เส้นสมมาตรคืออะไร. ความสมมาตรกลายเป็นแนวคิดเรื่องความงามได้อย่างไร
ความสมมาตรอาจเป็นค่าที่แน่นอนหรือค่าประมาณก็ได้
ความสมมาตรในเรขาคณิต
สมมาตรทางเรขาคณิตเป็นรูปแบบสมมาตรที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับคนจำนวนมาก กล่าวกันว่าวัตถุทางเรขาคณิตมีความสมมาตร หากหลังจากที่ได้รับการแปลงทางเรขาคณิตแล้ว วัตถุนั้นยังคงรักษาคุณสมบัติดั้งเดิมบางประการเอาไว้ เช่น วงกลมที่หมุนรอบจุดศูนย์กลางจะมีรูปร่างและขนาดเท่ากับวงกลมเดิม ดังนั้นวงกลมจึงเรียกว่าสมมาตรโดยสัมพันธ์กับการหมุน (มีสมมาตรตามแนวแกน) ประเภทของความสมมาตรที่เป็นไปได้สำหรับวัตถุทางเรขาคณิตนั้นขึ้นอยู่กับชุดของการแปลงทางเรขาคณิตที่มีอยู่ และคุณสมบัติของวัตถุนั้นจะต้องไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากการแปลง
ประเภทของความสมมาตรทางเรขาคณิต:
ความสมมาตรของกระจก
ในวิชาฟิสิกส์ เรียกว่าค่าคงที่ภายใต้กลุ่มของการหมุน ไอโซโทรปีของอวกาศ(ทุกทิศทางในอวกาศเท่ากัน) และแสดงออกมาในรูปแบบค่าคงที่ของกฎฟิสิกส์ โดยเฉพาะสมการการเคลื่อนที่ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน ทฤษฎีบทของ Noether เชื่อมโยงค่าคงที่นี้กับการมีอยู่ของปริมาณอนุรักษ์ (อินทิกรัลของการเคลื่อนที่) - โมเมนตัมเชิงมุม
สมมาตรเกี่ยวกับจุด
สมมาตรแบบเลื่อน
ความสมมาตรในวิชาฟิสิกส์
| สมมาตรในวิชาฟิสิกส์ | ||
|---|---|---|
| การแปลง | ที่สอดคล้องกัน ค่าคงที่ |
ที่สอดคล้องกัน กฎ การอนุรักษ์ |
| ↕ ออกอากาศเวลา | ความสม่ำเสมอ เวลา |
...พลังงาน |
| ⊠ , , และ -สมมาตร | ไอโซโทรปี เวลา |
...ความสม่ำเสมอ |
| ↔ พื้นที่ออกอากาศ | ความสม่ำเสมอ ช่องว่าง |
...แรงกระตุ้น |
| ↺ การหมุนของพื้นที่ | ไอโซโทรปี ช่องว่าง |
...ในขณะนั้น แรงกระตุ้น |
| ⇆ กลุ่ม Lorentz (บูสต์) | ทฤษฎีสัมพัทธภาพ ความแปรปรวนร่วมของลอเรนซ์ |
...การเคลื่อนไหว ศูนย์กลางของมวล |
| ~ การเปลี่ยนแปลงเกจ | ค่าคงที่ของเกจ | ...ค่าใช้จ่าย |
ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี พฤติกรรมของระบบกายภาพอธิบายได้ด้วยสมการบางประการ หากสมการเหล่านี้มีความสมมาตร ก็มักจะเป็นไปได้ที่จะทำให้คำตอบง่ายขึ้นโดยการค้นหา ปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ (อินทิกรัลของการเคลื่อนไหว- ดังนั้นในกลศาสตร์คลาสสิกอยู่แล้ว ทฤษฎีบทของ Noether จึงถูกสร้างขึ้น ซึ่งเชื่อมโยงปริมาณอนุรักษ์กับสมมาตรต่อเนื่องแต่ละประเภท ตัวอย่างเช่นตามมาว่าความแปรปรวนของสมการการเคลื่อนที่ของร่างกายเมื่อเวลาผ่านไปนำไปสู่กฎการอนุรักษ์พลังงาน ความคงที่ในส่วนที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในอวกาศ - ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ค่าคงที่ภายใต้การหมุน - ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
สมมาตรยิ่งยวด
การถ่ายโอนในอวกาศ-เวลาสี่มิติแบบแบนไม่เปลี่ยนแปลงกฎทางกายภาพ ในทฤษฎีภาคสนาม สมมาตรเชิงการแปลตามทฤษฎีบทของ Noether สอดคล้องกับการอนุรักษ์เทนเซอร์โมเมนตัมพลังงาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแปลเชิงเวลาล้วนๆ สอดคล้องกับกฎการอนุรักษ์พลังงาน และการเปลี่ยนแปลงเชิงพื้นที่ล้วนๆ สอดคล้องกับกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม
ความสมมาตรทางชีววิทยา
สมมาตรทางชีววิทยา- นี่คือการจัดเรียงปกติของส่วนต่างๆ ของร่างกายหรือรูปแบบของสิ่งมีชีวิตที่คล้ายกัน (เหมือนกัน ขนาดเท่ากัน) ซึ่งเป็นกลุ่มของสิ่งมีชีวิตที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางหรือแกนของสมมาตร ประเภทของความสมมาตรไม่เพียงแต่กำหนดโครงสร้างทั่วไปของร่างกายเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเป็นไปได้ในการพัฒนาระบบอวัยวะของสัตว์ด้วย โครงสร้างร่างกายของสิ่งมีชีวิตหลายเซลล์สะท้อนถึงความสมมาตรบางรูปแบบ หากร่างกายของสัตว์สามารถแบ่งจิตใจออกเป็นสองซีกซ้ายและขวาได้ ก็จะเรียกว่าสมมาตรรูปแบบนี้ ทวิภาคี- ความสมมาตรประเภทนี้เป็นลักษณะของสปีชีส์ส่วนใหญ่เช่นเดียวกับมนุษย์ หากร่างกายของสัตว์สามารถแบ่งจิตใจได้ไม่ใช่เพียงอันเดียว แต่ด้วยระนาบสมมาตรหลาย ๆ อันออกเป็นส่วนเท่า ๆ กันสัตว์ดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า สมมาตรเรดิอ- ความสมมาตรประเภทนี้พบได้น้อยกว่ามาก
ความไม่สมมาตร- ขาดความสมมาตร บางครั้งคำนี้ใช้เพื่ออธิบายสิ่งมีชีวิตที่ขาดความสมมาตรเป็นหลัก เมื่อเทียบกับ ความไม่สมมาตร- การสูญเสียความสมมาตรรองหรือองค์ประกอบส่วนบุคคล
แนวคิดเรื่องความสมมาตรและความไม่สมมาตรเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม ยิ่งสิ่งมีชีวิตมีความสมมาตรมากเท่าไร สิ่งมีชีวิตก็จะยิ่งไม่สมมาตรมากขึ้นเท่านั้น และในทางกลับกัน สิ่งมีชีวิตจำนวนเล็กน้อยนั้นไม่สมดุลโดยสิ้นเชิง ในกรณีนี้ จำเป็นต้องแยกแยะระหว่างความแปรปรวนของรูปร่าง (เช่น ในอะมีบา) และการขาดความสมมาตร ในธรรมชาติและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในธรรมชาติที่มีชีวิต ความสมมาตรนั้นไม่สัมบูรณ์และประกอบด้วยความไม่สมมาตรในระดับหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเช่น ใบพืชที่สมมาตรไม่ตรงกันเมื่อพับครึ่ง
ความสมมาตรประเภทต่อไปนี้พบได้ในวัตถุทางชีววิทยา:
- ความสมมาตรทรงกลมของการหมุนในพื้นที่สามมิติในมุมใดก็ได้
- สมมาตรตามแนวแกน (สมมาตรแนวรัศมี, สมมาตรแบบหมุนของลำดับไม่แน่นอน) - สมมาตรที่เกี่ยวข้องกับการหมุนตามมุมใดก็ได้รอบแกนใด ๆ
- สมมาตรในการหมุนของลำดับที่ n - สมมาตรเทียบกับการหมุนผ่านมุม 360°/n รอบแกนใดๆ
- สมมาตรทวิภาคี (ทวิภาคี) - สมมาตรสัมพันธ์กับระนาบสมมาตร (สมมาตรการสะท้อนของกระจก)
- สมมาตรเชิงการแปล - สมมาตรที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของอวกาศในทิศทางใด ๆ ในระยะทางหนึ่ง (กรณีพิเศษในสัตว์คือ metamerism (ชีววิทยา))
- ความไม่สมมาตรแบบสามแกน - ขาดความสมมาตรตามแนวแกนอวกาศทั้งสามแกน
สมมาตรเรเดียล
โดยปกติแล้วระนาบสมมาตรตั้งแต่สองระนาบขึ้นไปจะผ่านแกนสมมาตร ระนาบเหล่านี้ตัดกันเป็นเส้นตรง - แกนสมมาตร หากสัตว์หมุนรอบแกนนี้ในระดับหนึ่ง สัตว์นั้นก็จะปรากฏบนตัวมันเอง (ตรงกับตัวมันเอง) อาจมีแกนสมมาตรได้หลายแกน (สมมาตรโพลีแอกซอน) หรือแกนเดียว (สมมาตรโมแนกซอน) ความสมมาตรแบบโพลิแอกซอนพบได้ทั่วไปในหมู่ผู้ประท้วง (เช่น เรดิโอลาเรียน)
ตามกฎแล้วในสัตว์หลายเซลล์ปลายทั้งสอง (ขั้ว) ของแกนสมมาตรเดียวนั้นไม่เท่ากัน (เช่นในแมงกะพรุนปากจะอยู่บนเสาเดียว (ปาก) และปลายกระดิ่งอยู่ตรงกันข้าม ขั้ว (aboral) ความสมมาตรดังกล่าว (ตัวแปรหนึ่งของสมมาตรแนวรัศมี) ในเชิงกายวิภาคเปรียบเทียบเรียกว่า uniaxis-heteropole กล่าวคือ การรักษาความสมมาตรของรัศมีขึ้นอยู่กับมุมมอง
ความสมมาตรแบบเรเดียลเป็นลักษณะเฉพาะของสัตว์จำพวกไนดาเรียนหลายชนิด เช่นเดียวกับเอคโนเดิร์มส่วนใหญ่ ในหมู่พวกเขามีสิ่งที่เรียกว่าเพนตาสมมาตรซึ่งมีพื้นฐานมาจากระนาบสมมาตรห้าระนาบ ใน echinoderms ความสมมาตรของรัศมีเป็นเรื่องรอง: ตัวอ่อนของพวกมันมีความสมมาตรทั้งสองข้าง และในสัตว์ที่โตเต็มวัย ความสมมาตรของรัศมีภายนอกจะถูกทำลายเมื่อมีแผ่นมาเดรพอร์
นอกจากสมมาตรในแนวรัศมีทั่วไปแล้ว ยังมีสมมาตรในแนวรัศมีแบบสองแนว (เช่น ระนาบสมมาตรสองระนาบในซีเทโนฟอร์) หากมีระนาบสมมาตรเพียงระนาบเดียว สมมาตรนั้นจะเป็นแบบทวิภาคี (สัตว์ในกลุ่มมีความสมมาตรดังกล่าว ทวิลาเทเรีย).
กลุ่มสมมาตรพอยต์ของผลึกคือกลุ่มสมมาตรจุดที่อธิบายสมมาตรมหภาคของคริสตัล เนื่องจากแกน (แบบหมุนและการหมุนที่ไม่เหมาะสม) มีเพียง 1, 2, 3, 4 และ 6 ลำดับที่ได้รับอนุญาตในคริสตัล จากกลุ่มสมมาตรจุดที่มีจำนวนอนันต์ทั้งหมด จึงมีเพียง 32 ลำดับเท่านั้นที่ถูกจัดประเภทเป็นผลึกศาสตร์
Anisotropy (จากภาษากรีกโบราณ. ἄνισος - ไม่เท่ากันและ τρόπος - ทิศทาง) - ความแตกต่างในคุณสมบัติของตัวกลาง (เช่นทางกายภาพ: ความยืดหยุ่น, การนำไฟฟ้า, การนำความร้อน, ดัชนีการหักเหของแสง, ความเร็วของเสียงหรือแสง ฯลฯ ) ในทิศทางที่ต่างกันภายในตัวกลางนี้ เมื่อเทียบกับ
ในเรขาคณิต เป็นคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิต จุดสองจุดที่วางอยู่บนตั้งฉากเดียวกันกับระนาบ (หรือเส้น) ที่กำหนดบนด้านตรงข้ามและอยู่ห่างจากจุดนั้นเท่ากันเรียกว่าสมมาตรด้วยความเคารพต่อระนาบ (หรือเส้นนี้) รูป (แบนหรือเชิงพื้นที่) มีความสมมาตรโดยสัมพันธ์กับเส้นตรง (แกนสมมาตร) หรือระนาบ (ระนาบสมมาตร) หากจุดเป็นคู่มีคุณสมบัติที่ระบุ ตัวเลขจะสมมาตรด้วยความเคารพต่อจุด (ศูนย์กลางของสมมาตร) หากจุดของมันอยู่เป็นคู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของสมมาตร ด้านตรงข้ามและอยู่ห่างจากจุดนั้นเท่ากัน
ความหมายของความสมมาตร
แนวคิดเรื่อง "สมมาตร" (กรีกสมมาตร - สัดส่วน) ตามที่นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของศตวรรษที่ 20 กล่าว แฮร์มันน์ ไวล์ (1885 - 1955) "เป็นแนวคิดที่มนุษย์พยายามทำความเข้าใจและสร้างระเบียบ ความงาม และความสมบูรณ์แบบตลอดหลายศตวรรษที่ผ่านมา" โดยปกติแล้วคำว่า "สมมาตร" หมายถึงความกลมกลืนของสัดส่วน - สิ่งที่สมดุล ไม่ถูกจำกัดด้วยวัตถุเชิงพื้นที่ (เช่น ในดนตรี บทกวี ฯลฯ) ในทางกลับกัน แนวคิดนี้ยังมีความหมายทางเรขาคณิตล้วนๆ ซึ่งประกอบด้วยการทำซ้ำตามธรรมชาติในปริภูมิของตัวเลขที่เท่ากันหรือส่วนต่างๆ ของพวกมัน ดังที่ E.S. Fedorov เขียนไว้ (1901) “ความสมมาตรเป็นคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตในการทำซ้ำส่วนต่างๆ หรือพูดให้ชัดเจนยิ่งขึ้น คือ คุณสมบัติของรูปเหล่านั้นในตำแหน่งต่างๆ เพื่อให้สอดคล้องกับตำแหน่งเดิม”
อย่างไรก็ตามเมื่อพูดถึงตัวเลขสมมาตรเราควรแยกความแตกต่างระหว่างความเท่าเทียมกันสองประเภท: สอดคล้องกัน (กรีก congruens - รวมกัน) และ enantiomorphic - กระจกเท่ากัน (กรีก enantios - ตรงข้าม, morphe - รูปแบบ) ในกรณีแรก เราหมายถึงตัวเลขหรือส่วนต่างๆ ของพวกมัน ความเท่าเทียมกันสามารถเปิดเผยได้โดยการรวมกันอย่างง่าย ๆ - ทับซ้อนกันนั่นคือ การเคลื่อนไหว "ของตัวเอง" โดยถ่ายโอนรูปซ้าย (L) (เช่นสกรูซ้าย, มือ) ไปทางซ้าย, ขวา (R) - ไปทางขวาซึ่งทุกจุดของรูปเดียวตรงกับจุดที่สอดคล้องกันของ อื่น. ในกรณีที่สอง ความเท่าเทียมกันจะถูกเปิดเผยผ่านการสะท้อน - การเคลื่อนไหวที่เปลี่ยนวัตถุให้เป็นภาพสะท้อนในกระจก (จากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน)
ในกรณีนี้ ทุกจุดของรูปทรงเชิงพื้นที่จะมีสมมาตรแบบคู่สัมพันธ์กับระนาบ อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลง (การเคลื่อนไหว) ดังกล่าววัตถุจึงถูกรวมเข้ากับตัวมันเองนั่นคือ แปลงร่างเป็นตัวเอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันไม่แปรเปลี่ยนเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงนี้ และดังนั้นจึงสมมาตร การเปลี่ยนแปลงเองซึ่งเผยให้เห็นความสมมาตรของวัตถุ เรียกว่าการแปลงสมมาตร จะรักษาคุณสมบัติหน่วยเมตริกของส่วนต่างๆ ของวัตถุไว้ไม่เปลี่ยนแปลง และด้วยเหตุนี้ ระยะห่างระหว่างจุดคู่ใดๆ ของวัตถุเหล่านั้น ดังนั้นวัตถุจึงถือว่าเท่าเทียมกันแบบสมมาตรได้หากจุดทั้งหมดของหนึ่งในนั้นถูกแปลเป็นจุดที่สอดคล้องกันของอีกจุดหนึ่งตามกฎข้อเดียว
สมมาตร ฉัน
สมมาตร (จากกรีก symmetria - สัดส่วน)
ในวิชาคณิตศาสตร์ 1) ความสมมาตร (ในแง่แคบ) หรือการสะท้อน (กระจก) สัมพันธ์กับระนาบ α ในอวกาศ (สัมพันธ์กับเส้นตรง กบนระนาบ) เป็นการเปลี่ยนแปลงของอวกาศ (ระนาบ) ซึ่งในแต่ละจุด มไปที่จุด เอ็ม"เช่นนั้นส่วนนั้น เอ็มเอ็ม"ตั้งฉากกับระนาบ α (เส้นตรง ก) และแบ่งครึ่ง เครื่องบิน α (ตรง ก) เรียกว่าระนาบ (แกน) C การสะท้อนกลับเป็นตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงมุมฉาก (ดู การเปลี่ยนแปลงมุมฉาก) ที่เปลี่ยนการวางแนว (ดู การวางแนว) (ซึ่งตรงข้ามกับการเคลื่อนไหวที่เหมาะสม) การเปลี่ยนแปลงมุมฉากใดๆ ก็ตามสามารถกระทำได้โดยการสะท้อนในจำนวนจำกัดตามลำดับ - ข้อเท็จจริงข้อนี้มีบทบาทสำคัญในการศึกษารูปทรงเรขาคณิต 2) สมมาตร (ในความหมายกว้าง) - คุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิต เอฟบ่งบอกถึงความสม่ำเสมอของรูปแบบ เอฟความคงที่ของมันภายใต้การกระทำของการเคลื่อนไหวและการสะท้อนกลับ แม่นยำยิ่งขึ้นตัวเลข เอฟมี S. (สมมาตร) หากมีการแปลงมุมฉากที่ไม่เหมือนกันซึ่งนำตัวเลขนี้เข้าสู่ตัวมันเอง เซตของการแปลงมุมตั้งฉากทั้งหมดที่รวมรูปเข้าด้วยกัน เอฟในตัวมันเองคือกลุ่ม (ดูกลุ่ม) เรียกว่ากลุ่มสมมาตรของรูปนี้ (บางครั้งการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้เองเรียกว่าสมมาตร) ดังนั้น รูปร่างแบนที่แปลงร่างเป็นตัวเองเมื่อมีการสะท้อนจึงมีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อเส้นตรง - แกน C ( ข้าว. 1
- ที่นี่กลุ่มสมมาตรประกอบด้วยสององค์ประกอบ ถ้าเป็นรูป เอฟบนระนาบนั้นการหมุนสัมพันธ์กับจุด O ใดๆ ผ่านมุม 360°/ n, n- จำนวนเต็ม ≥ 2 แปลงเป็นค่าตัวมันเอง เอฟครอบครอง S. n-ลำดับที่สัมพันธ์กับจุด เกี่ยวกับ- ศูนย์กลาง C ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวคือรูปหลายเหลี่ยมปกติ ( ข้าว. 2
- กลุ่ม S. ที่นี่ - ที่เรียกว่า กลุ่มวงจร n-ลำดับที่ วงกลมมีวงกลมที่มีลำดับไม่สิ้นสุด (เนื่องจากสามารถรวมเข้ากับตัวมันเองได้โดยการหมุนมุมใดก็ได้) ประเภทของระบบอวกาศที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากระบบที่เกิดจากการสะท้อนแล้ว ได้แก่ ระบบส่วนกลาง ระบบแนวแกน และระบบถ่ายโอน ก) ในกรณีของสมมาตรกลาง (ผกผัน) เทียบกับจุด O รูป Ф จะถูกรวมเข้ากับตัวมันเองหลังจากการสะท้อนต่อเนื่องกันจากระนาบที่ตั้งฉากกันสามระนาบ กล่าวคือ จุด O คือจุดกึ่งกลางของส่วนที่เชื่อมต่อจุดสมมาตร Ф ( ข้าว. 3
- ข) ในกรณีสมมาตรตามแนวแกน หรือ S. สัมพันธ์กับเส้นตรง n- ลำดับที่ 2 ให้นำรูปมาวางซ้อนบนตัวเองโดยหมุนเป็นเส้นตรงเส้นหนึ่ง (แกน C) เป็นมุม 360°/ n- ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์มีเส้นตรง เอบีแกน C เป็นลำดับที่สามและเป็นเส้นตรง ซีดี- แกน C ลำดับที่สี่ ( ข้าว. 3
- โดยทั่วไป รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติและแบบกึ่งสม่ำเสมอจะมีความสมมาตรโดยพิจารณาจากเส้นจำนวนหนึ่ง ตำแหน่ง จำนวน และลำดับของแกนคริสตัลมีบทบาทสำคัญในการศึกษาผลึก (ดูสมมาตรของผลึก) ค) ตัวเลขที่ซ้อนทับบนตัวมันเองโดยการหมุนต่อเนื่องกันที่มุม 360°/2 เครอบเส้นตรง เอบีและการสะท้อนในระนาบที่ตั้งฉากกับมัน มีแกนกระจก C เส้นตรง เอบีเรียกว่าแกนหมุนกระจก C. ลำดับที่ 2 เคคือแกน C ของลำดับ เค (ข้าว. 4
- การจัดตำแหน่งแนวแกนกระจกลำดับที่ 2 เทียบเท่ากับการจัดตำแหน่งตรงกลาง d) ในกรณีของการถ่ายโอนสมมาตร รูปจะถูกวางซ้อนบนตัวมันเองโดยการถ่ายโอนไปตามเส้นตรงที่กำหนด (แกนการแปล) ไปยังส่วนใดๆ ตัวอย่างเช่น รูปที่มีแกนการแปลค่าเดียวจะมีระนาบ C ไม่จำกัด (เนื่องจากการแปลใดๆ สามารถทำได้โดยการสะท้อนสองครั้งต่อเนื่องกันจากระนาบที่ตั้งฉากกับแกนการแปล) ( ข้าว. 5
- ตัวเลขที่มีแกนถ่ายโอนหลายแกนมีบทบาทสำคัญในการศึกษาโครงตาข่ายคริสตัล (ดูโครงตาข่ายคริสตัล) ในงานศิลปะ การจัดองค์ประกอบได้กลายเป็นที่แพร่หลายในฐานะการจัดองค์ประกอบที่กลมกลืนประเภทหนึ่ง (ดูองค์ประกอบ) มันเป็นลักษณะของงานสถาปัตยกรรม (เป็นคุณภาพที่ขาดไม่ได้หากไม่ใช่ของโครงสร้างทั้งหมดโดยรวมแล้วก็ของส่วนและรายละเอียด - แผนผังส่วนหน้าอาคารเสาเมืองหลวง ฯลฯ ) และศิลปะการตกแต่งและประยุกต์ S. ยังใช้เป็นเทคนิคหลักในการสร้างเส้นขอบและเครื่องประดับ (ตัวเลขแบนที่มีการถ่ายโอน S. หนึ่งหรือหลายรายการตามลำดับร่วมกับการสะท้อน) ( ข้าว. 6
, 7
). การรวมกันของความสมมาตรที่เกิดจากการสะท้อนและการหมุน (ทำให้ความสมมาตรของรูปทรงเรขาคณิตทุกประเภทหมดลง) รวมถึงการถ่ายโอนเป็นที่สนใจและเป็นหัวข้อของการวิจัยในสาขาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติต่างๆ ตัวอย่างเช่น ขดลวด S. ซึ่งดำเนินการโดยการหมุนที่มุมหนึ่งรอบแกนเสริมด้วยการถ่ายโอนไปตามแกนเดียวกันนั้นถูกสังเกตในการจัดเรียงใบในพืช ( ข้าว. 8
) (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในบทความ สมมาตรทางชีววิทยา) ความสมมาตรของโมเลกุลซึ่งส่งผลต่อคุณลักษณะทางกายภาพและทางเคมี มีความสำคัญในการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีเกี่ยวกับโครงสร้างของสารประกอบ คุณสมบัติ และพฤติกรรมในปฏิกิริยาต่างๆ (ดูความสมมาตรในเคมี) สุดท้ายนี้ ในวิทยาศาสตร์กายภาพโดยทั่วไป นอกเหนือจากโครงสร้างทางเรขาคณิตของผลึกและโครงตาข่ายที่ได้ระบุไว้แล้ว แนวคิดเรื่องโครงสร้างในความหมายทั่วไปยังได้รับความสำคัญที่สำคัญอีกด้วย (ดูด้านล่าง) ดังนั้น ความสมมาตรของกาล-อวกาศทางกายภาพ ซึ่งแสดงออกมาเป็นเนื้อเดียวกันและไอโซโทรปี (ดูทฤษฎีสัมพัทธภาพ) จึงช่วยให้เราสามารถสร้างสิ่งที่เรียกว่าได้ กฎหมายการอนุรักษ์ ความสมมาตรทั่วไปมีบทบาทสำคัญในการก่อตัวของสเปกตรัมอะตอมและการจำแนกประเภทของอนุภาคมูลฐาน (ดูสมมาตร
ในวิชาฟิสิกส์) 3) สมมาตร (ในความหมายทั่วไป) หมายถึงความคงที่ของโครงสร้างของวัตถุทางคณิตศาสตร์ (หรือกายภาพ) ที่เกี่ยวข้องกับการแปลงของมัน ตัวอย่างเช่น ระบบกฎสัมพัทธภาพถูกกำหนดโดยค่าคงที่ของกฎสัมพัทธภาพภายใต้การแปลงแบบลอเรนซ์ (ดูการแปลงแบบลอเรนซ์) คำจำกัดความของชุดของการแปลงที่ทำให้ความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างของวัตถุไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ คำจำกัดความของกลุ่ม ชออโตมอร์ฟิซึมของมันได้กลายเป็นหลักการชี้นำของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์สมัยใหม่ ทำให้สามารถเจาะลึกเข้าไปในโครงสร้างภายในของวัตถุโดยรวมและส่วนต่างๆ ของมันได้ เนื่องจากวัตถุดังกล่าวสามารถแสดงด้วยองค์ประกอบของพื้นที่บางส่วนได้ รกอปรด้วยโครงสร้างลักษณะที่สอดคล้องกันตราบเท่าที่การเปลี่ยนแปลงของวัตถุคือการเปลี่ยนแปลง ร- ที่. ได้รับการเป็นตัวแทนกลุ่ม ชในกลุ่มการเปลี่ยนแปลง ร(หรือเพิ่งเข้ามา. ร) และการศึกษาวัตถุ S. ลงมาที่การศึกษาการกระทำ ชบน รและการหาค่าคงที่ของการกระทำนี้ ในทำนองเดียวกัน กฎฟิสิกส์ของ S. ที่ควบคุมวัตถุที่กำลังศึกษาและมักจะอธิบายโดยสมการที่พอใจกับองค์ประกอบของปริภูมิ รถูกกำหนดโดยการกระทำ ชสำหรับสมการดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ถ้าสมการบางตัวเป็นเส้นตรงบนปริภูมิเชิงเส้น รและยังคงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงของคนบางกลุ่ม ชจากนั้นแต่ละองค์ประกอบ กจาก ชสอดคล้องกับการแปลงเชิงเส้น ทีจีในอวกาศเชิงเส้น รคำตอบของสมการนี้ การโต้ตอบ ก → ทีจีเป็นการแทนค่าเชิงเส้น ชและความรู้เกี่ยวกับการนำเสนอดังกล่าวทั้งหมดทำให้สามารถสร้างคุณสมบัติต่างๆ ของสารละลายได้ และยังช่วยในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาในหลายกรณี (จาก "การพิจารณาเรื่องสมมาตร") ด้วยตนเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้อธิบายถึงความจำเป็นของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ในการพัฒนาทฤษฎีที่พัฒนาขึ้นของการเป็นตัวแทนเชิงเส้นของกลุ่ม สำหรับตัวอย่างเฉพาะ โปรดดูข้อ สมมาตรในวิชาฟิสิกส์ ความหมาย: Shubnikov A.V. สมมาตร (กฎแห่งความสมมาตรและการประยุกต์ในวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และศิลปะประยุกต์), ม. - ล., 2483; Coxeter G.S.M. เรขาคณิตเบื้องต้น ทรานส์ จากภาษาอังกฤษ ม. 2509; Weil G., สมมาตร, ทรานส์. จากภาษาอังกฤษ ม. 2511; Wigner E. การศึกษาเรื่องสมมาตร ทรานส์ จากภาษาอังกฤษ ม. 2514 M.I. Voitsekhovsky ข้าว. 3. ลูกบาศก์ที่มีเส้นตรง AB เป็นแกนสมมาตรของลำดับที่สาม CD เส้นตรงเป็นแกนสมมาตรของลำดับที่สี่ และจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของสมมาตร จุด M และ M" ของลูกบาศก์มีความสมมาตรทั้งกับแกน AB และ CD และสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลาง O ในวิชาฟิสิกส์ หากกฎที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่มีลักษณะเฉพาะของระบบทางกายภาพ หรือที่กำหนดการเปลี่ยนแปลงในปริมาณเหล่านี้เมื่อเวลาผ่านไป ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การดำเนินการบางอย่าง (การเปลี่ยนแปลง) ซึ่งสามารถอยู่ภายใต้ระบบได้ กฎหมายเหล่านี้ก็จะกล่าวว่ามี S . (หรือมีค่าคงที่) ที่เกี่ยวข้องกับการแปลงข้อมูล ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงแบบ S. จะรวมกลุ่มกัน (ดูกลุ่ม) ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่ากฎทางกายภาพมีความสมมาตรโดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงทั่วไปส่วนใหญ่ต่อไปนี้ การเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง 1) การถ่ายโอน (กะ) ของระบบโดยรวมในอวกาศ การแปลงกาล-อวกาศนี้และที่ตามมาสามารถเข้าใจได้ในสองสัมผัส: ในรูปแบบการเปลี่ยนแปลงเชิงรุก - การถ่ายโอนระบบทางกายภาพที่แท้จริงโดยสัมพันธ์กับระบบอ้างอิงที่เลือก หรือเป็นการแปลงแบบพาสซีฟ - การถ่ายโอนแบบขนานของระบบอ้างอิง สัญลักษณ์ของกฎฟิสิกส์เกี่ยวกับการเคลื่อนตัวในอวกาศหมายถึงความเท่าเทียมกันของทุกจุดในอวกาศ นั่นคือ การไม่มีจุดที่แตกต่างใดๆ ในอวกาศ (ความเป็นเนื้อเดียวกันของอวกาศ) 2) การหมุนของระบบโดยรวมในอวกาศ S. กฎฟิสิกส์เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงความเท่าเทียมกันของทุกทิศทางในอวกาศ (ไอโซโทรปีของอวกาศ) 3) การเปลี่ยนการเริ่มต้นของเวลา (time shift) S. เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงนี้หมายความว่ากฎทางกายภาพไม่เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา 4) การเปลี่ยนไปใช้ระบบอ้างอิงซึ่งเคลื่อนที่สัมพันธ์กับระบบที่กำหนดด้วยความเร็วคงที่ (ในทิศทางและขนาด) S. สัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหมายถึงความเท่าเทียมกันของระบบอ้างอิงเฉื่อยทั้งหมด (ดูระบบอ้างอิงเฉื่อย) (ดูทฤษฎีสัมพัทธภาพ) 5) การแปลงเกจ กฎที่อธิบายปฏิกิริยาระหว่างอนุภาคกับประจุใดๆ (ประจุไฟฟ้า (ดูประจุไฟฟ้า) ประจุแบริออน (ดูประจุแบริออน) ประจุเลปโทนิก (ดูประจุเลปตัน) ประจุไฮเปอร์ชาร์จ) มีความสมมาตรโดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงเกจของชนิดที่ 1 การแปลงเหล่านี้ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันคลื่น (ดูฟังก์ชันคลื่น) ของอนุภาคทั้งหมดสามารถคูณด้วยปัจจัยเฟสใดก็ได้พร้อมกัน: ที่ไหน ψ เจ- ฟังก์ชั่นคลื่นอนุภาค เจ, z j คือประจุที่สอดคล้องกับอนุภาค โดยแสดงเป็นหน่วยของประจุเบื้องต้น (เช่น ประจุไฟฟ้าเบื้องต้น จ) β เป็นปัจจัยตัวเลขตามอำเภอใจ ก→A + ผู้สำเร็จการศึกษา f, ที่ไหน ฉ(x,ที่, แซด, ที) - ฟังก์ชั่นพิกัดโดยพลการ ( เอ็กซ์,ที่,z) และเวลา ( ที), กับ- ความเร็วแสง เพื่อให้การแปลง (1) และ (2) ดำเนินการพร้อมกันในกรณีของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า จำเป็นต้องสรุปการแปลงเกจประเภทที่ 1: จำเป็นต้องกำหนดให้กฎปฏิสัมพันธ์ต้องสมมาตรด้วยความเคารพต่อการแปลง (1) ด้วยค่า β ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดเองของพิกัดและเวลา: การเปลี่ยนแปลง (1) สอดคล้องกับกฎการอนุรักษ์ประจุต่างๆ (ดูด้านล่าง) เช่นเดียวกับปฏิสัมพันธ์ภายในบางอย่าง หากประจุไม่เพียงแต่เป็นปริมาณที่ได้รับการอนุรักษ์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงแหล่งกำเนิดของสนามด้วย (เช่น ประจุไฟฟ้า) ดังนั้น สนามที่ตรงกันจะต้องเป็นสนามเกจด้วย (คล้ายกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า) และการแปลง (1) จะถูกทำให้เป็นลักษณะทั่วไปเมื่อ ปริมาณ β เป็นฟังก์ชันตามอำเภอใจของพิกัดและเวลา (และแม้แต่ตัวดำเนินการ (ดูตัวดำเนินการ) ที่แปลงสถานะของระบบภายใน) แนวทางทฤษฎีเขตข้อมูลปฏิสัมพันธ์นี้นำไปสู่ทฤษฎีเกจต่างๆ ของการมีปฏิกิริยารุนแรงและปฏิกิริยาอ่อนแอ (ที่เรียกว่าทฤษฎีหยาง-มิลส์) การแปลงแบบไม่ต่อเนื่อง ประเภทของระบบที่กล่าวข้างต้นมีลักษณะเป็นพารามิเตอร์ที่สามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างต่อเนื่องในช่วงของค่าที่แน่นอน (เช่น การเปลี่ยนแปลงในอวกาศมีลักษณะเป็นพารามิเตอร์การกระจัดสามตัวตามแต่ละแกนพิกัด การหมุนด้วยการหมุนสามมุม รอบแกนเหล่านี้ ฯลฯ) นอกจากสัญญาณต่อเนื่องแล้ว สัญญาณแยกยังมีความสำคัญอย่างยิ่งในวิชาฟิสิกส์ กฎหมายสมมาตรและการอนุรักษ์ ตามทฤษฎีบทของ Noether (ดูทฤษฎีบทของ Noether) การเปลี่ยนแปลงแต่ละครั้งของระบบซึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยพารามิเตอร์ที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง สอดคล้องกับค่าที่ถูกอนุรักษ์ไว้ (ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา) สำหรับระบบที่มีระบบนี้ เกี่ยวกับการแทนที่ของระบบปิดในอวกาศ การหมุนมันโดยรวมและการเปลี่ยนที่มาของเวลา เป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม โมเมนตัมเชิงมุม และพลังงาน ตามลำดับ จากระบบเกี่ยวกับการแปลงเกจประเภทที่ 1 - กฎการอนุรักษ์ประจุ (ไฟฟ้า แบริออน ฯลฯ) จากการแปรปรวนของไอโซโทป - การอนุรักษ์การหมุนของไอโซโทป (ดูการหมุนของไอโซโทป) ในกระบวนการโต้ตอบที่รุนแรง สำหรับระบบแยกส่วน ในกลศาสตร์คลาสสิก ระบบจะไม่นำไปสู่กฎการอนุรักษ์ใดๆ อย่างไรก็ตาม ในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งสถานะของระบบถูกอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น หรือสำหรับสนามคลื่น (เช่น สนามแม่เหล็กไฟฟ้า) ซึ่งหลักการซ้อนทับนั้นถูกต้อง การมีอยู่ของระบบที่แยกจากกันแสดงถึงกฎการอนุรักษ์สำหรับบางระบบ ปริมาณเฉพาะที่ไม่มีอะนาลอกในกลศาสตร์คลาสสิก การมีอยู่ของปริมาณดังกล่าวสามารถแสดงให้เห็นได้จากตัวอย่างของความเท่าเทียมกันเชิงพื้นที่ (ดูความเท่าเทียมกัน) ซึ่งการอนุรักษ์ตามมาจากระบบที่เกี่ยวข้องกับการผกผันเชิงพื้นที่ โดยแท้แล้ว ให้ ψ 1 เป็นฟังก์ชันคลื่นที่อธิบายสถานะบางอย่างของระบบ และ ψ 2 เป็นฟังก์ชันคลื่นของระบบที่เป็นผลจากช่องว่าง การผกผัน (เชิงสัญลักษณ์: ψ 2 = รψ 1 ที่ไหน ร- ผู้ดำเนินการพื้นที่ การผกผัน) จากนั้น หากมีระบบที่เกี่ยวกับการผกผันเชิงพื้นที่ ψ 2 เป็นหนึ่งในสถานะที่เป็นไปได้ของระบบ และตามหลักการของการซ้อน สถานะที่เป็นไปได้ของระบบคือการซ้อนทับ ψ 1 และ ψ 2: การรวมกันแบบสมมาตร ψ s = ψ 1 + ψ 2 และแอนติสมมาตร ψ a = ψ 1 - ψ 2 ในระหว่างการแปลงผกผัน สถานะของ ψ 2 จะไม่เปลี่ยนแปลง (ตั้งแต่ ปψ ส = ปψ 1 + ปψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s) และสถานะ ψ เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลง ( ปψ ก = ปψ 1 - ปψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ ก) ในกรณีแรกพวกเขาบอกว่าความเท่าเทียมกันเชิงพื้นที่ของระบบนั้นเป็นค่าบวก (+1) ในส่วนที่สอง - ลบ (-1) ถ้าฟังก์ชันคลื่นของระบบถูกกำหนดโดยใช้ปริมาณที่ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการผกผันเชิงพื้นที่ (เช่น โมเมนตัมเชิงมุมและพลังงาน) ความเท่าเทียมกันของระบบก็จะมีค่าที่แน่นอนเช่นกัน ระบบจะอยู่ในสถานะที่มีความเท่าเทียมกันทั้งเชิงบวกหรือเชิงลบ (และห้ามมิให้เปลี่ยนจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งภายใต้อิทธิพลของแรงสมมาตรที่เกี่ยวข้องกับการผกผันเชิงพื้นที่) ความสมมาตรของระบบกลไกควอนตัมและสถานะคงที่ ความเสื่อม การอนุรักษ์ปริมาณที่สอดคล้องกับระบบกลไกควอนตัมต่างๆ เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าผู้ปฏิบัติงานที่สอดคล้องกับระบบจะสับเปลี่ยนกับระบบแฮมิลตัน หากไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจน (ดู กลศาสตร์ควอนตัม ความสัมพันธ์ระหว่างการเปลี่ยนสับเปลี่ยน) ซึ่งหมายความว่าปริมาณเหล่านี้สามารถวัดได้พร้อมกันกับพลังงานของระบบ กล่าวคือ สามารถใช้ค่าที่แน่นอนอย่างสมบูรณ์สำหรับค่าพลังงานที่กำหนด ดังนั้นจึงสามารถเขียนสิ่งที่เรียกว่าได้ ชุดปริมาณที่สมบูรณ์ที่กำหนดสถานะของระบบ ดังนั้น สถานะคงที่ (ดูสถานะคงที่) (สถานะที่มีพลังงานที่กำหนด) ของระบบจึงถูกกำหนดโดยปริมาณที่สอดคล้องกับความเสถียรของระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณา การมีอยู่ของกลศาสตร์ควอนตัมนำไปสู่ความจริงที่ว่าสถานะการเคลื่อนที่ที่แตกต่างกันของระบบกลไกควอนตัมซึ่งได้รับจากกันและกันโดยการเปลี่ยนแปลงของกลศาสตร์ควอนตัมนั้นมีค่าปริมาณทางกายภาพเท่ากันซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ ดังนั้นตามกฎแล้วระบบของระบบจะนำไปสู่การเสื่อม (ดูความเสื่อม) ตัวอย่างเช่น ค่าหนึ่งของพลังงานของระบบสามารถสอดคล้องกับสถานะที่แตกต่างกันหลายสถานะที่ถูกแปลงผ่านกันระหว่างการเปลี่ยนแปลงของระบบ ในทางคณิตศาสตร์ สถานะเหล่านี้เป็นตัวแทนของพื้นฐานของการเป็นตัวแทนแบบลดไม่ได้ของกลุ่มของระบบ (ดูกลุ่ม ). สิ่งนี้จะกำหนดประสิทธิผลของการประยุกต์วิธีทฤษฎีกลุ่มในกลศาสตร์ควอนตัม นอกเหนือจากความเสื่อมของระดับพลังงานที่เกี่ยวข้องกับการควบคุมระบบอย่างชัดเจน (ตัวอย่างเช่น ในส่วนของการหมุนของระบบโดยรวม) ในปัญหาจำนวนหนึ่ง ยังมีความเสื่อมเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่า ปฏิสัมพันธ์ของ S. ที่ซ่อนอยู่ ออสซิลเลเตอร์ที่ซ่อนอยู่นั้นมีอยู่ เช่น สำหรับปฏิกิริยาคูลอมบ์และสำหรับออสซิลเลเตอร์แบบไอโซโทรปิก หากระบบที่มีระบบใดๆ อยู่ในสนามแรงที่ละเมิดระบบนี้ (แต่อ่อนแอพอที่จะถือเป็นการรบกวนเล็กน้อย) ระดับพลังงานที่เสื่อมถอยของระบบเดิมจะแบ่งออกเป็นสถานะต่างๆ ซึ่งเนื่องมาจากระบบ . ระบบมีพลังงานเท่ากัน ภายใต้อิทธิพลของการรบกวนแบบ "ไม่สมมาตร" ระบบจึงได้รับพลังงานที่ต่างกัน ในกรณีที่สนามรบกวนมีค่าบางอย่างซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของค่าของระบบดั้งเดิม ความเสื่อมของระดับพลังงานจะไม่ถูกกำจัดออกไปอย่างสมบูรณ์ บางระดับยังคงเสื่อมลงตามค่าของปฏิสัมพันธ์ที่ “รวมอยู่ด้วย” สนามที่น่ารำคาญ ในทางกลับกัน การมีอยู่ของสถานะพลังงานเสื่อมลงในระบบ บ่งบอกถึงการมีอยู่ของการโต้ตอบที่เป็นระบบ และโดยหลักการแล้ว ทำให้สามารถค้นหาระบบนี้เมื่อไม่ทราบล่วงหน้า สถานการณ์หลังนี้มีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์อนุภาคเบื้องต้น การมีอยู่ของกลุ่มอนุภาคที่มีมวลใกล้เคียงกันและมีลักษณะอื่นที่เหมือนกัน แต่ประจุไฟฟ้าที่แตกต่างกัน (ที่เรียกว่าไอโซโทปทวีคูณ) ทำให้สามารถสร้างค่าคงที่ของไอโซโทปของปฏิกิริยาที่รุนแรงได้ และความเป็นไปได้ของการรวมอนุภาคที่มีคุณสมบัติเดียวกันให้กว้างขึ้น กลุ่มนำไปสู่การค้นพบ ส.อ.(3)-ค- การโต้ตอบที่รุนแรงและการโต้ตอบที่ละเมิดระบบนี้ (ดูการโต้ตอบที่รุนแรง) มีข้อบ่งชี้ว่าปฏิสัมพันธ์ที่รุนแรงมีกลุ่ม C ที่กว้างขึ้น แนวคิดของสิ่งที่เรียกว่ามีผลอย่างมาก ระบบไดนามิกซึ่งเกิดขึ้นเมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงซึ่งรวมถึงการเปลี่ยนระหว่างสถานะของระบบด้วยพลังงานที่แตกต่างกัน การแสดงกลุ่มระบบไดนามิกที่ลดไม่ได้จะเป็นสเปกตรัมทั้งหมดของสถานะคงที่ของระบบ แนวคิดของระบบไดนามิกยังสามารถขยายไปยังกรณีที่แฮมิลตันของระบบขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจน และในกรณีนี้ สถานะทั้งหมดของระบบกลไกควอนตัมที่ไม่อยู่กับที่ (กล่าวคือ ไม่มีพลังงานที่กำหนด) รวมกันเป็นกลุ่มไดนามิกของระบบที่ลดไม่ได้ ความหมาย: Wigner E. การศึกษาเรื่องสมมาตร ทรานส์ จากภาษาอังกฤษ ม. 2514 เอส.เอส. เกิร์ชไตน์. ในวิชาเคมีนั้นปรากฏอยู่ในโครงร่างทางเรขาคณิตของโมเลกุลซึ่งส่งผลต่อคุณสมบัติทางกายภาพและเคมีเฉพาะของโมเลกุลในสถานะที่แยกได้ ในสนามภายนอก และเมื่อมีปฏิสัมพันธ์กับอะตอมและโมเลกุลอื่น ๆ โมเลกุลอย่างง่ายส่วนใหญ่มีองค์ประกอบของสมมาตรเชิงพื้นที่ของโครงร่างสมดุล เช่น แกนของสมมาตร ระนาบของสมมาตร ฯลฯ (ดูสมมาตรในทางคณิตศาสตร์) ดังนั้นโมเลกุลแอมโมเนีย NH 3 จึงมีความสมมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ ส่วนโมเลกุลมีเทน CH 4 มีความสมมาตรของจัตุรมุข ในโมเลกุลเชิงซ้อน ความสมมาตรของโครงร่างสมดุลโดยรวมนั้นขาดหายไปตามกฎ แต่ความสมมาตรของชิ้นส่วนแต่ละชิ้นจะถูกรักษาไว้โดยประมาณ (สมมาตรเฉพาะที่) คำอธิบายที่สมบูรณ์ที่สุดของความสมมาตรของการกำหนดค่าโมเลกุลทั้งแบบสมดุลและแบบไม่มีสมดุลนั้นทำได้บนพื้นฐานของแนวคิดเกี่ยวกับสิ่งที่เรียกว่า กลุ่มสมมาตรแบบไดนามิก - กลุ่มที่ไม่เพียงแต่รวมถึงการดำเนินการของสมมาตรเชิงพื้นที่ของโครงร่างนิวเคลียร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการดำเนินการจัดเรียงนิวเคลียสที่เหมือนกันใหม่ในการกำหนดค่าที่แตกต่างกันด้วย ตัวอย่างเช่น กลุ่มสมมาตรแบบไดนามิกสำหรับโมเลกุล NH 3 ยังรวมถึงการดำเนินการผกผันของโมเลกุลนี้ด้วย นั่นคือการเปลี่ยนผ่านของอะตอม N จากด้านหนึ่งของระนาบที่เกิดจากอะตอม H ไปยังอีกด้านหนึ่ง ความสมมาตรของโครงสร้างสมดุลของนิวเคลียสในโมเลกุลทำให้เกิดความสมมาตรบางประการของฟังก์ชันคลื่น (ดูฟังก์ชันคลื่น) ของสถานะต่างๆ ของโมเลกุลนี้ ซึ่งทำให้สามารถจำแนกสถานะตามประเภทของความสมมาตรได้ การเปลี่ยนผ่านระหว่างสองสถานะที่เกี่ยวข้องกับการดูดกลืนหรือการเปล่งแสง ขึ้นอยู่กับประเภทของความสมมาตรของสถานะนั้น อาจปรากฏในสเปกตรัมโมเลกุล (ดูสเปกตรัมโมเลกุล) หรือถูกห้าม เพื่อให้เส้นหรือแถบที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงนี้ ก็จะขาดไปในสเปกตรัม ประเภทของความสมมาตรของสถานะที่อาจเกิดการเปลี่ยนผ่านได้จะส่งผลต่อความเข้มของเส้นและแถบตลอดจนโพลาไรเซชัน ตัวอย่างเช่น ในการเปลี่ยนผ่านของโมเลกุลไดอะตอมมิกโฮโมนิวเคลียร์ระหว่างสถานะอิเล็กทรอนิกส์ที่มีความเท่าเทียมกัน ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กทรอนิกส์ซึ่งมีพฤติกรรมในลักษณะเดียวกันระหว่างการดำเนินการผกผัน เป็นสิ่งต้องห้ามและไม่ปรากฏในสเปกตรัม ในโมเลกุลเบนซีนและสารประกอบที่คล้ายกัน การเปลี่ยนระหว่างสถานะอิเล็กทรอนิกส์ที่ไม่เสื่อมของสมมาตรประเภทเดียวกัน ฯลฯ เป็นสิ่งต้องห้าม กฎการเลือกสมมาตรได้รับการเสริมสำหรับการเปลี่ยนระหว่างสถานะที่แตกต่างกันโดยกฎการเลือกที่เกี่ยวข้องกับการหมุนของสถานะเหล่านี้ สำหรับโมเลกุลที่มีศูนย์กลางพาราแมกเนติก ความสมมาตรของสภาพแวดล้อมของศูนย์กลางเหล่านี้จะทำให้เกิดแอนไอโซโทรปีบางประเภท ก- ปัจจัย (ตัวคูณ Lande) ซึ่งส่งผลต่อโครงสร้างของสเปกตรัมเรโซแนนซ์พาราแมกเนติกของอิเล็กตรอน (ดูอิเล็กตรอนพาราแมกเนติกเรโซแนนซ์) ในขณะที่ในโมเลกุลที่นิวเคลียสของอะตอมมีการหมุนไม่เป็นศูนย์ ความสมมาตรของชิ้นส่วนเฉพาะที่แต่ละส่วนนำไปสู่การแยกพลังงานบางประเภท ของรัฐที่มีการฉายภาพการหมุนของนิวเคลียสที่แตกต่างกัน ซึ่งส่งผลต่อโครงสร้างของสเปกตรัมเรโซแนนซ์แม่เหล็กนิวเคลียร์ (ดูนิวเคลียร์เรโซแนนซ์แม่เหล็ก) ในแนวทางเคมีควอนตัมโดยประมาณโดยใช้แนวคิดเรื่องออร์บิทัลโมเลกุล การจำแนกประเภทตามสมมาตรนั้นเป็นไปได้ไม่เพียง แต่สำหรับฟังก์ชันคลื่นของโมเลกุลโดยรวมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงออร์บิทัลแต่ละตัวด้วย หากโครงสร้างสมดุลของโมเลกุลมีระนาบสมมาตรซึ่งมีนิวเคลียสอยู่ วงโคจรทั้งหมดของโมเลกุลนี้จะถูกแบ่งออกเป็นสองประเภท: สมมาตร (σ) และแอนติสมมาตร (π) เมื่อเทียบกับการดำเนินการของการสะท้อนในระนาบนี้ โมเลกุลที่ออร์บิทัลครอบครองสูงสุด (ในพลังงาน) คือ π-ออร์บิทัลจะก่อตัวเป็นคลาสเฉพาะของสารประกอบไม่อิ่มตัวและคอนจูเกตที่มีคุณสมบัติเป็นลักษณะเฉพาะ ความรู้เกี่ยวกับความสมมาตรเฉพาะที่ของชิ้นส่วนแต่ละส่วนของโมเลกุลและวงโคจรของโมเลกุลที่อยู่บนชิ้นส่วนเหล่านี้ ทำให้สามารถตัดสินได้ว่าชิ้นส่วนใดตื่นเต้นได้ง่ายกว่าและเปลี่ยนแปลงรุนแรงกว่าในระหว่างการเปลี่ยนแปลงทางเคมี เช่น ในระหว่างปฏิกิริยาโฟโตเคมี แนวคิดเรื่องความสมมาตรมีความสำคัญในการวิเคราะห์ทางทฤษฎีเกี่ยวกับโครงสร้างของสารประกอบเชิงซ้อน คุณสมบัติและพฤติกรรมของพวกมันในปฏิกิริยาต่างๆ ทฤษฎีสนามคริสตัลและทฤษฎีสนามลิแกนด์กำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ของวงโคจรว่างและว่างของสารประกอบเชิงซ้อน โดยอาศัยข้อมูลความสมมาตร ลักษณะและระดับของการแยกระดับพลังงานเมื่อความสมมาตรของสนามลิแกนด์เปลี่ยนแปลง ความรู้เกี่ยวกับความสมมาตรของคอมเพล็กซ์เพียงอย่างเดียวมักจะทำให้สามารถตัดสินคุณสมบัติของมันได้ในเชิงคุณภาพ ในปี 1965 P. Woodward และ R. Hoffman ได้เสนอหลักการอนุรักษ์สมมาตรของวงโคจรในปฏิกิริยาเคมี ซึ่งต่อมาได้รับการยืนยันจากวัสดุทดลองที่ครอบคลุม และมีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาเคมีอินทรีย์ในการเตรียมการ หลักการนี้ (กฎวูดวาร์ด-ฮอฟฟ์แมน) ระบุว่าปฏิกิริยาเคมีเบื้องต้นแต่ละอย่างเกิดขึ้นในขณะที่ยังคงรักษาความสมมาตรของวงโคจรของโมเลกุล หรือความสมมาตรของวงโคจรไว้ ยิ่งความสมมาตรของวงโคจรถูกละเมิดในระหว่างเหตุการณ์เบื้องต้น ปฏิกิริยาก็จะยิ่งยากขึ้นเท่านั้น การคำนึงถึงความสมมาตรของโมเลกุลเป็นสิ่งสำคัญในการค้นหาและเลือกสารที่ใช้ในการสร้างเลเซอร์เคมีและตัวเรียงกระแสระดับโมเลกุล เมื่อสร้างแบบจำลองของตัวนำยิ่งยวดอินทรีย์ เมื่อวิเคราะห์สารก่อมะเร็งและสารออกฤทธิ์ทางเภสัชวิทยา เป็นต้น ความหมาย: Hochstrasser R. ลักษณะทางโมเลกุลของสมมาตร ทรานส์ จากภาษาอังกฤษ ม. 2511; Bolotin A. B. , Stepanov N. f.. ทฤษฎีกลุ่มและการประยุกต์ในกลศาสตร์ควอนตัมของโมเลกุล, M. , 1973; Woodward R., Hoffman R., การอนุรักษ์ Orbital Symmetry, trans. จากภาษาอังกฤษ ม. 2514 เอ็น.เอฟ. สเตปานอฟ. ในชีววิทยา (ชีวสมมาตร) ปรากฏการณ์แห่งความกลมกลืนในธรรมชาติที่มีชีวิตได้รับการสังเกตย้อนกลับไปในสมัยกรีกโบราณโดยชาวพีทาโกรัส (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) ซึ่งเกี่ยวข้องกับการพัฒนาหลักคำสอนเรื่องความสามัคคี ในศตวรรษที่ 19 มีผลงานสองสามชิ้นที่เกี่ยวข้องกับการสังเคราะห์พืช (นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส O. P. Decandolle และ O. Bravo) สัตว์ (เยอรมัน - E. Haeckel) และโมเลกุลทางชีวภาพ (นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส - A. Vechan, L. Pasteur และอื่น ๆ ) ในศตวรรษที่ 20 วัตถุทางชีววิทยาได้รับการศึกษาจากมุมมองของทฤษฎีทั่วไปของการตกผลึก (นักวิทยาศาสตร์โซเวียต Yu. V. Wulf, V. N. Beklemishev, B. K. Vainshtein, นักเคมีกายภาพชาวดัตช์ F. M. Yeger, นักผลึกศาสตร์ชาวอังกฤษนำโดย J. Bernal) และหลักคำสอนเรื่องความถูกต้องและฝ่ายซ้าย ( นักวิทยาศาสตร์โซเวียต V.I. Vernadsky, V.V. Alpatov, G.F. Gause และคนอื่น ๆ ; งานเหล่านี้นำไปสู่การระบุทิศทางพิเศษในการศึกษา S. - ชีวสมมาตรในปี พ.ศ. 2504 โครงสร้าง S. ของวัตถุทางชีววิทยาได้รับการศึกษาอย่างเข้มข้นที่สุด การศึกษาโครงสร้างชีวภาพ - ระดับโมเลกุลและระดับโมเลกุล - จากมุมมองของโครงสร้างโครงสร้าง ทำให้สามารถระบุประเภทของโครงสร้างที่เป็นไปได้ล่วงหน้าสำหรับสิ่งเหล่านั้น และด้วยจำนวนและประเภทของการปรับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ และสามารถอธิบายรูปแบบภายนอกและโครงสร้างภายในอย่างเคร่งครัด ของวัตถุทางชีววิทยาเชิงพื้นที่ใดๆ สิ่งนี้นำไปสู่การใช้แนวคิดเรื่องโครงสร้าง S. อย่างกว้างขวางในสัตววิทยา พฤกษศาสตร์ และอณูชีววิทยา โครงสร้าง S. แสดงออกโดยหลักในรูปแบบของการทำซ้ำปกติอย่างใดอย่างหนึ่ง ในทฤษฎีคลาสสิกของโครงสร้างโครงสร้างที่พัฒนาโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน I. F. Hessel, E. S. Fedorov (ดู Fedorov) และคนอื่น ๆ การปรากฏตัวของโครงสร้างของวัตถุสามารถอธิบายได้ด้วยชุดองค์ประกอบของโครงสร้างนั่นคือเรขาคณิตดังกล่าว องค์ประกอบ ( จุด เส้น ระนาบ) ที่เกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับส่วนที่เหมือนกันของวัตถุ (ดูสมมาตรในทางคณิตศาสตร์) เช่นพันธุ์ส.ต้นฟลอกส ( ข้าว. 1
, c) - แกนลำดับที่ 5 หนึ่งอันที่ผ่านจุดศูนย์กลางของดอกไม้ ผลิตผ่านการทำงาน - หมุน 5 รอบ (72, 144, 216, 288 และ 360°) โดยแต่ละดอกเกิดขึ้นพร้อมกัน ทิวทัศน์ของรูปผีเสื้อส. ( ข้าว. 2
, b) - ระนาบหนึ่งแบ่งออกเป็น 2 ส่วน - ซ้ายและขวา; การดำเนินการผ่านเครื่องบินเป็นการสะท้อนกระจก "สร้าง" ครึ่งซ้ายขวา ครึ่งซ้ายขวา และร่างของผีเสื้อรวมเข้ากับตัวมันเอง สปีชีส์ S. radiolaria Lithocubus Geometricus ( ข้าว. 3
, b) นอกเหนือจากแกนการหมุนและระนาบการสะท้อนแล้ว ยังมีจุดศูนย์กลาง C อีกด้วย เส้นตรงใดๆ ที่ลากผ่านจุดเดียวภายในเรดิโอลาเรียจะบรรจบกับจุดที่เหมือนกัน (สอดคล้องกัน) ของรูปทั้งสองด้านและที่ ระยะทางเท่ากัน การดำเนินการที่ดำเนินการผ่านศูนย์กลาง S. เป็นการสะท้อนที่จุดหนึ่ง หลังจากนั้นร่างของเรดิโอลาเรียก็รวมเข้ากับตัวมันเองด้วย ในธรรมชาติที่มีชีวิต (เช่นเดียวกับในธรรมชาติที่ไม่มีชีวิต) เนื่องจากข้อจำกัดต่างๆ จึงมักพบ S. สายพันธุ์จำนวนน้อยกว่าที่เป็นไปได้ในทางทฤษฎี ตัวอย่างเช่นในขั้นตอนล่างของการพัฒนาธรรมชาติของสิ่งมีชีวิตจะพบตัวแทนของโครงสร้างจุดทุกระดับ - จนถึงสิ่งมีชีวิตที่มีลักษณะของโครงสร้างของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและลูกบอล (ดู ข้าว. 3
- อย่างไรก็ตาม ในช่วงวิวัฒนาการที่สูงขึ้น พืชและสัตว์มักถูกเรียกว่าสิ่งที่เรียกว่านี้เป็นหลัก ตามแนวแกน (ประเภท n) และแอกติโนมอร์ฟิก (ประเภท n(ม)กับ- (ทั้งสองกรณี nสามารถรับค่าได้ตั้งแต่ 1 ถึง ∞) วัตถุชีวภาพที่มีแกน S. (ดู. ข้าว. 1
) มีลักษณะเฉพาะตามแกน C ของลำดับเท่านั้น n- วัตถุชีวภาพของ sactinomorphic S. (ดู ข้าว. 2
) มีลักษณะเป็นแกนลำดับเดียว nและระนาบที่ตัดกันตามแกนนี้ ม- ชนิดพันธุ์สัตว์ป่าที่พบมากที่สุดคือ S. spp. n =
1 และ 1․ ม = มเรียกว่าตามลำดับความไม่สมมาตร (ดูความไม่สมมาตร) และระดับทวิภาคีหรือทวิภาคี S. ความไม่สมมาตรเป็นลักษณะของใบของพืชส่วนใหญ่ชนิดทวิภาคี S. - ในระดับหนึ่งสำหรับรูปร่างภายนอกของร่างกายมนุษย์สัตว์มีกระดูกสันหลัง และสัตว์ไม่มีกระดูกสันหลังหลายชนิด ในสิ่งมีชีวิตที่เคลื่อนที่ได้ การเคลื่อนไหวดังกล่าวมีความเกี่ยวข้องกับความแตกต่างในการเคลื่อนไหวขึ้นลงไปข้างหน้าและข้างหลัง ในขณะที่การเคลื่อนไหวไปทางขวาและซ้ายเหมือนกัน การละเมิด S. ในระดับทวิภาคีจะนำไปสู่การยับยั้งการเคลื่อนไหวของด้านใดด้านหนึ่งอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้และการเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนไหวการแปลให้เป็นวงกลม ในช่วงทศวรรษที่ 50-70 ศตวรรษที่ 20 ที่เรียกว่า วัตถุทางชีวภาพที่ไม่สมมาตร ( ข้าว. 4
- อย่างหลังสามารถมีอยู่ได้ในการดัดแปลงอย่างน้อยสองครั้ง - ในรูปแบบของต้นฉบับและภาพสะท้อนในกระจก (ตรงกันข้าม) ยิ่งไปกว่านั้น รูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง (ไม่ว่าจะรูปแบบใด) เรียกว่า right หรือ D (จากภาษาละติน dextro) อีกรูปแบบหนึ่งเรียกว่า ซ้าย หรือ L (จากภาษาละติน laevo) เมื่อศึกษารูปแบบและโครงสร้างของ D- และ L-bioobjects ทฤษฎีของปัจจัยที่ไม่สมมาตรได้รับการพัฒนาขึ้น ซึ่งพิสูจน์ความเป็นไปได้สำหรับ D- หรือ L-object ใดๆ ที่มีการดัดแปลงตั้งแต่สองตัวขึ้นไป (จนถึงจำนวนอนันต์) (ดูเพิ่มเติม ข้าว. 5
- ขณะเดียวกันก็มีสูตรสำหรับกำหนดจำนวนและประเภทของอย่างหลังด้วย ทฤษฎีนี้นำไปสู่การค้นพบสิ่งที่เรียกว่า ไอโซเมอริซึมทางชีวภาพ (ดูไอโซเมอริซึม) (วัตถุทางชีวภาพต่าง ๆ ที่มีองค์ประกอบเดียวกัน; บน ข้าว. 5
มีการแสดงไอโซเมอร์ของใบลินเดนจำนวน 16 ไอโซเมอร์) เมื่อศึกษาการเกิดขึ้นของวัตถุทางชีววิทยา พบว่าในบางกรณีมีรูปแบบ D เหนือกว่า ในรูปแบบ L อื่นๆ มีชัยเหนือ ในบางกรณีมีการแสดงอย่างเท่าเทียมกันบ่อยครั้ง Bechamp และ Pasteur (ยุค 40 ของศตวรรษที่ 19) และในยุค 30 ศตวรรษที่ 20 นักวิทยาศาสตร์ชาวโซเวียต G.F. Gause และคนอื่นๆ แสดงให้เห็นว่าเซลล์ของสิ่งมีชีวิตถูกสร้างขึ้นเท่านั้นหรือส่วนใหญ่มาจากกรด L-amino, L-proteins, กรด D-deoxyribonucleic, D-sugars, L-alkaloids, D- และ L-terpenes เป็นต้น e คุณสมบัติพื้นฐานและลักษณะเฉพาะของเซลล์ที่มีชีวิตซึ่งเรียกว่าโดยปาสเตอร์ความไม่สมมาตรของโปรโตพลาสซึมทำให้เซลล์ตามที่ก่อตั้งขึ้นในศตวรรษที่ 20 โดยมีเมแทบอลิซึมที่กระฉับกระเฉงมากขึ้นและได้รับการบำรุงรักษาผ่านกลไกทางชีววิทยาและเคมีกายภาพที่ซับซ้อนที่เกิดขึ้นในกระบวนการ ของวิวัฒนาการ สจ. นักวิทยาศาสตร์ V.V. Alpatov ในปี 1952 โดยใช้พืชหลอดเลือด 204 ชนิดพบว่า 93.2% ของพืชชนิดอยู่ในประเภทที่มี L-, 1.5% - โดยมี D-course หนาขึ้นของผนังหลอดเลือด, 5.3% ของสายพันธุ์ - ถึงประเภท racemic (จำนวน D-vessels เท่ากับจำนวน L-vessels โดยประมาณ) เมื่อศึกษาวัตถุชีวภาพ D และ L พบว่าในหลายกรณีมีการละเมิดความเท่าเทียมกันระหว่างรูปแบบ D และ L เนื่องจากความแตกต่างในด้านคุณสมบัติทางสรีรวิทยา ชีวเคมี และคุณสมบัติอื่น ๆ คุณลักษณะของธรรมชาติที่มีชีวิตนี้เรียกว่าความไม่สมมาตรของชีวิต ดังนั้น ผลที่น่าตื่นเต้นของกรด L-amino ต่อการเคลื่อนที่ของพลาสมาในเซลล์พืชจึงมากกว่าผลแบบเดียวกันในรูปแบบ D ของพวกมันหลายสิบเท่าหลายร้อยเท่า ยาปฏิชีวนะหลายชนิด (เพนิซิลลิน กรามิซิดิน ฯลฯ) ที่มีกรด D-amino สามารถฆ่าเชื้อแบคทีเรียได้ดีกว่ายาปฏิชีวนะในรูปแบบที่มีกรด L-amino น้ำตาลบีทรูทรูปเกลียว L-kop ทั่วไปจะมีน้ำหนักมากกว่า 8-44% (ขึ้นอยู่กับพันธุ์) และมีน้ำตาลมากกว่าน้ำตาลบีทรูท D-kop 0.5-1%
, (2)
η - ค่าคงที่ของพลังค์ การเชื่อมต่อระหว่างการแปลงเกจประเภทที่ 1 และ 2 สำหรับปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้านั้นเกิดจากบทบาทคู่ของประจุไฟฟ้า: ในด้านหนึ่งประจุไฟฟ้าเป็นปริมาณอนุรักษ์และอีกด้านหนึ่งจะทำหน้าที่เป็นค่าคงที่ของการโต้ตอบที่แสดงลักษณะเฉพาะ การเชื่อมต่อของสนามแม่เหล็กไฟฟ้ากับอนุภาคที่มีประจุ
การประชุมทางวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติระดับภูมิภาค
เด็กนักเรียน "สู่จุดสูงสุดแห่งความรู้"
หมวด “สาขาวิชาธรรมชาติและคณิตศาสตร์”
หัวข้อ: “ความสมมาตรเป็นสัญลักษณ์ของความงาม ความกลมกลืน และความสมบูรณ์แบบ”
เสร็จสิ้นโดย: Nuralinova Evgeniya Sergeevna
สถาบันการศึกษาเทศบาล โรงเรียนมัธยม Rozhdestvenskaya ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8
หัวหน้า: มิทินา สเวตลานา เปตรอฟนา
ครูคณิตศาสตร์
โทรศัพท์ติดต่อ: 26-539.
§1 การแนะนำ
§2 สมมาตรคืออะไร? ประเภทของเรขาคณิต
§3 การสำแดงความสมมาตรในสิ่งมีชีวิตและไม่มีชีวิต
§4 การใช้กฎสมมาตรโดยมนุษย์
§5 บทสรุป
§6 วรรณกรรม
§7 การใช้งาน
§1 การแนะนำ
เมื่อเราพูดถึงหัวข้อ "สมมาตร" ในเรขาคณิต เราก็มีเวลาน้อยมาก แต่ฉันคิดว่าหัวข้อนี้น่าสนใจ เลยตัดสินใจทำวิจัย ฉันต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหานี้เพราะฉันเคยได้ยินคำนี้มากกว่าหนึ่งครั้งในวิชาอื่นและในชีวิตประจำวัน เมื่อฉันเริ่มค้นคว้า ฉันสังเกตเห็นว่าความสมมาตรไม่ได้เป็นเพียงแนวคิดทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังปรากฏให้เห็นเป็นสิ่งสวยงามในธรรมชาติที่มีชีวิตและไม่มีชีวิต ตลอดจนในการสร้างสรรค์ของมนุษย์ ดังนั้นฉันจึงถามตัวเองด้วยคำถามที่เป็นปัญหาต่อไปนี้:
ความกลมกลืนของความสมมาตรปรากฏให้เห็นในธรรมชาติอย่างไร?
ความสมมาตรประเภทใดที่พบในธรรมชาติ
มนุษย์ใช้ความงามของความสมมาตรในการสร้างสรรค์ของเขาอย่างไร?
ดังนั้นฉันจึงเรียกหัวข้องานวิจัยของฉันว่า "สมมาตร - สัญลักษณ์แห่งความงาม ความกลมกลืน และความสมบูรณ์แบบ"
§2 สมมาตรคืออะไร? ประเภทของเรขาคณิต
โอ้สมมาตร! ฉันร้องเพลงของคุณ!
ฉันจำคุณได้ทุกที่ในโลก
คุณอยู่ในหอไอเฟลในฝูงสัตว์ตัวเล็ก ๆ
คุณอยู่ในต้นคริสต์มาสใกล้เส้นทางป่า
ทั้งทิวลิปและดอกกุหลาบเป็นเพื่อนกับคุณ
และฝูงหิมะก็กลายเป็นน้ำค้างแข็ง!
สมมาตรคืออะไร? ในพจนานุกรมอธิบายของ S.I. ความสมมาตรของ Ozhegov ถูกตีความว่าเป็น "สัดส่วน ความเหมือนกันในการจัดเรียงส่วนของบางสิ่งบางอย่างที่อยู่ด้านตรงข้ามของจุด เส้นตรง หรือระนาบ" จากพจนานุกรมเล่มเดียวกัน ฉันได้เรียนรู้ว่าคำว่าความสามัคคีหมายถึง "ความสอดคล้อง ความกลมกลืนในการรวมกันของบางสิ่งบางอย่าง" เราเห็นว่าความสมมาตรและความกลมกลืนมีความสัมพันธ์กัน
ก่อนอื่น ฉันจะพิจารณาว่าประเภทของความสมมาตรที่พบในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนคืออะไร และนี่คือ:
ส่วนกลาง (สัมพันธ์กับจุด)
ตามแนวแกน (ค่อนข้างตรง)
กระจกเงา (สัมพันธ์กับเครื่องบิน)
สมมาตรกลาง
ตัวเลขนั้นมีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อจุด O ถ้าจุดแต่ละจุดของรูปนั้นมีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อจุด O อยู่ในรูปนี้ด้วย จุด O เรียกว่าจุดศูนย์กลางสมมาตรของรูป กล่าวกันว่าตัวเลขดังกล่าวมีความสมมาตรตรงกลาง (ดูรูปที่ 1)
สมมาตรตามแนวแกน
ว่ากันว่าร่างนี้มีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรง กถ้ามีจุดสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นตรงสำหรับแต่ละจุดของรูป กก็เป็นของตัวเลขนี้เช่นกัน ตรง กเรียกว่าแกนสมมาตรของรูป กล่าวกันว่าตัวเลขดังกล่าวมีความสมมาตรตามแนวแกน (ดูรูปที่ 2)
ความสมมาตรของกระจก
สมมาตรของกระจก (สมมาตรสัมพันธ์กับระนาบ) คือการจัดทำแผนผังของอวกาศบนตัวมันเอง โดยที่จุด M ใดๆ เข้าไปในจุด M1 ที่มีความสมมาตรสัมพันธ์กับระนาบนี้ (ดูรูปที่ 3)
ตอนนี้หลังจากสังเกตและศึกษาวรรณกรรมพิเศษแล้ว ฉันต้องการดูว่าความสมมาตรจะสะท้อนไปที่ใด ทำไมเราถึงพบว่าบางสิ่งสวยงามและบางอย่างไม่? เหตุใดการดูภาพสมมาตรจึงน่าพึงพอใจมากกว่าภาพที่ไม่สมมาตร
§3 การสำแดงความสมมาตรในสิ่งมีชีวิตและไม่มีชีวิต
ความงามในธรรมชาติไม่ได้ถูกสร้างขึ้น แต่เพียงบันทึกและแสดงออกเท่านั้น ให้เราพิจารณาการสำแดงความสมมาตรจาก "โลก" นั่นคือจากโลกของเรา
ความจริงที่ว่าโลกเป็นลูกบอลกลายเป็นที่รู้จักของผู้มีการศึกษาในสมัยโบราณ โลกในความคิดของคนที่อ่านหนังสือดีที่สุดก่อนยุคโคเปอร์นิคัส เป็นศูนย์กลางของจักรวาล ดังนั้นพวกเขาจึงถือว่าเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของโลกเป็นศูนย์กลางของความสมมาตรของจักรวาล ดังนั้นแม้แต่แบบจำลองของโลก - ลูกโลกก็มีแกนสมมาตร (ดูรูปที่ 4)
ตัวอย่างเช่นในบรรดาดอกไม้มีความสมมาตรในการหมุน ดอกไม้จำนวนมากสามารถหมุนได้เพื่อให้กลีบแต่ละกลีบเข้ารับตำแหน่งของเพื่อนบ้าน ดอกไม้จะเรียงตัวกับตัวมันเอง มุมขั้นต่ำของการหมุนดังกล่าวไม่เหมือนกันสำหรับสีที่ต่างกัน สำหรับม่านตาคือ 120° (ดูรูปที่ 5) สำหรับดอกระฆัง – 72° (ดูรูปที่ 6) สำหรับนาร์ซิสซัส – 60° (ดูรูปที่ 7) มีความสมมาตรแบบเกลียวในการจัดเรียงใบบนลำต้นของพืช วางตำแหน่งเหมือนสกรูตามก้าน ใบไม้ดูเหมือนจะแผ่ออกไปในทิศทางที่แตกต่างกันและไม่บังแสงซึ่งกันและกัน (ดูรูปที่ 8) แม้ว่าตัวใบเองก็จะมีแกนสมมาตรเช่นกัน (ดูรูปที่ 9) เมื่อพิจารณาถึงแผนทั่วไปของโครงสร้างของสัตว์ใดๆ เรามักจะสังเกตเห็นความสม่ำเสมอบางประการในการจัดเรียงส่วนต่างๆ ของร่างกายหรืออวัยวะ ซึ่งเกิดขึ้นซ้ำๆ รอบแกนใดแกนหนึ่งหรืออยู่ในตำแหน่งเดียวกันโดยสัมพันธ์กับระนาบใดระนาบหนึ่ง ความสม่ำเสมอนี้เรียกว่าความสมมาตรของร่างกาย ปรากฏการณ์ความสมมาตรแพร่หลายมากในโลกของสัตว์จนเป็นเรื่องยากมากที่จะระบุกลุ่มที่ไม่สามารถสังเกตเห็นความสมมาตรของร่างกายได้ ทั้งแมลงตัวเล็กและสัตว์ใหญ่มีความสมมาตร (ดูรูปที่ 10, 11, 12)
· ท่ามกลางรูปแบบต่างๆ ของธรรมชาติที่ไม่มีชีวิตอันไม่มีที่สิ้นสุด ภาพที่สมบูรณ์แบบดังกล่าวมีอยู่มากมาย ซึ่งรูปลักษณ์ภายนอกนั้นดึงดูดความสนใจของเราอยู่เสมอ เมื่อสังเกตความงามของธรรมชาติ คุณจะสังเกตได้ว่าเมื่อวัตถุสะท้อนอยู่ในแอ่งน้ำและทะเลสาบ ความสมมาตรของกระจกจะปรากฏขึ้น
คุณเห็นไหม? นี่คือความพิเศษที่เปลือยเปล่า!
นิสัยโง่เขลาเธอไม่สนใจอะไรอย่างกระตือรือร้นขนาดนี้
เกี่ยวกับความสมดุล (ดูรูปที่ 13)
(เวเนดิกต์ เอโรเฟเยฟ)
คริสตัลนำเสน่ห์แห่งความสมมาตรมาสู่โลกแห่งธรรมชาติที่ไม่มีชีวิต (ดูรูปที่ 14) เกล็ดหิมะแต่ละอันเป็นผลึกเล็กๆ ของน้ำแช่แข็ง รูปร่างของเกล็ดหิมะสามารถมีความหลากหลายมาก แต่พวกมันทั้งหมดมีความสมมาตรในการหมุนและนอกจากนั้นยังมีความสมมาตรของกระจกอีกด้วย (ดูรูปที่ 15)
คริสตัลคืออะไร? ลำตัวแข็งที่มีรูปร่างตามธรรมชาติของรูปทรงหลายเหลี่ยม เกลือ น้ำแข็ง ทราย ฯลฯ ประกอบด้วยคริสตัล ก่อนอื่น Romeu-Delisle เน้นย้ำถึงรูปทรงเรขาคณิตที่ถูกต้องของคริสตัลตามกฎความคงตัวของมุมระหว่างใบหน้า เขาเขียนว่า: "ร่างกายทั้งหมดของอาณาจักรแร่เริ่มถูกจำแนกเป็นคริสตัล ซึ่งพบรูปร่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมทางเรขาคณิต..." รูปร่างที่ถูกต้องของคริสตัลเกิดขึ้นด้วยเหตุผลสองประการ ประการแรกคริสตัลประกอบด้วยอนุภาคมูลฐาน - โมเลกุลซึ่งมีรูปร่างที่ถูกต้อง ประการที่สอง “โมเลกุลดังกล่าวมีคุณสมบัติที่น่าทึ่งในการเชื่อมต่อซึ่งกันและกันตามลำดับสมมาตร”
ทำไมคริสตัลถึงสวยงามและน่าดึงดูด? คุณสมบัติทางกายภาพและเคมีถูกกำหนดโดยโครงสร้างทางเรขาคณิต ในด้านผลึกศาสตร์ (ศาสตร์แห่งผลึก) ยังมีส่วนที่เรียกว่า "ผลึกศาสตร์เชิงเรขาคณิต" ด้วยซ้ำ ในปี พ.ศ. 2410 นายพลปืนใหญ่ศาสตราจารย์ที่ Mikhailovsky Academy ในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก A.V. กาโดลินได้รับมาทางคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัดจากการรวมกันขององค์ประกอบสมมาตรที่มีลักษณะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบผลึก ตัวอย่างเช่น โกเมนตกอยู่ในระบบแรกที่เรียกว่าระบบลูกบาศก์ ซึ่งผลึกทั้งหมดมีองค์ประกอบสมมาตรเหมือนกับลูกบาศก์
(เช่นผลึกเกลือแกงมีรูปร่างเป็นลูกบาศก์) โดยรวมแล้ว รูปร่างคริสตัลในอุดมคติมีความสมมาตรถึง 32 ประเภท
เป็นเรื่องง่ายที่จะจินตนาการว่าโลกจะเกิดความสับสนแบบไหนหากความสมมาตรในธรรมชาติถูกทำลาย!
§4 การใช้กฎสมมาตรโดยมนุษย์
เมื่อได้เห็นความสมมาตรในธรรมชาติแล้ว ฉันอยากรู้ว่าผู้คนนำรูปแบบเหล่านี้ไปใช้ในการสร้างสรรค์ของพวกเขาหรือไม่
ความสมมาตรสามารถพบได้เกือบทุกที่หากคุณรู้วิธีมองหามัน ตั้งแต่สมัยโบราณ ผู้คนจำนวนมากมีแนวคิดเรื่องความสมมาตรในความหมายกว้างๆ นั่นคือความสมดุลและความกลมกลืน ความคิดสร้างสรรค์ของมนุษย์ในทุกรูปแบบมีแนวโน้มที่จะมีความสมมาตร ด้วยความสมมาตร มนุษย์พยายามเสมอมาตามคำพูดของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน แฮร์มันน์ ไวล์ "เพื่อทำความเข้าใจและสร้างระเบียบ ความงาม และความสมบูรณ์แบบ" G. Weil เข้าใจความสมมาตรว่าเป็น “ความไม่เปลี่ยนรูปของวัตถุใดๆ ภายใต้การเปลี่ยนแปลงบางประเภท วัตถุจะมีความสมมาตรเมื่อสามารถถูกใช้งานบางอย่างได้ หลังจากนั้นมันจะดูเหมือนเดิมก่อนการแปลง” G. Weil อุทิศบทหนึ่งให้กับสมมาตรประดับ เราค้นหาความเป็นระเบียบและการอยู่ใต้บังคับบัญชาของกฎบางชุดในรูปแบบและเครื่องประดับ (ดูรูปที่ 16)
อดไม่ได้ที่จะมองเห็นความสมมาตรในอัญมณีเหลี่ยมเพชรพลอย ช่างตัดเพชรจำนวนมากพยายามทำให้เพชรมีรูปร่างเป็นทรงจัตุรมุข ทรงลูกบาศก์ ทรงแปดหน้า หรือรูปทรงทรงแปดหน้า เนื่องจากโกเมนมีองค์ประกอบเช่นเดียวกับลูกบาศก์ จึงได้รับการยกย่องอย่างสูงจากผู้ที่ชื่นชอบอัญมณี สิ่งของทางศิลปะที่ทำจากโกเมนถูกค้นพบในสุสานของอียิปต์โบราณที่มีอายุย้อนไปถึงยุคก่อนราชวงศ์ (มากกว่าสองพันปีก่อนคริสต์ศักราช)
ในคอลเลกชัน Hermitage เครื่องประดับทองคำของชาวไซเธียนโบราณได้รับความสนใจเป็นพิเศษ งานศิลปะที่ใช้พวงมาลาทองคำ มงกุฏ ไม้ และประดับด้วยโกเมนสีแดงม่วงอันล้ำค่านั้นดูสวยงามผิดปกติ (ดูรูปที่ 17, 18)
การใช้กฎแห่งความสมมาตรในชีวิตที่ชัดเจนที่สุดประการหนึ่งคือในโครงสร้างทางสถาปัตยกรรม นี่คือสิ่งที่เราเห็นบ่อยที่สุด ในทางสถาปัตยกรรม แกนสมมาตรถูกใช้เป็นวิธีการแสดงออกถึงการออกแบบทางสถาปัตยกรรม มีตัวอย่างมากมายของการใช้ความสมมาตรในสถาปัตยกรรม หนึ่งในนั้นคือโรงละครโอเปร่าและบัลเล่ต์ Novosibirsk ที่สวยงาม (ดูรูปที่ 19) และแม้แต่ที่นี่ ในเมืองคูปิโน ก็มีอาคารที่มีความสมมาตร - อาคารของฝ่ายบริหารของเขตคูปินสกี้ (ดูรูปที่ 20)