ในทางคณิตศาสตร์ รู้จักรูปสี่เหลี่ยมหลายประเภท: สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมด้านขนาน หนึ่งในนั้นคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนชนิดหนึ่งซึ่งมีด้านสองด้านขนานกันและอีกสองด้านไม่ขนานกัน ด้านตรงข้ามที่ขนานกันเรียกว่าฐาน และอีกสองด้านเรียกว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างเรียกว่าเส้นกึ่งกลาง สี่เหลี่ยมคางหมูมีหลายประเภท: หน้าจั่ว, สี่เหลี่ยม, โค้ง สี่เหลี่ยมคางหมูแต่ละประเภทมีสูตรการหาพื้นที่

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

ในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของฐานและความสูงของมัน ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นส่วนตั้งฉากกับฐาน ให้ฐานบนเป็น a ฐานล่างเป็น b และความสูงเป็น h จากนั้นคุณสามารถคำนวณพื้นที่ S โดยใช้สูตร:

S = ½ * (a+b) * ชม

เหล่านั้น. นำผลรวมของฐานคูณด้วยความสูงครึ่งหนึ่ง

นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูได้หากทราบความสูงและเส้นกึ่งกลาง ให้เราแสดงเส้นกลาง - ม. แล้ว

มาแก้ปัญหาที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า: รู้จักความยาวของด้านทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมคางหมู - a, b, c, d จากนั้นหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:

ถ้าทราบความยาวของเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างเส้นทแยงมุม พื้นที่จะถูกค้นหาดังนี้

S = ½ * d1 * d2 * บาป α

โดยที่ d ที่มีดัชนี 1 และ 2 เป็นเส้นทแยงมุม ในสูตรนี้ คำนวณไซน์ของมุม

เมื่อพิจารณาความยาวที่ทราบของฐาน a และ b และมุมสองมุมที่ฐานล่าง พื้นที่จะถูกคำนวณดังนี้

S = ½ * (b2 - a2) * (บาป α * บาป β / บาป(α + β))

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมคางหมู ความแตกต่างก็คือสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนซึ่งมีแกนสมมาตรผ่านจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามสองด้าน ด้านของมันเท่ากัน

มีหลายวิธีในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

• ผ่านความยาวทั้งสามด้าน ในกรณีนี้ความยาวของด้านจะตรงกันดังนั้นจึงถูกกำหนดด้วยค่าเดียว - c และ a และ b - ความยาวของฐาน:

• ถ้าทราบความยาวของฐานบน ด้านข้าง และมุมที่ฐานล่าง พื้นที่จะถูกคำนวณดังนี้

S = c * บาป α * (a + c * cos α)

โดยที่ a คือฐานบน c คือด้านข้าง

• หากทราบความยาวของฐานล่างแทนฐานบน - b พื้นที่จะคำนวณโดยใช้สูตร:

S = ค * บาป α * (b – c * cos α)

• ถ้าเมื่อทราบสองฐานและมุมที่ฐานล่าง พื้นที่จะถูกคำนวณโดยใช้แทนเจนต์ของมุม:

S = ½ * (b2 – a2) * ตาล α

• พื้นที่ยังคำนวณผ่านเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างเส้นทแยงมุมด้วย ในกรณีนี้ เส้นทแยงมุมจะมีความยาวเท่ากัน ดังนั้นเราจึงแสดงแต่ละเส้นด้วยตัวอักษร d โดยไม่มีตัวห้อย:

S = ½ * d2 * บาป α

• ลองคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยทราบความยาวของด้าน เส้นกึ่งกลาง และมุมที่ฐานด้านล่าง

ให้ด้านข้างเป็น c เส้นกลางเป็น m และมุมเป็น a แล้ว:

S = ม. * ค * บาป α

บางครั้งคุณสามารถเขียนวงกลมไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูด้านเท่าได้ โดยมีรัศมีเท่ากับ r

เป็นที่ทราบกันดีว่าวงกลมสามารถเขียนไว้ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูใดๆ ได้หากผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้านข้าง จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้จากรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และมุมที่ฐานด้านล่าง:

S = 4r2 / ไซน์α

การคำนวณแบบเดียวกันนี้ทำโดยใช้เส้นผ่านศูนย์กลาง D ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ (โดยบังเอิญมันเกิดขึ้นพร้อมกับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู):

เมื่อทราบฐานและมุม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วจะถูกคำนวณดังนี้:

S = a * b / บาป α

(สูตรนี้และสูตรต่อๆ ไปใช้ได้เฉพาะกับสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีวงกลมกำกับไว้เท่านั้น)

จากฐานและรัศมีของวงกลม จะได้พื้นที่ดังนี้

หากทราบเฉพาะฐาน พื้นที่จะคำนวณโดยใช้สูตร:

ผ่านฐานและเส้นข้างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีวงกลมจารึกไว้และผ่านฐานและเส้นกลาง - m คำนวณดังนี้:

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมคางหมูจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้าด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน ในกรณีนี้ความยาวของด้านตรงกับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยม เมื่อหาพื้นที่ของแต่ละรูปได้แล้วให้บวกผลลัพธ์แล้วจะได้พื้นที่รวมของรูปนั้น

นอกจากนี้สูตรทั่วไปในการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูยังเหมาะสำหรับการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูอีกด้วย

• หากทราบความยาวของฐานและความสูง (หรือด้านที่ตั้งฉากกัน) พื้นที่จะคำนวณโดยใช้สูตร:

ส = (ก + ข) * ชม. / 2

ด้านข้าง ด้าน c สามารถทำหน้าที่เป็น h (ความสูง) จากนั้นสูตรจะมีลักษณะดังนี้:

ส = (ก + ข) * ค / 2

• อีกวิธีหนึ่งในการคำนวณพื้นที่คือการคูณความยาวของเส้นกึ่งกลางด้วยความสูง:

หรือตามความยาวของด้านตั้งฉากด้านข้าง:

• วิธีต่อไปในการคำนวณคือผลคูณครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

S = ½ * d1 * d2 * บาป α

หากเส้นทแยงมุมตั้งฉากกัน สูตรจะลดรูปเป็น:

ส = ½ * d1 * d2

• วิธีคำนวณอีกวิธีหนึ่งคือใช้ค่ากึ่งเส้นรอบรูป (ผลรวมของความยาวของด้านตรงข้ามสองด้าน) และรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน

สูตรนี้ใช้ได้กับเบส หากเราหาความยาวของด้าน ด้านใดด้านหนึ่งจะมีรัศมีสองเท่า สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

ส = (2r + c) * ร

• หากวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู พื้นที่นั้นจะถูกคำนวณในลักษณะเดียวกัน:

โดยที่ m คือความยาวของเส้นกึ่งกลาง

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

สี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งคือรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบ y = f(x) ซึ่งกำหนดไว้บนส่วน แกน x และเส้นตรง x = a, x = b โดยพื้นฐานแล้ว ด้านทั้งสองขนานกัน (ฐาน) ด้านที่สามตั้งฉากกับฐาน และด้านที่สี่เป็นเส้นโค้งที่สอดคล้องกับกราฟของฟังก์ชัน

ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งผ่านอินทิกรัลโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

นี่คือวิธีคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูประเภทต่างๆ แต่นอกเหนือจากคุณสมบัติของด้านข้างแล้ว รูปสี่เหลี่ยมคางหมูยังมีคุณสมบัติของมุมเหมือนกันอีกด้วย เช่นเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งหมด ผลรวมของมุมภายในของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 360 องศา และผลรวมของมุมประชิดด้านคือ 180 องศา

มีหลายวิธีในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู โดยปกติแล้ว ครูสอนคณิตศาสตร์จะรู้วิธีการคำนวณหลายวิธี ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติม:
1) โดยที่ AD และ BC เป็นฐาน และ BH คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู พิสูจน์: วาดเส้นทแยงมุม BD และแสดงพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABD และ CDB ผ่านผลคูณครึ่งหนึ่งของฐานและความสูง:

โดยที่ DP คือความสูงภายนอกใน

ให้เราเพิ่มความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทีละเทอมและพิจารณาว่าความสูง BH และ DP เท่ากันเราได้รับ:

ลองเอามันออกจากวงเล็บ

Q.E.D.

ข้อพิสูจน์ของสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู:
เนื่องจากผลรวมครึ่งหนึ่งของฐานเท่ากับ MN ซึ่งเป็นเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

2) การประยุกต์ใช้สูตรทั่วไปสำหรับพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน.
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุมคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา
เพื่อพิสูจน์มันก็เพียงพอแล้วที่จะแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสามเหลี่ยม 4 รูปแสดงพื้นที่ของแต่ละอันผ่าน "ผลคูณของเส้นทแยงมุมครึ่งหนึ่งและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน" (ถือเป็นมุมเพิ่มนิพจน์ผลลัพธ์ นำพวกมันออกจากวงเล็บเหลี่ยมและแยกตัวประกอบวงเล็บนี้โดยใช้วิธีการจัดกลุ่มเพื่อให้ได้ค่าที่เท่ากันกับนิพจน์

3) วิธีการเลื่อนแนวทแยง
นี่คือชื่อของฉัน ครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์จะไม่พบหัวข้อดังกล่าวในหนังสือเรียนของโรงเรียน คำอธิบายของเทคนิคสามารถพบได้ในหนังสือเรียนเพิ่มเติมเท่านั้นเพื่อเป็นตัวอย่างการแก้ปัญหา ฉันอยากจะทราบว่าข้อเท็จจริงที่น่าสนใจและมีประโยชน์ส่วนใหญ่เกี่ยวกับการวางแผนระนาบนั้นครูสอนคณิตศาสตร์เปิดเผยแก่นักเรียนในกระบวนการปฏิบัติงานภาคปฏิบัติ นี่เป็นสิ่งที่ไม่ดีอย่างยิ่ง เนื่องจากนักเรียนจำเป็นต้องแยกพวกมันออกเป็นทฤษฎีบทที่แยกจากกันและเรียกพวกมันว่า "ชื่อใหญ่" หนึ่งในนั้นคือ "การเปลี่ยนแปลงในแนวทแยง" เรากำลังพูดถึงเรื่องอะไร? ขอให้เราลากเส้นขนานกับ AC ผ่านจุดยอด B จนกระทั่งมันตัดกับฐานล่างที่จุด E ในกรณีนี้ EBCA รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ตามคำจำกัดความ) ดังนั้น BC=EA และ EB=AC ความเท่าเทียมกันประการแรกเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเราในตอนนี้ เรามี:

โปรดทราบว่าสามเหลี่ยม BED ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูนั้นมีคุณสมบัติที่น่าทึ่งหลายประการ:
1) พื้นที่ของมันเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู
2) หน้าจั่วของมันเกิดขึ้นพร้อมกันกับหน้าจั่วของสี่เหลี่ยมคางหมูนั่นเอง
3) มุมบนของมันที่จุดยอด B เท่ากับมุมระหว่างเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู (ซึ่งมักใช้ในปัญหา)
4) ค่ามัธยฐาน BK เท่ากับระยะห่าง QS ระหว่างจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ฉันเพิ่งพบการใช้คุณสมบัตินี้เมื่อเตรียมนักเรียนวิชากลศาสตร์และคณิตศาสตร์ที่ Moscow State University โดยใช้หนังสือเรียนของ Tkachuk เวอร์ชัน 1973 (ปัญหาระบุไว้ที่ด้านล่างของหน้า)

เทคนิคพิเศษสำหรับติวเตอร์คณิต

บางครั้งฉันเสนอปัญหาโดยใช้วิธีที่ยุ่งยากมากในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ฉันจัดว่าเป็นเทคนิคพิเศษเพราะในทางปฏิบัติครูผู้สอนจะใช้มันน้อยมาก หากคุณต้องการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เฉพาะในส่วน B คุณไม่จำเป็นต้องอ่านเกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้ สำหรับคนอื่นๆ ฉันจะบอกคุณเพิ่มเติม ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นสองเท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ปลายด้านหนึ่งและตรงกลางของอีกด้านหนึ่งนั่นคือสามเหลี่ยม ABS ในรูป:
พิสูจน์: วาดส่วนสูง SM และ SN ในรูปสามเหลี่ยม BCS และ ADS และแสดงผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้:

เนื่องจากจุด S เป็นจุดกึ่งกลางของ CD ดังนั้น (พิสูจน์ด้วยตัวเอง) ลองหาผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยม:

เนื่องจากผลรวมนี้กลายเป็นเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูแล้วก็ครึ่งหลัง ฯลฯ

ในการรวบรวมเทคนิคพิเศษของผู้สอน ฉันจะรวมรูปแบบการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วด้านข้าง: โดยที่ p คือกึ่งปริมณฑลของสี่เหลี่ยมคางหมู ฉันจะไม่ให้หลักฐาน มิฉะนั้นครูสอนคณิตศาสตร์ของคุณจะถูกทิ้งให้ไม่มีงานทำ :) มาชั้นเรียน!

ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู:

บันทึกของครูสอนคณิตศาสตร์: รายการด้านล่างนี้ไม่ได้ประกอบระเบียบวิธีสำหรับหัวข้อ แต่เป็นเพียงงานที่น่าสนใจบางส่วนที่เลือกสรรตามเทคนิคที่กล่าวถึงข้างต้น

1) ฐานล่างของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 13 และด้านบนคือ 5 ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูถ้าเส้นทแยงมุมตั้งฉากกับด้านข้าง
2) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหากฐานของมันคือ 2 ซม. และ 5 ซม. และด้านข้างของมันคือ 2 ซม. และ 3 ซม.
3) ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ฐานที่ใหญ่กว่าคือ 11 ด้านข้างคือ 5 และเส้นทแยงมุมคือ จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู
4) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 5 และเส้นกึ่งกลางคือ 4 จงหาพื้นที่
5) ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ฐานคือ 12 และ 20 และเส้นทแยงมุมตั้งฉากกัน คำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู
6) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วทำมุมกับฐานล่าง ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูถ้าสูง 6 ซม.
7) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 20 และด้านหนึ่งของมันคือ 4 ซม. ค้นหาระยะห่างจากตรงกลางของด้านตรงข้าม
8) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมโดยมีพื้นที่ 6 และ 14 จงหาความสูงหากด้านข้างเป็น 4
9) ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นทแยงมุมจะเท่ากับ 3 และ 5 และส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของฐานเท่ากับ 2 ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู (Mekhmat MSU, 1970)

ฉันเลือกไม่ใช่ปัญหาที่ยากที่สุด (อย่ากลัววิศวกรรมเครื่องกล!) ด้วยความคาดหวังว่าฉันจะสามารถแก้ไขมันได้อย่างอิสระ ตัดสินใจเพื่อสุขภาพของคุณ! หากคุณต้องการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ หากไม่มีการมีส่วนร่วมของสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูในกระบวนการนี้ ปัญหาร้ายแรงอาจเกิดขึ้นได้แม้จะมีปัญหา B6 และมากกว่านั้นกับ C4 อย่าเริ่มหัวข้อและหากมีปัญหาใดๆ ให้ขอความช่วยเหลือ ครูสอนคณิตศาสตร์ยินดีช่วยเหลือคุณเสมอ

โกลปาคอฟ เอ.เอ็น.
ครูสอนคณิตศาสตร์ในมอสโก, การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ใน Strogino.

แนวปฏิบัติของการสอบ Unified State และ State Examination เมื่อปีที่แล้วแสดงให้เห็นว่าปัญหาทางเรขาคณิตทำให้เกิดความยุ่งยากสำหรับเด็กนักเรียนจำนวนมาก คุณสามารถรับมือกับมันได้อย่างง่ายดายหากคุณจำสูตรที่จำเป็นทั้งหมดและฝึกฝนการแก้ปัญหา

ในบทความนี้คุณจะเห็นสูตรในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูรวมถึงตัวอย่างปัญหาพร้อมวิธีแก้ไข คุณอาจเจอสิ่งเดียวกันใน KIM ระหว่างการสอบเพื่อรับใบรับรองหรือที่ Olympiads ดังนั้นควรปฏิบัติต่อพวกเขาอย่างระมัดระวัง

สิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมู?

เริ่มต้นด้วยให้เราจำไว้ว่า สี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีด้านตรงข้ามสองด้านหรือที่เรียกว่าฐานขนานกัน และอีกสองด้านขนานกัน

ในรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู ความสูง (ตั้งฉากกับฐาน) ก็สามารถลดลงได้เช่นกัน ลากเส้นกลาง - นี่คือเส้นตรงที่ขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวม เช่นเดียวกับเส้นทแยงมุมที่สามารถตัดกันทำให้เกิดมุมแหลมและมุมป้านได้ หรือในบางกรณีเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ หากสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่ว ก็สามารถเขียนวงกลมลงไปได้ และอธิบายวงกลมล้อมรอบมัน

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

ก่อนอื่น เรามาดูสูตรมาตรฐานในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูกันก่อน เราจะพิจารณาวิธีคำนวณพื้นที่หน้าจั่วและสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งด้านล่าง

ลองจินตนาการว่าคุณมีสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน a และ b โดยที่ความสูง h ลดลงเหลือฐานที่ใหญ่กว่า การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขในกรณีนี้ทำได้ง่ายเหมือนกับการปอกเปลือกลูกแพร์ คุณเพียงแค่ต้องหารผลรวมของความยาวของฐานด้วยสองแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยความสูง: S = 1/2(ก + ข)*ชม.

พิจารณาอีกกรณีหนึ่ง: สมมติว่าในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู นอกจากความสูงแล้ว ยังมีเส้นกลาง m อีกด้วย เรารู้สูตรการหาความยาวของเส้นกึ่งกลาง: m = 1/2(a + b) ดังนั้นเราจึงสามารถลดความซับซ้อนของสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้ได้อย่างถูกต้อง: ส = ม* ชม- กล่าวอีกนัยหนึ่งในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณต้องคูณเส้นกึ่งกลางด้วยความสูง

ลองพิจารณาอีกทางเลือกหนึ่ง: สี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นทแยงมุม d 1 และ d 2 ซึ่งไม่ตัดกันที่มุมขวา α ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคุณต้องหารผลคูณของเส้นทแยงมุมด้วยสองและคูณผลลัพธ์ด้วยบาปของมุมระหว่างพวกมัน: S= 1/2d 1 d 2 *ซินα.

ตอนนี้ให้พิจารณาสูตรในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหากไม่มีสิ่งใดรู้เกี่ยวกับมันยกเว้นความยาวของด้านทั้งหมด: a, b, c และ d นี่เป็นสูตรที่ยุ่งยากและซับซ้อน แต่จะมีประโยชน์สำหรับคุณในการจำไว้ในกรณี: S = 1/2(ก + ข) * √ค 2 – ((1/2(b – ก)) * ((ข – ก) 2 + ค 2 – ง 2)) 2.

อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างข้างต้นก็เป็นจริงในกรณีที่คุณต้องการสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม นี่คือสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งด้านติดกับฐานเป็นมุมฉาก

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านเท่ากันเรียกว่าหน้าจั่ว เราจะพิจารณาหลายตัวเลือกสำหรับสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ตัวเลือกแรก: สำหรับกรณีที่วงกลมที่มีรัศมี r ถูกจารึกไว้ภายในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว และด้านข้างและฐานที่ใหญ่กว่าทำให้เกิดมุมแหลม α วงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ โดยมีเงื่อนไขว่าผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้าน

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคำนวณดังนี้: คูณกำลังสองของรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ด้วยสี่แล้วหารทั้งหมดด้วยsinα: S = 4r 2 /ซินα- สูตรพื้นที่อื่นเป็นกรณีพิเศษสำหรับตัวเลือกเมื่อมุมระหว่างฐานใหญ่และด้านข้างเป็น 30 0: ส = 8r2.

ตัวเลือกที่สอง: คราวนี้เราใช้สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งนอกจากจะวาดเส้นทแยงมุม d 1 และ d 2 แล้ว เช่นเดียวกับความสูง h ถ้าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูตั้งฉากกัน ความสูงจะเป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน: h = 1/2(a + b) เมื่อรู้สิ่งนี้แล้ว การแปลงสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูที่คุณคุ้นเคยอยู่แล้วให้อยู่ในรูปแบบนี้จึงเป็นเรื่องง่าย: ส = ชั่วโมง 2.

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

มาเริ่มด้วยการหาว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคืออะไร ลองนึกภาพแกนพิกัดและกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบ f ที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายภายในส่วนที่กำหนดให้บนแกน x สี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งเกิดจากกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) - ที่ด้านบน แกน x อยู่ที่ด้านล่าง (ส่วน) และที่ด้านข้าง - เส้นตรงที่ลากระหว่างจุด a และ b และกราฟของ ฟังก์ชั่น

เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่ได้มาตรฐานโดยใช้วิธีการข้างต้น ที่นี่คุณจะต้องใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และใช้อินทิกรัล กล่าวคือ: สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ - S = ∫ ข ก ฉ(x) dx = F(x)│ ข ก = F(b) – F(ก)- ในสูตรนี้ F คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันของเราในส่วนที่เลือก และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟในส่วนที่กำหนด

ปัญหาตัวอย่าง

เพื่อให้เข้าใจสูตรเหล่านี้ในหัวของคุณได้ง่ายขึ้น ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างปัญหาในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู จะเป็นการดีที่สุดถ้าคุณพยายามแก้ไขปัญหาด้วยตัวเองก่อนแล้วจึงเปรียบเทียบคำตอบที่คุณได้รับกับวิธีแก้ปัญหาสำเร็จรูป

งาน #1:ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ฐานใหญ่กว่าคือ 11 ซม. ฐานเล็กคือ 4 ซม. สี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นทแยงมุม อันหนึ่งยาว 12 ซม. อันที่สองยาว 9 ซม.

วิธีแก้ไข: สร้าง AMRS สี่เหลี่ยมคางหมู ลากเส้นตรง Рх ผ่านจุดยอด P เพื่อให้ขนานกับเส้นทแยงมุม MC และตัดกับเส้นตรง AC ที่จุด X คุณจะได้สามเหลี่ยม APMX

เราจะพิจารณาตัวเลขสองตัวที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการปรับเปลี่ยนเหล่านี้: สามเหลี่ยม APX และสี่เหลี่ยมด้านขนาน CMRX

ต้องขอบคุณรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราจึงเรียนรู้ว่า PX = MC = 12 ซม. และ CX = MR = 4 ซม. จากจุดที่เราสามารถคำนวณด้าน AX ของสามเหลี่ยม ARX ได้: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 ซม.

นอกจากนี้เรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยม APX เป็นมุมฉาก (ในการดำเนินการนี้ ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส - AX 2 = AP 2 + PX 2) และคำนวณพื้นที่: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 ซม. 2

ต่อไป คุณจะต้องพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม AMP และ PCX มีพื้นที่เท่ากัน พื้นฐานจะเป็นความเท่าเทียมกันของฝ่าย MR และ CX (พิสูจน์แล้วข้างต้น) และความสูงที่คุณลดลงบนด้านเหล่านี้ด้วย - พวกมันเท่ากับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู AMRS

ทั้งหมดนี้จะทำให้คุณบอกได้ว่า S AMPC = S APX = 54 ซม. 2

งาน #2:ให้ KRMS สี่เหลี่ยมคางหมู ที่ด้านข้างมีจุด O และ E ในขณะที่ OE และ KS ขนานกัน เป็นที่ทราบกันว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ORME และ OKSE อยู่ในอัตราส่วน 1:5 RM = a และ KS = b คุณต้องค้นหา OE

วิธีแก้ไข: ลากเส้นขนานกับ RK ถึงจุด M และกำหนดจุดตัดกับ OE เป็น T โดย A คือจุดตัดของเส้นที่ลากผ่านจุด E ขนานกับ RK โดยมีฐาน KS

ขอแนะนำสัญลักษณ์อีกอย่างหนึ่ง - OE = x และความสูง h 1 สำหรับสามเหลี่ยม TME และความสูง h 2 สำหรับสามเหลี่ยม AEC (คุณสามารถพิสูจน์ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ได้อย่างอิสระ)

เราจะถือว่า b > a พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ORME และ OKSE อยู่ในอัตราส่วน 1:5 ซึ่งทำให้เรามีสิทธิ์สร้างสมการต่อไปนี้: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2 ลองแปลงร่างแล้วได้: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a))

เนื่องจากสามเหลี่ยม TME และ AEC มีความคล้ายคลึงกัน เราจึงมี h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) ลองรวมทั้งสองค่าเข้าด้วยกันแล้วได้: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6

ดังนั้น OE = x = √(5a 2 + b 2)/6

บทสรุป

เรขาคณิตไม่ใช่วิทยาศาสตร์ที่ง่ายที่สุด แต่คุณสามารถรับมือกับคำถามในข้อสอบได้อย่างแน่นอน แสดงความเพียรพยายามเล็กน้อยในการเตรียมตัวก็เพียงพอแล้ว และแน่นอนว่าต้องจำสูตรที่จำเป็นทั้งหมดด้วย

เราพยายามรวบรวมสูตรคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดไว้ในที่เดียวเพื่อให้คุณนำไปใช้ในการเตรียมสอบและแก้ไขเนื้อหาได้

อย่าลืมบอกเพื่อนร่วมชั้นและเพื่อน ๆ บนโซเชียลเน็ตเวิร์กเกี่ยวกับบทความนี้ ขอให้มีเกรดดีๆ มากกว่านี้สำหรับการสอบ Unified State และ State Examination!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมนูนซึ่งมีด้านตรงข้ามสองด้านขนานกัน และอีกสองด้านไม่ขนานกัน ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนานกันเป็นคู่ๆ แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คุณจะต้อง

• – ทุกด้านของสี่เหลี่ยมคางหมู (AB, BC, CD, DA)

คำแนะนำ

1. ไม่ขนานกัน ด้านข้าง สี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าด้านข้าง และด้านขนานเรียกว่าฐาน เส้นแบ่งระหว่างฐานตั้งฉากกับความสูง สี่เหลี่ยมคางหมู- ถ้าเป็นด้านข้าง ด้านข้าง สี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากันจึงเรียกว่าหน้าจั่ว ก่อนอื่นเรามาดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับ สี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งไม่ใช่หน้าจั่ว

2. ลากส่วนของเส้นตรง BE จากจุด B ไปยัง AD ฐานล่างขนานกับด้านข้าง สี่เหลี่ยมคางหมูซีดี. เนื่องจาก BE และ CD ขนานกันและลากระหว่างฐานขนาน สี่เหลี่ยมคางหมู BC กับ DA แล้ว BCDE เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และตรงข้ามกัน ด้านข้าง BE และ CD เท่ากัน พ.ศ.=ซีดี.

3. ดูสามเหลี่ยม ABE คำนวณด้าน AE AE=โฆษณา-ED. บริเวณ สี่เหลี่ยมคางหมูทราบค่า BC และ AD และในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน BCDE อยู่ตรงข้ามกัน ด้านข้าง ED และ BC เท่ากัน ED=BC ดังนั้น AE=AD-BC

4. ตอนนี้หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABE โดยใช้สูตรของนกกระสาโดยการคำนวณกึ่งปริมณฑล S=ราก(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)) ในสูตรนี้ p คือระยะกึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม ABE p=1/2*(AB+BE+AE) ในการคำนวณพื้นที่ คุณทราบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด: AB, BE=CD, AE=AD-BC

6. เขียนค่าความสูงของสามเหลี่ยมจากสูตรนี้ ซึ่งก็คือความสูงด้วย สี่เหลี่ยมคางหมู- BH=2*S/AE. คำนวณมัน

7. ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่ว การแก้ปัญหาสามารถดำเนินการแตกต่างออกไปได้ ดูที่สามเหลี่ยม ABH เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพราะมุมหนึ่ง BHA อยู่ด้านขวา

8. วาดความสูง CF จากจุดยอด C

9. ศึกษาตัวเลข HBCF สี่เหลี่ยม HBCF เพราะมี 2 อัน ด้านข้างคือความสูง และอีกสองอันเป็นฐาน สี่เหลี่ยมคางหมูนั่นคือมุมนั้นถูกต้องและตรงกันข้าม ด้านข้างขนาน. ซึ่งหมายความว่า BC=HF

10. ดูสามเหลี่ยมมุมฉาก ABH และ FCD มุมที่ความสูง BHA และ CFD นั้นเป็นมุมที่ถูกต้อง และมุมที่ด้านข้าง ด้านข้าง x BAH และ CDF เท่ากัน เนื่องจาก ABCD สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่ว ซึ่งหมายความว่ารูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน เนื่องจากความสูง BH และ CF เท่ากันหรือด้านข้าง ด้านข้างหน้าจั่ว สี่เหลี่ยมคางหมู AB และ CD เท่ากันทุกประการ แล้วสามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะเท่ากันทุกประการ ดังนั้นพวกเขา ด้านข้าง AH และ FD ก็เท่ากันเช่นกัน

11. ค้นพบเอเอช AH+FD=AD-HF. เพราะจากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน HF=BC และจากสามเหลี่ยม AH=FD แล้ว AH=(AD-BC)*1/2

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปทรงเรขาคณิต ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านสองด้านเรียกว่าฐานขนานกัน และอีกสองด้านไม่ขนานกัน พวกเขาเรียกว่าด้านข้าง สี่เหลี่ยมคางหมู- ส่วนที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านข้างเรียกว่าเส้นกึ่งกลาง สี่เหลี่ยมคางหมู- สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถมีด้านยาวต่างกันหรือเท่ากันได้ ในกรณีนี้เรียกว่าหน้าจั่ว หากด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน สี่เหลี่ยมคางหมูก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่การรู้วิธีตรวจจับจะมีประโยชน์มากกว่ามาก สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู .

คุณจะต้อง

• ไม้บรรทัดที่มีการแบ่งหน่วยเป็นมิลลิเมตร

คำแนะนำ

1. วัดทุกด้าน สี่เหลี่ยมคางหมู: AB, BC, ซีดี และ DA บันทึกการวัดของคุณ

2. ในส่วน AB ให้ทำเครื่องหมายที่จุดกึ่งกลาง K ส่วนในส่วน DA ให้ทำเครื่องหมายจุด L ซึ่งอยู่ตรงกลางของส่วน AD เช่นกัน รวมคะแนน K และ L แล้วส่วนที่ KL ที่ได้จะเป็นเส้นกลาง สี่เหลี่ยมคางหมูเอบีซีดี วัดส่วน KL

3. จากด้านบน สี่เหลี่ยมคางหมู– โยน C ลดตั้งฉากกับ AD ฐานบนส่วน CE มันจะเป็นความสูง สี่เหลี่ยมคางหมูเอบีซีดี วัดส่วน CE

4. ให้เราเรียกส่วน KL ว่าตัวอักษร m และส่วน CE เรียกว่าตัวอักษร h สี่เหลี่ยมส สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD คำนวณโดยใช้สูตร: S=m*h โดยที่ m คือเส้นกลาง สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD,h – ส่วนสูง สี่เหลี่ยมคางหมูเอบีซีดี

5. มีอีกสูตรหนึ่งที่ให้คุณคำนวณได้ สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมูเอบีซีดี ฐานล่าง สี่เหลี่ยมคางหมู– เรียก AD ว่าตัวอักษร b และฐานบน BC เรียกว่าตัวอักษร a พื้นที่ถูกกำหนดโดยสูตร S=1/2*(a+b)*h โดยที่ a และ b เป็นฐาน สี่เหลี่ยมคางหมู, ชั่วโมง – ความสูง สี่เหลี่ยมคางหมู .

วิดีโอในหัวข้อ

เคล็ดลับ 3: วิธีหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหากทราบพื้นที่

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านสองในสี่ด้านขนานกัน ด้านขนานเป็นฐานของสิ่งนี้ สี่เหลี่ยมคางหมูอีกสองอันคือด้านข้างของอันนี้ สี่เหลี่ยมคางหมู- ค้นพบ ความสูง สี่เหลี่ยมคางหมูถ้ารู้พื้นที่ก็จะง่ายมาก

คำแนะนำ

1. เราต้องหาวิธีคำนวณพื้นที่เริ่มต้น สี่เหลี่ยมคางหมู- มีหลายสูตรสำหรับสิ่งนี้ ขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้น: S = ((a+b)*h)/2 โดยที่ a และ b คือความยาวของฐาน สี่เหลี่ยมคางหมูและ h คือความสูง (Height สี่เหลี่ยมคางหมู– ตั้งฉากลดลงจากฐานเดียว สี่เหลี่ยมคางหมูไปยังอีกอันหนึ่ง);S = m*h โดยที่ m คือเส้นกลาง สี่เหลี่ยมคางหมู(เส้นกลางเป็นส่วนที่ขนานกับฐาน สี่เหลี่ยมคางหมูและเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านข้าง)

2. ตอนนี้ได้รู้สูตรคำนวณพื้นที่แล้ว สี่เหลี่ยมคางหมูอนุญาตให้หาค่าใหม่เพื่อหาความสูงได้ สี่เหลี่ยมคางหมู:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นถึงวิธีแก้ปัญหาที่คล้ายกัน คุณสามารถดูตัวอย่างได้ ตัวอย่างที่ 1: เมื่อพิจารณาจากสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งมีพื้นที่ 68 ซม. เส้นกลางคือ 8 ซม. คุณต้องหา ความสูงที่ให้ไว้ สี่เหลี่ยมคางหมู- เพื่อที่จะแก้ไขปัญหานี้ คุณต้องใช้สูตรที่ได้รับมาก่อนหน้านี้: h = 68/8 = 8.5 ซม. คำตอบ: ความสูงของสิ่งนี้ สี่เหลี่ยมคางหมูคือ 8.5 ซม.ตัวอย่างที่ 2: ให้ y สี่เหลี่ยมคางหมูพื้นที่ 120 ซม. วัดความยาวของฐานไว้ สี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับ 8 ซม. และ 12 ซม. ตามลำดับ จึงจำเป็นต้องตรวจจับ ความสูงนี้ สี่เหลี่ยมคางหมู- ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้สูตรที่ได้รับมาอย่างใดอย่างหนึ่ง:h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 ซมคำตอบ: ความสูงของที่กำหนด สี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับ 12 ซม

วิดีโอในหัวข้อ

ใส่ใจ!
สี่เหลี่ยมคางหมูใด ๆ มีคุณสมบัติหลายประการ: - เส้นกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน - ส่วนที่เชื่อมต่อเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของฐาน - ถ้าเป็นเส้นตรง ถูกลากผ่านจุดกึ่งกลางของฐาน จากนั้นมันจะตัดกับจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู - คุณสามารถเขียนวงกลมลงในสี่เหลี่ยมคางหมูได้หากผลรวมของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูที่กำหนดเท่ากับผลรวมของ ใช้คุณสมบัติเหล่านี้เมื่อแก้ไขปัญหา

เคล็ดลับ 4: วิธีค้นหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากพิกัดของจุดต่างๆ

ความสูงในรูปสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดของรูปกับด้านตรงข้าม ส่วนนี้จะต้องตั้งฉากกับด้านข้าง ดังนั้นจากจุดยอดใด ๆ จึงอนุญาตให้วาดเพียงจุดเดียวเท่านั้น ความสูง- เนื่องจากในรูปนี้มีจุดยอดสามจุด จึงมีจำนวนความสูงเท่ากัน ถ้าพิกัดของจุดยอดกำหนดรูปสามเหลี่ยม ก็สามารถคำนวณความยาวของความสูงแต่ละส่วนได้ โดยใช้สูตรในการหาพื้นที่และคำนวณความยาวของด้าน

คำแนะนำ

1. ดำเนินการคำนวณของคุณจากข้อเท็จจริงที่ว่าพื้นที่ สามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวแต่ละด้านด้วยความยาวของความสูงที่ลดลงมาทางด้านนี้ จากคำจำกัดความนี้เป็นไปตามนั้นเพื่อค้นหาความสูงที่คุณต้องรู้พื้นที่ของรูปและความยาวของด้าน.

2. เริ่มต้นด้วยการคำนวณความยาวของด้านข้าง สามเหลี่ยม- กำหนดพิกัดของจุดยอดของรูปดังนี้: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) และ C(X?,Y?,Z?) จากนั้น คุณสามารถคำนวณความยาวของด้าน AB ได้โดยใช้สูตร AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) สำหรับอีก 2 ด้าน สูตรเหล่านี้จะมีลักษณะดังนี้ BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) และ AC = ?(( X ?-X?)? + (ย?-ย?)?) เอาเป็นว่าเพื่อ สามเหลี่ยมโดยมีพิกัด A(3,5,7), B(16,14,19) และ C(1,2,13) ​​​​ความยาวของด้าน AB จะเป็น?((3-16)? + (5-14) )? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. ความยาวของด้าน BC และ AC คำนวณด้วยวิธีเดียวกันจะเท่ากัน?(15? + 12? + 6?) = ?405? 20.12 และ?(2? + 3? + (-6?)) =?49 = 7.

3. การทราบความยาวของด้านทั้ง 3 ด้านที่ได้จากขั้นตอนที่แล้วก็เพียงพอที่จะคำนวณพื้นที่ได้ สามเหลี่ยม(S) ตามสูตรของนกกระสา: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). สมมติว่าหลังจากแทนที่สูตรนี้แล้วค่าที่ได้รับจากพิกัด สามเหลี่ยม-ตัวอย่างจากขั้นตอนที่แล้ว สูตรนี้จะให้ค่าต่อไปนี้: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20 .12) * (19.85+ 20.12-7)) = ?*?(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ? ?*?75768.55 ? ?*275.26 = 68.815.

4. ขึ้นอยู่กับพื้นที่ สามเหลี่ยมคำนวณในขั้นตอนก่อนหน้า และความยาวของด้านที่ได้รับในขั้นตอนที่สอง ให้คำนวณความสูงของแต่ละด้าน เนื่องจากพื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงและความยาวของด้านที่วาด หากต้องการหาความสูง ให้หารพื้นที่สองเท่าด้วยความยาวของด้านที่ต้องการ: H = 2*S/a สำหรับตัวอย่างที่ใช้ข้างต้น ความสูงที่ลดลงไปทางด้าน AB จะเป็น 2*68.815/16.09? 8.55 ส่วนสูงด้าน BC จะมีความยาว 2*68.815/20.12? 6.84 และสำหรับด้าน AC ค่านี้จะเท่ากับ 2*68.815/7? 19.66.

(S) สี่เหลี่ยมคางหมู เริ่มคำนวณความสูง (h) โดยหาผลรวมครึ่งหนึ่งของความยาวของด้านขนาน: (a+b)/2 จากนั้นหารพื้นที่ด้วยค่าผลลัพธ์ - ผลลัพธ์จะเป็นค่าที่ต้องการ: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b)

เมื่อทราบความยาวของเส้นกึ่งกลาง (m) และพื้นที่ (S) คุณจะสามารถลดความซับซ้อนของสูตรจากขั้นตอนที่แล้วได้ ตามคำนิยาม เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน ดังนั้นในการคำนวณความสูง (h) ของรูป ให้หารพื้นที่ด้วยความยาวของเส้นกึ่งกลาง: h = S/m

มีความเป็นไปได้ที่จะกำหนดความสูง (h) ของสิ่งนั้นหากกำหนดเพียงความยาวของด้านใดด้านหนึ่ง (c) และมุม (α) ที่เกิดจากมันและฐานยาวเท่านั้น ในกรณีนี้ ควรพิจารณารูปร่างที่เกิดจากด้านนี้ ความสูงและส่วนสั้นของฐาน ซึ่งถูกตัดออกด้วยความสูงที่ลดลง สามเหลี่ยมนี้จะเป็นมุมฉาก ด้านที่ทราบจะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และระดับความสูงจะเป็นขา อัตราส่วนของความยาวและด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับมุมที่อยู่ตรงข้ามขา ดังนั้น ในการคำนวณความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู ให้คูณความยาวของด้านที่ทราบด้วยไซน์ของมุมที่ทราบ: h = с*sin(α)

สามเหลี่ยมเดียวกันนั้นควรค่าแก่การพิจารณาหากให้ความยาวของด้าน (c) และขนาดของมุม (β) ระหว่างด้านนั้นกับฐานอีกด้าน (สั้น) ในกรณีนี้ มุมระหว่างด้าน (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) และความสูง (ขา) จะน้อยกว่ามุมที่ทราบจากเงื่อนไข: β-90° 90° เนื่องจากอัตราส่วนของความยาวของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับโคไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา ให้คำนวณความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยการคูณโคไซน์ของมุมที่ลดลง 90° ด้วยความยาวของด้าน: h = с* คอส(β-90°)

ถ้าเขียนวงกลมที่มีรัศมีที่ทราบ (r) เอาไว้ การคำนวณความสูง (h) จะง่ายมาก และไม่จำเป็นต้องใช้พารามิเตอร์อื่นใด ตามคำจำกัดความ วงกลมดังกล่าวจะต้องมีจุดเดียวที่ฐานแต่ละจุด และจุดเหล่านี้จะอยู่ในเส้นเดียวกันกับจุดศูนย์กลาง ซึ่งหมายความว่าระยะห่างระหว่างพวกมันจะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง (รัศมีสองเท่า) ซึ่งตั้งฉากกับฐาน กล่าวคือ ประจวบกับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู: h=2*r

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านสองด้านขนานกันและอีกสองด้านขนานกัน ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วนที่ลากตั้งฉากระหว่างเส้นขนานสองเส้น สามารถคำนวณได้หลายวิธีขึ้นอยู่กับแหล่งข้อมูล

คุณจะต้อง

• ความรู้เกี่ยวกับด้านข้าง ฐาน เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู และอาจรวมถึงพื้นที่และ/หรือเส้นรอบวงด้วย

คำแนะนำ

สมมติว่ามีสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีข้อมูลเหมือนกับในรูปที่ 1 ลองวาดความสูง 2 อัน เราจะได้ ซึ่งมีด้านเล็กกว่า 2 ด้านข้างขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้เราแสดงว่าม้วนเล็กกว่าเป็น x เขาตั้งอยู่