อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ในบทนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีค้นหา อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน- บทเรียนคือความต่อเนื่องทางตรรกะของบทเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?ซึ่งเราได้ตรวจสอบอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดและทำความคุ้นเคยกับกฎของการสร้างความแตกต่างและเทคนิคทางเทคนิคบางอย่างในการค้นหาอนุพันธ์ ดังนั้นหากคุณไม่เก่งเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือบางจุดในบทความนี้ยังไม่ชัดเจน ให้อ่านบทเรียนข้างต้นก่อน โปรดใช้อารมณ์จริงจัง - เนื้อหาไม่เรียบง่าย แต่ฉันจะพยายามนำเสนออย่างเรียบง่ายและชัดเจนต่อไป

ในทางปฏิบัติ คุณต้องจัดการกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนบ่อยครั้งมาก หรือเกือบทุกครั้ง เมื่อคุณได้รับมอบหมายงานให้ค้นหาอนุพันธ์

เราดูตารางตามกฎ (หมายเลข 5) เพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

ลองคิดดูสิ ก่อนอื่นมาใส่ใจกับรายการกันก่อน ที่นี่เรามีสองฟังก์ชัน - และ และฟังก์ชันที่พูดเป็นรูปเป็นร่างซ้อนอยู่ภายในฟังก์ชัน ฟังก์ชันประเภทนี้ (เมื่อฟังก์ชันหนึ่งซ้อนอยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง) เรียกว่าฟังก์ชันเชิงซ้อน

ฉันจะเรียกใช้ฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นภายนอกและฟังก์ชัน – ฟังก์ชั่นภายใน (หรือซ้อนกัน).

- คำจำกัดความเหล่านี้ไม่ใช่ทฤษฎีและไม่ควรปรากฏในการออกแบบงานขั้นสุดท้าย ฉันใช้สำนวนที่ไม่เป็นทางการ "ฟังก์ชันภายนอก", "ฟังก์ชันภายใน" เท่านั้นเพื่อให้คุณเข้าใจเนื้อหาได้ง่ายขึ้น

เพื่อชี้แจงสถานการณ์ ให้พิจารณา:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ภายใต้ไซน์เราไม่ได้มีเพียงตัวอักษร "X" เท่านั้น แต่ยังมีนิพจน์ทั้งหมดด้วย ดังนั้นการค้นหาอนุพันธ์ทันทีจากตารางจะไม่ได้ผล นอกจากนี้เรายังสังเกตเห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้กฎสี่ข้อแรกที่นี่ดูเหมือนว่าจะมีความแตกต่าง แต่ความจริงก็คือไซน์ไม่สามารถ "ฉีกเป็นชิ้น ๆ" ได้:

ในตัวอย่างนี้ คำอธิบายของฉันชัดเจนอยู่แล้วว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน และพหุนามเป็นฟังก์ชันภายใน (การฝัง) และฟังก์ชันภายนอก

ขั้นตอนแรกสิ่งที่คุณต้องทำเมื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนก็คือ ทำความเข้าใจว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายในและฟังก์ชันใดเป็นภายนอก.

ในกรณีของตัวอย่างง่ายๆ ดูเหมือนว่าพหุนามจะฝังอยู่ใต้ไซน์อย่างชัดเจน แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าทุกอย่างไม่ชัดเจน? จะทราบได้อย่างไรว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายใน ในการทำเช่นนี้ฉันขอแนะนำให้ใช้เทคนิคต่อไปนี้ซึ่งสามารถทำได้ทั้งทางจิตใจหรือแบบร่าง

สมมติว่าเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของนิพจน์บนเครื่องคิดเลข (แทนที่จะใช้ค่าใดค่าหนึ่งเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้)

เราจะคำนวณอะไรก่อน? ก่อนอื่นเลยคุณจะต้องดำเนินการต่อไปนี้: ดังนั้นพหุนามจะเป็นฟังก์ชันภายใน:

ประการที่สองจะต้องค้นหา ดังนั้น ไซน์ – จะเป็นฟังก์ชันภายนอก:

หลังจากที่เรา ขายหมดแล้วด้วยฟังก์ชันภายในและภายนอก ถึงเวลาที่จะใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

มาเริ่มตัดสินใจกันเลย จากชั้นเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?เราจำได้ว่าการออกแบบวิธีแก้ปัญหาสำหรับอนุพันธ์ใด ๆ มักจะเริ่มต้นเช่นนี้ - เราใส่นิพจน์ในวงเล็บและใส่เส้นขีดที่มุมขวาบน:

ตอนแรกเราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (ไซน์) ดูที่ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานแล้วสังเกตว่า . สูตรตารางทั้งหมดยังสามารถใช้ได้หากแทนที่ "x" ด้วยนิพจน์ที่ซับซ้อนในกรณีนี้:

โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นภายใน ไม่เปลี่ยนแปลงเราไม่แตะต้องมัน.

มันค่อนข้างชัดเจนว่า

ผลลัพธ์สุดท้ายของการใช้สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

โดยปกติปัจจัยคงที่จะถูกวางไว้ที่จุดเริ่มต้นของนิพจน์:

หากมีความเข้าใจผิดให้เขียนวิธีแก้ปัญหาลงในกระดาษแล้วอ่านคำอธิบายอีกครั้ง

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

และเช่นเคย เราเขียนไว้ว่า:

ลองหาดูว่าเรามีฟังก์ชันภายนอกอยู่ที่ไหน และเรามีฟังก์ชันภายในอยู่ที่ไหน ในการทำเช่นนี้ เราพยายาม (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่ คุณควรทำอะไรก่อน? ก่อนอื่น คุณต้องคำนวณว่าฐานเท่ากับเท่าใด ดังนั้น พหุนามจึงเป็นฟังก์ชันภายใน:

และเมื่อถึงเวลานั้นเท่านั้นที่จะดำเนินการยกกำลัง ดังนั้น ฟังก์ชันยกกำลังจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก:

ตามสูตร คุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกก่อน ซึ่งในกรณีนี้คือดีกรี เราค้นหาสูตรที่ต้องการในตาราง: . เราทำซ้ำอีกครั้ง: สูตรตารางใด ๆ ใช้ได้ไม่เพียง แต่สำหรับ "X" เท่านั้น แต่ยังรวมถึงนิพจน์ที่ซับซ้อนด้วย- ดังนั้นผลลัพธ์ของการใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนจึงเป็นดังนี้:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อเราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ฟังก์ชันภายในของเราจะไม่เปลี่ยนแปลง:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาอนุพันธ์ที่เรียบง่ายของฟังก์ชันภายในและปรับแต่งผลลัพธ์เล็กน้อย:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เพื่อรวบรวมความเข้าใจของคุณเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ฉันจะยกตัวอย่างโดยไม่มีความคิดเห็น พยายามคิดออกด้วยตัวเอง เหตุผลที่ฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันภายในอยู่ที่ไหน เหตุใดงานจึงถูกแก้ไขด้วยวิธีนี้

ตัวอย่างที่ 5

ก) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

b) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่เรามีราก และเพื่อที่จะแยกแยะรากนั้น จะต้องแสดงเป็นพลัง ดังนั้นก่อนอื่นเราจึงนำฟังก์ชันมาอยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการสร้างความแตกต่าง:

จากการวิเคราะห์ฟังก์ชัน เราได้ข้อสรุปว่าผลรวมของพจน์ทั้งสามเป็นฟังก์ชันภายใน และการยกกำลังเป็นฟังก์ชันภายนอก เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

เราแสดงดีกรีเป็นราก (รูท) อีกครั้ง และสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน เราใช้กฎง่ายๆ เพื่อแยกความแตกต่างของผลรวม:

พร้อม. คุณยังสามารถลดนิพจน์ให้เหลือตัวส่วนร่วมในวงเล็บและเขียนทุกอย่างเป็นเศษส่วนได้ สวยงามแน่นอน แต่เมื่อได้อนุพันธ์ระยะยาวที่ยุ่งยากก็อย่าทำแบบนี้ดีกว่า (สับสนง่าย ทำผิดโดยไม่จำเป็น และครูจะตรวจสอบไม่สะดวก)

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าบางครั้งแทนที่จะใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน คุณสามารถใช้กฎในการหาอนุพันธ์ผลหาร แต่วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะดูเหมือนเป็นการบิดเบือนที่ตลกขบขัน นี่คือตัวอย่างทั่วไป:

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่คุณสามารถใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารได้ แต่จะทำกำไรได้มากกว่ามากในการค้นหาอนุพันธ์ผ่านกฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

เราเตรียมฟังก์ชันสำหรับการสร้างความแตกต่าง - เราย้ายเครื่องหมายลบออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ และเพิ่มโคไซน์เป็นตัวเศษ:

โคไซน์เป็นฟังก์ชันภายใน การยกกำลังเป็นฟังก์ชันภายนอก
ลองใช้กฎของเรา:

เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและรีเซ็ตโคไซน์กลับลงมา:

พร้อม. ในตัวอย่างที่พิจารณา สิ่งสำคัญคือต้องไม่สับสนกับสัญญาณต่างๆ ยังไงก็ลองแก้โดยใช้กฎดูครับ คำตอบจะต้องตรงกัน

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

จนถึงตอนนี้เราได้ดูกรณีที่เรามีรังเพียงอันเดียวในฟังก์ชันที่ซับซ้อน ในงานภาคปฏิบัติ คุณมักจะพบอนุพันธ์ โดยที่เหมือนกับตุ๊กตาทำรัง มีอันหนึ่งอยู่ในอีกอันหนึ่ง มีฟังก์ชัน 3 หรือ 4-5 รายการที่ซ้อนกันในคราวเดียว

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

มาทำความเข้าใจกับไฟล์แนบของฟังก์ชันนี้กันดีกว่า เรามาลองคำนวณนิพจน์โดยใช้ค่าทดลองกันดีกว่า เราจะนับเครื่องคิดเลขได้อย่างไร?

ก่อนอื่นคุณต้องค้นหา ซึ่งหมายความว่าอาร์คไซน์เป็นการฝังที่ลึกที่สุด:

อาร์คไซน์ของอันนี้ควรถูกยกกำลังสอง:

และในที่สุด เราก็ยกเจ็ดขึ้นเป็นกำลัง:

นั่นคือในตัวอย่างนี้ เรามีฟังก์ชันที่แตกต่างกันสามฟังก์ชันและการฝังสองฟังก์ชัน ในขณะที่ฟังก์ชันด้านในสุดคืออาร์คไซน์ และฟังก์ชันด้านนอกสุดคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

มาเริ่มตัดสินใจกันเลย

ตามกฎแล้ว คุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกก่อน เราดูตารางอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือแทนที่จะเป็น "x" เรามีนิพจน์ที่ซับซ้อนซึ่งไม่ได้ลบล้างความถูกต้องของสูตรนี้ ดังนั้น ผลลัพธ์ของการใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะเป็นดังนี้:

ภายใต้จังหวะเรามีฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง! แต่มันง่ายกว่าแล้ว ง่ายต่อการตรวจสอบว่าฟังก์ชันภายในคืออาร์คไซน์ ส่วนฟังก์ชันภายนอกคือดีกรี ตามกฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน คุณต้องหาอนุพันธ์ของกำลังก่อน

มีการพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน กรณีที่ฟังก์ชันที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรหนึ่งหรือสองตัวจะถูกพิจารณาโดยละเอียด ลักษณะทั่วไปเกิดขึ้นกับกรณีของตัวแปรจำนวนเท่าใดก็ได้

ในที่นี้ เราจะแสดงที่มาของสูตรต่อไปนี้สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ถ้าอย่างนั้น
.
ถ้าอย่างนั้น
.
ถ้าอย่างนั้น
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจากตัวแปรตัวเดียว

ให้ฟังก์ชันของตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนในรูปแบบต่อไปนี้:
,
ซึ่งมีฟังก์ชั่นบางอย่าง ฟังก์ชันนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x
ฟังก์ชันนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้ตามค่าของตัวแปร
(1) .

จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อน (คอมโพสิต) จะหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x และอนุพันธ์ของมันถูกกำหนดโดยสูตร:
;
.

สูตร (1) สามารถเขียนได้ดังนี้:

การพิสูจน์
;
.
ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้

นี่คือฟังก์ชันของตัวแปร และ มีฟังก์ชันของตัวแปร และ
;
.

แต่เราจะละเว้นข้อโต้แย้งของฟังก์ชันเหล่านี้เพื่อไม่ให้การคำนวณเกะกะ
.
เนื่องจากฟังก์ชัน และ สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x และ ตามลำดับ จากนั้นที่จุดเหล่านี้จะมีอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ซึ่งมีขีดจำกัดดังต่อไปนี้:
.
พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้:
.

สำหรับค่าคงที่ของตัวแปร u จะเป็นฟังก์ชันของ
.
พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้:
.

เห็นได้ชัดว่า

.

แล้ว

เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ ณ จุดนั้น จึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดนั้น นั่นเป็นเหตุผล

ทีนี้เราหาอนุพันธ์ได้แล้ว
,
สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว
.
ผลที่ตามมา

ถ้าฟังก์ชันของตัวแปร x สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของฟังก์ชันเชิงซ้อนได้
จากนั้นอนุพันธ์ของมันจะถูกกำหนดโดยสูตร
.
ที่นี่ และมีฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บางอย่าง
.
เพื่อพิสูจน์สูตรนี้ เราจะคำนวณอนุพันธ์ตามลำดับโดยใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
.
ที่นี่ และมีฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บางอย่าง
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจากตัวแปรสองตัว

ตอนนี้ให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรหลายตัว ก่อนอื่นเรามาดูกันดีกว่า กรณีฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรสองตัว.

ให้ฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรสองตัวในรูปแบบต่อไปนี้:
,
ที่ไหน
และมีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x
- ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด ,
(2) .

สูตร (1) สามารถเขียนได้ดังนี้:

จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อนจะถูกกำหนดไว้ในบริเวณใกล้จุดหนึ่งและมีอนุพันธ์ซึ่งกำหนดโดยสูตร:
;
.
เนื่องจากฟังก์ชันและสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด พวกมันจึงถูกกำหนดไว้ในย่านหนึ่งของจุดนี้ ต่อเนื่องกัน ณ จุดนั้น และมีอนุพันธ์ของพวกมันอยู่ที่จุด ซึ่งเป็นขีดจำกัดต่อไปนี้:
;
.
ที่นี่
;
.

เนื่องจากความต่อเนื่องของฟังก์ชันเหล่านี้ ณ จุดหนึ่ง เราจึงมี:
(3) .
เนื่องจากฟังก์ชันและสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด พวกมันจึงถูกกำหนดไว้ในย่านหนึ่งของจุดนี้ ต่อเนื่องกัน ณ จุดนั้น และมีอนุพันธ์ของพวกมันอยู่ที่จุด ซึ่งเป็นขีดจำกัดต่อไปนี้:

เนื่องจากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น จึงถูกกำหนดไว้ในย่านหนึ่งของจุดนี้ และมีความต่อเนื่อง ณ จุดนี้ และการเพิ่มขึ้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:
;

- การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นตามค่า และ ;
- อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันเกี่ยวกับตัวแปร และ .
;
.
สำหรับค่าคงที่ของ และ และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปร และ .
;
.

พวกเขามีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่และ:

. :
.
ตั้งแต่ และ จากนั้น



.

แล้ว

เพิ่มฟังก์ชัน:

มาทดแทนกัน (3):

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจากตัวแปรหลายตัว ข้อสรุปข้างต้นสามารถสรุปได้ง่ายในกรณีที่จำนวนตัวแปรของฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากกว่าสองเช่น ถ้า f คือ
,
ที่ไหน
ฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสาม
, ที่
และมีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x
(4)
.
- ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปร 3 ตัวที่จุด , , .
; ; ,
จากนั้น จากนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เราจะได้:
;
;
.

เพราะด้วยความต่อเนื่อง
.

ที่ เมื่อหาร (4) ด้วยและผ่านไปยังขีดจำกัด เราจะได้:.
และสุดท้ายเรามาพิจารณากัน
,
ที่ไหน
กรณีทั่วไปที่สุด
ให้ฟังก์ชันของตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปร n ในรูปแบบต่อไปนี้:
, , ... , .
พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้:
.

มีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x
- ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปร n ตัว ณ จุดหนึ่ง

อนุพันธ์เชิงซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังยกกำลัง เราปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างของเราอย่างต่อเนื่อง ในบทนี้ เราจะรวมเนื้อหาที่เราได้กล่าวถึง ดูอนุพันธ์ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น และทำความคุ้นเคยกับเทคนิคและเทคนิคใหม่ๆ ในการค้นหาอนุพันธ์ โดยเฉพาะอนุพันธ์ลอการิทึมซึ่งจะช่วยให้คุณพัฒนาทักษะของคุณได้ตั้งแต่เริ่มต้น ถัดไปคุณต้องศึกษาหน้าอย่างละเอียด อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเข้าใจและแก้ไข ทั้งหมดตัวอย่างที่ฉันให้ บทเรียนนี้เป็นบทเรียนที่สามติดต่อกันอย่างมีเหตุผล และหลังจากเชี่ยวชาญแล้ว คุณจะแยกแยะฟังก์ชันที่ค่อนข้างซับซ้อนได้อย่างมั่นใจ ไม่พึงปรารถนาที่จะรับตำแหน่ง "ที่ไหนอีก? เพียงพอแล้ว!” เนื่องจากตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนำมาจากการทดสอบจริงและมักพบเห็นได้ในทางปฏิบัติ

เริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ ในชั้นเรียน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเราดูตัวอย่างจำนวนหนึ่งพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ในระหว่างการศึกษาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สาขาอื่น คุณจะต้องแยกความแตกต่างบ่อยมาก และไม่สะดวกเสมอไป (และไม่จำเป็นเสมอไป) ที่จะอธิบายตัวอย่างโดยละเอียด ดังนั้นเราจะฝึกการหาอนุพันธ์แบบปากเปล่า “ผู้สมัคร” ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสิ่งนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุดตัวอย่างเช่น:

ตามกฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :

เมื่อศึกษาหัวข้อ Matan อื่น ๆ ในอนาคต มักไม่จำเป็นต้องมีการบันทึกโดยละเอียด สันนิษฐานว่านักเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ดังกล่าวในระบบอัตโนมัติ ลองนึกภาพว่าเวลา 3 โมงเช้าโทรศัพท์ดังขึ้นและมีเสียงที่น่าฟังถามว่า: "อะไรคืออนุพันธ์ของแทนเจนต์ของ X สองตัว" ควรตามด้วยคำตอบที่เกือบจะทันทีและสุภาพ: .

ตัวอย่างแรกจะมีไว้สำหรับโซลูชันอิสระทันที

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ต่อไปนี้ด้วยวาจาในการกระทำเดียว เช่น: เพื่อทำงานให้สำเร็จคุณเพียงแค่ต้องใช้ ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น(ถ้ายังจำไม่ได้) หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันแนะนำให้อ่านบทเรียนซ้ำ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

อนุพันธ์เชิงซ้อน

หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้น ตัวอย่างที่มีฟังก์ชัน 3-4-5 ซ้อนจะน่ากลัวน้อยลง ตัวอย่างสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าคุณเข้าใจ (อาจมีบางคนต้องทนทุกข์ทรมาน) ส่วนอื่นๆ เกือบทั้งหมดในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก็จะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกสำหรับเด็ก

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตามที่ระบุไว้แล้วเมื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนสิ่งแรกที่จำเป็นคือ ขวาเข้าใจการลงทุนของคุณ ในกรณีที่มีข้อสงสัย ฉันขอเตือนคุณถึงเทคนิคที่มีประโยชน์ เช่น เราใช้ค่าทดลองของ "x" และลอง (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อแทนที่ค่านี้เป็น "สำนวนแย่มาก"

1) ก่อนอื่น เราต้องคำนวณนิพจน์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมคือการฝังที่ลึกที่สุด

2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:

4) จากนั้นยกกำลังสามของโคไซน์:

5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่าง:

6) และสุดท้าย ฟังก์ชันด้านนอกสุดคือรากที่สอง:

สูตรหาความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ใช้ในลำดับย้อนกลับจากฟังก์ชันด้านนอกสุดไปด้านในสุด เราตัดสินใจ:

ดูเหมือนจะไม่มีข้อผิดพลาด...

(1) หาอนุพันธ์ของรากที่สอง

(2) เราหาอนุพันธ์ของผลต่างโดยใช้กฎ

(3) อนุพันธ์ของทริปเปิลเป็นศูนย์ ในเทอมที่สอง เราจะหาอนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)

(4) หาอนุพันธ์ของโคไซน์

(5) หาอนุพันธ์ของลอการิทึม

(6) และสุดท้าย เราก็หาอนุพันธ์ของการฝังที่ลึกที่สุด

อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ตัวอย่างเช่น คอลเลกชันของ Kuznetsov แล้วคุณจะประทับใจกับความสวยงามและความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตเห็นว่าพวกเขาชอบให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่

ตัวอย่างต่อไปนี้ให้คุณแก้ได้ด้วยตัวเอง

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คำแนะนำ: อันดับแรก เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นและกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์

เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่บางสิ่งที่เล็กกว่าและดีกว่า
ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ตัวอย่างจะแสดงผลคูณไม่ใช่สอง แต่มีสามฟังก์ชัน จะหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสามปัจจัยได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ก่อนอื่นเรามาดูกัน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเปลี่ยนผลคูณของสามฟังก์ชันเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน? ตัวอย่างเช่น หากเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บได้ แต่ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ฟังก์ชันทั้งหมดจะแตกต่างกัน: องศา เลขชี้กำลัง และลอการิทึม

ในกรณีเช่นนี้ก็จำเป็น ตามลำดับใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ สองครั้ง

เคล็ดลับก็คือว่าโดย "y" เราแสดงถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และโดย "ve" เราแสดงถึงลอการิทึม: เหตุใดจึงสามารถทำได้? เป็นไปได้ไหม – นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎใช้ไม่ได้ผล! ไม่มีอะไรซับซ้อน:

ตอนนี้ยังคงต้องใช้กฎเป็นครั้งที่สอง ในวงเล็บ:

คุณสามารถบิดเบี้ยวและใส่บางอย่างออกจากวงเล็บได้ แต่ในกรณีนี้ ควรทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้จะดีกว่า - จะตรวจสอบได้ง่ายกว่า

ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:

โซลูชันทั้งสองเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ในตัวอย่างจะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีแรก

ลองดูตัวอย่างที่คล้ายกันกับเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คุณสามารถไปที่นี่ได้หลายวิธี:

หรือเช่นนี้:

แต่คำตอบจะถูกเขียนให้กระชับกว่านี้ถ้าเราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารก่อน โดยหาตัวเศษทั้งหมด:

โดยหลักการแล้วตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้วและหากปล่อยไว้ตามเดิมก็จะไม่เกิดข้อผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลาขอแนะนำให้ตรวจสอบแบบร่างเสมอเพื่อดูว่าคำตอบนั้นทำให้ง่ายขึ้นหรือไม่? ให้เราลดการแสดงออกของตัวเศษให้เป็นตัวส่วนร่วมและ เรามากำจัดเศษส่วนสามชั้นกันเถอะ:

ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะทำผิดพลาดไม่ใช่เมื่อค้นหาอนุพันธ์ แต่ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงโรงเรียนซ้ำซาก ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานมอบหมายและขอให้ "คำนึงถึง" อนุพันธ์

ตัวอย่างที่ง่ายกว่าในการแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เรายังคงเชี่ยวชาญวิธีการหาอนุพันธ์ต่อไป และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" เพื่อสร้างความแตกต่าง

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่คุณสามารถไปได้ไกลโดยใช้กฎในการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

แต่ขั้นตอนแรกจะทำให้คุณหมดหวังทันที - คุณต้องหาอนุพันธ์ที่ไม่พึงประสงค์จากเศษส่วนยกกำลังและจากนั้นจากเศษส่วนด้วย

นั่นเป็นเหตุผล ก่อนวิธีหาอนุพันธ์ของลอการิทึม "ซับซ้อน" ขั้นแรกทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของโรงเรียนที่มีชื่อเสียง:

! หากคุณมีสมุดบันทึกแบบฝึกหัดอยู่แล้ว ให้คัดลอกสูตรเหล่านี้ไปที่นั่นโดยตรง หากคุณไม่มีสมุดบันทึก ให้คัดลอกลงในกระดาษ เนื่องจากตัวอย่างบทเรียนที่เหลือจะเกี่ยวข้องกับสูตรเหล่านี้

วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ดังนี้:

มาแปลงฟังก์ชันกัน:

ค้นหาอนุพันธ์:

การแปลงฟังก์ชันล่วงหน้าทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้น เมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่คล้ายกันเพื่อสร้างความแตกต่าง แนะนำให้ "แยกย่อย" เสมอ

และตอนนี้มีตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

การเปลี่ยนแปลงและคำตอบทั้งหมดอยู่ท้ายบทเรียน

อนุพันธ์ลอการิทึม

หากอนุพันธ์ของลอการิทึมเป็นดนตรีที่ไพเราะ คำถามก็เกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมในบางกรณีที่จะจัดระเบียบลอการิทึมแบบเทียม? สามารถ! และจำเป็นด้วยซ้ำ

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้ดูตัวอย่างที่คล้ายกัน จะทำอย่างไร? คุณสามารถใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารตามลำดับ จากนั้นจึงใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลคูณ ข้อเสียของวิธีนี้คือคุณจะได้เศษส่วนสามชั้นขนาดใหญ่ซึ่งคุณไม่ต้องการจัดการเลย

แต่ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ มีสิ่งมหัศจรรย์อย่างหนึ่ง เช่น อนุพันธ์ลอการิทึม ลอการิทึมสามารถจัดเรียงแบบเทียมได้โดยการ "แขวน" ไว้ทั้งสองด้าน:

ตอนนี้คุณต้อง "แยก" ลอการิทึมของด้านขวาให้มากที่สุด (สูตรที่อยู่ตรงหน้าคุณ?) ฉันจะอธิบายกระบวนการนี้โดยละเอียด:

เริ่มต้นด้วยความแตกต่าง
เราสรุปทั้งสองส่วนภายใต้นายก:

อนุพันธ์ของด้านขวามือนั้นค่อนข้างง่าย ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็น เพราะหากคุณอ่านข้อความนี้ คุณจะสามารถจัดการได้อย่างมั่นใจ

แล้วด้านซ้ายล่ะ?

ทางด้านซ้ายเรามี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- ฉันมองเห็นคำถาม: “ทำไม มีตัวอักษร “Y” อยู่ตัวหนึ่งใต้ลอการิทึม”

ความจริงก็คือว่า “เกมตัวอักษรตัวเดียว” นี้ - ตัวเองเป็นหน้าที่(หากไม่ชัดเจนมากนัก โปรดดูบทความ Derivative of a function ที่ระบุโดยปริยาย) ดังนั้นลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก และ "y" เป็นฟังก์ชันภายใน และเราใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :

ทางด้านซ้ายราวกับมีเวทมนตร์ เรามีอนุพันธ์ ต่อไปตามกฎสัดส่วนเราโอน "y" จากตัวส่วนของด้านซ้ายไปที่ด้านบนของด้านขวา:

และตอนนี้เรามาจำกันว่า "ผู้เล่น" แบบไหนที่เราพูดถึงระหว่างการสร้างความแตกต่าง? ลองดูที่สภาพ:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ตัวอย่างการออกแบบตัวอย่างประเภทนี้อยู่ท้ายบทเรียน

การใช้อนุพันธ์ลอการิทึมทำให้สามารถแก้ตัวอย่างหมายเลข 4-7 ได้ อีกประการหนึ่งคือฟังก์ชันต่างๆ ในนั้นง่ายกว่า และบางที การใช้อนุพันธ์ลอการิทึมอาจไม่สมเหตุสมผลนัก

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังยกกำลัง

เรายังไม่ได้พิจารณาฟังก์ชันนี้ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันที่ ทั้งระดับและฐานขึ้นอยู่กับ "x"- ตัวอย่างคลาสสิกที่จะมอบให้คุณในตำราเรียนหรือการบรรยาย:

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังกำลังได้อย่างไร?

มีความจำเป็นต้องใช้เทคนิคที่เพิ่งกล่าวถึง - อนุพันธ์ลอการิทึม เราแขวนลอการิทึมไว้ทั้งสองด้าน:

ตามกฎแล้ว ทางด้านขวา องศาจะถูกลบออกจากใต้ลอการิทึม:

ผลที่ได้คือผลคูณของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชันทางด้านขวา ซึ่งจะแยกความแตกต่างตามสูตรมาตรฐาน .

เราค้นหาอนุพันธ์ เพื่อทำเช่นนี้ เราใส่ทั้งสองส่วนไว้ใต้เส้นขีด:

การดำเนินการเพิ่มเติมนั้นง่าย:

ในที่สุด:

หากการแปลงใดๆ ไม่ชัดเจนทั้งหมด โปรดอ่านคำอธิบายของตัวอย่างที่ 11 อย่างละเอียดอีกครั้ง

ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันยกกำลัง-เลขชี้กำลังจะซับซ้อนกว่าตัวอย่างการบรรยายที่กล่าวถึงเสมอ

ตัวอย่างที่ 13

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม

ทางด้านขวา เรามีค่าคงที่และผลคูณของสองปัจจัย - “x” และ “ลอการิทึมของลอการิทึม x” (ลอการิทึมอื่นซ้อนอยู่ใต้ลอการิทึม) ดังที่เราจำได้ว่าเมื่อสร้างความแตกต่างจะเป็นการดีกว่าที่จะย้ายค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ทันทีเพื่อไม่ให้ขวางทาง และแน่นอนว่าเราใช้กฎที่คุ้นเคย :

อย่างที่คุณเห็น อัลกอริธึมสำหรับการใช้อนุพันธ์ลอการิทึมไม่มีกลอุบายพิเศษใด ๆ และการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังกำลังมักไม่เกี่ยวข้องกับ "การทรมาน"

และทฤษฎีบทเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนซึ่งมีสูตรดังนี้

ให้ 1) ฟังก์ชัน $u=\varphi (x)$ มี ณ จุดใดจุดหนึ่ง $x_0$ อนุพันธ์ $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) ฟังก์ชัน $y=f(u)$ มีตรงจุดที่สอดคล้องกันที่จุด $u_0=\varphi (x_0)$ อนุพันธ์ $y_(u)"=f"(u)$ จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อน $y=f\left(\varphi (x) \right)$ ณ จุดดังกล่าวก็จะมีอนุพันธ์เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(u)$ และ $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

หรือในรูปแบบย่อ: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$

ในตัวอย่างในส่วนนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดจะมีรูปแบบ $y=f(x)$ (นั่นคือ เราจะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันของตัวแปร $x$ เพียงตัวเดียว) ดังนั้น ในทุกตัวอย่าง อนุพันธ์ $y"$ จะถูกนำมาเทียบกับตัวแปร $x$ เพื่อเน้นย้ำว่าอนุพันธ์นั้นมาจากตัวแปร $x$ นั้น $y"_x$ มักจะถูกเขียนแทน $y "$.

ตัวอย่างที่ 1 หมายเลข 2 และหมายเลข 3 สรุปกระบวนการโดยละเอียดในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ตัวอย่างที่ 4 มีจุดมุ่งหมายเพื่อให้เข้าใจตารางอนุพันธ์ได้ครบถ้วนยิ่งขึ้น และควรทำความคุ้นเคยกับตารางนี้

ขอแนะนำให้หลังจากศึกษาเนื้อหาในตัวอย่างที่ 1-3 แล้วเพื่อแก้ไขตัวอย่างที่ 5 หมายเลข 6 และหมายเลข 7 อย่างอิสระ ตัวอย่าง #5, #6 และ #7 มีวิธีแก้ไขสั้นๆ เพื่อให้ผู้อ่านสามารถตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ได้

ตัวอย่างหมายเลข 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=e^(\cos x)$

เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน $y"$ เนื่องจาก $y=e^(\cos x)$ ดังนั้น $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$ หาอนุพันธ์ $ \left(e^(\cos x)\right)"$ เราใช้สูตรหมายเลข 6 จากตารางอนุพันธ์ ในการใช้สูตรหมายเลข 6 เราต้องคำนึงว่าในกรณีของเรา $u=\cos x$ วิธีแก้ไขเพิ่มเติมคือการแทนที่นิพจน์ $\cos x$ แทน $u$ ลงในสูตรหมายเลข 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

ตอนนี้เราต้องค้นหาค่าของนิพจน์ $(\cos x)"$ เรากลับไปที่ตารางอนุพันธ์อีกครั้งโดยเลือกสูตรหมายเลข 10 จากนั้น แทนที่ $u=x$ ลงในสูตรหมายเลข 10 เราได้ : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. ตอนนี้เรามาต่อความเท่าเทียมกัน (1.1) เสริมด้วยผลลัพธ์ที่พบ:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \แท็ก (1.2) $$

เนื่องจาก $x"=1$ เรายังคงความเท่าเทียมกัน (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

ดังนั้น จากความเท่าเทียมกัน (1.3) เรามี: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ โดยปกติแล้ว คำอธิบายและความเสมอภาคระดับกลางมักจะข้ามไป โดยเขียนการค้นพบอนุพันธ์ไว้ในบรรทัดเดียว เช่นเดียวกับความเท่าเทียมกัน ( 1.3) ดังนั้นจึงพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ

คำตอบ: $y"=-\บาป x\cdot e^(\cos x)$.

ตัวอย่างหมายเลข 2

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$

เราจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ขั้นแรก เราสังเกตว่าค่าคงที่ (เช่น หมายเลข 9) สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

ทีนี้ลองมาดูนิพจน์ $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ เพื่อให้ง่ายต่อการเลือกสูตรที่ต้องการจากตารางอนุพันธ์ ฉันจะนำเสนอนิพจน์ ที่เป็นปัญหาในรูปแบบนี้: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. ตอนนี้ชัดเจนว่าจำเป็นต้องใช้สูตรหมายเลข 2 เช่น $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. ลองแทน $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ และ $\alpha=12$ ลงในสูตรนี้:

เสริมความเท่าเทียมกัน (2.1) ด้วยผลลัพธ์ที่ได้ เรามี:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

ในสถานการณ์นี้ มักจะเกิดข้อผิดพลาดเมื่อนักแก้ปัญหาในขั้นตอนแรกเลือกสูตร $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ แทนสูตร $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. ประเด็นก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกต้องมาก่อน เพื่อทำความเข้าใจว่าฟังก์ชันใดจะอยู่นอกนิพจน์ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ลองจินตนาการว่าคุณกำลังคำนวณค่าของนิพจน์ $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ มีมูลค่า $x$ ขั้นแรก คุณจะต้องคำนวณมูลค่าของ $5^x$ จากนั้นคูณผลลัพธ์ด้วย 4 จะได้ $4\cdot 5^x$ ตอนนี้เราหาอาร์กแทนเจนต์จากผลลัพธ์นี้ จะได้ $\arctg(4\cdot 5^x)$ จากนั้นเราเพิ่มจำนวนผลลัพธ์เป็นกำลังสิบสอง จะได้ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ การกระทำสุดท้ายคือ การยกกำลัง 12 จะเป็นฟังก์ชันภายนอก และจากนี้เราต้องเริ่มค้นหาอนุพันธ์ซึ่งทำอย่างเท่าเทียมกัน (2.2)

ตอนนี้เราต้องค้นหา $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ เราใช้สูตรหมายเลข 19 ของตารางอนุพันธ์ โดยแทนที่ $u=4\cdot \ln x$ ลงไป:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

ลองลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์สักหน่อย โดยคำนึงถึง $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

ความเท่าเทียมกัน (2.2) จะกลายเป็น:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \แท็ก (2.3) $$

ยังคงต้องค้นหา $(4\cdot \ln x)"$ ลองนำค่าคงที่ (เช่น 4) ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $ สำหรับ เพื่อที่จะหา $(\ln x)"$ เราใช้สูตรหมายเลข 8 โดยแทนที่ $u=x$ ลงไป: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. เนื่องจาก $x"=1$ ดังนั้น $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับเป็นสูตร (2.3) เราได้รับ:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)) $

ฉันขอเตือนคุณว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมักพบในบรรทัดเดียวตามที่เขียนไว้ในความเสมอภาคสุดท้าย ดังนั้นเมื่อเตรียมการคำนวณมาตรฐานหรืองานควบคุมจึงไม่จำเป็นต้องอธิบายวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดเลย

คำตอบ: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$

ตัวอย่างหมายเลข 3

หา $y"$ ของฟังก์ชัน $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$

ก่อนอื่น เรามาแปลงฟังก์ชัน $y$ กันเล็กน้อย โดยแสดงราก (root) ในรูปยกกำลัง: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. ทีนี้มาเริ่มหาอนุพันธ์กันดีกว่า เนื่องจาก $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ ดังนั้น:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

ลองใช้สูตรหมายเลข 2 จากตารางอนุพันธ์ โดยแทนที่ $u=\sin(5\cdot 9^x)$ และ $\alpha=\frac(3)(7)$ ลงไป:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

ให้เรายังคงความเท่าเทียมกัน (3.1) โดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

ตอนนี้เราต้องหา $(\sin(5\cdot 9^x))"$ สำหรับสิ่งนี้ เราใช้สูตรหมายเลข 9 จากตารางอนุพันธ์ โดยแทนที่ $u=5\cdot 9^x$ ลงไป:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

เมื่อเสริมความเท่าเทียมกัน (3.2) กับผลลัพธ์ที่ได้ เรามี:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \แท็ก (3.3) $$

ยังคงต้องหา $(5\cdot 9^x)"$ อันดับแรก ลองใช้ค่าคงที่ (ตัวเลข $5$) นอกเครื่องหมายอนุพันธ์ นั่นคือ $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$ หากต้องการหาอนุพันธ์ $(9^x)"$ ให้ใช้สูตรหมายเลข 5 ของตารางอนุพันธ์ โดยแทนที่ $a=9$ และ $u=x$ ลงไป: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. เนื่องจาก $x"=1$ จากนั้น $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$ ตอนนี้เราสามารถคงความเท่าเทียมกันต่อไปได้ (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x -

เราสามารถกลับจากยกกำลังไปสู่รากได้อีกครั้ง (เช่น ราก) โดยเขียน $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ ในรูปแบบ $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. จากนั้นอนุพันธ์จะเขียนในรูปแบบนี้:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x)))

คำตอบ: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

ตัวอย่างหมายเลข 4

แสดงว่าสูตรหมายเลข 3 และหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์เป็นกรณีพิเศษของสูตรหมายเลข 2 ของตารางนี้

สูตรที่ 2 ของตารางอนุพันธ์มีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $u^\alpha$ เมื่อแทน $\alpha=-1$ ลงในสูตรหมายเลข 2 เราจะได้:

$$(u^(-1))"=-1\cdot คุณ^(-1-1)\cdot คุณ"=-u^(-2)\cdot คุณ"\tag (4.1)$$

เนื่องจาก $u^(-1)=\frac(1)(u)$ และ $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (4.1) จึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. นี่คือสูตรหมายเลข 3 ของตารางอนุพันธ์

ให้เรากลับมาที่สูตรหมายเลข 2 ของตารางอนุพันธ์อีกครั้ง ลองแทน $\alpha=\frac(1)(2)$ ลงไป:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot คุณ"\tag (4.2) $$

เนื่องจาก $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ และ $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$ จากนั้นความเท่าเทียมกัน (4.2) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot คุณ" $$

ผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ คือสูตรหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์ อย่างที่คุณเห็น สูตรหมายเลข 3 และหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์ได้มาจากสูตรหมายเลข 2 โดยการแทนที่ค่า $\alpha$ ที่สอดคล้องกัน

ระดับรายการ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน สุดยอดคู่มือ (2019)

ลองจินตนาการถึงถนนเส้นตรงที่ผ่านบริเวณเนินเขา นั่นคือขึ้นลงแต่ไม่เลี้ยวขวาหรือซ้าย หากแกนถูกตั้งทิศทางในแนวนอนไปตามถนนและแนวตั้ง เส้นถนนจะคล้ายกับกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่างมาก:

แกนเป็นระดับความสูงเป็นศูนย์ในชีวิตเราใช้ระดับน้ำทะเลเป็นมัน

เมื่อเราก้าวไปข้างหน้าตามถนนเช่นนั้น เราก็จะเคลื่อนขึ้นหรือลงด้วย นอกจากนี้เรายังสามารถพูดได้ว่า: เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไป (การเคลื่อนที่ไปตามแกน Abscissa) ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป (การเคลื่อนที่ไปตามแกนกำหนด) ทีนี้ลองคิดดูว่าจะกำหนด "ความชัน" ของถนนของเราได้อย่างไร? สิ่งนี้จะเป็นค่าอะไร? ง่ายมาก: ความสูงจะเปลี่ยนไปเท่าใดเมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าในระยะทางหนึ่ง แท้จริงแล้ว ในส่วนต่างๆ ของถนน เมื่อเคลื่อนไปข้างหน้า (ตามแกน x) ไปอีกหนึ่งกิโลเมตร เราจะขึ้นหรือลงตามจำนวนเมตรที่ต่างกันเมื่อเทียบกับระดับน้ำทะเล (ตามแกน y)

เรามาแสดงถึงความก้าวหน้ากันเถอะ (อ่านว่า “เดลต้า x”)

ตัวอักษรกรีก (เดลต้า) มักใช้ในทางคณิตศาสตร์เป็นคำนำหน้าหมายถึง "การเปลี่ยนแปลง" นั่นคือ - นี่คือการเปลี่ยนแปลงปริมาณ - การเปลี่ยนแปลง; แล้วมันคืออะไร? ถูกต้องการเปลี่ยนแปลงขนาด

สิ่งสำคัญ: นิพจน์คือข้อมูลทั้งหมดเพียงตัวแปรเดียว อย่าแยก “เดลต้า” ออกจาก “x” หรือตัวอักษรอื่นใด!

เราก็เลยเคลื่อนไปข้างหน้าในแนวนอนโดย ถ้าเราเปรียบเทียบเส้นถนนกับกราฟของฟังก์ชัน แล้วเราจะระบุการเพิ่มขึ้นได้อย่างไร? แน่นอน, . นั่นคือเมื่อเราก้าวไปข้างหน้า เราก็สูงขึ้น

ค่านั้นง่ายต่อการคำนวณ: ถ้าในตอนแรกเราอยู่ที่ความสูงและหลังจากเคลื่อนที่แล้วเราก็พบว่าตัวเองอยู่ในที่สูงแล้ว หากจุดสิ้นสุดต่ำกว่าจุดเริ่มต้น จุดนั้นจะติดลบ ซึ่งหมายความว่าเราไม่ได้กำลังขึ้น แต่กำลังลง

กลับไปที่ "ความชัน": นี่คือค่าที่แสดงความสูงที่เพิ่มขึ้น (สูงชัน) เมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าหนึ่งหน่วยระยะทาง:

สมมติว่าส่วนหนึ่งของถนนเมื่อเคลื่อนไปข้างหน้าหนึ่งกิโลเมตร ถนนจะสูงขึ้นหนึ่งกิโลเมตร แล้วความชันตรงนี้จะเท่ากัน และถ้าถนนในขณะที่เคลื่อนไปข้างหน้าเมตรลดลงกิโลเมตร? แล้วความชันจะเท่ากัน

ทีนี้มาดูบนยอดเขากันดีกว่า หากคุณใช้จุดเริ่มต้นของส่วนนี้ครึ่งกิโลเมตรก่อนถึงยอดเขา และส่วนท้ายอีกครึ่งกิโลเมตรหลังจากนั้น คุณจะเห็นว่าความสูงเกือบจะเท่ากัน

นั่นคือตามตรรกะของเรา ปรากฎว่าความชันตรงนี้เกือบเท่ากับศูนย์ ซึ่งไม่เป็นความจริงอย่างชัดเจน แค่ระยะทางกว่ากิโลเมตร อะไรๆ ก็เปลี่ยนแปลงได้มากมาย จำเป็นต้องพิจารณาพื้นที่ขนาดเล็กเพื่อการประเมินความชันที่เพียงพอและแม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น หากคุณวัดการเปลี่ยนแปลงของความสูงเมื่อคุณเคลื่อนที่ไปหนึ่งเมตร ผลลัพธ์ก็จะแม่นยำมากขึ้น แต่ความแม่นยำขนาดนี้ก็อาจไม่เพียงพอสำหรับเรา เพราะหากมีเสาค้ำอยู่กลางถนนเราก็ผ่านไปได้ แล้วเราควรเลือกระยะไหน? เซนติเมตร? มิลลิเมตร? น้อยมาก!

ในชีวิตจริง การวัดระยะทางไปยังมิลลิเมตรที่ใกล้ที่สุดก็เกินพอแล้ว แต่นักคณิตศาสตร์มักมุ่งมั่นเพื่อความสมบูรณ์แบบอยู่เสมอ จึงได้คิดค้นแนวคิดขึ้นมา ไม่มีที่สิ้นสุดนั่นคือค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าตัวเลขใดๆ ที่เราตั้งชื่อได้ ตัวอย่างเช่น คุณพูดว่า: หนึ่งล้านล้าน! มากน้อยแค่ไหน? แล้วคุณหารตัวเลขนี้ด้วย - แล้วมันจะยิ่งน้อยลงไปอีก และอื่นๆ หากเราต้องการเขียนว่าปริมาณเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด เราจะเขียนดังนี้ (เราอ่านว่า “x มีแนวโน้มเป็นศูนย์”) มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจ ว่าเลขนี้ไม่ใช่ศูนย์!แต่อยู่ใกล้มาก ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถหารด้วยมันได้.

แนวคิดที่ตรงข้ามกับ infinitesimal นั้นมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ () คุณอาจเคยเจอมันมาก่อนเมื่อคุณกำลังศึกษาเรื่องอสมการ: จำนวนนี้เป็นแบบโมดูโลมากกว่าจำนวนใดๆ ที่คุณคิดได้ หากคุณหาจำนวนมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ให้คูณด้วย 2 แล้วคุณจะได้จำนวนที่มากขึ้นอีก และอนันต์นั้นยิ่งใหญ่กว่าสิ่งที่เกิดขึ้นด้วยซ้ำ อันที่จริง ใหญ่เป็นอนันต์และเล็กเป็นอนันต์เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน นั่นคือ at และในทางกลับกัน: at

ตอนนี้เรากลับมาที่ถนนของเรากันดีกว่า ความชันที่คำนวณได้อย่างเหมาะสมคือความชันที่คำนวณสำหรับส่วนที่เล็กที่สุดของเส้นทาง นั่นคือ:

ฉันสังเกตว่าด้วยการกระจัดที่น้อยที่สุด การเปลี่ยนแปลงความสูงก็จะไม่มีขอบเขตเช่นกัน แต่ขอเตือนคุณว่าค่าน้อยที่สุดไม่ได้หมายความว่าเท่ากับศูนย์ หากคุณหารจำนวนที่น้อยที่สุดด้วยกัน คุณจะได้จำนวนสามัญที่สมบูรณ์ เช่น นั่นคือค่าเล็กๆ ค่าหนึ่งสามารถมีขนาดใหญ่กว่าค่าอื่นได้อย่างแน่นอน

ทั้งหมดนี้เพื่ออะไร? ถนน ความชัน... เราไม่ได้ไปแรลลี่รถยนต์ แต่เราสอนคณิตศาสตร์ และในทางคณิตศาสตร์ทุกอย่างเหมือนกันทุกประการ ต่างกันแค่เรียกต่างกันเท่านั้น

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย

ทีละน้อยในทางคณิตศาสตร์พวกเขาเรียกว่าการเปลี่ยนแปลง ขอบเขตที่อาร์กิวเมนต์ () เปลี่ยนแปลงเมื่อเคลื่อนที่ไปตามแกนเรียกว่า อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นและถูกกำหนดไว้ว่าฟังก์ชัน (ความสูง) มีการเปลี่ยนแปลงไปมากน้อยเพียงใดเมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าตามแกนตามระยะทาง เพิ่มฟังก์ชันและถูกกำหนดไว้

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออัตราส่วนต่อเมื่อ เราแสดงอนุพันธ์ด้วยตัวอักษรเดียวกันกับฟังก์ชัน โดยจะมีเฉพาะจำนวนเฉพาะที่มุมขวาบนเท่านั้น: หรือเพียงแค่ ลองเขียนสูตรอนุพันธ์โดยใช้สัญลักษณ์เหล่านี้:

เหมือนกับการเปรียบเทียบกับถนน เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะเป็นค่าบวก และเมื่อมันลดลง จะเป็นค่าลบ

อนุพันธ์สามารถเท่ากับศูนย์ได้หรือไม่? แน่นอน. เช่น ถ้าเราขับรถบนถนนแนวราบ ความชันจะเป็นศูนย์ และมันเป็นเรื่องจริงที่ความสูงไม่เปลี่ยนแปลงเลย ดังนั้นจึงเป็นไปตามอนุพันธ์: อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ (ค่าคงที่) เท่ากับศูนย์:

เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันดังกล่าวจะเท่ากับศูนย์สำหรับค่าใดๆ

ลองจำตัวอย่างยอดเขากัน ปรากฎว่าเป็นไปได้ที่จะจัดเรียงส่วนปลายของส่วนในด้านตรงข้ามของจุดยอดในลักษณะที่ความสูงที่ส่วนปลายจะเท่ากันนั่นคือส่วนนั้นขนานกับแกน:

แต่ส่วนขนาดใหญ่เป็นสัญญาณของการวัดที่ไม่ถูกต้อง เราจะยกส่วนของเราขึ้นขนานกับตัวมันเอง จากนั้นความยาวของมันจะลดลง

ในที่สุด เมื่อเราเข้าใกล้ด้านบนสุดอย่างไม่สิ้นสุด ความยาวของส่วนนั้นก็จะสั้นลง แต่ในขณะเดียวกันก็ยังคงขนานกับแกนนั่นคือส่วนต่างของความสูงที่ปลายมีค่าเท่ากับศูนย์ (ไม่ได้มีแนวโน้มว่าจะเป็นเช่นนั้น แต่เท่ากับ) ดังนั้นอนุพันธ์

สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้ด้วยวิธีนี้: เมื่อเรายืนอยู่ที่จุดสูงสุด การเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวาเล็กน้อยจะทำให้ความสูงของเราเปลี่ยนไปโดยประมาท

นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิตล้วนๆ อีกด้วย: ทางด้านซ้ายของจุดยอดฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และทางด้านขวาจะลดลง อย่างที่เราทราบไปก่อนหน้านี้ เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะเป็นค่าบวก และเมื่อมันลดลง จะเป็นค่าลบ แต่มันเปลี่ยนได้อย่างราบรื่นโดยไม่ต้องกระโดด (เนื่องจากถนนไม่เปลี่ยนความลาดชันทุกที่) ดังนั้นจึงต้องมีค่าระหว่างค่าลบและค่าบวก มันจะเป็นจุดที่ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลง - ที่จุดยอด

เช่นเดียวกับรางน้ำ (พื้นที่ที่ฟังก์ชันทางด้านซ้ายลดลงและทางด้านขวาเพิ่มขึ้น):

เพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้น

ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนข้อโต้แย้งเป็นขนาด เราเปลี่ยนจากค่าอะไร? ตอนนี้ (ข้อโต้แย้ง) กลายเป็นอะไรไปแล้ว? เราสามารถเลือกจุดใดก็ได้ และตอนนี้ เราจะเต้นจากจุดนั้น

พิจารณาจุดที่มีพิกัด ค่าของฟังก์ชันในนั้นเท่ากัน จากนั้นเราก็ทำการเพิ่มแบบเดียวกัน: เราเพิ่มพิกัดด้วย ตอนนี้เถียงอะไรกันอยู่? ง่ายมาก: . ตอนนี้ค่าของฟังก์ชันเป็นเท่าใด? อาร์กิวเมนต์ไปที่ไหน ฟังก์ชันก็เช่นกัน: . แล้วการเพิ่มฟังก์ชันล่ะ? ไม่มีอะไรใหม่: นี่ยังคงเป็นจำนวนที่ฟังก์ชันเปลี่ยนไป:

ฝึกหาส่วนเพิ่ม:

1. ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน ณ จุดที่ส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์เท่ากับ
2. เช่นเดียวกับฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

โซลูชั่น:

ในจุดที่ต่างกันซึ่งมีการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เท่ากัน การเพิ่มฟังก์ชันจะแตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ในแต่ละจุดจะแตกต่างกัน (เราคุยกันเรื่องนี้ตั้งแต่เริ่มต้น - ความชันของถนนแตกต่างกันในแต่ละจุด) ดังนั้นเมื่อเราเขียนอนุพันธ์เราต้องระบุว่าจุดใด:

ฟังก์ชั่นพลังงาน

ฟังก์ชันยกกำลังคือฟังก์ชันที่มีการโต้แย้งในระดับหนึ่ง (ตรรกะใช่ไหม?)

ยิ่งกว่านั้น - ในระดับใด ๆ : .

กรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อเลขชี้กำลังคือ:

ลองหาอนุพันธ์ของมัน ณ จุดหนึ่งกัน จำคำจำกัดความของอนุพันธ์:

ข้อโต้แย้งจึงเปลี่ยนจากเป็น ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นเท่าไหร่?

เพิ่มขึ้นเป็นเช่นนี้ แต่ฟังก์ชัน ณ จุดใดก็ตามจะเท่ากับอาร์กิวเมนต์ของมัน นั่นเป็นเหตุผล:

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับ:

อนุพันธ์ของเท่ากับ:

b) ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันกำลังสอง (): .

ทีนี้มาจำไว้ว่า ซึ่งหมายความว่าสามารถละเลยค่าของการเพิ่มขึ้นได้ เนื่องจากมีค่าเพียงเล็กน้อย ดังนั้นจึงไม่มีนัยสำคัญเมื่อเทียบกับพื้นหลังของคำอื่น:

ดังนั้นเราจึงมีกฎอีกข้อหนึ่ง:

c) เราดำเนินการต่อในซีรีส์เชิงตรรกะ: .

นิพจน์นี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หลายวิธี: เปิดวงเล็บแรกโดยใช้สูตรสำหรับการคูณแบบย่อของกำลังสามของผลรวม หรือแยกตัวประกอบนิพจน์ทั้งหมดโดยใช้ผลต่างของสูตรลูกบาศก์ ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้วิธีการที่แนะนำ

ดังนั้นฉันจึงได้สิ่งต่อไปนี้:

และอีกครั้งให้เราจำไว้ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถละเลยข้อกำหนดทั้งหมดที่มี:

เราได้รับ: .

d) สามารถรับกฎที่คล้ายกันสำหรับมหาอำนาจ:

e) ปรากฎว่ากฎนี้สามารถวางนัยทั่วไปสำหรับฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามอำเภอใจ ไม่ใช่จำนวนเต็มด้วยซ้ำ:

(2)

กฎสามารถกำหนดได้ในคำว่า: “ระดับจะถูกยกไปข้างหน้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์แล้วลดลงด้วย ”

เราจะพิสูจน์กฎนี้ในภายหลัง (เกือบจะในตอนท้ายสุด) ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างบางส่วนกัน ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

1. (ในสองวิธี: โดยสูตรและการใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ - โดยการคำนวณการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน)

1. - เชื่อหรือไม่ นี่คือฟังก์ชันกำลัง หากคุณมีคำถามเช่น “เป็นอย่างไรบ้าง? ปริญญาอยู่ที่ไหน?” จำหัวข้อ “” ไว้!
   ใช่ ใช่ รูตก็เป็นดีกรีเช่นกัน เป็นเศษส่วนเท่านั้น:
   ซึ่งหมายความว่ารากที่สองของเราเป็นเพียงกำลังที่มีเลขชี้กำลัง:
   .
   เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตรที่เพิ่งเรียนรู้:

   หากมาถึงจุดนี้ไม่ชัดเจนอีกครั้ง ย้ำหัวข้อ “”!!! (ประมาณองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ)

2. - ตอนนี้เลขชี้กำลัง:

   และตอนนี้ผ่านคำจำกัดความ (ลืมไปแล้วหรือยัง?):
   ;
   .
   ตามปกติแล้ว เราละเลยคำที่มี:
   .

3. - การรวมกันของกรณีก่อนหน้า: .

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เราจะใช้ข้อเท็จจริงข้อหนึ่งจากคณิตศาสตร์ชั้นสูงดังนี้:

ด้วยการแสดงออก

คุณจะได้เรียนรู้การพิสูจน์ในปีแรกของสถาบัน (และเพื่อที่จะไปถึงที่นั่น คุณจะต้องผ่านการสอบ Unified State ให้ดี) ตอนนี้ฉันจะแสดงเป็นภาพกราฟิก:

เราจะเห็นว่าเมื่อไม่มีฟังก์ชัน - จุดบนกราฟจะถูกตัดออก แต่ยิ่งใกล้กับค่ามากเท่าไร ฟังก์ชันก็จะยิ่งเข้าใกล้มากขึ้นเท่านั้น นี่คือสิ่งที่ "จุดมุ่งหมาย"

นอกจากนี้ คุณสามารถตรวจสอบกฎนี้ได้โดยใช้เครื่องคิดเลข ใช่ ใช่ อย่าเพิ่งอาย หยิบเครื่องคิดเลขมา เรายังไม่ถึงการสอบ Unified State

เรามาลองกันดู: ;

อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องคิดเลขของคุณเป็นโหมดเรเดียน!

ฯลฯ เราจะเห็นว่ายิ่งน้อยค่าของอัตราส่วนก็จะยิ่งใกล้มากขึ้นเท่านั้น

ก) พิจารณาฟังก์ชัน ตามปกติเราจะหาส่วนเพิ่มของมัน:

ลองเปลี่ยนผลต่างของไซน์ให้เป็นผลคูณกัน ในการทำเช่นนี้เราใช้สูตร (จำหัวข้อ ""): .

ตอนนี้อนุพันธ์:

มาทดแทนกัน: . จากนั้นสำหรับสิ่งเล็กน้อย มันก็ไม่สิ้นสุดเช่นกัน: นิพจน์สำหรับจะอยู่ในรูปแบบ:

และตอนนี้เราจำมันได้ด้วยพจน์นี้ และจะเกิดอะไรขึ้นหากสามารถละเลยปริมาณที่น้อยที่สุดไปเป็นผลรวมได้ (นั่นคือ ที่)

ดังนั้นเราจึงได้กฎต่อไปนี้: อนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์:

สิ่งเหล่านี้เป็นอนุพันธ์พื้นฐาน (“ตาราง”) นี่คือหนึ่งในรายการ:

ต่อมาเราจะเพิ่มอีกสองสามอย่าง แต่สิ่งเหล่านี้สำคัญที่สุดเนื่องจากมีการใช้บ่อยที่สุด

ฝึกฝน:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

โซลูชั่น:

1. อันดับแรก มาหาอนุพันธ์ในรูปแบบทั่วไปก่อน แล้วจึงแทนค่าของมัน:
   ;
   .
2. ตรงนี้เรามีบางอย่างที่คล้ายกับฟังก์ชันกำลัง เราลองพาเธอไป
   มุมมองปกติ:
   .
   เยี่ยมมาก ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตร:
   .
   .
3. - เออ.....นี่มันอะไรเนี่ย????

โอเค คุณพูดถูก เรายังไม่รู้ว่าจะหาอนุพันธ์แบบนั้นได้อย่างไร ที่นี่เรามีฟังก์ชันหลายประเภทรวมกัน หากต้องการทำงานร่วมกับพวกเขา คุณต้องเรียนรู้กฎเพิ่มเติมอีกสองสามข้อ:

เลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติ

มีฟังก์ชันในคณิตศาสตร์ซึ่งมีอนุพันธ์ของค่าใดๆ เท่ากับค่าของฟังก์ชันนั้นในเวลาเดียวกัน เรียกว่า “เลขชี้กำลัง” และเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฐานของฟังก์ชันนี้ซึ่งเป็นค่าคงที่คือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ซึ่งก็คือจำนวนอตรรกยะ (เช่น) มันถูกเรียกว่า "หมายเลขออยเลอร์" ซึ่งเป็นสาเหตุที่เขียนแทนด้วยตัวอักษร

ดังนั้นกฎ:

จำง่ายมาก

อย่าเพิ่งไปไกล ลองพิจารณาฟังก์ชันผกผันทันที ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึม:

ในกรณีของเรา ฐานคือตัวเลข:

ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่า "ธรรมชาติ" และเราใช้สัญลักษณ์พิเศษสำหรับมัน: เราเขียนแทน

มันเท่ากับอะไร? แน่นอน.

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมาก:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร?

คำตอบ: ลอการิทึมเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันง่ายๆ ที่ไม่เหมือนใครจากมุมมองของอนุพันธ์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมกับฐานอื่นจะมีอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลังหลังจากที่เราผ่านกฎการสร้างความแตกต่างแล้ว

กฎของความแตกต่าง

กฎของอะไร? ศัพท์ใหม่อีกแล้วเหรอ?!...

ความแตกต่างเป็นกระบวนการหาอนุพันธ์

นั่นคือทั้งหมดที่ คุณสามารถเรียกกระบวนการนี้ว่าอะไรอีกในคำเดียว? ไม่ใช่อนุพันธ์... นักคณิตศาสตร์เรียกอนุพันธ์ว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่เท่ากัน คำนี้มาจากภาษาละตินว่า differentia - ความแตกต่าง ที่นี่.

เมื่อได้รับกฎเหล่านี้ทั้งหมด เราจะใช้สองฟังก์ชัน เช่น และ นอกจากนี้เรายังต้องมีสูตรสำหรับการเพิ่ม:

มีกฎทั้งหมด 5 ข้อ

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์

ถ้า - จำนวนคงที่ (คงที่) ดังนั้น

แน่นอนว่ากฎนี้ยังใช้ได้กับความแตกต่าง:

มาพิสูจน์กัน ปล่อยให้มันเป็นไปหรือง่ายกว่านั้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

1. ณ จุดหนึ่ง;
2. ณ จุดหนึ่ง;
3. ณ จุดหนึ่ง;
4. ตรงจุด

โซลูชั่น:

1. (อนุพันธ์จะเท่ากันทุกจุด เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จำได้ไหม?);

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

ทุกอย่างจะคล้ายกันที่นี่ เรามาแนะนำฟังก์ชันใหม่และค้นหาส่วนที่เพิ่มขึ้นกันดีกว่า:

อนุพันธ์:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและ;
2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

โซลูชั่น:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตอนนี้ความรู้ของคุณก็เพียงพอแล้วที่จะเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ไม่ใช่แค่เลขยกกำลัง (คุณลืมไปแล้วหรือว่ามันคืออะไร?)

แล้วเลขไหนล่ะ..

เรารู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ลองลดฟังก์ชันของเราให้เป็นฐานใหม่:

ในการดำเนินการนี้ เราจะใช้กฎง่ายๆ: . แล้ว:

มันได้ผล ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ และอย่าลืมว่าฟังก์ชันนี้ซับซ้อน

มันได้ผลเหรอ?

ที่นี่ตรวจสอบตัวเอง:

สูตรนี้ดูคล้ายกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังมาก เหมือนเดิม มันยังคงเหมือนเดิม มีเพียงตัวประกอบเท่านั้นที่ปรากฏ ซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร

ตัวอย่าง:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

คำตอบ:

นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีเครื่องคิดเลข กล่าวคือ ไม่สามารถเขียนลงในรูปแบบที่ง่ายกว่านี้ได้ ดังนั้นเราจึงทิ้งคำตอบไว้ในรูปแบบนี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

มันคล้ายกันตรงนี้: คุณรู้อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติแล้ว:

ดังนั้น หากต้องการค้นหาลอการิทึมตามอำเภอใจที่มีฐานต่างกัน เช่น

เราจำเป็นต้องลดลอการิทึมนี้ลงเหลือฐาน คุณจะเปลี่ยนฐานของลอการิทึมได้อย่างไร? ฉันหวังว่าคุณจะจำสูตรนี้:

ตอนนี้เราจะเขียนแทน:

ตัวส่วนเป็นเพียงค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์ได้มาง่ายมาก:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมแทบไม่เคยพบในการตรวจสอบ Unified State แต่การรู้จักฟังก์ชันเหล่านี้จะไม่ฟุ่มเฟือย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

"ฟังก์ชันที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่ นี่ไม่ใช่ลอการิทึม และไม่ใช่อาร์กแทนเจนต์ ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเข้าใจได้ยาก (แม้ว่าคุณจะพบว่าลอการิทึมยาก ลองอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" แล้วคุณจะโอเค) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"

ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งและทำอะไรบางอย่างกับวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่น อันแรกห่อแท่งช็อกโกแลตด้วยกระดาษห่อ และอันที่สองผูกด้วยริบบิ้น ผลลัพธ์ที่ได้คือวัตถุที่ประกอบขึ้นเป็นแท่งช็อกโกแลตที่พันและผูกด้วยริบบิ้น หากต้องการกินช็อกโกแลตแท่ง คุณต้องทำขั้นตอนย้อนกลับในลำดับย้อนกลับ

มาสร้างไปป์ไลน์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกันกัน: ก่อนอื่นเราจะหาโคไซน์ของตัวเลขแล้วยกกำลังสองของจำนวนผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงได้รับตัวเลข (ช็อคโกแลต) ฉันหาโคไซน์ของมัน (กระดาษห่อ) แล้วคุณก็ยกกำลังสองสิ่งที่ฉันได้ (มัดด้วยริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น การทำงาน. นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อเราต้องการหาค่าของมัน เราจะดำเนินการแรกกับตัวแปรโดยตรง จากนั้นจึงดำเนินการที่สองกับผลลัพธ์จากฟังก์ชันแรก

เราสามารถทำขั้นตอนเดียวกันในลำดับย้อนกลับได้ง่ายๆ ขั้นแรกให้คุณยกกำลังสอง จากนั้นฉันจะหาโคไซน์ของตัวเลขผลลัพธ์: เป็นเรื่องง่ายที่จะคาดเดาว่าผลลัพธ์จะแตกต่างออกไปเกือบตลอดเวลา คุณลักษณะที่สำคัญของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อลำดับของการกระทำเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันอื่น: .

สำหรับตัวอย่างแรก .

ตัวอย่างที่สอง: (สิ่งเดียวกัน) -

การกระทำที่เราทำครั้งสุดท้ายจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชั่น "ภายนอก"และการกระทำนั้นเกิดขึ้นก่อน - ตามนั้น ฟังก์ชั่น "ภายใน"(ชื่อเหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการ ฉันใช้เพื่ออธิบายเนื้อหาเป็นภาษาง่ายๆ เท่านั้น)

ลองพิจารณาด้วยตัวเองว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดภายใน:

คำตอบ:การแยกฟังก์ชันภายในและภายนอกจะคล้ายกับการเปลี่ยนแปลงตัวแปร เช่น ในฟังก์ชัน

1. เราจะดำเนินการใดก่อน? ก่อนอื่น มาคำนวณไซน์ก่อน แล้วค่อยยกกำลังสามเท่านั้น ซึ่งหมายความว่ามันเป็นฟังก์ชันภายใน แต่เป็นฟังก์ชันภายนอก
   และฟังก์ชันดั้งเดิมคือองค์ประกอบ: .
2. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
3. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
4. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
5. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .

เราเปลี่ยนตัวแปรและรับฟังก์ชัน

ทีนี้ เราจะแยกแท่งช็อกโกแลตออกมาแล้วมองหาอนุพันธ์ ขั้นตอนจะกลับกันเสมอ ขั้นแรกเรามองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก จากนั้นจึงคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน สัมพันธ์กับตัวอย่างดั้งเดิม ดูเหมือนว่า:

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

ในที่สุดเรามากำหนดกฎอย่างเป็นทางการกัน:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ดูเหมือนง่ายใช่มั้ย?

ตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

1) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

2) ภายใน: ;

(อย่าเพิ่งพยายามตัดมันออกตอนนี้! ไม่มีอะไรออกมาจากใต้โคไซน์จำได้ไหม?)

3) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

ชัดเจนทันทีว่านี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามระดับ: ท้ายที่สุดแล้วนี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนในตัวเองอยู่แล้วและเรายังแยกรากออกจากมันด้วยนั่นคือเราทำการกระทำที่สาม (เราใส่ช็อคโกแลตลงใน กระดาษห่อและมีริบบิ้นอยู่ในกระเป๋าเอกสาร) แต่ไม่มีเหตุผลที่ต้องกลัว: เราจะยังคง "แกะ" ฟังก์ชันนี้ในลำดับเดิมเหมือนปกติ: จากจุดสิ้นสุด

นั่นคือ ขั้นแรกเราแยกความแตกต่างของราก จากนั้นจึงแยกโคไซน์ และเฉพาะนิพจน์ในวงเล็บเท่านั้น แล้วเราก็คูณมันทั้งหมด.

ในกรณีเช่นนี้ จะสะดวกในการนับจำนวนการกระทำ นั่นคือลองจินตนาการถึงสิ่งที่เรารู้ เราจะดำเนินการตามลำดับใดเพื่อคำนวณค่าของนิพจน์นี้ ลองดูตัวอย่าง:

ยิ่งดำเนินการในภายหลังฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องก็จะยิ่งมี "ภายนอก" มากขึ้นเท่านั้น ลำดับของการกระทำเหมือนกับเมื่อก่อน:

โดยทั่วไปการทำรังจะมี 4 ระดับ เรามากำหนดแนวทางการดำเนินการกัน

1. การแสดงออกที่รุนแรง -

2. รูท -

3. ไซน์. -

4. สี่เหลี่ยม. -

5. นำทั้งหมดมารวมกัน:

อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย:

อนุพันธ์พื้นฐาน:

กฎของความแตกต่าง:

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของผลรวม:

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

อนุพันธ์ของผลหาร:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

1. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายใน" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
2. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายนอก" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
3. เราคูณผลลัพธ์ของจุดที่หนึ่งและที่สอง