Buktikan bahwa fungsi tersebut merupakan contoh bentuk umum. Fungsi genap dan ganjil
meskipun untuk semua \(x\) dari domain definisinya, hal berikut ini benar: \(f(-x)=f(x)\) .
Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu \(y\):
Contoh: fungsi \(f(x)=x^2+\cos x\) genap, karena \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Fungsi \(f(x)\) disebut ganjil jika untuk semua \(x\) dari domain definisinya, berikut ini benar: \(f(-x)=-f(x) \) .
Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal:
Contoh: fungsi \(f(x)=x^3+x\) ganjil karena \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Fungsi yang bukan genap maupun ganjil disebut fungsi bentuk umum. Fungsi seperti itu selalu dapat direpresentasikan secara unik sebagai jumlah dari fungsi genap dan ganjil.
Misalnya, fungsi \(f(x)=x^2-x\) adalah jumlah dari fungsi genap \(f_1=x^2\) dan fungsi ganjil \(f_2=-x\) .
\(\blacktriangleright\) Beberapa properti:
1) Hasil kali dan hasil bagi dua fungsi yang paritasnya sama merupakan fungsi genap.
2) Hasil kali dan hasil bagi dua fungsi yang paritasnya berbeda merupakan fungsi ganjil.
3) Jumlah dan selisih fungsi genap merupakan fungsi genap.
4) Jumlah dan selisih fungsi ganjil – fungsi ganjil.
5) Jika \(f(x)\) merupakan fungsi genap, maka persamaan \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) mempunyai akar tunggal jika dan hanya jika \( x =0\) .
6) Jika \(f(x)\) merupakan fungsi genap atau ganjil, dan persamaan \(f(x)=0\) mempunyai akar \(x=b\), maka persamaan tersebut pasti mempunyai fungsi kedua akar \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Suatu fungsi \(f(x)\) disebut periodik pada \(X\) jika untuk suatu bilangan \(T\ne 0\) berlaku: \(f(x)=f( x+T) \) , di mana \(x, x+T\in X\) . \(T\) terkecil yang memenuhi persamaan ini disebut periode utama (utama) dari fungsi tersebut.
Fungsi periodik mempunyai bilangan apa pun dalam bentuk \(nT\) , dengan \(n\in \mathbb(Z)\) juga berupa periode.
Contoh: setiap fungsi trigonometri bersifat periodik;
untuk fungsi \(f(x)=\sin x\) dan \(f(x)=\cos x\) periode utamanya sama dengan \(2\pi\), untuk fungsi \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) dan \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) periode utama sama dengan \(\pi\) .
Untuk membuat grafik fungsi periodik, Anda dapat memplot grafiknya pada segmen mana pun yang panjangnya \(T\) (periode utama); kemudian grafik seluruh fungsi diselesaikan dengan menggeser bagian yang dibangun sebanyak bilangan bulat periode ke kanan dan kiri:
\(\blacktriangleright\) Domain \(D(f)\) dari fungsi \(f(x)\) adalah himpunan yang terdiri dari semua nilai argumen \(x\) yang fungsi tersebut masuk akal (didefinisikan).
Contoh: fungsi \(f(x)=\sqrt x+1\) mempunyai domain definisi: \(x\in
Tugas 1 #6364
Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu
Berapa nilai parameter \(a\) persamaannya
punya solusi tunggal?
Perhatikan bahwa karena \(x^2\) dan \(\cos x\) merupakan fungsi genap, jika persamaan tersebut memiliki akar \(x_0\) , persamaan tersebut juga akan memiliki akar \(-x_0\) .
Memang benar bahwa \(x_0\) adalah sebuah akar, sehingga persamaan \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) benar. Pengganti \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .
Jadi, jika \(x_0\ne 0\) , maka persamaan tersebut sudah memiliki setidaknya dua akar. Oleh karena itu, \(x_0=0\) . Kemudian:
Kami menerima dua nilai untuk parameter \(a\) . Perhatikan bahwa kami menggunakan fakta bahwa \(x=0\) adalah akar persamaan awal. Tapi kami tidak pernah menggunakan fakta bahwa dialah satu-satunya. Oleh karena itu, Anda perlu mengganti nilai yang dihasilkan dari parameter \(a\) ke dalam persamaan asli dan memeriksa \(a\) spesifik mana yang akarnya \(x=0\) benar-benar unik.
1) Jika \(a=0\) , maka persamaannya akan berbentuk \(2x^2=0\) . Jelasnya, persamaan ini hanya memiliki satu akar \(x=0\) . Oleh karena itu, nilai \(a=0\) cocok untuk kita.
2) Jika \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , maka persamaannya akan berbentuk \ Kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk \ Sejak \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , lalu \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . Akibatnya, nilai ruas kanan persamaan (*) termasuk dalam segmen \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .
Karena \(x^2\geqslant 0\) , maka ruas kiri persamaan (*) lebih besar atau sama dengan \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Jadi, persamaan (*) hanya dapat dipenuhi jika kedua ruas persamaan sama dengan \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Artinya \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(kasus) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(kasus) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Oleh karena itu, nilai \(a=-\mathrm(tg)\,1\) cocok untuk kita .
Menjawab:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Tugas 2 #3923
Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu
Temukan semua nilai parameter \(a\) , yang masing-masing memiliki grafik fungsi \
simetris terhadap titik asal.
Jika grafik suatu fungsi simetris terhadap titik asal, maka fungsi tersebut ganjil, yaitu, \(f(-x)=-f(x)\) berlaku untuk semua \(x\) dari domain definisi dari fungsinya. Oleh karena itu, diperlukan untuk mencari nilai parameter yang \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(sejajar) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Panah Kanan\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\kanan) \quad \Panah Kanan\\ \Panah Kanan\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Panah Kanan \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \kiri(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\kanan)=0 \quad \Panah Kanan\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(sejajar)\]
Persamaan terakhir harus dipenuhi untuk semua \(x\) dari domain definisi \(f(x)\) , oleh karena itu, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \dalam\mathbb(Z)\) .
Menjawab:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Tugas 3 #3069
Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu
Temukan semua nilai parameter \(a\) , yang masing-masing persamaan \ memiliki 4 solusi, dengan \(f\) adalah fungsi periodik genap dengan periode \(T=\dfrac(16)3\) didefinisikan pada seluruh garis bilangan , dan \(f(x)=ax^2\) untuk \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Tugas dari pelanggan)
Karena \(f(x)\) merupakan fungsi genap, grafiknya simetris terhadap sumbu ordinat, oleh karena itu, untuk \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\) . Jadi, untuk \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , dan ini adalah segmen dengan panjang \(\dfrac(16)3\), fungsinya adalah \(f(x)=ax^2\ ) .
1) Misalkan \(a>0\) . Maka grafik fungsi \(f(x)\) akan terlihat seperti ini: 
Maka, agar persamaan tersebut memiliki 4 penyelesaian, grafik \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) harus melalui titik \(A\) : 
Oleh karena itu, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\end(sejajar)\end(berkumpul)\kanan. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(berkumpul)\begin(sejajar) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(sejajar) \end( berkumpul)\kanan.\] Karena \(a>0\) , maka \(a=\dfrac(18)(23)\) cocok.
2) Misalkan \(a0\) ). Jika hasil kali dua akar bernilai positif dan jumlah keduanya positif, maka akar-akarnya juga positif. Oleh karena itu, Anda memerlukan: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a 0 on (x_(1); x_(2 ) ) \cangkir (x_(3); +\infty)
Interval yang fungsinya negatif, yaitu f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})
Suatu fungsi y=f(x), x \dalam X biasanya disebut terbatas di bawah jika ada bilangan A yang memiliki pertidaksamaan f(x) \geq A untuk sembarang x \dalam X .
Contoh fungsi yang dibatasi dari bawah: y=\sqrt(1+x^(2)) karena y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 untuk sembarang x .
Suatu fungsi y=f(x), x \dalam X disebut terbatas di atas jika ada bilangan B yang memiliki pertidaksamaan f(x) \neq B untuk sembarang x \dalam X .
Contoh fungsi yang dibatasi dari bawah: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] karena y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 for setiap x \ di [-1;1] .
Suatu fungsi y=f(x), x \dalam X biasanya disebut terbatas jika terdapat bilangan K > 0 yang pertidaksamaannya \kiri | f(x)\kanan | \neq K untuk setiap x \dalam X .
Contoh fungsi berbatas: y=\sin x dibatasi pada seluruh garis bilangan, karena \kiri | \dosa x \kanan | \neq 1 .
Fungsi bertambah dan berkurangMerupakan kebiasaan untuk menyebut suatu fungsi yang meningkat selama interval yang dipertimbangkan sebagai fungsi yang meningkat ketika nilai x yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar y=f(x) . Oleh karena itu, mengambil dua nilai arbitrer dari argumen x_(1) dan x_(2) dari interval yang dipertimbangkan, dengan x_(1) > x_(2) , hasilnya adalah y(x_(1)) > kamu(x_(2)).
Suatu fungsi yang menurun pada interval yang ditinjau disebut fungsi menurun jika nilai x yang lebih besar sama dengan nilai fungsi y(x) yang lebih kecil. Oleh karena itu, dengan mengambil dua nilai arbitrer dari argumen x_(1) dan x_(2) dari interval yang dipertimbangkan, dengan x_(1) > x_(2) , hasilnya adalah y(x_(1))< y(x_{2}) .
Akar suatu fungsi biasanya disebut titik di mana fungsi F=y(x) memotong sumbu absis (diperoleh dengan menyelesaikan persamaan y(x)=0).
a) Jika untuk x > 0 suatu fungsi genap bertambah, maka fungsi tersebut berkurang untuk x< 0
b) Jika suatu fungsi genap berkurang di x > 0, maka fungsi tersebut bertambah di x< 0
.png)
c) Jika suatu fungsi ganjil bertambah di x > 0, maka fungsi tersebut juga bertambah di x< 0
d) Jika suatu fungsi ganjil berkurang untuk x > 0, maka fungsi tersebut juga akan berkurang untuk x< 0
.png)
Titik minimum dari fungsi y=f(x) biasanya disebut titik x=x_(0) yang lingkungannya mempunyai titik-titik lain (kecuali titik x=x_(0)), dan bagi titik-titik tersebut maka pertidaksamaan f( x ) > f(x_(0)) . y_(min) - penunjukan fungsi pada titik min.
Titik maksimum dari fungsi y=f(x) biasanya disebut titik x=x_(0) yang disekitarnya terdapat titik-titik lain (kecuali titik x=x_(0)), dan bagi titik-titik tersebut maka terjadi pertidaksamaan f(x )< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
PrasyaratMenurut teorema Fermat: f"(x)=0 ketika fungsi f(x) yang terdiferensiasi di titik x_(0) akan mempunyai titik ekstrem di titik ini.
Kondisi cukupLangkah-langkah perhitungan:
Studi fungsi.
1) D(y) – Domain definisi: himpunan semua nilai variabel x. yang ekspresi aljabarnya f(x) dan g(x) masuk akal.
Jika suatu fungsi diberikan oleh suatu rumus, maka daerah definisinya terdiri dari semua nilai variabel bebas yang rumusnya masuk akal.
2) Sifat fungsi: genap/ganjil, periodisitas:
Fungsi yang grafiknya simetris terhadap perubahan tanda argumennya disebut ganjil dan genap.
Fungsi ganjil adalah fungsi yang berubah nilainya menjadi kebalikannya ketika tanda variabel bebasnya berubah (simetris terhadap pusat koordinat).
Fungsi genap adalah fungsi yang tidak berubah nilainya ketika tanda variabel bebasnya berubah (simetris terhadap ordinat).
Baik fungsi genap maupun ganjil (fungsi bentuk umum) bukanlah fungsi yang tidak simetri. Kategori ini mencakup fungsi-fungsi yang tidak termasuk dalam 2 kategori sebelumnya.
Fungsi yang tidak termasuk dalam salah satu kategori di atas disebut tidak genap maupun ganjil(atau fungsi umum).
Fungsi aneh
Pangkat ganjil adalah bilangan bulat sembarang.
Bahkan fungsi
Kekuatan genap adalah bilangan bulat sembarang.
Fungsi periodik adalah fungsi yang mengulangi nilainya setelah interval argumen reguler tertentu, yaitu tidak mengubah nilainya ketika menambahkan ke argumen sejumlah bilangan tetap (periode fungsi) yang tidak tetap di seluruh domain. definisi.
3) Nol (akar) suatu fungsi adalah titik dimana fungsi tersebut menjadi nol.
Menemukan titik potong grafik dengan sumbu Oi. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung nilainya F(0). Temukan juga titik potong grafik dengan sumbunya Sapi, mengapa menemukan akar persamaan F(X) = 0 (atau pastikan tidak ada akarnya).
Titik-titik di mana grafik memotong sumbunya disebut nol dari fungsi tersebut. Untuk mencari nol suatu fungsi, Anda perlu menyelesaikan persamaannya, yaitu mencari nilai “x” yang membuat fungsi tersebut menjadi nol.
4) Interval keteguhan tanda, tanda di dalamnya.
Interval dimana fungsi f(x) mempertahankan tanda.
Interval bertanda konstan adalah interval pada setiap titik yang fungsinya positif atau negatif.
DI ATAS sumbu x.
DI BAWAH poros.
5) Kontinuitas (titik diskontinuitas, sifat diskontinuitas, asimtot).
Fungsi kontinu adalah fungsi tanpa “lompatan”, yaitu fungsi yang perubahan kecil pada argumennya menyebabkan perubahan kecil pada nilai fungsi tersebut.
Titik Istirahat yang Dapat DilepasJika limit fungsinya ada, tetapi fungsinya tidak terdefinisi pada titik ini, atau limitnya tidak sesuai dengan nilai fungsi pada titik ini:
,
maka intinya disebut titik istirahat yang dapat dilepas fungsi (dalam analisis kompleks, titik tunggal yang dapat dilepas).
Jika kita “memperbaiki” fungsi pada titik diskontinuitas yang dapat dilepas dan menempatkannya 
, maka kita mendapatkan suatu fungsi yang kontinu pada suatu titik tertentu. Operasi pada suatu fungsi ini disebut memperluas fungsi menjadi kontinu atau redefinisi fungsi dengan kontinuitas, yang membenarkan nama titik sebagai titik dapat dilepas pecah.
Titik diskontinuitas jenis pertama dan kedua
Jika suatu fungsi mempunyai diskontinuitas pada suatu titik tertentu (yaitu, limit fungsi pada suatu titik tertentu tidak ada atau tidak sesuai dengan nilai fungsi pada suatu titik tertentu), maka untuk fungsi numerik terdapat dua kemungkinan pilihan. terkait dengan adanya fungsi numerik batasan sepihak:
jika kedua batas satu sisi itu ada dan berhingga, maka titik tersebut disebut titik diskontinuitas jenis pertama.
Titik diskontinuitas lepas adalah titik diskontinuitas jenis pertama;
jika paling sedikit salah satu batas satu sisinya tidak ada atau bukan merupakan nilai berhingga, maka titik tersebut disebut titik diskontinuitas jenis kedua. Asimtot - lurus , yang memiliki sifat jarak dari suatu titik pada kurva ke titik ini cenderung nol ketika titik bergerak menjauh sepanjang cabang hingga tak terhingga.
Vertikal
Asimtot vertikal adalah garis batas 
.
Biasanya, saat menentukan asimtot vertikal, mereka tidak mencari satu batas, tetapi dua batas satu sisi (kiri dan kanan). Hal ini dilakukan untuk menentukan bagaimana fungsi tersebut berperilaku ketika mendekati asimtot vertikal dari arah yang berbeda. Misalnya:
HorisontalAsimtot horizontal - Asimtot - spesies, tergantung pada keberadaannya membatasi
.
Asimtot miring - Asimtot - spesies, tergantung pada keberadaannya batas
Catatan: suatu fungsi tidak boleh memiliki lebih dari dua asimtot miring (horizontal).
Catatan: jika paling sedikit salah satu dari dua limit yang disebutkan di atas tidak ada (atau sama dengan ), maka asimtot miring di (atau ) tidak ada.
jika pada butir 2.), maka , dan limitnya dicari dengan menggunakan rumus asimtot horizontal, 
.
6) Menemukan interval monotonisitas. Temukan interval monotonisitas suatu fungsi F(X)(yaitu interval kenaikan dan penurunan). Hal ini dilakukan dengan memeriksa tanda turunannya F(X). Untuk melakukan ini, cari turunannya F(X) dan selesaikan pertidaksamaan tersebut F(X)0. Pada interval di mana pertidaksamaan ini berlaku, fungsinya F(X)meningkat. Di mana terjadi ketimpangan terbalik F(X)0, fungsi F(X) semakin menurun.
Menemukan ekstrem lokal. Setelah menemukan interval monotonisitas, kita dapat segera menentukan titik ekstrem lokal di mana kenaikan digantikan oleh penurunan, terletak maksimum lokal, dan di mana penurunan digantikan oleh peningkatan, minimum lokal berada. Hitung nilai fungsi pada titik-titik ini. Jika suatu fungsi memiliki titik kritis yang bukan merupakan titik ekstrem lokal, maka akan berguna untuk menghitung nilai fungsi pada titik tersebut juga.
Mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y = f(x) pada suatu ruas (lanjutan)
|
1. Temukan turunan dari fungsi tersebut: F(X). 2. Temukan titik-titik yang turunannya nol: F(X)=0X 1, X 2 ,... 3. Tentukan afiliasi poin X 1 ,X 2 , … segmen [ A; B]: membiarkan X 1A;B, A X 2A;B . |
Bagaimana cara menyisipkan rumus matematika pada website?
Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika dengan mudah dimasukkan ke situs dalam bentuk gambar yang dibuat secara otomatis oleh Wolfram Alpha . Selain kesederhanaannya, metode universal ini akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah berfungsi sejak lama (dan, menurut saya, akan berfungsi selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.
Jika Anda sering menggunakan rumus matematika di situs Anda, saya sarankan Anda menggunakan MathJax - pustaka JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX, atau ASCIIMathML.
Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana, Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs web Anda, yang akan secara otomatis dimuat dari server jauh pada waktu yang tepat (daftar server); (2) unduh skrip MathJax dari server jauh ke server Anda dan sambungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua - lebih rumit dan memakan waktu - akan mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax untuk sementara tidak tersedia karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama karena lebih sederhana, lebih cepat dan tidak memerlukan keahlian teknis. Ikuti contoh saya, dan hanya dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs Anda.
Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web utama MathJax atau di halaman dokumentasi:
Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke dalam kode laman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag. Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman. Namun opsi kedua secara otomatis memantau dan memuat MathJax versi terbaru. Jika Anda memasukkan kode pertama, kode tersebut perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda memasukkan kode kedua, halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.
Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode unduhan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal templat (omong-omong, ini sama sekali tidak diperlukan, karena skrip MathJax dimuat secara asinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML, dan Anda siap memasukkan rumus matematika ke halaman web situs Anda.
Setiap fraktal dibangun menurut aturan tertentu, yang diterapkan secara konsisten dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.
Algoritme berulang untuk membuat spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan permukaannya menjadi 27 kubus yang sama besar. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan di sepanjang sisinya dikeluarkan darinya. Hasilnya adalah satu set yang terdiri dari sisa 20 kubus kecil. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kita mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa henti, kita mendapatkan spons Menger.
Yang sampai tingkat tertentu sudah tidak asing lagi bagi Anda. Dicatat juga di sana bahwa stok properti fungsi akan diisi ulang secara bertahap. Dua properti baru akan dibahas di bagian ini.
Definisi 1.
Fungsi y = f(x), x є X, dipanggil meskipun untuk sembarang nilai x dari himpunan X persamaan f (-x) = f (x) berlaku.
Definisi 2.
Fungsi y = f(x), x є X, disebut ganjil jika untuk sembarang nilai x dari himpunan X persamaan f (-x) = -f (x) berlaku.
Buktikan bahwa y = x 4 merupakan fungsi genap.
Larutan. Kita mempunyai: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Tapi(-x) 4 = x 4. Ini berarti bahwa untuk setiap x persamaan f(-x) = f(x) berlaku, yaitu. fungsinya genap.
Demikian pula dapat dibuktikan bahwa fungsi y - x 2, y = x 6, y - x 8 adalah fungsi genap.
Buktikan bahwa y = x 3 ~ merupakan fungsi ganjil.
Larutan. Kita mempunyai: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Tapi (-x) 3 = -x 3. Artinya untuk sembarang x persamaan f (-x) = -f (x) berlaku, yaitu. fungsinya ganjil.
Demikian pula dapat dibuktikan bahwa fungsi y = x, y = x 5, y = x 7 ganjil.
Kita telah melihat lebih dari sekali bahwa istilah-istilah baru dalam matematika paling sering berasal dari “duniawi”, yaitu. mereka bisa dijelaskan entah bagaimana. Hal ini berlaku pada fungsi genap dan ganjil. Perhatikan: y - x 3, y = x 5, y = x 7 merupakan fungsi ganjil, sedangkan y = x 2, y = x 4, y = x 6 merupakan fungsi genap. Dan secara umum, untuk setiap fungsi yang berbentuk y = x" (di bawah ini kita akan mempelajari secara khusus fungsi-fungsi tersebut), dimana n adalah bilangan asli, kita dapat menyimpulkan: jika n adalah bilangan ganjil, maka fungsi y = x" adalah aneh; jika n bilangan genap, maka fungsi y = xn genap.
Ada juga fungsi yang tidak genap maupun ganjil. Misalnya, fungsi y = 2x + 3. Memang, f(1) = 5, dan f (-1) = 1. Seperti yang Anda lihat, oleh karena itu, tidak ada identitas f(-x) = f ( x), maupun identitas f(-x) = -f(x).
Jadi, suatu fungsi bisa genap, ganjil, atau tidak keduanya.
Ilmu yang mempelajari apakah suatu fungsi genap atau ganjil biasa disebut studi paritas.
Definisi 1 dan 2 mengacu pada nilai fungsi di titik x dan -x. Ini mengasumsikan bahwa fungsi tersebut terdefinisi di titik x dan titik -x. Artinya titik -x termasuk dalam daerah definisi fungsi secara bersamaan dengan titik x. Jika suatu himpunan bilangan X, bersama dengan setiap elemennya x, juga mengandung elemen lawannya -x, maka X disebut himpunan simetris. Katakanlah (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) adalah himpunan simetris, sedangkan )