ตัวอย่างการแก้เศษส่วนแท้และเศษส่วนเกิน §26
ในขณะที่ศึกษาราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด - คณิตศาสตร์ เมื่อถึงจุดหนึ่งทุกคนก็เจอเศษส่วน แม้ว่าแนวคิดนี้ (เช่นประเภทของเศษส่วนหรือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์) จะไม่ซับซ้อนเลย แต่คุณต้องปฏิบัติต่อมันอย่างระมัดระวังเพราะในชีวิตจริงนอกโรงเรียนมันจะมีประโยชน์มาก ดังนั้น เรามาทบทวนความรู้ของเราเกี่ยวกับเศษส่วนกันดีกว่า ว่ามันคืออะไร มีไว้เพื่ออะไร พวกมันคืออะไร และจะคำนวณเศษส่วนอย่างไร
เศษส่วนของพระองค์: มันคืออะไร
ในทางคณิตศาสตร์ เศษส่วนคือตัวเลข ซึ่งแต่ละส่วนประกอบด้วยส่วนหนึ่งของหน่วยตั้งแต่หนึ่งส่วนขึ้นไป เศษส่วนดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าสามัญหรือเรียบง่าย ตามกฎแล้ว เขียนเป็นตัวเลขสองตัวที่คั่นด้วยเส้นแนวนอนหรือเส้นทับ เรียกว่าเส้น "เศษส่วน" ตัวอย่างเช่น: ½, ¾
ตัวบนหรือตัวแรกของตัวเลขเหล่านี้คือตัวเศษ (แสดงจำนวนส่วนที่นำมาจากตัวเลข) และตัวล่างหรือตัวที่สองคือตัวส่วน (แสดงให้เห็นว่าหน่วยแบ่งออกเป็นกี่ส่วน)
แถบเศษส่วนทำหน้าที่เป็นเครื่องหมายหารจริงๆ ตัวอย่างเช่น 7:9=7/9
ตามเนื้อผ้า เศษส่วนร่วมจะน้อยกว่าหนึ่ง ในขณะที่ทศนิยมอาจมีขนาดใหญ่กว่านั้น
เศษส่วนมีไว้เพื่ออะไร? ใช่ สำหรับทุกสิ่ง เพราะในโลกแห่งความเป็นจริง ไม่ใช่ว่าตัวเลขทั้งหมดจะเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น เด็กนักเรียนหญิงสองคนในโรงอาหารซื้อช็อกโกแลตแท่งแสนอร่อยด้วยกัน เมื่อพวกเขากำลังจะแบ่งปันของหวาน พวกเขาก็ได้พบกับเพื่อนคนหนึ่งและตัดสินใจจะเลี้ยงเธอด้วย อย่างไรก็ตามตอนนี้จำเป็นต้องแบ่งแท่งช็อกโกแลตให้ถูกต้องโดยพิจารณาว่าประกอบด้วย 12 สี่เหลี่ยม
ในตอนแรกสาวๆ ต้องการแบ่งทุกอย่างเท่าๆ กัน จากนั้นแต่ละคนก็จะได้สี่ชิ้น แต่หลังจากคิดทบทวนแล้ว พวกเขาก็ตัดสินใจปฏิบัติต่อเพื่อน ไม่ใช่ 1/3 แต่เป็น 1/4 ของช็อกโกแลต และเนื่องจากเด็กนักเรียนหญิงเรียนเศษส่วนได้ไม่ดีนัก พวกเขาจึงไม่ได้คำนึงว่าในสถานการณ์เช่นนี้พวกเขาจะมีเศษส่วน 9 ชิ้น ซึ่งยากมากที่จะแบ่งออกเป็นสองส่วน ตัวอย่างที่ค่อนข้างง่ายนี้แสดงให้เห็นว่าการค้นหาส่วนหนึ่งของตัวเลขอย่างถูกต้องนั้นมีความสำคัญเพียงใด แต่ในชีวิตยังมีกรณีเช่นนี้อีกมากมาย
ประเภทของเศษส่วน: สามัญและทศนิยม
เศษส่วนทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภทใหญ่: สามัญและทศนิยม คุณลักษณะของคุณสมบัติแรกได้อธิบายไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า ดังนั้นตอนนี้จึงควรให้ความสนใจกับคุณสมบัติที่สอง
ทศนิยมคือสัญลักษณ์แสดงตำแหน่งของเศษส่วนของตัวเลข ซึ่งเขียนเป็นลายลักษณ์อักษรโดยคั่นด้วยเครื่องหมายลูกน้ำ โดยไม่มีเครื่องหมายขีดกลางหรือเครื่องหมายทับ ตัวอย่างเช่น: 0.75, 0.5
ที่จริงแล้ว เศษส่วนทศนิยมนั้นเหมือนกับเศษส่วนธรรมดา อย่างไรก็ตาม ตัวส่วนของมันจะเป็นหนึ่งตามด้วยศูนย์เสมอ - จึงเป็นที่มาของชื่อของมัน
จำนวนที่อยู่ข้างหน้าเครื่องหมายจุลภาคเป็นส่วนจำนวนเต็ม และทุกอย่างที่อยู่หลังเครื่องหมายจุลภาคจะเป็นเศษส่วน เศษส่วนอย่างง่ายใดๆ สามารถแปลงเป็นทศนิยมได้ ดังนั้น เศษส่วนทศนิยมที่ระบุในตัวอย่างก่อนหน้านี้สามารถเขียนได้ตามปกติ: ¾ และ ½
เป็นที่น่าสังเกตว่าทั้งเศษส่วนทศนิยมและเศษส่วนธรรมดาสามารถเป็นได้ทั้งบวกหรือลบ หากมีเครื่องหมาย “-” นำหน้า เศษส่วนนี้จะเป็นลบ ถ้า “+” เป็นเศษส่วนบวก
ชนิดย่อยของเศษส่วนสามัญ
มีเศษส่วนอย่างง่ายประเภทนี้
ชนิดย่อยของเศษส่วนทศนิยม
เศษส่วนทศนิยมนั้นแตกต่างจากเศษส่วนธรรมดาตรงที่แบ่งออกเป็น 2 ประเภทเท่านั้น
- สุดท้าย - ได้รับชื่อนี้เนื่องจากหลังจุดทศนิยมมีจำนวนหลักจำกัด (จำกัด): 19.25
- เศษส่วนอนันต์คือตัวเลขที่มีจำนวนหลักไม่สิ้นสุดหลังจุดทศนิยม เช่น เมื่อหาร 10 ด้วย 3 ผลลัพธ์จะเป็นเศษส่วนอนันต์ 3.333...
การบวกเศษส่วน
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ด้วยเศษส่วนนั้นยากกว่าตัวเลขธรรมดาเล็กน้อย อย่างไรก็ตามหากคุณเข้าใจกฎพื้นฐานการแก้ไขตัวอย่างด้วยกฎเหล่านั้นก็ไม่ใช่เรื่องยาก
ตัวอย่างเช่น: 2/3+3/4 ตัวคูณร่วมน้อยสำหรับพวกเขาคือ 12 ดังนั้นจึงจำเป็นที่จำนวนนี้จะต้องอยู่ในตัวส่วนแต่ละตัว ในการทำเช่นนี้เราคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรกด้วย 4 ปรากฎว่า 8/12 เราทำเช่นเดียวกันกับเทอมที่สอง แต่คูณด้วย 3 - 9/12 เท่านั้น ตอนนี้คุณสามารถแก้ตัวอย่างได้อย่างง่ายดาย: 8/12+9/12= 17/12 เศษส่วนที่ได้เป็นค่าที่ไม่ถูกต้องเนื่องจากตัวเศษมากกว่าตัวส่วน สามารถและควรแปลงเป็นค่าผสมที่ถูกต้องโดยหาร 17:12 = 1 และ 5/12
เมื่อบวกเศษส่วนแบบผสม การดำเนินการจะดำเนินการด้วยจำนวนเต็มก่อน แล้วตามด้วยเศษส่วน
หากตัวอย่างมีเศษส่วนทศนิยมและเศษส่วนปกติ จำเป็นต้องทำให้ทั้งสองอย่างง่าย จากนั้นนำมาหารด้วยตัวส่วนเดียวกันแล้วบวกเข้าด้วยกัน เช่น 3.1+1/2 ตัวเลข 3.1 สามารถเขียนเป็นเศษส่วนผสมของ 3 กับ 1/10 หรือเป็นเศษส่วนเกิน - 31/10 ได้ ตัวส่วนร่วมของเทอมนี้คือ 10 ดังนั้นคุณต้องคูณทั้งเศษและส่วน 1/2 ด้วย 5 สลับกัน จะได้ 5/10 จากนั้นคุณสามารถคำนวณทุกอย่างได้อย่างง่ายดาย: 31/10+5/10=35/10 ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนที่ลดลงอย่างไม่เหมาะสม เรานำมาให้อยู่ในรูปปกติโดยลดลง 5: 7/2 = 3 และ 1/2 หรือทศนิยม - 3.5
เมื่อบวกเศษส่วนทศนิยม 2 หลัก สิ่งสำคัญคือต้องมีจำนวนหลักเท่ากันหลังจุดทศนิยม หากไม่เป็นเช่นนั้น คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มจำนวนศูนย์ที่ต้องการ เนื่องจากในรูปเศษส่วนทศนิยม สามารถทำได้อย่างไม่ลำบาก เช่น 3.5+3.005 ในการแก้ปัญหานี้ คุณจะต้องเพิ่มศูนย์ 2 ตัวให้กับตัวเลขแรก แล้วบวกทีละตัว: 3.500+3.005=3.505
การลบเศษส่วน
เมื่อลบเศษส่วน คุณควรทำเช่นเดียวกับการบวก: ลดตัวส่วนร่วม ลบตัวเศษหนึ่งตัวจากอีกตัวหนึ่ง และหากจำเป็น ให้แปลงผลลัพธ์เป็นเศษส่วนคละ
ตัวอย่างเช่น: 16/20-5/10 ตัวส่วนร่วมจะเป็น 20 คุณต้องนำเศษส่วนที่สองมาหารด้วย 2 ทั้งสองส่วน จะได้ 10/20 ตอนนี้คุณสามารถแก้ตัวอย่างได้: 16/20-10/20= 6/20 อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์นี้ใช้กับเศษส่วนที่ลดได้ ดังนั้นจึงคุ้มค่าที่จะหารทั้งสองข้างด้วย 2 และผลลัพธ์ที่ได้คือ 3/10
การคูณเศษส่วน
การหารและคูณเศษส่วนทำได้ง่ายกว่าการบวกและการลบมาก ความจริงก็คือเมื่อทำงานเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องมองหาตัวส่วนร่วม
ในการคูณเศษส่วน คุณเพียงแค่ต้องคูณตัวเศษทั้งสองตัวทีละตัว แล้วคูณตัวส่วนทั้งสอง ลดผลลัพธ์ที่ได้หากเศษส่วนเป็นปริมาณที่ลดลงได้
ตัวอย่างเช่น: 4/9x5/8 หลังจากการคูณแบบอื่น ผลลัพธ์คือ 4x5/9x8=20/72 เศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ 4 ดังนั้นคำตอบสุดท้ายในตัวอย่างคือ 5/18
วิธีการหารเศษส่วน
การหารเศษส่วนก็เป็นเรื่องง่ายเช่นกัน จริงๆ แล้วการหารเศษส่วนก็ยังต้องอาศัยการคูณด้วย หากต้องการหารเศษส่วนหนึ่งด้วยอีกเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องกลับเศษส่วนที่สองแล้วคูณด้วยเศษส่วนแรก
เช่น การหารเศษส่วน 5/19 และ 5/7 เพื่อแก้ตัวอย่าง คุณต้องสลับตัวส่วนและเศษของเศษส่วนที่สองแล้วคูณ: 5/19x7/5=35/95 ผลลัพธ์สามารถลดลงได้ 5 - ปรากฎว่า 7/19
หากคุณต้องการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเฉพาะ เทคนิคจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย ขั้นแรกคุณควรเขียนจำนวนนี้เป็นเศษส่วนเกินแล้วหารตามรูปแบบเดียวกัน ตัวอย่างเช่น 2/13:5 ควรเขียนเป็น 2/13: 5/1 ตอนนี้คุณต้องพลิกกลับ 5/1 และคูณเศษส่วนที่ได้: 2/13x1/5= 2/65
บางครั้งคุณต้องหารเศษส่วนคละ คุณต้องปฏิบัติต่อพวกมันเหมือนกับที่คุณทำกับจำนวนเต็ม เปลี่ยนพวกมันให้เป็นเศษส่วนเกิน กลับตัวหารแล้วคูณทุกอย่าง เช่น 8 ½: 3 แปลงทุกอย่างให้เป็นเศษส่วนเกิน: 17/2: 3/1 ตามด้วยการพลิก 3/1 และการคูณ: 17/2x1/3= 17/6 ตอนนี้คุณควรแปลงเศษส่วนเกินให้เป็นเศษส่วนที่ถูกต้อง - 2 ทั้งหมดและ 5/6
ดังนั้นเมื่อรู้ว่าเศษส่วนคืออะไรและคุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ กับเศษส่วนเหล่านี้ได้อย่างไร คุณต้องพยายามอย่าลืมมัน ท้ายที่สุดแล้ว ผู้คนมักจะแบ่งบางสิ่งออกเป็นส่วนๆ มากกว่าที่จะบวก ดังนั้นคุณจึงต้องทำอย่างถูกต้อง
เราเจอเศษส่วนในชีวิตเร็วกว่าที่เราจะเริ่มเรียนที่โรงเรียนมาก ถ้าเราหั่นแอปเปิ้ลทั้งลูกออกครึ่งหนึ่ง เราก็จะได้ผลไม้ 1/2 ผล ตัดอีกครั้ง - มันจะเป็น¼ พวกนี้เป็นเศษส่วน. และทุกอย่างก็ดูเรียบง่าย สำหรับผู้ใหญ่ สำหรับเด็ก (และหัวข้อนี้เริ่มได้รับการศึกษาเมื่อสิ้นสุดชั้นประถมศึกษา) แนวคิดทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมยังคงเข้าใจไม่ได้อย่างน่ากลัวและครูจะต้องอธิบายอย่างชัดเจนว่าเศษส่วนที่เหมาะสมและไม่เหมาะสมสามัญและทศนิยมคืออะไรการดำเนินการใดที่สามารถทำได้ กับพวกเขาและที่สำคัญที่สุดคือทำไมทั้งหมดนี้ถึงจำเป็น
เศษส่วนคืออะไร?
การแนะนำหัวข้อใหม่ที่โรงเรียนเริ่มต้นด้วยเศษส่วนสามัญ สามารถจดจำได้ง่ายด้วยเส้นแนวนอนที่แยกตัวเลขสองตัวด้านบนและด้านล่าง ตัวบนเรียกว่าตัวเศษ ตัวล่างเรียกว่าตัวส่วน. นอกจากนี้ยังมีตัวเลือกตัวพิมพ์เล็กสำหรับการเขียนเศษส่วนสามัญที่ไม่เหมาะสมและเหมาะสม - โดยใช้เครื่องหมายทับเช่น: ½, 4/9, 384/183 ตัวเลือกนี้ใช้เมื่อมีการจำกัดความสูงของเส้น และไม่สามารถใช้แบบฟอร์มรายการ "สองชั้น" ได้ ทำไม ใช่เพราะมันสะดวกกว่า เราจะเห็นสิ่งนี้ในภายหลัง
นอกจากเศษส่วนธรรมดาแล้ว ยังมีเศษส่วนทศนิยมอีกด้วย มันง่ายมากที่จะแยกแยะความแตกต่าง: หากในกรณีหนึ่งใช้แนวนอนหรือสแลช ในอีกกรณีหนึ่งจะใช้ลูกน้ำเพื่อแยกลำดับของตัวเลข ลองดูตัวอย่าง: 2.9; 163.34; 1.953. เราตั้งใจใช้เครื่องหมายอัฒภาคเป็นตัวคั่นเพื่อกำหนดขอบเขตตัวเลข คนแรกจะอ่านดังนี้: "สองจุดเก้า"
แนวคิดใหม่
ลองกลับไปสู่เศษส่วนธรรมดา. พวกเขามาในสองประเภท
คำจำกัดความของเศษส่วนแท้มีดังนี้ คือ เศษส่วนที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ทำไมสิ่งนี้ถึงสำคัญ? เราจะได้เห็นกันตอนนี้!
คุณมีแอปเปิ้ลหลายลูกลดลงครึ่งหนึ่ง รวม - 5 ส่วน คุณจะพูดว่าอย่างไร: คุณมีแอปเปิ้ล “สองลูกครึ่ง” หรือ “ห้าลูกครึ่ง” หรือไม่? แน่นอนว่าตัวเลือกแรกฟังดูเป็นธรรมชาติมากกว่า และเราจะใช้มันเมื่อพูดคุยกับเพื่อน ๆ แต่ถ้าเราจะต้องคำนวณว่าแต่ละคนจะได้ผลไม้กี่ผล ถ้าในบริษัทมี 5 คน เราจะจดเลข 5/2 แล้วหารด้วย 5 จากมุมมองทางคณิตศาสตร์จะชัดเจนกว่านี้ .
ดังนั้น ในการตั้งชื่อเศษส่วนแท้และเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม กฎคือ: หากสามารถแยกเศษส่วนทั้งหมดออกเป็นเศษส่วนได้ (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) ก็จะถือว่าไม่แน่นอน หากทำไม่ได้เช่นในกรณี ½, 13/16, 9/10 ก็จะถูกต้อง
คุณสมบัติหลักของเศษส่วน
ถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันพร้อมกัน ค่าของมันจะไม่เปลี่ยนแปลง ลองนึกภาพ: พวกเขาตัดเค้กออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กันแล้วให้คุณหนึ่งอัน พวกเขาตัดเค้กชิ้นเดียวกันออกเป็นแปดชิ้นแล้วให้คุณสองชิ้น มันสำคัญจริงๆเหรอ? ท้ายที่สุดแล้ว ¼ และ 2/8 ก็เหมือนกัน!
การลดน้อยลง
ผู้เขียนปัญหาและตัวอย่างในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์มักจะพยายามทำให้นักเรียนสับสนโดยเสนอเศษส่วนที่เขียนยากแต่จริงๆ แล้วสามารถย่อได้ นี่คือตัวอย่างของเศษส่วนแท้: 167/334 ซึ่งดูเหมือนจะ "น่ากลัว" มาก แต่จริงๆ แล้วเราสามารถเขียนมันเป็น ½ ได้. จำนวน 334 หารด้วย 167 ลงตัวโดยไม่มีเศษ - หลังจากดำเนินการนี้แล้วเราจะได้ 2
ตัวเลขผสม
เศษส่วนเกินสามารถแสดงเป็นจำนวนคละได้ นี่คือตอนที่นำส่วนทั้งหมดไปข้างหน้าและเขียนที่ระดับเส้นแนวนอน อันที่จริงแล้ว นิพจน์จะอยู่ในรูปของผลรวม: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 และอื่นๆ
หากต้องการนำส่วนทั้งหมดออก คุณต้องหารตัวเศษด้วยตัวส่วน เขียนส่วนที่เหลือของการหารไว้ด้านบน เหนือเส้น และส่วนทั้งหมด - ก่อนนิพจน์ ดังนั้นเราจึงได้ส่วนโครงสร้างสองส่วน: หน่วยทั้งหมด + เศษส่วนแท้
คุณยังสามารถดำเนินการผกผันได้ - ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องคูณส่วนจำนวนเต็มด้วยตัวส่วนและเพิ่มค่าผลลัพธ์ให้กับตัวเศษ ไม่มีอะไรซับซ้อน
การคูณและการหาร
น่าแปลกที่การคูณเศษส่วนนั้นง่ายกว่าการบวก สิ่งที่คุณต้องทำก็แค่ขยายเส้นแนวนอน: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5
ด้วยการหาร ทุกอย่างก็ง่ายเช่นกัน: คุณต้องคูณเศษส่วนตามขวาง: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16
การบวกเศษส่วน
จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการบวกหรือมีตัวเลขในตัวส่วนต่างกัน? การทำแบบเดียวกับการคูณจะไม่ทำงาน - ที่นี่คุณควรเข้าใจคำจำกัดความของเศษส่วนที่เหมาะสมและสาระสำคัญของมัน จำเป็นต้องนำพจน์มาเป็นตัวส่วนร่วม กล่าวคือ ส่วนล่างของเศษส่วนทั้งสองต้องมีตัวเลขเท่ากัน
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณควรใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน: คูณทั้งสองส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน เช่น 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½
จะเลือกตัวส่วนที่จะลดเงื่อนไขได้อย่างไร? นี่ต้องเป็นจำนวนขั้นต่ำที่เป็นจำนวนทวีคูณของทั้งสองตัวเลขในตัวส่วนของเศษส่วน: สำหรับ 1/3 และ 1/9 จะเป็น 9; สำหรับ 1/7 และ 1/7 - 14 เนื่องจากไม่มีค่าที่น้อยกว่าที่หารด้วย 2 และ 7 ลงตัวโดยไม่มีเศษ
การใช้งาน
เศษส่วนเกินใช้ทำอะไร? ท้ายที่สุดจะสะดวกกว่ามากในการเลือกชิ้นส่วนทั้งหมดทันทีรับจำนวนคละ - แล้วทำมันให้เสร็จ! ปรากฎว่าหากคุณต้องการคูณหรือหารเศษส่วนสองส่วน การใช้เศษส่วนที่ไม่ปกติจะทำกำไรได้มากกว่า
ลองใช้ตัวอย่างต่อไปนี้: (2 + 3/17) / (37 / 68)
ดูเหมือนว่าจะไม่มีอะไรจะตัดเลย แต่ถ้าเราเขียนผลลัพธ์การบวกในวงเล็บแรกเป็นเศษส่วนเกินล่ะ? ดู: (37/17) / (37/68)
ตอนนี้ทุกอย่างเข้าที่แล้ว! มาเขียนตัวอย่างในลักษณะที่ทุกอย่างชัดเจน: (37*68) / (17*37)
ลองลบ 37 ในตัวเศษและส่วนออกแล้วหารบนและล่างด้วย 17 คุณจำกฎพื้นฐานสำหรับเศษส่วนแท้และเศษส่วนเกินได้ไหม? เราสามารถคูณและหารมันด้วยจำนวนเท่าใดก็ได้ ตราบใดที่เราทำทั้งตัวเศษและตัวส่วนพร้อมๆ กัน.
ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ: 4. ตัวอย่างดูซับซ้อน แต่คำตอบมีเพียงตัวเลขเดียวเท่านั้น สิ่งนี้เกิดขึ้นบ่อยครั้งในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่งสำคัญคือไม่ต้องกลัวและปฏิบัติตามกฎง่ายๆ
ข้อผิดพลาดทั่วไป
เมื่อนำไปใช้ นักเรียนสามารถสร้างข้อผิดพลาดทั่วไปข้อใดข้อหนึ่งได้อย่างง่ายดาย โดยปกติแล้วจะเกิดขึ้นเนื่องจากการไม่ตั้งใจและบางครั้งเกิดจากการที่เนื้อหาที่ศึกษายังไม่ถูกเก็บไว้ในหัวอย่างเหมาะสม
บ่อยครั้งที่ผลรวมของตัวเลขในตัวเศษทำให้คุณต้องการลดส่วนประกอบแต่ละตัวของมัน สมมติว่าในตัวอย่าง: (13 + 2) / 13 เขียนโดยไม่มีวงเล็บ (มีเส้นแนวนอน) นักเรียนหลายคนเนื่องจากไม่มีประสบการณ์ ให้ขีดฆ่า 13 ด้านบนและด้านล่างออก แต่ไม่ควรทำไม่ว่าในกรณีใด ๆ เพราะนี่เป็นความผิดพลาดอย่างร้ายแรง! ถ้าแทนที่จะบวกมีเครื่องหมายคูณ เราก็จะได้เลข 2 ในคำตอบ แต่เมื่อทำการบวก จะไม่อนุญาตให้มีการดำเนินการกับเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งเฉพาะกับผลรวมทั้งหมดเท่านั้น
ผู้ชายมักจะทำผิดพลาดเมื่อทำการหารเศษส่วน ลองหาเศษส่วนที่ลดไม่ได้สองส่วนแล้วหารกัน: (5/6) / (25/33) นักเรียนสามารถผสมและเขียนนิพจน์ที่ได้เป็น (5*25) / (6*33) แต่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นด้วยการคูณ แต่ในกรณีของเรา ทุกอย่างจะแตกต่างออกไปบ้าง: (5*33) / (6*25) เราลดสิ่งที่เป็นไปได้ลง และคำตอบจะเป็น 11/10 เราเขียนเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมที่ได้เป็นทศนิยม - 1.1
วงเล็บ
โปรดจำไว้ว่าในนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ ลำดับของการดำเนินการจะถูกกำหนดโดยลำดับความสำคัญของเครื่องหมายการดำเนินการและการมีวงเล็บ สิ่งอื่นๆ ที่เท่าเทียมกัน ลำดับของการกระทำจะนับจากซ้ายไปขวา สิ่งนี้ก็เป็นจริงสำหรับเศษส่วนเช่นกัน - นิพจน์ในตัวเศษหรือตัวส่วนจะถูกคำนวณอย่างเคร่งครัดตามกฎนี้
ท้ายที่สุดแล้ว นี่คือผลลัพธ์ของการหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง หากแบ่งไม่เท่ากัน ก็จะกลายเป็นเศษส่วน แค่นั้นเอง
วิธีเขียนเศษส่วนบนคอมพิวเตอร์
เนื่องจากเครื่องมือมาตรฐานไม่อนุญาตให้สร้างเศษส่วนที่ประกอบด้วย "สองชั้น" เสมอไป นักเรียนจึงใช้กลอุบายต่างๆ ตัวอย่างเช่น พวกเขาคัดลอกตัวเศษและตัวส่วนลงในโปรแกรมแก้ไขกราฟิก Paint และกาวเข้าด้วยกัน โดยวาดเส้นแนวนอนระหว่างพวกมัน แน่นอนว่ามีตัวเลือกที่ง่ายกว่าซึ่งมีคุณสมบัติเพิ่มเติมมากมายที่จะเป็นประโยชน์กับคุณในอนาคต
เปิด ไมโครซอฟเวิร์ด แผงใดแผงหนึ่งที่ด้านบนของหน้าจอเรียกว่า "แทรก" - คลิกมัน ทางด้านขวามือซึ่งมีไอคอนปิดและย่อหน้าต่างอยู่ จะมีปุ่ม "สูตร" นั่นคือสิ่งที่เราต้องการ!
หากคุณใช้ฟังก์ชันนี้ พื้นที่สี่เหลี่ยมจะปรากฏขึ้นบนหน้าจอ ซึ่งคุณสามารถใช้เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ได้อยู่บนแป้นพิมพ์ได้ รวมทั้งเขียนเศษส่วนในรูปแบบคลาสสิกได้ นั่นคือการหารทั้งเศษและส่วนด้วยเส้นแนวนอน คุณอาจจะแปลกใจด้วยซ้ำว่าเศษส่วนแท้นั้นเขียนง่ายมาก
เรียนรู้คณิตศาสตร์
หากคุณอยู่เกรด 5-6 เร็วๆ นี้จะต้องมีความรู้ด้านคณิตศาสตร์ (รวมถึงความสามารถในการทำงานกับเศษส่วน!) ในหลายวิชาของโรงเรียน ในเกือบทุกปัญหาในฟิสิกส์ เมื่อวัดมวลของสารในวิชาเคมี เรขาคณิต และตรีโกณมิติ คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่มีเศษส่วน ในไม่ช้าคุณจะได้เรียนรู้การคำนวณทุกอย่างในหัวโดยไม่ต้องจดสำนวนลงบนกระดาษ แต่จะมีตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นเรียนรู้ว่าเศษส่วนแท้คืออะไรและจะใช้มันอย่างไร ติดตามหลักสูตรของคุณ ทำการบ้านตรงเวลา แล้วคุณจะประสบความสำเร็จ
บทความนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับ เศษส่วนทั่วไป- ในที่นี้เราจะแนะนำแนวคิดเรื่องเศษส่วนของจำนวนเต็ม ซึ่งจะนำเราไปสู่คำจำกัดความของเศษส่วนร่วม ต่อไป เราจะพูดถึงสัญกรณ์ที่เป็นที่ยอมรับสำหรับเศษส่วนสามัญและยกตัวอย่างเศษส่วน สมมติว่าเกี่ยวกับตัวเศษและส่วนของเศษส่วน หลังจากนี้ เราจะให้คำจำกัดความของเศษส่วนที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม บวกและลบ และพิจารณาตำแหน่งของตัวเลขเศษส่วนบนรังสีพิกัดด้วย โดยสรุป เราจะแสดงรายการการดำเนินการหลักด้วยเศษส่วน
การนำทางหน้า
หุ้นทั้งหมด
ก่อนอื่นเราขอแนะนำ แนวคิดเรื่องการแบ่งปัน.
สมมติว่าเรามีวัตถุบางอย่างที่ประกอบด้วยส่วนที่เหมือนกันทุกประการหลายส่วน (นั่นคือ เท่ากัน) เพื่อความชัดเจน คุณสามารถจินตนาการได้ เช่น แอปเปิ้ลหั่นเป็นชิ้นเท่าๆ กัน หรือส้มที่มีชิ้นเท่าๆ กันหลายชิ้น แต่ละส่วนที่เท่ากันเหล่านี้ซึ่งประกอบเป็นวัตถุทั้งหมดเรียกว่า บางส่วนของทั้งหมดหรือเพียงแค่ หุ้น.
โปรดทราบว่าหุ้นมีความแตกต่างกัน มาอธิบายเรื่องนี้กัน ขอให้เรามีแอปเปิ้ลสองลูก ตัดแอปเปิ้ลลูกแรกออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน และลูกที่สองออกเป็น 6 ส่วนเท่า ๆ กัน เห็นได้ชัดว่าส่วนแบ่งของแอปเปิ้ลลูกแรกจะแตกต่างจากส่วนแบ่งของแอปเปิ้ลลูกที่สอง
ขึ้นอยู่กับจำนวนหุ้นที่ประกอบขึ้นเป็นวัตถุทั้งหมด การแชร์เหล่านี้มีชื่อของตัวเอง มาจัดเรียงกัน ชื่อของจังหวะ- ถ้าวัตถุประกอบด้วยสองส่วน ส่วนใดส่วนหนึ่งเรียกว่าส่วนที่สองของวัตถุทั้งหมด ถ้าวัตถุประกอบด้วยสามส่วน ส่วนใดส่วนหนึ่งเรียกว่าหนึ่งในสามส่วน และต่อๆ ไป
การแบ่งปันครั้งที่สองมีชื่อพิเศษ - ครึ่ง- หนึ่งในสามเรียกว่า ที่สามและหนึ่งในสี่ส่วน - หนึ่งในสี่.
เพื่อความกระชับจึงได้แนะนำสิ่งต่อไปนี้: เอาชนะสัญลักษณ์- หุ้นหนึ่งหุ้นที่สองถูกกำหนดเป็นหรือ 1/2 หุ้นหนึ่งในสามถูกกำหนดเป็นหรือ 1/3 หนึ่งในสี่แชร์ - ไลค์หรือ 1/4 และอื่นๆ โปรดทราบว่ามีการใช้สัญลักษณ์ที่มีแถบแนวนอนบ่อยกว่า เพื่อเสริมกำลังวัสดุ ให้เรายกตัวอย่างอีกตัวอย่างหนึ่ง: รายการหมายถึงส่วนที่หนึ่งร้อยหกสิบเจ็ดของทั้งหมด
แนวคิดเรื่องการแบ่งปันขยายจากวัตถุไปสู่ปริมาณโดยธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น หนึ่งในการวัดความยาวคือเมตร หากต้องการวัดความยาวที่สั้นกว่าหนึ่งเมตร ให้ใช้เศษส่วนของเมตรได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ครึ่งเมตรหรือหนึ่งในสิบหรือหนึ่งในพันของเมตรได้ ส่วนแบ่งของปริมาณอื่น ๆ ก็ใช้เช่นเดียวกัน
เศษส่วนสามัญ ความหมาย และตัวอย่างเศษส่วน
เพื่ออธิบายจำนวนหุ้นที่เราใช้ เศษส่วนทั่วไป- ขอให้เรายกตัวอย่างที่จะช่วยให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของเศษส่วนสามัญได้
ให้ส้มประกอบด้วย 12 ส่วน แต่ละส่วนแบ่งในกรณีนี้แสดงถึงหนึ่งในสิบสองของส้มทั้งหมด ซึ่งก็คือ เราแสดงว่าสองจังหวะเป็น , สามจังหวะเป็น และอื่น ๆ 12 จังหวะที่เราแสดงว่าเป็น แต่ละรายการที่ระบุเรียกว่าเศษส่วนสามัญ
ตอนนี้ให้ทั่วไป คำจำกัดความของเศษส่วนร่วม.
คำจำกัดความที่เปล่งออกมาของเศษส่วนสามัญช่วยให้เราสามารถให้ได้ ตัวอย่างของเศษส่วนร่วม: 5/10, , 21/1, 9/4, . และนี่คือบันทึก 
ไม่สอดคล้องกับคำจำกัดความของเศษส่วนสามัญที่ระบุไว้ กล่าวคือ เศษส่วนเหล่านี้ไม่ใช่เศษส่วนธรรมดา
ตัวเศษและตัวส่วน
เพื่อความสะดวก เศษส่วนธรรมดาจะถูกแยกออก ตัวเศษและตัวส่วน.
คำนิยาม.
เศษเศษส่วนสามัญ (m/n) เป็นจำนวนธรรมชาติ m
คำนิยาม.
ตัวส่วนเศษส่วนร่วม (m/n) คือจำนวนธรรมชาติ n
ดังนั้น ตัวเศษจะอยู่เหนือเส้นเศษส่วน (ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายทับ) และตัวส่วนจะอยู่ใต้เส้นเศษส่วน (ทางด้านขวาของเครื่องหมายทับ) ตัวอย่างเช่น ลองหาเศษส่วนร่วม 17/29 ตัวเศษของเศษส่วนนี้คือเลข 17 และตัวส่วนคือเลข 29
ยังคงต้องหารือถึงความหมายที่มีอยู่ในตัวเศษและส่วนของเศษส่วนสามัญ ตัวส่วนของเศษส่วนจะแสดงจำนวนส่วนของวัตถุหนึ่งชิ้น และตัวเศษก็ระบุถึงจำนวนของส่วนดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ตัวส่วน 5 ของเศษส่วน 12/5 หมายความว่าวัตถุหนึ่งชิ้นประกอบด้วยห้าส่วน และตัวเศษ 12 หมายความว่ามีการแบ่ง 12 ส่วนดังกล่าว
จำนวนธรรมชาติเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วน 1
ตัวส่วนของเศษส่วนร่วมสามารถเท่ากับหนึ่งได้ ในกรณีนี้ เราสามารถพิจารณาว่าวัตถุนั้นแบ่งแยกไม่ได้ กล่าวคือ มันแสดงถึงบางสิ่งทั้งหมด ตัวเศษของเศษส่วนดังกล่าวจะระบุจำนวนวัตถุที่ถูกหยิบไปทั้งหมด ดังนั้น เศษส่วนธรรมดาที่อยู่ในรูป m/1 จึงมีความหมายเป็นจำนวนธรรมชาติ m นี่คือวิธีที่เรายืนยันความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน m/1=m
ลองเขียนความเสมอภาคสุดท้ายใหม่ดังนี้: m=m/1 ความเท่าเทียมกันนี้ทำให้เราสามารถแทนจำนวนธรรมชาติ m ใดๆ ให้เป็นเศษส่วนสามัญได้ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 4 คือเศษส่วน 4/1 และตัวเลข 103,498 เท่ากับเศษส่วน 103,498/1
ดังนั้น, เลขธรรมชาติใดๆ m สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาโดยมีส่วนเป็น 1 เป็น m/1 และเศษส่วนสามัญใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ m/1 สามารถแทนที่ด้วยเลขธรรมชาติ m.
แถบเศษส่วนเป็นเครื่องหมายหาร
การแสดงวัตถุดั้งเดิมในรูปแบบของการแบ่งใช้ n ครั้งนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการแบ่งออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน หลังจากที่รายการหนึ่งถูกแบ่งออกเป็น n หุ้น เราสามารถแบ่งให้คน n คนเท่าๆ กัน โดยแต่ละคนจะได้รับหนึ่งหุ้น
หากเริ่มแรกเรามีวัตถุที่เหมือนกัน m ชิ้น ซึ่งแต่ละชิ้นถูกแบ่งออกเป็น n ส่วน เราก็จะสามารถแบ่งวัตถุ m เหล่านี้ให้กับคน n คนเท่าๆ กัน โดยให้แต่ละคนได้ 1 ส่วนแบ่งจากวัตถุ m แต่ละตัว ในกรณีนี้ แต่ละคนจะมี m หุ้นของ 1/n และ m หุ้นของ 1/n ให้เศษส่วนร่วม m/n ดังนั้น เศษส่วนร่วม m/n สามารถใช้แทนการแบ่งรายการ m ระหว่าง n คนได้
นี่คือวิธีที่เราเชื่อมโยงอย่างชัดเจนระหว่างเศษส่วนสามัญและการหาร (ดูแนวคิดทั่วไปของการหารจำนวนธรรมชาติ) การเชื่อมต่อนี้แสดงดังต่อไปนี้: เส้นเศษส่วนสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเครื่องหมายการหาร นั่นคือ m/n=m:n.
เมื่อใช้เศษส่วนธรรมดา คุณสามารถเขียนผลลัพธ์ของการหารจำนวนธรรมชาติสองตัวซึ่งไม่สามารถหารทั้งหมดได้ ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของการหารแอปเปิ้ล 5 ลูกด้วย 8 คนสามารถเขียนเป็น 5/8 กล่าวคือ ทุกคนจะได้แอปเปิ้ลห้าในแปด: 5:8 = 5/8
เศษส่วนที่เท่ากันและไม่เท่ากัน การเปรียบเทียบเศษส่วน
การกระทำที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติก็คือ การเปรียบเทียบเศษส่วนเพราะเห็นได้ชัดว่า 1/12 ของส้มแตกต่างจาก 5/12 และ 1/6 ของแอปเปิ้ลก็เหมือนกับอีก 1/6 ของแอปเปิ้ลนี้
จากการเปรียบเทียบเศษส่วนธรรมดาสองตัวจะได้ผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่ง: เศษส่วนนั้นเท่ากันหรือไม่เท่ากัน ในกรณีแรกที่เรามี เศษส่วนร่วมที่เท่ากันและในวินาที- เศษส่วนสามัญที่ไม่เท่ากัน- ให้เราให้คำจำกัดความของเศษส่วนสามัญที่เท่ากันและไม่เท่ากัน
คำนิยาม.
เท่ากันถ้าความเท่าเทียมกัน a·d=b·c เป็นจริง
คำนิยาม.
เศษส่วนร่วมสองตัว a/b และ c/d ไม่เท่ากันถ้าความเท่าเทียมกัน a·d=b·c ไม่เป็นที่พอใจ
นี่คือตัวอย่างเศษส่วนที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น เศษส่วนร่วม 1/2 เท่ากับเศษส่วน 2/4 เนื่องจาก 1·4=2·2 (หากจำเป็น โปรดดูกฎและตัวอย่างการคูณจำนวนธรรมชาติ) เพื่อความชัดเจน คุณสามารถจินตนาการถึงแอปเปิ้ลที่เหมือนกันสองตัว อันแรกถูกตัดครึ่ง และอันที่สองถูกตัดออกเป็น 4 ส่วน เห็นได้ชัดว่าแอปเปิ้ลสองในสี่เท่ากับ 1/2 ส่วนแบ่ง ตัวอย่างอื่นๆ ของเศษส่วนร่วมที่เท่ากันคือ เศษส่วน 4/7 และ 36/63 และเศษส่วนคู่ 81/50 และ 1,620/1,000
แต่เศษส่วนสามัญ 4/13 และ 5/14 นั้นไม่เท่ากัน เนื่องจาก 4·14=56 และ 13·5=65 นั่นคือ 4·14≠13·5 ตัวอย่างอื่นๆ ของเศษส่วนร่วมที่ไม่เท่ากันคือเศษส่วน 17/7 และ 6/4
หากเมื่อเปรียบเทียบเศษส่วนทั่วไปสองตัวแล้วปรากฏว่าพวกมันไม่เท่ากัน คุณอาจต้องค้นหาเศษส่วนทั่วไปตัวใด น้อยแตกต่างและอันไหน - มากกว่า- หากต้องการทราบว่ามีการใช้กฎสำหรับการเปรียบเทียบเศษส่วนสามัญซึ่งสาระสำคัญคือการนำเศษส่วนที่เปรียบเทียบมาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วเปรียบเทียบตัวเศษ ข้อมูลโดยละเอียดในหัวข้อนี้รวบรวมไว้ในบทความการเปรียบเทียบเศษส่วน: กฎ ตัวอย่าง วิธีแก้ไข
ตัวเลขเศษส่วน
แต่ละเศษส่วนเป็นสัญกรณ์ จำนวนเศษส่วน- นั่นคือเศษส่วนเป็นเพียง "เปลือก" ของจำนวนเศษส่วนลักษณะที่ปรากฏและโหลดความหมายทั้งหมดมีอยู่ในจำนวนเศษส่วน อย่างไรก็ตาม เพื่อความกระชับและสะดวก จึงนำแนวคิดเรื่องเศษส่วนและจำนวนเศษส่วนมารวมกันและเรียกง่ายๆ ว่าเศษส่วน เป็นการเหมาะสมที่จะถอดความคำพูดที่รู้จักกันดี: เราพูดว่าเศษส่วน - เราหมายถึงจำนวนเศษส่วน, เราพูดว่าจำนวนเศษส่วน - เราหมายถึงเศษส่วน
เศษส่วนบนรังสีพิกัด
ตัวเลขเศษส่วนทั้งหมดที่สอดคล้องกับเศษส่วนธรรมดาจะมีตำแหน่งเฉพาะของตัวเองนั่นคือมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเศษส่วนกับจุดของรังสีพิกัด
เพื่อที่จะไปยังจุดบนรังสีพิกัดที่สัมพันธ์กับเศษส่วน m/n คุณต้องแยกส่วน m ออกจากจุดกำเนิดของพิกัดในทิศทางบวก ซึ่งมีความยาวเท่ากับ 1/n เศษส่วนของส่วนของหน่วย ส่วนดังกล่าวสามารถหาได้โดยการแบ่งส่วนของหน่วยออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
ตัวอย่างเช่น ลองแสดงจุด M บนรังสีพิกัดซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วน 14/10 ความยาวของส่วนที่ปลายอยู่ที่จุด O และจุดที่ใกล้เคียงที่สุด โดยมีเครื่องหมายขีดเล็กๆ กำกับไว้ คือ 1/10 ของส่วนของหน่วย จุดที่มีพิกัด 14/10 จะถูกลบออกจากจุดกำเนิดที่ระยะห่าง 14 ส่วนดังกล่าว
เศษส่วนที่เท่ากันสอดคล้องกับจำนวนเศษส่วนเดียวกัน กล่าวคือ เศษส่วนที่เท่ากันคือพิกัดของจุดเดียวกันบนรังสีพิกัด ตัวอย่างเช่นพิกัด 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 สอดคล้องกับจุดหนึ่งบนรังสีพิกัดเนื่องจากเศษส่วนที่เขียนทั้งหมดเท่ากัน (อยู่ที่ระยะครึ่งส่วนของหน่วยที่วางไว้ จากจุดกำเนิดไปในทิศทางบวก)
บนรังสีพิกัดแนวนอนและทิศทางขวา จุดที่มีพิกัดเป็นเศษส่วนมากกว่าจะอยู่ทางด้านขวาของจุดซึ่งมีพิกัดเป็นเศษส่วนน้อยกว่า ในทำนองเดียวกัน จุดที่มีพิกัดเล็กกว่าจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุดที่มีพิกัดใหญ่กว่า
เศษส่วน คำจำกัดความ และตัวอย่างที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม
ในบรรดาเศษส่วนธรรมดาก็มี เศษส่วนแท้และเศษส่วนเกิน- การหารนี้ขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบตัวเศษและตัวส่วน
ให้เรานิยามเศษส่วนสามัญที่เหมาะสมและไม่เหมาะสม
คำนิยาม.
เศษส่วนแท้เป็นเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน กล่าวคือ ถ้า m คำนิยาม.
เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมคือเศษส่วนสามัญที่มีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน กล่าวคือ ถ้า m≥n แสดงว่าเศษส่วนสามัญนั้นไม่เหมาะสม นี่คือตัวอย่างเศษส่วนแท้: 1/4, , 32,765/909,003 อันที่จริงเศษส่วนสามัญที่เขียนไว้แต่ละตัวจะมีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน (หากจำเป็น โปรดดูบทความเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ) ดังนั้นจึงถูกต้องตามคำจำกัดความ นี่คือตัวอย่างเศษส่วนเกิน: 9/9, 23/4, . อันที่จริง ตัวเศษของเศษส่วนสามัญตัวแรกที่เขียนมีค่าเท่ากับตัวส่วน และในเศษส่วนที่เหลือตัวเศษจะมากกว่าตัวส่วน นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความของเศษส่วนแท้และเศษส่วนเกิน โดยอาศัยการเปรียบเทียบเศษส่วนกับเศษส่วนอย่างใดอย่างหนึ่ง คำนิยาม. ถูกต้องถ้ามันน้อยกว่าหนึ่ง คำนิยาม. เศษส่วนสามัญเรียกว่า ผิดถ้ามันเท่ากับหนึ่งหรือมากกว่า 1 ดังนั้นเศษส่วนร่วม 7/11 จึงถูกต้อง เนื่องจาก 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 และ 27/27=1 ลองคิดดูว่าเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนสมควรได้รับชื่อเช่นนี้ - "ไม่เหมาะสม" ตัวอย่างเช่น ลองหาเศษส่วนเกิน 9/9 กัน เศษส่วนนี้หมายความว่านำเก้าส่วนมาจากวัตถุที่ประกอบด้วยเก้าส่วน นั่นคือจากเก้าส่วนที่มีอยู่เราสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดได้ นั่นคือเศษส่วนเกิน 9/9 จะให้วัตถุทั้งหมด นั่นคือ 9/9 = 1 โดยทั่วไป เศษส่วนเกินที่มีตัวเศษเท่ากับตัวส่วนจะหมายถึงวัตถุทั้งหมดชิ้นเดียว และเศษส่วนดังกล่าวสามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติ 1 ได้ ตอนนี้ให้พิจารณาเศษส่วนเกิน 7/3 และ 12/4 เห็นได้ชัดว่าจากเจ็ดส่วนที่สามนี้เราสามารถประกอบวัตถุทั้งหมดสองชิ้นได้ (วัตถุทั้งหมดหนึ่งชิ้นประกอบด้วย 3 ส่วน จากนั้นเพื่อประกอบวัตถุทั้งหมดสองชิ้นเราจะต้องมี 3 + 3 = 6 ส่วน) และจะยังคงมีหนึ่งในสาม เหลืออีกส่วนหนึ่ง นั่นคือเศษส่วนเกิน 7/3 โดยพื้นฐานแล้วหมายถึงวัตถุ 2 ชิ้นและ 1/3 ของวัตถุนั้นด้วย และจากสิบสองส่วนในสี่ส่วน เราสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดได้สามชิ้น (วัตถุสามชิ้น แต่ละชิ้นมีสี่ส่วน) นั่นคือเศษส่วน 12/4 โดยพื้นฐานแล้วหมายถึงวัตถุทั้งหมด 3 ชิ้น ตัวอย่างที่พิจารณาแล้วนำเราไปสู่ข้อสรุปต่อไปนี้: เศษส่วนเกินสามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติก็ได้ เมื่อตัวเศษถูกหารด้วยตัวส่วนเท่าๆ กัน (เช่น 9/9=1 และ 12/4=3) หรือด้วยผลรวม ของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนแท้ เมื่อตัวเศษหารด้วยตัวส่วนไม่เท่ากัน (เช่น 7/3=2+1/3) บางทีนี่อาจเป็นสิ่งที่ทำให้เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมทำให้ชื่อ "ไม่สม่ำเสมอ" สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือการแทนเศษส่วนเกินเป็นผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนแท้ (7/3=2+1/3) กระบวนการนี้เรียกว่าการแยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนเกิน และสมควรได้รับการพิจารณาแยกจากกันและรอบคอบมากขึ้น นอกจากนี้ ยังเป็นที่น่าสังเกตว่ามีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกันมากระหว่างเศษส่วนเกินกับจำนวนคละ เศษส่วนร่วมแต่ละเศษส่วนสอดคล้องกับจำนวนเศษส่วนที่เป็นบวก (ดูบทความเกี่ยวกับจำนวนบวกและลบ) นั่นก็คือเศษส่วนธรรมดานั่นเอง เศษส่วนบวก- เช่น เศษส่วนสามัญ 1/5, 56/18, 35/144 เป็นเศษส่วนบวก เมื่อคุณต้องการเน้นด้านบวกของเศษส่วน จะมีการวางเครื่องหมายบวกไว้ข้างหน้า เช่น +3/4, +72/34 หากคุณใส่เครื่องหมายลบหน้าเศษส่วนร่วม ค่านี้จะสอดคล้องกับจำนวนเศษส่วนที่เป็นลบ ในกรณีนี้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ เศษส่วนติดลบ- นี่คือตัวอย่างเศษส่วนติดลบ: −6/10, −65/13, −1/18 เศษส่วนบวกและลบ m/n และ −m/n เป็นตัวเลขที่ตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น เศษส่วน 5/7 และ −5/7 เป็นเศษส่วนตรงข้าม เศษส่วนที่เป็นบวก เช่นเดียวกับจำนวนบวกโดยทั่วไป แสดงถึงการบวก รายได้ การเปลี่ยนแปลงที่เพิ่มขึ้นในค่าใดๆ เป็นต้น เศษส่วนติดลบสอดคล้องกับค่าใช้จ่าย หนี้สิน หรือปริมาณที่ลดลง ตัวอย่างเช่น เศษส่วนติดลบ −3/4 สามารถตีความได้ว่าเป็นหนี้ซึ่งมีมูลค่าเท่ากับ 3/4 ในทิศทางแนวนอนและทางขวา เศษส่วนติดลบจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุดกำเนิด จุดบนเส้นพิกัด ซึ่งพิกัดเป็นเศษส่วนบวก m/n และเศษส่วนลบ −m/n อยู่ในระยะห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน แต่อยู่ด้านตรงข้ามของจุด O สมควรกล่าวถึงเศษส่วนในรูปแบบ 0/n เศษส่วนเหล่านี้เท่ากับเลขศูนย์ นั่นคือ 0/n=0 เศษส่วนบวก เศษส่วนลบ และเศษส่วน 0/n รวมกันเป็นจำนวนตรรกยะ เราได้กล่าวถึงการกระทำหนึ่งกับเศษส่วนสามัญแล้ว - เปรียบเทียบเศษส่วน - ข้างต้น มีการกำหนดฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมอีกสี่ฟังก์ชัน การดำเนินการกับเศษส่วน– การบวก ลบ คูณ หารเศษส่วน มาดูกันทีละอัน สาระสำคัญทั่วไปของการดำเนินการที่มีเศษส่วนนั้นคล้ายคลึงกับสาระสำคัญของการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติ มาทำการเปรียบเทียบกัน การคูณเศษส่วนสามารถมองได้ว่าเป็นการกระทำในการหาเศษส่วนจากเศษส่วน เพื่อชี้แจงเราขอยกตัวอย่าง สมมุติว่าเรามีแอปเปิ้ล 1/6 ลูก และเราต้องเอา 2/3 ของมัน. ส่วนที่เราต้องการคือผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วน 1/6 และ 2/3 ผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วนสามัญสองตัวจะได้เศษส่วนสามัญ (ซึ่งในกรณีพิเศษจะเท่ากับจำนวนธรรมชาติ) ต่อไป เราขอแนะนำให้คุณศึกษาข้อมูลในบทความการคูณเศษส่วน - กฎ ตัวอย่าง และวิธีแก้ไข อ้างอิง. เศษส่วนทั่วไปแบ่งออกเป็นเศษส่วน \textit (เหมาะสม) และ \textit (ไม่เหมาะสม) การหารนี้ขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบตัวเศษและตัวส่วน เศษส่วนแท้เศษส่วนสามัญ $\frac(m)(n)$ เรียกว่า โดยที่ตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน กล่าวคือ $ม ตัวอย่างที่ 1 ตัวอย่างเช่น เศษส่วน $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ ถูกต้อง แล้วตัวเศษในแต่ละอันจะน้อยกว่าตัวส่วนซึ่งตรงตามนิยามของเศษส่วนแท้ได้อย่างไร. มีคำจำกัดความของเศษส่วนแท้ซึ่งขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบเศษส่วนกับเศษส่วนหนึ่ง ถูกต้องหากน้อยกว่าหนึ่ง: ตัวอย่างที่ 2 ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทั่วไป $\frac(6)(13)$ เป็นเศษส่วนแท้เพราะว่า เงื่อนไข $\frac(6)(13) เป็นที่พอใจ เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเศษส่วนสามัญ $\frac(m)(n)$ เรียกว่า โดยที่ตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน กล่าวคือ $m\ge n$ ตัวอย่างที่ 3 ตัวอย่างเช่น เศษส่วน $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ นั้นไม่แน่นอน แล้วตัวเศษในแต่ละอันจะมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนได้อย่างไร ซึ่งตรงตามนิยามของเศษส่วนเกิน. ลองให้นิยามของเศษส่วนเกินซึ่งอิงจากการเปรียบเทียบกับเศษส่วนนั้นกัน. เศษส่วนร่วม $\frac(m)(n)$ คือ ผิดถ้ามันเท่ากับหรือมากกว่าหนึ่ง: \[\frac(m)(n)\ge 1\] ตัวอย่างที่ 4 ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทั่วไป $\frac(21)(4)$ ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก ตรงตามเงื่อนไข $\frac(21)(4) >1$; เศษส่วนทั่วไป $\frac(8)(8)$ ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก ตรงตามเงื่อนไข $\frac(8)(8)=1$ มาดูแนวคิดเรื่องเศษส่วนเกินกันดีกว่า ลองใช้เศษส่วนเกิน $\frac(7)(7)$ เป็นตัวอย่าง ความหมายของเศษส่วนนี้คือการแบ่งวัตถุเจ็ดส่วนซึ่งแบ่งออกเป็นเจ็ดส่วนเท่า ๆ กัน ดังนั้น จากเจ็ดส่วนแบ่งที่มีอยู่ จึงสามารถประกอบออบเจ็กต์ทั้งหมดได้ เหล่านั้น. เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม $\frac(7)(7)$ อธิบายวัตถุทั้งหมดและ $\frac(7)(7)=1$ ดังนั้น เศษส่วนเกินซึ่งมีตัวเศษเท่ากับตัวส่วน จะอธิบายวัตถุทั้งหมดหนึ่งชิ้น และเศษส่วนดังกล่าวสามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติ $1$ ได้ $\frac(5)(2)$ -- เห็นได้ชัดว่าจากห้าวินาทีนี้คุณสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดได้ $2$ (วัตถุหนึ่งชิ้นทั้งหมดจะประกอบด้วยชิ้นส่วน $2$ และเพื่อประกอบวัตถุทั้งหมดสองชิ้น ต้องการหุ้น $2+2=4$) และเหลือส่วนแบ่งอีกหนึ่งวินาที นั่นคือเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม $\frac(5)(2)$ อธิบาย $2$ ของวัตถุและ $\frac(1)(2)$ ส่วนแบ่งของวัตถุนี้ $\frac(21)(7)$ -- จากส่วนที่ 21-7 คุณสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดได้ $3$ (วัตถุ $3$ โดยมีส่วนแบ่ง $7$ ในแต่ละส่วน) เหล่านั้น. เศษส่วน $\frac(21)(7)$ อธิบายวัตถุทั้งหมด $3$ จากตัวอย่างที่พิจารณา เราสามารถสรุปได้ดังนี้: เศษส่วนเกินสามารถถูกแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติได้ ถ้าตัวเศษหารด้วยตัวส่วนลงตัว (เช่น $\frac(7)(7)=1$ และ $\frac (21)(7)=3$) หรือผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนแท้ หากตัวเศษหารด้วยตัวส่วนไม่ลงตัว (เช่น $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$) นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าเศษส่วนดังกล่าว ผิด. คำจำกัดความ 1 กระบวนการแทนเศษส่วนเกินเป็นผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนแท้ (เช่น $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) เรียกว่า แยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนเกิน. เมื่อทำงานกับเศษส่วนเกินจะมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างเศษส่วนกับจำนวนคละ เศษส่วนเกินมักเขียนเป็นจำนวนคละ - ตัวเลขที่ประกอบด้วยส่วนจำนวนเต็มและส่วนของเศษส่วน หากต้องการเขียนเศษส่วนเกินเป็นจำนวนคละ คุณต้องหารตัวเศษด้วยตัวส่วนด้วยเศษ ผลหารจะเป็นส่วนจำนวนเต็มของจำนวนคละ เศษที่เหลือจะเป็นตัวเศษของเศษส่วน และตัวหารจะเป็นตัวส่วนของเศษส่วน ตัวอย่างที่ 5 เขียนเศษส่วนเกิน $\frac(37)(12)$ เป็นจำนวนคละ สารละลาย. หารตัวเศษด้วยตัวส่วนด้วยเศษ: \[\frac(37)(12)=37:12=3\ (ส่วนที่เหลือ\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\] คำตอบ.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$. ในการเขียนจำนวนคละเป็นเศษส่วนเกิน คุณต้องคูณตัวส่วนด้วยส่วนของตัวเลขทั้งหมด เพิ่มตัวเศษของเศษส่วนเข้ากับผลคูณที่ได้ และเขียนจำนวนผลลัพธ์ลงในตัวเศษของเศษส่วน ตัวส่วนของเศษส่วนเกินจะเท่ากับตัวส่วนของเศษส่วนของจำนวนคละ ตัวอย่างที่ 6 เขียนจำนวนคละ $5\frac(3)(7)$ เป็นเศษส่วนเกิน สารละลาย. คำตอบ.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$. การบวกเลขคละ$a\frac(b)(c)$ และเศษส่วนแท้$\frac(d)(e)$ ดำเนินการโดยการบวกเศษส่วนของจำนวนคละที่กำหนดเข้ากับเศษส่วนที่กำหนด: ตัวอย่างที่ 7 เพิ่มเศษส่วนที่เหมาะสม $\frac(4)(15)$ และจำนวนผสม $3\frac(2)(5)$ สารละลาย. ลองใช้สูตรในการบวกจำนวนคละและเศษส่วนแท้: \[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ ซ้าย(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\] โดยการหารด้วยตัวเลข \textit(5) เราสามารถระบุได้ว่าเศษส่วน $\frac(10)(15)$ สามารถลดได้ ลองทำการลดและค้นหาผลลัพธ์ของการบวก: ดังนั้น ผลลัพธ์ของการบวกเศษส่วนที่เหมาะสม $\frac(4)(15)$ และจำนวนผสม $3\frac(2)(5)$ คือ $3\frac(2)(3)$ คำตอบ:$3\frac(2)(3)$ การบวกเศษส่วนเกินและจำนวนคละลดการบวกของจำนวนคละสองตัวซึ่งเพียงพอที่จะแยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนเกิน ตัวอย่างที่ 8 คำนวณผลรวมของจำนวนคละ $6\frac(2)(15)$ และเศษส่วนเกิน $\frac(13)(5)$ สารละลาย. ขั้นแรก แยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนเกิน $\frac(13)(5)$: คำตอบ:$8\frac(11)(15)$. เศษส่วนแท้ ควอเตอร์ การบวกเศษส่วน คุณสมบัติเพิ่มเติม คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดที่มีอยู่ในจำนวนตรรกยะจะไม่จำแนกว่าเป็นคุณสมบัติพื้นฐาน เพราะโดยทั่วไปแล้ว คุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของจำนวนเต็มโดยตรงอีกต่อไป แต่สามารถพิสูจน์ได้จากคุณสมบัติพื้นฐานที่กำหนดหรือโดยตรงจากคำจำกัดความของวัตถุทางคณิตศาสตร์บางตัว . มีคุณสมบัติเพิ่มเติมดังกล่าวมากมาย สมควรที่จะแสดงรายการเพียงไม่กี่รายการที่นี่ ความสามารถในการนับของชุด ในการประมาณจำนวนจำนวนตรรกยะ คุณต้องหาภาวะเชิงการนับของเซตเหล่านั้น เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าเซตของจำนวนตรรกยะสามารถนับได้ ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะให้อัลกอริธึมที่แจกแจงจำนวนตรรกยะ เช่น สร้างเส้นเบี่ยงระหว่างชุดของจำนวนตรรกยะและจำนวนธรรมชาติ อัลกอริธึมที่ง่ายที่สุดมีลักษณะเช่นนี้ ตารางเศษส่วนธรรมดาจำนวนไม่สิ้นสุดจะถูกรวบรวมในแต่ละตาราง ฉัน-บรรทัดที่ในแต่ละ เจคอลัมน์ที่ 3 ซึ่งมีเศษส่วนอยู่ เพื่อความชัดเจน จะถือว่าแถวและคอลัมน์ของตารางนี้มีหมายเลขกำกับโดยเริ่มจากหนึ่ง เซลล์ตารางแสดงโดย , โดยที่ ฉัน- จำนวนแถวของตารางที่มีเซลล์อยู่และ เจ- หมายเลขคอลัมน์ ตารางผลลัพธ์ถูกสำรวจโดยใช้ "งู" ตามอัลกอริทึมที่เป็นทางการต่อไปนี้ กฎเหล่านี้จะถูกค้นหาจากบนลงล่าง และเลือกตำแหน่งถัดไปตามนัดแรก ในกระบวนการของการข้ามผ่าน จำนวนตรรกยะใหม่แต่ละตัวจะเชื่อมโยงกับจำนวนธรรมชาติอีกจำนวนหนึ่ง นั่นคือเศษส่วน 1/1 ถูกกำหนดให้กับหมายเลข 1 เศษส่วน 2/1 ให้กับหมายเลข 2 เป็นต้น ควรสังเกตว่ามีเพียงเศษส่วนที่ลดไม่ได้เท่านั้นที่ถูกกำหนดหมายเลข สัญญาณอย่างเป็นทางการของการลดไม่ได้คือตัวหารร่วมมากของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนจะเท่ากับหนึ่ง ตามอัลกอริทึมนี้ เราสามารถระบุจำนวนตรรกยะบวกทั้งหมดได้ ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนตรรกยะบวกสามารถนับได้ เป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างเส้นโครงระหว่างชุดของจำนวนตรรกยะบวกและลบ โดยเพียงกำหนดจำนวนตรรกยะที่ตรงข้ามกันให้กับจำนวนตรรกยะแต่ละตัว ที่. เซตของจำนวนตรรกยะลบก็สามารถนับได้เช่นกัน สหภาพของพวกมันยังนับได้ด้วยคุณสมบัติของเซตที่นับได้ เซตของจำนวนตรรกยะยังนับได้ว่าเป็นการรวมกันของเซตที่นับได้กับเซตที่มีจำกัดอีกด้วย ข้อความเกี่ยวกับการนับได้ของชุดจำนวนตรรกยะอาจทำให้เกิดความสับสน เนื่องจากเมื่อดูเผินๆ ดูเหมือนว่าจะครอบคลุมมากกว่าชุดของจำนวนธรรมชาติมาก อันที่จริง มันไม่เป็นเช่นนั้น และมีจำนวนธรรมชาติเพียงพอที่จะระบุจำนวนตรรกยะทั้งหมดได้ ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมดังกล่าวไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนตรรกยะใดๆ ได้ จำนวนตรรกยะของรูปแบบ 1 / nที่มีขนาดใหญ่ nสามารถวัดปริมาณเล็กน้อยได้ตามอำเภอใจ ข้อเท็จจริงนี้สร้างความรู้สึกที่ทำให้เข้าใจผิดว่าสามารถใช้จำนวนตรรกยะในการวัดระยะทางทางเรขาคณิตได้ มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากแสดงเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของขาของมัน ที่. ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีขาหนึ่งหน่วยเท่ากับ คือ จำนวนที่มีกำลังสองเท่ากับ 2 ถ้าเราถือว่าจำนวนหนึ่งสามารถแสดงด้วยจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่งได้ ก็จะมีจำนวนเต็มดังกล่าว มและจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น n, นั่น และเศษส่วนลดไม่ได้ เช่น ตัวเลข มและ n- เรียบง่ายซึ่งกันและกัน ถ้าอย่างนั้น เศษส่วนบวกและลบ
การดำเนินการกับเศษส่วน
เศษส่วนแท้
เศษส่วนเกิน
การบวกจำนวนคละและเศษส่วนแท้
การบวกจำนวนคละและเศษส่วนเกิน
.
.
- src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" เส้นขอบ = "0">
Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">
ขาดจำนวนตรรกยะ
, เช่น. ม 2 = 2n 2. ดังนั้นจำนวน ม 2 เป็นเลขคู่ แต่ผลคูณของเลขคี่สองตัวนั้นเป็นเลขคี่ ซึ่งหมายความว่าเลขนั้นนั้นเอง มเช่นกัน มันจึงเป็นจำนวนธรรมชาติ เคเช่นนั้นจำนวนนั้น มสามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้ ม = 2เค- สี่เหลี่ยมจำนวน มในแง่นี้ ม 2 = 4เค 2 แต่ในทางกลับกัน ม 2 = 2n 2 หมายถึง 4 เค 2 = 2n 2 หรือ n 2 = 2เค 2. ดังที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้สำหรับหมายเลข มซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้น n- แม้ในขณะที่ ม- แต่พวกมันก็ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเนื่องจากทั้งสองถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน ผลความขัดแย้งพิสูจน์ได้ว่ามันไม่ใช่จำนวนตรรกยะ