ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง

วิธีช่วงเวลาเป็นวิธีสากลในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเกือบทุกอย่างที่ปรากฏในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันดังต่อไปนี้:

1. ฟังก์ชันต่อเนื่อง g(x) สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้เฉพาะจุดที่เท่ากับ 0 เท่านั้น ในเชิงกราฟิก หมายความว่ากราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถเคลื่อนที่จากระนาบครึ่งหนึ่งไปยังอีกระนาบหนึ่งได้ก็ต่อเมื่อมันตัดกับ x -axis (เราจำได้ว่าพิกัดของจุดใด ๆ ที่วางอยู่บนแกน OX (แกน abscissa) เท่ากับศูนย์นั่นคือค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้เท่ากับ 0):

เราจะเห็นว่าฟังก์ชัน y=g(x) ที่แสดงบนกราฟตัดกับแกน OX ที่จุด x= -8, x=-2, x=4, x=8 จุดเหล่านี้เรียกว่าศูนย์ของฟังก์ชัน และในขณะเดียวกัน ฟังก์ชัน g(x) จะเปลี่ยนเครื่องหมาย

2. ฟังก์ชันยังสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายที่ศูนย์ของตัวส่วนได้ - ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือฟังก์ชันที่รู้จักกันดี:

เราจะเห็นว่าฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายที่รากของตัวส่วน ณ จุดนั้น แต่ไม่หายไป ณ จุดใดจุดหนึ่ง ดังนั้น หากฟังก์ชันมีเศษส่วน ก็สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายที่รากของตัวส่วนได้

2. อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันไม่ได้เปลี่ยนเครื่องหมายที่รากของตัวเศษหรือที่รากของตัวส่วนเสมอไป ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=x 2 จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายที่จุด x=0:

เพราะ สมการ x 2 =0 มีสองรากที่เท่ากัน x=0 ณ จุด x=0 ฟังก์ชันดูเหมือนจะเปลี่ยนเป็น 0 สองครั้ง

การทำงาน เปลี่ยนเครื่องหมายที่ศูนย์ของตัวเศษ แต่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายที่ศูนย์ของตัวส่วน: เนื่องจากรูตคือรูทของหลายหลากที่สองนั่นคือของหลายหลากคู่:

สำคัญ! ในรากของการทวีคูณคู่ ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย

ใส่ใจ! ใดๆ ไม่เชิงเส้นความไม่เท่าเทียมกันในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนมักจะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีช่วงเวลา

ฉันเสนอรายละเอียดให้คุณซึ่งคุณสามารถหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดได้เมื่อใด การแก้ไขอสมการไม่เชิงเส้น.

1. ก่อนอื่นคุณต้องนำความไม่เท่าเทียมกันมาสู่แบบฟอร์ม

พี(x)V0,

โดยที่ V คือสัญญาณความไม่เท่าเทียมกัน:<,>,≤ หรือ ≥ ในการทำเช่นนี้คุณต้องมี:

ก) ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายของความไม่เท่าเทียมกัน

b) ค้นหารากของนิพจน์ผลลัพธ์

c) แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของอสมการ

d) เขียนตัวประกอบที่เหมือนกันเป็นกำลัง

ความสนใจ!ขั้นตอนสุดท้ายจะต้องทำเพื่อไม่ให้เกิดข้อผิดพลาดกับหลายหลากของราก - หากผลลัพธ์เป็นตัวคูณของกำลังที่เท่ากันรูตที่เกี่ยวข้องก็จะมีทวีคูณคู่

2. เขียนจุดรากที่พบบนแกนจำนวน

3. หากความไม่เท่าเทียมกันเข้มงวด วงกลมที่ระบุรากบนแกนตัวเลขจะเว้นว่างไว้ หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด วงกลมก็จะเต็มไป

4. เราเลือกรากของหลายหลาก - ในนั้น พี(เอ็กซ์)เครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลง

5. กำหนดป้าย พี(เอ็กซ์)บนช่องว่างขวาสุด เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้ค่าใดก็ได้ x 0 ซึ่งมากกว่ารูทที่ใหญ่กว่าแล้วแทนที่เข้าไป พี(เอ็กซ์).

ถ้า P(x 0)>0 (หรือ ≥0) เราจะใส่เครื่องหมาย “+” ในช่องขวาสุด

ถ้า P(x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

เมื่อผ่านจุดที่ระบุรากของการทวีคูณคู่ เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลง

7. อีกครั้งหนึ่งที่เราดูสัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกันเดิม และเลือกช่วงเวลาของเครื่องหมายที่เราต้องการ

8. โปรดทราบ! หากความไม่เท่าเทียมกันของเราไม่เข้มงวด เราจะตรวจสอบเงื่อนไขความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์แยกกัน

9. เขียนคำตอบ

ถ้าเป็นแบบเดิม อสมการประกอบด้วยค่าที่ไม่ทราบในตัวส่วนจากนั้นเราก็ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย และลดด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันให้อยู่ในรูปแบบ

(โดยที่ V คือเครื่องหมายอสมการ:< или >)

ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดของประเภทนี้เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน

ไม่เข้มงวดความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม

เทียบเท่า ระบบ:

ในทางปฏิบัติหากฟังก์ชันมีรูปแบบ เราจะดำเนินการดังนี้:

1. ค้นหารากของทั้งเศษและส่วน
2. เรานำไปใช้กับเพลา ปล่อยให้แวดวงทั้งหมดว่างเปล่า จากนั้น หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด เราก็จะทาสีทับรากของตัวเศษ และปล่อยให้รากของตัวส่วนว่างไว้เสมอ
3. ต่อไปเราจะปฏิบัติตามอัลกอริทึมทั่วไป:
4. เราเลือกรากที่มีหลายหลากคู่ (หากตัวเศษและตัวส่วนมีรากที่เหมือนกัน เราจะนับจำนวนครั้งที่รากเดียวกันเกิดขึ้น) ในรากของความหลากหลายคู่ เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลง
5. เราพบป้ายที่ช่องว่างขวาสุด
6. เรากำลังติดป้าย.
7. ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวด เราจะตรวจสอบเงื่อนไขของความเท่าเทียมกันและเงื่อนไขของความเท่าเทียมกันให้เป็นศูนย์แยกจากกัน
8. เราเลือกช่องว่างที่จำเป็นและรากที่เป็นอิสระ
9. เราเขียนคำตอบ

เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้น อัลกอริธึมสำหรับการแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลาชมวิดีโอสอน ซึ่งจะอธิบายตัวอย่างโดยละเอียด การแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา.

เรายังคงมองหาวิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรตัวเดียวต่อไป เราได้ศึกษาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นและกำลังสองแล้ว ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของความไม่เท่าเทียมกันเชิงตรรกยะ ในบทความนี้ เราจะชี้แจงว่าอสมการประเภทใดที่ถือเป็นเหตุผล และเราจะบอกคุณว่าอสมการเหล่านี้แบ่งออกเป็นประเภทใด (จำนวนเต็มและเศษส่วน) หลังจากนั้น เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง จัดเตรียมอัลกอริธึมที่จำเป็น และวิเคราะห์ปัญหาเฉพาะ

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมเชิงเหตุผล

เมื่อพวกเขาศึกษาหัวข้อการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันในโรงเรียน พวกเขาจะคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกันอย่างมีเหตุผลทันที พวกเขาได้รับและฝึกฝนทักษะในการทำงานกับการแสดงออกประเภทนี้ ให้เรากำหนดคำจำกัดความของแนวคิดนี้:

คำจำกัดความ 1

อสมการเชิงเหตุผลคืออสมการที่มีตัวแปรซึ่งมีนิพจน์เชิงตรรกยะในทั้งสองส่วน

โปรดทราบว่าคำจำกัดความไม่ส่งผลต่อคำถามเกี่ยวกับจำนวนตัวแปร แต่อย่างใด ซึ่งหมายความว่าสามารถมีได้มากเท่าที่ต้องการ ดังนั้นอสมการเชิงตรรกยะที่มีตัวแปร 1, 2, 3 หรือมากกว่านั้นจึงเป็นไปได้ บ่อยครั้งที่คุณต้องจัดการกับนิพจน์ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว น้อยกว่าสองตัว และความไม่เท่าเทียมกันที่มีตัวแปรจำนวนมากมักจะไม่พิจารณาเลยในหลักสูตรของโรงเรียน

ดังนั้นเราจึงสามารถรับรู้ถึงความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลโดยดูจากการเขียน ควรมีการแสดงออกที่มีเหตุผลทั้งด้านขวาและด้านซ้าย นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

x > 4 x 3 + 2 ปี ≤ 5 (y - 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

แต่นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

อสมการเชิงเหตุผลทั้งหมดแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน

คำจำกัดความ 2

ความเท่าเทียมกันเชิงเหตุผลทั้งหมดประกอบด้วยนิพจน์เชิงเหตุผลทั้งหมด (ในทั้งสองส่วน)

คำจำกัดความ 3

ความเท่าเทียมกันเชิงตรรกยะแบบเศษส่วนคือความเท่าเทียมกันที่มีนิพจน์เศษส่วนในส่วนใดส่วนหนึ่งหรือทั้งสองส่วน

ตัวอย่างเช่น อสมการของรูปแบบ 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 และ 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 คือ เศษส่วนเหตุผลและ 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 ปี)และ 1: x + 3 > 0- ทั้งหมด.

เราวิเคราะห์ว่าอสมการเชิงเหตุผลคืออะไรและระบุประเภทหลักๆ เราสามารถทบทวนแนวทางแก้ไขต่อไปได้

สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ของอสมการเชิงตรรกยะทั้งหมด ร(เอ็กซ์)< s (x) ซึ่งมีตัวแปร x เพียงตัวเดียวเท่านั้น ในเวลาเดียวกัน ร(เอ็กซ์)และ ส(เอ็กซ์)แทนจำนวนเต็มตรรกยะหรือนิพจน์ และเครื่องหมายอสมการอาจแตกต่างกัน เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจำเป็นต้องแปลงมันและรับความเท่าเทียมกันที่เท่ากัน

เริ่มต้นด้วยการย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

อยู่ในรูปแบบ r (x) - s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

เรารู้ว่า ร (x) - ส (x)จะเป็นค่าจำนวนเต็ม และนิพจน์จำนวนเต็มใดๆ สามารถแปลงเป็นพหุนามได้ มาแปลงร่างกันเถอะ ร (x) - ส (x)ในชั่วโมง(x) นิพจน์นี้จะเป็นพหุนามที่เท่ากัน เมื่อพิจารณาว่า r (x) - s (x) และ h (x) มีค่าช่วงที่อนุญาตเท่ากันของ x เราสามารถไปยังความไม่เท่าเทียมกันได้ h (x)< 0 (≤ , >, ≥) ซึ่งจะเท่ากับค่าเดิม

บ่อยครั้งที่การแปลงอย่างง่าย ๆ ก็เพียงพอที่จะแก้อสมการได้ เนื่องจากผลลัพธ์อาจเป็นอสมการเชิงเส้นหรือกำลังสองซึ่งเป็นค่าที่คำนวณได้ง่าย มาวิเคราะห์ปัญหาดังกล่าวกัน

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:แก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลทั้งหมด x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

ตอนนี้เมื่อเราดำเนินการทั้งหมดโดยใช้พหุนามทางด้านซ้ายเสร็จแล้ว เราก็ไปยังอสมการเชิงเส้นต่อได้ 3 x - 2 ≤ 0เทียบเท่ากับสิ่งที่ได้รับในเงื่อนไข แก้ได้ง่าย:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

คำตอบ: x ≤ 2 3 .

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:หาทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 + x) (x 2 + x).

สารละลาย

เราถ่ายโอนนิพจน์จากด้านซ้ายไปทางด้านขวาและทำการแปลงเพิ่มเติมโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

จากการเปลี่ยนแปลงของเรา เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันซึ่งจะเป็นจริงสำหรับค่า x ใดๆ ดังนั้นคำตอบของอสมการดั้งเดิมอาจเป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้

คำตอบ:เลขอะไรก็ได้จริงๆ

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

สารละลาย

เราจะไม่ถ่ายโอนสิ่งใดจากด้านขวา เนื่องจากมี 0 อยู่ตรงนั้น มาเริ่มกันเลยโดยการแปลงด้านซ้ายเป็นพหุนาม:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0

เราได้ค่าอสมการกำลังสองที่เทียบเท่ากับค่าเดิม ซึ่งสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้หลายวิธี ลองใช้วิธีแบบกราฟิก

เริ่มต้นด้วยการคำนวณรากของกำลังสองตรีโกณมิติ − 2 x 2 + 11 x + 6:

ง = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6

ตอนนี้บนแผนภาพเราทำเครื่องหมายศูนย์ที่จำเป็นทั้งหมด เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์นำน้อยกว่าศูนย์ กิ่งของพาราโบลาบนกราฟจะชี้ลง

เราต้องการพื้นที่ของพาราโบลาที่อยู่เหนือแกน x เนื่องจากในความไม่เท่าเทียมกันนี้ เรามีเครื่องหมาย > ช่วงเวลาที่ต้องการคือ (− 0 , 5 , 6) ดังนั้นค่าช่วงนี้จะเป็นคำตอบที่เราต้องการ

คำตอบ: (− 0 , 5 , 6) .

นอกจากนี้ยังมีกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้นเมื่อได้รับพหุนามของดีกรีที่สามหรือสูงกว่าทางด้านซ้าย เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว ขอแนะนำให้ใช้วิธีช่วงเวลา ขั้นแรกเราคำนวณรากทั้งหมดของพหุนาม ชั่วโมง(x)ซึ่งส่วนใหญ่มักทำโดยแยกตัวประกอบพหุนาม

ตัวอย่างที่ 4

เงื่อนไข:คำนวณ (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .

สารละลาย

มาเริ่มกันเช่นเคยโดยย้ายนิพจน์ไปทางซ้าย หลังจากนั้นเราจะต้องขยายวงเล็บและนำคำที่คล้ายกันมาใช้

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

จากผลของการเปลี่ยนแปลง เราได้ความเท่าเทียมกันเทียบเท่ากับค่าเดิม ทางด้านซ้ายซึ่งมีพหุนามของดีกรีที่สาม ลองใช้วิธีช่วงเวลาเพื่อแก้มัน

ขั้นแรก เราคำนวณรากของพหุนาม ซึ่งเราต้องแก้สมการกำลังสาม x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0- มันมีรากฐานที่มีเหตุผลหรือไม่? พวกเขาสามารถเป็นหนึ่งในตัวหารของเงื่อนไขอิสระเท่านั้นเช่น ท่ามกลางตัวเลข ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 ลองแทนที่พวกมันทีละตัวในสมการดั้งเดิมแล้วพบว่าตัวเลข 1, 2 และ 3 จะเป็นรากของมัน

แล้วพหุนาม x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6สามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลิตภัณฑ์ (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)และความไม่เท่าเทียมกัน x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 สามารถแสดงเป็น (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 - ด้วยความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้จะทำให้เรากำหนดสัญญาณตามช่วงเวลาได้ง่ายขึ้น

ต่อไปเราดำเนินการขั้นตอนที่เหลือของวิธีช่วงเวลา: วาดเส้นจำนวนแล้วชี้ไปที่พิกัด 1, 2, 3 พวกเขาแบ่งเส้นตรงออกเป็น 4 ช่วงซึ่งต้องกำหนดสัญญาณ ให้เราแรเงาช่วงเวลาด้วยเครื่องหมายลบ เนื่องจากอสมการเริ่มแรกมีเครื่องหมายอยู่ < .

สิ่งที่เราต้องทำคือเขียนคำตอบพร้อม: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​​​

คำตอบ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

ในบางกรณี ให้พิจารณาจากอสมการ r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) ถึงชั่วโมง (x)< 0 (≤ , >, ≥) โดยที่ ชั่วโมง(x)– พหุนามที่มีดีกรีสูงกว่า 2 ไม่เหมาะสม กรณีนี้ขยายไปถึงกรณีที่การแสดง r(x) − s(x) เป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นและตรีโกณมิติกำลังสองนั้นง่ายกว่าการแยกตัวประกอบ h(x) ออกเป็นตัวประกอบแต่ละตัว ลองดูที่ปัญหานี้

ตัวอย่างที่ 5

เงื่อนไข:หาทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

สารละลาย

อสมการนี้ใช้กับจำนวนเต็ม หากเราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย ให้เปิดวงเล็บและลดเงื่อนไข เราก็จะได้ x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0

การแก้ไขอสมการนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากคุณต้องมองหารากของพหุนามดีกรีที่ 4 มันไม่มีรากตรรกยะตัวเดียว (เช่น 1, − 1, 19 หรือ − 19 ไม่เหมาะ) และยากต่อการมองหารากอื่น ซึ่งหมายความว่าเราไม่สามารถใช้วิธีนี้ได้

แต่มีวิธีแก้ไขอื่น ๆ หากเราย้ายนิพจน์จากด้านขวาของอสมการเดิมไปทางซ้าย เราก็จะวงเล็บเหลี่ยมตัวประกอบร่วมได้ x 2 - 2 x - 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

เราได้รับอสมการที่เทียบเท่ากับค่าเดิม และวิธีการแก้ปัญหาของมันจะให้คำตอบที่ต้องการแก่เรา ลองหาศูนย์ของนิพจน์ทางด้านซ้ายซึ่งเราจะแก้สมการกำลังสองกัน x 2 − 2 x − 1 = 0และ x 2 − 2 x − 19 = 0- รากของมันคือ 1 ± 2, 1 ± 2 5 เราไปยังความเท่าเทียมกัน x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีช่วงเวลา:

จากรูป คำตอบจะเป็น - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞

คำตอบ: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

ให้เราเสริมว่าบางครั้งเราไม่สามารถหารากทั้งหมดของพหุนามได้ ชั่วโมง(x)ดังนั้นเราจึงไม่สามารถแสดงมันเป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นและตรีโกณมิติกำลังสองได้ แล้วแก้อสมการของรูป h(x)< 0 (≤ , >, ≥) เราทำไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าเป็นไปไม่ได้เช่นกันที่จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลดั้งเดิม

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้อสมการเชิงเหตุผลเศษส่วนของรูปแบบ r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) โดยที่ r (x) และ ส(เอ็กซ์)เป็นนิพจน์เชิงตรรกยะ x คือตัวแปร นิพจน์ที่ระบุอย่างน้อยหนึ่งรายการจะเป็นเศษส่วน อัลกอริธึมการแก้ปัญหาในกรณีนี้จะเป็นดังนี้:

1. เรากำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x
2. เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาของอสมการไปทางซ้ายและนิพจน์ผลลัพธ์ ร (x) - ส (x)เขียนมันเป็นเศษส่วน. นอกจากนี้ที่ไหน พี(เอ็กซ์)และ คิว(x)จะเป็นนิพจน์จำนวนเต็มที่เป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้น ตรีโกณมิติกำลังสองที่แยกไม่ออก และกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ
3. ต่อไป เราจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นโดยใช้วิธีช่วงเวลา
4. ขั้นตอนสุดท้ายคือการแยกคะแนนที่ได้รับระหว่างการแก้ปัญหาออกจากช่วงค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร x ที่เรากำหนดไว้ตั้งแต่ต้น

นี่คืออัลกอริธึมสำหรับแก้อสมการเชิงตรรกยะแบบเศษส่วน ส่วนใหญ่ชัดเจน จำเป็นต้องมีคำอธิบายเล็กน้อยสำหรับย่อหน้าที่ 2 เท่านั้น เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้ายแล้วได้ r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) แล้วจะนำมันมาอยู่ในรูป p (x) q (x) ได้อย่างไร< 0 (≤ , > , ≥) ?

ขั้นแรก เรามาพิจารณาว่าการแปลงนี้สามารถทำได้เสมอหรือไม่ ตามทฤษฎีแล้ว ความเป็นไปได้นั้นมีอยู่เสมอ เนื่องจากนิพจน์ตรรกยะใดๆ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนตรรกยะได้ ตรงนี้เรามีเศษส่วนที่มีพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน ขอให้เรานึกถึงทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตและทฤษฎีบทของเบซูต์ และพิจารณาว่าพหุนามใดๆ ของดีกรี n ที่มีตัวแปรหนึ่งตัวสามารถเปลี่ยนเป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นได้ ดังนั้น ตามทฤษฎีแล้ว เราสามารถเปลี่ยนนิพจน์ด้วยวิธีนี้ได้ตลอดเวลา

ในทางปฏิบัติ การแยกตัวประกอบพหุนามมักจะค่อนข้างยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากค่าดีกรีสูงกว่า 4 หากเราไม่สามารถขยายตัวได้ เราก็จะไม่สามารถแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้ แต่ปัญหาดังกล่าวมักไม่มีการศึกษาในหลักสูตรของโรงเรียน

ต่อไปเราต้องตัดสินใจว่าผลลัพธ์ของความไม่เท่าเทียมกัน p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) เทียบเท่ากับ r (x) - s (x)< 0 (≤ , >, ≥) และไปที่ต้นฉบับ มีความเป็นไปได้ที่มันจะกลายเป็นไม่เท่ากัน

ความเท่าเทียมกันของความไม่เท่าเทียมกันจะมั่นใจได้เมื่อช่วงของค่าที่ยอมรับได้ พี(x)คิว(x)จะตรงกับช่วงนิพจน์ ร (x) - ส (x)- จากนั้นไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตามคำแนะนำสุดท้ายของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเชิงตรรกศาสตร์เศษส่วน

แต่ช่วงของค่าสำหรับ พี(x)คิว(x)อาจจะกว้างกว่า. ร (x) - ส (x)เช่น โดยการลดเศษส่วน ตัวอย่างจะเป็นไปจาก x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 ถึง x · x - 1 x + 3 หรือสิ่งนี้อาจเกิดขึ้นได้เมื่อนำคำที่คล้ายกันมาใช้ เช่น ที่นี่:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 ถึง 1 x + 3

ในกรณีเช่นนี้ ขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริธึมจะถูกเพิ่มเข้าไป เมื่อดำเนินการคุณจะกำจัดค่าตัวแปรภายนอกที่เกิดขึ้นเนื่องจากการขยายช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ลองยกตัวอย่างบางส่วนเพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าเรากำลังพูดถึงอะไร

ตัวอย่างที่ 6

เงื่อนไข:หาคำตอบของความเท่าเทียมกันเชิงตรรกยะ x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

สารละลาย

เราดำเนินการตามอัลกอริทึมที่ระบุไว้ข้างต้น ขั้นแรก เราจะกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ในกรณีนี้จะถูกกำหนดโดยระบบอสมการ x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 วิธีแก้คือเซต (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

หลังจากนั้นเราจำเป็นต้องแปลงมันเพื่อให้สะดวกในการใช้วิธีช่วงเวลา ก่อนอื่น เราลดเศษส่วนพีชคณิตให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด (x - 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

เรายุบนิพจน์ในตัวเศษโดยใช้สูตรกำลังสองของผลรวม:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของนิพจน์ผลลัพธ์คือ (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) . เราเห็นว่ามีความคล้ายคลึงกับสิ่งที่กำหนดไว้สำหรับความเท่าเทียมเดิม เราสรุปได้ว่าความไม่เท่าเทียมกัน x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 เทียบเท่ากับค่าเดิม ซึ่งหมายความว่าเราไม่ต้องการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึม

เราใช้วิธีช่วงเวลา:

เราเห็นวิธีแก้ปัญหา ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) ซึ่งจะเป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงตรรกยะดั้งเดิม x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

คำตอบ: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

ตัวอย่างที่ 7

เงื่อนไข:คำนวณวิธีแก้ปัญหา x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1

สารละลาย

เรากำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ในกรณีของอสมการนี้จะเท่ากับจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น −2, − 1, 0 และ 1 .

เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

โดยคำนึงถึงผลลัพธ์ที่ได้รับเราเขียน:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

สำหรับนิพจน์ 1 x - 1 ช่วงของค่าที่ถูกต้องคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นค่าเดียว เราเห็นว่าช่วงของค่าได้ขยายออกไป: − 2 , − 1 และ 0 - ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องดำเนินการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึม

เนื่องจากเรามาถึงความไม่เท่าเทียมกัน - 1 x - 1 > 0 เราสามารถเขียนค่าที่เทียบเท่ากับ 1 x - 1 ได้< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

เราไม่รวมคะแนนที่ไม่รวมอยู่ในช่วงค่าที่อนุญาตของความเท่าเทียมกันดั้งเดิม เราจำเป็นต้องยกเว้นจาก (− ∞ , 1) ตัวเลข − 2 , − 1 และ 0 . ดังนั้นการแก้อสมการเชิงเหตุผล x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 จะเป็นค่า (- ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

คำตอบ: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

โดยสรุป เราให้อีกตัวอย่างหนึ่งของปัญหาซึ่งคำตอบสุดท้ายขึ้นอยู่กับช่วงของค่าที่ยอมรับได้

ตัวอย่างที่ 8

เงื่อนไข:ค้นหาวิธีแก้อสมการ 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0

สารละลาย

ช่วงของค่าที่อนุญาตของความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุในเงื่อนไขถูกกำหนดโดยระบบ x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0

ระบบนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเพราะว่า

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกันดั้งเดิม 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเนื่องจากไม่มีค่าของตัวแปรที่จะทำได้ ความรู้สึก.

คำตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล

ข้อความบทเรียน

• นามธรรม [Bezdenezhnykh L.V.]

  พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 UMK: A.G. Mordkovich พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เวลา 02.00 น ส่วนที่ 1 หนังสือเรียน; ส่วนที่ 2 หนังสือปัญหา อ.: Mnemosyne, 2010 ระดับการเรียนรู้: พื้นฐาน หัวข้อบทเรียน: ระบบความไม่เท่าเทียมเชิงเหตุผล (บทเรียนแรกในหัวข้อนี้ให้เวลาศึกษาหัวข้อทั้งหมด 3 ชั่วโมง) บทเรียนเกี่ยวกับการศึกษาหัวข้อใหม่ วัตถุประสงค์ของบทเรียน: แก้อสมการเชิงเส้นซ้ำ แนะนำแนวคิดของระบบอสมการ อธิบายวิธีแก้ปัญหาระบบอสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด พัฒนาความสามารถในการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของความซับซ้อนใด ๆ วัตถุประสงค์: ทางการศึกษา: ศึกษาหัวข้อตามความรู้ที่มีอยู่รวมทักษะการปฏิบัติในการแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นอันเป็นผลมาจากการทำงานอิสระของนักศึกษาและกิจกรรมการบรรยายและการให้คำปรึกษาของผู้ที่เตรียมพร้อมที่สุด พัฒนาการ: การพัฒนาความสนใจทางปัญญา ความเป็นอิสระในการคิด ความจำ ความคิดริเริ่มของนักเรียนผ่านการใช้วิธีการสื่อสารและกิจกรรมเป็นหลัก และองค์ประกอบของการเรียนรู้บนปัญหา การศึกษา: การพัฒนาทักษะการสื่อสาร วัฒนธรรมการสื่อสาร ความร่วมมือ วิธีการสอน: - การบรรยายที่มีองค์ประกอบของการสนทนาและการเรียนรู้จากปัญหา; -งานอิสระของนักเรียนที่มีเนื้อหาทั้งภาคทฤษฎีและภาคปฏิบัติจากตำราเรียน - การพัฒนาวัฒนธรรมของการแก้ปัญหาอย่างเป็นทางการสำหรับระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น ผลลัพธ์ที่วางแผนไว้: นักเรียนจะจดจำวิธีการแก้อสมการเชิงเส้น ทำเครื่องหมายจุดตัดของการแก้อสมการบนเส้นจำนวน และเรียนรู้การแก้ระบบอสมการเชิงเส้น อุปกรณ์บทเรียน: กระดานดำ เอกสารประกอบคำบรรยาย (ใบสมัคร) หนังสือเรียน หนังสือแบบฝึกหัด เนื้อหาบทเรียน: 1. ช่วงเวลาขององค์กร ตรวจการบ้าน. 2. การอัพเดตความรู้ นักเรียนร่วมกับครูกรอกตารางบนกระดาน: ช่วงเวลาของรูปความไม่เท่าเทียมกัน ด้านล่างเป็นตารางที่เสร็จแล้ว: ช่วงเวลาของรูปความไม่เท่าเทียมกัน 3 การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์ การเตรียมพร้อมสำหรับการรับรู้หัวข้อใหม่ 1. ใช้ตารางตัวอย่างแก้อสมการ: ตัวเลือกที่ 1 ตัวเลือกที่ 2 ตัวเลือกที่ 3 ตัวเลือกที่ 4 2. แก้อสมการ วาดรูปสองภาพบนแกนเดียวกัน และตรวจสอบว่าตัวเลข 5 เป็นคำตอบของอสมการสองตัวหรือไม่: ตัวเลือกที่ 1 ตัวเลือกที่ 2 ตัวเลือก 3 ตัวเลือก 4 4. คำอธิบายของวัสดุใหม่ . คำอธิบายเนื้อหาใหม่ (หน้า 40-44): 1. กำหนดระบบความไม่เท่าเทียมกัน (หน้า 41) คำนิยาม: อสมการหลายประการที่มีตัวแปรเดียว x ก่อให้เกิดระบบความไม่เท่าเทียมกันหากงานคือการค้นหาค่าดังกล่าวทั้งหมดของตัวแปรซึ่งแต่ละความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดกับตัวแปรจะกลายเป็นความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง 2. แนะนำแนวคิดของวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและทั่วไปสำหรับระบบความไม่เท่าเทียมกัน ค่า x ใดๆ ดังกล่าวเรียกว่าผลเฉลย (หรือผลเฉลยเฉพาะ) ของระบบอสมการ ชุดของคำตอบเฉพาะทั้งหมดสำหรับระบบอสมการแสดงถึงวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับระบบอสมการ 3. พิจารณาในตำราเรียนถึงวิธีแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันตามตัวอย่างที่ 3 (a, b, c) 4. สรุปเหตุผลด้วยการแก้ระบบ: 5. การรวมวัสดุใหม่ แก้ไขงานจากข้อ 4.20 (a, b), 4.21 (a, b) 6. งานทดสอบ ตรวจสอบการดูดซึมของวัสดุใหม่โดยช่วยเหลืออย่างแข็งขันในการแก้ปัญหาตามตัวเลือก: ตัวเลือก 1 a, c หมายเลข 4.6, 4.8 ตัวเลือก 2 b, d หมายเลข 4.6, 4.8 7. สรุป การสะท้อน วันนี้คุณเรียนรู้แนวคิดใหม่อะไรบ้าง คุณได้เรียนรู้วิธีค้นหาคำตอบของระบบอสมการเชิงเส้นแล้วหรือยัง? คุณประสบความสำเร็จในด้านใดมากที่สุด ด้านใดที่ประสบความสำเร็จมากที่สุด? 8. การบ้าน: หมายเลข 4.5, 4.7.; ทฤษฎีในหนังสือเรียนหน้า 40-44; สำหรับนักศึกษาที่มีแรงจูงใจเพิ่มขึ้น ข้อ 4.23 (c, d) แอปพลิเคชัน. ตัวเลือกที่ 1 ช่วงเวลาการวาดอสมการ 2. แก้อสมการ วาดรูปสองรูปบนแกนเดียวกัน และตรวจสอบว่าหมายเลข 5 เป็นคำตอบของอสมการทั้งสองหรือไม่: การวาดอสมการ ตอบคำถาม ตัวเลือกที่ 2 ช่วงเวลาการวาดอสมการ 2. แก้อสมการ วาดรูปสองรูปบนแกนเดียวกัน และตรวจสอบว่าหมายเลข 5 เป็นคำตอบของอสมการทั้งสองหรือไม่: การวาดอสมการ ตอบคำถาม ตัวเลือกที่ 3 ช่วงเวลาการวาดอสมการ 2. แก้อสมการ วาดรูปสองรูปบนแกนเดียวกัน และตรวจสอบว่าหมายเลข 5 เป็นคำตอบของอสมการทั้งสองหรือไม่: การวาดอสมการ ตอบคำถาม ตัวเลือกที่ 4 ช่วงเวลาการวาดอสมการ 2. แก้อสมการ วาดรูปสองรูปบนแกนเดียวกัน และตรวจสอบว่าหมายเลข 5 เป็นคำตอบของอสมการทั้งสองหรือไม่: การวาดอสมการ ตอบคำถาม

  ดาวน์โหลด: Algebra 9kl - Notes [Bezdenezhnykh L.V.].docx

• บันทึกบทเรียน 2-4 [Zvereva L.P.]

   พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 UMK: ALGEBRA-9TH CLASS, A.G. มอร์ดโควิช.พี.วี. เซมโยนอฟ, 2014. ระดับ - การเรียนรู้ขั้นพื้นฐาน หัวข้อบทเรียน: ระบบความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผล จำนวนชั่วโมงทั้งหมดที่จัดสรรสำหรับการศึกษาหัวข้อ - 4 ชั่วโมง สถานที่ของบทเรียนในระบบบทเรียนในหัวข้อ บทเรียนที่ 2; ลำดับที่ 4. วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อสอนนักเรียนถึงวิธีสร้างระบบความไม่เท่าเทียมกันตลอดจนสอนวิธีแก้ระบบสำเร็จรูปที่เสนอโดยผู้เขียนตำราเรียน วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อพัฒนาทักษะ: เพื่อแก้ปัญหาระบบอสมการอย่างอิสระในเชิงวิเคราะห์ และยังสามารถถ่ายโอนวิธีแก้ปัญหาไปยังเส้นพิกัดเพื่อเขียนคำตอบได้อย่างถูกต้อง เพื่อทำงานอย่างอิสระกับเนื้อหาที่กำหนด .ผลลัพธ์ที่วางแผนไว้: นักเรียนควรจะสามารถแก้ระบบสำเร็จรูปได้ตลอดจนสร้างระบบความไม่เท่าเทียมกันตามเงื่อนไขข้อความของงานและแก้แบบจำลองที่คอมไพล์แล้ว การสนับสนุนทางเทคนิคบทเรียน: UMK: ALGEBRA-9TH CLASS, A.G. มอร์ดโควิช.พี.วี. เซมยอนอฟ สมุดงาน เครื่องฉายสำหรับคำนวณทางจิต พิมพ์งานเพิ่มเติมสำหรับนักเรียนที่เข้มแข็ง การสนับสนุนระเบียบวิธีและการสอนเพิ่มเติมสำหรับบทเรียน (สามารถเชื่อมโยงไปยังแหล่งข้อมูลอินเทอร์เน็ตได้): 1. คู่มือ N.N. Khlevnyuk, M.V. Ivanova, V.G. อิวาชเชนโก, N.S. Melkova “ การก่อตัวของทักษะการคำนวณในบทเรียนคณิตศาสตร์เกรด 5-9” 2.G.G. Levitas “ การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์” เกรด 7-11.3 ที.จี. Gulina “เครื่องจำลองทางคณิตศาสตร์” 5-11 (ความยาก 4 ระดับ) ครูคณิตศาสตร์: Zvereva L.P. บทที่ 2 วัตถุประสงค์: เพื่อพัฒนาทักษะในการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลโดยใช้การตีความทางเรขาคณิตเพื่อแสดงผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา ความคืบหน้าของบทเรียน 1. ช่วงเวลาขององค์กร: การจัดเตรียมชั้นเรียนสำหรับการทำงาน การสื่อสารหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน 11 การตรวจสอบการบ้าน 1. ส่วนทางทฤษฎี: * อะไรคือบันทึกการวิเคราะห์ของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล * บันทึกการวิเคราะห์ของ a คืออะไร ระบบอสมการเชิงเหตุผล * การแก้ไขระบบอสมการหมายความว่าอย่างไร * ผลลัพธ์ของการแก้ระบบอสมการเชิงตรรกศาสตร์คืออะไร< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>วิธีแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันนี้ x> คำตอบ: x> 6. แก้ข้อ 4.10 (c) บนกระดานและในสมุดบันทึก มาแก้อสมการกัน 5x2 – 2x + 1 ≤ 0. 5x2–2x + 1 = 0; ง = 4 – 20 = –16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; ด = –55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> – 2 จากนั้น – 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. การทำซ้ำเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้ แก้หมายเลข 2.33 ให้ความเร็วเริ่มต้นของนักปั่นเป็น x กม./ชม. หลังจากลดลงแล้วจะกลายเป็น (x – 3) กม./ชม. 15x – 45 + 6x = 1.5x(x – 3); 21x – 45 = 1.5x2 – 4.5x; 1.5x2 – 25.5x + 45 = 0 | : 1.5; จากนั้น x2 – 17x + 30 = 0; ง = 169; x1 = 15; x2 = 2 ไม่เป็นไปตามความหมายของปัญหา คำตอบ: 15 กม./ชม.; 12 กม./ชม. IV. บทสรุปจากบทเรียน: ในบทเรียนเราเรียนรู้ที่จะแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบที่ซับซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับโมดูล เราได้ลองใช้มือของเราในการทำงานอิสระ การทำเครื่องหมาย การบ้าน: ทำการบ้านแบบทดสอบข้อ 1 จากข้อ 7 ถึงข้อ 10 ในหน้า 32–33, หมายเลข 4.34 (a; b), หมายเลข 4.35 (a; b) บทที่ 4 การเตรียมการทดสอบ เป้าหมาย: สรุปและจัดระบบเนื้อหาที่ศึกษา เตรียมนักเรียนสำหรับการทดสอบในหัวข้อ “ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล” ความคืบหน้าของบทเรียน 1. ช่วงเวลาขององค์กร: การจัดเตรียมชั้นเรียนสำหรับการทำงาน การสื่อสารหัวข้อและเป้าหมายของ บทเรียน<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >11.การทำซ้ำเนื้อหาที่ศึกษา *การแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันหมายความว่าอย่างไร *ผลลัพธ์ของการแก้ไขระบบความไม่เท่าเทียมเชิงเหตุผลคืออะไร 1. รวบรวมกระดาษจากการบ้านแบบทดสอบ 2. มีการใช้กฎอะไรบ้างในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน? อธิบายวิธีแก้อสมการ: ก) 3x – 8< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0; ข) – 2x2 + x – 5 > 0; c) 3x2 – x + 4 ≤ 0 4. จงกำหนดนิยามของระบบอสมการด้วยตัวแปรสองตัว การแก้ไขระบบความไม่เท่าเทียมกันหมายความว่าอย่างไร? 5. วิธีการของช่วงเวลาซึ่งใช้ในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลคืออะไร? อธิบายสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหาอสมการ: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. แบบฝึกหัดการฝึกอบรม 1. แก้อสมการ: a) 12(1 – x) ≥ 5x – (8x + 2); ข) – 3x2 + 17x + 6< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0, x> – 2 ซึ่งไม่ตรงกับงาน a) หรืองาน b) ซึ่งหมายความว่าเราสามารถสรุปได้ว่า p ≠ 2 นั่นคือ อสมการที่กำหนดนั้นเป็นกำลังสอง a) อสมการกำลังสองของรูปแบบ ax2 + bx + c> 0 ไม่มีทางแก้ได้ ถ้า a< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>0 เป็นที่พอใจสำหรับค่าใดๆ ของ x ถ้า a> 0 และ D

  IV. สรุปบทเรียน คุณต้องทบทวนเนื้อหาทั้งหมดที่คุณเรียนที่บ้านและเตรียมตัวสำหรับการทดสอบ การบ้าน: หมายเลข 1.21 (b; d), หมายเลข 2.15 (c; d); หมายเลข 4.14 (g), หมายเลข 4.28 (g); หมายเลข 4.19 (ก) หมายเลข 4.33 (ง)
  แต่ความไม่เท่าเทียมอย่างมีเหตุผลในปัจจุบันไม่สามารถแก้ไขทุกสิ่งได้ แม่นยำยิ่งขึ้นไม่ใช่เพียงทุกคนเท่านั้นที่สามารถตัดสินใจได้ มีเพียงไม่กี่คนที่สามารถทำได้

  บทเรียนนี้จะยาก ยากเหลือเกินที่มีเพียงผู้ถูกเลือกเท่านั้นที่จะถึงจุดจบ ดังนั้นก่อนเริ่มอ่าน แนะนำให้ลบผู้หญิง แมว เด็กท้อง และ... ออกจากหน้าจอก่อน

  เอาน่า มันง่ายจริงๆ สมมติว่าคุณเชี่ยวชาญวิธีช่วงเวลาแล้ว (หากคุณยังไม่เชี่ยวชาญ ฉันแนะนำให้กลับไปอ่านอีกครั้ง) และเรียนรู้วิธีแก้อสมการของรูปแบบ $P\left(x \right) \gt 0$ โดยที่ $ P\left(x \right)$ คือพหุนามหรือผลคูณของพหุนาม

  ฉันเชื่อว่ามันคงไม่ยากสำหรับคุณที่จะแก้ปัญหาเช่นสิ่งนี้ (ยังไงก็ลองอุ่นเครื่องดู):

  \[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

  ทีนี้มาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้นอีกสักหน่อย และพิจารณาไม่ใช่แค่พหุนามเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสิ่งที่เรียกว่าเศษส่วนตรรกยะของรูปแบบด้วย:

  โดยที่ $P\left(x \right)$ และ $Q\left(x \right)$ เป็นพหุนามที่เหมือนกันในรูปแบบ $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ หรือผลคูณของพหุนามดังกล่าว

  นี่จะเป็นความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล จุดพื้นฐานคือการมีตัวแปร $x$ ในตัวส่วน ตัวอย่างเช่น นี่คือความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล:

  \[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0 \\ \end(align)\]

  และนี่ไม่ใช่ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล แต่เป็นความไม่เท่าเทียมกันที่พบบ่อยที่สุด ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีช่วงเวลา:

  \[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

  เมื่อมองไปข้างหน้าฉันจะพูดทันที: มีอย่างน้อยสองวิธีในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมเชิงเหตุผล แต่ทั้งหมดไม่ทางใดก็ทางหนึ่งก็ลงมาที่วิธีการของช่วงเวลาที่เรารู้จักแล้ว ดังนั้นก่อนที่เราจะวิเคราะห์วิธีการเหล่านี้ เรามาจำข้อเท็จจริงเก่า ๆ กันก่อน ไม่เช่นนั้นเนื้อหาใหม่จะไม่มีความหมาย

  สิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้อยู่แล้ว

  ไม่มีข้อเท็จจริงที่สำคัญมากเกินไป เราต้องการแค่สี่คนจริงๆ

  สูตรคูณแบบย่อ

  ใช่ ใช่ พวกเขาจะหลอกหลอนเราตลอดหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน และที่มหาวิทยาลัยด้วย มีสูตรเหล่านี้ค่อนข้างน้อย แต่เราต้องการเพียงสิ่งต่อไปนี้:

  \[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \ขวา); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\ขวา) \\ \end(จัดแนว)\]

  ให้ความสนใจกับสูตรสองสูตรสุดท้าย - นี่คือผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์ (ไม่ใช่กำลังสามของผลรวมหรือผลต่าง!) ง่ายต่อการจดจำหากคุณสังเกตเห็นว่าเครื่องหมายในวงเล็บแรกเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายในนิพจน์ดั้งเดิม และเครื่องหมายในวงเล็บที่สองอยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายในนิพจน์ดั้งเดิม

  สมการเชิงเส้น

  นี่คือสมการที่ง่ายที่สุดในรูปแบบ $ax+b=0$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นตัวเลขธรรมดา และ $a\ne 0$ สมการนี้สามารถแก้ได้ง่ายๆ:

  \[\begin(align) & ax+b=0; \\&ขวาน=-b; \\ & x=-\frac(b)(ก) \\ \end(จัดแนว)\]

  โปรดทราบว่าเรามีสิทธิ์หารด้วยสัมประสิทธิ์ $a$ เพราะ $a\ne 0$ ข้อกำหนดนี้ค่อนข้างสมเหตุสมผล เนื่องจากสำหรับ $a=0$ เราได้รับสิ่งนี้:

  ประการแรก ไม่มีตัวแปร $x$ ในสมการนี้ โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้ไม่ควรทำให้เราสับสน (สิ่งนี้เกิดขึ้น เช่น ในเรขาคณิต และค่อนข้างบ่อย) แต่ถึงกระนั้น นี่ไม่ใช่สมการเชิงเส้นอีกต่อไป

  ประการที่สอง การแก้สมการนี้ขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ $b$ เพียงอย่างเดียว ถ้า $b$ เป็นศูนย์ด้วย สมการของเราจะมีรูปแบบ $0=0$ ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงเสมอ นี่หมายความว่า $x$ เป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ (โดยปกติจะเขียนดังนี้: $x\in \mathbb(R)$) หากสัมประสิทธิ์ $b$ ไม่เท่ากับศูนย์ ความเสมอภาค $b=0$ จะไม่เป็นที่พอใจ กล่าวคือ ไม่มีคำตอบ (เขียน $x\in \varnothing $ และอ่านว่า “ชุดโซลูชันว่างเปล่า”)

  เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเหล่านี้ เราเพียงถือว่า $a\ne 0$ ซึ่งไม่ได้จำกัดเราในการคิดเพิ่มเติมเลย

  สมการกำลังสอง

  ฉันขอเตือนคุณว่านี่คือสิ่งที่เรียกว่าสมการกำลังสอง:

  ทางซ้ายมือคือพหุนามของดีกรีที่สอง และ $a\ne 0$ อีกครั้ง (ไม่เช่นนั้น เราจะได้สมการเชิงเส้นแทนสมการกำลังสอง) สมการต่อไปนี้ได้รับการแก้ไขโดยการเลือกปฏิบัติ:

  1. ถ้า $D \gt 0$ เราจะได้รากที่แตกต่างกันสองอัน
  2. ถ้า $D=0$ ก็จะมีหนึ่งรูท แต่เป็นการคูณที่สอง (นี่คือการคูณแบบใดและจะพิจารณาอย่างไร - จะอธิบายเพิ่มเติมในภายหลัง) หรือเราสามารถพูดได้ว่าสมการนี้มีรากที่เหมือนกันสองอัน
  3. สำหรับ $D \lt 0$ นั้นไม่มีรากเลย และเครื่องหมายของพหุนาม $a((x)^(2))+bx+c$ สำหรับ $x$ ใดๆ จะตรงกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ $a $. นี่เป็นข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์มาก ซึ่งด้วยเหตุผลบางอย่างพวกเขาลืมพูดถึงในบทเรียนพีชคณิต

  รากนั้นคำนวณโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี:

  \[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

  ดังนั้นโดยวิธีการข้อจำกัดเกี่ยวกับการเลือกปฏิบัติ ท้ายที่สุดแล้ว รากที่สองของจำนวนลบไม่มีอยู่จริง นักเรียนหลายคนมีเรื่องยุ่งๆ ในหัวเกี่ยวกับราก ดังนั้นฉันจึงเขียนบทเรียนทั้งหมดเป็นพิเศษ: รากในพีชคณิตคืออะไรและจะคำนวณอย่างไร - ฉันขอแนะนำให้อ่านเป็นอย่างยิ่ง :)

  การดำเนินการกับเศษส่วนตรรกยะ

  คุณรู้ทุกอย่างที่เขียนไว้ข้างต้นแล้วหากคุณได้ศึกษาวิธีช่วงเวลา แต่สิ่งที่เราจะวิเคราะห์ตอนนี้ไม่มีการเปรียบเทียบในอดีต - นี่เป็นข้อเท็จจริงใหม่ทั้งหมด

  คำนิยาม. เศษส่วนตรรกยะคือการแสดงออกของรูปแบบ

  \[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

  โดยที่ $P\left(x \right)$ และ $Q\left(x \right)$ เป็นพหุนาม

  แน่นอนว่าการหาค่าอสมการจากเศษส่วนนั้นเป็นเรื่องง่าย คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มเครื่องหมาย "มากกว่า" หรือ "น้อยกว่า" ทางด้านขวา และอีกเล็กน้อยเราจะพบว่าการแก้ปัญหาดังกล่าวเป็นเรื่องน่ายินดีทุกอย่างง่ายมาก

  ปัญหาเริ่มต้นเมื่อมีเศษส่วนดังกล่าวหลายตัวในนิพจน์เดียว พวกเขาจะต้องถูกนำตัวหารร่วม - และในขณะนี้มีข้อผิดพลาดที่น่ารังเกียจเกิดขึ้นจำนวนมาก

  ดังนั้น เพื่อที่จะแก้สมการตรรกยะได้สำเร็จ คุณต้องเข้าใจทักษะสองประการอย่างมั่นคง:

  1. แยกตัวประกอบพหุนาม $P\left(x \right)$;
  2. จริงๆ แล้วการนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม.

  จะแยกตัวประกอบพหุนามได้อย่างไร? ง่ายมาก ขอให้เรามีพหุนามของรูปแบบ

  เราทำให้มันเท่ากับศูนย์. เราได้สมการของดีกรี $n$th:

  \[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( ก)_(1))x+((ก)_(0))=0\]

  สมมติว่าเราแก้สมการนี้แล้วได้ราก $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (ไม่ต้องตกใจ: ในกรณีส่วนใหญ่จะมี ไม่เกินสองรากนี้) ในกรณีนี้ พหุนามเดิมของเราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

  \[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(จัด)\]

  แค่นั้นแหละ! โปรดทราบ: ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า $((a)_(n))$ ไม่ได้หายไปไหน - มันจะเป็นตัวคูณแยกต่างหากที่ด้านหน้าของวงเล็บ และหากจำเป็น ก็สามารถแทรกลงในวงเล็บเหล่านี้ได้ (ฝึกแสดง ว่า $((a)_ (n))\ne \pm 1$ มักจะมีเศษส่วนอยู่ในรากเสมอ)

  งาน. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

  \[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

  สารละลาย. ก่อนอื่น ลองดูตัวส่วนกัน: พวกมันล้วนเป็นทวินามเชิงเส้น และไม่มีอะไรต้องแยกตัวประกอบตรงนี้ ลองแยกตัวประกอบตัวเศษ:

  \[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \right)\left(2-5x \right) \\\end(จัดแนว)\]

  โปรดทราบ: ในพหุนามที่สอง ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า "2" ตามโครงร่างของเรา ปรากฏครั้งแรกที่ด้านหน้าวงเล็บ จากนั้นจึงรวมไว้ในวงเล็บแรก เนื่องจากเศษส่วนปรากฏอยู่ที่นั่น

  สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นในพหุนามที่สาม เพียงแต่ลำดับของเทอมกลับกันเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ค่าสัมประสิทธิ์ "−5" ได้ถูกรวมไว้ในวงเล็บที่สอง (โปรดจำไว้ว่า: คุณสามารถป้อนตัวประกอบในวงเล็บเดียวและวงเล็บเดียวเท่านั้น!) ซึ่งช่วยเราจากความไม่สะดวกที่เกี่ยวข้องกับรากเศษส่วน

  สำหรับพหุนามตัวแรก ทุกอย่างเรียบง่าย: รากของมันถูกค้นหาอย่างเป็นมาตรฐานโดยใช้การแบ่งแยกหรือใช้ทฤษฎีบทของเวียตา

  กลับไปที่นิพจน์เดิมแล้วเขียนใหม่โดยแยกตัวประกอบเป็นเศษ:

  \[\begin(เมทริกซ์) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4 \\ \end(เมทริกซ์)\]

  คำตอบ: $5x+4$

  อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อน คณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7-8 นิดหน่อยเท่านั้นเอง จุดประสงค์ของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดคือการได้สิ่งที่เรียบง่ายและใช้งานได้สะดวกจากสำนวนที่ซับซ้อนและน่ากลัว

  อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้จะไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป ตอนนี้เราจะมาดูปัญหาที่ร้ายแรงกว่านี้กัน

  แต่ก่อนอื่น เรามาดูวิธีนำเศษส่วนสองตัวมาเป็นตัวส่วนร่วมกันก่อน อัลกอริทึมนั้นง่ายมาก:

  1. แยกตัวประกอบทั้งสองส่วน
  2. พิจารณาตัวส่วนตัวแรกและเพิ่มตัวประกอบที่มีอยู่ในตัวส่วนที่สอง แต่ไม่ใช่ในตัวส่วนแรก ผลคูณที่ได้จะเป็นตัวส่วนร่วม
  3. ค้นหาว่าเศษส่วนดั้งเดิมแต่ละตัวมีตัวประกอบใดที่ขาดไปเพื่อให้ตัวส่วนมีค่าเท่ากับจำนวนร่วม

  อัลกอริทึมนี้อาจดูเหมือนคุณชอบแค่ข้อความที่มี "ตัวอักษรจำนวนมาก" ดังนั้นเรามาดูทุกสิ่งโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

  งาน. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

  \[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

  สารละลาย. เป็นการดีกว่าที่จะแก้ไขปัญหาใหญ่ ๆ ดังกล่าวเป็นบางส่วน ลองเขียนสิ่งที่อยู่ในวงเล็บแรก:

  \[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

  ต่างจากปัญหาก่อนหน้านี้ ตัวส่วนไม่ง่ายนัก ลองแยกตัวประกอบแต่ละตัวกัน.

  ไม่สามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง $((x)^(2))+2x+4$ ได้ เนื่องจากสมการ $((x)^(2))+2x+4=0$ ไม่มีราก (ค่าจำแนกเป็นลบ ). เราปล่อยให้มันไม่เปลี่ยนแปลง

  ตัวส่วนที่สอง - พหุนามลูกบาศก์ $((x)^(3))-8$ - เมื่อตรวจสอบอย่างรอบคอบแล้ว จะเห็นความแตกต่างของลูกบาศก์และสามารถขยายได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ:

  \[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \ขวา)\]

  ไม่สามารถแยกตัวประกอบอย่างอื่นได้อีก เนื่องจากในวงเล็บแรกจะมีทวินามเชิงเส้น และวงเล็บที่สองมีโครงสร้างที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว ซึ่งไม่มีรากที่แท้จริง

  สุดท้าย ตัวส่วนที่สามคือทวินามเชิงเส้นที่ไม่สามารถขยายได้ ดังนั้นสมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:

  \[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

  เห็นได้ชัดว่าตัวส่วนร่วมจะเท่ากับ $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ พอดี และเพื่อลดเศษส่วนทั้งหมดลงไป จำเป็นต้องคูณเศษส่วนแรกของ $\left(x-2 \right)$ และเศษส่วนสุดท้าย - บน $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือให้สิ่งที่คล้ายกัน:

  \[\begin(เมทริกซ์) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ ขวา))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\ซ้าย (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ ซ้าย(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(เมทริกซ์)\]

  ให้ความสนใจกับบรรทัดที่สอง: เมื่อตัวส่วนเป็นเรื่องธรรมดาอยู่แล้ว เช่น แทนที่จะแยกเศษส่วนสามส่วน เราเขียนเศษส่วนขนาดใหญ่เพียงอันเดียว คุณไม่ควรกำจัดวงเล็บออกทันที จะดีกว่าถ้าเขียนบรรทัดเพิ่มเติมและสังเกตว่ามีเครื่องหมายลบก่อนเศษส่วนที่สาม - และจะไม่ไปไหน แต่จะ "ค้าง" ในตัวเศษหน้าวงเล็บ สิ่งนี้จะช่วยคุณประหยัดจากข้อผิดพลาดมากมาย

  ในบรรทัดสุดท้าย การแยกตัวประกอบตัวเศษก็มีประโยชน์ ยิ่งไปกว่านั้น นี่คือกำลังสองที่แน่นอน และสูตรการคูณแบบย่อก็เข้ามาช่วยเราอีกครั้ง เรามี:

  \[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

  ทีนี้มาจัดการกับวงเล็บเหลี่ยมที่สองด้วยวิธีเดียวกันทุกประการ ที่นี่ฉันจะเขียนห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกัน:

  \[\begin(เมทริกซ์) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(เมทริกซ์)\]

  กลับไปที่ปัญหาเดิมแล้วดูผลิตภัณฑ์:

  \[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

  คำตอบ: \[\frac(1)(x+2)\]

  ความหมายของงานนี้เหมือนกับงานก่อนหน้านี้: เพื่อแสดงให้เห็นว่าการแสดงออกที่มีเหตุผลสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อย่างไรหากคุณเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงอย่างชาญฉลาด

  ตอนนี้คุณรู้ทั้งหมดนี้แล้ว เรามาดูหัวข้อหลักของบทเรียนวันนี้กันดีกว่า - การแก้ไขอสมการเชิงตรรกศาสตร์แบบเศษส่วน ยิ่งไปกว่านั้น หลังจากการเตรียมการ คุณจะขจัดความไม่เท่าเทียมกันเหมือนถั่ว :)

  วิธีหลักในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล

  มีอย่างน้อยสองวิธีในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล ตอนนี้เราจะดูหนึ่งในนั้น - วิชาที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

  แต่ก่อนอื่น เรามาทราบรายละเอียดที่สำคัญกันก่อน ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภท:

  1. เข้มงวด: $f\left(x \right) \gt 0$ หรือ $f\left(x \right) \lt 0$;
  2. หละหลวม: $f\left(x \right)\ge 0$ หรือ $f\left(x \right)\le 0$

  ความไม่เท่าเทียมกันของประเภทที่สองสามารถลดลงเป็นประเภทแรกได้อย่างง่ายดายเช่นเดียวกับสมการ:

  “การบวก” เล็กๆ น้อยๆ นี้ $f\left(x \right)=0$ นำไปสู่สิ่งที่ไม่พึงประสงค์เช่นการเติมคะแนน - เราคุ้นเคยกับมันในวิธีช่วงเวลา มิฉะนั้น จะไม่มีความแตกต่างระหว่างอสมการแบบเข้มงวดและไม่เข้มงวด ดังนั้นเรามาดูอัลกอริธึมสากลกัน:

  1. รวบรวมองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดไว้ที่ด้านหนึ่งของเครื่องหมายอสมการ ตัวอย่างเช่นทางด้านซ้าย
  2. ลดเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นตัวส่วนร่วม (หากมีเศษส่วนดังกล่าวหลายตัว) ให้นำเศษส่วนที่คล้ายกันมาด้วย จากนั้นถ้าเป็นไปได้ ให้แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เราจะได้ค่าอสมการในรูปแบบ $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ โดยที่ "เครื่องหมายถูก" คือเครื่องหมายอสมการ .
  3. เราเปรียบตัวเศษให้เป็นศูนย์: $P\left(x \right)=0$ เราแก้สมการนี้แล้วได้ราก $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... จากนั้นเราต้องการ ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์: $Q\left(x \right)\ne 0$ แน่นอน โดยพื้นฐานแล้ว เราต้องแก้สมการ $Q\left(x \right)=0$ และเราจะได้ราก $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (ในปัญหาจริงแทบจะไม่มีรากดังกล่าวเกินสามราก)
  4. เราทำเครื่องหมายรากเหล่านี้ทั้งหมด (ทั้งที่มีและไม่มีเครื่องหมายดอกจัน) บนเส้นจำนวนเดียว และรากที่ไม่มีดาวจะถูกทาสีทับ และรากที่มีดาวจะถูกเจาะ
  5. เราวางเครื่องหมาย "บวก" และ "ลบ" เลือกช่วงเวลาที่เราต้องการ หากอสมการอยู่ในรูปแบบ $f\left(x \right) \gt 0$ คำตอบจะเป็นช่วงที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมาย "บวก" ถ้า $f\left(x \right) \lt 0$ เราจะดูช่วงเวลาที่มี "เครื่องหมายลบ"

  การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าปัญหาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเกิดจากจุดที่ 2 และ 4 - การแปลงที่มีความสามารถและการจัดเรียงตัวเลขที่ถูกต้องตามลำดับจากน้อยไปหามาก ในขั้นตอนสุดท้าย ระวังอย่างยิ่ง: เรามักจะติดป้ายตาม อสมการสุดท้ายที่เขียนก่อนที่จะพูดถึงสมการ- นี่เป็นกฎสากลที่สืบทอดมาจากวิธีช่วงเวลา

  จึงมีแบบแผน มาฝึกกันเถอะ

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

  สารละลาย. เรามีอสมการที่เข้มงวดในรูปแบบ $f\left(x \right) \lt 0$ เห็นได้ชัดว่าจุดที่ 1 และ 2 จากแผนภาพของเราได้บรรลุแล้ว: องค์ประกอบทั้งหมดของอสมการจะถูกรวบรวมทางด้านซ้าย ไม่จำเป็นต้องนำสิ่งใดมาเป็นตัวส่วนร่วม ดังนั้นเรามาดูตรงไปยังจุดที่สามกันดีกว่า

  เราถือเอาตัวเศษให้เป็นศูนย์:

  \[\begin(จัดแนว) & x-3=0; \\ & x=3. \end(จัดแนว)\]

  และตัวส่วน:

  \[\begin(จัดแนว) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(จัดแนว)\]

  นี่คือจุดที่หลายๆ คนติดขัด เพราะตามทฤษฎีแล้ว คุณต้องเขียน $x+7\ne 0$ ตามที่ ODZ กำหนด (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ แค่นี้เอง) แต่ในอนาคตเราจะหักคะแนนที่มาจากตัวส่วนออกไป ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณให้ยุ่งยากอีกต่อไป เขียนเครื่องหมายเท่ากับทุกที่และไม่ต้องกังวล จะไม่มีใครหักคะแนนสำหรับสิ่งนี้ :)

  จุดที่สี่. เราทำเครื่องหมายรากผลลัพธ์บนเส้นจำนวน:

  ปักหมุดทุกประเด็นเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด

  โปรดทราบ: ทุกจุดถูกปักหมุดไว้ เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันเดิมนั้นเข้มงวด- และตรงนี้ไม่สำคัญว่าจุดเหล่านี้จะมาจากตัวเศษหรือตัวส่วน

  เอาล่ะ มาดูป้ายกันดีกว่า ลองหาจำนวนใดๆ $((x)_(0)) \gt 3$ ตัวอย่างเช่น $((x)_(0))=100$ (แต่ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราสามารถใช้ $((x)_(0))=3.1$ หรือ $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000$) เราได้รับ:

  ทางด้านขวาของรากทั้งหมด เรามีบริเวณบวก และเมื่อผ่านแต่ละรูต เครื่องหมายจะเปลี่ยนไป (ซึ่งจะไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป แต่จะเพิ่มเติมในภายหลัง) ดังนั้น เรามาดูจุดที่ห้ากันดีกว่า: จัดป้ายและเลือกป้ายที่คุณต้องการ:

  

  ลองกลับไปสู่อสมการสุดท้ายก่อนที่จะแก้สมการกัน จริงๆ แล้ว มันเกิดขึ้นพร้อมกับของเดิม เพราะเราไม่ได้ทำการเปลี่ยนแปลงใดๆ ในงานนี้

  เนื่องจากเราจำเป็นต้องแก้อสมการในรูปแบบ $f\left(x \right) \lt 0$ ฉันจึงแรเงาช่วง $x\in \left(-7;3 \right)$ - มันเป็นอันเดียวที่ทำเครื่องหมายไว้ มีเครื่องหมายลบ นี่คือคำตอบ

  คำตอบ: $x\in \left(-7;3 \right)$

  แค่นั้นแหละ! มันยากไหม? ไม่ มันไม่ใช่เรื่องยาก จริงอยู่ที่งานนั้นง่าย ตอนนี้เรามาทำให้ภารกิจซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยและพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันที่ "ซับซ้อน" มากขึ้น เมื่อทำการแก้ไขฉันจะไม่ให้การคำนวณโดยละเอียดอีกต่อไป - ฉันจะร่างประเด็นสำคัญเท่านั้น โดยทั่วไป เราจะจัดรูปแบบเช่นเดียวกับที่เราจัดรูปแบบในระหว่างการทำงานอิสระหรือการสอบ :)

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

  สารละลาย. นี่คืออสมการแบบไม่เข้มงวดในรูปแบบ $f\left(x \right)\ge 0$ องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดจะถูกรวบรวมทางด้านซ้าย ไม่มีตัวส่วนที่แตกต่างกัน มาดูสมการกันดีกว่า

  เศษ:

  \[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\ลูกศรขวา ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\ลูกศรขวา ((x)_(2))=-\frac(2)(11) \\ \end(จัดแนว)\]

  ตัวส่วน:

  \[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13) \\ \end(จัดแนว)\]

  ฉันไม่รู้ว่าคนวิปริตแบบไหนที่ทำให้เกิดปัญหานี้ แต่รากไม่ได้ผลดีนัก: เป็นการยากที่จะวางมันลงบนเส้นจำนวน และถ้าด้วยรูท $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ ทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย (นี่เป็นจำนวนบวกเพียงตัวเดียว - มันจะอยู่ทางขวา) จากนั้น $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ และ $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ ต้องการการวิจัยเพิ่มเติม: อันไหน ใหญ่กว่าไหม?

  คุณสามารถค้นหาสิ่งนี้ได้ เช่น:

  \[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

  ฉันหวังว่าจะไม่จำเป็นต้องอธิบายว่าทำไมเศษส่วนที่เป็นตัวเลข $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? หากจำเป็น ฉันแนะนำให้จดจำวิธีดำเนินการกับเศษส่วน

  และเราทำเครื่องหมายทั้งสามรากบนเส้นจำนวน:

  มีการเติมจุดจากตัวเศษ และจุดจากตัวส่วนถูกแทง

  เรากำลังติดป้าย. ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ $((x)_(0))=1$ แล้วหาเครื่องหมาย ณ จุดนี้:

  \[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

  อสมการสุดท้ายก่อนสมการคือ $f\left(x \right)\ge 0$ ดังนั้นเราจึงสนใจเครื่องหมายบวก

  

  เรามีสองชุด: ชุดหนึ่งเป็นส่วนธรรมดา และอีกชุดเป็นรังสีเปิดบนเส้นจำนวน

  คำตอบ: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

  หมายเหตุสำคัญเกี่ยวกับตัวเลขที่เราทดแทนเพื่อค้นหาเครื่องหมายในช่วงเวลาขวาสุด ไม่จำเป็นต้องแทนที่ตัวเลขที่ใกล้กับรากขวาสุดมากที่สุด คุณสามารถรับหลายพันล้านหรือแม้กระทั่ง "บวกอนันต์" - ในกรณีนี้ เครื่องหมายของพหุนามในวงเล็บ ตัวเศษ หรือตัวส่วน จะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์นำเท่านั้น

  ลองดูฟังก์ชัน $f\left(x \right)$ อีกครั้งจากอสมการล่าสุด:

  สัญกรณ์ประกอบด้วยพหุนามสามตัว:

  \[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\ซ้าย(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4 \end(จัดแนว)\]

  ทั้งหมดนี้เป็นทวินามเชิงเส้น และค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าทั้งหมด (หมายเลข 7, 11 และ 13) เป็นบวก ดังนั้น เมื่อแทนจำนวนจำนวนมาก พหุนามเองก็จะเป็นค่าบวกเช่นกัน :)

  กฎนี้อาจดูซับซ้อนเกินไป แต่เฉพาะในตอนแรกเท่านั้น เมื่อเราวิเคราะห์ปัญหาที่ง่ายมาก ในความไม่เสมอภาคร้ายแรง การแทนที่ "บวก-อนันต์" จะทำให้เราสามารถหาสัญญาณได้เร็วกว่ามาตรฐาน $((x)_(0))=100$ มาก

  เราจะเผชิญกับความท้าทายดังกล่าวในไม่ช้า แต่ก่อนอื่น เรามาดูวิธีอื่นในการแก้อสมการเชิงตรรกยะแบบเศษส่วนกันก่อน

  ทางเลือกอื่น

  นักเรียนคนหนึ่งของฉันแนะนำเทคนิคนี้ให้ฉัน ตัวฉันเองไม่เคยใช้มันมาก่อน แต่การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่านักเรียนหลายคนพบว่าการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมด้วยวิธีนี้สะดวกกว่าจริงๆ

  ดังนั้นข้อมูลเบื้องต้นจึงเหมือนกัน เราจำเป็นต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลเศษส่วน:

  \[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

  ลองคิดดูว่า: ทำไมพหุนาม $Q\left(x \right)$ “แย่กว่า” มากกว่าพหุนาม $P\left(x \right)$? เหตุใดเราจึงต้องพิจารณาแยกกลุ่มราก (มีและไม่มีเครื่องหมายดอกจัน) คิดเกี่ยวกับจุดที่เจาะ ฯลฯ ? ง่ายมาก: เศษส่วนมีขอบเขตของคำจำกัดความ ซึ่งเศษส่วนจะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อตัวส่วนแตกต่างจากศูนย์เท่านั้น

  มิฉะนั้น จะไม่มีความแตกต่างระหว่างตัวเศษและตัวส่วน: เรายังถือว่ามันเป็นศูนย์ด้วย ค้นหาราก แล้วทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน เหตุใดจึงไม่แทนที่เส้นเศษส่วน (อันที่จริงแล้วคือเครื่องหมายการหาร) ด้วยการคูณแบบธรรมดาแล้วเขียนข้อกำหนดทั้งหมดของ ODZ ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันที่แยกจากกัน? ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

  \[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\ลูกศรขวา \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

  โปรดทราบ: วิธีการนี้จะลดปัญหาให้เหลือเพียงวิธีช่วงเวลา แต่จะไม่ทำให้การแก้ปัญหายุ่งยากเลย ท้ายที่สุด เราจะยังคงถือว่าพหุนาม $Q\left(x \right)$ เป็นศูนย์

  เรามาดูกันว่าวิธีนี้ใช้ได้กับปัญหาจริงอย่างไร

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

  สารละลาย. มาดูวิธีช่วงเวลากันดีกว่า:

  \[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\ลูกศรขวา \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

  ความไม่เท่าเทียมกันประการแรกสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเบื้องต้น เราเพียงแค่จัดแต่ละวงเล็บให้เป็นศูนย์:

  \[\begin(align) & x+8=0\ลูกศรขวา ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\ลูกศรขวา ((x)_(2))=11. \\ \end(จัดแนว)\]

  ความไม่เท่าเทียมกันประการที่สองนั้นง่ายเช่นกัน:

  ทำเครื่องหมายจุด $((x)_(1))$ และ $((x)_(2))$ บนเส้นจำนวน พวกเขาทั้งหมดถูกทำให้ล้มลงเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด:

  จุดที่ถูกต้องถูกควักออกสองครั้ง นี่เป็นเรื่องปกติ

  ให้ความสนใจกับจุด $x=11$ ปรากฎว่ามัน "เจาะสองครั้ง": ในด้านหนึ่งเราแทงมันออกเนื่องจากความรุนแรงของความไม่เท่าเทียมกันในทางกลับกันเนื่องจากข้อกำหนดเพิ่มเติมของ DL

  ยังไงซะก็จะเป็นแค่จุดเจาะ ดังนั้นเราจึงจัดสัญญาณของอสมการ $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - อันสุดท้ายที่เราเห็นก่อนที่เราจะเริ่มแก้สมการ:

  

  เราสนใจบริเวณที่เป็นบวก เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการในรูปแบบ $f\left(x \right) \gt 0$ - เราจะแรเงาพวกมัน สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ

  คำตอบ. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

  เมื่อใช้วิธีนี้เป็นตัวอย่าง ฉันอยากจะเตือนคุณเกี่ยวกับข้อผิดพลาดทั่วไปในหมู่นักเรียนที่เริ่มต้น กล่าวคือ: อย่าเปิดวงเล็บในความไม่เท่าเทียมกัน! ในทางตรงกันข้าม พยายามแยกปัจจัยทุกอย่างออก - ซึ่งจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นและช่วยคุณจากปัญหาต่างๆ มากมาย

  ทีนี้ลองทำอะไรที่ซับซ้อนกว่านี้ดู

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

  สารละลาย. นี่เป็นอสมการแบบไม่เข้มงวดในรูปแบบ $f\left(x \right)\le 0$ ดังนั้นคุณจึงต้องใส่ใจจุดแรเงาให้ดี

  มาดูวิธีช่วงเวลากันดีกว่า:

  \[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

  ไปที่สมการ:

  \[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\ลูกศรขวา ((x )_(1))=6.5; \\ & 12x-9=0\ลูกศรขวา ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\ลูกศรขวา ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(จัดแนว)\]

  เราคำนึงถึงข้อกำหนดเพิ่มเติม:

  เราทำเครื่องหมายรากผลลัพธ์ทั้งหมดบนเส้นจำนวน:

  หากจุดหนึ่งถูกเจาะและเติมเข้าไปจะถือว่าถูกเจาะ

  อีกครั้งสองจุด "ทับซ้อนกัน" ซึ่งเป็นเรื่องปกติและจะเป็นเช่นนี้ตลอดไป สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าจุดที่ทำเครื่องหมายว่าเจาะทะลุและเติมเข้าไปนั้นแท้จริงแล้วคือจุดที่เจาะทะลุ เหล่านั้น. “การแทง” เป็นการกระทำที่รุนแรงกว่าการ “วาดภาพ”

  นี่เป็นตรรกะอย่างยิ่งเพราะโดยการบีบเราจะทำเครื่องหมายจุดที่ส่งผลต่อเครื่องหมายของฟังก์ชัน แต่ไม่ได้มีส่วนร่วมในคำตอบ และหาก ณ จุดหนึ่งตัวเลขไม่เหมาะกับเราอีกต่อไป (เช่น มันไม่อยู่ใน ODZ) เราจะตัดมันออกจากการพิจารณาจนกระทั่งสิ้นสุดงาน

  โดยทั่วไปแล้ว ให้หยุดการปรัชญา เราติดป้ายและทาสีตามช่วงเวลาที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายลบ:

  

  คำตอบ. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

  และอีกครั้ง ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่สมการนี้:

  \[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

  อีกครั้ง: อย่าเปิดวงเล็บในสมการแบบนั้น! คุณจะทำให้สิ่งต่าง ๆ ยากขึ้นสำหรับตัวคุณเองเท่านั้น ข้อควรจำ: ผลคูณจะเท่ากับศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ด้วยเหตุนี้ สมการนี้จึง "แตกออก" ออกเป็นสมการเล็กๆ หลายอัน ซึ่งเราได้แก้ไขไปแล้วในปัญหาที่แล้ว

  โดยคำนึงถึงความหลากหลายของราก

  จากปัญหาก่อนหน้านี้ จะเห็นได้ง่ายว่าเป็นอสมการที่ไม่เข้มงวดซึ่งยากที่สุด เพราะในนั้นคุณต้องติดตามจุดแรเงา

  แต่ยังมีสิ่งชั่วร้ายที่ยิ่งใหญ่กว่านี้อีกในโลก - สิ่งเหล่านี้มีรากเหง้าหลายประการของความไม่เท่าเทียมกัน ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องติดตามจุดสีเทาอีกต่อไป - ที่นี่สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันอาจไม่เปลี่ยนแปลงกะทันหันเมื่อผ่านจุดเดียวกันเหล่านี้

  เรายังไม่ได้พิจารณาอะไรแบบนี้ในบทเรียนนี้ (แม้ว่าจะพบปัญหาที่คล้ายกันในวิธีช่วงเวลาก็ตาม) ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความใหม่:

  คำนิยาม. รากของสมการ $((\left(x-a \right))^(n))=0$ เท่ากับ $x=a$ และเรียกว่ารากของการคูณ $n$th

  จริงๆ แล้ว เราไม่สนใจค่าที่แน่นอนของการคูณมากนัก สิ่งเดียวที่สำคัญคือว่า $n$ จำนวนเดียวกันนี้เป็นจำนวนคู่หรือคี่ เพราะ:

  1. ถ้า $x=a$ เป็นรากของการทวีคูณคู่ เครื่องหมายของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านเข้าไป
  2. และในทางกลับกัน ถ้า $x=a$ เป็นรากของการคูณเลขคี่ เครื่องหมายของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป

  ปัญหาก่อนหน้านี้ทั้งหมดที่กล่าวถึงในบทเรียนนี้เป็นกรณีพิเศษของรากของการคูณแบบคี่: ทุกแห่งการคูณจะเท่ากับหนึ่ง

  และอีกอย่างหนึ่ง ก่อนที่เราจะเริ่มแก้ไขปัญหา ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ความละเอียดอ่อนอย่างหนึ่งที่ดูเหมือนจะชัดเจนสำหรับนักเรียนที่มีประสบการณ์ แต่ผลักดันให้ผู้เริ่มต้นจำนวนมากตกอยู่ในอาการมึนงง กล่าวคือ:

  รากของการคูณ $n$ เกิดขึ้นเฉพาะในกรณีที่นิพจน์ทั้งหมดยกกำลังนี้: $((\left(x-a \right))^(n))$ ไม่ใช่ $\left(((x) ^( n))-a \right)$

  อีกครั้ง: วงเล็บ $((\left(x-a \right))^(n))$ ให้ราก $x=a$ ของการคูณ $n$ แก่เรา แต่วงเล็บ $\left(((x)^( n)) -a \right)$ หรืออย่างที่มักจะเกิดขึ้น $(a-((x)^(n)))$ ให้ราก (หรือสองราก ถ้า $n$ เป็นเลขคู่) ของการคูณครั้งแรก โดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่เท่ากับ $n$

  เปรียบเทียบ:

  \[((\left(x-3 \right))^(5))=0\ลูกศรขวา x=3\left(5k \right)\]

  ทุกอย่างชัดเจนตรงนี้: วงเล็บทั้งหมดยกขึ้นเป็นยกกำลังที่ 5 ดังนั้นผลลัพธ์ที่เราได้รับคือรากของยกกำลังที่ 5 และตอนนี้:

  \[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\ลูกศรขวา ((x)^(2))=4\ลูกศรขวา x=\pm 2\]

  เรามีรากอยู่สองอัน, แต่ทั้งคู่มีการคูณครั้งแรก. หรือนี่คืออีกอันหนึ่ง:

  \[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\ลูกศรขวา ((x)^(10))=1024\ลูกศรขวา x=\pm 2\]

  และอย่าปล่อยให้ระดับที่สิบมารบกวนคุณ สิ่งสำคัญคือ 10 เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นที่ผลลัพธ์เรามีราก 2 อัน และทั้งคู่ก็มีจำนวนทวีคูณแรกอีกครั้ง

  โดยทั่วไป ระวัง: หลายหลากจะเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อเท่านั้น ระดับหมายถึงวงเล็บทั้งหมด ไม่ใช่แค่ตัวแปร.

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\ซ้าย(x+7 \right))^(5)))\ge 0\]

  สารละลาย. ลองแก้มันด้วยวิธีอื่น - โดยการเปลี่ยนจากผลหารเป็นผลคูณ:

  \[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\ขวา.\]

  เรามาจัดการกับอสมการแรกโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

  \[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \ขวา))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\ลูกศรขวา x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\ลูกศรขวา x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\ลูกศรขวา x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\ลูกศรขวา x=-7\left(5k \right) \\ \end(จัดแนว)\]

  นอกจากนี้ เรายังแก้อสมการที่สองอีกด้วย จริงๆ แล้ว เราได้แก้ไขไปแล้ว แต่เพื่อให้ผู้ตรวจสอบไม่พบข้อผิดพลาดในวิธีแก้ปัญหา ก็ควรแก้ไขอีกครั้งดีกว่า:

  \[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\ลูกศรขวา x\ne -7\]

  โปรดทราบ: ไม่มีหลายหลากในอสมการสุดท้าย อันที่จริง: มันมีความแตกต่างอะไรที่ทำให้คุณต้องขีดฆ่าจุด $x=-7$ บนเส้นจำนวนกี่ครั้ง? อย่างน้อยหนึ่งครั้งอย่างน้อยห้าครั้งผลลัพธ์จะเหมือนเดิม: จุดที่เจาะ

  ทำเครื่องหมายทุกสิ่งที่เราได้รับบนเส้นจำนวน:

  

  อย่างที่ฉันบอกไป จุด $x=-7$ จะถูกเจาะในที่สุด การคูณจะถูกจัดเรียงตามการแก้อสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา

  สิ่งที่เหลืออยู่คือการวางป้าย:

  

  เนื่องจากจุด $x=0$ เป็นรากของจำนวนทวีคูณ เครื่องหมายจึงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านไป คะแนนที่เหลือมีหลายหลากคี่และทุกอย่างก็ง่ายด้วย

  คำตอบ. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

  ให้ความสนใจกับ $x=0$ อีกครั้ง เนื่องจากความหลากหลายที่เท่ากันเอฟเฟกต์ที่น่าสนใจจึงเกิดขึ้น: ทุกสิ่งทางด้านซ้ายถูกทาสีทับทุกสิ่งทางด้านขวาก็ถูกทาสีทับด้วยและจุดนั้นก็ถูกทาสีทับทั้งหมด

  ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องแยกออกจากกันเมื่อบันทึกคำตอบ เหล่านั้น. ไม่จำเป็นต้องเขียนอะไรเช่น $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (แม้ว่าอย่างเป็นทางการแล้วคำตอบดังกล่าวก็จะถูกต้องเช่นกัน) แต่เราเขียน $x\in \left[ -4;6 \right]$ แทน

  ผลกระทบดังกล่าวเกิดขึ้นได้เฉพาะกับรากที่มีหลายหลากเท่านั้น และในปัญหาต่อไป เราจะพบกับ "อาการ" ย้อนกลับของผลกระทบนี้ คุณพร้อมหรือยัง?

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

  สารละลาย. คราวนี้เราจะทำตามแผนมาตรฐาน เราถือเอาตัวเศษให้เป็นศูนย์:

  \[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\ลูกศรขวา ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\ลูกศรขวา ((x)_(2))=4 \\ \end(จัดแนว)\]

  และตัวส่วน:

  \[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\ลูกศรขวา x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\ลูกศรขวา x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(จัดแนว)\]

  เนื่องจากเรากำลังแก้อสมการแบบไม่เข้มงวดในรูปแบบ $f\left(x \right)\ge 0$ รากจากตัวส่วน (ซึ่งมีเครื่องหมายดอกจัน) จะถูกลบออก และรากจากตัวเศษจะถูกแรเงา

  

  เราติดป้ายและแรเงาบริเวณที่มีเครื่องหมาย "บวก":

  จุด $x=3$ ถูกแยกออกจากกัน นี่เป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ

  ก่อนที่จะเขียนคำตอบสุดท้าย เรามาดูรูปภาพกันดีกว่า:

  1. จุด $x=1$ มีหลายหลากแต่มีจุดทะลุด้วยตัวมันเอง ดังนั้น จะต้องแยกคำตอบออกจากกัน: คุณต้องเขียน $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ ไม่ใช่ $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
  2. จุด $x=3$ ยังมีหลายหลากและเป็นสีเทาอีกด้วย การจัดเรียงป้ายบ่งบอกว่าจุดนั้นเหมาะกับเรา แต่ต้องก้าวไปทางซ้ายหรือขวา - และเราพบว่าตัวเองอยู่ในพื้นที่ที่ไม่เหมาะกับเราอย่างแน่นอน จุดดังกล่าวเรียกว่าแยกออกและเขียนในรูปแบบ $x\in \left\( 3 \right\)$

  เรารวมชิ้นส่วนที่ได้รับทั้งหมดเป็นชุดทั่วไปแล้วจดคำตอบไว้

  คำตอบ: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

  คำนิยาม. การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันหมายถึง ค้นหาชุดของโซลูชันทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าเซตนี้ว่างเปล่า

  ดูเหมือนว่า: อะไรจะเข้าใจไม่ได้ที่นี่? ใช่ ข้อเท็จจริงของเรื่องนี้ก็คือชุดสามารถกำหนดได้หลายวิธี มาเขียนคำตอบของปัญหาสุดท้ายอีกครั้ง:

  เราอ่านสิ่งที่เขียนอย่างแท้จริง ตัวแปร “x” เป็นของชุดหนึ่งซึ่งได้มาจากการรวมชุด (เครื่องหมาย “U”) สี่ชุดแยกกัน:

  • ช่วง $\left(-\infty ;1 \right)$ ซึ่งแท้จริงแล้วหมายถึง "ทุกจำนวนที่น้อยกว่าหนึ่ง แต่ไม่ใช่ตัวเดียว";
  • ช่วงเวลา $\left(1;2 \right)$ เช่น “ตัวเลขทั้งหมดอยู่ในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 2 แต่ไม่ใช่ตัวเลข 1 และ 2”;
  • ชุด $\left\( 3 \right\)$ ประกอบด้วยตัวเลขเดี่ยวหนึ่งตัว - สาม;
  • ช่วง $\left[ 4;5 \right)$ ประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดในช่วงตั้งแต่ 4 ถึง 5 รวมถึงตัวเลขทั้งสี่ด้วย แต่ไม่ใช่ตัวเลขห้า

  ประเด็นที่สามเป็นที่สนใจที่นี่ ต่างจากช่วงซึ่งกำหนดชุดตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุดและระบุเฉพาะขอบเขตของชุดเหล่านี้ ชุด $\left\( 3 \right\)$ ระบุตัวเลขหนึ่งตัวอย่างเคร่งครัดโดยการแจงนับ

  เพื่อให้เข้าใจว่าเรากำลังแสดงหมายเลขเฉพาะที่รวมอยู่ในชุด (และไม่ได้กำหนดขอบเขตหรือสิ่งอื่นใด) จึงมีการใช้เครื่องหมายปีกกา ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ $\left\( 1;2 \right\)$ หมายถึง "ชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว: 1 และ 2" อย่างแน่นอน แต่ไม่ใช่ส่วนของ 1 ถึง 2 อย่าสับสนแนวคิดเหล่านี้ไม่ว่าในกรณีใด ๆ .

  กฎสำหรับการบวกทวีคูณ

  ในตอนท้ายของบทเรียนวันนี้ Pavel Berdov เล็กน้อย :)

  นักเรียนที่เอาใจใส่คงสงสัยอยู่แล้วว่า จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเศษและส่วนมีรากที่เหมือนกัน? ดังนั้นกฎต่อไปนี้จึงใช้งานได้:

  มีการเพิ่มจำนวนรากที่เหมือนกันหลายหลาก เสมอ. แม้ว่ารากนี้จะเกิดขึ้นทั้งตัวเศษและตัวส่วนก็ตาม

  บางครั้งการตัดสินใจก็ดีกว่าการพูด ดังนั้นเราจึงแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \ขวา))\ge 0\]

  \[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(จัดแนว)\]

  ยังไม่มีอะไรพิเศษ เราถือเอาตัวส่วนเป็นศูนย์:

  \[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\ลูกศรขวา x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\ลูกศรขวา x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(จัดแนว)\]

  ค้นพบรากที่เหมือนกันสองราก: $((x)_(1))=-2$ และ $x_(4)^(*)=-2$ ทั้งสองมีการทวีคูณครั้งแรก ดังนั้นเราจึงแทนที่มันด้วยหนึ่งรูต $x_(4)^(*)=-2$ แต่มีหลายหลากเป็น 1+1=2

  นอกจากนี้ ยังมีรากที่เหมือนกันอีกด้วย: $((x)_(2))=-4$ และ $x_(2)^(*)=-4$ พวกมันเป็นตัวคูณตัวแรกด้วย ดังนั้นจะเหลือเพียง $x_(2)^(*)=-4$ ของการคูณ 1+1=2 เท่านั้น

  โปรดทราบ: ในทั้งสองกรณีเราทิ้งรากที่ "เจาะ" ไว้อย่างแน่นอนและไม่รวมรากที่ "ทาสี" ไว้ในการพิจารณา เพราะในตอนต้นของบทเรียนเราเห็นพ้องต้องกันว่า ถ้าจุดใดจุดหนึ่งถูกเจาะและทาสีทับ เราก็จะถือว่าจุดนั้นถูกเจาะ

  เป็นผลให้เรามีสี่รากและทั้งหมดถูกตัดออก:

  \[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right) \\ \end(จัดแนว)\]

  เราทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวนโดยคำนึงถึงความหลากหลาย:

  

  เราติดป้ายและทาสีทับบริเวณที่เราสนใจ:

  

  ทั้งหมด. ไม่มีจุดแยกหรือวิปริตอื่น ๆ คุณสามารถเขียนคำตอบได้

  คำตอบ. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

  กฎสำหรับการคูณทวีคูณ

  บางครั้งสถานการณ์ที่ไม่พึงประสงค์ยิ่งกว่านั้นก็เกิดขึ้น: สมการที่มีหลายรากก็ยกกำลังขึ้นมาเอง ในกรณีนี้ ความหลากหลายของรากดั้งเดิมทั้งหมดจะเปลี่ยนไป

  ซึ่งเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก ดังนั้นนักเรียนส่วนใหญ่จึงไม่มีประสบการณ์ในการแก้ปัญหาดังกล่าว และกฎของที่นี่คือ:

  เมื่อสมการยกกำลัง $n$ ผลคูณของรากทั้งหมดจะเพิ่มขึ้น $n$ เท่าด้วย

  กล่าวอีกนัยหนึ่ง การยกกำลังจะนำไปสู่การคูณจำนวนทวีคูณด้วยกำลังเดียวกัน ลองดูกฎนี้โดยใช้ตัวอย่าง:

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

  สารละลาย. เราถือเอาตัวเศษให้เป็นศูนย์:

  ผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ ทุกอย่างชัดเจนด้วยปัจจัยแรก: $x=0$ แต่แล้วปัญหาก็เริ่มต้นขึ้น:

  \[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

  ดังที่เราเห็น สมการ $((x)^(2))-6x+9=0$ มีรากเดียวของการคูณที่สอง: $x=3$ สมการทั้งหมดนี้จะถูกยกกำลังสอง ดังนั้น ความหลากหลายของรากจะเป็น $2\cdot 2=4$ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจดบันทึกไว้ในที่สุด

  \[((\left(x-4 \right))^(5))=0\ลูกศรขวา x=4\left(5k \right)\]

  ไม่มีปัญหากับตัวส่วนเช่นกัน:

  \[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\ลูกศรขวา x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\ลูกศรขวา x_(2)^(*)=1\left(2k \right) \\ \end(จัดแนว)\]

  โดยรวมแล้วเรามีจุดห้าจุด: สองจุดเจาะและสามจุดทาสี ตัวเศษและส่วนไม่มีรากที่ตรงกัน ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน:

  

  เราจัดเรียงป้ายโดยคำนึงถึงหลายหลากและทาสีตามช่วงเวลาที่เราสนใจ:

  อีกหนึ่งจุดที่โดดเดี่ยวและอีกหนึ่งจุดเจาะ

  เนื่องจากรากฐานของความหลากหลายที่เท่ากัน เราจึงมีองค์ประกอบที่ "ไม่ได้มาตรฐาน" สองสามรายการอีกครั้ง นี่คือ $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ และไม่ใช่ $x\in \left[ 0;2 \right)$ และยังเป็นจุดแยก $ x\in \left\( 3 \right\)$.

  คำตอบ. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

  อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างไม่ซับซ้อนนัก สิ่งสำคัญคือความเอาใจใส่ ส่วนสุดท้ายของบทเรียนนี้เน้นไปที่การเปลี่ยนแปลง ซึ่งเป็นส่วนเดียวกับที่เราพูดคุยกันในตอนเริ่มต้น

  ก่อนการแปลง

  อสมการที่เราจะพิจารณาในส่วนนี้ไม่อาจเรียกว่าซับซ้อนได้ อย่างไรก็ตาม ไม่เหมือนกับปัญหาก่อนหน้านี้ คุณจะต้องใช้ทักษะจากทฤษฎีเศษส่วนตรรกยะ - การแยกตัวประกอบและการลดลงเป็นตัวส่วนร่วม ไม่เหมือนกับปัญหาก่อนหน้านี้

  เราได้พูดคุยถึงปัญหานี้โดยละเอียดในช่วงเริ่มต้นบทเรียนของวันนี้ หากคุณไม่แน่ใจว่าคุณเข้าใจสิ่งที่ฉันกำลังพูดถึง ฉันขอแนะนำให้ย้อนกลับไปทำซ้ำอีกครั้ง เพราะไม่มีประโยชน์ที่จะยัดเยียดวิธีการแก้อสมการหากคุณ "ลอยตัว" ในการแปลงเศษส่วน

  ในการบ้านก็จะมีงานที่คล้ายกันมากมายเช่นกัน พวกมันถูกวางไว้ในส่วนย่อยแยกต่างหาก และคุณจะพบตัวอย่างที่ไม่สำคัญมากมาย แต่นี่จะเป็นการบ้าน และตอนนี้เรามาดูอสมการสองสามอย่างกัน

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

  สารละลาย. ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

  \[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

  เรานำตัวส่วนร่วมมา เปิดวงเล็บ และนำคำที่คล้ายกันมาเป็นตัวเศษ:

  \[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ ขวา))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

  ตอนนี้ เรามีอสมการเชิงตรรกศาสตร์เศษส่วนแบบคลาสสิก ซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป ฉันเสนอให้แก้ไขโดยใช้วิธีอื่น - ผ่านวิธีการตามช่วงเวลา:

  \[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(จัดแนว)\]

  อย่าลืมข้อจำกัดที่มาจากตัวส่วน:

  เราทำเครื่องหมายตัวเลขและข้อจำกัดทั้งหมดบนเส้นตัวเลข:

  รากทั้งหมดมีผลคูณแรก ไม่มีปัญหา. เราเพียงติดป้ายและทาสีบริเวณที่เราต้องการ:

  

  นี่คือทั้งหมด คุณสามารถเขียนคำตอบลงไปได้

  คำตอบ. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

  แน่นอนว่านี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายมาก ตอนนี้เรามาดูปัญหากันอย่างจริงจังมากขึ้น และอย่างไรก็ตามระดับของงานนี้ค่อนข้างสอดคล้องกับงานอิสระและงานทดสอบในหัวข้อนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

  งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

  \[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

  สารละลาย. ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

  \[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

  ก่อนที่จะนำเศษส่วนทั้งสองมาเป็นตัวส่วนร่วม มาแยกตัวประกอบตัวส่วนเหล่านี้ก่อน จะเกิดอะไรขึ้นถ้าวงเล็บเหลี่ยมเดียวกันออกมา? ด้วยตัวส่วนตัวแรก มันง่ายมาก:

  \[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

  อันที่สองยากกว่าเล็กน้อย คุณสามารถเพิ่มตัวประกอบคงที่ลงในวงเล็บตรงบริเวณที่เศษส่วนปรากฏได้ตามใจชอบ ข้อควรจำ: พหุนามดั้งเดิมมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้นจึงมีโอกาสที่ดีที่การแยกตัวประกอบจะมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม (อันที่จริงแล้ว จะมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเสมอ เว้นแต่ว่าการแบ่งแยกนั้นไม่มีเหตุผล)

  \[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(จัดตำแหน่ง)\]

  อย่างที่คุณเห็น มีวงเล็บทั่วไป: $\left(x-1 \right)$ เรากลับไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันและนำเศษส่วนทั้งสองมาเป็นตัวส่วนร่วม:

  \[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ ซ้าย(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\ซ้าย(3x-2 \ขวา))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(จัดแนว)\]

  เราถือเอาตัวส่วนเป็นศูนย์:

  \[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( จัดแนว)\]

  ไม่มีรากทวีคูณหรือตรงกัน เราทำเครื่องหมายตัวเลขสี่ตัวบนบรรทัด:

  เรากำลังวางสัญญาณ:

  

  เราเขียนคำตอบ

  คำตอบ: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.

  สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาค่าตัวเลขของ x ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลหลาย ๆ อย่างพร้อมกันกลายเป็นความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง ในกรณีเช่นนี้ พวกเขาบอกว่าจำเป็นต้องแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลด้วยค่า x ที่ไม่รู้จัก

  ในการแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล เราจะต้องค้นหาคำตอบทั้งหมดสำหรับความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่างในระบบ จากนั้นส่วนทั่วไปของโซลูชันทั้งหมดที่พบจะเป็นโซลูชันของระบบ

  ตัวอย่าง:แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน

  (x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,

  ขั้นแรกเราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน

  (x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.

  เมื่อใช้วิธีการเป็นช่วง (รูปที่ 1) เราพบว่าชุดของคำตอบทั้งหมดสำหรับอสมการ (2) ประกอบด้วยสองช่วง: (-, 1) และ (5, 7)

  รูปที่ 1

  ทีนี้มาแก้อสมการกัน

  เมื่อใช้วิธีช่วงเวลา (รูปที่ 2) เราพบว่าชุดของคำตอบทั้งหมดสำหรับอสมการ (3) ยังประกอบด้วยสองช่วงเวลา: (2, 3) และ (4, +)

  ตอนนี้เราจำเป็นต้องหาส่วนร่วมของการแก้อสมการ (2) และ (3) ลองวาดแกนพิกัด x แล้วทำเครื่องหมายคำตอบที่พบในแกนนั้น ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าส่วนทั่วไปของการแก้อสมการ (2) และ (3) คือช่วง (5, 7) (รูปที่ 3)

  ดังนั้น เซตของคำตอบทั้งหมดของระบบอสมการ (1) จึงประกอบเป็นช่วง (5, 7)

  ตัวอย่าง: แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน

  x2 - 6x + 10< 0,

  มาแก้อสมการกันก่อน

  x 2 - 6x + 10< 0.

  เมื่อใช้วิธีการแยกกำลังสองสมบูรณ์ เราก็เขียนแบบนั้นได้

  x 2 - 6x + 10 = x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (x - 3) 2 +1

  ดังนั้นจึงสามารถเขียนอสมการ (2) ในรูปได้

  (x - 3) 2 + 1< 0,

  ซึ่งก็ชัดเจนว่าไม่มีทางแก้ไข

  ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

  เนื่องจากคำตอบชัดเจนอยู่แล้วว่า ระบบ (1) ไม่มีทางแก้ไข

  ตัวอย่าง:แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน

  มาดูความไม่เท่าเทียมกันประการแรกกันก่อน เรามี

  1 < 0, < 0.

  เมื่อใช้เส้นโค้งเครื่องหมาย เราจะหาคำตอบของอสมการนี้: x< -2; 0 < x < 2.

  ตอนนี้ให้เราแก้อสมการที่สองของระบบที่กำหนด เรามี x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

  เมื่อสังเกตวิธีแก้ปัญหาที่พบสำหรับอสมการที่หนึ่งและที่สองบนเส้นจำนวนทั่วไป (รูปที่ 6) เราจะพบช่วงเวลาที่คำตอบเหล่านี้ตรงกัน (จุดตัดของสารละลาย): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

  ตัวอย่าง:แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน

  ให้เราเปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันแรกของระบบ:

  x 3 (x - 10)(x + 10) 0 หรือ x(x - 10)(x + 10) 0

  (เนื่องจากตัวประกอบในการยกกำลังคี่สามารถถูกแทนที่ด้วยตัวประกอบที่สอดคล้องกันของกำลังแรก) เมื่อใช้วิธีช่วงเวลา เราจะค้นหาวิธีแก้ไขของอสมการสุดท้าย: -10 x 0, x 10

  พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันประการที่สองของระบบ เรามี

  เราพบ (รูปที่ 8) x -9; 3< x < 15.

  เมื่อรวมวิธีแก้ปัญหาที่พบแล้ว เราได้รับ (รูปที่ 9) x 0; x > 3.

  ตัวอย่าง:ค้นหาคำตอบจำนวนเต็มสำหรับระบบอสมการ:

  x + ย< 2,5,

  วิธีแก้ไข: มานำระบบมาสู่แบบฟอร์มกันดีกว่า

  เมื่อบวกอสมการอันแรกและอันที่สอง เราก็ได้ y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

  ที่ไหน -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.