้จัก แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! มีปัญหามากมายในการสอบ Unified State ในคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความถัดไป