อนุพันธ์ของรากที่สอง อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (กำลังและราก)
ซึ่งเราได้ตรวจสอบอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดและทำความคุ้นเคยกับกฎของการสร้างความแตกต่างและเทคนิคทางเทคนิคบางประการในการค้นหาอนุพันธ์ ดังนั้นหากคุณไม่เก่งเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือบางจุดในบทความนี้ยังไม่ชัดเจน ให้อ่านบทเรียนข้างต้นก่อน โปรดใช้อารมณ์จริงจัง - เนื้อหาไม่เรียบง่าย แต่ฉันจะพยายามนำเสนออย่างเรียบง่ายและชัดเจนต่อไป
ในทางปฏิบัติ คุณต้องจัดการกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนบ่อยครั้งมาก หรือเกือบทุกครั้ง เมื่อคุณได้รับมอบหมายงานให้ค้นหาอนุพันธ์
เราดูตารางตามกฎ (หมายเลข 5) เพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
ลองคิดดูสิ ก่อนอื่นมาใส่ใจกับรายการกันก่อน ที่นี่เรามีสองฟังก์ชัน - และ และฟังก์ชันที่พูดเป็นรูปเป็นร่างซ้อนอยู่ภายในฟังก์ชัน ฟังก์ชันประเภทนี้ (เมื่อฟังก์ชันหนึ่งซ้อนอยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง) เรียกว่าฟังก์ชันเชิงซ้อน
ฉันจะเรียกใช้ฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นภายนอกและฟังก์ชัน – ฟังก์ชั่นภายใน (หรือซ้อนกัน).
- คำจำกัดความเหล่านี้ไม่ใช่ทฤษฎีและไม่ควรปรากฏในการออกแบบงานขั้นสุดท้าย ฉันใช้สำนวนที่ไม่เป็นทางการ "ฟังก์ชันภายนอก", "ฟังก์ชันภายใน" เท่านั้นเพื่อให้คุณเข้าใจเนื้อหาได้ง่ายขึ้น
เพื่อชี้แจงสถานการณ์ ให้พิจารณา:
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ภายใต้ไซน์เราไม่ได้มีเพียงตัวอักษร "X" เท่านั้น แต่ยังมีนิพจน์ทั้งหมดด้วย ดังนั้นการค้นหาอนุพันธ์ทันทีจากตารางจะไม่ได้ผล นอกจากนี้เรายังสังเกตเห็นว่าที่นี่เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้กฎสี่ข้อแรก ดูเหมือนว่าจะมีความแตกต่าง แต่ความจริงก็คือไซน์ไม่สามารถ "ฉีกเป็นชิ้น ๆ":
ในตัวอย่างนี้ คำอธิบายของฉันชัดเจนอยู่แล้วว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน และพหุนามเป็นฟังก์ชันภายใน (การฝัง) และฟังก์ชันภายนอก
ขั้นตอนแรกสิ่งที่คุณต้องทำเมื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนก็คือ ทำความเข้าใจว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายในและฟังก์ชันใดเป็นภายนอก.
ในกรณีของตัวอย่างง่ายๆ ดูเหมือนว่าพหุนามจะฝังอยู่ใต้ไซน์อย่างชัดเจน แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าทุกอย่างไม่ชัดเจน? จะทราบได้อย่างไรว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายใน ในการทำเช่นนี้ฉันขอแนะนำให้ใช้เทคนิคต่อไปนี้ซึ่งสามารถทำได้ทั้งทางจิตใจหรือแบบร่าง
สมมติว่าเราจำเป็นต้องใช้เครื่องคิดเลขเพื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่ (แทนที่จะเป็นตัวเลขใดๆ ก็สามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้)
เราจะคำนวณอะไรก่อน? ก่อนอื่นเลยคุณจะต้องดำเนินการต่อไปนี้: ดังนั้นพหุนามจะเป็นฟังก์ชันภายใน:
ประการที่สองจะต้องค้นหา ดังนั้น ไซน์ – จะเป็นฟังก์ชันภายนอก:
หลังจากที่เรา ขายหมดแล้วด้วยฟังก์ชันภายในและภายนอก ถึงเวลาที่จะใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน .
มาเริ่มตัดสินใจกันเลย จากบทเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?เราจำได้ว่าการออกแบบวิธีแก้ปัญหาสำหรับอนุพันธ์ใด ๆ มักจะเริ่มต้นเช่นนี้ - เราใส่นิพจน์ในวงเล็บแล้วใส่เส้นขีดที่มุมขวาบน:
ตอนแรกเราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (ไซน์) ดูที่ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานแล้วสังเกตว่า . สูตรตารางทั้งหมดยังสามารถใช้ได้หากแทนที่ "x" ด้วยนิพจน์ที่ซับซ้อนในกรณีนี้:
โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นภายใน ไม่เปลี่ยนแปลงเราไม่แตะต้องมัน.
มันค่อนข้างชัดเจนว่า
ผลลัพธ์ของการใช้สูตร ในรูปแบบสุดท้ายมีลักษณะดังนี้:
โดยปกติปัจจัยคงที่จะถูกวางไว้ที่จุดเริ่มต้นของนิพจน์:
หากมีความเข้าใจผิดให้เขียนวิธีแก้ปัญหาลงในกระดาษแล้วอ่านคำอธิบายอีกครั้ง
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
และเช่นเคย เราเขียนไว้ว่า:
ลองหาดูว่าเรามีฟังก์ชันภายนอกอยู่ที่ไหน และเรามีฟังก์ชันภายในอยู่ที่ไหน ในการทำเช่นนี้ เราพยายาม (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่ คุณควรทำอะไรก่อน? ก่อนอื่น คุณต้องคำนวณว่าฐานเท่ากับเท่าใด ดังนั้น พหุนามจึงเป็นฟังก์ชันภายใน:
และเมื่อถึงเวลานั้นเท่านั้นที่จะดำเนินการยกกำลัง ดังนั้น ฟังก์ชันยกกำลังจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก:
ตามสูตรครับ ก่อนอื่นคุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ในกรณีนี้คือดีกรี เราค้นหาสูตรที่ต้องการในตาราง: . เราทำซ้ำอีกครั้ง: สูตรตารางใด ๆ ใช้ได้ไม่เพียง แต่สำหรับ "X" เท่านั้น แต่ยังรวมถึงนิพจน์ที่ซับซ้อนด้วย- ดังนั้นผลลัพธ์ของการใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ต่อไป:
ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อเราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ฟังก์ชันภายในของเราจะไม่เปลี่ยนแปลง:
ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาอนุพันธ์ที่เรียบง่ายของฟังก์ชันภายในและปรับแต่งผลลัพธ์เล็กน้อย:
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)
เพื่อรวบรวมความเข้าใจของคุณเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ฉันจะยกตัวอย่างโดยไม่มีความคิดเห็น พยายามคิดออกด้วยตัวเอง เหตุผลที่ฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันภายในอยู่ที่ไหน เหตุใดงานจึงถูกแก้ไขด้วยวิธีนี้
ตัวอย่างที่ 5
ก) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
b) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ที่นี่เรามีราก และเพื่อที่จะแยกแยะรากนั้น จะต้องแสดงเป็นพลัง ดังนั้นก่อนอื่นเราจึงนำฟังก์ชันมาอยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการสร้างความแตกต่าง:
จากการวิเคราะห์ฟังก์ชัน เราได้ข้อสรุปว่าผลรวมของพจน์ทั้งสามเป็นฟังก์ชันภายใน และการยกกำลังเป็นฟังก์ชันภายนอก เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :
เราแสดงดีกรีเป็นราก (รูท) อีกครั้ง และสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน เราใช้กฎง่ายๆ ในการหาความแตกต่างของผลรวม:
พร้อม. คุณยังสามารถลดนิพจน์ให้เหลือตัวส่วนร่วมในวงเล็บและเขียนทุกอย่างเป็นเศษส่วนได้ สวยงามแน่นอน แต่เมื่อได้อนุพันธ์ระยะยาวที่ยุ่งยากก็อย่าทำแบบนี้ดีกว่า (สับสนง่าย ทำผิดโดยไม่จำเป็น และครูจะตรวจสอบไม่สะดวก)
ตัวอย่างที่ 7
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)
เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าบางครั้งแทนที่จะใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน คุณสามารถใช้กฎในการหาอนุพันธ์ผลหาร แต่วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะดูเหมือนเป็นการบิดเบือนที่ผิดปกติ นี่คือตัวอย่างทั่วไป:
ตัวอย่างที่ 8
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ที่นี่คุณสามารถใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารได้ แต่จะทำกำไรได้มากกว่ามากในการค้นหาอนุพันธ์ผ่านกฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
เราเตรียมฟังก์ชันสำหรับการสร้างความแตกต่าง - เราย้ายเครื่องหมายลบออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์และเพิ่มโคไซน์เป็นตัวเศษ:
โคไซน์เป็นฟังก์ชันภายใน การยกกำลังเป็นฟังก์ชันภายนอก
ลองใช้กฎของเรา :
เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและรีเซ็ตโคไซน์กลับลงมา:
พร้อม. ในตัวอย่างที่พิจารณา สิ่งสำคัญคือต้องไม่สับสนกับสัญญาณต่างๆ ยังไงก็ลองแก้โดยใช้กฎดูครับ คำตอบจะต้องตรงกัน
ตัวอย่างที่ 9
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)
จนถึงตอนนี้เราได้ดูกรณีที่เรามีรังเพียงอันเดียวในฟังก์ชันที่ซับซ้อน ในงานภาคปฏิบัติ คุณมักจะพบอนุพันธ์ โดยที่เหมือนกับตุ๊กตาทำรัง มีอันหนึ่งอยู่ในอีกอันหนึ่ง มีฟังก์ชัน 3 หรือ 4-5 รายการที่ซ้อนกันในคราวเดียว
ตัวอย่างที่ 10
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
มาทำความเข้าใจกับไฟล์แนบของฟังก์ชันนี้กันดีกว่า เรามาลองคำนวณนิพจน์โดยใช้ค่าทดลองกัน เราจะนับเครื่องคิดเลขได้อย่างไร?
ก่อนอื่นคุณต้องค้นหา ซึ่งหมายความว่าอาร์คไซน์เป็นการฝังที่ลึกที่สุด:
อาร์คไซน์ของอันนี้ควรถูกยกกำลังสอง:
และในที่สุด เราก็ยกกำลังเจ็ดขึ้นมา:
นั่นคือในตัวอย่างนี้ เรามีฟังก์ชันที่แตกต่างกันสามฟังก์ชันและการฝังสองฟังก์ชัน ในขณะที่ฟังก์ชันด้านในสุดคืออาร์คไซน์ และฟังก์ชันด้านนอกสุดคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
มาเริ่มตัดสินใจกันเลย
ตามกฎแล้ว ก่อนอื่น คุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกก่อน เราดูตารางอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือแทนที่จะเป็น "x" เรามีนิพจน์ที่ซับซ้อนซึ่งไม่ได้ลบล้างความถูกต้องของสูตรนี้ ดังนั้น ผลลัพธ์ของการใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ต่อไป.
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (x ยกกำลังของ a) พิจารณาอนุพันธ์จากรากของ x สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังลำดับที่สูงกว่า ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์
อนุพันธ์ของ x กำลังของ a เท่ากับ a คูณ x กำลังของลบ 1:
(1)
.
อนุพันธ์ของรากที่ n ของ x ยกกำลัง m คือ:
(2)
.
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง
กรณี x > 0
พิจารณาฟังก์ชันยกกำลังของตัวแปร x พร้อมเลขชี้กำลัง a:
(3)
.
โดยที่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม เรามาพิจารณากรณีนี้กันก่อน
ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังและแปลงเป็นรูปแบบต่อไปนี้:
.
ตอนนี้เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้:
;
.
ที่นี่ .
สูตร (1) ได้รับการพิสูจน์แล้ว
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของรากของดีกรี n ของ x ถึงดีกรีของ m
ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันที่เป็นรากของแบบฟอร์มต่อไปนี้:
(4)
.
ในการค้นหาอนุพันธ์ เราจะแปลงรากให้เป็นฟังก์ชันกำลัง:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสูตร (3) เราจะเห็นว่า
.
แล้ว
.
ใช้สูตร (1) เราค้นหาอนุพันธ์:
(1)
;
;
(2)
.
ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องจำสูตร (2) จะสะดวกกว่ามากในการแปลงรากเป็นฟังก์ชันกำลังก่อนแล้วจึงค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร (1) (ดูตัวอย่างท้ายหน้า)
กรณี x = 0
ถ้า แล้วฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดไว้สำหรับค่าของตัวแปร x = 0
- ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (3) ที่ x = 0
- ในการทำเช่นนี้ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์:
.
แทน x = ได้เลย 0
:
.
ในกรณีนี้ โดยอนุพันธ์ เราหมายถึงขีดจำกัดทางขวาซึ่ง
ดังนั้นเราจึงพบว่า:
.
จากนี้จะเห็นชัดเจนว่า สำหรับ , .
ที่ , .
ที่ , .
ผลลัพธ์นี้ได้มาจากสูตร (1):
(1)
.
ดังนั้น สูตร (1) จึงใช้ได้กับ x = เช่นกัน 0
.
กรณีx< 0
พิจารณาฟังก์ชัน (3) อีกครั้ง:
(3)
.
สำหรับค่าบางค่าของค่าคงที่ a จะมีการกำหนดค่าสำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย
,
กล่าวคือ ให้ a เป็นจำนวนตรรกยะ จากนั้นจึงสามารถแสดงเป็นเศษส่วนลดไม่ได้:
โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วม 3
ถ้า n เป็นเลขคี่แสดงว่าฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดสำหรับค่าลบของตัวแปร x ด้วย 1
เช่น เมื่อ n =
.
และ ม. =
ให้เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง (3) สำหรับและสำหรับค่าตรรกยะของค่าคงที่ a ที่กำหนดไว้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองจินตนาการถึง x ในรูปแบบต่อไปนี้:
.
แล้ว ,
.
เราค้นหาอนุพันธ์โดยวางค่าคงที่ไว้นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ และใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ที่นี่ . แต่
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
.
แล้ว
.
นั่นคือสูตร (1) ใช้ได้กับ:
(1)
.
อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น
ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของฟังก์ชันกำลังดู
(3)
.
เราได้พบอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งแล้ว:
.
เมื่อหาค่าคงที่ที่อยู่นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์ เราจะพบอนุพันธ์อันดับสอง:
.
ในทำนองเดียวกัน เราพบอนุพันธ์ของลำดับที่สามและสี่:
;
.
จากนี้ก็ชัดเจนว่า อนุพันธ์ของลำดับที่ n โดยพลการมีแบบฟอร์มดังนี้
.
โปรดทราบว่า ถ้า a เป็นจำนวนธรรมชาติดังนั้นอนุพันธ์อันดับที่ n จะเป็นค่าคงที่:
.
จากนั้นอนุพันธ์ที่ตามมาทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์:
,
ที่ .
ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์
ตัวอย่าง
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.
สารละลาย
มาแปลงรากเป็นพลังกัน:
;
.
จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:
.
การค้นหาอนุพันธ์ของพลัง:
;
.
อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์:
.
การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่าอนุพันธ์
อันเป็นผลมาจากการแก้ปัญหาการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายนัก) ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์เนื่องจากข้อจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ตารางอนุพันธ์และกฎการสร้างความแตกต่างที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำจึงปรากฏขึ้น คนแรกที่ทำงานในด้านการค้นหาอนุพันธ์คือ Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
ดังนั้นในยุคของเราในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ดังกล่าวข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่คุณเพียงต้องใช้ตารางของ อนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริธึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการค้นหาอนุพันธ์
เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องมีนิพจน์ใต้เครื่องหมายเฉพาะ แบ่งฟังก์ชันง่ายๆ ออกเป็นส่วนประกอบต่างๆและกำหนดการกระทำใด (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน ต่อไปเราจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานในตารางอนุพันธ์และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ผลรวมและผลหาร - ในกฎการหาความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างจะได้รับหลังจากสองตัวอย่างแรก
ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย. จากกฎการหาความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เช่น
จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "X" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหา:
ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย. เราแยกความแตกต่างเป็นอนุพันธ์ของผลรวมโดยที่เทอมที่สองมีปัจจัยคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้:
หากยังคงมีคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับที่มาของบางสิ่ง คำถามเหล่านั้นมักจะถูกกระจ่างหลังจากทำความคุ้นเคยกับตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เรากำลังดำเนินการไปหาพวกเขาในขณะนี้
ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย
1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) ตัวเลขใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ฟังก์ชัน เท่ากับศูนย์เสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้เนื่องจากต้องใช้บ่อยมาก | |
2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "X" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจดจำเป็นเวลานาน | |
3. อนุพันธ์ของปริญญา เมื่อแก้ไขปัญหา คุณต้องแปลงรากที่ไม่ใช่กำลังสองให้เป็นกำลัง | |
4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1 | |
5. อนุพันธ์ของรากที่สอง | |
6. อนุพันธ์ของไซน์ | |
7. อนุพันธ์ของโคไซน์ | |
8. อนุพันธ์ของแทนเจนต์ | |
9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์ | |
10. อนุพันธ์ของอาร์คไซน์ | |
11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์ | |
12. อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์ | |
13. อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์ | |
14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ | |
15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม | |
16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง | |
17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง |
กฎของความแตกต่าง
1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือผลต่าง | |
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ | |
2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่ | |
3. อนุพันธ์ของผลหาร | |
4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน |
กฎข้อที่ 1ถ้าฟังก์ชั่น
สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน
และ
เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้
ผลที่ตามมา หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันต่างกันด้วยเทอมคงที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองจะเท่ากัน, เช่น.
กฎข้อที่ 2ถ้าฟังก์ชั่น
สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง แล้วผลิตภัณฑ์ของเขาก็หาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน
และ
เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้กับอนุพันธ์ของอีกฟังก์ชันหนึ่ง
ข้อพิสูจน์ 1. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:
ข้อพิสูจน์ 2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์หลายตัวจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัยและอื่นๆ ทั้งหมด
ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:
กฎข้อที่ 3ถ้าฟังก์ชั่น
แยกแยะได้ในบางจุด และ , เมื่อถึงจุดนี้ความฉลาดของพวกมันก็สามารถหาอนุพันธ์ได้เช่นกันคุณ/v และ
เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วน โดยตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของ อดีตตัวเศษ
จะค้นหาสิ่งต่าง ๆ ในหน้าอื่นได้ที่ไหน
เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในคราวเดียวเสมอ ดังนั้นจึงมีตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารของฟังก์ชัน " .
ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนระหว่างค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) ในรูปของผลรวมและตัวประกอบคงที่! ในกรณีของเทอม อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์ของเทอมนั้นจะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไปที่เกิดขึ้นในระยะเริ่มต้นของการศึกษาอนุพันธ์ แต่เมื่อนักเรียนทั่วไปแก้ตัวอย่างที่มีหนึ่งและสองส่วน เขาจะไม่ทำผิดพลาดอีกต่อไป
และถ้าเมื่อคุณแยกแยะผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีคำศัพท์ คุณ"โวลต์ซึ่งในนั้น คุณ- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นพจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (ในกรณีนี้จะกล่าวถึงในตัวอย่างที่ 10)
ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยกลไกให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงเดียว นั่นเป็นเหตุผล อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมีการอุทิศบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่ายๆ ก่อน
ระหว่างทาง คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่เปลี่ยนการแสดงออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือในหน้าต่างใหม่ การกระทำที่มีพลังและรากและ การดำเนินการกับเศษส่วน.
หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ของเศษส่วนที่มีกำลังและราก นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะเช่นนี้ แล้วตามไปเรียน" อนุพันธ์ของผลรวมของเศษส่วนด้วยกำลังและราก ".
หากคุณมีงานเช่น แล้วคุณก็จะได้บทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย"
ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีค้นหาอนุพันธ์
ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย. เรากำหนดส่วนของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และตัวประกอบของมันคือผลรวม ในวินาทีที่คำศัพท์ตัวใดตัวหนึ่งมีค่าคงที่ เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลคูณ: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:
ต่อไป เราใช้กฎการหาผลรวมเชิงอนุพันธ์: อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองจะมีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวมเราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์เท่ากับ 1 และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "X" จะกลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 จะกลายเป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" คูณด้วย 2 ดังนั้นเราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:
เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหา:
ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย. เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการหาความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับเศษส่วน ซึ่งตัวเศษคือความแตกต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของ ตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:
เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นตัวประกอบตัวที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบันนั้นมีเครื่องหมายลบ:
หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งมีรากและกำลังมากมายอย่างต่อเนื่อง เช่น แล้วยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนด้วยกำลังและราก”.
หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะดังนี้ แล้วบทเรียนสำหรับคุณ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย".
ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ เมื่อใช้กฎในการแยกความแตกต่างผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สองเราได้รับ:
ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหารซึ่งเงินปันผลคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ เมื่อใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหารซึ่งเราทำซ้ำและนำไปใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้:
หากต้องการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วย