ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ค่าน้อยที่สุดคือค่าที่น้อยที่สุดในบรรดาค่าทั้งหมด

ฟังก์ชันสามารถมีค่าที่ใหญ่ที่สุดได้เพียงค่าเดียวและค่าน้อยที่สุดเพียงค่าเดียวเท่านั้น หรืออาจไม่มีค่าเลยก็ได้ การค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้:

1) หากในช่วงเวลาหนึ่ง (จำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด) ฟังก์ชัน y=f(x) มีความต่อเนื่องและมีเพียงหนึ่งจุดสุดขั้ว และหากนี่คือค่าสูงสุด (ต่ำสุด) มันจะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน ในช่วงเวลานี้

2) หากฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันในบางเซ็กเมนต์ ก็จำเป็นต้องมีค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์นี้ ถึงค่าเหล่านี้ที่จุดปลายสุดซึ่งอยู่ภายในส่วนหรือที่ขอบเขตของส่วนนี้

หากต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์ ขอแนะนำให้ใช้โครงร่างต่อไปนี้:

1. ค้นหาอนุพันธ์

2. ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันที่มี =0 หรือไม่มีอยู่

3. ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์แล้วเลือกค่า f max ที่ใหญ่ที่สุดและค่า f max ที่เล็กที่สุด

เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้ โดยเฉพาะการปรับให้เหมาะสม ปัญหาในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด (สูงสุดทั่วโลกและต่ำสุดทั่วโลก) ของฟังก์ชันในช่วงเวลา X มีความสำคัญ ในการแก้ปัญหาดังกล่าว ควรทำตามเงื่อนไข เลือกตัวแปรอิสระและแสดงค่าที่กำลังศึกษาผ่านตัวแปรนี้ จากนั้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดที่ต้องการของฟังก์ชันผลลัพธ์ ในกรณีนี้ ช่วงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระซึ่งอาจมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ถูกกำหนดจากเงื่อนไขของปัญหาด้วย

ตัวอย่าง.ถังที่มีรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านบนเปิดและมีก้นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะต้องบรรจุกระป๋องไว้ด้านใน ขนาดของถังควรเป็นเท่าใดหากความจุ 108 ลิตร? น้ำเพื่อให้ต้นทุนในการกักเก็บน้อยที่สุด?

สารละลาย.ค่าใช้จ่ายในการเคลือบถังด้วยดีบุกจะน้อยที่สุดหากพื้นที่ผิวของถังมีน้อยตามความจุที่กำหนด ให้เราแสดงด้วย dm ด้านข้างของฐาน b dm ความสูงของถัง แล้วพื้นที่ S ของพื้นผิวจะเท่ากับ

และ

ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ผิวของอ่างเก็บน้ำ S (ฟังก์ชัน) และด้านข้างของฐาน a (อาร์กิวเมนต์) ให้เราตรวจสอบฟังก์ชัน S สำหรับส่วนปลายสุด ลองหาอนุพันธ์ตัวแรก จัดให้เป็นศูนย์แล้วแก้สมการผลลัพธ์:

ดังนั้น a = 6 (a) > 0 สำหรับ a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

ตัวอย่าง- ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ในช่วงเวลา

สารละลาย: ฟังก์ชันที่กำหนดจะต่อเนื่องตลอดเส้นจำนวนทั้งหมด อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์สำหรับและสำหรับ มาคำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้:

.

ค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลาที่กำหนดจะเท่ากัน ดังนั้น ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันจะเท่ากับ at ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะเท่ากับ at

คำถามทดสอบตัวเอง

1. กำหนดกฎของโลปิตาลสำหรับการเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม ระบุความไม่แน่นอนประเภทต่างๆ ที่กฎของโลปิตาลสามารถใช้เพื่อแก้ไขได้

2. กำหนดสัญญาณของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลง

3. กำหนดค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน

4. กำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว

5. ค่าใดของอาร์กิวเมนต์ (จุดใด) ที่เรียกว่าวิกฤต? จะหาจุดเหล่านี้ได้อย่างไร?

6. อะไรคือสัญญาณที่เพียงพอของการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว? เขียนโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันที่จุดสุดขั้วโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1

7. สรุปโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันที่จุดสุดขีดโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง

8. กำหนดความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง

9. จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟของฟังก์ชันเรียกว่าอะไร? ระบุวิธีการหาจุดเหล่านี้

10. กำหนดสัญญาณที่จำเป็นและเพียงพอของความนูนและความเว้าของเส้นโค้งบนส่วนที่กำหนด

11. กำหนดเส้นกำกับของเส้นโค้ง จะค้นหาเส้นกำกับแนวตั้ง แนวนอน และแนวเฉียงของกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร

12. สรุปโครงร่างทั่วไปสำหรับศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟ

13. กำหนดกฎสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

คำชี้แจงปัญหา 2:

ด้วยฟังก์ชันที่กำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง คุณต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้

รากฐานทางทฤษฎี
ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบท Weierstrass ที่สอง):

หากมีการกำหนดฟังก์ชันและต่อเนื่องในช่วงเวลาปิด ฟังก์ชันนั้นจะถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดในช่วงเวลานี้

ฟังก์ชันสามารถเข้าถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดได้ทั้งที่จุดภายในของช่วงเวลาหรือที่ขอบเขต เรามาอธิบายตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดกัน

คำอธิบาย:
1) ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดบนขอบเขตด้านซ้ายของช่วงเวลาที่จุด และค่าต่ำสุดบนขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลาที่จุด
2) ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดที่จุด (นี่คือจุดสูงสุด) และค่าต่ำสุดที่ขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลาที่จุดนั้น
3) ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดบนขอบเขตด้านซ้ายของช่วงเวลาที่จุดที่ และค่าต่ำสุดที่จุด (นี่คือจุดต่ำสุด)
4) ฟังก์ชันจะคงที่ตามช่วงเวลา เช่น ถึงค่าต่ำสุดและสูงสุด ณ จุดใด ๆ ในช่วงเวลาและค่าต่ำสุดและสูงสุดจะเท่ากัน
5) ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดที่จุด และค่าต่ำสุดที่จุด (แม้ว่าฟังก์ชันจะมีทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดในช่วงเวลานี้ก็ตาม)
6) ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดที่จุดหนึ่ง (นี่คือจุดสูงสุด) และค่าต่ำสุดที่จุดหนึ่ง (นี่คือจุดต่ำสุด)
ความคิดเห็น:

“สูงสุด” และ “มูลค่าสูงสุด” เป็นสิ่งที่แตกต่างกัน สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของค่าสูงสุดและความเข้าใจตามสัญชาตญาณของวลี "ค่าสูงสุด"

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา 2



4) เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) จากค่าที่ได้รับและจดคำตอบ

ตัวอย่างที่ 4:

กำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน
สารละลาย:
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

2) ค้นหาจุดที่นิ่ง (และจุดที่สงสัยว่าสุดขั้ว) โดยการแก้สมการ ให้ความสนใจกับจุดที่ไม่มีอนุพันธ์จำกัดสองด้าน

3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดคงที่และที่ขอบเขตของช่วงเวลา

4) เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) จากค่าที่ได้รับและจดคำตอบ

ฟังก์ชันในส่วนนี้ถึงค่าสูงสุด ณ จุดที่มีพิกัด

ฟังก์ชันในส่วนนี้ถึงค่าต่ำสุดที่จุดที่มีพิกัด

คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณได้โดยดูที่กราฟของฟังก์ชันที่กำลังศึกษาอยู่


ความคิดเห็น:ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดที่จุดสูงสุด และค่าต่ำสุดที่ขอบเขตของเซ็กเมนต์

เป็นกรณีพิเศษ

สมมติว่าคุณจำเป็นต้องค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันบางอย่างบนเซ็กเมนต์ หลังจากเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมแล้วนั่นคือ เมื่อคำนวณอนุพันธ์จะเห็นได้ชัดว่าใช้เฉพาะค่าลบตลอดช่วงเวลาที่พิจารณา จำไว้ว่าถ้าอนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันก็จะลดลง เราพบว่าฟังก์ชันลดลงทั่วทั้งเซ็กเมนต์ สถานการณ์นี้แสดงอยู่ในกราฟหมายเลข 1 ในตอนต้นของบทความ

ฟังก์ชันจะลดลงในส่วนดังกล่าว เช่น มันไม่มีจุดสุดโต่ง จากภาพ คุณจะเห็นว่าฟังก์ชันจะใช้ค่าที่น้อยที่สุดบนขอบเขตด้านขวาของเซ็กเมนต์ และค่าที่ใหญ่ที่สุดทางด้านซ้าย ถ้าอนุพันธ์ของเซ็กเมนต์เป็นบวกทุกจุด ฟังก์ชันก็จะเพิ่มขึ้น ค่าที่น้อยที่สุดจะอยู่ที่ขอบด้านซ้ายของส่วน ค่าที่ใหญ่ที่สุดจะอยู่ทางด้านขวา

บ่อยครั้งในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ จำเป็นต้องค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน ตอนนี้เราจะบอกวิธีการทำเช่นนี้

วิธีค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน: คำแนะนำ

1. ในการคำนวณค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วนที่กำหนด คุณต้องปฏิบัติตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:
2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
3. ค้นหาจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์รวมถึงจุดวิกฤตทั้งหมดในส่วนที่กำหนด จากนั้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ นั่นคือ แก้สมการโดยที่ x เท่ากับศูนย์ ค้นหาว่าค่าใดมีค่าน้อยที่สุด
4. ระบุว่าฟังก์ชันมีค่าใดที่จุดสิ้นสุด กำหนดค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้
5. เปรียบเทียบข้อมูลที่ได้รับกับค่าต่ำสุด จำนวนผลลัพธ์ที่น้อยกว่าจะเป็นค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน

โปรดทราบว่าหากฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ไม่มีจุดที่เล็กที่สุด นั่นหมายความว่ามันกำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลงในส่วนนี้ ดังนั้น ควรคำนวณค่าที่น้อยที่สุดบนเซกเมนต์จำกัดของฟังก์ชัน

ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด ค่าของฟังก์ชันจะคำนวณตามอัลกอริทึมที่ระบุ ในแต่ละจุดของอัลกอริทึม คุณจะต้องแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่ายด้วยรากเดียว แก้สมการโดยใช้รูปภาพเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด

จะหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซกเมนต์ที่เปิดเพียงครึ่งเดียวได้อย่างไร? ในช่วงครึ่งเปิดหรือเปิดของฟังก์ชัน ควรหาค่าที่น้อยที่สุดดังนี้ ที่จุดสิ้นสุดของค่าฟังก์ชัน ให้คำนวณขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้แก้สมการโดยให้ค่าแนวโน้มเป็นค่า a+0 และ b+0 โดยที่ a และ b เป็นชื่อของจุดวิกฤต

ตอนนี้คุณรู้วิธีหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันแล้ว สิ่งสำคัญคือการคำนวณทั้งหมดอย่างถูกต้องแม่นยำและไม่มีข้อผิดพลาด

ให้ฟังก์ชัน ย =ฉ(เอ็กซ์)มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข- ดังที่ทราบกันว่าฟังก์ชันดังกล่าวถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดในส่วนนี้ ฟังก์ชันสามารถรับค่าเหล่านี้ได้ที่จุดภายในของเซ็กเมนต์ [ ก, ข] หรือบนขอบเขตของเซ็กเมนต์

เพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [ ก, ข] จำเป็น:

1) ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันในช่วงเวลา ( ก, ข);

2) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติที่พบ

3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์นั่นคือเมื่อใด x=กและ x = ข;

4) จากค่าที่คำนวณได้ทั้งหมดของฟังก์ชัน ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

ตัวอย่าง.ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน

บนส่วน

ค้นหาจุดวิกฤติ:

จุดเหล่านี้อยู่ภายในส่วนนั้น ย(1) = ‒ 3; ย(2) = ‒ 4; ย(0) = ‒ 8; ย(3) = 1;

ตรงจุด x= 3 และตรงจุด x= 0.

ศึกษาฟังก์ชันของจุดนูนและจุดเปลี่ยนเว้า

การทำงาน ย = ฉ (x) เรียกว่า นูนขึ้นในระหว่างนั้น (ก, ข) ถ้ากราฟของมันอยู่ใต้แทนเจนต์ที่วาด ณ จุดใด ๆ ในช่วงเวลานี้ และถูกเรียก นูนลง (เว้า)ถ้ากราฟอยู่เหนือแทนเจนต์

จุดที่ความนูนถูกแทนที่ด้วยความเว้าหรือในทางกลับกันเรียกว่า จุดเปลี่ยน.

อัลกอริทึมสำหรับตรวจสอบความนูนและจุดเปลี่ยนเว้า:

1. ค้นหาจุดวิกฤตประเภทที่สอง นั่นคือจุดที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่

2. เขียนจุดวิกฤตบนเส้นจำนวนโดยแบ่งเป็นช่วงๆ ค้นหาเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองในแต่ละช่วง ถ้า แสดงว่าฟังก์ชันนูนขึ้น ถ้า ฟังก์ชันจะนูนลง

3. หากเมื่อผ่านจุดวิกฤตประเภทที่สอง เครื่องหมายเปลี่ยนไป และ ณ จุดนี้อนุพันธ์อันดับสองเท่ากับศูนย์ แล้วจุดนี้ก็คือจุดขาดของจุดเปลี่ยนเว้า ค้นหาพิกัดของมัน

เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน การศึกษาฟังก์ชันสำหรับเส้นกำกับ

คำนิยาม.เรียกว่าเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน ตรงซึ่งมีคุณสมบัติว่าระยะห่างจากจุดใดๆ บนกราฟถึงเส้นนี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์เนื่องจากจุดบนกราฟเคลื่อนที่จากจุดกำเนิดอย่างไม่มีกำหนด

เส้นกำกับมีสามประเภท: แนวตั้ง แนวนอน และเอียง

คำนิยาม.เส้นตรงเรียกว่า เส้นกำกับแนวตั้งกราฟิกฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ถ้าขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน ณ จุดนี้อย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับอนันต์ นั่นก็คือ

จุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันอยู่ที่ไหน นั่นคือ ไม่ได้อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ

ตัวอย่าง.

ด ( ย) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – จุดพัก

คำนิยาม.ตรง ย =กเรียกว่า เส้นกำกับแนวนอนกราฟิกฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ที่ ถ้า

ตัวอย่าง.

x
ย

คำนิยาม.ตรง ย =เคx +ข (เค≠ 0) ถูกเรียก เส้นกำกับเฉียงกราฟิกฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)ที่ ที่ไหน

รูปแบบทั่วไปสำหรับศึกษาฟังก์ชันและการสร้างกราฟ

อัลกอริธึมการวิจัยฟังก์ชันย = ฉ(x) :

1. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน ดี (ย).

2. ค้นหา (ถ้าเป็นไปได้) จุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัด (ถ้า x= 0 และที่ ย = 0).

3. ตรวจสอบความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชัน ( ย (‒ x) = ย (x) ‒ ความเท่าเทียมกัน; ย(‒ x) = ‒ ย (x) ‒ แปลก).

4. ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

5. ค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

6. ค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน

7. ค้นหาช่วงเวลาของความนูน (เว้า) และจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน

8. จากการวิจัยที่ดำเนินการ สร้างกราฟของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง.สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

1) ดี (ย) =

x= 4 – จุดพัก

2) เมื่อใด x = 0,

(0; ‒ 5) – จุดตัดกับ โอ้.

ที่ ย = 0,

3) ย(‒ x)= ฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นคู่หรือคี่)

4) เราตรวจสอบเส้นกำกับ

ก) แนวตั้ง

ข) แนวนอน

c) ค้นหาเส้นกำกับเฉียงที่ไหน

– สมการเส้นกำกับเฉียง

5) ในสมการนี้ ไม่จำเป็นต้องค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

6)

จุดวิกฤตเหล่านี้แบ่งโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นระยะ (ดรีม∞; ฟอน2), (ฟอน2; 4), (4; 10) และ (10; +∞) สะดวกในการนำเสนอผลที่ได้ตามตารางต่อไปนี้