สูตรรัศมีวงกลมสลักเล็กๆ พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมในแง่ของรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ในวิศวกรรมเครื่องกลสมัยใหม่ มีการใช้องค์ประกอบและชิ้นส่วนอะไหล่จำนวนมากซึ่งมีวงกลมทั้งภายนอกและภายในในโครงสร้าง ตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดคือตัวเรือนแบริ่ง ชิ้นส่วนเครื่องยนต์ ชุดประกอบดุม และอื่นๆ อีกมากมาย ในการผลิตไม่เพียงแต่ใช้อุปกรณ์ไฮเทคเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความรู้จากเรขาคณิตด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อมูลเกี่ยวกับวงกลมของสามเหลี่ยม เราจะทำความคุ้นเคยกับความรู้นี้โดยละเอียดด้านล่าง

วงกลมใดถูกจารึกไว้ และวงกลมใดถูกจารึกไว้?

ก่อนอื่น จำไว้ว่าวงกลมนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ชุดจุดที่ห่างจากศูนย์กลางเท่ากัน- หากภายในรูปหลายเหลี่ยมนั้น เป็นไปได้ที่จะสร้างวงกลมที่มีจุดตัดร่วมกันเพียงจุดเดียวในแต่ละด้าน ก็จะเรียกว่าวงกลมนั้น วงกลมที่มีเส้นรอบวง (ไม่ใช่วงกลม แต่เป็นแนวคิดที่แตกต่างกัน) คือตำแหน่งของจุดทางเรขาคณิตที่ทำให้รูปร่างที่สร้างขึ้นด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดจะมีจุดร่วมเฉพาะที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเท่านั้น มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดทั้งสองนี้โดยใช้ตัวอย่างที่ชัดเจนยิ่งขึ้น (ดูรูปที่ 1)

รูปที่ 1 วงกลมที่จารึกไว้และล้อมรอบของสามเหลี่ยม

ในภาพ มีการสร้างร่างสองร่างที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่และเล็ก โดยมีศูนย์กลางคือ G และ I วงกลมที่มีค่ามากกว่าเรียกว่าวงกลมที่จำกัดขอบเขต Δ ABC และอันเล็ก ในทางกลับกัน จารึกไว้ใน Δ ABC

ในการอธิบายสภาพแวดล้อมรอบๆ รูปสามเหลี่ยม จำเป็นต้องมี ลากเส้นตั้งฉากผ่านกึ่งกลางของแต่ละด้าน(เช่น ที่มุม 90°) คือจุดตัดกัน ซึ่งมีบทบาทสำคัญ มันจะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ ก่อนที่จะหาวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางเป็นรูปสามเหลี่ยม คุณต้องสร้างแต่ละมุมก่อน จากนั้นเลือกจุดตัดของเส้น ในทางกลับกัน มันจะเป็นศูนย์กลางของพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกจารึกไว้ และรัศมีของมันภายใต้เงื่อนไขใด ๆ จะตั้งฉากกับด้านใดด้านหนึ่ง

สำหรับคำถาม: “รูปหลายเหลี่ยมที่มีสามวงกลมจะมีวงกลมได้กี่วง” ให้เราตอบทันทีว่าวงกลมสามารถเขียนลงในสามเหลี่ยมใดก็ได้และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น เนื่องจากมีจุดตัดกันเพียงจุดเดียวของเส้นแบ่งครึ่งทั้งหมดและมีจุดตัดกันของเส้นตั้งฉากเพียงจุดเดียวที่เล็ดลอดออกมาจากจุดกึ่งกลางของด้านข้าง

คุณสมบัติของวงกลมซึ่งมีจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมอยู่

วงกลมที่มีเส้นรอบวงซึ่งขึ้นอยู่กับความยาวของด้านที่ฐานนั้น มีคุณสมบัติเป็นของตัวเอง ให้เราระบุคุณสมบัติของวงกลมที่ล้อมรอบ:

เพื่อให้เข้าใจหลักการของวงกลมล้อมรอบได้ชัดเจนยิ่งขึ้น เรามาแก้ปัญหาง่ายๆ กันดีกว่า สมมติว่าเราได้รูปสามเหลี่ยม Δ ABC ซึ่งด้านต่างๆ เท่ากับ 10, 15 และ 8.5 ซม. รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม (FB) คือ 7.9 ซม. จงหาค่าองศาที่วัดได้ในแต่ละมุม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

รูปที่ 2 การค้นหารัศมีของวงกลมโดยใช้อัตราส่วนของด้านและไซน์ของมุม

วิธีแก้: ตามทฤษฎีบทของไซน์ที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ เราจะหาค่าของไซน์ของแต่ละมุมแยกจากกัน โดยเงื่อนไขทราบว่าด้าน AB คือ 10 ซม. ลองคำนวณค่าของ C:

จากการใช้ค่าของตาราง Bradis เราพบว่าการวัดระดับของมุม C คือ 39° เมื่อใช้วิธีเดียวกัน เราจะสามารถหาการวัดมุมที่เหลือได้:

เราจะรู้ได้อย่างไรว่า CAB = 33° และ ABC = 108° ทีนี้ เมื่อทราบค่าของไซน์ของแต่ละมุมและรัศมีแล้ว ลองหาพื้นที่โดยการแทนที่ค่าที่พบ:

คำตอบ: พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ 40.31 ตารางเซนติเมตร และมุมคือ 33°, 108° และ 39° ตามลำดับ

สำคัญ!เมื่อแก้ไขปัญหาประเภทนี้ การมีตาราง Bradis หรือแอปพลิเคชันที่เกี่ยวข้องบนสมาร์ทโฟนของคุณอยู่เสมอจะมีประโยชน์ เนื่องจากกระบวนการแบบแมนนวลอาจใช้เวลานาน นอกจากนี้ เพื่อประหยัดเวลามากขึ้น ไม่จำเป็นต้องสร้างจุดกึ่งกลางทั้งสามจุดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากหรือสามเส้นครึ่ง ส่วนหนึ่งในสามจะตัดกันที่จุดตัดของสองตัวแรกเสมอ และสำหรับการก่อสร้างแบบออร์โธดอกซ์ ส่วนที่ 3 มักจะแล้วเสร็จ บางทีนี่อาจผิดในแง่ของอัลกอริทึม แต่ในการสอบ Unified State หรือการสอบอื่น ๆ จะช่วยประหยัดเวลาได้มาก

การคำนวณรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

จุดทุกจุดของวงกลมอยู่ห่างจากศูนย์กลางเท่ากันที่ระยะห่างเท่ากัน ความยาวของส่วนนี้ (จากและถึง) เรียกว่ารัศมี มีสองประเภทขึ้นอยู่กับสภาพแวดล้อมที่เรามี - ภายในและภายนอก แต่ละรายการคำนวณโดยใช้สูตรของตัวเองและเกี่ยวข้องโดยตรงกับการคำนวณพารามิเตอร์เช่น:

สี่เหลี่ยม;
การวัดระดับของแต่ละมุม
ความยาวด้านและเส้นรอบวง

รูปที่ 3 ตำแหน่งของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ภายในรูปสามเหลี่ยม

คุณสามารถคำนวณความยาวของระยะทางจากศูนย์กลางถึงจุดสัมผัสทั้งสองด้านได้ด้วยวิธีต่อไปนี้: ผ่านด้านข้าง ด้านข้าง และมุม(สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว)

การใช้กึ่งปริมณฑล

กึ่งเส้นรอบรูปคือครึ่งหนึ่งของผลรวมความยาวของด้านทั้งหมด วิธีนี้ถือเป็นวิธีที่ได้รับความนิยมและเป็นสากลมากที่สุดเพราะไม่ว่าจะให้สามเหลี่ยมประเภทใดตามเงื่อนไขก็เหมาะสำหรับทุกคน ขั้นตอนการคำนวณมีดังนี้:

หากให้ "ถูกต้อง"

ข้อดีเล็กๆ น้อยๆ ประการหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม "อุดมคติ" ก็คือ วงกลมที่จารึกไว้และวงกลมที่ล้อมรอบจะมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดเดียวกัน- สะดวกเมื่อสร้างตัวเลข อย่างไรก็ตาม ใน 80% ของกรณี คำตอบคือ “น่าเกลียด” ความหมายในที่นี้คือ รัศมีของพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกจารึกไว้นั้นแทบจะไม่มีทั้งหมดเลย ค่อนข้างจะตรงกันข้าม สำหรับการคำนวณแบบง่าย ให้ใช้สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยม:

หากด้านข้างมีความยาวเท่ากัน

งานประเภทหนึ่งของรัฐ ข้อสอบจะเป็นการหารัศมีของวงกลมที่ฝังไว้ของสามเหลี่ยมซึ่งมีด้านสองด้านเท่ากันและด้านที่สามไม่เท่ากัน ในกรณีนี้ เราขอแนะนำให้ใช้อัลกอริทึมนี้ ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาในการค้นหาเส้นผ่านศูนย์กลางของพื้นที่ที่ถูกจารึกไว้ได้อย่างมาก รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมที่มี "ด้าน" เท่ากันคำนวณโดยสูตร:

เราจะสาธิตการใช้สูตรเหล่านี้ให้ชัดเจนยิ่งขึ้นในปัญหาต่อไปนี้ ขอให้เรามีรูปสามเหลี่ยม (Δ HJI) โดยที่บริเวณใกล้เคียงถูกจารึกไว้ที่จุด K ความยาวของด้าน HJ = 16 ซม., JI = 9.5 ซม. และด้าน HI คือ 19 ซม. (รูปที่ 4) ค้นหารัศมีของพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกจารึกไว้ โดยรู้ด้านข้าง

รูปที่ 4 การค้นหาค่ารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

วิธีแก้ไข: เพื่อหารัศมีของสภาพแวดล้อมที่ถูกจารึกไว้ เราจะหาค่ากึ่งเส้นรอบวง:

จากที่นี่เมื่อทราบกลไกการคำนวณเราจะพบค่าต่อไปนี้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องมีความยาวของแต่ละด้าน (กำหนดตามเงื่อนไข) รวมถึงครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงปรากฎว่า:

ตามมาด้วยรัศมีที่ต้องการคือ 3.63 ซม. ตามเงื่อนไขทุกด้านเท่ากันแล้วรัศมีที่ต้องการจะเท่ากับ:

โดยมีเงื่อนไขว่ารูปหลายเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว (เช่น i = h = 10 ซม., j = 8 ซม.) เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมด้านในซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด K จะเท่ากับ:

ปัญหาอาจมีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม 90° ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องจำสูตร ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมจะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง มันดูชัดเจนยิ่งขึ้นเช่นนี้:

สำคัญ!หากงานคือการหารัศมีภายในเราไม่แนะนำให้ทำการคำนวณโดยใช้ค่าของไซน์และโคไซน์ของมุมซึ่งไม่ทราบค่าของตารางอย่างแม่นยำ หากไม่สามารถหาความยาวเป็นอย่างอื่นได้ อย่าพยายาม "ดึง" ค่าจากใต้ราก ใน 40% ของปัญหา ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นค่าที่ยอดเยี่ยม (เช่น ไม่มีที่สิ้นสุด) และค่าคอมมิชชันอาจไม่นับคำตอบ (แม้ว่าจะถูกต้องก็ตาม) เนื่องจากความไม่ถูกต้องหรือรูปแบบการนำเสนอที่ไม่ถูกต้อง ให้ความสนใจเป็นพิเศษว่าสูตรสำหรับเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมสามารถปรับเปลี่ยนได้อย่างไรโดยขึ้นอยู่กับข้อมูลที่เสนอ "ช่องว่าง" ดังกล่าวช่วยให้คุณ "เห็น" สถานการณ์ในการแก้ปัญหาล่วงหน้าและเลือกวิธีแก้ปัญหาที่ประหยัดที่สุด

รัศมีและพื้นที่วงกลมชั้นใน

การคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมให้ใช้เท่านั้น รัศมีและความยาวด้านของรูปหลายเหลี่ยม:

หากคำชี้แจงปัญหาไม่ได้ให้ค่ารัศมีโดยตรง แต่ให้เฉพาะพื้นที่ สูตรพื้นที่ที่ระบุจะถูกแปลงเป็นดังนี้:

ลองพิจารณาผลของสูตรสุดท้ายโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น สมมติว่าเราได้รับรูปสามเหลี่ยมซึ่งระบุพื้นที่ใกล้เคียงไว้ พื้นที่ใกล้เคียงคือ 4π และด้านข้างคือ 4, 5 และ 6 ซม. ตามลำดับ ลองคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดโดยการคำนวณกึ่งเส้นรอบวง

ด้วยการใช้อัลกอริธึมข้างต้น เราคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้:

เนื่องจากวงกลมสามารถเขียนไว้ในสามเหลี่ยมใดๆ ก็ได้ จำนวนความแปรผันในการค้นหาพื้นที่จึงเพิ่มขึ้นอย่างมาก เหล่านั้น. การหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมต้องทราบความยาวของแต่ละด้านรวมทั้งค่าของรัศมีด้วย

สามเหลี่ยมจารึกไว้ในเรขาคณิตวงกลมเกรด 7

สามเหลี่ยมมุมฉากถูกจารึกไว้ในวงกลม

บทสรุป

จากสูตรเหล่านี้ คุณจะมั่นใจได้ว่าความซับซ้อนของปัญหาใดๆ ในการใช้วงกลมที่เขียนไว้และวงกลมที่เขียนไว้นั้นอยู่ที่การดำเนินการเพิ่มเติมเพื่อค้นหาค่าที่ต้องการเท่านั้น ปัญหาประเภทนี้ต้องการเพียงความเข้าใจอย่างถ่องแท้ถึงสาระสำคัญของสูตรตลอดจนความสมเหตุสมผลของการใช้งาน จากการฝึกแก้โจทย์เราสังเกตว่าในอนาคตจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตจะปรากฏในหัวข้อเรขาคณิตอื่นๆ ต่อไป ดังนั้นจึงไม่ควรเริ่มดำเนินการ มิฉะนั้น การแก้ปัญหาอาจล่าช้าออกไปโดยใช้การเคลื่อนไหวที่ไม่จำเป็นและข้อสรุปเชิงตรรกะ

วงกลมจะถือว่าถูกจารึกไว้ภายในขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยมปกติหากอยู่ภายในและสัมผัสเส้นที่ลากผ่านทุกด้าน มาดูวิธีหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลมกัน จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมของรูปหลายเหลี่ยมตัดกัน รัศมีคำนวณได้: R=S/P; S คือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม P คือกึ่งปริมณฑลของวงกลม

ในรูปสามเหลี่ยม

มีเพียงวงกลมเดียวเท่านั้นที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมปกติ ซึ่งจุดศูนย์กลางเรียกว่าจุดศูนย์กลาง ซึ่งอยู่ห่างจากทุกด้านเท่ากันและเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง

ในรูปสี่เหลี่ยม

บ่อยครั้งที่คุณต้องตัดสินใจว่าจะหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปทรงเรขาคณิตนี้อย่างไร จะต้องนูน (หากไม่มีทางแยกตัวเอง) วงกลมสามารถเขียนไว้ได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของด้านตรงข้ามเท่ากัน: AB+CD=BC+AD

ในกรณีนี้ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม จะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว (ตามทฤษฎีบทของนิวตัน) ส่วนที่มีปลายอยู่ที่ด้านตรงข้ามของจุดตัดรูปสี่เหลี่ยมปกติอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่าเส้นตรงแบบเกาส์เซียน จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่ความสูงของรูปสามเหลี่ยมตัดกับจุดยอดและเส้นทแยงมุม (ตามทฤษฎีบทของโบรคาร์ด)

ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ถือเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านยาวเท่ากัน รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในนั้นสามารถคำนวณได้หลายวิธี

ในการดำเนินการนี้อย่างถูกต้อง ให้ค้นหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหากทราบพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและความยาวของด้านข้าง ใช้สูตร r=S/(2Xa) ตัวอย่างเช่น หากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส 200 มม. ความยาวด้านคือ 20 มม. ดังนั้น R = 200/(2X20) นั่นคือ 5 มม.
ทราบมุมแหลมของจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง จากนั้นคุณต้องใช้สูตร r=v(S*sin(α)/4) ตัวอย่างเช่น มีพื้นที่ 150 มม. และมุมที่ทราบ 25 องศา R= v(150*sin(25°)/4) µ v(150*0.423/4) µ v15.8625 หยาบคาย 3.983 มม.
มุมทุกมุมในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากัน ในสถานการณ์เช่นนี้ รัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวด้านหนึ่งของรูปนี้ หากเราให้เหตุผลตาม Euclid ซึ่งระบุว่าผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 360 องศา มุมหนึ่งจะเท่ากับ 90 องศา เหล่านั้น. มันจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

วงกลมถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ในบทความนี้ ฉันได้รวบรวมปัญหาต่างๆ ไว้ให้คุณแล้ว โดยคุณจะได้รับรูปสามเหลี่ยมที่มีวงกลมเขียนไว้หรือล้อมไว้รอบๆ เงื่อนไขจะถามคำถามในการหารัศมีของวงกลมหรือด้านของรูปสามเหลี่ยม

สะดวกในการแก้ไขงานเหล่านี้โดยใช้สูตรที่นำเสนอ ฉันแนะนำให้เรียนรู้มัน มันมีประโยชน์มากไม่เพียงแต่เมื่อแก้ไขงานประเภทนี้เท่านั้น สูตรหนึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมกับด้านข้างและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม อีกสูตรหนึ่งคือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้รอบรูปสามเหลี่ยม รวมถึงด้านข้างและพื้นที่ด้วย

S – พื้นที่สามเหลี่ยม

พิจารณางาน:

27900 ด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากับ 1 มุมที่จุดยอดตรงข้ามฐานเท่ากับ 120 0 จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมที่จำกัดขอบเขตของสามเหลี่ยมนี้

ในที่นี้มีวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม

วิธีแรก:

เราสามารถหาเส้นผ่านศูนย์กลางได้ถ้าทราบรัศมี เราใช้สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม:

โดยที่ a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม

S – พื้นที่สามเหลี่ยม

เรารู้สองด้าน (ด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) เราสามารถคำนวณด้านที่สามได้โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์:

ทีนี้ลองคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม:

*เราใช้สูตร (2) จาก

คำนวณรัศมี:

ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางจะเท่ากับ 2

วิธีที่สอง:

สิ่งเหล่านี้เป็นการคำนวณทางจิต สำหรับผู้ที่มีทักษะในการแก้ปัญหาด้วยรูปหกเหลี่ยมที่เขียนเป็นวงกลม จะทราบทันทีว่าด้านของรูปหกเหลี่ยม AC และ BC “ตรงกัน” กับด้านของรูปหกเหลี่ยมที่เขียนไว้ในวงกลม (มุมของรูปหกเหลี่ยมคือ 120 0 พอดีตามคำชี้แจงปัญหา) จากนั้นตามความจริงที่ว่าด้านของรูปหกเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมนั้นเท่ากับรัศมีของวงกลมนี้ จึงไม่ยากที่จะสรุปได้ว่าเส้นผ่านศูนย์กลางจะเท่ากับ 2AC นั่นคือสอง

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับรูปหกเหลี่ยม โปรดดูข้อมูลใน (รายการที่ 5)

คำตอบ: 2

27931. รัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วคือ 2 จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก กับสามเหลี่ยมนี้ โปรดระบุในคำตอบของคุณ.

โดยที่ a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม

S – พื้นที่สามเหลี่ยม

เราไม่ทราบด้านของสามเหลี่ยมหรือพื้นที่ของมัน ให้เราแทนขาเป็น x แล้วด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับ:

และพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ 0.5x 2

วิธี

ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับ:

ในคำตอบของคุณคุณต้องเขียน:

คำตอบ: 4

27933. ในรูปสามเหลี่ยม ABC AC = 4, BC = 3, มุม คเท่ากับ 90 0 - ค้นหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ลองใช้สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยม:

โดยที่ a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม

S – พื้นที่สามเหลี่ยม

รู้จักด้านสองด้าน (นี่คือขา) เราสามารถคำนวณด้านที่สามได้ (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) และเรายังคำนวณพื้นที่ได้ด้วย

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

มาหาพื้นที่กัน:

ดังนั้น:

คำตอบ: 1

27934 ด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ 5 และฐานคือ 6 จงหารัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน

ลองใช้สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยม:

โดยที่ a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม

S – พื้นที่สามเหลี่ยม

รู้ทุกด้านแล้ว มาคำนวณพื้นที่กัน เราหาได้จากสูตรของ Heron:

แล้ว

ดังนั้น:

คำตอบ: 1.5

27624 เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมคือ 12 และรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้คือ 1 จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ดูโซลูชัน

27932 ขาของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน- หารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมนี้

สรุปสั้นๆ.

หากเงื่อนไขให้เป็นรูปสามเหลี่ยมและวงกลมที่จารึกไว้หรือล้อมรอบ และเรากำลังพูดถึงด้าน พื้นที่ รัศมี ให้จำสูตรที่ระบุทันทีแล้วลองใช้สูตรเหล่านั้นเมื่อแก้ไข หากไม่ได้ผล ให้มองหาวิธีแก้ไขปัญหาอื่น

นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

บ่อยครั้งเมื่อแก้ไขปัญหาทางเรขาคณิต คุณต้องดำเนินการกับตัวเลขเสริม เช่น การหารัศมีของวงกลมภายในหรือวงกลมที่อยู่ภายในกรอบ เป็นต้น บทความนี้จะแสดงวิธีหารัศมีของวงกลมที่สามเหลี่ยมล้อมรอบไว้ หรืออีกนัยหนึ่งคือรัศมีของวงกลมที่สามเหลี่ยมนั้นถูกจารึกไว้

วิธีค้นหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม - สูตรทั่วไป

สูตรทั่วไปมีดังนี้: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c) โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมในกรอบวงกลม p คือเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหารด้วย 2 (กึ่งปริมณฑล) a, b, c – ด้านของสามเหลี่ยม

หาเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมถ้า a = 3, b = 6, c = 7

ดังนั้นเราจึงคำนวณกึ่งปริมณฑลตามสูตรข้างต้น:
พี = (ก + ข + ค)/2 = 3 + 6 + 7 = 16 => 16/2 = 8

เราแทนค่าลงในสูตรและรับ:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

คำตอบ: R = 126/16√5

วิธีค้นหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

การหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมด้านเท่า มีสูตรง่ายๆ คือ R = a/√3 โดยที่ a คือขนาดของด้าน

ตัวอย่าง: ด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ 5 จงหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

เนื่องจากทุกด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน ในการแก้ปัญหา คุณเพียงแค่ต้องใส่ค่าของมันลงในสูตร เราได้: R = 5/√3

คำตอบ: R = 5/√3

วิธีค้นหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมฉาก

สูตรดังต่อไปนี้: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2 โดยที่ a และ b คือขา และ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ถ้าคุณบวกกำลังสองของขาลงในสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณจะได้กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังที่เห็นได้จากสูตร นิพจน์นี้อยู่ใต้ราก โดยการคำนวณรากของกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เราจะได้ความยาวนั้นเอง การคูณนิพจน์ผลลัพธ์ด้วย 1/2 จะนำเราไปสู่นิพจน์ 1/2 × c = c/2 ในที่สุด

ตัวอย่าง: คำนวณรัศมีของวงกลมที่ขอบถ้าขาของสามเหลี่ยมเป็น 3 และ 4 แทนค่าลงในสูตร เราได้: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5

ในนิพจน์นี้ 5 คือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

คำตอบ: R = 2.5

วิธีค้นหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สูตรดังต่อไปนี้: R = a²/√(4a² – b²) โดยที่ a คือความยาวของต้นขาของรูปสามเหลี่ยม และ b คือความยาวของฐาน

ตัวอย่าง: คำนวณรัศมีของวงกลมถ้าสะโพก = 7 และฐาน = 8

วิธีแก้ไข: แทนค่าเหล่านี้ลงในสูตรแล้วได้: R = 7²/√(4 × 7² – 8²)

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132 คำตอบสามารถเขียนได้โดยตรงเช่นนี้

คำตอบ: R = 49/√132

แหล่งข้อมูลออนไลน์สำหรับการคำนวณรัศมีของวงกลม

อาจเป็นเรื่องง่ายมากที่จะสับสนในสูตรเหล่านี้ทั้งหมด ดังนั้น หากจำเป็น คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ที่จะช่วยคุณแก้ปัญหาในการหารัศมีได้ หลักการทำงานของมินิโปรแกรมดังกล่าวนั้นง่ายมาก แทนค่าด้านลงในช่องที่เหมาะสมแล้วได้คำตอบสำเร็จรูป คุณสามารถเลือกปัดเศษคำตอบได้หลายตัวเลือก: ทศนิยม, ร้อย, พัน ฯลฯ

วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม

การดำรงอยู่ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม

ให้เราจำคำจำกัดความ เส้นแบ่งครึ่งมุม .

คำจำกัดความ 1 .เส้นแบ่งครึ่งมุม เรียกว่ารังสีที่แบ่งมุมออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน

ทฤษฎีบท 1 (คุณสมบัติพื้นฐานของเส้นแบ่งครึ่งมุม) - แต่ละจุดของเส้นแบ่งครึ่งมุมอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน (รูปที่ 1)

ข้าว. 1

การพิสูจน์ ดี นอนอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุมบ.บ , และ เด และ ดีเอฟ ที่ด้านข้างของมุม (รูปที่ 1)สามเหลี่ยมมุมฉาก ADF และ อดี เท่ากัน เนื่องจากมีมุมแหลมเท่ากันดีเอเอฟ และ แด และด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.ศ - ทั่วไป. เพราะฉะนั้น,

DF = DE

Q.E.D.

ทฤษฎีบท 2 (กลับกันกับทฤษฎีบท 1) - หากมีแสดงว่าอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม (รูปที่ 2)

ข้าว. 2

การพิสูจน์ - พิจารณาจุดใดก็ได้ดี นอนอยู่ในมุมบ.บ และอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน ให้หลุดจากจุดนั้นดี ตั้งฉาก เด และ ดีเอฟ ที่ด้านข้างของมุม (รูปที่ 2)สามเหลี่ยมมุมฉาก ADF และ อดี เท่ากัน เนื่องจากมีขาเท่ากันดีเอฟ และ เด และด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.ศ - ทั่วไป. เพราะฉะนั้น,

Q.E.D.

คำจำกัดความ 2 - วงกลมเรียกว่า วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในมุม ถ้าเป็นด้านของมุมนี้

ทฤษฎีบท 3 - ถ้าวงกลมถูกเขียนไว้ในมุมหนึ่ง ระยะห่างจากจุดยอดของมุมถึงจุดสัมผัสของวงกลมกับด้านข้างของมุมจะเท่ากัน

การพิสูจน์ - ปล่อยให้ประเด็น ดี – จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในมุมบ.บ และจุดต่างๆ อี และ เอฟ – จุดสัมผัสของวงกลมกับด้านข้างของมุม (รูปที่ 3)

รูปที่ 3

ก , ข , ค - ด้านของสามเหลี่ยม  ส -สี่เหลี่ยม,

ร – รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้  พี – กึ่งปริมณฑล

ดูผลลัพธ์ของสูตร

ก – ด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ,   ข - ฐาน, ร – รัศมีวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ก ร – รัศมีวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ดูผลลัพธ์ของสูตร

ที่ไหน

แล้วในกรณีของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เมื่อใด

เราได้รับ

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็น

ทฤษฎีบท 7 - เพื่อความเท่าเทียมกัน

ที่ไหน ก – ด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าร – รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ (รูปที่ 8)

ข้าว. 8

การพิสูจน์ .

แล้วในกรณีของสามเหลี่ยมด้านเท่า เมื่อใด

ข = ก,

เราได้รับ

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็น

ความคิดเห็น - ในแบบฝึกหัด ฉันแนะนำให้หาสูตรรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยตรง เช่น โดยไม่ต้องใช้สูตรทั่วไปสำหรับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ หรือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ทฤษฎีบท 8 - สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่:

ที่ไหน ก , ข – ขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ค – ด้านตรงข้ามมุมฉาก , ร – รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

การพิสูจน์ - พิจารณารูปที่ 9

ข้าว. 9

เนื่องจากเป็นรูปสี่เหลี่ยมซีดีออฟ เป็น ซึ่งมีด้านประชิดกันทำ และ ของ เท่ากัน แล้วสี่เหลี่ยมนี้ก็เท่ากับ . เพราะฉะนั้น,

CB = CF= r,

โดยอาศัยทฤษฎีบทที่ 3 ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

ดังนั้นเราจึงคำนึงถึงด้วย

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็น

การเลือกโจทย์ในหัวข้อ “วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม”

วงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมหน้าจั่วแบ่งด้านข้างหนึ่งด้าน ณ จุดที่สัมผัสกันออกเป็นสองส่วน โดยมีความยาว 5 และ 3 นับจากจุดยอดตรงข้ามฐาน หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม.

ในรูปสามเหลี่ยม ABC AC=4, BC=3, มุม C คือ 90° ค้นหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ขาของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ 2+ หารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมนี้

รัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วคือ 2 จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก c ของสามเหลี่ยมนี้ โปรดระบุ c(–1) ในคำตอบของคุณ

เรานำเสนอปัญหาหลายประการจากการสอบ Unified State พร้อมวิธีแก้ไข

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วจะเท่ากับ จงหาด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้ โปรดระบุในคำตอบของคุณ

สามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและมีหน้าจั่ว ซึ่งหมายความว่าขาของมันเหมือนกัน ให้ขาแต่ละข้างเท่ากัน- แล้วด้านตรงข้ามมุมฉากก็เท่ากัน.

เราเขียนพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ได้สองวิธี:

เมื่อเทียบนิพจน์เหล่านี้ เราจะได้สิ่งนั้น- เนื่องจากเราเข้าใจแล้ว- แล้ว.

เราจะเขียนตอบ.

คำตอบ:.

ภารกิจที่ 2

1. ฟรี มีสองด้าน 10 ซม. และ 6 ซม. (AB และ BC) ค้นหารัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวงและวงกลมที่มีเส้นรอบวง
ปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างอิสระด้วยการแสดงความคิดเห็น

สารละลาย:

ใน.

1) ค้นหา:
2) พิสูจน์:และตามหาซีเค
3) ค้นหา: รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบและวงกลมที่ถูกจารึกไว้

สารละลาย:

ภารกิจที่ 6

ร รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ- จงหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ที่ให้ไว้ :

หา: ระบบปฏิบัติการ=?
สารละลาย: ในกรณีนี้ ปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือสูตรสำหรับ R กรณีที่สองจะง่ายกว่า เนื่องจากสูตรสำหรับ R ได้มาจากทฤษฎีบท