§ 129 การชี้แจงเบื้องต้น

บุคคลต้องจัดการกับปริมาณที่หลากหลายอย่างต่อเนื่อง พนักงานและคนงานพยายามไปทำงานตามเวลาที่กำหนด คนเดินเท้ารีบไปยังสถานที่แห่งหนึ่งด้วยเส้นทางที่สั้นที่สุด คนพ่นไอน้ำร้อนกังวลว่าอุณหภูมิในหม้อไอน้ำจะสูงขึ้นอย่างช้าๆ ผู้บริหารธุรกิจกำลังวางแผนลดต้นทุนการผลิต ฯลฯ

เราสามารถยกตัวอย่างดังกล่าวจำนวนเท่าใดก็ได้ เวลา ระยะทาง อุณหภูมิ ต้นทุน ทั้งหมดนี้ล้วนเป็นปริมาณที่แตกต่างกัน ในส่วนแรกและส่วนที่สองของหนังสือเล่มนี้ เราได้ทำความคุ้นเคยกับปริมาณทั่วไปบางอย่าง เช่น พื้นที่ ปริมาตร น้ำหนัก เมื่อเรียนฟิสิกส์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ เราต้องเผชิญกับปริมาณมากมาย

ลองจินตนาการว่าคุณกำลังเดินทางด้วยรถไฟ เป็นครั้งคราวที่คุณดูนาฬิกาและสังเกตว่าคุณอยู่บนท้องถนนมานานแค่ไหนแล้ว ตัวอย่างเช่น คุณพูดว่า 2, 3, 5, 10, 15 ชั่วโมงผ่านไปแล้วนับตั้งแต่รถไฟออกเดินทาง เป็นต้น ตัวเลขเหล่านี้แสดงถึงช่วงเวลาที่แตกต่างกัน เรียกว่าค่าของปริมาณนี้ (เวลา) หรือคุณมองออกไปนอกหน้าต่างและเดินตามเสาถนนเพื่อดูระยะทางที่รถไฟของคุณเดินทาง หมายเลข 110, 111, 112, 113, 114 กม. กะพริบอยู่ตรงหน้าคุณ ตัวเลขเหล่านี้แสดงถึงระยะทางต่างๆ ที่รถไฟเดินทางจากจุดเริ่มต้น เรียกอีกอย่างว่าค่า ซึ่งคราวนี้มีขนาดต่างกัน (เส้นทางหรือระยะห่างระหว่างจุดสองจุด) ดังนั้น ปริมาณหนึ่งๆ เช่น เวลา ระยะทาง อุณหภูมิ ก็สามารถนำไปใช้ได้มากเท่าๆ กัน ความหมายที่แตกต่างกัน

โปรดทราบว่าบุคคลแทบไม่เคยพิจารณาปริมาณเพียงปริมาณเดียว แต่จะเชื่อมโยงปริมาณนั้นกับปริมาณอื่นเสมอ เขาต้องจัดการกับปริมาณสองหรือสามหรือมากกว่านั้นไปพร้อมๆ กัน ลองนึกภาพคุณต้องไปโรงเรียนก่อน 9 โมง คุณดูนาฬิกาแล้วพบว่าคุณมีเวลา 20 นาที จากนั้นคุณก็คิดได้อย่างรวดเร็วว่าคุณควรขึ้นรถรางหรือเดินไปโรงเรียนได้หรือไม่ หลังจากคิดแล้วคุณก็ตัดสินใจเดิน โปรดสังเกตว่าในขณะที่คุณกำลังคิด คุณกำลังแก้ไขปัญหาบางอย่าง งานนี้กลายเป็นเรื่องง่ายและคุ้นเคยเนื่องจากคุณแก้ไขปัญหาดังกล่าวทุกวัน ในนั้นคุณสามารถเปรียบเทียบปริมาณหลาย ๆ อย่างได้อย่างรวดเร็ว คุณเป็นคนดูนาฬิกาซึ่งหมายความว่าคุณคำนึงถึงเวลาแล้วคุณจินตนาการถึงระยะทางจากบ้านถึงโรงเรียน สุดท้าย คุณเปรียบเทียบค่าสองค่า: ความเร็วก้าวและความเร็วของรถราง และสรุปว่าภายในเวลาที่กำหนด (20 นาที) คุณจะมีเวลาเดิน จากตัวอย่างง่ายๆ นี้ คุณจะเห็นว่าในทางปฏิบัติของเราปริมาณบางปริมาณเชื่อมโยงถึงกัน กล่าวคือ ขึ้นอยู่กับกันและกัน

บทที่ 12 กล่าวถึงความสัมพันธ์ของปริมาณที่เป็นเนื้อเดียวกัน ตัวอย่างเช่น หากส่วนหนึ่งคือ 12 ม. และอีกส่วนหนึ่งคือ 4 ม. อัตราส่วนของส่วนเหล่านี้จะเป็น 12: 4

เราบอกว่านี่คืออัตราส่วนของปริมาณที่เป็นเนื้อเดียวกันสองปริมาณ วิธีพูดอีกอย่างก็คือ มันคืออัตราส่วนของตัวเลขสองตัว ชื่อหนึ่ง

ตอนนี้เราคุ้นเคยกับปริมาณมากขึ้นและได้นำแนวคิดเกี่ยวกับมูลค่าของปริมาณมาใช้แล้ว เราก็สามารถแสดงคำจำกัดความของอัตราส่วนในรูปแบบใหม่ได้ ในความเป็นจริงเมื่อเราพิจารณาสองส่วนของ 12 ม. และ 4 ม. เรากำลังพูดถึงค่าเดียว - ความยาวและ 12 ม. และ 4 ม. เป็นเพียงสองค่าที่แตกต่างกันของค่านี้

ดังนั้นในอนาคตเมื่อเราเริ่มพูดถึงอัตราส่วนเราจะพิจารณาสองค่าของปริมาณหนึ่งและอัตราส่วนของค่าหนึ่งของปริมาณต่ออีกค่าของปริมาณเดียวกันจะเรียกว่าผลหารของการหารค่าแรก โดยวินาที

§ 130 ค่าเป็นสัดส่วนโดยตรง

ลองพิจารณาปัญหาที่มีเงื่อนไขรวมสองปริมาณ: ระยะทางและเวลา

ภารกิจที่ 1วัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอเคลื่อนที่ 12 ซม. ทุกวินาที จงหาระยะทางที่ร่างกายเคลื่อนที่ใน 2, 3, 4, ... , 10 วินาที

มาสร้างตารางที่สามารถใช้เพื่อติดตามการเปลี่ยนแปลงของเวลาและระยะทางกันดีกว่า

ตารางเปิดโอกาสให้เราเปรียบเทียบค่าสองชุดนี้ เราเห็นได้ว่าเมื่อค่าของปริมาณแรก (เวลา) ค่อยๆ เพิ่มขึ้น 2, 3,..., 10 เท่า ค่าของปริมาณที่สอง (ระยะทาง) ก็เพิ่มขึ้น 2, 3 ด้วย ..., 10 ครั้ง. ดังนั้น เมื่อค่าของปริมาณหนึ่งเพิ่มขึ้นหลายครั้ง ค่าของปริมาณอื่นจะเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนที่เท่ากัน และเมื่อค่าของปริมาณหนึ่งลดลงหลายครั้ง ค่าของปริมาณอื่นจะลดลงตาม หมายเลขเดียวกัน

ตอนนี้ให้เราพิจารณาปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปริมาณสองปริมาณดังกล่าว: ปริมาณของสสารและราคาของมัน

ภารกิจที่ 2ผ้า 15 ม. ราคา 120 รูเบิล คำนวณต้นทุนของผ้านี้สำหรับปริมาณเมตรอื่นๆ อีกหลายเมตรที่ระบุในตาราง

เมื่อใช้ตารางนี้ เราสามารถติดตามได้ว่าต้นทุนของผลิตภัณฑ์ค่อยๆ เพิ่มขึ้นอย่างไร โดยขึ้นอยู่กับปริมาณที่เพิ่มขึ้น แม้ว่าปัญหานี้จะเกี่ยวข้องกับปริมาณที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง (ในปัญหาแรก - เวลาและระยะทางและที่นี่ - ปริมาณของสินค้าและมูลค่าของมัน) อย่างไรก็ตามความคล้ายคลึงกันอย่างมากสามารถพบได้ในพฤติกรรมของปริมาณเหล่านี้

ที่จริงแล้วในบรรทัดบนสุดของตารางจะมีตัวเลขระบุจำนวนเมตรของผ้า ใต้แต่ละอันจะมีตัวเลขแสดงต้นทุนของปริมาณสินค้าที่สอดคล้องกัน แม้แต่การดูตารางนี้อย่างรวดเร็วก็แสดงให้เห็นว่าตัวเลขทั้งแถวบนและล่างกำลังเพิ่มขึ้น เมื่อตรวจสอบตารางอย่างใกล้ชิดและเมื่อเปรียบเทียบแต่ละคอลัมน์จะพบว่าในทุกกรณีค่าของปริมาณที่สองจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนเท่าของค่าที่เพิ่มขึ้นครั้งแรกนั่นคือถ้าค่าของ ปริมาณแรกเพิ่มขึ้น สมมุติว่า 10 เท่า จากนั้นมูลค่าของปริมาณที่สองก็เพิ่มขึ้น 10 เท่าเช่นกัน

หากเราดูตารางจากขวาไปซ้ายเราจะพบว่าค่าปริมาณที่ระบุจะลดลงตามจำนวนเท่าเดิม ในแง่นี้มีความคล้ายคลึงกันอย่างไม่มีเงื่อนไขระหว่างงานแรกและงานที่สอง

เรียกว่าคู่ของปริมาณที่เราพบในปัญหาข้อที่หนึ่งและสอง สัดส่วนโดยตรง

ดังนั้นหากปริมาณสองปริมาณมีความสัมพันธ์กันในลักษณะที่มูลค่าของปริมาณหนึ่งในนั้นเพิ่มขึ้น (ลดลง) หลายครั้งมูลค่าของอีกปริมาณหนึ่งจะเพิ่มขึ้น (ลดลง) ด้วยจำนวนที่เท่ากันปริมาณดังกล่าวจึงเรียกว่าสัดส่วนโดยตรง .

ปริมาณดังกล่าวยังกล่าวอีกว่ามีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ตามสัดส่วนโดยตรง

มีปริมาณที่คล้ายคลึงกันมากมายที่พบในธรรมชาติและในชีวิตรอบตัวเรา นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

1. เวลางาน (วัน สองวัน สามวัน ฯลฯ) และ รายได้ที่ได้รับในช่วงเวลานี้ด้วยค่าจ้างรายวัน

2. ปริมาณวัตถุใด ๆ ที่ทำจากวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันและ น้ำหนักรายการนี้.

§ 131 คุณสมบัติของปริมาณตามสัดส่วนโดยตรง

ลองใช้ปัญหาที่มีปริมาณสองปริมาณต่อไปนี้: เวลาทำงานและรายได้ หากรายได้รายวันคือ 20 รูเบิล รายได้สำหรับ 2 วันจะเป็น 40 รูเบิล ฯลฯ วิธีที่สะดวกที่สุดในการสร้างตารางซึ่งจำนวนวันที่แน่นอนจะสอดคล้องกับรายได้ที่แน่นอน

เมื่อพิจารณาจากตารางนี้ เราจะเห็นว่าปริมาณทั้งสองมีค่าต่างกัน 10 ค่า แต่ละค่าของค่าแรกสอดคล้องกับค่าหนึ่งของค่าที่สอง เช่น 2 วันเท่ากับ 40 รูเบิล 5 วันเท่ากับ 100 รูเบิล ในตารางตัวเลขเหล่านี้เขียนไว้ด้านล่างอีกอันหนึ่ง

เรารู้อยู่แล้วว่าหากปริมาณสองปริมาณเป็นสัดส่วนโดยตรง แต่ละปริมาณในกระบวนการเปลี่ยนแปลงจะเพิ่มขึ้นหลายเท่าเมื่ออีกปริมาณเพิ่มขึ้น มันจะตามมาจากสิ่งนี้ทันที: หากเราใช้อัตราส่วนของสองค่าใด ๆ ของปริมาณแรก มันจะเท่ากับอัตราส่วนของสองค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณที่สอง ในความเป็นจริง:

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? แต่เนื่องจากค่าเหล่านี้เป็นสัดส่วนโดยตรง เช่น เมื่อหนึ่งในนั้น (เวลา) เพิ่มขึ้น 3 เท่า อีกค่าหนึ่ง (รายได้) ก็เพิ่มขึ้น 3 เท่า

ดังนั้นเราจึงได้ข้อสรุปดังนี้: ถ้าเราเอาสองค่าของปริมาณแรกแล้วหารมันทีละค่าแล้วหารด้วยค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณที่สองด้วยค่าหนึ่งจากนั้นในทั้งสองกรณีเราจะได้ จำนวนเดียวกันนั่นคือความสัมพันธ์เดียวกัน ซึ่งหมายความว่าความสัมพันธ์ทั้งสองที่เราเขียนไว้ข้างต้นสามารถเชื่อมโยงกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับได้ กล่าวคือ

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าถ้าเราไม่เอาความสัมพันธ์เหล่านี้ แต่เอาความสัมพันธ์อื่น ๆ และไม่ใช่ตามลำดับนั้น แต่ในลำดับตรงกันข้าม เราก็จะได้รับความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเช่นกัน ที่จริงแล้วเราจะพิจารณาค่าของปริมาณของเราจากซ้ายไปขวาและรับค่าที่สามและเก้า:

60:180 = 1 / 3 .

ดังนั้นเราจึงเขียนได้:

สิ่งนี้นำไปสู่ข้อสรุปต่อไปนี้: หากปริมาณสองปริมาณเป็นสัดส่วนโดยตรงอัตราส่วนของค่าที่รับโดยพลการสองค่าของปริมาณแรกจะเท่ากับอัตราส่วนของค่าที่สอดคล้องกันสองค่าของปริมาณที่สอง

§ 132 สูตรสัดส่วนตรง

มาจัดทำตารางราคาขนมหวานในปริมาณต่างๆ กันถ้า 1 กิโลกรัมมีราคา 10.4 รูเบิล

ทีนี้เรามาทำแบบนี้กัน นำตัวเลขใดๆ ในบรรทัดที่สองมาหารด้วยตัวเลขที่สอดคล้องกันในบรรทัดแรก ตัวอย่างเช่น:

คุณจะเห็นว่าในผลหารจะได้รับจำนวนเดียวกันตลอดเวลา ดังนั้น สำหรับคู่ที่กำหนดของปริมาณที่เป็นสัดส่วนโดยตรง ผลหารของการหารค่าใดๆ ของปริมาณหนึ่งด้วยค่าที่สอดคล้องกันของอีกปริมาณหนึ่งจะเป็นจำนวนคงที่ (กล่าวคือ ไม่มีการเปลี่ยนแปลง) ในตัวอย่างของเรา ผลหารนี้คือ 10.4 จำนวนคงที่นี้เรียกว่าปัจจัยสัดส่วน ในกรณีนี้ จะแสดงราคาของหน่วยการวัด เช่น สินค้าหนึ่งกิโลกรัม

จะค้นหาหรือคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนได้อย่างไร? ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องนำค่าใดๆ ของปริมาณหนึ่งมาหารด้วยค่าที่สอดคล้องกันของอีกปริมาณหนึ่ง

ให้เราแสดงค่าตามอำเภอใจของปริมาณหนึ่งด้วยตัวอักษร ที่ และค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอื่น - ตัวอักษร เอ็กซ์ แล้วค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน (เราแสดงว่า ถึง) เราค้นหาตามการหาร:

ในความเท่าเทียมกันนี้ ที่ - หารได้, เอ็กซ์ - ตัวหารและ ถึง- ผลหาร และเนื่องจากตามคุณสมบัติของการหาร เงินปันผลจะเท่ากับตัวหารคูณด้วยผลหาร เราจึงเขียนได้:

ย=เค x

ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นเรียกว่า สูตรสัดส่วนตรงเมื่อใช้สูตรนี้เราสามารถคำนวณค่าจำนวนเท่าใดก็ได้ของปริมาณที่เป็นสัดส่วนโดยตรงค่าใดค่าหนึ่งหากเราทราบค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอื่นและค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน

ตัวอย่าง.จากฟิสิกส์เรารู้น้ำหนักนั้น รวัตถุใดๆ มีค่าเท่ากับความถ่วงจำเพาะของมัน ง คูณด้วยปริมาตรของร่างกายนี้ วี, เช่น. ร = งวี.

ลองใช้แท่งเหล็กห้าแท่งที่มีปริมาตรต่างกัน เมื่อทราบความถ่วงจำเพาะของเหล็ก (7.8) เราสามารถคำนวณน้ำหนักของแท่งเหล่านี้ได้โดยใช้สูตร:

ร = 7,8 วี.

เปรียบเทียบสูตรนี้กับสูตร ที่ = ถึง เอ็กซ์ เราเห็นสิ่งนั้น ย = ร, x= วีและสัมประสิทธิ์สัดส่วน ถึง= 7.8 สูตรเหมือนกันแต่ต่างกันแค่ตัวอักษรเท่านั้น

ใช้สูตรนี้ มาสร้างตารางกัน โดยให้ปริมาตรของช่องว่างที่ 1 เท่ากับ 8 ลูกบาศก์เมตร ซม. น้ำหนักของมันคือ 7.8 8 = 62.4 (g) ปริมาตรช่องว่างที่ 2 คือ 27 ลูกบาศก์เมตร ซม. น้ำหนักของมันคือ 7.8 27 = 210.6 (ก.) ตารางจะมีลักษณะดังนี้:

คำนวณตัวเลขที่ขาดหายไปในตารางนี้โดยใช้สูตร ร= งวี.

§ 133 วิธีการอื่นในการแก้ปัญหาด้วยปริมาณตามสัดส่วนโดยตรง

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราได้แก้ไขปัญหาที่มีเงื่อนไขรวมปริมาณตามสัดส่วนโดยตรงด้วย เพื่อจุดประสงค์นี้ ก่อนอื่นเราได้สูตรของสัดส่วนโดยตรงแล้วจึงใช้สูตรนี้ ตอนนี้เราจะแสดงอีกสองวิธีในการแก้ปัญหาที่คล้ายกัน

มาสร้างปัญหาโดยใช้ข้อมูลตัวเลขที่ระบุในตารางในย่อหน้าก่อนหน้า

งาน.ว่างเปล่าด้วยปริมาตร 8 ลูกบาศก์เมตร ซม. หนัก 62.4 กรัม ถังเปล่ามีปริมาตร 64 ลูกบาศก์เมตรจะหนักเท่าไร? ซม.?

สารละลาย.อย่างที่ทราบกันดีว่าน้ำหนักของเหล็กนั้นแปรผันตามปริมาตรของมัน ถ้า 8 ลูกบาศก์เมตร ซม. หนัก 62.4 กรัม จากนั้น 1 ลูกบาศก์เมตร ซม. จะมีน้ำหนักน้อยกว่า 8 เท่าเช่น

62.4:8 = 7.8 (ก.)

ว่างเปล่าด้วยปริมาตร 64 ลูกบาศก์เมตร. ซม. จะมีน้ำหนักมากกว่าช่องว่าง 1 ลูกบาศก์เมตรถึง 64 เท่า ซม. เช่น

7.8 64 = 499.2(ก.)

เราแก้ไขปัญหาของเราโดยการลดความสามัคคี ความหมายของชื่อนี้ได้รับการพิสูจน์โดยข้อเท็จจริงที่ว่าในการแก้ปัญหาเราต้องค้นหาน้ำหนักของหน่วยปริมาตรในคำถามแรก

2. วิธีสัดส่วนมาแก้ปัญหาเดียวกันโดยใช้วิธีสัดส่วนกัน

เนื่องจากน้ำหนักของเหล็กและปริมาตรเป็นปริมาณที่เป็นสัดส่วนโดยตรง อัตราส่วนของสองค่าของปริมาณหนึ่ง (ปริมาตร) จึงเท่ากับอัตราส่วนของสองค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอื่น (น้ำหนัก) เช่น

(จดหมาย รเรากำหนดน้ำหนักที่ไม่ทราบของช่องว่าง) จากที่นี่:

(ช)

ปัญหาได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าเพื่อแก้ปัญหานั้น ได้มีการรวบรวมสัดส่วนจากตัวเลขที่รวมอยู่ในเงื่อนไข

§ 134 ค่าเป็นสัดส่วนผกผัน

ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: “ช่างก่ออิฐห้าคนสามารถวางกำแพงอิฐของบ้านได้ภายใน 168 วัน พิจารณาว่าภายใน 10, 8, 6 และอื่นๆ ช่างก่ออิฐจะทำงานเดียวกันให้เสร็จภายในกี่วัน”

ถ้าช่างก่ออิฐ 5 คนวางกำแพงบ้านใน 168 วัน ดังนั้น (ด้วยผลิตภาพแรงงานเท่าเดิม) ช่างก่ออิฐ 10 คนก็สามารถทำได้ในครึ่งเวลา เนื่องจากโดยเฉลี่ยแล้ว 10 คนจะทำงานเป็นสองเท่าของ 5 คน

เรามาจัดทำตารางที่เราสามารถตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงจำนวนพนักงานและชั่วโมงทำงานกันดีกว่า

ตัวอย่างเช่น หากต้องการทราบว่าพนักงาน 6 คนต้องใช้เวลากี่วัน คุณต้องคำนวณก่อนว่าพนักงาน 1 คนต้องใช้เวลากี่วัน (168 5 = 840) แล้วคำนวณว่าพนักงาน 6 คนต้องใช้เวลากี่วัน (840: 6 = 140) เมื่อพิจารณาจากตารางนี้ เราจะเห็นว่าปริมาณทั้งสองใช้ค่าที่แตกต่างกันหกค่า แต่ละค่าของปริมาณแรกสอดคล้องกับค่าเฉพาะ ค่าของปริมาณที่สอง เช่น 10 ตรงกับ 84 ตัวเลข 8 ตรงกับตัวเลข 105 เป็นต้น

หากเราพิจารณาค่าของปริมาณทั้งสองจากซ้ายไปขวาเราจะเห็นว่าค่าของปริมาณบนเพิ่มขึ้นและค่าของปริมาณล่างลดลง การเพิ่มขึ้นและลดลงอยู่ภายใต้กฎหมายดังต่อไปนี้: ค่าของจำนวนคนงานเพิ่มขึ้นตามเวลาเดียวกับค่าของเวลาทำงานที่ใช้ไปลดลง แนวคิดนี้สามารถอธิบายให้เข้าใจง่ายยิ่งขึ้นดังนี้ ยิ่งคนงานมีส่วนร่วมในงานใด ๆ มากขึ้นเท่าไร พวกเขาก็ยิ่งต้องใช้เวลาในการทำงานให้เสร็จสิ้นน้อยลงเท่านั้น ปริมาณทั้งสองที่เราพบในปัญหานี้เรียกว่า สัดส่วนผกผัน

ดังนั้นหากปริมาณสองปริมาณมีความสัมพันธ์กันในลักษณะที่มูลค่าของปริมาณหนึ่งในนั้นเพิ่มขึ้น (ลดลง) หลายครั้งมูลค่าของอีกปริมาณหนึ่งจะลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยจำนวนเท่ากันปริมาณดังกล่าวจึงเรียกว่าสัดส่วนผกผัน .

มีปริมาณที่คล้ายกันมากมายในชีวิต ลองยกตัวอย่าง

1. ถ้าเป็น 150 รูเบิล หากต้องการซื้อขนมหลายกิโลกรัม จำนวนขนมจะขึ้นอยู่กับราคาหนึ่งกิโลกรัม ยิ่งราคาสูง คุณจะซื้อสินค้าได้น้อยลงด้วยเงินจำนวนนี้ สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากตาราง:

เนื่องจากราคาขนมเพิ่มขึ้นหลายเท่าจำนวนกิโลกรัมของขนมที่สามารถซื้อได้ในราคา 150 รูเบิลก็ลดลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน ในกรณีนี้ ปริมาณสองปริมาณ (น้ำหนักของผลิตภัณฑ์และราคา) จะเป็นสัดส่วนผกผัน

2. หากระยะทางระหว่างสองเมืองคือ 1,200 กม. จะสามารถครอบคลุมได้ในเวลาต่างกันขึ้นอยู่กับความเร็วในการเคลื่อนที่ การเดินทางมีหลายวิธี: เดินเท้า ขี่ม้า จักรยาน เรือ รถยนต์ รถไฟ เครื่องบิน ยิ่งความเร็วต่ำเท่าไรก็ยิ่งต้องใช้เวลาในการเคลื่อนที่มากขึ้นเท่านั้น ดูได้จากตาราง:

เมื่อเพิ่มความเร็วหลายครั้ง ระยะเวลาในการเดินทางจะลดลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ ความเร็วและเวลาเป็นปริมาณที่เป็นสัดส่วนผกผัน

§ 135 คุณสมบัติของปริมาณตามสัดส่วนผกผัน

ลองใช้ตัวอย่างที่สองซึ่งเราดูในย่อหน้าก่อนหน้านี้ ที่นั่นเราจัดการกับสองปริมาณ - ความเร็วและเวลา หากเราดูตารางค่าของปริมาณเหล่านี้จากซ้ายไปขวาเราจะเห็นว่าค่าของปริมาณแรก (ความเร็ว) เพิ่มขึ้น และค่าของปริมาณที่สอง (เวลา) ลดลง และ ความเร็วจะเพิ่มขึ้นตามระยะเวลาที่ลดลงไม่ยากที่จะเข้าใจว่าถ้าคุณเขียนอัตราส่วนของค่าบางค่าของปริมาณหนึ่ง มันจะไม่เท่ากับอัตราส่วนของค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอื่น ที่จริงแล้วถ้าเราเอาอัตราส่วนของค่าที่สี่ของค่าบนกับค่าที่เจ็ด (40: 80) มันจะไม่เท่ากับอัตราส่วนของค่าที่สี่และเจ็ดของค่าที่ต่ำกว่า (30: 15) สามารถเขียนได้ดังนี้:

40:80 ไม่เท่ากับ 30:15 หรือ 40:80 =/=30:15

แต่ถ้าแทนที่จะเป็นความสัมพันธ์อย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ เราใช้สิ่งที่ตรงกันข้าม เราก็จะได้รับความเท่าเทียมกันนั่นคือ จากความสัมพันธ์เหล่านี้จะสามารถสร้างสัดส่วนได้ ตัวอย่างเช่น:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

จากที่กล่าวมาข้างต้นเราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้: ถ้าปริมาณสองปริมาณเป็นสัดส่วนผกผันอัตราส่วนของค่าสองค่าที่รับโดยพลการของปริมาณหนึ่งจะเท่ากับอัตราส่วนผกผันของค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอื่น

§ 136 สูตรสัดส่วนผกผัน

ลองพิจารณาปัญหา: “ผ้าไหมมีทั้งหมด 6 ชิ้น ขนาดและเกรดต่างกัน ทุกชิ้นราคาเท่ากัน ชิ้นเดียวประกอบด้วยผ้า 100 ม. ราคา 20 รูเบิล ต่อเมตร อีกห้าชิ้นแต่ละชิ้นมีกี่เมตรถ้าผ้าหนึ่งเมตรในชิ้นเหล่านี้มีราคา 25, 40, 50, 80, 100 รูเบิลตามลำดับ” เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เรามาสร้างตารางกัน:

เราจำเป็นต้องกรอกข้อมูลลงในเซลล์ว่างในแถวบนสุดของตารางนี้ ก่อนอื่นให้ลองพิจารณาว่าชิ้นที่สองมีกี่เมตร ซึ่งสามารถทำได้ดังนี้ จากสภาพปัญหาทราบว่าต้นทุนทุกชิ้นเท่ากัน ราคาของชิ้นแรกนั้นง่ายต่อการกำหนด: ประกอบด้วย 100 เมตรและแต่ละเมตรมีราคา 20 รูเบิล ซึ่งหมายความว่าไหมชิ้นแรกมีมูลค่า 2,000 รูเบิล เนื่องจากไหมชิ้นที่สองมีจำนวนรูเบิลเท่ากันจึงหาร 2,000 รูเบิล สำหรับราคาหนึ่งเมตรคือ 25 เราพบขนาดของชิ้นที่สอง: 2,000: 25 = 80 (m) ในทำนองเดียวกัน เราจะหาขนาดของชิ้นส่วนอื่นๆ ทั้งหมด ตารางจะมีลักษณะดังนี้:

เห็นได้ง่ายว่ามีความสัมพันธ์เป็นสัดส่วนผกผันระหว่างจำนวนเมตรและราคา

หากคุณคำนวณที่จำเป็นด้วยตนเอง คุณจะสังเกตเห็นว่าในแต่ละครั้งคุณต้องหารตัวเลข 2,000 ด้วยราคา 1 ม. ในทางกลับกัน หากคุณเริ่มคูณขนาดของชิ้นเป็นเมตรด้วยราคา 1 ม คุณจะได้รับหมายเลข 2,000 เสมอและจำเป็นต้องรอเนื่องจากแต่ละชิ้นมีราคา 2,000 รูเบิล

จากจุดนี้ เราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้: สำหรับคู่ที่กำหนดของปริมาณตามสัดส่วนผกผัน ผลคูณของค่าใดๆ ของปริมาณหนึ่งคูณด้วยค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอีกปริมาณหนึ่งจะเป็นจำนวนคงที่ (กล่าวคือ ไม่มีการเปลี่ยนแปลง)

ในปัญหาของเรา ผลคูณนี้มีค่าเท่ากับ 2,000 ตรวจสอบว่าในปัญหาก่อนหน้าซึ่งพูดถึงความเร็วของการเคลื่อนที่และเวลาที่ต้องย้ายจากเมืองหนึ่งไปอีกเมืองหนึ่ง มีจำนวนคงที่สำหรับปัญหานั้นด้วย (1,200)

เมื่อพิจารณาทุกอย่างแล้ว จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะหาสูตรสัดส่วนผกผัน ให้เราแสดงค่าหนึ่งของปริมาณหนึ่งด้วยตัวอักษร เอ็กซ์ และค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอื่นจะแสดงด้วยตัวอักษร ที่ - จากนั้นตามการทำงานข้างต้น เอ็กซ์ บน ที่ ต้องเท่ากับค่าคงที่ซึ่งเราแสดงด้วยตัวอักษร ถึง, เช่น.

xy = ถึง.

ในความเท่าเทียมกันนี้ เอ็กซ์ - ทวีคูณ ที่ - ตัวคูณและ เค- งาน. ตามคุณสมบัติของการคูณ ตัวคูณจะเท่ากับผลคูณหารด้วยตัวคูณ วิธี,

นี่คือสูตรสัดส่วนผกผัน เมื่อใช้มันเราสามารถคำนวณค่าจำนวนเท่าใดก็ได้ของหนึ่งในปริมาณตามสัดส่วนผกผันโดยรู้ค่าของอีกค่าหนึ่งและจำนวนคงที่ ถึง.

ลองพิจารณาปัญหาอื่น: “ผู้เขียนเรียงความเรื่องหนึ่งคำนวณว่าหากหนังสือของเขาอยู่ในรูปแบบปกติก็จะมี 96 หน้า แต่ถ้าเป็นรูปแบบพกพาก็จะมี 300 หน้า เขาลองใช้ตัวเลือกอื่น โดยเริ่มจาก 96 หน้า และสุดท้ายก็ได้ 2,500 ตัวอักษรต่อหน้า จากนั้นเขาก็นำหมายเลขหน้าที่แสดงในตารางด้านล่างมาคำนวณอีกครั้งว่าจะมีตัวอักษรกี่ตัวบนหน้านั้น”

ลองคำนวณว่าหน้าหนึ่งจะมีตัวอักษรกี่ตัวถ้าหนังสือมี 100 หน้า

หนังสือทั้งเล่มมีตัวอักษร 240,000 ตัว เนื่องจาก 2,500 96 = 240,000

เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราใช้สูตรสัดส่วนผกผัน ( ที่ - จำนวนตัวอักษรบนหน้า เอ็กซ์ - จำนวนหน้า):

ในตัวอย่างของเรา ถึง= 240,000 ดังนั้น

จึงมีตัวอักษร 2,400 ตัวในหน้านั้น

ในทำนองเดียวกัน เราเรียนรู้ว่าหากหนังสือมี 120 หน้า จำนวนตัวอักษรบนหน้าจะเป็นดังนี้:

ตารางของเราจะมีลักษณะดังนี้:

เติมเซลล์ที่เหลือด้วยตัวเอง

§ 137 วิธีการอื่นในการแก้ปัญหาที่มีปริมาณตามสัดส่วนผกผัน

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราได้แก้ไขปัญหาที่มีเงื่อนไขรวมปริมาณตามสัดส่วนผกผันด้วย อันดับแรกเราได้สูตรสัดส่วนผกผันแล้วใช้สูตรนี้ ตอนนี้เราจะแสดงวิธีแก้ไขปัญหาอื่นอีกสองวิธีสำหรับปัญหาดังกล่าว

1. วิธีการลดความสามัคคี

งาน.ช่างกลึง 5 คนสามารถทำงานได้ใน 16 วัน ช่างกลึง 8 คนจะทำงานนี้ให้เสร็จภายในกี่วัน?

สารละลาย.มีความสัมพันธ์แบบผกผันระหว่างจำนวนช่างกลึงและเวลาทำงาน หากช่างกลึง 5 คนทำงานใน 16 วัน คนหนึ่งคนจะต้องใช้เวลาเพิ่มขึ้น 5 เท่าในการดำเนินการนี้ เช่น

ช่างกลึง 5 คนทำงานให้เสร็จภายใน 16 วัน

เทิร์นเนอร์ 1 คนจะเสร็จสิ้นภายใน 16 5 = 80 วัน

ปัญหาถามว่าต้องใช้ช่างกลึง 8 คนในการทำงานให้เสร็จกี่วัน เห็นได้ชัดว่าพวกเขาจะรับมือกับงานได้เร็วกว่าช่างกลึง 1 คนถึง 8 เท่าเช่น ใน

80: 8 = 10 (วัน)

นี่คือการแก้ปัญหาโดยการลดความสามัคคีลง ก่อนอื่นจำเป็นต้องกำหนดเวลาที่คนงานหนึ่งคนจะต้องทำงานให้เสร็จ

2. วิธีสัดส่วนมาแก้ไขปัญหาเดียวกันด้วยวิธีที่สอง

เนื่องจากมีความสัมพันธ์แบบสัดส่วนผกผันระหว่างจำนวนคนงานและเวลาทำงาน เราจึงสามารถเขียนได้: ระยะเวลาการทำงานของช่างกลึง 5 คน จำนวนช่างกลึงใหม่ (8) ระยะเวลาการทำงานของช่างกลึง 8 คน จำนวนช่างกลึงก่อนหน้า (5) ให้เราแสดงว่า ระยะเวลาการทำงานที่ต้องการตามจดหมาย เอ็กซ์ และแทนตัวเลขที่จำเป็นเป็นสัดส่วนที่แสดงเป็นคำ:

ปัญหาเดียวกันนี้แก้ไขได้ด้วยวิธีสัดส่วน เพื่อแก้ปัญหานี้ เราต้องสร้างสัดส่วนจากตัวเลขที่อยู่ในคำชี้แจงปัญหา

บันทึก.ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราได้ตรวจสอบประเด็นเรื่องสัดส่วนตรงและผกผัน ธรรมชาติและชีวิตให้ตัวอย่างมากมายของการพึ่งพาปริมาณตามสัดส่วนทั้งทางตรงและทางผกผัน อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าการพึ่งพาทั้งสองประเภทนี้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดเท่านั้น นอกจากนี้ยังมีการขึ้นต่อกันอื่นๆ ที่ซับซ้อนมากขึ้นระหว่างปริมาณอีกด้วย นอกจากนี้ เราไม่ควรคิดว่าหากปริมาณสองปริมาณใดๆ เพิ่มขึ้นพร้อมกัน ก็จำเป็นต้องมีสัดส่วนโดยตรงระหว่างปริมาณเหล่านั้น นี่ยังห่างไกลจากความจริง ตัวอย่างเช่น ค่าโดยสารรถไฟจะเพิ่มขึ้นตามระยะทาง ยิ่งเราเดินทางไกลก็ยิ่งจ่ายมากขึ้น แต่ไม่ได้หมายความว่าค่าโดยสารจะแปรผันตามระยะทาง

I. ปริมาณตามสัดส่วนโดยตรง

ให้มีค่า ยขึ้นอยู่กับขนาด เอ็กซ์- หากเมื่อเพิ่มขึ้น เอ็กซ์ขนาดหลายเท่า ที่เพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากันแล้วจึงมีค่าดังกล่าว เอ็กซ์และ ที่เรียกว่าเป็นสัดส่วนโดยตรง

ตัวอย่าง.

1 - ปริมาณสินค้าที่ซื้อและราคาซื้อ (ด้วยราคาคงที่สำหรับสินค้าหนึ่งหน่วย - 1 ชิ้นหรือ 1 กิโลกรัม เป็นต้น) ซื้อสินค้ามากขึ้นกี่ครั้งก็ยิ่งจ่ายเงินมากขึ้นเท่านั้น

2 - ระยะทางที่เดินทางและเวลาที่ใช้ไป (ที่ความเร็วคงที่) เส้นทางนั้นยาวไกลสักกี่ครั้ง จะต้องใช้เวลานานสักกี่ครั้งจึงจะสำเร็จ

3 - ปริมาตรของร่างกายและมวลของมัน - หากแตงโมลูกหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอีกลูก 2 เท่า มวลของมันจะใหญ่ขึ้น 2 เท่า)

ครั้งที่สอง คุณสมบัติของสัดส่วนโดยตรงของปริมาณ

หากปริมาณสองปริมาณเป็นสัดส่วนโดยตรงอัตราส่วนของค่าสองค่าที่รับโดยพลการของปริมาณแรกจะเท่ากับอัตราส่วนของค่าที่สอดคล้องกันสองค่าของปริมาณที่สอง

ภารกิจที่ 1สำหรับแยมราสเบอร์รี่ที่เราเอา 12 กกราสเบอร์รี่และ 8 กกซาฮารา คุณต้องการน้ำตาลมากแค่ไหนหากรับประทานเข้าไป? 9 กกราสเบอร์รี่?

สารละลาย.

เราให้เหตุผลเช่นนี้ ปล่อยให้มันจำเป็น x กกน้ำตาลสำหรับ 9 กกราสเบอร์รี่ มวลของราสเบอร์รี่และมวลของน้ำตาลเป็นปริมาณที่เป็นสัดส่วนโดยตรง: ราสเบอร์รี่มีน้อยกว่ากี่เท่า, ต้องการน้ำตาลน้อยลงในจำนวนเท่าเดิม ดังนั้นอัตราส่วนของราสเบอร์รี่ที่รับประทาน (โดยน้ำหนัก) ( 12:9 ) จะเท่ากับอัตราส่วนน้ำตาลที่รับประทาน ( 8:x- เราได้รับสัดส่วน:

12: 9=8: เอ็กซ์;

x=9 · 8: 12;

x=6. คำตอบ:บน 9 กกจำเป็นต้องทานราสเบอร์รี่ 6 กกซาฮารา

การแก้ปัญหาสามารถทำได้ดังนี้:

เอาล่ะ 9 กกจำเป็นต้องทานราสเบอร์รี่ x กกซาฮารา

(ลูกศรในรูปชี้ไปทางเดียวขึ้นหรือลงไม่สำคัญ แปลว่า กี่เท่าของจำนวน 12 จำนวนมากขึ้น 9 จำนวนครั้งเท่ากัน 8 จำนวนมากขึ้น เอ็กซ์กล่าวคือมีความสัมพันธ์โดยตรงที่นี่)

คำตอบ:บน 9 กกฉันจำเป็นต้องกินราสเบอร์รี่ 6 กกซาฮารา

ภารกิจที่ 2รถสำหรับ 3 ชั่วโมงเดินทางไกล 264 กม- เขาจะใช้เวลาเดินทางนานแค่ไหน? 440 กม,ถ้าเขาขับด้วยความเร็วเท่ากันล่ะ?

สารละลาย.

ปล่อยให้ x ชั่วโมงรถจะครอบคลุมระยะทาง 440 กม.

คำตอบ:รถจะผ่านไป 440 กม. ใน 5 ชั่วโมง

ภารกิจที่ 3น้ำไหลจากท่อลงสู่สระน้ำ สำหรับ 2 ชั่วโมงเธอเติมเต็ม 1/5 สระว่ายน้ำ ส่วนใดของสระมีน้ำอยู่เต็ม 5 ชั่วโมง?

สารละลาย.

เราตอบคำถามของงาน: สำหรับ 5 ชั่วโมงจะถูกเติมเต็ม 1/xส่วนหนึ่งของสระว่ายน้ำ (สระทั้งหมดถือเป็นสระเดียว)

วันนี้เราจะมาดูกันว่าปริมาณใดที่เรียกว่าสัดส่วนผกผัน กราฟสัดส่วนผกผันมีลักษณะอย่างไร และทั้งหมดนี้มีประโยชน์กับคุณอย่างไรไม่เพียงแต่ในบทเรียนคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงนอกโรงเรียนด้วย

สัดส่วนต่างกันขนาดนั้น

สัดส่วนบอกชื่อปริมาณสองปริมาณที่พึ่งพาซึ่งกันและกัน

การพึ่งพาอาศัยกันสามารถเป็นได้ทั้งแบบตรงและแบบผกผัน ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณจึงถูกอธิบายด้วยสัดส่วนโดยตรงและผกผัน

สัดส่วนโดยตรง- นี่คือความสัมพันธ์ระหว่างสองปริมาณซึ่งการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของปริมาณหนึ่งในนั้นนำไปสู่การเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอีกปริมาณหนึ่ง เหล่านั้น. ทัศนคติของพวกเขาไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างเช่น ยิ่งคุณทุ่มเทกับการเรียนเพื่อการสอบมากเท่าไร คะแนนของคุณก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น หรือยิ่งคุณนำสิ่งของติดตัวไปด้วยในการเดินป่ามากเท่าไร กระเป๋าเป้ของคุณก็จะหนักมากขึ้นเท่านั้น เหล่านั้น. จำนวนความพยายามที่ใช้ในการเตรียมตัวสอบจะแปรผันโดยตรงกับเกรดที่ได้รับ และจำนวนสิ่งของที่บรรจุในกระเป๋าเป้นั้นแปรผันตรงกับน้ำหนักของมันโดยตรง

สัดส่วนผกผัน– นี่คือการพึ่งพาฟังก์ชันซึ่งการลดลงหรือเพิ่มขึ้นหลายครั้งในค่าอิสระ (เรียกว่าอาร์กิวเมนต์) ทำให้เกิดการเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามสัดส่วน (เช่นจำนวนครั้งเท่ากัน) ในค่าที่ขึ้นอยู่กับ (เรียกว่า a การทำงาน).

เรามาอธิบายด้วยตัวอย่างง่ายๆ คุณต้องการซื้อแอปเปิ้ลที่ตลาด แอปเปิ้ลบนเคาน์เตอร์และจำนวนเงินในกระเป๋าสตางค์ของคุณเป็นสัดส่วนผกผัน เหล่านั้น. ยิ่งคุณซื้อแอปเปิ้ลมากเท่าไหร่ เงินก็จะเหลือน้อยลงเท่านั้น

ฟังก์ชันและกราฟของมัน

ฟังก์ชันสัดส่วนผกผันสามารถอธิบายได้ดังนี้ y = k/x- ซึ่งในนั้น x≠ 0 และ เค≠ 0.

ฟังก์ชันนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น x = 0. ดี(ย): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. พิสัยเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น ย= 0. จ(ป): (-∞; 0) คุณ (0; +∞) .
3. ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
4. มันแปลกและกราฟของมันก็สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด
5. ไม่ใช่เป็นระยะๆ
6. กราฟของมันไม่ตัดแกนพิกัด
7. ไม่มีศูนย์
8. ถ้า เค> 0 (เช่น อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น) ฟังก์ชันจะลดลงตามสัดส่วนในแต่ละช่วงเวลา ถ้า เค< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น ( เค> 0) ค่าลบของฟังก์ชันอยู่ในช่วงเวลา (-∞; 0) และค่าบวกอยู่ในช่วงเวลา (0; +∞) เมื่ออาร์กิวเมนต์ลดลง ( เค< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

กราฟของฟังก์ชันสัดส่วนผกผันเรียกว่าไฮเปอร์โบลา แสดงดังต่อไปนี้:

ปัญหาสัดส่วนผกผัน

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น เรามาดูงานต่างๆ กัน มันไม่ซับซ้อนเกินไปและการแก้มันจะช่วยให้คุณเห็นภาพว่าสัดส่วนผกผันคืออะไรและความรู้นี้จะมีประโยชน์ในชีวิตประจำวันของคุณอย่างไร

ภารกิจที่ 1 รถยนต์คันหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 60 กม./ชม. เขาใช้เวลา 6 ชั่วโมงก็ถึงที่หมาย จะต้องใช้เวลานานเท่าใดในการครอบคลุมระยะทางเดียวกันหากเขาเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสองเท่า?

เราสามารถเริ่มต้นด้วยการเขียนสูตรที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเวลา ระยะทาง และความเร็ว: t = S/V เห็นด้วย มันทำให้เรานึกถึงฟังก์ชันสัดส่วนผกผันเป็นอย่างมาก และบ่งชี้ว่าเวลาที่รถอยู่บนถนนและความเร็วที่รถเคลื่อนที่นั้นเป็นสัดส่วนผกผัน

เพื่อยืนยันสิ่งนี้ ให้หา V 2 ซึ่งตามเงื่อนไขจะสูงกว่า 2 เท่า: V 2 = 60 * 2 = 120 กม./ชม. จากนั้นเราคำนวณระยะทางโดยใช้สูตร S = V * t = 60 * 6 = 360 กม. ตอนนี้การหาเวลา t 2 ที่ต้องการจากเราตามเงื่อนไขของปัญหาไม่ใช่เรื่องยาก: t 2 = 360/120 = 3 ชั่วโมง

อย่างที่คุณเห็น เวลาในการเดินทางและความเร็วนั้นแปรผกผันกันจริงๆ ด้วยความเร็วที่สูงกว่าความเร็วเดิม 2 เท่า รถจะใช้เวลาอยู่บนถนนน้อยลง 2 เท่า

วิธีแก้ไขปัญหานี้สามารถเขียนเป็นสัดส่วนได้ ขั้นแรกเรามาสร้างแผนภาพนี้กันก่อน:

↓ 60 กม./ชม. – 6 ชม

↓120 กม./ชม. – x ส

ลูกศรแสดงถึงความสัมพันธ์ตามสัดส่วนผกผัน พวกเขายังแนะนำว่าเมื่อวาดสัดส่วน จะต้องพลิกด้านขวาของบันทึก: 60/120 = x/6 เราจะได้ x = 60 * 6/120 = 3 ชั่วโมงจากไหน

ภารกิจที่ 2 เวิร์กช็อปจ้างพนักงาน 6 คนซึ่งสามารถทำงานให้เสร็จตามจำนวนที่กำหนดได้ภายใน 4 ชั่วโมง หากจำนวนคนงานลดลงครึ่งหนึ่ง คนงานที่เหลือจะใช้เวลานานแค่ไหนจึงจะทำงานให้เสร็จในจำนวนเท่าเดิม?

ให้เราเขียนเงื่อนไขของปัญหาในรูปแบบของแผนภาพภาพ:

↓ คนงาน 6 คน – 4 ชั่วโมง

↓ 3 คน – x ชม

ลองเขียนสิ่งนี้เป็นสัดส่วน: 6/3 = x/4 และเราจะได้ x = 6 * 4/3 = 8 ชั่วโมง หากมีคนงานน้อยลง 2 เท่า คนที่เหลือจะใช้เวลาทำงานทั้งหมดมากขึ้น 2 เท่า

ภารกิจที่ 3 มีท่อสองท่อที่ทอดลงสู่สระน้ำ น้ำจะไหลผ่านท่อเดียวด้วยความเร็ว 2 ลิตร/วินาที และเต็มสระภายใน 45 นาที ผ่านท่ออีกเส้นสระจะเต็มใน 75 นาที น้ำเข้าสระผ่านท่อนี้ด้วยความเร็วเท่าใด?

ขั้นแรก ให้เราลดปริมาณทั้งหมดที่มอบให้ตามเงื่อนไขของปัญหาให้เป็นหน่วยวัดเดียวกัน โดยแสดงความเร็วในการเติมน้ำในสระเป็นลิตรต่อนาที: 2 ลิตร/วินาที = 2 * 60 = 120 ลิตร/นาที

เนื่องจากเงื่อนไขบอกเป็นนัยว่าสระน้ำจะเติมช้ากว่าผ่านท่อที่สอง ซึ่งหมายความว่าอัตราการไหลของน้ำจะลดลง สัดส่วนจะผกผัน ให้เราแสดงความเร็วที่ไม่รู้จักผ่าน x และวาดแผนภาพต่อไปนี้:

↓ 120 ลิตร/นาที – 45 นาที

↓ x ลิตร/นาที – 75 นาที

จากนั้นเราก็สร้างสัดส่วน: 120/x = 75/45 โดยที่ x = 120 * 45/75 = 72 ลิตร/นาที

ในปัญหานี้ อัตราการเติมน้ำในสระจะแสดงเป็นลิตรต่อวินาที ลองลดคำตอบที่เราได้รับให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: 72/60 = 1.2 ลิตร/วินาที

ภารกิจที่ 4 โรงพิมพ์ส่วนตัวขนาดเล็กจะพิมพ์นามบัตร พนักงานโรงพิมพ์ทำงานด้วยความเร็ว 42 นามบัตรต่อชั่วโมง และทำงานเต็มวัน - 8 ชั่วโมง ถ้าเขาทำงานเร็วขึ้นและพิมพ์นามบัตรได้ 48 ใบในหนึ่งชั่วโมง เขาจะกลับบ้านได้เร็วแค่ไหน?

เราปฏิบัติตามเส้นทางที่พิสูจน์แล้วและจัดทำไดอะแกรมตามเงื่อนไขของปัญหาโดยกำหนดค่าที่ต้องการเป็น x:

↓ 42 นามบัตร/ชั่วโมง – 8 ชั่วโมง

↓ นามบัตร 48 ใบ/ชม. – x ชม

เรามีความสัมพันธ์แบบแปรผกผัน: จำนวนครั้งที่พนักงานโรงพิมพ์พิมพ์นามบัตรมากขึ้นต่อชั่วโมง จำนวนครั้งที่เท่ากันคือเวลาที่น้อยกว่าที่เขาจะต้องทำงานเดิมให้เสร็จ เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว เรามาสร้างสัดส่วนกันดีกว่า:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ชั่วโมง

ดังนั้นเมื่อทำงานเสร็จภายใน 7 ชั่วโมง พนักงานโรงพิมพ์ก็สามารถกลับบ้านเร็วขึ้นหนึ่งชั่วโมงได้

บทสรุป

สำหรับเราดูเหมือนว่าปัญหาสัดส่วนผกผันเหล่านี้ง่ายมาก เราหวังว่าตอนนี้คุณก็คิดแบบนั้นเช่นกัน และสิ่งสำคัญคือความรู้เกี่ยวกับการพึ่งพาปริมาณตามสัดส่วนผกผันจะมีประโยชน์กับคุณมากกว่าหนึ่งครั้ง

ไม่ใช่แค่ในบทเรียนคณิตศาสตร์และการสอบเท่านั้น แต่ถึงอย่างนั้นเมื่อคุณเตรียมตัวไปเที่ยว ช้อปปิ้ง ตัดสินใจหารายได้เสริมเล็กน้อยในช่วงวันหยุด ฯลฯ

บอกเราในความคิดเห็นว่าคุณสังเกตเห็นตัวอย่างความสัมพันธ์แบบผกผันและแบบสัดส่วนตรงรอบตัวคุณอย่างไร ปล่อยให้มันเป็นเกมแบบนั้น คุณจะเห็นว่ามันน่าตื่นเต้นแค่ไหน อย่าลืมแบ่งปันบทความนี้บนโซเชียลเน็ตเวิร์กเพื่อให้เพื่อนและเพื่อนร่วมชั้นของคุณสามารถเล่นได้

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งข้อมูลต้นฉบับ

เป้าหมายหลัก:

• แนะนำแนวคิดของการพึ่งพาปริมาณโดยตรงและผกผันตามสัดส่วน
• สอนวิธีแก้ปัญหาโดยใช้การพึ่งพาเหล่านี้
• ส่งเสริมการพัฒนาทักษะการแก้ปัญหา
• รวบรวมทักษะการแก้สมการโดยใช้สัดส่วน
• ทำซ้ำขั้นตอนด้วยเศษส่วนธรรมดาและทศนิยม
• พัฒนาความคิดเชิงตรรกะของนักเรียน

ความก้าวหน้าของบทเรียน

ฉัน. การตัดสินใจด้วยตนเองสำหรับกิจกรรม(ช่วงเวลาขององค์กร)

- พวก! วันนี้ในบทเรียนเราจะมาทำความรู้จักกับปัญหาที่แก้ไขโดยใช้สัดส่วน

ครั้งที่สอง อัพเดทความรู้และบันทึกความยากในการทำกิจกรรม

2.1. งานช่องปาก (3 นาที)

– ค้นหาความหมายของสำนวนและค้นหาคำที่เข้ารหัสในคำตอบ

14 – วิ; 0.1 – และ; 7 – ลิตร; 0.2 – ก; 17 – นิ้ว; 25 – ถึง

– คำที่ได้คือความแข็งแกร่ง ทำได้ดี!
– คำขวัญของบทเรียนของเราวันนี้: พลังอยู่ในความรู้! ฉันกำลังค้นหา - นั่นหมายความว่าฉันกำลังเรียนรู้!
– สร้างสัดส่วนจากตัวเลขผลลัพธ์ (14:7 = 0.2:0.1 เป็นต้น)

2.2. ลองพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่เรารู้กัน (7 นาที)

– ระยะทางที่รถแล่นได้ด้วยความเร็วคงที่ และเวลาเคลื่อนที่: S = วี ที (ด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้น (เวลา) ระยะทางจะเพิ่มขึ้น)
– ความเร็วของรถและเวลาที่ใช้ในการเดินทาง: วี=ส:ที(เมื่อเวลาในการเดินทางเพิ่มขึ้น ความเร็วจะลดลง);
– ต้นทุนของสินค้าที่ซื้อในราคาเดียวและปริมาณ: C = a · n (เมื่อราคาเพิ่มขึ้น (ลดลง) ต้นทุนการซื้อจะเพิ่มขึ้น (ลดลง));
– ราคาของผลิตภัณฑ์และปริมาณ: a = C: n (เมื่อปริมาณเพิ่มขึ้น ราคาก็ลดลง)
– พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและความยาว (กว้าง): S = a · b (เมื่อเพิ่มความยาว (กว้าง) พื้นที่จะเพิ่มขึ้น
– ความยาวและความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า: a = S: b (เมื่อความยาวเพิ่มขึ้น ความกว้างจะลดลง
– จำนวนคนงานที่ทำงานบางอย่างโดยให้ผลิตภาพแรงงานเท่ากัน และเวลาที่ใช้ในการทำงานนี้ให้เสร็จสิ้น: t = A: n (เมื่อจำนวนคนงานเพิ่มขึ้น เวลาที่ใช้ในการปฏิบัติงานลดลง) เป็นต้น .

เราได้รับการขึ้นต่อกันโดยที่ค่าหนึ่งเพิ่มขึ้นหลายครั้ง อีกค่าหนึ่งเพิ่มขึ้นทันทีด้วยจำนวนที่เท่ากัน (ตัวอย่างแสดงด้วยลูกศร) และการขึ้นต่อกันซึ่งเมื่อเพิ่มค่าหนึ่งหลายครั้ง ค่าที่สองจะลดลงตาม จำนวนครั้งเท่ากัน
การพึ่งพาดังกล่าวเรียกว่าสัดส่วนตรงและผกผัน
การพึ่งพาอาศัยกันตามสัดส่วนโดยตรง– ความสัมพันธ์โดยที่ค่าหนึ่งเพิ่มขึ้น (ลดลง) หลายครั้ง ค่าที่สองจะเพิ่มขึ้น (ลดลง) ด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ความสัมพันธ์ตามสัดส่วนผกผัน– ความสัมพันธ์ที่เมื่อค่าหนึ่งเพิ่มขึ้น (ลดลง) หลายครั้ง ค่าที่สองจะลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยจำนวนที่เท่ากัน

III. การตั้งค่างานการเรียนรู้

– เรากำลังเผชิญปัญหาอะไรอยู่? (เรียนรู้ที่จะแยกแยะระหว่างการพึ่งพาโดยตรงและผกผัน)
- นี้ - เป้าบทเรียนของเรา ตอนนี้กำหนด หัวข้อบทเรียน. (ความสัมพันธ์ตามสัดส่วนทางตรงและผกผัน)
- ทำได้ดี! เขียนหัวข้อบทเรียนลงในสมุดบันทึกของคุณ (ครูเขียนหัวข้อบนกระดาน)

IV. “การค้นพบ” ความรู้ใหม่(10 นาที)

มาดูปัญหาหมายเลข 199 กันดีกว่า

1. เครื่องพิมพ์พิมพ์ 27 หน้าใน 4.5 นาที จะใช้เวลานานเท่าใดในการพิมพ์ 300 หน้า?

27 หน้า – 4.5 นาที
300 หน้า -x?

2. ในกล่องบรรจุชา 48 ซอง ซองละ 250 กรัม คุณจะได้ชาจำนวน 150 กรัมกี่ซอง?

48 แพ็ค – 250 ก.
เอ็กซ์? – 150 ก.

3. รถขับไป 310 กม. ใช้น้ำมันเบนซิน 25 ลิตร รถยนต์สามารถเดินทางได้ไกลแค่ไหนด้วยถังขนาด 40 ลิตร?

310 กม. – 25 ลิตร
เอ็กซ์? – 40 ลิตร

4. เกียร์คลัตช์ตัวหนึ่งมี 32 ฟัน และอีกอันมี 40 ฟัน เกียร์สองจะทำได้กี่ครั้ง ในขณะที่ตัวแรกจะทำได้ 215 รอบ?

32 ฟัน – 315 รอบ
40 ฟัน – x?

ในการรวบรวมสัดส่วน จำเป็นต้องมีทิศทางเดียวของลูกศร ด้วยเหตุนี้ ในสัดส่วนผกผัน อัตราส่วนหนึ่งจะถูกแทนที่ด้วยค่าผกผัน

ที่กระดาน นักเรียนจะค้นหาความหมายของปริมาณ โดยทันที นักเรียนจะแก้ปัญหาหนึ่งข้อที่ต้องการ

– กำหนดกฎสำหรับการแก้ปัญหาด้วยการพึ่งพาสัดส่วนโดยตรงและผกผัน

ตารางปรากฏบนกระดาน:

V. การรวมหลักในคำพูดภายนอก(10 นาที)

การมอบหมายแผ่นงาน:

1. จากเมล็ดฝ้าย 21 กก. ได้น้ำมัน 5.1 กก.
2. เมล็ดฝ้าย 7 กิโลกรัม จะได้น้ำมันเท่าไหร่?

ในการสร้างสนามกีฬา รถปราบดิน 5 คันเคลียร์พื้นที่ได้ภายใน 210 นาที รถปราบดิน 7 คันต้องใช้เวลานานแค่ไหนในการเคลียร์พื้นที่นี้?วี. ทำงานอิสระด้วยการทดสอบตัวเองตามมาตรฐาน

(5 นาที)
นักเรียนสองคนทำงานหมายเลข 225 อย่างอิสระบนกระดานที่ซ่อนอยู่และที่เหลือ - ในสมุดบันทึก จากนั้นพวกเขาจะตรวจสอบการทำงานของอัลกอริธึมและเปรียบเทียบกับโซลูชันบนบอร์ด ข้อผิดพลาดได้รับการแก้ไขและระบุสาเหตุแล้ว หากทำถูกต้องแล้ว ให้นักเรียนใส่เครื่องหมาย "+" ไว้ข้างๆ

นักศึกษาที่ทำผิดพลาดในการทำงานอิสระสามารถใช้ที่ปรึกษาได้№ 271, № 270.

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว รวมอยู่ในระบบความรู้และการทำซ้ำ

คนหกคนทำงานที่คณะกรรมการ หลังจากผ่านไป 3-4 นาที นักเรียนที่ทำงานที่กระดานนำเสนอแนวทางแก้ไข และที่เหลือตรวจสอบงานที่ได้รับมอบหมายและมีส่วนร่วมในการอภิปราย

8. สะท้อนกิจกรรม (สรุปบทเรียน)
– คุณเรียนรู้อะไรใหม่ในบทเรียน?
– อัลกอริธึมในการแก้ปัญหาสัดส่วนคืออะไร?
– เราบรรลุเป้าหมายของเราแล้วหรือยัง?
– คุณประเมินงานของคุณอย่างไร?

สัดส่วนตรงและผกผัน

ถ้า t คือเวลาเคลื่อนที่ของคนเดินเท้า (เป็นชั่วโมง) s คือระยะทางที่เดินทางได้ (เป็นกิโลเมตร) และเขาเคลื่อนที่สม่ำเสมอด้วยความเร็ว 4 กม./ชม. ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตร s = 4ต. เนื่องจากแต่ละค่า t สอดคล้องกับค่า s เดียว เราจึงสามารถพูดได้ว่าฟังก์ชันถูกกำหนดโดยใช้สูตร s = 4t เรียกว่าสัดส่วนตรงและมีการกำหนดไว้ดังนี้

คำนิยาม. สัดส่วนโดยตรงคือฟังก์ชันที่สามารถระบุได้โดยใช้สูตร y=kx โดยที่ k คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์

ชื่อของฟังก์ชัน y = k x เกิดจากการที่ในสูตร y = k x มีตัวแปร x และ y ซึ่งสามารถเป็นค่าของปริมาณได้ และถ้าอัตราส่วนของปริมาณสองจำนวนเท่ากับจำนวนบางตัวที่แตกต่างจากศูนย์ ก็จะถูกเรียก สัดส่วนโดยตรง - ในกรณีของเรา = k (k≠0) เบอร์นี้มีชื่อว่า สัมประสิทธิ์สัดส่วน

ฟังก์ชัน y = k x เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์จริงหลายๆ สถานการณ์ที่พิจารณาแล้วในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น หนึ่งในนั้นอธิบายไว้ข้างต้น อีกตัวอย่างหนึ่ง: หากแป้งหนึ่งถุงบรรจุ 2 กิโลกรัมและซื้อ x ถุงดังกล่าว มวลแป้งที่ซื้อทั้งหมด (แสดงด้วย y) ก็สามารถแสดงเป็นสูตร y = 2x ได้ เช่น ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนถุงกับมวลแป้งทั้งหมดที่ซื้อมาจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับค่าสัมประสิทธิ์ k=2

ให้เรานึกถึงคุณสมบัติบางประการของสัดส่วนโดยตรงที่เรียนในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน y = k x และช่วงของค่าคือเซตของจำนวนจริง

2. กราฟสัดส่วนตรงเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด ดังนั้นในการสร้างกราฟที่เป็นสัดส่วนโดยตรงก็เพียงพอที่จะค้นหาจุดเดียวที่เป็นของมันและไม่ตรงกับที่มาของพิกัดแล้วลากเส้นตรงผ่านจุดนี้และที่มาของพิกัด

ตัวอย่างเช่นในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2x ก็เพียงพอแล้วที่จะมีจุดที่มีพิกัด (1, 2) จากนั้นลากเส้นตรงผ่านจุดนั้นและที่มาของพิกัด (รูปที่ 7)

3. สำหรับ k > 0 ฟังก์ชัน y = khx จะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ที่เค< 0 - убывает на всей области определения.

4. หากฟังก์ชัน f เป็นสัดส่วนโดยตรงและ (x 1, y 1), (x 2, y 2) เป็นคู่ของค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร x และ y และ x 2 ≠0 แล้ว

อันที่จริงหากฟังก์ชัน f เป็นสัดส่วนโดยตรงก็สามารถกำหนดได้จากสูตร y = khx จากนั้น y 1 = kh 1, y 2 = kh 2 เนื่องจากที่ x 2 ≠0 และ k≠0 ดังนั้น y 2 ≠0 นั่นเป็นเหตุผล และนั่นหมายความว่า

หากค่าของตัวแปร x และ y เป็นจำนวนจริงบวก จากนั้นสามารถกำหนดคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วของสัดส่วนโดยตรงได้ดังนี้: เมื่อค่าของตัวแปร x เพิ่มขึ้น (ลดลง) หลายครั้ง ค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร y จะเพิ่มขึ้น (ลดลง) ด้วยจำนวนที่เท่ากัน

คุณสมบัตินี้มีอยู่ในสัดส่วนโดยตรงเท่านั้น และสามารถใช้ในการแก้ปัญหาคำโดยพิจารณาปริมาณตามสัดส่วนโดยตรง

ปัญหาที่ 1 ภายใน 8 ชั่วโมง ช่างกลึงผลิตชิ้นส่วนได้ 16 ชิ้น ผู้ควบคุมเครื่องกลึงจะใช้เวลากี่ชั่วโมงในการผลิตชิ้นส่วน 48 ชิ้นหากเขาทำงานด้วยประสิทธิภาพการผลิตเท่ากัน

สารละลาย. ปัญหาจะพิจารณาปริมาณต่อไปนี้: เวลาทำงานของช่างกลึง จำนวนชิ้นส่วนที่เขาผลิต และประสิทธิภาพการทำงาน (เช่น จำนวนชิ้นส่วนที่ช่างกลึงผลิตได้ใน 1 ชั่วโมง) โดยค่าสุดท้ายจะเป็นค่าคงที่ และอีกสองค่าที่เกิดขึ้น ค่าที่แตกต่างกัน นอกจากนี้จำนวนชิ้นส่วนที่ทำและเวลาทำงานเป็นค่าสัดส่วนโดยตรงเนื่องจากอัตราส่วนของชิ้นส่วนนั้นเท่ากับจำนวนที่แน่นอนซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ กล่าวคือ จำนวนชิ้นส่วนที่ทำโดยช่างกลึงใน 1 ชั่วโมง ถ้าเป็นตัวเลข ของชิ้นส่วนที่ทำจะแสดงด้วยตัวอักษร y เวลาทำงานคือ x และประสิทธิภาพคือ k จากนั้นเราจะได้ = k หรือ y = khx เช่น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์ที่นำเสนอในปัญหาคือสัดส่วนโดยตรง

ปัญหาสามารถแก้ไขได้ด้วยสองวิธีทางคณิตศาสตร์:

วิธีที่ 1: วิธีที่ 2:

1) 16:8 = 2 (ลูก) 1) 48:16 = 3 (ครั้ง)

2) 48:2 = 24 (ซ) 2) 8-3 = 24 (ซ)

การแก้ปัญหาด้วยวิธีแรก ก่อนอื่นเราพบสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน k ซึ่งเท่ากับ 2 จากนั้นเมื่อรู้ว่า y = 2x เราก็พบค่าของ x โดยมีเงื่อนไขว่า y = 48

เมื่อแก้ไขปัญหาด้วยวิธีที่สอง เราใช้คุณสมบัติของสัดส่วนโดยตรง: หลายครั้งที่จำนวนชิ้นส่วนที่ทำโดยช่างกลึงเพิ่มขึ้น ระยะเวลาในการผลิตก็จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากัน

ให้เราพิจารณาฟังก์ชันที่เรียกว่าสัดส่วนผกผันกันต่อไป

ถ้า t คือเวลาเคลื่อนที่ของคนเดินเท้า (เป็นชั่วโมง) v คือความเร็ว (เป็น กม./ชม.) และเขาเดินเป็นระยะทาง 12 กม. ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตร v∙t = 20 หรือ v =

เนื่องจากแต่ละค่า t (t ≠ 0) สอดคล้องกับค่าความเร็วเดียว v เราจึงสามารถบอกได้ว่ามีการระบุฟังก์ชันโดยใช้สูตร v = เรียกว่าสัดส่วนผกผันและมีการกำหนดไว้ดังนี้

คำนิยาม. สัดส่วนผกผันเป็นฟังก์ชันที่สามารถระบุได้โดยใช้สูตร y = โดยที่ k คือจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์

ชื่อของฟังก์ชันนี้เกิดจากการที่ ย = มีตัวแปร x และ y ซึ่งสามารถเป็นค่าของปริมาณได้ และถ้าผลคูณของสองปริมาณเท่ากับจำนวนบางตัวที่แตกต่างจากศูนย์ ก็จะเรียกว่าสัดส่วนผกผัน ในกรณีของเรา xy = k(k ≠0) จำนวน k นี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน

การทำงาน ย = เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์จริงหลายอย่างที่พิจารณาแล้วในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น หนึ่งในนั้นอธิบายไว้ก่อนคำจำกัดความของสัดส่วนผกผัน อีกตัวอย่างหนึ่ง: หากคุณซื้อแป้ง 12 กิโลกรัมและใส่ไว้ในกระป๋อง l: y กิโลกรัมต่อกระป๋อง ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้สามารถแสดงเป็น x-y = 12 กล่าวคือ มันเป็นสัดส่วนผกผันกับสัมประสิทธิ์ k=12

ให้เรานึกถึงคุณสมบัติบางอย่างของสัดส่วนผกผันที่รู้จักจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

1.โดเมนของนิยามฟังก์ชัน ย = และช่วงของค่า x คือเซตของจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์

2. กราฟของสัดส่วนผกผันคือไฮเปอร์โบลา

3. สำหรับ k > 0 กิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาจะอยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 3 และฟังก์ชัน ย = กำลังลดลงทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความของ x (รูปที่ 8)

ข้าว. 8 รูปที่ 9

ที่เค< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция ย = เพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความของ x (รูปที่ 9)

4. หากฟังก์ชัน f เป็นสัดส่วนผกผันและ (x 1, y 1), (x 2, y 2) เป็นคู่ของค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร x และ y ดังนั้น

อันที่จริงถ้าฟังก์ชัน f เป็นสัดส่วนผกผัน ก็จะสามารถกำหนดได้จากสูตร ย = และจากนั้น - เนื่องจาก x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0 แล้ว

หากค่าของตัวแปร x และ y เป็นจำนวนจริงบวก คุณสมบัติของสัดส่วนผกผันนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้: เมื่อค่าของตัวแปร x เพิ่มขึ้น (ลดลง) หลายครั้ง ค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร y ลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยจำนวนที่เท่ากัน

คุณสมบัตินี้มีอยู่ในสัดส่วนผกผันเท่านั้น และสามารถใช้เมื่อแก้ปัญหาคำโดยพิจารณาปริมาณตามสัดส่วนผกผัน

ปัญหาที่ 2 นักปั่นจักรยานที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 10 กม./ชม. พิชิตระยะทางจาก A ถึง B ได้ภายใน 6 ชั่วโมง หากเขาเดินทางกลับด้วยความเร็ว 20 กม./ชม. นักปั่นจักรยานจะใช้เวลาเท่าไร

สารละลาย. ปัญหาจะพิจารณาปริมาณต่อไปนี้: ความเร็วของนักปั่นจักรยาน เวลาที่เคลื่อนที่และระยะทางจาก A ถึง B ปริมาณสุดท้ายเป็นค่าคงที่ ในขณะที่อีกสองค่าที่เหลือใช้ค่าที่แตกต่างกัน นอกจากนี้ ความเร็วและเวลาในการเคลื่อนที่ยังเป็นปริมาณแปรผกผัน เนื่องจากผลคูณของพวกมันเท่ากับจำนวนที่กำหนด ซึ่งก็คือระยะทางที่เดินทาง หากเวลาการเคลื่อนที่ของนักปั่นแสดงด้วยตัวอักษร y ความเร็วของ x และระยะทาง AB ด้วย k เราจะได้ xy = k หรือ y = นั่นคือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์ที่นำเสนอในปัญหาคือสัดส่วนผกผัน

มีสองวิธีในการแก้ปัญหา:

วิธีที่ 1: วิธีที่ 2:

1) 10-6 = 60 (กม.) 1) 20:10 = 2 (เท่า)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(ซ)

การแก้ปัญหาด้วยวิธีแรก ก่อนอื่นเราพบสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน k ซึ่งเท่ากับ 60 จากนั้นเมื่อรู้ว่า y = เราก็พบค่าของ y โดยมีเงื่อนไขว่า x = 20

เมื่อแก้ไขปัญหาด้วยวิธีที่สอง เราใช้คุณสมบัติของสัดส่วนผกผัน: ความเร็วในการเคลื่อนที่เพิ่มขึ้นกี่เท่า เวลาในการครอบคลุมระยะทางเดียวกันจะลดลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน

โปรดทราบว่าเมื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะด้วยปริมาณที่เป็นสัดส่วนผกผันหรือเป็นสัดส่วนโดยตรง จะมีการกำหนดข้อจำกัดบางประการกับ x และ y โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งเหล่านี้ไม่สามารถพิจารณาได้จากเซตของจำนวนจริงทั้งหมด แต่รวมถึงเซตย่อยด้วย

ปัญหาที่ 3 ลีนาซื้อดินสอ x แท่ง และคัทย่าซื้อเพิ่มอีก 2 เท่า แทนจำนวนดินสอที่คัทย่าซื้อด้วย y แสดง y ด้วย x และสร้างกราฟของการโต้ตอบที่กำหนดโดยมีเงื่อนไขว่า x≤5 การติดต่อนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่? ขอบเขตของคำจำกัดความและช่วงของค่าคืออะไร?

สารละลาย. คัทย่าซื้อ = ดินสอ 2 แท่ง เมื่อสร้างกราฟของฟังก์ชัน y=2x จำเป็นต้องคำนึงว่าตัวแปร x หมายถึงจำนวนดินสอและ x≤5 ซึ่งหมายความว่าสามารถรับได้เฉพาะค่า 0, 1, 2, 3 เท่านั้น , 4, 5 นี่จะเป็นโดเมนสำหรับนิยามของฟังก์ชันนี้ เพื่อให้ได้ช่วงของค่าของฟังก์ชันนี้ คุณต้องคูณค่า x แต่ละค่าจากช่วงคำจำกัดความด้วย 2 นั่นคือ นี่จะเป็นเซต (0, 2, 4, 6, 8, 10) ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y = 2x ที่มีโดเมนคำจำกัดความ (0, 1, 2, 3, 4, 5) จะเป็นเซตของจุดที่แสดงในรูปที่ 10 จุดทั้งหมดเหล่านี้เป็นของเส้นตรง y = 2x .