สี่เหลี่ยมคางหมูหลายด้าน... อาจเป็นแบบใดก็ได้ หน้าจั่ว หรือสี่เหลี่ยมก็ได้ และในแต่ละกรณี คุณจำเป็นต้องรู้วิธีหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู แน่นอนว่าวิธีที่ง่ายที่สุดคือการจำสูตรพื้นฐาน แต่บางครั้งก็ง่ายกว่าที่จะใช้อันที่ได้มาโดยคำนึงถึงคุณสมบัติทั้งหมดของรูปทรงเรขาคณิตโดยเฉพาะ

คำไม่กี่คำเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมูและองค์ประกอบของมัน

รูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่ด้านทั้งสองขนานกันจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมู โดยทั่วไปแล้วจะไม่เท่ากันและเรียกว่าฐาน อันที่ใหญ่กว่าคืออันล่างและอีกอันคืออันบน

อีกสองด้านกลายเป็นด้านข้าง ในสี่เหลี่ยมคางหมูตามอำเภอใจพวกมันมีความยาวต่างกัน หากเท่ากัน รูปร่างจะกลายเป็นหน้าจั่ว

หากจู่ๆ มุมระหว่างด้านใดด้านหนึ่งกับฐานกลายเป็น 90 องศา แสดงว่าสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คุณสมบัติทั้งหมดนี้สามารถช่วยแก้ปัญหาการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูได้

ในบรรดาองค์ประกอบของตัวเลขที่อาจขาดไม่ได้ในการแก้ปัญหาเราสามารถเน้นได้ดังต่อไปนี้:

• ความสูงนั่นคือส่วนที่ตั้งฉากกับฐานทั้งสอง
• เส้นกลางซึ่งมีจุดกึ่งกลางด้านข้างที่ปลาย

ถ้าทราบฐานและความสูง สามารถใช้สูตรใดในการคำนวณพื้นที่ได้

สำนวนนี้ถูกกำหนดให้เป็นสำนวนพื้นฐานเพราะคนส่วนใหญ่มักจะสามารถจดจำปริมาณเหล่านี้ได้แม้ว่าจะไม่ได้ระบุอย่างชัดเจนก็ตาม ดังนั้น เพื่อให้เข้าใจวิธีการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณจะต้องบวกฐานทั้งสองแล้วหารด้วยสอง จากนั้นคูณค่าผลลัพธ์ด้วยค่าความสูง

หากเรากำหนดฐานเป็น 1 และ 2 และความสูงเป็น n สูตรสำหรับพื้นที่จะมีลักษณะดังนี้:

S = ((ก 1 + ก 2)/2)*n

สูตรคำนวณพื้นที่หากระบุความสูงและเส้นกึ่งกลาง

หากคุณดูสูตรก่อนหน้านี้อย่างละเอียด จะสังเกตได้ง่ายว่ามีค่าของเส้นกึ่งกลางอย่างชัดเจน กล่าวคือ ผลรวมของฐานหารด้วยสอง ให้เส้นกลางถูกกำหนดด้วยตัวอักษร l จากนั้นสูตรสำหรับพื้นที่จะกลายเป็น:

ส = ล * n

ความสามารถในการค้นหาพื้นที่โดยใช้เส้นทแยงมุม

วิธีนี้จะช่วยได้หากทราบมุมที่เกิดจากพวกมัน สมมติว่าเส้นทแยงมุมถูกกำหนดด้วยตัวอักษร d 1 และ d 2 และมุมระหว่างพวกมันคือ α และ β จากนั้นสูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูจะเขียนได้ดังนี้:

S = ((d 1 * d 2)/2) * บาป α

คุณสามารถแทนที่ α ด้วย β ได้อย่างง่ายดายในนิพจน์นี้ ผลลัพธ์จะไม่เปลี่ยนแปลง

จะทราบพื้นที่ได้อย่างไรว่ารู้ทุกด้านของรูป?

นอกจากนี้ยังมีสถานการณ์ที่ทราบด้านข้างของรูปนี้อย่างชัดเจน สูตรนี้ยุ่งยากและจำยาก แต่มันเป็นไปได้ ให้แต่ละด้านมีชื่อเป็น 1 และ 2 โดยที่ฐาน a 1 มากกว่า 2 จากนั้นสูตรพื้นที่จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (ใน 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + ใน 1 2 - ใน 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2)

วิธีการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ประการแรกเกิดจากการที่วงกลมสามารถจารึกไว้ได้ และเมื่อทราบรัศมี (แสดงด้วยตัวอักษร r) รวมถึงมุมที่ฐาน - γ คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

S = (4 * r 2) / บาปγ

สูตรทั่วไปสุดท้ายซึ่งขึ้นอยู่กับความรู้ทุกด้านของรูปจะง่ายขึ้นอย่างมากเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าแต่ละด้านมีความหมายเหมือนกัน:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (ใน 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 )

วิธีการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

เป็นที่ชัดเจนว่าข้อใดข้อหนึ่งข้างต้นเหมาะสำหรับรูปร่างใด ๆ แต่บางครั้งก็มีประโยชน์ที่จะรู้เกี่ยวกับคุณลักษณะหนึ่งของสี่เหลี่ยมคางหมูดังกล่าว ความจริงก็คือความแตกต่างระหว่างกำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลต่างที่ประกอบขึ้นจากกำลังสองของฐาน

บ่อยครั้งที่สูตรสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูถูกลืมในขณะที่จำนิพจน์สำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยมได้ จากนั้นคุณสามารถใช้วิธีง่ายๆ แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองรูปทรง ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสามรูปทรง อันหนึ่งจะเป็นสี่เหลี่ยมแน่นอน และอันที่สองหรือสองอันที่เหลือจะเป็นสามเหลี่ยม หลังจากคำนวณพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้แล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการบวกเข้าด้วยกัน

นี่เป็นวิธีที่ค่อนข้างง่ายในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าทราบพิกัดของจุดยอดของสี่เหลี่ยมคางหมู?

ในกรณีนี้ คุณจะต้องใช้นิพจน์ที่ช่วยให้คุณกำหนดระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ได้ สามารถใช้ได้สามครั้ง: เพื่อหาทั้งฐานและความสูงหนึ่งอัน จากนั้นเพียงใช้สูตรแรกซึ่งอธิบายไว้สูงกว่าเล็กน้อย

เพื่ออธิบายวิธีการนี้ สามารถยกตัวอย่างต่อไปนี้ได้ กำหนดจุดยอดด้วยพิกัด A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1) คุณต้องหาพื้นที่ของรูป

ก่อนที่จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคุณต้องคำนวณความยาวของฐานจากพิกัดก่อน คุณจะต้องมีสูตรต่อไปนี้:

ความยาวของเซ็กเมนต์ = √((ผลต่างของพิกัดแรกของจุด) 2 + (ผลต่างของพิกัดที่สองของจุด) 2 )

ฐานบนเรียกว่า AB ซึ่งหมายความว่าความยาวจะเท่ากับ √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3 ฐานล่างคือ CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

ตอนนี้คุณต้องวาดความสูงจากบนลงล่าง ให้จุดเริ่มต้นอยู่ที่จุด A จุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์จะอยู่บนฐานล่าง ณ จุดที่มีพิกัด (5; 1) ให้เป็นจุด H ความยาวของเซ็กเมนต์ AN จะเท่ากับ √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6

สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู:

ส = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36

ปัญหาได้รับการแก้ไขโดยไม่ต้องมีหน่วยการวัด เนื่องจากไม่ได้ระบุมาตราส่วนของตารางพิกัด อาจเป็นได้ทั้งมิลลิเมตรหรือเมตร

ปัญหาตัวอย่าง

ลำดับที่ 1. เงื่อนไข.มุมระหว่างเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยพลการนั้นมีค่าเท่ากับ 30 องศา เส้นทแยงมุมที่เล็กกว่ามีค่า 3 dm และเส้นที่สองใหญ่กว่า 2 เท่า จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

สารละลาย.ก่อนอื่นคุณต้องค้นหาความยาวของเส้นทแยงมุมที่สองเพราะหากไม่มีสิ่งนี้ก็จะไม่สามารถคำนวณคำตอบได้ คำนวณได้ไม่ยาก 3 * 2 = 6 (dm)

ตอนนี้คุณต้องใช้สูตรที่เหมาะสมสำหรับพื้นที่:

S = ((3 * 6) / 2) * บาป30º = 18/2 * ½ = 4.5 (dm 2) ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

คำตอบ:พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูคือ 4.5 dm2

ลำดับที่ 2. เงื่อนไข.ในสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ฐานคือส่วน AD และ BC จุด E คือจุดกึ่งกลางด้าน SD ตั้งฉากกับเส้นตรง AB จากนั้นส่วนท้ายของส่วนนี้ถูกกำหนดด้วยตัวอักษร H เป็นที่ทราบกันดีว่าความยาว AB และ EH เท่ากับ 5 และ 4 ซม. ตามลำดับ มีความจำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของ ​​รูปสี่เหลี่ยมคางหมู

สารละลาย.ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป เนื่องจากค่าของเส้นตั้งฉากน้อยกว่าด้านที่วาด สี่เหลี่ยมคางหมูจึงจะยาวขึ้นเล็กน้อย ดังนั้น EH จะอยู่ในรูป

เพื่อให้เห็นความคืบหน้าในการแก้ปัญหาได้ชัดเจน คุณจะต้องดำเนินการก่อสร้างเพิ่มเติม กล่าวคือให้ลากเส้นตรงที่จะขนานกับด้าน AB จุดตัดกันของเส้นนี้กับ AD คือ P และด้วยความต่อเนื่องของ BC คือ X ผลลัพธ์ที่ได้คือ VHRA เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน นอกจากนี้พื้นที่ยังเท่ากับพื้นที่ที่ต้องการ เนื่องจากสามเหลี่ยมที่ได้รับระหว่างการก่อสร้างเพิ่มเติมมีค่าเท่ากัน สิ่งนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกันของด้านข้างและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน มุมหนึ่งเป็นแนวตั้ง และอีกมุมหนึ่งวางขวาง

คุณสามารถหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้โดยใช้สูตรที่มีผลคูณของด้านและความสูงลดลง

ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 5 * 4 = 20 ซม. 2

คำตอบ:เอส = 20 ซม. 2.

ลำดับที่ 3. เงื่อนไข.องค์ประกอบของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีค่าดังต่อไปนี้: ฐานล่าง - 14 ซม., ด้านบน - 4 ซม., มุมแหลม - 45º คุณต้องคำนวณพื้นที่ของมัน

สารละลาย.ให้ระบุฐานที่เล็กกว่าว่า BC ความสูงที่ลากจากจุด B เรียกว่า VH เนื่องจากมุมคือ 45° สามเหลี่ยม ABH จะเป็นสี่เหลี่ยมและมีหน้าจั่ว ดังนั้น AN=VN ยิ่งไปกว่านั้น AN ยังหาง่ายมาก มันเท่ากับความแตกต่างครึ่งหนึ่งของฐาน นั่นคือ (14 - 4) / 2 = 10/2 = 5 (ซม.)

ทราบฐานแล้ว คำนวณความสูงแล้ว คุณสามารถใช้สูตรแรกซึ่งอธิบายไว้ที่นี่สำหรับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูตามอำเภอใจ

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (ซม. 2)

คำตอบ:พื้นที่ที่ต้องการคือ 45 ซม. 2

ลำดับที่ 4. เงื่อนไข.มี ABCD สี่เหลี่ยมคางหมูตามอำเภอใจ จุด O และ E อยู่ที่ด้านข้าง ดังนั้น OE จึงขนานกับฐานของ AD พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู AOED นั้นใหญ่กว่าพื้นที่ของ OVSE ถึงห้าเท่า คำนวณค่า OE หากทราบความยาวของฐาน

สารละลาย.คุณจะต้องวาดเส้นขนานสองเส้น AB: เส้นแรกถึงจุด C, จุดตัดกับ OE - จุด T; จุดที่สองผ่าน E และจุดตัดกับ AD จะเป็น M

ให้ OE ที่ไม่รู้จัก = x ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู OVSE ที่เล็กกว่าคือ n 1 AOED ที่ใหญ่กว่าคือ n 2

เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งสองนี้สัมพันธ์กันเป็น 1 ถึง 5 เราจึงสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ดังต่อไปนี้:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2))

ความสูงและด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนโดยการก่อสร้าง ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้อีกประการหนึ่ง:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​​​1 - x)

ในสองรายการสุดท้ายทางด้านซ้ายจะมีค่าเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียนได้ว่า (x + a 1) / (5(x + a 2)) เท่ากับ (x - a 2) / (a ​​​​1 - x)

จำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงหลายอย่างที่นี่ ขั้นแรกให้คูณตามขวาง วงเล็บจะปรากฏขึ้นเพื่อระบุความแตกต่างของกำลังสอง หลังจากใช้สูตรนี้ คุณจะได้สมการสั้นๆ

ในนั้นคุณจะต้องเปิดวงเล็บและย้ายคำศัพท์ทั้งหมดที่มี "x" ที่ไม่รู้จักไปทางซ้ายแล้วแยกรากที่สอง

คำตอบ: x = √ ((ก 1 2 + 5 ก 2 2) / 6)

สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมนูนซึ่งมีด้านตรงข้ามสองด้านขนานกัน และอีกสองด้านไม่ขนานกัน ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนานกันเป็นคู่ๆ แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คุณจะต้อง

• – ทุกด้านของสี่เหลี่ยมคางหมู (AB, BC, CD, DA)

คำแนะนำ

1. ไม่ขนานกัน ด้านข้าง สี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าด้านข้าง และด้านขนานเรียกว่าฐาน เส้นแบ่งระหว่างฐานตั้งฉากกับความสูง สี่เหลี่ยมคางหมู- ถ้าเป็นด้านข้าง ด้านข้าง สี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากันจึงเรียกว่าหน้าจั่ว ก่อนอื่นเรามาดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับ สี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งไม่ใช่หน้าจั่ว

2. ลากส่วนของเส้นตรง BE จากจุด B ไปยัง AD ฐานล่างขนานกับด้านข้าง สี่เหลี่ยมคางหมูซีดี. เนื่องจาก BE และ CD ขนานกันและลากระหว่างฐานขนาน สี่เหลี่ยมคางหมู BC กับ DA แล้ว BCDE เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และตรงข้ามกัน ด้านข้าง BE และ CD เท่ากัน พ.ศ.=ซีดี.

3. ดูสามเหลี่ยม ABE คำนวณด้าน AE AE=โฆษณา-ED. เหตุผล สี่เหลี่ยมคางหมูทราบค่า BC และ AD และในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน BCDE อยู่ตรงข้ามกัน ด้านข้าง ED และ BC เท่ากัน ED=BC ดังนั้น AE=AD-BC

4. ตอนนี้หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABE โดยใช้สูตรของนกกระสาโดยการคำนวณกึ่งปริมณฑล S=ราก(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)) ในสูตรนี้ p คือระยะกึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม ABE p=1/2*(AB+BE+AE) ในการคำนวณพื้นที่ คุณทราบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด: AB, BE=CD, AE=AD-BC

6. เขียนค่าความสูงของสามเหลี่ยมจากสูตรนี้ ซึ่งก็คือความสูงด้วย สี่เหลี่ยมคางหมู- BH=2*S/AE. คำนวณมัน

7. ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่ว การแก้ปัญหาสามารถดำเนินการแตกต่างออกไปได้ ดูที่สามเหลี่ยม ABH เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพราะมุมหนึ่ง BHA อยู่ด้านขวา

8. วาดความสูง CF จากจุดยอด C

9. ศึกษาตัวเลข HBCF สี่เหลี่ยม HBCF เพราะมี 2 อัน ด้านข้างคือความสูง และอีกสองอันเป็นฐาน สี่เหลี่ยมคางหมูนั่นคือมุมนั้นถูกต้องและตรงกันข้าม ด้านข้างขนาน. ซึ่งหมายความว่า BC=HF

10. ดูสามเหลี่ยมมุมฉาก ABH และ FCD มุมที่ความสูง BHA และ CFD นั้นเป็นมุมที่ถูกต้อง และมุมที่ด้านข้าง ด้านข้าง x BAH และ CDF เท่ากัน เนื่องจาก ABCD สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่ว ซึ่งหมายความว่ารูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน เนื่องจากความสูง BH และ CF เท่ากันหรือด้านข้าง ด้านข้างหน้าจั่ว สี่เหลี่ยมคางหมู AB และ CD เท่ากันทุกประการ แล้วสามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะเท่ากันทุกประการ ดังนั้นพวกเขา ด้านข้าง AH และ FD ก็เท่ากันเช่นกัน

11. ค้นพบเอเอช AH+FD=AD-HF. เพราะจากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน HF=BC และจากสามเหลี่ยม AH=FD แล้ว AH=(AD-BC)*1/2

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปทรงเรขาคณิต ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านสองด้านเรียกว่าฐานขนานกัน และอีกสองด้านไม่ขนานกัน พวกเขาเรียกว่าด้านข้าง สี่เหลี่ยมคางหมู- ส่วนที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านข้างเรียกว่าเส้นกึ่งกลาง สี่เหลี่ยมคางหมู- สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถมีด้านยาวต่างกันหรือด้านเท่ากันได้ ในกรณีนี้เรียกว่าหน้าจั่ว หากด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน สี่เหลี่ยมคางหมูก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่การรู้วิธีตรวจจับจะมีประโยชน์มากกว่ามาก สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู .

คุณจะต้อง

• ไม้บรรทัดที่มีการแบ่งหน่วยเป็นมิลลิเมตร

คำแนะนำ

1. วัดทุกด้าน สี่เหลี่ยมคางหมู: AB, BC, ซีดี และ DA บันทึกการวัดของคุณ

2. ในส่วน AB ให้ทำเครื่องหมายที่จุดกึ่งกลาง K ส่วนในส่วน DA ให้ทำเครื่องหมายจุด L ซึ่งอยู่ตรงกลางของส่วน AD เช่นกัน รวมคะแนน K และ L แล้วส่วนที่ KL ที่ได้จะเป็นเส้นกลาง สี่เหลี่ยมคางหมูเอบีซีดี วัดส่วน KL

3. จากด้านบน สี่เหลี่ยมคางหมู– โยน C ลดตั้งฉากกับ AD ฐานบนส่วน CE มันจะเป็นความสูง สี่เหลี่ยมคางหมูเอบีซีดี วัดส่วน CE

4. ให้เราเรียกส่วน KL ว่าตัวอักษร m และส่วน CE เรียกว่าตัวอักษร h สี่เหลี่ยมส สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD คำนวณโดยใช้สูตร: S=m*h โดยที่ m คือเส้นกลาง สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD,h – ส่วนสูง สี่เหลี่ยมคางหมูเอบีซีดี

5. มีอีกสูตรหนึ่งที่ให้คุณคำนวณได้ สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมูเอบีซีดี ฐานล่าง สี่เหลี่ยมคางหมู– เรียก AD ว่าตัวอักษร b และฐานบน BC เรียกว่าตัวอักษร a พื้นที่ถูกกำหนดโดยสูตร S=1/2*(a+b)*h โดยที่ a และ b เป็นฐาน สี่เหลี่ยมคางหมู, ชั่วโมง – ความสูง สี่เหลี่ยมคางหมู .

วิดีโอในหัวข้อ

เคล็ดลับ 3: วิธีหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหากทราบพื้นที่

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านสองในสี่ด้านขนานกัน ด้านขนานเป็นฐานของสิ่งนี้ สี่เหลี่ยมคางหมูอีกสองอันคือด้านข้างของอันนี้ สี่เหลี่ยมคางหมู- ค้นพบ ความสูง สี่เหลี่ยมคางหมูถ้ารู้พื้นที่ก็จะง่ายมาก

คำแนะนำ

1. เราต้องหาวิธีคำนวณพื้นที่เริ่มต้น สี่เหลี่ยมคางหมู- มีหลายสูตรสำหรับสิ่งนี้ ขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้น: S = ((a+b)*h)/2 โดยที่ a และ b คือความยาวของฐาน สี่เหลี่ยมคางหมูและ h คือความสูง (Height สี่เหลี่ยมคางหมู– ตั้งฉากลดลงจากฐานเดียว สี่เหลี่ยมคางหมูไปยังอีกอันหนึ่ง);S = m*h โดยที่ m คือเส้นกลาง สี่เหลี่ยมคางหมู(เส้นกลางเป็นส่วนที่ขนานกับฐาน สี่เหลี่ยมคางหมูและเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านข้าง)

2. ตอนนี้ได้รู้สูตรคำนวณพื้นที่แล้ว สี่เหลี่ยมคางหมูอนุญาตให้หาค่าใหม่เพื่อหาความสูงได้ สี่เหลี่ยมคางหมู:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นถึงวิธีแก้ปัญหาที่คล้ายกัน คุณสามารถดูตัวอย่างได้ ตัวอย่างที่ 1: เมื่อพิจารณาจากสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งมีพื้นที่ 68 ซม. เส้นกลางคือ 8 ซม. คุณต้องหา ความสูงที่ให้ไว้ สี่เหลี่ยมคางหมู- เพื่อที่จะแก้ไขปัญหานี้ คุณต้องใช้สูตรที่ได้รับมาก่อนหน้านี้: h = 68/8 = 8.5 ซม. คำตอบ: ความสูงของสิ่งนี้ สี่เหลี่ยมคางหมูคือ 8.5 ซม.ตัวอย่างที่ 2: ให้ y สี่เหลี่ยมคางหมูพื้นที่ 120 ซม. วัดความยาวของฐานไว้ สี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับ 8 ซม. และ 12 ซม. ตามลำดับ จึงจำเป็นต้องตรวจจับ ความสูงนี้ สี่เหลี่ยมคางหมู- ในการทำเช่นนี้คุณต้องใช้สูตรที่ได้รับมาอย่างใดอย่างหนึ่ง: h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 ซมคำตอบ: ความสูงของที่กำหนด สี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับ 12 ซม

วิดีโอในหัวข้อ

ใส่ใจ!
สี่เหลี่ยมคางหมูใด ๆ มีคุณสมบัติหลายประการ: - เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน - ส่วนที่เชื่อมต่อเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของฐาน - ถ้าเป็นเส้นตรง ถูกลากผ่านจุดกึ่งกลางของฐาน จากนั้นมันจะตัดกับจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู - คุณสามารถเขียนวงกลมลงในสี่เหลี่ยมคางหมูได้หากผลรวมของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูที่กำหนดเท่ากับผลรวมของ ใช้คุณสมบัติเหล่านี้เมื่อแก้ไขปัญหา

เคล็ดลับ 4: วิธีค้นหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากพิกัดของจุดต่างๆ

ความสูงในรูปสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดของรูปกับด้านตรงข้าม ส่วนนี้จะต้องตั้งฉากกับด้านข้าง ดังนั้นจากจุดยอดใด ๆ จึงอนุญาตให้วาดเพียงจุดเดียวเท่านั้น ความสูง- เนื่องจากในรูปนี้มีจุดยอดสามจุด จึงมีจำนวนความสูงเท่ากัน ถ้าพิกัดของจุดยอดกำหนดรูปสามเหลี่ยม ก็สามารถคำนวณความยาวของความสูงแต่ละส่วนได้ โดยใช้สูตรในการหาพื้นที่และคำนวณความยาวของด้าน

คำแนะนำ

1. ดำเนินการคำนวณของคุณจากข้อเท็จจริงที่ว่าพื้นที่ สามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวแต่ละด้านด้วยความยาวของความสูงที่ลดลงมาทางด้านนี้ จากคำจำกัดความนี้เป็นไปตามนั้นเพื่อหาความสูงที่คุณต้องรู้พื้นที่ของรูปและความยาวของด้าน.

2. เริ่มต้นด้วยการคำนวณความยาวของด้านข้าง สามเหลี่ยม- กำหนดพิกัดของจุดยอดของรูปดังนี้: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) และ C(X?,Y?,Z?) จากนั้น คุณสามารถคำนวณความยาวของด้าน AB ได้โดยใช้สูตร AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) สำหรับอีก 2 ด้าน สูตรเหล่านี้จะมีลักษณะดังนี้ BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) และ AC = ?(( X ?-X?)? + (ย?-ย?)?) เอาเป็นว่าเพื่อ สามเหลี่ยมโดยมีพิกัด A(3,5,7), B(16,14,19) และ C(1,2,13) ​​​​ความยาวของด้าน AB จะเป็น?((3-16)? + (5-14) )? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. ความยาวของด้าน BC และ AC คำนวณด้วยวิธีเดียวกันจะเท่ากัน?(15? + 12? + 6?) = ?405? 20.12 และ?(2? + 3? + (-6?)) =?49 = 7.

3. การทราบความยาวของด้านทั้ง 3 ด้านที่ได้จากขั้นตอนที่แล้วก็เพียงพอที่จะคำนวณพื้นที่ได้ สามเหลี่ยม(S) ตามสูตรของนกกระสา: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). สมมติว่าหลังจากแทนที่สูตรนี้แล้วค่าที่ได้รับจากพิกัด สามเหลี่ยม-ตัวอย่างจากขั้นตอนที่แล้ว สูตรนี้จะให้ค่าต่อไปนี้: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20 .12) * (19.85+ 20.12-7)) = ?*?(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ? ?*?75768.55 ? ?*275.26 = 68.815.

4. ขึ้นอยู่กับพื้นที่ สามเหลี่ยมคำนวณในขั้นตอนก่อนหน้า และความยาวของด้านที่ได้รับในขั้นตอนที่สอง ให้คำนวณความสูงของแต่ละด้าน เนื่องจากพื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงและความยาวของด้านที่วาด หากต้องการหาความสูง ให้หารพื้นที่สองเท่าด้วยความยาวของด้านที่ต้องการ: H = 2*S/a สำหรับตัวอย่างที่ใช้ข้างต้น ความสูงที่ลดลงไปทางด้าน AB จะเป็น 2*68.815/16.09? 8.55 ส่วนสูงด้าน BC จะมีความยาว 2*68.815/20.12? 6.84 และสำหรับด้าน AC ค่านี้จะเท่ากับ 2*68.815/7? 19.66.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู สวัสดี! ในเอกสารฉบับนี้เราจะดูสูตรนี้ ทำไมเธอถึงเป็นแบบนี้และจะเข้าใจเธอได้อย่างไร ถ้ามีความเข้าใจก็ไม่ต้องสอน หากเพียงต้องการดูสูตรนี้และเร่งด่วนก็สามารถเลื่อนหน้าลงมาได้เลย))

ตอนนี้มีรายละเอียดและตามลำดับ

สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมนี้ขนานกัน ส่วนอีกสองด้านไม่ขนานกัน ส่วนที่ไม่ขนานกันคือฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู อีกสองคนเรียกว่าด้านข้าง

หากด้านเท่ากัน สี่เหลี่ยมคางหมูจะเรียกว่าหน้าจั่ว หากด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน สี่เหลี่ยมคางหมูดังกล่าวจะเรียกว่าสี่เหลี่ยม

ในรูปแบบคลาสสิกรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะแสดงดังนี้ - ฐานที่ใหญ่กว่าจะอยู่ที่ด้านล่างตามลำดับส่วนอันที่เล็กกว่าจะอยู่ที่ด้านบน แต่ไม่มีใครห้ามวาดภาพเธอและในทางกลับกัน นี่คือภาพร่าง:

แนวคิดที่สำคัญต่อไป

เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านข้าง เส้นกลางขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง

ตอนนี้เรามาเจาะลึกกัน ทำไมจึงเป็นเช่นนี้?

พิจารณารูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน ก และ ขและด้วยสายกลาง ลและดำเนินการก่อสร้างเพิ่มเติมบางอย่าง: ลากเส้นตรงผ่านฐาน และตั้งฉากผ่านปลายของเส้นกึ่งกลางจนกระทั่งตัดกับฐาน:

*การกำหนดตัวอักษรสำหรับจุดยอดและจุดอื่นๆ ไม่ได้รวมไว้โดยเจตนาเพื่อหลีกเลี่ยงการกำหนดที่ไม่จำเป็น

ดูสิ สามเหลี่ยม 1 และ 2 เท่ากันตามเครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกัน สามเหลี่ยม 3 และ 4 เท่ากัน จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมจะเป็นไปตามความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบ ได้แก่ ขา (ระบุด้วยสีน้ำเงินและสีแดงตามลำดับ)

ตอนนี้ให้ความสนใจ! หากเรา "ตัด" ส่วนสีน้ำเงินและสีแดงออกจากฐานด้านล่างโดยจิตใจ เราก็จะเหลือส่วน (นี่คือด้านข้างของสี่เหลี่ยม) เท่ากับเส้นกลาง ต่อไป ถ้าเรา "ติด" ส่วนสีน้ำเงินและสีแดงที่ตัดแล้วเข้ากับฐานด้านบนของสี่เหลี่ยมคางหมู เราก็จะได้ส่วนนั้นด้วย (นี่คือด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้วย) เท่ากับเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

เข้าใจแล้ว? ปรากฎว่าผลรวมของฐานจะเท่ากับเส้นกลางสองเส้นของสี่เหลี่ยมคางหมู:

ดูคำอธิบายอื่น

ลองทำสิ่งต่อไปนี้ - สร้างเส้นตรงที่ผ่านฐานล่างของสี่เหลี่ยมคางหมูและเป็นเส้นตรงที่จะผ่านจุด A และ B:

เราได้สามเหลี่ยม 1 และ 2 ซึ่งเท่ากันทั้งด้านข้างและมุมที่อยู่ติดกัน (เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม) ซึ่งหมายความว่าส่วนที่เป็นผล (ในภาพร่างจะแสดงด้วยสีน้ำเงิน) เท่ากับฐานด้านบนของสี่เหลี่ยมคางหมู

ตอนนี้พิจารณารูปสามเหลี่ยม:

*เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้และเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมตรงกัน

เป็นที่ทราบกันดีว่ารูปสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานที่ขนานไปกับมัน นั่นคือ:

โอเค เราคิดออกแล้ว ตอนนี้เกี่ยวกับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู:

พวกเขาพูดว่า: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง

นั่นคือปรากฎว่ามันเท่ากับผลคูณของเส้นกึ่งกลางและความสูง:

คุณคงสังเกตเห็นแล้วว่าสิ่งนี้ชัดเจน ในเชิงเรขาคณิต สิ่งนี้สามารถแสดงได้ดังนี้: ถ้าเราตัดสามเหลี่ยม 2 และ 4 ออกจากสี่เหลี่ยมคางหมูในใจแล้ววางไว้บนสามเหลี่ยม 1 และ 3 ตามลำดับ:

จากนั้นเราจะได้สี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูของเรา พื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี้จะเท่ากับผลคูณของเส้นกึ่งกลางและความสูงนั่นคือเราสามารถเขียนได้:

แต่ประเด็นนี้ไม่ใช่การเขียนแน่นอน แต่เป็นความเข้าใจ

ดาวน์โหลด (ดู) เนื้อหาบทความในรูปแบบ *pdf

นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถืออเล็กซานเดอร์

สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านทั้งสองขนานกัน (นี่คือฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูตามที่ระบุไว้ในรูป a และ b) และอีกสองด้านไม่ได้ขนานกัน (ในรูป AD และ CB) ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วนที่ h วาดตั้งฉากกับฐาน

จะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยทราบค่าของพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูและความยาวของฐานได้อย่างไร?

ในการคำนวณพื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD เราใช้สูตร:

S = ((a+b) × ส)/2

โดยที่ส่วน a และ b คือฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ส่วน h คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

การแปลงสูตรนี้เราสามารถเขียนได้:

เมื่อใช้สูตรนี้ เราจะได้ค่า h หากทราบพื้นที่ S และความยาวของฐาน a และ b

ตัวอย่าง

หากทราบว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู S คือ 50 ซม. ² ความยาวของฐาน a คือ 4 ซม. และความยาวของฐาน b คือ 6 ซม. จากนั้นเพื่อหาความสูง h เราใช้สูตร:

เราแทนปริมาณที่ทราบลงในสูตร

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 ซม.

คำตอบ: ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 10 ซม.

จะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างไรหากให้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูและความยาวของเส้นกึ่งกลาง?

ลองใช้สูตรคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู:

โดยที่ m คือเส้นกลาง h คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

หากมีคำถามว่าจะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างไร สูตรคือ:

h = S/m จะเป็นคำตอบ

ดังนั้นเราจึงสามารถหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู h โดยพิจารณาจากค่าที่ทราบของพื้นที่ S และส่วนกึ่งกลาง ม.

ตัวอย่าง

ทราบความยาวของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู m ซึ่งเท่ากับ 20 ซม. และพื้นที่ S ซึ่งเท่ากับ 200 ซม.² เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ลองหาค่าความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู h กัน

แทนค่าของ S และ m เราได้รับ:

ชม. = 200/20 = 10 ซม

คำตอบ: ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 10 ซม

จะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมได้อย่างไร?

หากสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยมีด้านขนานกันสองด้าน (ฐาน) ของสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นทแยงมุมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามสองจุดของมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู (ส่วน AC ในรูป) ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เมื่อใช้เส้นทแยงมุม เราจะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู h

สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมคือสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน ในกรณีนี้ ความยาว (AD) ตรงกับความสูง h

ดังนั้น ลองพิจารณา ABCD สี่เหลี่ยมคางหมู โดยที่ AD คือความสูง DC คือฐาน AC คือเส้นทแยงมุม ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก AC ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ADC เท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา AB และ BC

จากนั้นเราสามารถเขียน:

AC² = AD² + DC²

AD คือขาของสามเหลี่ยม ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู และในเวลาเดียวกันคือความสูงของมัน ท้ายที่สุดแล้ว ส่วน AD จะตั้งฉากกับฐาน ความยาวของมันจะเป็น:

AD = √(AC² - DC²)

เรามีสูตรคำนวณความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู h = AD

ตัวอย่าง

หากความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู (DC) คือ 14 ซม. และเส้นทแยงมุม (AC) คือ 15 ซม. เราจะใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาค่าความสูง (ด้าน AD)

ให้ x เป็นขาที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยมมุมฉาก (AD)

AC² = AD² + DC² สามารถเขียนได้

15² = 14² + x²

x = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 ซม.

คำตอบ: ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม (AB) จะเท่ากับ √29 ซม. ซึ่งเท่ากับประมาณ 5.385 ซม.

จะหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วได้อย่างไร?

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีความยาวด้านเท่ากัน เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นจะเป็นแกนสมมาตร กรณีพิเศษคือสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งมีเส้นทแยงมุมตั้งฉากกัน จากนั้นความสูง h จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน

ลองพิจารณากรณีนี้หากเส้นทแยงมุมไม่ตั้งฉากกัน ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้านเท่ากันหมด (หน้าจั่ว) มุมที่ฐานจะเท่ากัน และความยาวของเส้นทแยงมุมจะเท่ากัน เป็นที่ทราบกันว่าจุดยอดทั้งหมดของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วแตะเส้นวงกลมที่ลากรอบๆ สี่เหลี่ยมคางหมูนี้

มาดูภาพวาดกัน ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว เป็นที่ทราบกันว่าฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นขนานกัน ซึ่งหมายความว่า BC = b ขนานกับ AD = a ด้าน AB = CD = c ซึ่งหมายความว่ามุมที่ฐานเท่ากันเท่ากัน เราสามารถเขียนมุม BAQ ได้ = CDS = α และมุม ABC = BCD = β ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าสามเหลี่ยม ABQ เท่ากับสามเหลี่ยม SCD ซึ่งหมายถึงส่วน

AQ = SD = (โฆษณา - ก่อนคริสต์ศักราช)/2 = (ก - ข)/2

ตามเงื่อนไขของปัญหา ค่าของฐาน a และ b และความยาวของด้าน c เราจะพบความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู h เท่ากับส่วน BQ

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABQ VO คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งตั้งฉากกับ AD ฐาน ดังนั้นกับ AQ ของกลุ่ม เราค้นหาด้าน AQ ของสามเหลี่ยม ABQ โดยใช้สูตรที่เราได้มาก่อนหน้านี้:

เมื่อมีค่าเท่ากับสองขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เราจะพบด้านตรงข้ามมุมฉาก BQ = h เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

AB²= AQ² + BQ²

มาแทนที่งานเหล่านี้:

c² = AQ² + h²

เราได้สูตรสำหรับค้นหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว:

ชั่วโมง = √(c²-AQ²)

ตัวอย่าง

เมื่อกำหนด ABCD สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว โดยที่ฐาน AD = a = 10 ซม. ฐาน BC = b = 4 ซม. และด้าน AB = c = 12 ซม. ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว เรามาดูตัวอย่างวิธีหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู หรือ ABCD สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ลองหาด้าน AQ ของสามเหลี่ยม ABQ โดยการแทนที่ข้อมูลที่ทราบ:

AQ = (ก - ข)/2 = (10-4)/2=3ซม.

ทีนี้ลองแทนค่าด้านข้างของสามเหลี่ยมเป็นสูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11.6 ซม.

คำตอบ. ความสูง h ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ABCD คือ 11.6 ซม.

แนวปฏิบัติของการสอบ Unified State และ State Examination เมื่อปีที่แล้วแสดงให้เห็นว่าปัญหาทางเรขาคณิตทำให้เกิดความยุ่งยากสำหรับเด็กนักเรียนจำนวนมาก คุณสามารถรับมือกับมันได้อย่างง่ายดายหากคุณจำสูตรที่จำเป็นทั้งหมดและฝึกฝนการแก้ปัญหา

ในบทความนี้คุณจะเห็นสูตรในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูรวมถึงตัวอย่างปัญหาพร้อมวิธีแก้ไข คุณอาจเจอสิ่งเดียวกันใน KIM ระหว่างการสอบเพื่อรับใบรับรองหรือที่ Olympiads ดังนั้นควรปฏิบัติต่อพวกเขาอย่างระมัดระวัง

สิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมู?

เริ่มต้นด้วยให้เราจำไว้ว่า สี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีด้านตรงข้ามสองด้านหรือที่เรียกว่าฐานขนานกัน และอีกสองด้านขนานกัน

ในรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู ความสูง (ตั้งฉากกับฐาน) ก็สามารถลดลงได้เช่นกัน ลากเส้นกลาง - นี่คือเส้นตรงที่ขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวม เช่นเดียวกับเส้นทแยงมุมที่สามารถตัดกันทำให้เกิดมุมแหลมและมุมป้านได้ หรือในบางกรณีเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ หากสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่ว ก็สามารถเขียนวงกลมลงไปได้ และอธิบายวงกลมล้อมรอบมัน

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

ก่อนอื่น เรามาดูสูตรมาตรฐานในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูกันก่อน เราจะพิจารณาวิธีคำนวณพื้นที่หน้าจั่วและสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งด้านล่าง

ลองจินตนาการว่าคุณมีสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน a และ b โดยที่ความสูง h ลดลงเหลือฐานที่ใหญ่กว่า การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขในกรณีนี้ทำได้ง่ายเหมือนกับการปอกเปลือกลูกแพร์ คุณเพียงแค่ต้องหารผลรวมของความยาวของฐานด้วยสองแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยความสูง: S = 1/2(ก + ข)*ชม.

พิจารณาอีกกรณีหนึ่ง: สมมติว่าในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู นอกจากความสูงแล้ว ยังมีเส้นกลาง m อีกด้วย เรารู้สูตรการหาความยาวของเส้นกึ่งกลาง: m = 1/2(a + b) ดังนั้นเราจึงสามารถลดความซับซ้อนของสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้ได้อย่างถูกต้อง: ส = ม*ชม- กล่าวอีกนัยหนึ่งในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณต้องคูณเส้นกึ่งกลางด้วยความสูง

ลองพิจารณาอีกทางเลือกหนึ่ง: สี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นทแยงมุม d 1 และ d 2 ซึ่งไม่ตัดกันที่มุมขวา α ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคุณต้องหารผลคูณของเส้นทแยงมุมด้วยสองและคูณผลลัพธ์ด้วยบาปของมุมระหว่างพวกมัน: S= 1/2d 1 d 2 *ซินα.

ตอนนี้ให้พิจารณาสูตรในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหากไม่มีสิ่งใดรู้เกี่ยวกับมันยกเว้นความยาวของด้านทั้งหมด: a, b, c และ d นี่เป็นสูตรที่ยุ่งยากและซับซ้อน แต่จะมีประโยชน์สำหรับคุณในการจำไว้ในกรณี: S = 1/2(ก + ข) * √ค 2 – ((1/2(b – ก)) * ((ข – ก) 2 + ค 2 – ง 2)) 2.

อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างข้างต้นก็เป็นจริงในกรณีที่คุณต้องการสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม นี่คือสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งด้านติดกับฐานเป็นมุมฉาก

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านเท่ากันเรียกว่าหน้าจั่ว เราจะพิจารณาหลายตัวเลือกสำหรับสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ตัวเลือกแรก: สำหรับกรณีที่วงกลมที่มีรัศมี r ถูกจารึกไว้ภายในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว และด้านข้างและฐานที่ใหญ่กว่าทำให้เกิดมุมแหลม α วงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ โดยมีเงื่อนไขว่าผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้าน

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคำนวณดังนี้: คูณกำลังสองของรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ด้วยสี่แล้วหารทั้งหมดด้วยsinα: S = 4r 2 /sinα- สูตรพื้นที่อื่นเป็นกรณีพิเศษสำหรับตัวเลือกเมื่อมุมระหว่างฐานใหญ่และด้านข้างเป็น 30 0: ส = 8r2.

ตัวเลือกที่สอง: คราวนี้เราใช้สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งนอกจากจะวาดเส้นทแยงมุม d 1 และ d 2 แล้ว เช่นเดียวกับความสูง h ถ้าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูตั้งฉากกัน ความสูงจะเป็นครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน: h = 1/2(a + b) เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว การแปลงสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูที่คุณคุ้นเคยอยู่แล้วให้เป็นรูปแบบนี้จึงเป็นเรื่องง่าย: ส = ชั่วโมง 2.

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

มาเริ่มด้วยการหาว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคืออะไร ลองนึกภาพแกนพิกัดและกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบ f ที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายภายในส่วนที่กำหนดให้บนแกน x สี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งเกิดจากกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) - ที่ด้านบน แกน x อยู่ที่ด้านล่าง (ส่วน) และที่ด้านข้าง - เส้นตรงที่ลากระหว่างจุด a และ b และกราฟของ ฟังก์ชั่น

เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่ได้มาตรฐานโดยใช้วิธีการข้างต้น ที่นี่คุณจะต้องใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และใช้อินทิกรัล กล่าวคือ: สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ - S = ∫ ข ก ฉ(x) dx = F(x)│ ข ก = F(b) – F(ก)- ในสูตรนี้ F คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันของเราในส่วนที่เลือก และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟในส่วนที่กำหนด

ปัญหาตัวอย่าง

เพื่อให้เข้าใจสูตรเหล่านี้ในหัวของคุณได้ง่ายขึ้น ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างปัญหาในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู จะเป็นการดีที่สุดถ้าคุณพยายามแก้ไขปัญหาด้วยตัวเองก่อนแล้วจึงเปรียบเทียบคำตอบที่คุณได้รับกับวิธีแก้ปัญหาสำเร็จรูป

งาน #1:ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ฐานใหญ่กว่าคือ 11 ซม. ฐานเล็กคือ 4 ซม. สี่เหลี่ยมคางหมูมีเส้นทแยงมุม อันหนึ่งยาว 12 ซม. อันที่สองยาว 9 ซม.

วิธีแก้ไข: สร้าง AMRS สี่เหลี่ยมคางหมู ลากเส้นตรง Рх ผ่านจุดยอด P เพื่อให้ขนานกับเส้นทแยงมุม MC และตัดกับเส้นตรง AC ที่จุด X คุณจะได้สามเหลี่ยม APMX

เราจะพิจารณาตัวเลขสองตัวที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการปรับเปลี่ยนเหล่านี้: สามเหลี่ยม APX และสี่เหลี่ยมด้านขนาน CMRX

ต้องขอบคุณรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราจึงเรียนรู้ว่า PX = MC = 12 ซม. และ CX = MR = 4 ซม. จากจุดที่เราสามารถคำนวณด้าน AX ของสามเหลี่ยม ARX ได้: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 ซม.

นอกจากนี้เรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยม APX เป็นมุมฉาก (ในการดำเนินการนี้ ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส - AX 2 = AP 2 + PX 2) และคำนวณพื้นที่: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 ซม. 2

ต่อไป คุณจะต้องพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม AMP และ PCX มีพื้นที่เท่ากัน พื้นฐานจะเป็นความเท่าเทียมกันของฝ่าย MR และ CX (พิสูจน์แล้วข้างต้น) และความสูงที่คุณลดลงบนด้านเหล่านี้ด้วย - พวกมันเท่ากับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู AMRS

ทั้งหมดนี้จะทำให้คุณบอกได้ว่า S AMPC = S APX = 54 ซม. 2

งาน #2:ให้ KRMS สี่เหลี่ยมคางหมู ที่ด้านข้างมีจุด O และ E ในขณะที่ OE และ KS ขนานกัน เป็นที่ทราบกันว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ORME และ OKSE อยู่ในอัตราส่วน 1:5 RM = a และ KS = b คุณต้องค้นหา OE

วิธีแก้ไข: ลากเส้นขนานกับ RK ถึงจุด M และกำหนดจุดตัดกับ OE เป็น T โดย A คือจุดตัดของเส้นที่ลากผ่านจุด E ขนานกับ RK โดยมีฐาน KS

ขอแนะนำสัญลักษณ์อีกอย่างหนึ่ง - OE = x และความสูง h 1 สำหรับสามเหลี่ยม TME และความสูง h 2 สำหรับสามเหลี่ยม AEC (คุณสามารถพิสูจน์ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ได้อย่างอิสระ)

เราจะถือว่า b > a พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ORME และ OKSE อยู่ในอัตราส่วน 1:5 ซึ่งทำให้เรามีสิทธิ์สร้างสมการต่อไปนี้: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2 ลองแปลงร่างแล้วได้: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a))

เนื่องจากสามเหลี่ยม TME และ AEC มีความคล้ายคลึงกัน เราจึงมี h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) ลองรวมทั้งสองค่าเข้าด้วยกันแล้วได้: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6

ดังนั้น OE = x = √(5a 2 + b 2)/6

บทสรุป

เรขาคณิตไม่ใช่วิทยาศาสตร์ที่ง่ายที่สุด แต่คุณสามารถรับมือกับคำถามในข้อสอบได้อย่างแน่นอน แสดงความเพียรพยายามเล็กน้อยในการเตรียมตัวก็เพียงพอแล้ว และแน่นอนว่าต้องจำสูตรที่จำเป็นทั้งหมดด้วย

เราพยายามรวบรวมสูตรคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดไว้ในที่เดียวเพื่อให้คุณนำไปใช้ในการเตรียมสอบและแก้ไขเนื้อหาได้

อย่าลืมบอกเพื่อนร่วมชั้นและเพื่อน ๆ บนโซเชียลเน็ตเวิร์กเกี่ยวกับบทความนี้ ขอให้มีเกรดดีๆ มากกว่านี้สำหรับการสอบ Unified State และ State Examination!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา