ลดความซับซ้อนของความไม่เท่าเทียมกัน ระบบความไม่เท่าเทียมกัน--การแก้ปัญหา

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

อสมการและระบบอสมการเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ครอบคลุมในพีชคณิตในโรงเรียนมัธยม ในแง่ของระดับความยากนั้นไม่ใช่เรื่องยากที่สุดเนื่องจากมีกฎง่ายๆ (เพิ่มเติมในภายหลัง) ตามกฎแล้ว เด็กนักเรียนเรียนรู้ที่จะแก้ระบบความไม่เท่าเทียมได้อย่างง่ายดาย นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าครูเพียงแค่ "ฝึกอบรม" นักเรียนในหัวข้อนี้ และพวกเขาอดไม่ได้ที่จะทำเช่นนี้ เนื่องจากมีการศึกษาในอนาคตโดยใช้ปริมาณทางคณิตศาสตร์อื่นๆ และยังได้รับการทดสอบในการสอบ Unified State และการสอบ Unified State อีกด้วย ในตำราเรียนของโรงเรียนหัวข้อของความไม่เท่าเทียมและระบบของความไม่เท่าเทียมกันนั้นครอบคลุมรายละเอียดมาก ดังนั้นหากคุณจะศึกษามัน วิธีที่ดีที่สุดคือหันไปใช้สิ่งเหล่านี้ บทความนี้จะสรุปเฉพาะเนื้อหาที่มีขนาดใหญ่กว่าเท่านั้น และอาจมีการละเว้นอยู่บ้าง

แนวคิดของระบบความไม่เท่าเทียมกัน

ถ้าเราหันไปใช้ภาษาวิทยาศาสตร์ เราก็สามารถกำหนดแนวคิดเรื่อง “ระบบความไม่เท่าเทียม” ได้ นี่คือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงความไม่เท่าเทียมกันหลายประการ แน่นอนว่าแบบจำลองนี้จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหาและนี่จะเป็นคำตอบทั่วไปสำหรับความไม่เท่าเทียมกันของระบบที่เสนอในงาน (โดยปกติจะเขียนแบบนี้เช่น: “ แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน 4 x + 1 > 2 และ 30 - x > 6... ") อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะไปยังประเภทและวิธีการแก้ปัญหา คุณต้องเข้าใจอย่างอื่นก่อน

ระบบอสมการและระบบสมการ

เมื่อเรียนรู้หัวข้อใหม่มักเกิดความเข้าใจผิด ในอีกด้านหนึ่ง ทุกอย่างชัดเจนและคุณต้องการเริ่มแก้ไขงานโดยเร็วที่สุด แต่ในทางกลับกัน บางช่วงเวลายังคงอยู่ใน "เงา" และยังไม่เป็นที่เข้าใจทั้งหมด นอกจากนี้องค์ประกอบบางส่วนของความรู้ที่ได้รับแล้วอาจเกี่ยวพันกับความรู้ใหม่ได้ เนื่องจาก "การทับซ้อนกัน" นี้ จึงมักเกิดข้อผิดพลาดขึ้น

ดังนั้น ก่อนที่เราจะเริ่มวิเคราะห์หัวข้อของเรา เราควรจดจำความแตกต่างระหว่างสมการและอสมการและระบบของสมการต่างๆ ในการทำเช่นนี้ เราต้องอธิบายอีกครั้งว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์เหล่านี้แสดงถึงอะไร สมการมีความเท่าเทียมกันเสมอและจะเท่ากับบางสิ่งบางอย่างเสมอ (ในทางคณิตศาสตร์คำนี้แสดงด้วยเครื่องหมาย "=") อสมการเป็นรูปแบบที่ค่าหนึ่งมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าค่าอื่น หรือมีข้อความที่บอกว่าค่าไม่เหมือนกัน ดังนั้นในกรณีแรกจึงเหมาะสมที่จะพูดถึงความเท่าเทียมกันและในกรณีที่สองไม่ว่าชื่อจะฟังดูชัดเจนแค่ไหนก็ตามเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันของข้อมูลเริ่มต้น ระบบสมการและอสมการในทางปฏิบัติไม่ได้แตกต่างกันและวิธีการแก้ก็เหมือนกัน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือในกรณีแรกจะใช้ความเท่าเทียมกัน และในกรณีที่สองจะใช้ความไม่เท่าเทียมกัน

ประเภทของความไม่เท่าเทียมกัน

อสมการมีสองประเภท: ตัวเลขและตัวแปรที่ไม่รู้จัก ประเภทแรกแสดงถึงปริมาณที่ให้ไว้ (ตัวเลข) ที่ไม่เท่ากัน เช่น 8 > 10 ประเภทที่สองคือความไม่เท่าเทียมกันที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก (แสดงด้วยตัวอักษรละติน ซึ่งส่วนใหญ่มักเป็น X) จำเป็นต้องค้นหาตัวแปรนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะแยกความแตกต่างระหว่างความไม่เท่าเทียมกันกับตัวแปรหนึ่งตัว (พวกมันประกอบกันเป็นระบบของความไม่เท่ากันด้วยตัวแปรตัวเดียว) หรือตัวแปรหลายตัว (พวกมันประกอบกันเป็นระบบของความไม่เท่ากันที่มีตัวแปรหลายตัว) ขึ้นอยู่กับจำนวนที่มีอยู่

สองประเภทสุดท้ายตามระดับของการก่อสร้างและระดับความซับซ้อนของการแก้ปัญหาแบ่งออกเป็นแบบง่ายและซับซ้อน สิ่งที่เรียบง่ายเรียกอีกอย่างว่าอสมการเชิงเส้น ในทางกลับกันก็แบ่งออกเป็นเข้มงวดและไม่เข้มงวด ที่เข้มงวดโดยเฉพาะ "พูด" ว่าปริมาณหนึ่งต้องน้อยกว่าหรือมากกว่านั้นเสมอ ดังนั้นนี่คือความไม่เท่าเทียมกันอย่างแท้จริง สามารถยกตัวอย่างได้หลายตัวอย่าง: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 เป็นต้น ตัวอย่างที่ไม่เข้มงวดยังรวมถึงความเท่าเทียมกันด้วย นั่นคือ ค่าหนึ่งสามารถมากกว่าหรือเท่ากับอีกค่าหนึ่งได้ (เครื่องหมาย “≥”) หรือน้อยกว่าหรือเท่ากับอีกค่าหนึ่ง (เครื่องหมาย “≤”) แม้แต่ในอสมการเชิงเส้น ตัวแปรไม่ได้อยู่ที่ราก สี่เหลี่ยม หรือหารด้วยสิ่งใดๆ ก็ไม่ลงตัว ซึ่งเป็นสาเหตุว่าทำไมจึงเรียกว่า "แบบง่าย" ตัวแปรที่ซับซ้อนเกี่ยวข้องกับตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งต้องใช้คณิตศาสตร์ในการค้นหามากขึ้น พวกมันมักจะอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ หรือใต้ราก พวกมันสามารถเป็นแบบโมดูลาร์ ลอการิทึม เศษส่วน ฯลฯ แต่เนื่องจากงานของเราคือความต้องการที่จะเข้าใจวิธีแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกัน เราจะพูดถึงระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น . อย่างไรก็ตามก่อนหน้านั้นควรพูดอะไรสักสองสามคำเกี่ยวกับคุณสมบัติของพวกเขา

คุณสมบัติของอสมการ

คุณสมบัติของอสมการมีดังต่อไปนี้:

1. เครื่องหมายอสมการจะกลับกันหากใช้การดำเนินการเพื่อเปลี่ยนลำดับของด้านข้าง (เช่น ถ้า t 1 ≤ t 2 ดังนั้น t 2 ≥ t 1)
2. อสมการทั้งสองข้างทำให้คุณสามารถเพิ่มจำนวนเดียวกันลงในตัวมันเองได้ (เช่น ถ้า t 1 ≤ t 2 แสดงว่า t 1 + จำนวน ≤ t 2 + จำนวน)
3. ความไม่เท่าเทียมกันตั้งแต่ 2 อย่างขึ้นไปที่มีเครื่องหมายไปในทิศทางเดียวกันทำให้สามารถเพิ่มด้านซ้ายและด้านขวาได้ (ตัวอย่างเช่น ถ้า t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4 ดังนั้น t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. อสมการทั้งสองส่วนสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนบวกเดียวกันได้ (เช่น ถ้า t 1 ≤ t 2 และจำนวน ≤ 0 จะเป็นจำนวน · t 1 ≥ จำนวน · t 2)
5. อสมการตั้งแต่สองตัวขึ้นไปที่มีพจน์เป็นบวกและมีเครื่องหมายไปในทิศทางเดียวกันทำให้สามารถคูณกันเองได้ (เช่น ถ้า t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 แล้วก็ เสื้อ 1 · เสื้อ 3 ≤ เสื้อ 2 · เสื้อ 4)
6. อสมการทั้งสองส่วนยอมให้ตัวเองคูณหรือหารด้วยจำนวนลบเดียวกันได้ แต่ในกรณีนี้ สัญญาณของอสมการจะเปลี่ยนไป (เช่น ถ้า t 1 ≤ t 2 และตัวเลข ≤ 0 ดังนั้นตัวเลข · t 1 ≥หมายเลข · เสื้อ 2)
7. อสมการทั้งหมดมีคุณสมบัติของการผ่านผ่าน (เช่น ถ้า t 1 ≤ t 2 และ t 2 ≤ t 3 ดังนั้น t 1 ≤ t 3)

ตอนนี้หลังจากศึกษาหลักการพื้นฐานของทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันแล้ว เราก็สามารถดำเนินการพิจารณากฎเกณฑ์ในการแก้ปัญหาระบบได้โดยตรง

การแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน ข้อมูลทั่วไป. โซลูชั่น

ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว วิธีแก้ คือ ค่าของตัวแปรที่เหมาะสมกับความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดของระบบที่กำหนด การแก้ระบบอสมการคือการนำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไปใช้ซึ่งท้ายที่สุดจะนำไปสู่การแก้ทั้งระบบหรือพิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหา ในกรณีนี้ พวกเขาบอกว่าตัวแปรอ้างถึงชุดตัวเลขว่าง (เขียนดังนี้: ตัวอักษรแสดงถึงตัวแปร∈ (เครื่องหมาย “เป็นของ”) ø (เครื่องหมาย “ชุดว่าง”) เช่น x ∈ ø (อ่าน: “ตัวแปร “x” เป็นของชุดว่าง”) มีหลายวิธีในการแก้ระบบอสมการ: แบบกราฟิก, พีชคณิต, วิธีการทดแทน เป็นที่น่าสังเกตว่าพวกมันอ้างถึงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักหลายตัว ในกรณีที่มีเพียงวิธีเดียว วิธีช่วงเวลาจึงเหมาะสม

วิธีกราฟิก

ช่วยให้คุณสามารถแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันด้วยปริมาณที่ไม่ทราบจำนวนหลายค่า (ตั้งแต่สองขึ้นไป) ด้วยวิธีนี้ ระบบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นจึงสามารถแก้ไขได้ง่ายและรวดเร็ว ดังนั้นจึงเป็นวิธีที่พบได้บ่อยที่สุด สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าการพล็อตกราฟช่วยลดปริมาณการเขียนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องน่ายินดีอย่างยิ่งที่จะหยุดพักจากปากกาเล็กน้อยหยิบดินสอด้วยไม้บรรทัดแล้วเริ่มดำเนินการเพิ่มเติมด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาเมื่องานเสร็จไปมากและคุณต้องการความหลากหลายเล็กน้อย อย่างไรก็ตาม บางคนไม่ชอบวิธีนี้เพราะต้องแยกตัวออกจากงานและเปลี่ยนกิจกรรมทางจิตไปเป็นการวาดภาพ อย่างไรก็ตาม นี่เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมาก

ในการแก้ไขระบบอสมการโดยใช้วิธีกราฟิก จำเป็นต้องโอนเงื่อนไขทั้งหมดของอสมการแต่ละรายการไปทางด้านซ้าย เครื่องหมายจะกลับด้าน โดยให้เขียนศูนย์ทางด้านขวา จากนั้นจะต้องเขียนความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการแยกกัน ผลที่ได้คือฟังก์ชันจะได้มาจากความไม่เท่าเทียมกัน หลังจากนั้นคุณสามารถหยิบดินสอและไม้บรรทัดออกมาได้: ตอนนี้คุณต้องวาดกราฟของแต่ละฟังก์ชันที่ได้รับ ตัวเลขทั้งชุดที่อยู่ในช่วงเวลาของจุดตัดกันจะเป็นคำตอบของระบบอสมการ

วิธีพีชคณิต

ช่วยให้คุณแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันด้วยตัวแปรที่ไม่รู้จักสองตัว นอกจากนี้ อสมการจะต้องมีเครื่องหมายอสมการเหมือนกัน (นั่นคือ ต้องมีเครื่องหมาย "มากกว่า" หรือเฉพาะเครื่องหมาย "น้อยกว่า" เท่านั้น เป็นต้น) แม้จะมีข้อจำกัด แต่วิธีนี้ก็ซับซ้อนกว่าเช่นกัน มันถูกนำไปใช้ในสองขั้นตอน

ประการแรกเกี่ยวข้องกับการดำเนินการเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวใดตัวหนึ่ง ก่อนอื่นคุณต้องเลือกมัน จากนั้นตรวจสอบว่ามีตัวเลขอยู่หน้าตัวแปรนี้หรือไม่ หากไม่มีอยู่ (ตัวแปรจะมีลักษณะเป็นตัวอักษรตัวเดียว) เราจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย หากมี (ประเภทของตัวแปรจะเป็นเช่น 5y หรือ 12y) ก็จำเป็นต้องทำ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าในแต่ละความไม่เท่าเทียมกันตัวเลขที่อยู่หน้าตัวแปรที่เลือกจะเหมือนกัน ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณแต่ละเทอมของอสมการด้วยปัจจัยร่วม เช่น ถ้า 3y เขียนอยู่ในอสมการแรก และ 5y ในอสมการที่สอง คุณต้องคูณเงื่อนไขทั้งหมดของอสมการแรกด้วย 5 และอันที่สองคูณ 3 คุณจะได้ 15y และ 15y ตามลำดับ

ขั้นตอนที่สองของการแก้ปัญหา มีความจำเป็นต้องโอนด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันไปทางด้านขวาเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอมไปในทางตรงกันข้ามและเขียนศูนย์ทางด้านขวา ส่วนที่สนุกสนานมาถึงแล้ว: การกำจัดตัวแปรที่เลือก (หรือที่เรียกว่า "การลดลง") ในขณะที่เพิ่มความไม่เท่าเทียมกัน ส่งผลให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันโดยมีตัวแปรหนึ่งตัวที่ต้องแก้ไข หลังจากนี้ คุณควรทำสิ่งเดียวกัน เฉพาะกับตัวแปรที่ไม่รู้จักเท่านั้น ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นการแก้ปัญหาของระบบ

วิธีการทดแทน

ช่วยให้คุณแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันได้หากเป็นไปได้ที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ โดยทั่วไปแล้ว วิธีการนี้จะใช้เมื่อตัวแปรที่ไม่รู้จักในเทอมหนึ่งของอสมการเพิ่มขึ้นเป็นกำลังสี่ และอีกเทอมหนึ่งเป็นกำลังสอง ดังนั้นวิธีนี้จึงมีจุดมุ่งหมายเพื่อลดระดับความไม่เท่าเทียมกันในระบบ ความไม่เท่าเทียมกันของตัวอย่าง x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้ มีการแนะนำตัวแปรใหม่ เช่น t พวกเขาเขียนว่า: "ให้ t = x 2" จากนั้นแบบจำลองจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบใหม่ ในกรณีของเรา เราได้ t 2 - t - 1 ≤0 อสมการนี้ต้องได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีช่วงเวลา (เพิ่มเติมในภายหลัง) จากนั้นกลับไปที่ตัวแปร X จากนั้นทำแบบเดียวกันกับอสมการอื่นๆ คำตอบที่ได้รับจะเป็นคำตอบของระบบ

วิธีช่วงเวลา

นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียม และในขณะเดียวกันก็เป็นแนวทางสากลและแพร่หลาย ใช้ในโรงเรียนมัธยมศึกษาและแม้แต่ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย สาระสำคัญอยู่ที่ความจริงที่ว่านักเรียนมองหาช่วงเวลาของความไม่เท่าเทียมกันบนเส้นจำนวนซึ่งวาดไว้ในสมุดบันทึก (นี่ไม่ใช่กราฟ แต่เป็นเพียงเส้นธรรมดาที่มีตัวเลข) เมื่อช่วงของความไม่เท่าเทียมกันตัดกัน จะพบคำตอบของระบบ หากต้องการใช้วิธีช่วงเวลา คุณต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1. เงื่อนไขทั้งหมดของอสมการแต่ละรายการจะถูกโอนไปทางด้านซ้ายโดยเครื่องหมายจะเปลี่ยนไปตรงกันข้าม (ศูนย์เขียนไว้ทางด้านขวา)
2. ความไม่เท่าเทียมกันจะถูกเขียนแยกกันและหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับแต่ละรายการ
3. พบจุดตัดของอสมการบนเส้นจำนวน ตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ตรงทางแยกเหล่านี้จะเป็นคำตอบ

ฉันควรใช้วิธีใด?

เห็นได้ชัดว่าเป็นสิ่งที่ดูเหมือนง่ายและสะดวกที่สุด แต่มีบางกรณีที่งานต้องใช้วิธีการบางอย่าง บ่อยครั้งที่พวกเขาบอกว่าคุณต้องแก้โดยใช้กราฟหรือวิธีช่วงเวลา วิธีการและการทดแทนพีชคณิตนั้นไม่ค่อยมีใครใช้มากนักหรือไม่ได้ใช้เลย เนื่องจากค่อนข้างซับซ้อนและสับสน นอกจากนี้ พวกมันยังใช้ในการแก้ระบบสมการมากกว่าอสมการ ดังนั้น คุณควรหันไปใช้การวาดกราฟและช่วงเวลา สิ่งเหล่านี้นำมาซึ่งความชัดเจนซึ่งไม่สามารถช่วยให้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์มีประสิทธิภาพและรวดเร็วได้

หากบางสิ่งบางอย่างไม่ได้ผล

ในขณะที่ศึกษาหัวข้อใดหัวข้อหนึ่งในพีชคณิต แน่นอนว่าปัญหาอาจเกิดขึ้นกับความเข้าใจได้ และนี่เป็นเรื่องปกติ เพราะสมองของเราได้รับการออกแบบในลักษณะที่ไม่สามารถเข้าใจเนื้อหาที่ซับซ้อนได้ในคราวเดียว บ่อยครั้งที่คุณต้องอ่านย่อหน้าใหม่ รับความช่วยเหลือจากครู หรือฝึกแก้ไขงานมาตรฐาน ในกรณีของเรา มีลักษณะดังนี้: “แก้ระบบอสมการ 3 x + 1 ≥ 0 และ 2 x - 1 > 3” ดังนั้นความปรารถนาส่วนตัว ความช่วยเหลือจากบุคคลภายนอก และการฝึกฝนความช่วยเหลือในการทำความเข้าใจหัวข้อที่ซับซ้อน

แก้ปัญหา?

หนังสือวิธีแก้ปัญหาก็เหมาะมากเช่นกัน แต่ไม่ใช่สำหรับการลอกการบ้าน แต่เพื่อการช่วยเหลือตนเอง ในนั้นคุณสามารถค้นหาระบบความไม่เท่าเทียมพร้อมวิธีแก้ปัญหาดู (เป็นเทมเพลต) พยายามทำความเข้าใจว่าผู้เขียนโซลูชันจัดการกับงานอย่างไรแล้วลองทำแบบเดียวกันด้วยตัวเอง

ข้อสรุป

พีชคณิตเป็นหนึ่งในวิชาที่ยากที่สุดในโรงเรียน คุณทำอะไรได้บ้าง? คณิตศาสตร์เป็นแบบนี้มาโดยตลอด สำหรับบางคนมันง่าย แต่สำหรับบางคนมันยาก แต่ไม่ว่าในกรณีใด ควรจำไว้ว่าโปรแกรมการศึกษาทั่วไปมีโครงสร้างในลักษณะที่นักเรียนคนใดคนหนึ่งสามารถรับมือได้ นอกจากนี้เราต้องคำนึงถึงผู้ช่วยจำนวนมากด้วย บางส่วนของพวกเขาได้รับการกล่าวถึงข้างต้น

หลังจากได้รับข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกับตัวแปรแล้ว เราก็ไปยังคำถามที่ต้องแก้ไข เราจะวิเคราะห์คำตอบของอสมการเชิงเส้นด้วยตัวแปรเดียวและวิธีการแก้ไขทั้งหมดด้วยอัลกอริธึมและตัวอย่าง จะพิจารณาเฉพาะสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียวเท่านั้น

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

อสมการเชิงเส้นคืออะไร?

ขั้นแรก คุณต้องกำหนดสมการเชิงเส้นและค้นหารูปแบบมาตรฐานของสมการและจะแตกต่างจากสมการอื่นๆ อย่างไร จากหลักสูตรของโรงเรียนเราพบว่าไม่มีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างความไม่เท่าเทียมกันจึงจำเป็นต้องใช้คำจำกัดความหลายคำ

คำจำกัดความ 1

อสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว x คืออสมการในรูปแบบ a · x + b > 0 เมื่อใช้เครื่องหมายอสมการใดๆ แทน >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

คำจำกัดความ 2

อสมการ a x< c или a · x >c โดยที่ x เป็นตัวแปร และ a และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง เรียกว่า อสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว.

เนื่องจากไม่มีการพูดถึงว่าสัมประสิทธิ์สามารถเท่ากับ 0 ได้หรือไม่ ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดของรูปแบบ 0 x > c และ 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

ความแตกต่างคือ:

• สัญกรณ์ในรูปแบบ a · x + b > 0 ในอันแรก และ a · x > c – ในวินาที;
• การยอมรับค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับศูนย์, ≠ 0 - ในอันแรกและ a = 0 - ในวินาที

เชื่อกันว่าอสมการ a · x + b > 0 และ a · x > c เท่ากัน เนื่องจากได้มาโดยการถ่ายโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่ง การแก้ไขอสมการ 0 x + 5 > 0 จะนำไปสู่ความจริงที่ว่าจะต้องแก้ไข และกรณี a = 0 จะไม่ทำงาน

คำจำกัดความ 3

เชื่อกันว่าความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในตัวแปร x ตัวหนึ่งคือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ ก x + ข< 0 , a · x + b >0, ก x + ข ≤ 0และ มี x + ข ≥ 0โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง แทนที่จะเป็น x สามารถเป็นตัวเลขปกติได้

ตามกฎแล้ว เรามี 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 เรียกว่า ลดเป็นเชิงเส้นได้

วิธีแก้อสมการเชิงเส้น

วิธีหลักในการแก้ไขอสมการดังกล่าวคือการใช้การแปลงที่เท่ากันเพื่อค้นหาอสมการเบื้องต้น x< p (≤ , >, ≥) , p ซึ่งเป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง สำหรับ ≠ 0 และอยู่ในรูปแบบ a< p (≤ , >, ≥) สำหรับ = 0

ในการแก้ไขอสมการในตัวแปรตัวเดียว คุณสามารถใช้วิธีช่วงเวลาหรือแสดงค่าเป็นภาพก็ได้ สามารถใช้แยกกันได้

การใช้การแปลงที่เท่ากัน

เพื่อแก้อสมการเชิงเส้นในรูป a x + b< 0 (≤ , >, ≥) จำเป็นต้องใช้การแปลงอสมการที่เทียบเท่ากัน ค่าสัมประสิทธิ์อาจเป็นหรือไม่ใช่ศูนย์ก็ได้ ลองพิจารณาทั้งสองกรณี หากต้องการทราบว่าคุณต้องปฏิบัติตามโครงร่างที่ประกอบด้วย 3 ประเด็น: สาระสำคัญของกระบวนการ อัลกอริทึม และวิธีแก้ปัญหา

คำจำกัดความที่ 4

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการเชิงเส้น ก x + ข< 0 (≤ , >, ≥) สำหรับ ≠ 0

• เลข b จะถูกย้ายไปทางด้านขวาของอสมการโดยมีเครื่องหมายตรงข้ามซึ่งจะทำให้เราได้ค่าเท่ากับ a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• อสมการทั้งสองด้านจะถูกหารด้วยตัวเลขไม่เท่ากับ 0 ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อ a เป็นบวก เครื่องหมายจะยังคงอยู่ เมื่อ a เป็นลบ มันจะเปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม

ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้อัลกอริทึมนี้เพื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

แก้อสมการของรูปแบบ 3 x + 12 ≤ 0

สารละลาย

อสมการเชิงเส้นนี้มี a = 3 และ b = 12 ซึ่งหมายความว่าสัมประสิทธิ์ a ของ x ไม่เท่ากับศูนย์ ลองใช้อัลกอริธึมข้างต้นแล้วแก้ไข

มีความจำเป็นต้องย้ายภาคเรียนที่ 12 ไปยังส่วนอื่นของความไม่เท่าเทียมกันและเปลี่ยนป้ายด้านหน้า จากนั้นเราจะได้อสมการในรูปแบบ 3 x ≤ − 12 จำเป็นต้องหารทั้งสองส่วนด้วย 3 เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนเนื่องจาก 3 เป็นจำนวนบวก เราได้สิ่งนั้น (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 ซึ่งให้ผลลัพธ์ x ≤ − 4

อสมการของรูปแบบ x ≤ − 4 เทียบเท่ากัน นั่นคือ ผลเฉลยของ 3 x + 12 ≤ 0 คือจำนวนจริงใดๆ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 คำตอบเขียนเป็นอสมการ x ≤ − 4 หรือช่วงตัวเลขในรูปแบบ (− ∞, − 4]

อัลกอริธึมทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นเขียนดังนี้:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ - 4 .

คำตอบ: x ≤ − 4 หรือ (− ∞ , − 4 ]

ตัวอย่างที่ 2

ระบุคำตอบที่มีอยู่ทั้งหมดสำหรับอสมการ − 2, 7 · z > 0

สารละลาย

จากเงื่อนไขเราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ a สำหรับ z เท่ากับ - 2.7 และ b ไม่มีอยู่อย่างชัดเจนหรือเท่ากับศูนย์ คุณไม่สามารถใช้ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมได้ แต่ไปยังขั้นตอนที่สองทันที

เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวเลข - 2, 7 เนื่องจากตัวเลขเป็นลบ จึงจำเป็นต้องกลับเครื่องหมายอสมการ นั่นคือเราได้สิ่งนั้น (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

ให้เราเขียนอัลกอริธึมทั้งหมดในรูปแบบย่อ:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

คำตอบ: z< 0 или (− ∞ , 0) .

ตัวอย่างที่ 3

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน - 5 x - 15 22 ≤ 0

สารละลาย

ตามเงื่อนไขเราจะเห็นว่าจำเป็นต้องแก้อสมการด้วยสัมประสิทธิ์ a สำหรับตัวแปร x ซึ่งเท่ากับ - 5 โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ b ซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วน - 15 22 จำเป็นต้องแก้ไขอสมการโดยทำตามอัลกอริธึมนั่นคือ: ย้าย - 15 22 ไปยังส่วนอื่นที่มีเครื่องหมายตรงข้ามหารทั้งสองส่วนด้วย - 5 เปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการ:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

ในช่วงการเปลี่ยนภาพครั้งล่าสุดทางด้านขวา กฎสำหรับการหารตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันจะใช้ 15 22: - 5 = - 15 22: 5 หลังจากนั้นเราหารเศษส่วนสามัญด้วยจำนวนธรรมชาติ - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

คำตอบ: x ≥ - 3 22 และ [ - 3 22 + ∞)

ลองพิจารณากรณีที่ a = 0 การแสดงออกเชิงเส้นของรูปแบบ a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับการกำหนดแนวทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน สำหรับค่า x ใด ๆ เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขของรูปแบบ b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

เราจะพิจารณาการตัดสินทั้งหมดในรูปแบบของอัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการเชิงเส้น 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

คำจำกัดความที่ 5

อสมการเชิงตัวเลขของรูปแบบ b< 0 (≤ , >, ≥) เป็นจริง ดังนั้นอสมการดั้งเดิมจะมีวิธีแก้ปัญหาสำหรับค่าใดๆ ก็ตาม และเป็นเท็จเมื่ออสมการดั้งเดิมไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 4

แก้อสมการ 0 x + 7 > 0

สารละลาย

อสมการเชิงเส้นนี้ 0 x + 7 > 0 สามารถรับค่า x ใดๆ ก็ได้ จากนั้นเราจะได้อสมการในรูปแบบ 7 > 0 อสมการสุดท้ายถือเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าจำนวนใดๆ ก็สามารถเป็นคำตอบได้

คำตอบ: ช่วงเวลา (− ∞ , + ∞)

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาวิธีแก้อสมการ 0 x − 12, 7 ≥ 0

สารละลาย

เมื่อแทนตัวแปร x ของจำนวนใดๆ เราจะได้ว่าอสมการอยู่ในรูปแบบ − 12, 7 ≥ 0 มันไม่ถูกต้อง. นั่นคือ 0 x − 12, 7 ≥ 0 ไม่มีคำตอบ

คำตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ลองพิจารณาแก้อสมการเชิงเส้นโดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่สามารถแก้ไขได้จาก 0 x + 0 > 0 และ 0 x + 0 ≥ 0

สารละลาย

เมื่อแทนที่ตัวเลขใดๆ แทน x เราจะได้ค่าอสมการสองรูปแบบคือ 0 > 0 และ 0 ≥ 0 อันแรกไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่า 0 x + 0 > 0 ไม่มีคำตอบ และ 0 x + 0 ≥ 0 มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด นั่นคือจำนวนใดๆ ก็ได้

คำตอบ: อสมการ 0 x + 0 > 0 ไม่มีทางแก้ แต่ 0 x + 0 ≥ 0 มีคำตอบ

วิธีการนี้จะกล่าวถึงในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน วิธีช่วงเวลาสามารถแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประเภทต่างๆ ได้ รวมถึงความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นด้วย

วิธีช่วงเวลาใช้สำหรับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นเมื่อค่าของสัมประสิทธิ์ x ไม่เท่ากับ 0 มิฉะนั้นคุณจะต้องคำนวณโดยใช้วิธีอื่น

คำนิยาม 6

วิธีช่วงเวลาคือ:

• แนะนำฟังก์ชัน y = a · x + b ;
• ค้นหาศูนย์เพื่อแบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นระยะ
• คำจำกัดความของสัญญาณสำหรับแนวคิดเกี่ยวกับช่วงเวลา

มาประกอบอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น a x + b กัน< 0 (≤ , >, ≥) สำหรับ ≠ 0 โดยใช้วิธีช่วงเวลา:

• การหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน y = a · x + b เพื่อแก้สมการในรูปแบบ a · x + b = 0 ถ้า ≠ 0 แสดงว่าคำตอบจะเป็นรูตเดียวซึ่งจะใช้การกำหนด x 0
• การสร้างเส้นพิกัดด้วยรูปภาพของจุดที่มีพิกัด x 0 ในกรณีที่มีความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด จุดนั้นจะถูกทำเครื่องหมายด้วยจุดที่ถูกเจาะ ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด จุดจะถูกทำเครื่องหมายไว้
• การกำหนดสัญญาณของฟังก์ชัน y = a · x + b ในช่วงเวลานั้นจำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดในช่วงเวลานั้น
• การแก้ไขอสมการด้วยเครื่องหมาย > หรือ ≥ บนเส้นพิกัด โดยเพิ่มการแรเงาในช่วงเวลาบวก< или ≤ над отрицательным промежутком.

ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการแก้อสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีช่วงเวลา

ตัวอย่างที่ 6

แก้อสมการ − 3 x + 12 > 0

สารละลาย

จากอัลกอริทึมคุณต้องหารากของสมการก่อน - 3 x + 12 = 0 เราได้รับสิ่งนั้น − 3 · x = − 12 , x = 4 จำเป็นต้องวาดเส้นพิกัดที่เราทำเครื่องหมายจุดที่ 4 จะโดนเจาะเพราะความไม่เท่าเทียมเข้มงวด พิจารณาภาพวาดด้านล่าง

มีความจำเป็นต้องกำหนดสัญญาณเป็นระยะ ในการกำหนดช่วงเวลา (− ∞, 4) จำเป็นต้องคำนวณฟังก์ชัน y = − 3 x + 12 ที่ x = 3 จากตรงนี้เราจะได้ว่า − 3 3 + 12 = 3 > 0 เครื่องหมายบนช่วงเวลาเป็นบวก

เรากำหนดเครื่องหมายจากช่วงเวลา (4, + ∞) จากนั้นแทนที่ค่า x = 5 เรามี − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

เราแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมาย > และการแรเงาจะดำเนินการในช่วงเวลาที่เป็นบวก พิจารณาภาพวาดด้านล่าง

จากภาพวาดจะเห็นได้ชัดว่าสารละลายที่ต้องการมีรูปแบบ (− ∞ , 4) หรือ x< 4 .

คำตอบ: (− ∞ , 4) หรือ x< 4 .

เพื่อให้เข้าใจวิธีการแสดงภาพกราฟิก จำเป็นต้องพิจารณาอสมการเชิงเส้น 4 รายการเป็นตัวอย่าง: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 และ 0, 5 x − 1 ≥ 0 คำตอบของพวกเขาจะเป็นค่าของ x< 2 , x ≤ 2 , x >2 และ x ≥ 2 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาพลอตฟังก์ชันเชิงเส้น y = 0, 5 x − 1 ที่แสดงด้านล่าง

เป็นที่ชัดเจนว่า

คำนิยาม 7

• การแก้อสมการ 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• วิธีแก้ปัญหา 0, 5 x − 1 ≤ 0 ถือเป็นช่วงที่ฟังก์ชัน y = 0, 5 x − 1 ต่ำกว่า O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน
• วิธีแก้ปัญหา 0, 5 · x − 1 > 0 ถือเป็นช่วงเวลา ฟังก์ชันจะอยู่เหนือ O x;
• วิธีแก้ปัญหา 0, 5 · x − 1 ≥ 0 ถือเป็นช่วงที่กราฟอยู่เหนือ O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

จุดสำคัญของการแก้ไขอสมการเชิงกราฟิกคือการหาช่วงเวลาที่ต้องแสดงบนกราฟ ในกรณีนี้ เราพบว่าด้านซ้ายมี y = a · x + b และด้านขวามี y = 0 และเกิดขึ้นพร้อมกับ O x

คำจำกัดความ 8

กราฟของฟังก์ชัน y = a x + b ถูกพล็อต:

• ขณะแก้อสมการ a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน a · x + b ≤ 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟแสดงอยู่ใต้แกน O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน
• เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน a · x + b > 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟแสดงอยู่เหนือ O x;
• เมื่อแก้อสมการ a · x + b ≥ 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟอยู่เหนือ O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

ตัวอย่างที่ 7

แก้อสมการ - 5 · x - 3 > 0 โดยใช้กราฟ

สารละลาย

จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น - 5 · x - 3 > 0 เส้นนี้ลดลงเพราะสัมประสิทธิ์ของ x เป็นลบ ในการกำหนดพิกัดของจุดตัดกับ O x - 5 · x - 3 > 0 เราได้รับค่า - 3 5 ลองพรรณนามันแบบกราฟิก

การแก้ไขอสมการด้วยเครื่องหมาย > คุณต้องสนใจช่วงที่อยู่เหนือ O x ให้เราเน้นส่วนที่ต้องการของเครื่องบินด้วยสีแดงแล้วรับสิ่งนั้น

ช่องว่างที่ต้องการคือส่วน O x สีแดง ซึ่งหมายความว่าเลขเรย์เปิด - ∞ , - 3 5 จะเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน หากตามเงื่อนไขแล้ว เรามีอสมการแบบไม่เข้มงวด ค่าของจุด - 3 5 ก็เป็นวิธีแก้อสมการเช่นกัน และมันจะตรงกับ O x

คำตอบ: - ∞ , - 3 5 หรือ x< - 3 5 .

วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกจะใช้เมื่อด้านซ้ายสอดคล้องกับฟังก์ชัน y = 0 x + b นั่นคือ y = b จากนั้นเส้นตรงจะขนานกับ O x หรือประจวบกันที่ b = 0 กรณีเหล่านี้แสดงว่าอสมการอาจไม่มีคำตอบ หรือคำตอบอาจเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้

ตัวอย่างที่ 8

กำหนดจากอสมการ 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

สารละลาย

การแทนค่า y = 0 x + 7 คือ y = 7 จากนั้นระนาบพิกัดจะมีเส้นขนานกับ O x และอยู่เหนือ O x ได้ 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

กราฟของฟังก์ชัน y = 0 x + 0 ถือเป็น y = 0 นั่นคือเส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับ O x ซึ่งหมายความว่าอสมการ 0 x + 0 ≥ 0 มีวิธีแก้ปัญหามากมาย

คำตอบ: อสมการที่สองมีคำตอบสำหรับค่า x ใดๆ

อสมการที่ลดลงเป็นเส้นตรง

การแก้อสมการสามารถลดลงเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้น ซึ่งเรียกว่าอสมการที่ลดเป็นเชิงเส้น

ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ได้รับการพิจารณาในหลักสูตรของโรงเรียน เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษของการแก้ไขความไม่เท่าเทียม ซึ่งนำไปสู่การเปิดวงเล็บและลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณาว่า 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x

อสมการที่ให้ไว้ข้างต้นจะถูกรีดิวซ์ให้อยู่ในรูปของสมการเชิงเส้นเสมอ หลังจากนั้นจึงเปิดวงเล็บและให้คำที่คล้ายกันย้ายจากส่วนต่าง ๆ เปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม

เมื่อลดอสมการ 5 − 2 x > 0 ให้เป็นเชิงเส้น เราจะแทนมันในลักษณะที่มีรูปแบบ − 2 x + 5 > 0 และเพื่อลดวินาทีที่สอง เราได้ 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . จำเป็นต้องเปิดวงเล็บ นำคำที่คล้ายกัน ย้ายคำศัพท์ทั้งหมดไปทางซ้าย และนำคำศัพท์ที่คล้ายกัน ดูเหมือนว่านี้:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

สิ่งนี้นำไปสู่การแก้สมการเชิงเส้น

อสมการเหล่านี้ถือเป็นเชิงเส้น เนื่องจากมีหลักการแก้ปัญหาเดียวกัน หลังจากนั้นจึงสามารถลดอสมการเหล่านี้ให้เป็นอสมการเบื้องต้นได้

เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้ จำเป็นต้องลดให้เป็นเชิงเส้น ควรจะทำเช่นนี้:

คำนิยาม 9

• วงเล็บเปิด
• รวบรวมตัวแปรทางด้านซ้ายและตัวเลขทางด้านขวา
• ให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน
• หารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์ของ x

ตัวอย่างที่ 9

แก้อสมการ 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1

สารละลาย

เราเปิดวงเล็บแล้วเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 หลังจากลดพจน์ที่คล้ายกันแล้ว เราก็จะได้ 6 x + 15 ≤ 6 x − 17 หลังจากย้ายพจน์จากซ้ายไปขวา เราจะพบว่า 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 ดังนั้นจึงมีความไม่เท่ากันของรูปแบบ 32 ≤ 0 จากที่ได้จากการคำนวณ 0 x + 32 ≤ 0 จะเห็นได้ว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดโดยเงื่อนไขไม่มีทางแก้ไขได้

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เป็นที่น่าสังเกตว่ามีความไม่เท่าเทียมกันประเภทอื่น ๆ อีกมากมายที่สามารถลดลงเป็นเชิงเส้นหรือความไม่เท่าเทียมกันของประเภทที่แสดงข้างต้น ตัวอย่างเช่น 5 2 x − 1 ≥ 1 เป็นสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ลดขนาดลงจนได้คำตอบในรูปแบบเชิงเส้น 2 x − 1 ≥ 0 กรณีเหล่านี้จะได้รับการพิจารณาเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ตอนนี้คุณคงเข้าใจแล้วว่าอสมการเชิงเส้น a x + b แก้ได้อย่างไร<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

วิธีหลักในการแก้ปัญหาคือการใช้การแปลงที่เท่ากันซึ่งทำให้ค่าหนึ่งมาถึง a≠0 ถึง ความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้นพิมพ์ x

, ≥), p - จำนวนหนึ่งซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ต้องการและสำหรับ a=0 - ถึงความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขของรูปแบบ a

, ≥) ซึ่งเป็นการสรุปผลเกี่ยวกับการแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม เราจะวิเคราะห์มันก่อน

การมองการแก้ไขอสมการเชิงเส้นในตัวแปรตัวหนึ่งจากมุมมองอื่นก็ไม่เสียหายเช่นกัน ดังนั้น เราจะแสดงให้เห็นว่าสามารถแก้ไขอสมการเชิงเส้นแบบกราฟิกได้อย่างไรและใช้วิธีการแบบช่วงเวลา

การใช้การแปลงที่เท่ากัน

ลองแก้อสมการเชิงเส้น a x+b กัน<0 (≤, >, ). ลองแสดงวิธีการทำเช่นนี้โดยใช้การแปลงอสมการที่เท่ากัน

วิธีการจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับว่าสัมประสิทธิ์ a ของตัวแปร x เท่ากับหรือไม่เท่ากับศูนย์ ลองดูพวกเขาทีละคน นอกจากนี้ เมื่อพิจารณา เราจะปฏิบัติตามแผนสามประเด็น: อันดับแรกเราจะให้สาระสำคัญของกระบวนการ จากนั้นเราจะให้อัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น และสุดท้าย เราจะให้คำตอบสำหรับตัวอย่างทั่วไป

เริ่มต้นด้วย อัลกอริธึมสำหรับแก้อสมการเชิงเส้น a x+b<0 (≤, >, ≥) สำหรับ a≠0.

• ประการแรก หมายเลข b จะถูกโอนไปทางด้านขวาของอสมการโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม นี่ทำให้เราส่งผ่านไปยังอสมการ a x ที่เท่ากันได้<−b (≤, >, ≥).
• ประการที่สอง ทั้งสองด้านของผลลัพธ์อสมการจะถูกหารด้วยจำนวน a ที่ไม่ใช่ศูนย์ ยิ่งไปกว่านั้น หาก a เป็นจำนวนบวก เครื่องหมายอสมการก็จะคงอยู่ และถ้า a เป็นจำนวนลบ เครื่องหมายอสมการก็จะกลับกัน ผลลัพธ์ที่ได้คืออสมการเบื้องต้นที่เทียบเท่ากับอสมการเชิงเส้นดั้งเดิม และนี่คือคำตอบ

ยังคงต้องเข้าใจการประยุกต์ใช้อัลกอริธึมที่ประกาศโดยใช้ตัวอย่าง ลองพิจารณาว่าจะใช้ในการแก้อสมการเชิงเส้นสำหรับ a≠0 ได้อย่างไร

ตัวอย่าง.

แก้อสมการ 3·x+12≤0

สารละลาย.

สำหรับอสมการเชิงเส้นที่กำหนด เรามี a=3 และ b=12 แน่นอนว่าค่าสัมประสิทธิ์ a สำหรับตัวแปร x นั้นแตกต่างจากศูนย์ ลองใช้อัลกอริธึมโซลูชันที่เกี่ยวข้องตามที่ระบุข้างต้น

อันดับแรก เราย้ายเทอม 12 ไปทางด้านขวาของอสมการ โดยไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย นั่นคือ −12 จะปรากฏทางด้านขวา เป็นผลให้เรามาถึงอสมการที่เท่ากัน 3·x≤−12

อย่างที่สอง เราหารทั้งสองข้างของอสมการที่ได้ด้วย 3 เนื่องจาก 3 เป็นจำนวนบวก เราจึงไม่เปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการ เรามี (3 x):3≤(−12):3 ซึ่งเหมือนกับ x≤−4

ผลลัพธ์ของความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้น x≤−4 เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นดั้งเดิมและเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ต้องการ

ดังนั้น คำตอบของอสมการเชิงเส้น 3 x + 12≤0 คือจำนวนจริงใดๆ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับลบสี่ คำตอบยังสามารถเขียนในรูปแบบของช่วงตัวเลขที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกัน x≤−4 นั่นคือเป็น (−∞, −4]

เมื่อได้รับทักษะในการทำงานกับอสมการเชิงเส้นแล้ว จึงสามารถเขียนคำตอบสั้นๆ ได้โดยไม่ต้องอธิบาย ในกรณีนี้ ขั้นแรกให้เขียนอสมการเชิงเส้นดั้งเดิม และด้านล่าง - อสมการเทียบเท่าที่ได้รับในแต่ละขั้นตอนของการแก้ปัญหา:
3 x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4 .

คำตอบ:

x≤−4 หรือ (−∞, −4]

ตัวอย่าง.

แสดงรายการคำตอบทั้งหมดของอสมการเชิงเส้น −2.7·z>0

สารละลาย.

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ a สำหรับตัวแปร z เท่ากับ −2.7 และสัมประสิทธิ์ b หายไปในรูปแบบที่ชัดเจน นั่นคือ มันเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องดำเนินการขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นด้วยตัวแปรตัวเดียวเนื่องจากการเลื่อนศูนย์จากด้านซ้ายไปทางด้านขวาจะไม่เปลี่ยนรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม

ยังคงต้องหารอสมการทั้งสองด้านด้วย −2.7 โดยไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการเป็นค่าตรงข้าม เนื่องจาก −2.7 เป็นจำนวนลบ เรามี (−2.7 z):(−2.7)<0:(−2,7) แล้วตามด้วย z<0 .

และตอนนี้สั้น ๆ :
−2.7·z>0 ;
z<0 .

คำตอบ:

z<0 или (−∞, 0) .

ตัวอย่าง.

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน .

สารละลาย.

เราจำเป็นต้องแก้อสมการเชิงเส้นด้วยสัมประสิทธิ์ a สำหรับตัวแปร x เท่ากับ −5 และด้วยสัมประสิทธิ์ b ซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วน −15/22 เราดำเนินการตามรูปแบบที่รู้จักกันดี: ขั้นแรกเราโอน −15/22 ไปทางด้านขวาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม หลังจากนั้นเราหารทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนลบ −5 ในขณะที่เปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการ:

ใช้การเปลี่ยนครั้งสุดท้ายทางด้านขวา จากนั้นจึงดำเนินการ .

คำตอบ:

ตอนนี้เรามาดูกรณีที่ a=0 กัน หลักการแก้อสมการเชิงเส้น a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

สิ่งนี้มีพื้นฐานมาจากอะไร? ง่ายมาก: ในการพิจารณาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ยังไง? ใช่ นี่คือวิธีการ: ไม่ว่าเราจะแทนที่ค่าของตัวแปร x ลงในอสมการเชิงเส้นดั้งเดิม เราจะได้อสมการเชิงตัวเลขในรูปแบบ b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

ให้เรากำหนดข้อโต้แย้งข้างต้นในรูปแบบ อัลกอริธึมสำหรับแก้อสมการเชิงเส้น 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• พิจารณาอสมการเชิงตัวเลขข<0 (≤, >, ≥) และ
• ถ้าเป็นจริง วิธีแก้ของอสมการเดิมจะเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้
• หากเป็นเท็จ แสดงว่าอสมการเชิงเส้นดั้งเดิมไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ตอนนี้เรามาทำความเข้าใจเรื่องนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้อสมการ 0·x+7>0

สารละลาย.

สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x อสมการเชิงเส้น 0 x+7>0 จะกลายเป็นอสมการเชิงตัวเลข 7>0 อสมการสุดท้ายเป็นจริง ดังนั้น จำนวนใดๆ จึงเป็นคำตอบของอสมการเดิม

คำตอบ:

วิธีแก้ไขคือตัวเลขใดๆ หรือ (−∞, +∞)

ตัวอย่าง.

อสมการเชิงเส้น 0·x−12.7≥0 มีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่?

สารละลาย.

หากเราแทนตัวเลขใดๆ แทนตัวแปร x แล้วอสมการดั้งเดิมจะกลายเป็นอสมการเชิงตัวเลข −12.7≥0 ซึ่งไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าไม่มีตัวเลขตัวเดียวที่สามารถแก้ปัญหาอสมการเชิงเส้น 0·x−12.7≥0 ได้

คำตอบ:

ไม่ มันไม่ได้

เพื่อสรุปส่วนนี้ เราจะวิเคราะห์คำตอบของอสมการเชิงเส้นสองตัว ซึ่งทั้งสองค่าสัมประสิทธิ์มีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง.

อสมการเชิงเส้นข้อใด 0·x+0>0 และ 0·x+0≥0 ไม่มีคำตอบ และข้อใดมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

สารละลาย.

หากคุณแทนที่ตัวเลขใดๆ แทนตัวแปร x แล้วอสมการแรกจะอยู่ในรูปแบบ 0>0 และตัวที่สอง – 0≥0 อันแรกผิด และอันที่สองถูกต้อง ดังนั้น อสมการเชิงเส้น 0·x+0>0 จึงไม่มีคำตอบ และอสมการ 0·x+0≥0 ก็มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน กล่าวคือ ผลเฉลยของมันคือตัวเลขใดๆ ก็ได้

คำตอบ:

อสมการ 0 x+0>0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา และอสมการ 0 x+0≥0 มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน

วิธีช่วงเวลา

โดยทั่วไป วิธีการกำหนดช่วงเวลาจะศึกษาในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนช้ากว่าหัวข้อการแก้อสมการเชิงเส้นในตัวแปรตัวเดียว แต่วิธีช่วงเวลาช่วยให้คุณสามารถแก้ไขอสมการต่างๆ ได้ รวมถึงอสมการเชิงเส้นด้วย ดังนั้นเรามาดูกันดีกว่า

ให้เราทราบทันทีว่าขอแนะนำให้ใช้วิธีช่วงเวลาเพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับตัวแปร x มิฉะนั้นจะรวดเร็วและสะดวกกว่าในการสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้วิธีการที่กล่าวถึงในตอนท้ายของย่อหน้าก่อนหน้า

วิธีช่วงเวลาหมายถึง

• แนะนำฟังก์ชันที่สอดคล้องกับด้านซ้ายของอสมการ ในกรณีของเรา – ฟังก์ชันเชิงเส้น y=ก x+ข ,
• ค้นหาศูนย์ซึ่งแบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นระยะ
• การกำหนดสัญญาณที่มีค่าฟังก์ชันในช่วงเวลาเหล่านี้โดยพิจารณาจากข้อสรุปเกี่ยวกับการแก้อสมการเชิงเส้น

มารวบรวมช่วงเวลาเหล่านี้กันเถอะ อัลกอริทึมเผยวิธีการแก้อสมการเชิงเส้น a x+b<0 (≤, >, ≥) สำหรับ a≠0 โดยใช้วิธีช่วงเวลา:

• พบค่าศูนย์ของฟังก์ชัน y=a·x+b ซึ่ง a·x+b=0 ได้รับการแก้ไขแล้ว ดังที่ทราบกันดีว่าสำหรับ a≠0 จะมีรูตเดียวซึ่งเราแสดงว่าเป็น x 0 .
• มันถูกสร้างขึ้นและมีจุดที่มีพิกัด x 0 แสดงอยู่ ยิ่งไปกว่านั้น หากแก้ไขความไม่เท่าเทียมอย่างเข้มงวดได้ (มีเครื่องหมาย< или >) จากนั้นจุดนี้จะถูกคั่นด้วยเครื่องหมายวรรคตอน (มีจุดศูนย์กลางว่าง) และหากไม่เข้มงวด (มีเครื่องหมาย ≤ หรือ ≥) ก็จะวางจุดปกติไว้ จุดนี้แบ่งเส้นพิกัดออกเป็นสองช่วง (−∞, x 0) และ (x 0, +∞)
• สัญญาณของฟังก์ชัน y=a·x+b ในช่วงเวลาเหล่านี้ถูกกำหนดไว้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ค่าของฟังก์ชันนี้จะถูกคำนวณที่จุดใดก็ได้ในช่วงเวลา (−∞, x 0) และเครื่องหมายของค่านี้จะเป็นเครื่องหมายที่ต้องการในช่วงเวลา (−∞, x 0) ในทำนองเดียวกัน เครื่องหมายบนช่วงเวลา (x 0 , +∞) เกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของค่าของฟังก์ชัน y=a·x+b ที่จุดใดก็ได้ในช่วงเวลานี้ แต่คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องคำนวณเหล่านี้ และสรุปเกี่ยวกับเครื่องหมายตามค่าของสัมประสิทธิ์ a: ถ้า a>0 ดังนั้นในช่วงเวลา (−∞, x 0) และ (x 0, +∞) จะมี เครื่องหมาย − และ + ตามลำดับ และถ้า a >0 แสดงว่า + และ −
• หากกำลังแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่มีเครื่องหมาย > หรือ ≥ จะมีการวางฟักไว้เหนือช่องว่างด้วยเครื่องหมายบวก และหากกำลังแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันกับเครื่องหมาย< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นโดยใช้วิธีช่วงเวลา

ตัวอย่าง.

แก้อสมการ −3·x+12>0

สารละลาย.

เนื่องจากเรากำลังวิเคราะห์วิธีช่วงเวลา เราจะใช้มัน ตามอัลกอริทึม ก่อนอื่นเราจะหารากของสมการ −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4 ต่อไป เราวาดเส้นพิกัดและทำเครื่องหมายจุดบนนั้นด้วยพิกัด 4 และเราทำให้จุดนี้ถูกเจาะ เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการที่เข้มงวด:

ตอนนี้เรากำหนดสัญญาณตามช่วงเวลา ในการหาเครื่องหมายบนช่วงเวลา (−∞, 4) คุณสามารถคำนวณค่าของฟังก์ชัน y=−3·x+12 ได้ ตัวอย่างเช่น ที่ x=3 เรามี −3·3+12=3>0 ซึ่งหมายความว่ามีเครื่องหมาย + ในช่วงเวลานี้ หากต้องการกำหนดเครื่องหมายบนช่วงเวลาอื่น (4, +∞) คุณสามารถคำนวณค่าของฟังก์ชัน y=−3 x+12 ได้ เช่น ที่จุด x=5 เรามี −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการด้วยเครื่องหมาย > เราจึงวาดการแรเงาเหนือช่องว่างด้วยเครื่องหมาย + การวาดภาพจึงอยู่ในรูปแบบ

จากภาพที่ได้ เราสรุปได้ว่าคำตอบที่ต้องการคือ (−∞, 4) หรือในรูปแบบอื่น x<4 .

คำตอบ:

(−∞, 4) หรือ x<4 .

แบบกราฟิก

การทำความเข้าใจการตีความทางเรขาคณิตของการแก้อสมการเชิงเส้นในตัวแปรตัวเดียวจะเป็นประโยชน์ เพื่อให้ได้มา ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นสี่ประการที่มีด้านซ้ายมือเหมือนกัน: 0.5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 และ 0.5 x−1≥0 , คำตอบคือ x<2 , x≤2 , x>2 และ x≥2 และยังวาดกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y=0.5 x−1 ด้วย

สังเกตได้ง่ายว่า

• คำตอบของอสมการ 0.5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• การแก้อสมการ 0.5 x−1≤0 แสดงถึงช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชัน y=0.5 x−1 อยู่ต่ำกว่าแกน Ox หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน (กล่าวคือ ไม่อยู่เหนือแกนแอบซิสซา)
• ในทำนองเดียวกัน คำตอบของอสมการ 0.5 x−1>0 คือช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชันอยู่เหนือแกน Ox (กราฟส่วนนี้จะแสดงเป็นสีแดง)
• และการแก้อสมการ 0.5·x−1≥0 คือช่วงที่กราฟของฟังก์ชันสูงขึ้นหรือเกิดขึ้นพร้อมกับแกนแอบซิสซา

วิธีกราฟิกสำหรับการแก้อสมการโดยเฉพาะอย่างยิ่งเชิงเส้น และหมายถึงการหาช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชันสอดคล้องกับด้านซ้ายของอสมการอยู่เหนือ ด้านล่าง ไม่ต่ำกว่า หรือไม่อยู่เหนือกราฟของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับด้านขวาของอสมการ ในกรณีของเราเรื่องความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับด้านซ้ายคือ y=a·x+b และด้านขวาคือ y=0 ซึ่งตรงกับแกน Ox

จากข้อมูลที่ให้มา จึงง่ายต่อการกำหนด อัลกอริธึมสำหรับแก้อสมการเชิงเส้นแบบกราฟิก:

• กราฟของฟังก์ชัน y=a x+b ถูกสร้างขึ้น (เป็นไปได้ตามแผนผัง) และ
• เมื่อแก้อสมการ a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• เมื่อแก้ไขอสมการ a x+b≤0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟต่ำกว่าหรือเกิดขึ้นพร้อมกับแกน Ox
• เมื่อแก้ไขอสมการ a x+b>0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟอยู่เหนือแกน Ox
• เมื่อแก้อสมการ a·x+b≥0 จะมีการกำหนดช่วงเวลาที่กราฟสูงขึ้นหรือเกิดขึ้นพร้อมกับแกน Ox

ตัวอย่าง.

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน แบบกราฟิก

สารละลาย.

ลองร่างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นกัน - นี่คือเส้นตรงที่กำลังลดลง เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ x เป็นลบ เรายังต้องการพิกัดของจุดตัดกับแกน x ซึ่งก็คือรากของสมการ ซึ่งเท่ากับ สำหรับความต้องการของเรา เราไม่จำเป็นต้องพรรณนาถึงแกน Oy ด้วยซ้ำ ดังนั้นการวาดแผนผังของเราจะมีลักษณะเช่นนี้

เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการด้วยเครื่องหมาย > เราจึงสนใจช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชันอยู่เหนือแกน Ox เพื่อความชัดเจน ให้เราเน้นส่วนนี้ของกราฟด้วยสีแดง และเพื่อที่จะกำหนดช่วงเวลาที่สอดคล้องกับส่วนนี้ได้อย่างง่ายดาย ให้เราเน้นด้วยสีแดงในส่วนของระนาบพิกัดซึ่งมีส่วนที่เลือกของกราฟอยู่ ดังเช่นใน รูปด้านล่าง:

ช่องว่างที่เราสนใจคือส่วนของแกน Ox ที่เน้นด้วยสีแดง แน่นอนว่านี่คือลำแสงตัวเลขเปิด - นี่คือทางออกที่เรากำลังมองหา โปรดทราบว่าหากเรากำลังแก้ไขอสมการไม่ใช่ด้วยเครื่องหมาย > แต่ด้วยเครื่องหมายของอสมการไม่เข้มงวด ≥ เราจะต้องบวกคำตอบเข้าไป เนื่องจาก ณ จุดนี้กราฟของฟังก์ชัน เกิดขึ้นพร้อมกับแกน Ox .y=0·x+7 ซึ่งเหมือนกับ y=7 กำหนดเส้นตรงบนระนาบพิกัดที่ขนานกับแกน Ox และอยู่เหนือมัน ดังนั้นอสมการ 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

และกราฟของฟังก์ชัน y=0·x+0 ซึ่งเหมือนกับ y=0 นั้นเป็นเส้นตรงที่ประจวบกับแกน Ox ดังนั้น การแก้อสมการ 0·x+0≥0 จึงเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

คำตอบ:

อสมการที่สอง ผลเฉลยของมันคือจำนวนจริงใดๆ

อสมการที่ลดลงเป็นเส้นตรง

อสมการจำนวนมากสามารถถูกแทนที่ด้วยอสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่ากันโดยใช้การแปลงที่เท่ากัน หรืออีกนัยหนึ่งคือ ลดลงเหลืออสมการเชิงเส้น ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวเรียกว่า ความไม่เท่าเทียมกันที่ลดลงเป็นเส้นตรง.

ที่โรงเรียน เกือบจะพร้อมกันกับการแก้อสมการเชิงเส้น ก็จะพิจารณาอสมการธรรมดาที่ลดเหลือเป็นเชิงเส้นด้วย เป็นกรณีพิเศษ ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดกล่าวคือในส่วนซ้ายและขวามีทั้งสำนวนที่แสดงถึงหรือ ทวินามเชิงเส้นหรือแปลงเป็นโดย และ เพื่อความชัดเจน เรายกตัวอย่างอสมการดังกล่าวหลายตัวอย่าง: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

ความไม่เท่าเทียมกันที่มีรูปแบบคล้ายกับที่ระบุไว้ข้างต้นสามารถลดลงเป็นแบบเส้นตรงได้เสมอ ซึ่งสามารถทำได้โดยการเปิดวงเล็บ นำคำที่คล้ายกัน จัดเรียงคำศัพท์ใหม่ และย้ายคำศัพท์จากด้านหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันไปยังอีกด้านที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

ตัวอย่างเช่น หากต้องการลดความไม่เท่าเทียมกัน 5−2 x>0 ให้เป็นเชิงเส้น ก็เพียงพอแล้วที่จะจัดเรียงพจน์ทางด้านซ้ายใหม่ เราได้ −2 x+5>0 ในการลดอสมการที่สอง 7·(x−1)+3≤4·x−2+x ให้เป็นเชิงเส้น คุณต้องมีขั้นตอนเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย: ทางด้านซ้ายเราจะเปิดวงเล็บ 7·x−7+3≤4· x−2+x หลังจาก เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกันในทั้งสองด้าน 7 x−4≤5 x−2 จากนั้นเราโอนเงื่อนไขจากด้านขวาไปด้านซ้าย 7 x−4−5 x+2 ≤0 ในที่สุดเราก็นำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันทางด้านซ้าย 2 ·x−2≤0 . ในทำนองเดียวกัน อสมการที่สามสามารถลดลงเป็นอสมการเชิงเส้นได้

เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวสามารถลดลงเป็นเชิงเส้นได้เสมอ ผู้เขียนบางคนถึงกับเรียกสิ่งเหล่านั้นว่าเชิงเส้นเช่นกัน แต่เรายังคงถือว่าพวกมันสามารถลดเป็นเชิงเส้นได้

ตอนนี้ชัดเจนแล้วว่าเหตุใดจึงพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวร่วมกับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น และหลักการของการแก้ปัญหาก็เหมือนกันทุกประการ: เมื่อทำการแปลงที่เท่ากัน ก็สามารถลดความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้นที่แสดงถึงคำตอบที่ต้องการได้

ในการแก้ไขอสมการประเภทนี้ คุณสามารถลดมันเป็นเชิงเส้นก่อน แล้วจึงแก้อสมการเชิงเส้นนี้ แต่การทำเช่นนี้มีเหตุผลและสะดวกกว่า:

• หลังจากเปิดวงเล็บแล้ว ให้รวบรวมพจน์ทั้งหมดที่มีตัวแปรทางด้านซ้ายของอสมการและตัวเลขทั้งหมดทางด้านขวา
• แล้วนำคำที่คล้ายกันมา
• แล้วหารทั้งสองข้างของผลลัพธ์อสมการด้วยค่าสัมประสิทธิ์ x (แน่นอนว่าถ้าแตกต่างจากศูนย์) สิ่งนี้จะให้คำตอบ

ตัวอย่าง.

แก้อสมการ 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1

สารละลาย.

ก่อนอื่น มาเปิดวงเล็บกันก่อน ผลลัพธ์ที่ได้คือความไม่เท่าเทียมกัน 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . ตอนนี้ให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน: 6 x+15≤6 x−17 . จากนั้นเราย้ายเทอมจากด้านซ้าย เราจะได้ 6 x+15−6 x+17≤0 และอีกครั้งเรานำเทอมที่คล้ายกัน (ซึ่งทำให้เราไปสู่อสมการเชิงเส้น 0 x+32≤0) และเรามี 32≤ 0. นี่คือสาเหตุที่เราพบอสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง ซึ่งเราสรุปได้ว่าอสมการเดิมไม่มีวิธีแก้ปัญหา

คำตอบ:

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

โดยสรุป เราสังเกตว่ายังมีความไม่เท่าเทียมกันอื่นๆ อีกมากที่สามารถลดให้เป็นความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น หรือความไม่เท่าเทียมกันประเภทที่พิจารณาข้างต้นได้ ตัวอย่างเช่นการแก้ปัญหา อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล 5 2 x−1 ≥1 ลดการแก้อสมการเชิงเส้น 2 x−1≥0 แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้เมื่อวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของประเภทที่เกี่ยวข้อง

อ้างอิง.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 หน้า: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 13 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2011. - 222 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01752-3.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 2, ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 287 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01027-2.

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ "ระบบความไม่เท่าเทียมกัน ตัวอย่างการแก้ปัญหา"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9
หนังสือเรียนแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 9 "กฎและแบบฝึกหัดทางเรขาคณิต"
หนังสือเรียนอิเล็กทรอนิกส์ "เรขาคณิตที่เข้าใจได้" สำหรับเกรด 7-9

ระบบความไม่เท่าเทียมกัน

พวกคุณคุณได้ศึกษาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นและกำลังสองและเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาในหัวข้อเหล่านี้ ทีนี้เรามาดูแนวคิดใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์กันดีกว่า - ระบบความไม่เท่าเทียมกัน ระบบอสมการก็คล้ายกับระบบสมการ คุณจำระบบสมการได้ไหม? คุณเรียนระบบสมการตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 พยายามจำไว้ว่าคุณแก้สมการได้อย่างไร

ให้เราแนะนำคำจำกัดความของระบบความไม่เท่าเทียมกัน
อสมการหลายประการที่มีตัวแปร x บางตัวจะสร้างระบบความไม่เท่าเทียมกันหากคุณต้องการค้นหาค่าทั้งหมดของ x ซึ่งอสมการแต่ละตัวจะสร้างนิพจน์ตัวเลขที่ถูกต้อง

ค่า x ใดๆ ที่แต่ละอสมการใช้นิพจน์ตัวเลขที่ถูกต้องจะเป็นวิธีแก้ปัญหาของอสมการนั้น สามารถเรียกได้ว่าเป็นโซลูชันส่วนตัว
โซลูชันส่วนตัวคืออะไร? ตัวอย่างเช่น ในคำตอบที่เราได้รับนิพจน์ x>7 จากนั้น x=8 หรือ x=123 หรือจำนวนอื่นๆ ที่มากกว่า 7 จะเป็นคำตอบเฉพาะ และนิพจน์ x>7 จะเป็นคำตอบทั่วไป โซลูชันทั่วไปเกิดขึ้นจากโซลูชันส่วนตัวจำนวนมาก

เรารวมระบบสมการได้อย่างไร? ถูกต้อง วงเล็บปีกกา แล้วพวกมันก็ทำแบบเดียวกันกับอสมการด้วย ลองดูตัวอย่างของระบบความไม่เท่าเทียมกัน: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
หากระบบอสมการประกอบด้วยนิพจน์ที่เหมือนกัน เช่น $\begin(cases)x+7>5\\x+7
แล้วมันหมายความว่าอะไร: การค้นหาวิธีแก้ไขระบบความไม่เท่าเทียมกัน?
วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคือชุดของการแก้ปัญหาบางส่วนสำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันของระบบทั้งสองในคราวเดียว

เราเขียนรูปแบบทั่วไปของระบบความไม่เท่าเทียมกันเป็น $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

ให้เราแสดงว่า $XX_1$ เป็นคำตอบทั่วไปของอสมการ f(x)>0
$X_2$ คือคำตอบทั่วไปของอสมการ g(x)>0
$X_1$ และ $X_2$ เป็นชุดของโซลูชันเฉพาะ
วิธีแก้ระบบอสมการคือตัวเลขที่เป็นของทั้ง $X_1$ และ $X_2$
มาจำการดำเนินการกับฉากกัน เราจะค้นหาองค์ประกอบของเซตที่เป็นของทั้งสองเซตพร้อมกันได้อย่างไร? ถูกต้อง มีการดำเนินการทางแยกสำหรับสิ่งนี้ ดังนั้น วิธีแก้อสมการของเราคือเซต $A= X_1∩ X_2$

ตัวอย่างการแก้ปัญหาระบบอสมการ

ลองดูตัวอย่างการแก้ระบบอสมการ

แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน
a) $\begin(คดี)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(คดี)2x-4≤6\\-x-4
สารละลาย.
ก) แก้ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการแยกกัน
$3x-1>2; - 3x>3; - x>1$.
5x-10 ดอลลาร์
ลองทำเครื่องหมายช่วงเวลาของเราบนเส้นพิกัดเส้นเดียว

ผลเฉลยของระบบคือส่วนของจุดตัดของช่วงของเรา ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด จากนั้นเซ็กเมนต์จะเปิดขึ้น
คำตอบ: (1;3)

B) เราจะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการแยกกัน
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5
$-x-4 -5$.


ผลเฉลยของระบบคือส่วนของจุดตัดของช่วงของเรา อสมการที่สองนั้นเข้มงวด จากนั้นส่วนจะเปิดทางด้านซ้าย
คำตอบ: (-5; 5].

มาสรุปสิ่งที่เราได้เรียนรู้กันดีกว่า
สมมติว่าจำเป็นต้องแก้ระบบอสมการ: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$
จากนั้น ช่วง ($x_1; x_2$) คือคำตอบของอสมการแรก
ช่วง ($y_1; y_2$) คือคำตอบของอสมการที่สอง
คำตอบของระบบความไม่เท่าเทียมกันคือจุดตัดของคำตอบสำหรับความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่าง

ระบบความไม่เท่าเทียมกันสามารถประกอบด้วยไม่เพียงแต่ความไม่เท่าเทียมกันลำดับที่หนึ่งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความไม่เท่าเทียมกันประเภทอื่นๆ ด้วย

กฎสำคัญในการแก้ไขระบบอสมการ
ถ้าความไม่เท่าเทียมกันประการใดของระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา แสดงว่าทั้งระบบก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
หากค่าใด ๆ ของตัวแปรเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน ระบบก็จะเป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันอีกค่าหนึ่ง

ตัวอย่าง.
แก้ระบบอสมการ:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
สารละลาย.
มาแก้อสมการแต่ละอันแยกกัน
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

ลองแก้อสมการที่สองกัน.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

วิธีแก้อสมการคือช่วงเวลา
ลองวาดทั้งสองช่วงบนเส้นเดียวกันแล้วหาจุดตัดกัน
จุดตัดของช่วงเวลาคือส่วน (4; 6]
คำตอบ: (4;6].

แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน
a) $\begin(กรณี)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(กรณี)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(กรณี )$

สารละลาย.
ก) อสมการประการแรกมีทางแก้ x>1
ลองหาตัวจำแนกสำหรับอสมการที่สองกัน
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: เมื่อหนึ่งในอสมการไม่มีวิธีแก้ปัญหา ระบบทั้งหมดก็จะไม่มีทางแก้
คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

B) อสมการแรกมีวิธีแก้ x>1
อสมการที่สองมีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับ x ทั้งหมด จากนั้นคำตอบของระบบก็เกิดขึ้นพร้อมกับคำตอบของอสมการแรก
คำตอบ: x>1.

ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันเพื่อการแก้ปัญหาอย่างอิสระ

แก้ระบบอสมการ:
a) $\begin(เคส)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(เคส)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(เคส)x^2-25 d) $\begin(กรณี)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(กรณี)$
จ) $\begin(กรณี)x^2+36