ความสมมาตรส่วนกลางและแนวแกน ความสมมาตรของแกนในธรรมชาติที่มีชีวิตและไม่มีชีวิต

สมมาตรตามแนวแกนและแนวคิดเรื่องความสมบูรณ์แบบ

ความสมมาตรของแนวแกนนั้นมีอยู่ในธรรมชาติทุกรูปแบบ และเป็นหนึ่งในหลักการพื้นฐานของความงาม ตั้งแต่สมัยโบราณมนุษย์ได้พยายาม

เพื่อเข้าใจความหมายของความสมบูรณ์แบบ แนวคิดนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยศิลปิน นักปรัชญา และนักคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณ และคำว่า "สมมาตร" ก็ถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยพวกเขาเอง แสดงถึงความเป็นสัดส่วน ความกลมกลืน และเอกลักษณ์ของส่วนต่างๆ โดยรวม เพลโต นักคิดชาวกรีกโบราณแย้งว่า วัตถุที่มีความสมมาตรและได้สัดส่วนเท่านั้นจึงจะสวยงามได้ แท้จริงปรากฏการณ์และรูปแบบเหล่านั้นที่สมส่วนและสมบูรณ์นั้น “พึงเห็นแก่ตา” เราเรียกพวกเขาว่าถูกต้อง

สมมาตรตามแนวแกนเป็นแนวคิด

ความสมมาตรในโลกของสิ่งมีชีวิตปรากฏให้เห็นในการจัดเรียงส่วนที่เหมือนกันของร่างกายสัมพันธ์กับศูนย์กลางหรือแกนเป็นประจำ บ่อยขึ้นใน

ความสมมาตรของแกนเกิดขึ้นในธรรมชาติ มันกำหนดไม่เพียง แต่โครงสร้างทั่วไปของสิ่งมีชีวิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเป็นไปได้ของการพัฒนาในภายหลังด้วย รูปทรงเรขาคณิตและสัดส่วนของสิ่งมีชีวิตเกิดจาก "สมมาตรตามแนวแกน" คำจำกัดความมีดังต่อไปนี้: นี่คือคุณสมบัติของวัตถุที่จะรวมกันภายใต้การแปลงต่างๆ คนโบราณเชื่อว่าทรงกลมมีหลักการสมมาตรอย่างเต็มที่ พวกเขาถือว่ารูปแบบนี้กลมกลืนและสมบูรณ์แบบ

ความสมมาตรของแกนในธรรมชาติของสิ่งมีชีวิต

หากคุณมองไปที่สิ่งมีชีวิตใด ๆ ความสมมาตรของโครงสร้างของร่างกายจะดึงดูดสายตาคุณทันที มนุษย์: สองแขน สองขา สองตา สองหู และอื่นๆ สัตว์แต่ละชนิดมีสีเฉพาะตัว หากลวดลายปรากฏขึ้นในการระบายสี ตามกฎแล้วลวดลายนั้นจะถูกมิเรอร์ทั้งสองด้าน ซึ่งหมายความว่ามีเส้นบางเส้นที่สัตว์และผู้คนสามารถแบ่งสายตาออกเป็นสองซีกที่เหมือนกันได้นั่นคือโครงสร้างทางเรขาคณิตของพวกมันนั้นขึ้นอยู่กับสมมาตรตามแนวแกน ธรรมชาติสร้างสิ่งมีชีวิตใดๆ ก็ตามที่ไม่วุ่นวายและไร้สติ แต่ตามกฎทั่วไปของระเบียบโลก เพราะไม่มีสิ่งใดในจักรวาลที่มีจุดประสงค์ในการตกแต่งและสุนทรีย์ล้วนๆ การมีอยู่ของรูปแบบต่างๆ ก็เนื่องมาจากความจำเป็นตามธรรมชาติเช่นกัน

ความสมมาตรของแกนในธรรมชาติที่ไม่มีชีวิต

ในโลกนี้ เราถูกรายล้อมไปด้วยปรากฏการณ์และวัตถุต่างๆ เช่น พายุไต้ฝุ่น สายรุ้ง หยดน้ำ ใบไม้ ดอกไม้ ฯลฯ กระจกเงา รัศมี ศูนย์กลาง และสมมาตรตามแนวแกนนั้นชัดเจน สาเหตุหลักมาจากปรากฏการณ์แรงโน้มถ่วง บ่อยครั้ง แนวคิดเรื่องความสมมาตรหมายถึงความสม่ำเสมอของการเปลี่ยนแปลงในปรากฏการณ์บางอย่าง เช่น กลางวันและกลางคืน ฤดูหนาว ฤดูใบไม้ผลิ ฤดูร้อน ฤดูใบไม้ร่วง และอื่นๆ ในทางปฏิบัติ คุณสมบัตินี้มีอยู่ทุกที่ที่มีการปฏิบัติตามคำสั่ง และกฎของธรรมชาติเอง - ชีวภาพ, เคมี, พันธุกรรม, ดาราศาสตร์ - อยู่ภายใต้หลักการของความสมมาตรที่เราทุกคนพบเห็นร่วมกันเนื่องจากพวกมันมีระบบที่น่าอิจฉา ดังนั้นความสมดุล อัตลักษณ์ ซึ่งเป็นหลักการจึงมีขอบเขตสากล ความสมมาตรของแกนในธรรมชาติเป็นหนึ่งในกฎ "หลักสำคัญ" ที่เป็นพื้นฐานของจักรวาลโดยรวม

MBOU "โรงเรียนมัธยม Tyuktet หมายเลข 1"

สมาคมวิทยาศาสตร์นักศึกษา “เราอยากเรียนอย่างแข็งขัน”

ทิศทางทางกายภาพ - คณิตศาสตร์และเทคนิค

อาร์วินติ ทัตยานา

โลซคินา มาเรีย

เอ็มโบ "TSOSH หมายเลข 1"

5 คลาส "เอ"

เอ็มโบ "TSOSH หมายเลข 1"

ครูคณิตศาสตร์

บทนำ……………………………………………………………………...3

I. 1. สมมาตร ประเภทของสมมาตร..…………………………………………......4

I. 2. ความสมมาตรรอบตัวเรา………………………………………………...6

I. 3. เครื่องประดับแนวแกนและสมมาตรส่วนกลาง ….…………………………… 7

ครั้งที่สอง ความสมมาตรในงานเย็บปักถักร้อย

ครั้งที่สอง 1. ความสมมาตรในการถัก……………………………………………...10

ครั้งที่สอง 2. สมมาตรใน origami …..……………………………………………11

ครั้งที่สอง 3. ความสมมาตรในการประดับด้วยลูกปัด…………………………………………………………….12

ครั้งที่สอง 4. ความสมมาตรในการเย็บปักถักร้อย……………………………………………………… 13

ครั้งที่สอง 5. ความสมมาตรในงานฝีมือที่ทำจากไม้ขีด………………………………………………………...14

ครั้งที่สอง 6. ความสมมาตรในการทอผ้าเมคราเม่………………………………………………………….15

บทสรุป…………………………………………………………………….16

บรรณานุกรม………………………………………………………..17

การแนะนำ

แนวคิดพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ประการหนึ่งซึ่งควบคู่ไปกับแนวคิดเรื่อง "ความสามัคคี" เกี่ยวข้องกับโครงสร้างเกือบทั้งหมดของธรรมชาติ วิทยาศาสตร์ และศิลปะ ก็คือ "สมมาตร"

นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียง Hermann Weyl ชื่นชมบทบาทของความสมมาตรในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่อย่างสูง:

“ความสมมาตรไม่ว่าเราจะเข้าใจคำนี้ในวงกว้างหรือแคบเพียงใด ก็เป็นแนวคิดที่ได้รับความช่วยเหลือจากมนุษย์พยายามอธิบายและสร้างระเบียบ ความงาม และความสมบูรณ์แบบ”

เราทุกคนต่างชื่นชมความงามของรูปทรงเรขาคณิตและการผสมผสานกัน เช่น หมอน ผ้าเช็ดปากถัก และเสื้อผ้าปัก

เป็นเวลาหลายศตวรรษมาแล้วที่ชนชาติต่างๆ ได้สร้างงานศิลปะการตกแต่งและประยุกต์ประเภทต่างๆ ที่ยอดเยี่ยม หลายคนเชื่อว่าคณิตศาสตร์ไม่น่าสนใจและมีเพียงสูตร ปัญหา ผลเฉลย และสมการเท่านั้น เราต้องการแสดงในงานของเราว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่หลากหลาย และเป้าหมายหลักคือการแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่น่าทึ่งและไม่ธรรมดาสำหรับการศึกษา ซึ่งเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับชีวิตมนุษย์

งานนี้ตรวจสอบสินค้าหัตถกรรมเพื่อความสมมาตร

ประเภทงานเย็บปักถักร้อยที่เรากำลังพิจารณานั้นมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับคณิตศาสตร์ เนื่องจากงานใช้รูปทรงเรขาคณิตต่าง ๆ ที่อาจมีการเปลี่ยนแปลงทางคณิตศาสตร์ ในเรื่องนี้ได้ทำการศึกษาแนวคิดทางคณิตศาสตร์เช่นความสมมาตรและประเภทของความสมมาตร

วัตถุประสงค์ของการศึกษา:ศึกษาข้อมูลเกี่ยวกับความสมมาตร ค้นหารายการหัตถกรรมที่มีความสมมาตร

วัตถุประสงค์การวิจัย:

· เชิงทฤษฎี:ศึกษาแนวคิดเรื่องความสมมาตรและประเภทของมัน

· ใช้ได้จริง:ค้นหางานฝีมือแบบสมมาตร กำหนดประเภทของความสมมาตร

สมมาตร. ประเภทของความสมมาตร

สมมาตร(หมายถึง "ความเป็นสัดส่วน") - คุณสมบัติของวัตถุทางเรขาคณิตที่จะรวมเข้าด้วยกันภายใต้การเปลี่ยนแปลงบางอย่าง สมมาตรเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นความสม่ำเสมอในโครงสร้างภายในของร่างกายหรือรูปร่าง

สมมาตรเกี่ยวกับจุดหนึ่งๆ คือสมมาตรส่วนกลาง และสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรงคือสมมาตรตามแนวแกน

สมมาตรเกี่ยวกับจุดหนึ่ง (สมมาตรกลาง) ถือว่ามีบางสิ่งบางอย่างอยู่ทั้งสองด้านของจุดที่ระยะห่างเท่ากัน เช่น จุดอื่นๆ หรือตำแหน่งของจุด (เส้นตรง เส้นโค้ง รูปทรงเรขาคณิต) หากคุณเชื่อมต่อจุดสมมาตร (จุดของรูปทรงเรขาคณิต) กับเส้นตรงผ่านจุดสมมาตร จุดสมมาตรจะอยู่ที่ปลายเส้นตรง และจุดสมมาตรจะอยู่ตรงกลาง หากคุณกำหนดจุดสมมาตรและหมุนเส้นตรง จุดสมมาตรจะอธิบายเส้นโค้ง ซึ่งแต่ละจุดจะสมมาตรไปยังจุดของเส้นโค้งอีกเส้นด้วย

การหมุนรอบจุดที่กำหนด O คือการเคลื่อนที่โดยรังสีแต่ละเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดนี้หมุนไปในมุมเดียวกันในทิศทางเดียวกัน

สมมาตรสัมพันธ์กับเส้นตรง (แกนสมมาตร) ถือว่าจุดสมมาตรสองจุดอยู่ห่างจากจุดสมมาตรแต่ละจุดในแนวตั้งฉากที่ลากผ่านแต่ละจุด รูปทรงเรขาคณิตเดียวกันสามารถระบุตำแหน่งโดยสัมพันธ์กับแกนสมมาตร (เส้นตรง) เทียบกับจุดสมมาตร ตัวอย่างจะเป็นแผ่นสมุดบันทึกที่พับครึ่งหากลากเส้นตรงไปตามเส้นพับ (แกนสมมาตร) แต่ละจุดบนครึ่งหนึ่งของแผ่นงานจะมีจุดสมมาตรบนครึ่งหลังของแผ่นงานหากอยู่ห่างจากเส้นพับเท่ากันและตั้งฉากกับแกน แกนสมมาตรทำหน้าที่เป็นฉากตั้งฉากกับจุดกึ่งกลางของเส้นแนวนอนที่ล้อมรอบแผ่นงาน จุดสมมาตรอยู่ที่ระยะห่างเท่ากันจากเส้นแกน - ตั้งฉากกับเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้ ดังนั้น จุดทุกจุดในแนวตั้งฉาก (แกนสมมาตร) ที่ลากผ่านตรงกลางของส่วนจึงมีระยะห่างจากปลายเท่ากัน หรือจุดใดๆ ที่ตั้งฉาก (แกนสมมาตร) ไปยังจุดกึ่งกลางของส่วนและอยู่ห่างจากปลายของส่วนนี้เท่ากัน

Coll" href="/text/category/koll/" rel="bookmark">คอลเลกชั่น Hermitage ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับเครื่องประดับทองคำของชาวไซเธียนโบราณ งานศิลปะจากพวงหรีดทองคำ มงกุฏ ไม้ และตกแต่งด้วยสีแดงอันล้ำค่า โกเมนไวโอเล็ตนั้นดีอย่างผิดปกติ

การใช้กฎแห่งความสมมาตรในชีวิตที่ชัดเจนที่สุดประการหนึ่งคือในโครงสร้างทางสถาปัตยกรรม นี่คือสิ่งที่เราเห็นบ่อยที่สุด ในสถาปัตยกรรม แกนสมมาตรถูกใช้เป็นวิธีการแสดงออกถึงการออกแบบทางสถาปัตยกรรม

อีกตัวอย่างหนึ่งของบุคคลที่ใช้ความสมมาตรในการฝึกฝนคือเทคโนโลยี ในทางวิศวกรรม แกนสมมาตรจะถูกระบุอย่างชัดเจนที่สุดเมื่อจำเป็นต้องประมาณค่าเบี่ยงเบนจากตำแหน่งศูนย์ เช่น บนพวงมาลัยของรถบรรทุกหรือบนพวงมาลัยของเรือ หรือสิ่งประดิษฐ์ที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของมนุษย์ที่มีศูนย์กลางของความสมมาตรก็คือ วงล้อ ใบพัดและวิธีการทางเทคนิคอื่น ๆ ก็มีศูนย์กลางของความสมมาตรเช่นกัน

เครื่องประดับตามแนวแกนและสมมาตรตรงกลาง

องค์ประกอบที่สร้างขึ้นบนหลักการของการตกแต่งพรมสามารถมีโครงสร้างที่สมมาตรได้ การวาดภาพนั้นจัดเรียงตามหลักการสมมาตรสัมพันธ์กับแกนสมมาตรหนึ่งหรือสองแกน รูปแบบของพรมมักประกอบด้วยสมมาตรหลายประเภท - แนวแกนและศูนย์กลาง

รูปที่ 1 แสดงไดอะแกรมสำหรับทำเครื่องหมายระนาบสำหรับเครื่องประดับพรมซึ่งองค์ประกอบจะถูกสร้างขึ้นตามแกนสมมาตร บนระนาบตามแนวเส้นรอบวงจะกำหนดตำแหน่งและขนาดของเส้นขอบ สนามกลางจะถูกครอบครองโดยเครื่องประดับหลัก

ตัวเลือกสำหรับการแก้ปัญหาการจัดองค์ประกอบต่างๆ ของระนาบจะแสดงในรูปที่ 1 b-d ในรูปที่ 1 b องค์ประกอบจะถูกสร้างขึ้นที่ส่วนกลางของสนาม โครงร่างอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับรูปร่างของสนาม หากเครื่องบินมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาว องค์ประกอบจะได้รับโครงร่างของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือวงรียาว รูปร่างสี่เหลี่ยมจัตุรัสของสนามน่าจะรองรับได้ดีกว่าด้วยองค์ประกอบที่ล้อมรอบด้วยวงกลมหรือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้านเท่า

รูปที่ 1 ความสมมาตรของแกน

รูปที่ 1c แสดงแผนภาพองค์ประกอบที่กล่าวถึงในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ซึ่งเสริมด้วยองค์ประกอบมุมเล็กๆ ในรูปที่ 1d แผนภาพองค์ประกอบถูกสร้างขึ้นตามแกนนอน ประกอบด้วยองค์ประกอบส่วนกลางที่มีสองด้าน โครงร่างที่พิจารณาสามารถใช้เป็นพื้นฐานในการเขียนเรียงความที่มีแกนสมมาตรสองแกน

ผู้ชมจากทุกด้านจะรับรู้การเรียบเรียงดังกล่าวอย่างเท่าเทียมกัน ตามกฎแล้วไม่มีส่วนบนและล่างเด่นชัด
เครื่องประดับพรมสามารถประกอบด้วยองค์ประกอบส่วนกลางที่มีแกนสมมาตรหนึ่งแกน (รูปที่ 1e) องค์ประกอบดังกล่าวมีการวางแนวที่ชัดเจน โดยมีทั้งด้านบนและด้านล่าง

ส่วนกลางไม่เพียงแต่สามารถทำได้ในรูปแบบของเครื่องประดับนามธรรมเท่านั้น แต่ยังมีธีมอีกด้วย
ตัวอย่างทั้งหมดของการพัฒนาเครื่องประดับและองค์ประกอบตามที่กล่าวไว้ข้างต้นเกี่ยวข้องกับระนาบสี่เหลี่ยม รูปร่างของพื้นผิวสี่เหลี่ยมเป็นเรื่องธรรมดา แต่ไม่ใช่พื้นผิวประเภทเดียวเท่านั้น

กล่อง ถาด จาน อาจมีพื้นผิวเป็นรูปวงกลมหรือวงรี หนึ่งในตัวเลือกสำหรับการตกแต่งอาจเป็นเครื่องประดับที่สมมาตรจากส่วนกลาง พื้นฐานสำหรับการสร้างเครื่องประดับดังกล่าวคือศูนย์กลางของความสมมาตรซึ่งสามารถผ่านแกนสมมาตรจำนวนอนันต์ได้ (รูปที่ 2a)

ลองพิจารณาตัวอย่างการพัฒนาเครื่องประดับที่ถูกจำกัดด้วยวงกลมและมีสมมาตรตรงกลาง (รูปที่ 2) โครงสร้างของเครื่องประดับเป็นแบบรัศมี องค์ประกอบหลักตั้งอยู่ตามแนวรัศมีของวงกลม ขอบของเครื่องประดับก็ประดับด้วยเส้นขอบ

รูปที่ 2. เครื่องประดับสมมาตรตรงกลาง.

ครั้งที่สอง- ความสมมาตรในงานเย็บปักถักร้อย

ครั้งที่สอง- 1. ความสมมาตรในการถัก

เราพบงานฝีมือถักที่มีความสมมาตรตรงกลาง:

https://pandia.ru/text/78/640/images/image014_2.jpg" width="280" height="272"> https://pandia.ru/text/78/640/images/image016_0.jpg" width="333" height="222"> .gif" alt="C:\Users\Family\Desktop\obemnaya_snezhinka_4.jpg" width="274" height="275">.gif" alt="P:\ข้อมูลของฉัน\เอกสารของฉัน\เกรด 5\Symetry\SDC15972.JPG" width="338" height="275">.jpg" width="250" height="249">!} .jpg" width="186" height="246"> .gif" alt="G:\Marietta\_resize-of-i-9.jpg" width="325" height="306">!} .jpg" width="217" height="287"> .jpg" width="265" height="199"> .gif" alt="G:\Marietta\cherepashkaArsik.jpg" width="323" height="222">!}

เป้าหมาย:

• ทางการศึกษา:
  • ให้แนวคิดเรื่องความสมมาตร
  • แนะนำประเภทสมมาตรหลัก ๆ บนเครื่องบินและในอวกาศ
  • พัฒนาทักษะที่แข็งแกร่งในการสร้างตัวเลขสมมาตร
  • ขยายความเข้าใจเกี่ยวกับบุคคลที่มีชื่อเสียงโดยแนะนำคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับความสมมาตร
  • แสดงความเป็นไปได้ในการใช้ความสมมาตรในการแก้ปัญหาต่างๆ
  • รวบรวมความรู้ที่ได้รับ
• การศึกษาทั่วไป:
  • สอนตัวเองถึงวิธีการเตรียมตัวสำหรับการทำงาน
  • สอนวิธีควบคุมตัวเองและเพื่อนบ้านบนโต๊ะ
  • สอนให้ประเมินตัวเองและเพื่อนบ้านบนโต๊ะ
• การพัฒนา:
  • กระชับกิจกรรมอิสระ
  • พัฒนากิจกรรมการเรียนรู้
  • เรียนรู้ที่จะสรุปและจัดระบบข้อมูลที่ได้รับ
• ทางการศึกษา:
  • พัฒนา “ความรู้สึกไหล่” ในนักเรียน
  • ปลูกฝังทักษะการสื่อสาร
  • ปลูกฝังวัฒนธรรมแห่งการสื่อสาร

ความก้าวหน้าของบทเรียน

ด้านหน้าของแต่ละคนมีกรรไกรและกระดาษแผ่นหนึ่ง

ภารกิจที่ 1(3 นาที)

- หยิบกระดาษแผ่นหนึ่งพับเป็นชิ้น ๆ แล้วตัดออก ทีนี้มาคลี่แผ่นออกแล้วดูเส้นพับ

คำถาม:บรรทัดนี้ทำหน้าที่อะไร?

คำตอบที่แนะนำ:เส้นนี้แบ่งตัวเลขออกเป็นสองส่วน

คำถาม:จุดทั้งหมดของรูปนั้นอยู่ที่ครึ่งผลลัพธ์ทั้งสองอย่างไร

คำตอบที่แนะนำ:ทุกจุดของครึ่งอยู่ห่างจากเส้นพับเท่ากันและอยู่ในระดับเดียวกัน

– ซึ่งหมายความว่าเส้นพับจะแบ่งตัวเลขออกเป็นสองส่วนเพื่อให้ 1 ครึ่งเป็นสำเนาของ 2 ครึ่ง นั่นคือ เส้นนี้ไม่ง่าย แต่มีคุณสมบัติที่โดดเด่น (ทุกจุดที่สัมพันธ์กันอยู่ในระยะห่างเท่ากัน) เส้นนี้เป็นแกนสมมาตร

ภารกิจที่ 2 (2 นาที)

– ตัดเกล็ดหิมะออก หาแกนสมมาตร แล้วอธิบายลักษณะของมัน

ภารกิจที่ 3 (5 นาที)

– วาดวงกลมลงในสมุดบันทึกของคุณ

คำถาม:พิจารณาว่าแกนสมมาตรไปอย่างไร?

คำตอบที่แนะนำ:แตกต่าง.

คำถาม:วงกลมมีแกนสมมาตรกี่แกน?

คำตอบที่แนะนำ:มากมาย.

– ใช่แล้ว วงกลมมีแกนสมมาตรหลายแกน รูปร่างที่โดดเด่นไม่แพ้กันคือลูกบอล (รูปร่างเชิงพื้นที่)

คำถาม:รูปอื่นใดที่มีแกนสมมาตรมากกว่าหนึ่งแกน?

คำตอบที่แนะนำ:สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยม หน้าจั่ว และสามเหลี่ยมด้านเท่า

– พิจารณารูปทรงสามมิติ เช่น ลูกบาศก์ ปิรามิด กรวย ทรงกระบอก ฯลฯ ตัวเลขเหล่านี้มีแกนสมมาตรด้วย จงพิจารณาว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมด้านเท่า และรูปสามมิติที่เสนอมีกี่แกน

ฉันแจกตุ๊กตาดินน้ำมันครึ่งหนึ่งให้กับนักเรียน

ภารกิจที่ 4 (3 นาที)

– ใช้ข้อมูลที่ได้รับมากรอกส่วนที่ขาดหายไปของภาพ

บันทึก: รูปสามารถเป็นได้ทั้งระนาบและสามมิติ เป็นสิ่งสำคัญที่นักเรียนจะต้องพิจารณาว่าแกนสมมาตรวิ่งอย่างไรและเติมเต็มองค์ประกอบที่ขาดหายไป ความถูกต้องของงานจะถูกกำหนดโดยเพื่อนบ้านที่โต๊ะและประเมินว่างานเสร็จเรียบร้อยเพียงใด

เส้น (ปิด, เปิด, มีจุดตัดกันเอง, ไม่มีจุดตัดกันเอง) ถูกวางจากลูกไม้ที่มีสีเดียวกันบนเดสก์ท็อป

ภารกิจที่ 5 (งานกลุ่ม 5 นาที)

– กำหนดแกนของสมมาตรด้วยสายตาและทำส่วนที่สองให้สมบูรณ์จากลูกไม้ที่มีสีต่างกัน

ความถูกต้องของงานที่ทำนั้นขึ้นอยู่กับตัวนักเรียนเอง

นำเสนอองค์ประกอบของภาพวาดแก่นักเรียน

ภารกิจที่ 6 (2 นาที)

– ค้นหาส่วนที่สมมาตรของภาพวาดเหล่านี้

เพื่อรวบรวมเนื้อหาที่ครอบคลุม ฉันขอแนะนำงานต่อไปนี้ โดยกำหนดเวลา 15 นาที:

ตั้งชื่อองค์ประกอบที่เท่ากันทั้งหมดของสามเหลี่ยม KOR และ KOM สามเหลี่ยมพวกนี้คืออะไร?

2. วาดรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วหลาย ๆ อันในสมุดบันทึกของคุณโดยมีฐานร่วม 6 ซม.

3. วาดส่วน AB สร้างส่วนของเส้นตรง AB ตั้งฉากแล้วผ่านจุดกึ่งกลาง ทำเครื่องหมายจุด C และ D เพื่อให้ ACBD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความสมมาตรเทียบกับเส้นตรง AB

– แนวคิดเริ่มแรกของเราเกี่ยวกับรูปแบบย้อนกลับไปในยุคที่ห่างไกลมากของยุคหินโบราณ - ยุคหินเก่า เป็นเวลาหลายแสนปีมาแล้วที่ผู้คนอาศัยอยู่ในถ้ำซึ่งมีสภาพที่แตกต่างจากชีวิตของสัตว์เพียงเล็กน้อย ผู้คนสร้างเครื่องมือสำหรับการล่าสัตว์และตกปลา พัฒนาภาษาเพื่อสื่อสารระหว่างกัน และในช่วงปลายยุคหินเก่า พวกเขาประดับประดาการดำรงอยู่ของพวกเขาด้วยการสร้างสรรค์ผลงานศิลปะ รูปแกะสลัก และภาพวาดที่เผยให้เห็นความรู้สึกของรูปแบบที่น่าทึ่ง
เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงจากการรวบรวมอาหารธรรมดาไปสู่การผลิตเชิงรุก จากการล่าสัตว์และการตกปลาเป็นเกษตรกรรม มนุษยชาติได้เข้าสู่ยุคหินใหม่ ยุคหินใหม่
มนุษย์ยุคหินใหม่มีความรู้สึกเฉียบแหลมในเรื่องรูปทรงเรขาคณิต การเผาและการทาสีภาชนะดินเผา การทำเสื่อกก ตะกร้า ผ้า และการแปรรูปโลหะในเวลาต่อมาได้พัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับระนาบและตัวเลขเชิงพื้นที่ ลวดลายยุคหินใหม่ดูน่าพึงพอใจ เผยให้เห็นความเท่าเทียมกันและความสมมาตร
– ความสมมาตรเกิดขึ้นที่ไหนในธรรมชาติ?

คำตอบที่แนะนำ:ปีกผีเสื้อ ด้วง ใบไม้...

– ความสมมาตรสามารถสังเกตได้ในสถาปัตยกรรม เมื่อสร้างอาคารผู้สร้างจะต้องปฏิบัติตามความสมมาตรอย่างเคร่งครัด

นั่นเป็นสาเหตุที่ทำให้อาคารต่างๆ ดูสวยงามมาก ตัวอย่างของความสมมาตรก็คือมนุษย์และสัตว์

การบ้าน:

1. คิดเครื่องประดับของคุณเองวาดบนแผ่น A4 (คุณสามารถวาดเป็นพรมได้)
2. วาดผีเสื้อ ทำเครื่องหมายบริเวณที่มีองค์ประกอบของความสมมาตร

สมมาตรตามแนวแกน ด้วยความสมมาตรตามแนวแกน แต่ละจุดของรูปจะไปยังจุดที่สมมาตรโดยสัมพันธ์กับเส้นตรงคงที่

ภาพที่ 35 จากการนำเสนอ “เครื่องประดับ”สำหรับบทเรียนเรขาคณิต เรื่อง “สมมาตร”

ขนาด: 360 x 260 พิกเซล รูปแบบ: jpg

หากต้องการดาวน์โหลดฟรีภาพสำหรับบทเรียนเรขาคณิต ให้คลิกขวาที่ภาพแล้วคลิก "บันทึกภาพเป็น..."

หากต้องการแสดงรูปภาพในบทเรียน คุณยังสามารถดาวน์โหลดงานนำเสนอ “Ornament.ppt” ทั้งหมดพร้อมรูปภาพทั้งหมดในไฟล์ zip ได้ฟรี ขนาดไฟล์เก็บถาวรคือ 3324 KB

ดาวน์โหลดการนำเสนอ

สมมาตร

“จุดสมมาตร” - สมมาตรส่วนกลาง เอ เอ1 สมมาตรตามแนวแกนและศูนย์กลาง จุด C เรียกว่าจุดศูนย์กลางสมมาตร ความสมมาตรในชีวิตประจำวัน กรวยทรงกลมมีความสมมาตรตามแนวแกน แกนสมมาตรคือแกนของกรวย ตัวเลขที่มีความสมมาตรมากกว่าสองแกน สี่เหลี่ยมด้านขนานมีเพียงสมมาตรตรงกลางเท่านั้น

“สมมาตรทางคณิตศาสตร์” - สมมาตรคืออะไร? ความสมมาตรทางกายภาพ สมมาตรทางชีววิทยา ประวัติความสมมาตร อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปโมเลกุลเชิงซ้อนจะขาดความสมมาตร พาลินโดรม. สมมาตร. ใน x และ m และฉัน มีหลายอย่างที่เหมือนกันกับความสมมาตรของความก้าวหน้าในวิชาคณิตศาสตร์ แต่จริงๆ แล้ว เราจะอยู่ได้อย่างไรถ้าไม่มีความสมมาตร? สมมาตรตามแนวแกน

“การเคลื่อนไหวในเรขาคณิต” - คณิตศาสตร์มีความสวยงามและกลมกลืน! ยกตัวอย่างการเคลื่อนไหว. การเคลื่อนไหวในเรขาคณิต การเคลื่อนไหวคืออะไร? การเคลื่อนไหวใช้กับศาสตร์ใดบ้าง? การเคลื่อนไหวถูกนำมาใช้ในกิจกรรมต่างๆ ของมนุษย์อย่างไร? กลุ่มนักทฤษฎี แนวคิดของการเคลื่อนที่ สมมาตรตามแนวแกน สมมาตรกลาง เรามองเห็นการเคลื่อนไหวในธรรมชาติได้หรือไม่?

“สมมาตรในงานศิลปะ” - เลวีแทน ราฟาเอล. II.1. สัดส่วนทางสถาปัตยกรรม จังหวะเป็นหนึ่งในองค์ประกอบหลักของการแสดงออกของทำนอง อาร์. เดการ์ตส์. เรือโกรฟ เอ.วี. โวโลชินอฟ เวลาซเกซ "ยอมแพ้เบรดา" ภายนอกความสามัคคีสามารถแสดงออกมาในรูปแบบทำนอง, จังหวะ, สมมาตร, สัดส่วน II.4.สัดส่วนในวรรณคดี

มีการนำเสนอทั้งหมด 32 หัวข้อ

การประชุมทางวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติ

สถานศึกษาเทศบาล "มัธยมศึกษาปีที่ 23"

เมืองโวลอกดา

หัวเรื่อง : วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ

การออกแบบและงานวิจัย

ประเภทของความสมมาตร

งานนี้เสร็จสิ้นโดยนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

เครเนวา มาร์การิต้า

หัวหน้า: ครูคณิตศาสตร์ระดับสูง

2014

โครงสร้างโครงการ:

1. บทนำ.

2. เป้าหมายและวัตถุประสงค์ของโครงการ

3. ประเภทของความสมมาตร:

3.1. สมมาตรกลาง

3.2. สมมาตรตามแนวแกน

3.3. สมมาตรของกระจก (สมมาตรเกี่ยวกับระนาบ);

3.4. สมมาตรแบบหมุน

3.5. สมมาตรแบบพกพา

4. ข้อสรุป

ความสมมาตรเป็นแนวคิดที่มนุษย์พยายามมานานหลายศตวรรษเพื่อทำความเข้าใจและสร้างระเบียบ ความงาม และความสมบูรณ์แบบ

ก. ไวล์

การแนะนำ.

หัวข้องานของฉันได้รับเลือกหลังจากศึกษาหัวข้อ "สมมาตรตามแนวแกนและศูนย์กลาง" ในหลักสูตร "เรขาคณิตเกรด 8" ฉันสนใจหัวข้อนี้มาก ฉันอยากรู้ว่ามีสมมาตรประเภทใดบ้าง แตกต่างกันอย่างไร หลักการสร้างตัวเลขสมมาตรในแต่ละประเภทมีอะไรบ้าง

วัตถุประสงค์ของการทำงาน : ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสมมาตรประเภทต่างๆ

งาน:

ศึกษาวรรณกรรมเกี่ยวกับเรื่องนี้

สรุปและจัดระบบเนื้อหาที่ศึกษา

เตรียมการนำเสนอ

ในสมัยโบราณคำว่า "SYMMETRY" มีความหมายว่า "ความสามัคคี" "ความงาม" คำนี้แปลจากภาษากรีกแปลว่า "สัดส่วน สัดส่วน ความเหมือนกันในการจัดเรียงส่วนต่างๆ ของบางสิ่งที่อยู่ด้านตรงข้ามของจุด เส้นตรง หรือระนาบ

สมมาตรมีสองกลุ่ม

กลุ่มที่ 1 ได้แก่ ความสมมาตรของตำแหน่ง รูปร่าง โครงสร้าง นี่คือความสมมาตรที่สามารถมองเห็นได้โดยตรง เรียกได้ว่าสมมาตรทางเรขาคณิตก็ได้

กลุ่มที่สองแสดงถึงความสมมาตรของปรากฏการณ์ทางกายภาพและกฎแห่งธรรมชาติ ความสมมาตรนี้อยู่ที่พื้นฐานของภาพทางวิทยาศาสตร์ตามธรรมชาติของโลก: เรียกได้ว่าสมมาตรทางกายภาพได้

ฉันจะหยุดเรียนแล้วสมมาตรทางเรขาคณิต .

ในทางกลับกัน ยังมีสมมาตรทางเรขาคณิตหลายประเภท: ศูนย์กลาง, แนวแกน, กระจก (สมมาตรสัมพันธ์กับระนาบ), รัศมี (หรือหมุน), แบบพกพาและอื่น ๆ วันนี้ผมจะมาดูความสมมาตร 5 แบบกัน

สมมาตรกลาง

สองจุด A และ A 1 เรียกว่าสมมาตรด้วยความเคารพต่อจุด O หากพวกมันอยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุด O และอยู่ด้านตรงข้ามกันในระยะเท่ากัน จุด O เรียกว่าศูนย์กลางของสมมาตร

ตัวเลขดังกล่าวมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดนั้นเกี่ยวกับ ถ้าสำหรับแต่ละจุดของรูปนั้นมีจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับจุดนั้นเกี่ยวกับ ก็เป็นของรูปนี้ด้วย จุดเกี่ยวกับ เรียกว่าศูนย์กลางของสมมาตรของรูป ว่ากันว่ามีศูนย์กลางของสมมาตร

ตัวอย่างของตัวเลขที่มีความสมมาตรตรงกลาง ได้แก่ วงกลมและสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ตัวเลขที่แสดงบนสไลด์มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดใดจุดหนึ่ง

2. สมมาตรตามแนวแกน

สองจุดเอ็กซ์ และ ย เรียกว่าสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรงที , หากเส้นนี้ผ่านตรงกลางของส่วน XY และตั้งฉากกับเส้นนั้น ควรบอกด้วยว่าแต่ละจุดเป็นเส้นตรงที ถือว่าสมมาตรกับตัวเอง

ตรงที – แกนสมมาตร

ว่ากันว่าร่างนี้มีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรงที, ถ้าแต่ละจุดของรูปมีจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับเส้นตรงที ก็เป็นของรูปนี้ด้วย

ตรงทีเรียกว่าแกนสมมาตรของรูป ซึ่งว่ากันว่ามีสมมาตรตามแนวแกน

มุมที่ยังไม่พัฒนา หน้าจั่วและสามเหลี่ยมด้านเท่า สี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความสมมาตรตามแนวแกนตัวอักษร (ดูการนำเสนอ)

สมมาตรของกระจก (สมมาตรเกี่ยวกับระนาบ)

สองจุด ป 1 และ P เรียกว่าสมมาตรสัมพันธ์กับระนาบ a หากพวกมันอยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบ a และอยู่ห่างจากระนาบเท่ากัน

ความสมมาตรของกระจก รู้จักกันดีสำหรับทุกคน มันเชื่อมโยงวัตถุใด ๆ และการสะท้อนของมันเข้ากับกระจกแบน พวกเขาบอกว่าร่างหนึ่งเป็นกระจกเงาที่สมมาตรกัน

บนเครื่องบิน ร่างที่มีแกนสมมาตรจำนวนนับไม่ถ้วนนั้นเป็นวงกลม ในอวกาศ ลูกบอลมีระนาบสมมาตรนับไม่ถ้วน

แต่ถ้าวงกลมไม่เหมือนกัน ในโลกสามมิติก็จะมีวัตถุทั้งชุดที่มีระนาบสมมาตรจำนวนอนันต์ ได้แก่ ทรงกระบอกตรงที่มีวงกลมอยู่ที่ฐาน กรวยที่มีฐานเป็นวงกลม ลูกบอล

เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าเครื่องบินสมมาตรทุกลำสามารถปรับแนวให้เข้ากับตัวมันเองได้โดยใช้กระจก น่าแปลกใจที่ตัวเลขที่ซับซ้อนเช่นดาวห้าแฉกหรือห้าเหลี่ยมด้านเท่าก็มีความสมมาตรเช่นกัน จากจำนวนแกนตามนี้ จึงมีความสมมาตรสูง และในทางกลับกัน: มันไม่ง่ายเลยที่จะเข้าใจว่าทำไมรูปร่างที่ดูเหมือนปกติเช่นสี่เหลี่ยมด้านขนานเฉียงจึงไม่สมมาตร

4. ป สมมาตรการหมุน (หรือสมมาตรแนวรัศมี)

สมมาตรแบบหมุน - นี่คือความสมมาตร ซึ่งเป็นการรักษารูปร่างของวัตถุเมื่อหมุนรอบแกนใดแกนหนึ่งด้วยมุมเท่ากับ 360°/n(หรือหลายเท่าของค่านี้) โดยที่n= 2, 3, 4, … แกนที่ระบุเรียกว่าแกนหมุนn-ลำดับที่

ที่n=2 ทุกจุดของรูปหมุนเป็นมุม 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) รอบแกน ในขณะที่รูปร่างของรูปร่างยังคงอยู่ เช่น แต่ละจุดของร่างจะไปยังจุดของร่างเดียวกัน (ร่างจะแปลงร่างเป็นตัวมันเอง) แกนนี้เรียกว่าแกนลำดับที่สอง

รูปที่ 2 แสดงแกนลำดับที่สาม รูปที่ 3 - ลำดับที่ 4 รูปที่ 4 - ลำดับที่ 5

วัตถุสามารถมีแกนหมุนได้มากกว่าหนึ่งแกน: รูปที่ 1 - 3 แกนของการหมุน, รูปที่ 2 - 4 แกน, รูปที่ 3 - 5 แกน, รูปที่. 4 – เพียง 1 แกน

ตัวอักษร "I" และ "F" ที่รู้จักกันดีมีความสมมาตรในการหมุน หากคุณหมุนตัวอักษร "I" 180° รอบแกนที่ตั้งฉากกับระนาบของตัวอักษรและผ่านจุดศูนย์กลาง ตัวอักษรจะอยู่ในแนวเดียวกันกับตัวมันเอง กล่าวอีกนัยหนึ่งตัวอักษร "ฉัน" มีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อการหมุน 180°, 180°= 360°: 2,n=2 ซึ่งหมายความว่ามีความสมมาตรลำดับที่สอง

โปรดทราบว่าตัวอักษร "F" ยังมีสมมาตรในการหมุนลำดับที่สองอีกด้วย

นอกจากนี้ ตัวอักษรยังมีจุดศูนย์กลางสมมาตร และตัวอักษร F มีแกนสมมาตร

กลับไปสู่ตัวอย่างจากชีวิต: แก้ว, เค้กปอนด์ทรงกรวยพร้อมไอศกรีม, ลวดเส้น, ไปป์

หากเราพิจารณาวัตถุเหล่านี้อย่างละเอียดยิ่งขึ้น เราจะสังเกตเห็นว่าวัตถุทั้งหมดไม่ทางใดก็ทางหนึ่งประกอบด้วยวงกลม ผ่านแกนสมมาตรจำนวนอนันต์มีระนาบสมมาตรจำนวนนับไม่ถ้วน แน่นอนว่าวัตถุเหล่านี้ส่วนใหญ่ (เรียกว่าวัตถุแห่งการหมุน) ก็มีศูนย์กลางของสมมาตร (ศูนย์กลางของวงกลม) เช่นกัน โดยมีแกนหมุนของสมมาตรอย่างน้อยหนึ่งแกนผ่านไป

เช่น แกนของโคนไอศกรีมมองเห็นได้ชัดเจน มันวิ่งจากตรงกลางวงกลม (ยื่นออกมาจากไอศกรีม!) ไปจนถึงปลายแหลมของกรวยกรวย เรารับรู้ถึงความสมบูรณ์ขององค์ประกอบสมมาตรของร่างกายว่าเป็นการวัดความสมมาตรชนิดหนึ่ง ไม่ต้องสงสัยเลยว่าในแง่ของความสมมาตร ลูกบอลถือเป็นศูนย์รวมแห่งความสมบูรณ์แบบที่ไม่มีใครเทียบได้ และเป็นอุดมคติ ชาวกรีกโบราณมองว่ามันเป็นร่างกายที่สมบูรณ์แบบที่สุด และโดยธรรมชาติแล้ววงกลมถือเป็นรูปร่างแบนที่สมบูรณ์แบบที่สุด

ในการอธิบายความสมมาตรของวัตถุใดวัตถุหนึ่ง คุณจะต้องระบุแกนการหมุนทั้งหมดและลำดับของพวกมัน รวมถึงระนาบสมมาตรทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณารูปร่างทางเรขาคณิตที่ประกอบด้วยปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติที่เหมือนกันสองตัว

มีแกนหมุนหนึ่งแกนในลำดับที่ 4 (แกน AB), แกนหมุนสี่แกนในลำดับที่ 2 (แกน CE,ดีเอฟ, ส.ส, เอ็น.คิว.) ระนาบสมมาตรห้าระนาบ (ระนาบซีดีอีเอฟ, เอเอฟบีดี, เอซีบีอี, เอเอ็มบีพี, เอเอ็นบีคิว).

5 . สมมาตรแบบพกพา

ความสมมาตรอีกประเภทหนึ่งก็คือแบบพกพา กับ สมมาตร.

กล่าวกันว่าความสมมาตรดังกล่าวเกิดขึ้นเมื่อเมื่อเคลื่อนที่ร่างไปตามเส้นตรงไปยังระยะ "a" หรือระยะทางที่เป็นจำนวนทวีคูณของค่านี้ รูปร่างจะสอดคล้องกับตัวมันเอง เส้นตรงที่เกิดการถ่ายโอนเรียกว่าแกนถ่ายโอน และระยะทาง "a" เรียกว่าขั้นตอนการถ่ายโอนเบื้องต้น ระยะเวลา หรือขั้นตอนสมมาตร

ก

รูปแบบการทำซ้ำเป็นระยะบนแถบยาวเรียกว่าเส้นขอบ ในทางปฏิบัติ เส้นขอบนั้นพบได้หลายรูปแบบ (การทาสีผนัง เหล็กหล่อ ปูนปลาสเตอร์นูนต่ำ หรือเซรามิก) จิตรกรและศิลปินใช้เส้นขอบเมื่อตกแต่งห้อง ในการทำเครื่องประดับเหล่านี้จึงมีการทำลายฉลุ เราย้ายลายฉลุ พลิกมันหรือไม่ ติดตามโครงร่าง ทำซ้ำรูปแบบ และเราได้เครื่องประดับ (การสาธิตด้วยภาพ)

เส้นขอบนั้นง่ายต่อการสร้างโดยใช้ลายฉลุ (องค์ประกอบเริ่มต้น) เลื่อนหรือพลิกกลับและทำซ้ำรูปแบบ รูปนี้แสดงสเตนซิลห้าประเภท:ก ) ไม่สมมาตร;ข, ค ) มีสมมาตรหนึ่งแกน: แนวนอนหรือแนวตั้งช ) สมมาตรจากส่วนกลางง ) มีแกนสมมาตรสองแกน คือ แนวตั้งและแนวนอน

ในการสร้างเส้นขอบ จะใช้การแปลงต่อไปนี้:

ก ) การถ่ายโอนแบบขนานข ) ความสมมาตรรอบแกนตั้งวี ) สมมาตรกลางช ) สมมาตรรอบแกนนอน

คุณสามารถสร้างซ็อกเก็ตได้ในลักษณะเดียวกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ วงกลมจะแบ่งออกเป็นn เซกเตอร์เท่ากัน โดยหนึ่งในนั้นทำรูปแบบตัวอย่างแล้วทำซ้ำตามลำดับในส่วนที่เหลือของวงกลม โดยหมุนรูปแบบแต่ละครั้งเป็นมุม 360°/n .

ตัวอย่างที่ชัดเจนของการใช้สมมาตรตามแนวแกนและแบบพกพาคือรั้วที่แสดงในภาพถ่าย

สรุป: ดังนั้น สมมาตรจึงมีหลายประเภท จุดสมมาตรในสมมาตรแต่ละประเภทเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นตามกฎหมายบางประการ ในชีวิตเราพบกับความสมมาตรประเภทหนึ่งทุกที่ และบ่อยครั้งในวัตถุที่อยู่รอบตัวเรา ความสมมาตรหลายประเภทสามารถสังเกตได้ในคราวเดียว สิ่งนี้ทำให้เกิดความเป็นระเบียบเรียบร้อย สวยงาม และความสมบูรณ์แบบในโลกรอบตัวเรา

วรรณกรรม:

คู่มือคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ม.ยา วีก็อดสกี้ – สำนักพิมพ์ “เนากา”. – มอสโก 1971 – 416 หน้า.

พจนานุกรมคำต่างประเทศสมัยใหม่ - อ.: ภาษารัสเซีย, 2536.

ประวัติคณิตศาสตร์ในโรงเรียนทรงเครื่อง - เอ็กซ์ชั้นเรียน จี.ไอ. กลาสเซอร์. – สำนักพิมพ์ Prosveshcheniye – มอสโก 1983 – 351 หน้า.

เรขาคณิตการมองเห็น ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 – 6 ถ้า. Sharygin, L.N. เออร์กันซิเอวา. – สำนักพิมพ์ "Drofa", มอสโก 2548 – 189 หน้า

สารานุกรมสำหรับเด็ก. ชีววิทยา. เอส. อิสไมโลวา. – สำนักพิมพ์ Avanta+ – มอสโก 1997 – 704 หน้า.

Urmantsev Yu.A. ความสมมาตรของธรรมชาติและธรรมชาติของความสมมาตร - ม.: Mysl arxitekt / อาร์คคอม2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/