Cara menyelesaikan persamaan logaritma. Persamaan logaritma

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b *a c = a b+c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel eksponen bilangan bulat. Merekalah yang berperan dalam penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat di mana Anda perlu menyederhanakan perkalian rumit dengan penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dalam bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma bilangan non-negatif (yaitu, bilangan positif apa pun) “b” dengan basis “a” dianggap sebagai pangkat “c ” yang mana basis “a” perlu dinaikkan untuk mendapatkan nilai “b”. Mari kita analisa logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu mencari pangkat sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga pangkat yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan di kepala Anda, kita mendapatkan angka 3! Dan itu benar, karena 2 pangkat 3 memberikan jawaban 8.

Jenis logaritma

Bagi banyak siswa dan pelajar, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami arti umum dan mengingat sifat-sifatnya serta beberapa aturannya. Ada tiga jenis ekspresi logaritma yang terpisah:

1. Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
2. Desimal a yang basisnya 10.
3. Logaritma bilangan b apa pun dengan basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan selanjutnya reduksi menjadi logaritma tunggal menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan saat menyelesaikannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu dibicarakan dan merupakan kebenaran. Misalnya, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar genap dari bilangan negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

• Basis “a” harus selalu lebih besar dari nol, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan tersebut akan kehilangan maknanya, karena “1” dan “0” pada derajat apa pun selalu sama dengan nilainya;
• jika a > 0, maka a b >0, ternyata “c” juga harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Misalnya diberikan tugas untuk mencari jawaban persamaan 10 x = 100. Caranya sangat mudah, Anda perlu memilih suatu pangkat dengan menaikkan angka sepuluh sehingga kita mendapatkan 100. Tentu saja, ini adalah 10 2 = 100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini dalam bentuk logaritma. Kita mendapatkan log 10 100 = 2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk mencari pangkat yang diperlukan untuk memasukkan basis logaritma untuk mendapatkan bilangan tertentu.

Untuk menentukan secara akurat nilai derajat yang tidak diketahui, Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pemikiran teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, untuk nilai yang lebih besar, Anda memerlukan tabel pangkat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak tahu apa-apa tentang topik matematika yang rumit. Kolom kiri berisi bilangan (basis a), baris bilangan paling atas adalah nilai pangkat c yang dipangkatkan bilangan a. Pada titik potongnya, sel-sel tersebut berisi nilai bilangan yang menjadi jawabannya (ac =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan mengkuadratkannya, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan pada perpotongan kedua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati pun akan memahaminya!

Persamaan dan pertidaksamaan

Ternyata dalam kondisi tertentu eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma basis 3 dari 81 sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk pangkat negatif aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tuliskan sebagai logaritma, kita peroleh log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik “logaritma”. Kita akan melihat contoh dan solusi persamaan di bawah ini, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Ekspresi berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ini adalah pertidaksamaan logaritma, karena nilai “x” yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua besaran dibandingkan: logaritma bilangan yang diinginkan ke basis dua lebih besar dari bilangan tiga.

Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah persamaan dengan logaritma (misalnya logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawabannya, sedangkan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, keduanya merupakan rentang yang dapat diterima. nilai dan poin ditentukan dengan melanggar fungsi ini. Konsekuensinya, jawabannya bukanlah himpunan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban suatu persamaan, melainkan rangkaian atau himpunan bilangan yang berkesinambungan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, jika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas dan menerapkan semua sifat dasar logaritma dalam praktik. Kita akan melihat contoh persamaannya nanti; pertama-tama mari kita lihat masing-masing properti secara lebih rinci.

1. Identitas utama terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
2. Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini, kondisi wajibnya adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti rumus logaritma ini, beserta contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, maka a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat-sifat dari derajat ), dan kemudian menurut definisi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut “properti derajat logaritma”. Ini menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan ini tidak mengherankan, karena semua matematika didasarkan pada postulat alam. Mari kita lihat buktinya.

Misalkan log a b = t, ternyata at =b. Jika kita menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n, maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh masalah dan kesenjangan

Jenis soal logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga merupakan bagian wajib dalam ujian matematika. Untuk memasuki universitas atau lulus ujian masuk matematika, Anda perlu mengetahui cara menyelesaikan tugas-tugas tersebut dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun aturan tertentu dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau direduksi menjadi bentuk umum. Anda dapat menyederhanakan ekspresi logaritma panjang jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka dengan cepat.

Saat menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita miliki: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.

Berikut contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa mereka perlu menentukan pangkat yang mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk menyelesaikan logaritma natural, Anda perlu menerapkan identitas logaritma atau propertinya. Mari kita lihat contoh penyelesaian berbagai jenis masalah logaritma.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Beserta Contoh dan Solusinya

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema dasar tentang logaritma.

1. Properti logaritma suatu produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana perlu untuk menguraikan nilai besar dari bilangan b menjadi faktor-faktor yang lebih sederhana. Misalnya log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari pangkat logaritma, kami berhasil menyelesaikan ekspresi yang tampaknya rumit dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basisnya lalu mengeluarkan nilai eksponennya dari tanda logaritma.

Tugas dari Ujian Negara Bersatu

Logaritma sering ditemukan dalam ujian masuk, terutama banyak soal logaritma pada Unified State Exam (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya, tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (bagian ujian yang paling mudah), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling rumit dan paling banyak). Ujian ini membutuhkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik “Logaritma natural”.

Contoh dan solusi masalah diambil dari Unified State Exam versi resmi. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.

Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, berdasarkan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.

• Yang terbaik adalah mereduksi semua logaritma ke basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
• Semua ekspresi di bawah tanda logaritma dinyatakan positif, oleh karena itu, jika eksponen dari ekspresi di bawah tanda logaritma dan basisnya diambil sebagai pengali, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.

Dalam pelajaran ini kita akan meninjau fakta teoritis dasar tentang logaritma dan mempertimbangkan penyelesaian persamaan logaritma yang paling sederhana.

Mari kita mengingat kembali definisi sentral - definisi logaritma. Ini melibatkan penyelesaian persamaan eksponensial. Persamaan ini mempunyai akar tunggal, disebut logaritma dari b ke basis a:

Definisi:

Logaritma b ke basis a adalah eksponen ke basis a yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan b.

Izinkan kami mengingatkan Anda identitas logaritmik dasar.

Ekspresi (ekspresi 1) adalah akar persamaan (ekspresi 2). Substitusikan nilai x dari ekspresi 1 alih-alih x ke dalam ekspresi 2 dan dapatkan identitas logaritma utama:

Jadi kita melihat bahwa setiap nilai dikaitkan dengan suatu nilai. Kita menyatakan b dengan x(), c dengan y, dan dengan demikian memperoleh fungsi logaritmik:

Misalnya:

Mari kita mengingat kembali sifat dasar fungsi logaritma.

Mari kita perhatikan sekali lagi, di sini, karena di bawah logaritma dapat terdapat ekspresi yang sangat positif, sebagai basis logaritma.

Beras. 1. Grafik fungsi logaritma dengan basis berbeda

Grafik fungsi di ditampilkan dalam warna hitam. Beras. 1. Jika argumen bertambah dari nol hingga tak terhingga, maka fungsinya bertambah dari minus menjadi plus tak terhingga.

Grafik fungsi di ditunjukkan dengan warna merah. Beras. 1.

Properti dari fungsi ini:

Ruang lingkup: ;

Rentang nilai: ;

Fungsinya monoton di seluruh domain definisinya. Ketika meningkat secara monoton (ketat), semakin besar nilai argumen maka semakin besar pula nilai fungsinya. Ketika menurun secara monoton (ketat), nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih kecil.

Sifat-sifat fungsi logaritma adalah kunci untuk menyelesaikan berbagai persamaan logaritma.

Mari kita pertimbangkan persamaan logaritma paling sederhana; semua persamaan logaritma lainnya, biasanya, direduksi menjadi bentuk ini.

Karena basis logaritma dan logaritma itu sendiri adalah sama, fungsi-fungsi di bawah logaritma juga sama, tetapi kita tidak boleh melewatkan domain definisinya. Hanya bilangan positif yang dapat muncul di bawah logaritma, kita mempunyai:

Kami menemukan bahwa fungsi f dan g adalah sama, jadi cukup memilih salah satu pertidaksamaan untuk memenuhi ODZ.

Jadi, kita memiliki sistem campuran yang di dalamnya terdapat persamaan dan pertidaksamaan:

Sebagai aturan, tidak perlu menyelesaikan pertidaksamaan; cukup menyelesaikan persamaan dan mensubstitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam pertidaksamaan, sehingga melakukan pemeriksaan.

Mari kita rumuskan metode penyelesaian persamaan logaritma paling sederhana:

Menyamakan basis logaritma;

Menyamakan fungsi sublogaritma;

Lakukan pemeriksaan.

Mari kita lihat contoh spesifiknya.

Contoh 1 - selesaikan persamaan:

Basis logaritma awalnya sama, kita berhak menyamakan ekspresi sublogaritma, jangan lupa ODZ, kita pilih logaritma pertama untuk menyusun pertidaksamaan:

Contoh 2 - selesaikan persamaannya:

Persamaan ini berbeda dari persamaan sebelumnya karena basis logaritmanya kurang dari satu, tetapi hal ini tidak mempengaruhi penyelesaian sama sekali:

Mari kita cari akarnya dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan:

Kami menerima pertidaksamaan yang salah, yang berarti akar yang ditemukan tidak memenuhi ODZ.

Contoh 3 - selesaikan persamaannya:

Basis logaritma awalnya sama, kita berhak menyamakan ekspresi sublogaritma, jangan lupa ODZ, kita pilih logaritma kedua untuk menyusun pertidaksamaan:

Mari kita cari akarnya dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan:

Jelasnya, hanya root pertama yang memenuhi ODZ.

Aljabar kelas 11

Topik: “Metode penyelesaian persamaan logaritma”

Tujuan pelajaran:

pendidikan: pembentukan pengetahuan tentang berbagai cara menyelesaikan persamaan logaritma, kemampuan untuk menerapkannya dalam setiap situasi tertentu dan memilih metode penyelesaian apa pun;

perkembangan: pengembangan keterampilan mengamati, membandingkan, menerapkan pengetahuan dalam situasi baru, mengidentifikasi pola, menggeneralisasi; mengembangkan keterampilan saling mengendalikan dan mengendalikan diri;

pendidikan: menumbuhkan sikap bertanggung jawab terhadap pekerjaan pendidikan, perhatian terhadap materi dalam pelajaran, dan pencatatan yang cermat.

Jenis pelajaran: pelajaran memperkenalkan materi baru.

“Penemuan logaritma, sekaligus mengurangi pekerjaan para astronom, juga memperpanjang umurnya.”
Matematikawan dan astronom Prancis P.S. Laplace

Kemajuan pelajaran

I. Menetapkan tujuan pelajaran

Definisi logaritma yang dipelajari, sifat-sifat logaritma, dan fungsi logaritma akan memungkinkan kita menyelesaikan persamaan logaritma. Semua persamaan logaritma, betapapun rumitnya, diselesaikan menggunakan algoritma yang seragam. Kita akan melihat algoritma ini dalam pelajaran hari ini. Jumlahnya tidak banyak. Jika Anda menguasainya, maka persamaan apa pun dengan logaritma dapat dilakukan oleh Anda masing-masing.

Tuliskan topik pelajaran di buku catatan Anda: “Metode penyelesaian persamaan logaritma.” Saya mengundang semua orang untuk bekerja sama.

II. Memperbarui pengetahuan referensi

Mari bersiap untuk mempelajari topik pelajaran. Anda menyelesaikan setiap tugas dan menuliskan jawabannya; Anda tidak perlu menulis kondisinya. Bekerja berpasangan.

1) Untuk nilai x berapakah fungsi tersebut masuk akal:

(Jawaban diperiksa untuk setiap slide dan kesalahan diselesaikan)

2) Apakah grafik fungsinya bertepatan?

3) Tulis ulang persamaan tersebut sebagai persamaan logaritma:

4) Tuliskan bilangan-bilangan tersebut sebagai logaritma dengan basis 2:

5) Hitung:

6) Cobalah untuk memulihkan atau menambah unsur-unsur yang hilang dalam persamaan ini.

AKU AKU AKU. Pengenalan materi baru

Pernyataan berikut ditampilkan di layar:

“Persamaan adalah kunci emas yang membuka semua wijen matematika.”
Matematikawan Polandia modern S. Kowal

Cobalah merumuskan definisi persamaan logaritma. (Persamaan yang mengandung hal yang tidak diketahui di bawah tanda logaritma).

Mari kita pertimbangkan persamaan logaritma paling sederhana:mencatatAx = b(di mana a>0, a ≠ 1). Karena fungsi logaritma bertambah (atau berkurang) pada himpunan bilangan positif dan mengambil semua nilai real, maka berdasarkan teorema akar maka untuk sembarang b persamaan ini mempunyai, dan hanya satu, solusi, dan solusi positif.

Ingat definisi logaritma. (Logaritma suatu bilangan x dengan basis a merupakan indikator pangkat yang harus dipangkatkan dengan basis a untuk memperoleh bilangan x). Dari definisi logaritma langsung berikut ini AV adalah solusi seperti itu.

Tuliskan judulnya: Metode penyelesaian persamaan logaritma

1. Menurut definisi logaritma.

Beginilah cara persamaan bentuk paling sederhana diselesaikan.

Mari kita pertimbangkan No.514(a)): Selesaikan persamaannya

Bagaimana Anda mengusulkan untuk menyelesaikannya? (Menurut definisi logaritma)

Larutan. , Jadi 2x - 4 = 4; x = 4.

Dalam tugas ini, 2x - 4 > 0, karena > 0, sehingga tidak ada akar asing yang muncul, dan tidak perlu dilakukan pengecekan. Kondisi 2x - 4 > 0 tidak perlu dituliskan dalam tugas ini.

2. Potensiasi(transisi dari logaritma ekspresi tertentu ke ekspresi itu sendiri).

Mari kita pertimbangkan Nomor 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Fitur apa yang Anda perhatikan? (Basisnya sama dan logaritma kedua ekspresi tersebut sama.) Apa yang bisa dilakukan? (Potensi).

Perlu diingat bahwa solusi apa pun terdapat di antara semua x yang ekspresi logaritmanya positif.

Solusi: ODZ:

X2+8>0 adalah pertidaksamaan yang tidak perlu

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Mari kita potensikan persamaan aslinya

kita mendapatkan persamaan x2+8= 8x+8

Mari kita selesaikan: x2-8x=0

Jawaban: 0; 8

Umumnya transisi ke sistem yang setara:

Persamaan

(Sistem berisi kondisi yang berlebihan - salah satu ketidaksetaraan tidak perlu dipertimbangkan).

Pertanyaan untuk kelas: Manakah dari tiga solusi berikut yang paling Anda sukai? (Diskusi metode).

Anda berhak memutuskan dengan cara apa pun.

3. Pengenalan variabel baru.

Mari kita pertimbangkan No.520(g). .

Apa yang kamu perhatikan? (Ini adalah persamaan kuadrat terhadap log3x) Ada saran? (Perkenalkan variabel baru)

Larutan. ODZ: x > 0.

Misalkan , maka persamaannya berbentuk :. Diskriminan D > 0. Akar menurut teorema Vieta :.

Mari kita kembali ke penggantinya: atau.

Setelah menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana, kita mendapatkan:

Jawaban: 27;

4. Logaritma kedua ruas persamaan.

Selesaikan persamaan :.

Penyelesaian: ODZ: x>0, ambil logaritma kedua ruas persamaan dengan basis 10:

Mari kita terapkan properti logaritma suatu pangkat:

(logx + 3) logx = 4

Misal logx = y, maka (y + 3)y = 4

, (D > 0) akar menurut teorema Vieta: y1 = -4 dan y2 = 1.

Mari kita kembali ke penggantian, kita mendapatkan: lgx = -4,; lgx = 1, .

Jawaban: 0,0001; 10.

5. Pengurangan menjadi satu basis.

Nomor 523(c). Selesaikan persamaan:

Solusi: ODZ: x>0. Mari kita beralih ke basis 3.

6. Metode grafis fungsional.

№ 509(d). Selesaikan persamaan secara grafis: = 3 - x.

Bagaimana Anda mengusulkan penyelesaiannya? (Buatlah grafik dua fungsi y = log2x dan y = 3 - x menggunakan titik dan cari absis titik potong grafik tersebut).

Lihatlah solusi Anda pada slide.

Ada cara untuk menghindari pembuatan grafik . Ini adalah sebagai berikut : jika salah satu fungsinya kamu = f(x) meningkat, dan lainnya kamu = g(x) berkurang pada interval X, maka persamaannya f(x)= g(x) mempunyai paling banyak satu akar pada interval X.

Jika ada root maka bisa ditebak.

Dalam kasus kita, fungsinya meningkat untuk x>0, dan fungsi y = 3 - x menurun untuk semua nilai x, termasuk untuk x>0, yang berarti persamaan tersebut tidak memiliki lebih dari satu akar. Perhatikan bahwa pada x = 2 persamaan tersebut berubah menjadi persamaan sejati, karena .

“Penerapan metode yang benar dapat dipelajari dengan
hanya dengan menerapkannya pada berbagai contoh.”
Sejarawan matematika Denmark G.G. Zeiten

SAYAV.Pekerjaan Rumah

P. 39 perhatikan contoh 3, selesaikan No. 514(b), No. 529(b), No. 520(b), No. 523(b)

V. Menyimpulkan pelajaran

Metode penyelesaian persamaan logaritma apa yang kita pelajari di kelas?

Pada pelajaran berikutnya kita akan melihat persamaan yang lebih kompleks. Untuk mengatasinya, metode yang dipelajari akan bermanfaat.

Slide terakhir ditampilkan:

“Apa yang lebih dari apapun di dunia ini?
Ruang angkasa.
Apa hal yang paling bijaksana?
Waktu.
Apa bagian terbaiknya?
Raih apa yang kamu inginkan."
Thales

Saya berharap semua orang mencapai apa yang mereka inginkan. Terima kasih atas kerja sama dan pengertian Anda.

Persiapan untuk ujian akhir matematika mencakup bagian penting - “Logaritma”. Tugas-tugas dari topik ini tentu terkandung dalam Unified State Examination. Pengalaman beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa persamaan logaritma menimbulkan kesulitan bagi banyak anak sekolah. Oleh karena itu, siswa dengan tingkat pelatihan yang berbeda harus memahami bagaimana menemukan jawaban yang benar dan cepat mengatasinya.

Lulus tes sertifikasi dengan sukses menggunakan portal pendidikan Shkolkovo!

Dalam mempersiapkan Ujian Negara Bersatu, lulusan SMA membutuhkan sumber terpercaya yang memberikan informasi terlengkap dan akurat agar berhasil menyelesaikan soal ujian. Namun, buku teks tidak selalu tersedia, dan mencari aturan dan rumus yang diperlukan di Internet seringkali membutuhkan waktu.

Portal pendidikan Shkolkovo memungkinkan Anda mempersiapkan Ujian Negara Bersatu di mana saja dan kapan saja. Situs web kami menawarkan pendekatan paling nyaman untuk mengulang dan mengasimilasi sejumlah besar informasi tentang logaritma, serta dengan satu dan beberapa hal yang tidak diketahui. Mulailah dengan persamaan mudah. Jika Anda dapat mengatasinya tanpa kesulitan, lanjutkan ke yang lebih kompleks. Jika Anda kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan tertentu, Anda dapat menambahkannya ke Favorit sehingga Anda dapat kembali lagi nanti.

Anda dapat menemukan rumus yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas, mengulangi kasus khusus dan metode untuk menghitung akar persamaan logaritma standar dengan melihat bagian “Bantuan Teoritis”. Guru Shkolkovo mengumpulkan, mensistematisasikan, dan menyajikan semua materi yang diperlukan agar kelulusan berhasil dalam bentuk yang paling sederhana dan paling mudah dipahami.

Untuk mengatasi tugas dengan kompleksitas apa pun dengan mudah, di portal kami Anda dapat membiasakan diri dengan solusi beberapa persamaan logaritma standar. Untuk melakukan ini, buka bagian “Katalog”. Kami memiliki banyak sekali contoh, termasuk persamaan tingkat profil UN Unified State dalam matematika.

Siswa dari sekolah di seluruh Rusia dapat menggunakan portal kami. Untuk memulai kelas, cukup mendaftar di sistem dan mulai menyelesaikan persamaan. Untuk mengkonsolidasikan hasil, kami menyarankan Anda untuk kembali ke situs web Shkolkovo setiap hari.

Dengan video ini saya memulai serangkaian pelajaran panjang tentang persamaan logaritma. Sekarang Anda memiliki tiga contoh yang menjadi dasar kita akan belajar memecahkan masalah paling sederhana, yang disebut - protozoa.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa persamaan logaritma paling sederhana adalah sebagai berikut:

log af(x) = b

Dalam hal ini, penting bahwa variabel x hanya ada di dalam argumen, yaitu hanya dalam fungsi f (x). Dan bilangan a dan b hanyalah bilangan, dan sama sekali bukan fungsi yang mengandung variabel x.

Metode solusi dasar

Ada banyak cara untuk menyelesaikan struktur seperti itu. Misalnya, sebagian besar guru di sekolah menawarkan cara berikut: Segera nyatakan fungsi f(x) menggunakan rumus F ( x ) = sebuah b . Artinya, ketika Anda menemukan konstruksi paling sederhana, Anda dapat langsung beralih ke solusi tanpa tindakan dan konstruksi tambahan.

Ya, tentu saja keputusannya tepat. Namun yang menjadi permasalahan dengan rumus ini adalah sebagian besar siswa tidak mengerti, dari mana asalnya dan mengapa huruf a kita naikkan menjadi huruf b.

Alhasil, saya sering melihat kesalahan yang sangat mengganggu, misalnya ketika surat-surat ini tertukar. Rumus ini harus dipahami atau dijejali, dan cara kedua menyebabkan kesalahan pada saat yang paling tidak tepat dan paling krusial: saat ujian, ulangan, dll.

Itulah sebabnya saya menyarankan kepada semua siswa saya untuk meninggalkan rumus standar sekolah dan menggunakan pendekatan kedua untuk menyelesaikan persamaan logaritma, yang, seperti yang mungkin Anda duga dari namanya, disebut bentuk kanonik.

Ide tentang bentuk kanonik itu sederhana. Mari kita lihat masalah kita lagi: di sebelah kiri kita memiliki log a, dan huruf a yang kita maksud adalah bilangan, dan bukan fungsi yang mengandung variabel x. Oleh karena itu, surat ini tunduk pada semua batasan yang dikenakan pada dasar logaritma. yaitu:

1 ≠ a > 0

Sebaliknya, dari persamaan yang sama kita melihat bahwa logaritma harus sama dengan bilangan b, dan tidak ada batasan yang dikenakan pada huruf ini, karena dapat bernilai berapa pun - baik positif maupun negatif. Itu semua tergantung pada nilai apa yang diambil fungsi f(x).

Dan di sini kita mengingat aturan luar biasa kita bahwa bilangan b apa pun dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis a dari a pangkat b:

b = log ab

Bagaimana cara mengingat rumus ini? Ya, sangat sederhana. Mari kita tulis konstruksi berikut:

b = b 1 = b catatan a a

Tentu saja, dalam hal ini semua batasan yang kami tulis di awal akan muncul. Sekarang mari kita gunakan sifat dasar logaritma dan masukkan pengali b sebagai pangkat a. Kami mendapatkan:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Hasilnya, persamaan aslinya akan ditulis ulang sebagai berikut:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Itu saja. Fungsi baru ini tidak lagi berisi logaritma dan dapat diselesaikan menggunakan teknik aljabar standar.

Tentu saja, sekarang seseorang akan keberatan: mengapa perlu membuat semacam rumus kanonik, mengapa melakukan dua langkah tambahan yang tidak perlu jika memungkinkan untuk segera berpindah dari desain awal ke rumus akhir? Ya, jika hanya karena sebagian besar siswa tidak memahami dari mana rumus ini berasal dan akibatnya sering melakukan kesalahan dalam penerapannya.

Namun rangkaian tindakan ini, yang terdiri dari tiga langkah, memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan logaritma asli, meskipun Anda tidak memahami dari mana rumus akhirnya berasal. Omong-omong, entri ini disebut rumus kanonik:

log a f (x) = log a a b

Kenyamanan bentuk kanonik juga terletak pada kenyataan bahwa bentuk ini dapat digunakan untuk menyelesaikan kelas persamaan logaritmik yang sangat luas, dan bukan hanya persamaan paling sederhana yang sedang kita pertimbangkan saat ini.

Contoh solusi

Sekarang mari kita lihat contoh nyata. Jadi mari kita putuskan:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Mari kita tulis ulang seperti ini:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Banyak siswa yang terburu-buru dan mencoba untuk segera menaikkan angka 0,5 ke pangkat yang didapat dari soal awal. Memang ketika Anda sudah terlatih dalam menyelesaikan masalah seperti itu, Anda bisa langsung melakukan langkah ini.

Namun, jika Anda baru mulai mempelajari topik ini, lebih baik jangan terburu-buru kemana pun untuk menghindari kesalahan yang menyinggung. Jadi, kita memiliki bentuk kanonik. Kami memiliki:

3x − 1 = 0,5 −3

Ini bukan lagi persamaan logaritma, tetapi linier terhadap variabel x. Untuk menyelesaikannya, pertama-tama mari kita lihat angka 0,5 pangkat −3. Perhatikan bahwa 0,5 adalah 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Ubah semua pecahan desimal menjadi pecahan biasa saat menyelesaikan persamaan logaritma.

Kami menulis ulang dan mendapatkan:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Itu saja, kami mendapat jawabannya. Masalah pertama telah terpecahkan.

Tugas kedua

Mari kita beralih ke tugas kedua:

Seperti yang bisa kita lihat, persamaan ini bukan lagi persamaan yang paling sederhana. Kalau saja karena ada selisih di sebelah kiri, dan tidak ada satu pun logaritma ke satu basis.

Oleh karena itu, kita perlu menghilangkan perbedaan ini. Dalam hal ini, semuanya sangat sederhana. Mari kita lihat lebih dekat basisnya: di sebelah kiri adalah angka di bawah akar:

Rekomendasi umum: dalam semua persamaan logaritma, cobalah untuk menghilangkan radikal, yaitu, dari entri dengan akar dan beralih ke fungsi pangkat, hanya karena eksponen pangkat ini dengan mudah dikeluarkan dari tanda logaritma dan, pada akhirnya, seperti sebuah entri secara signifikan menyederhanakan dan mempercepat perhitungan. Mari kita tuliskan seperti ini:

Sekarang mari kita ingat sifat luar biasa dari logaritma: pangkat dapat diturunkan dari argumen, maupun dari basis. Dalam hal alasan, hal berikut terjadi:

log a k b = 1/k loga b

Dengan kata lain bilangan yang berada pada pangkat dasar dimajukan dan sekaligus dibalik, yaitu menjadi bilangan timbal balik. Dalam kasus kami, derajat dasarnya adalah 1/2. Oleh karena itu, kita dapat menganggapnya sebagai 2/1. Kami mendapatkan:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Harap dicatat: dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menghilangkan logaritma pada langkah ini. Ingat matematika kelas 4-5 dan urutan operasinya: perkalian dilakukan terlebih dahulu, baru kemudian penjumlahan dan pengurangan. Dalam hal ini, kita kurangi salah satu elemen yang sama dari 10 elemen:

9 log 5 x = 18
catatan 5 x = 2

Sekarang persamaan kita terlihat sebagaimana mestinya. Ini adalah konstruksi paling sederhana, dan kami menyelesaikannya menggunakan bentuk kanonik:

catatan 5 x = catatan 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Itu saja. Masalah kedua telah terpecahkan.

Contoh ketiga

Mari beralih ke tugas ketiga:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Izinkan saya mengingatkan Anda tentang rumus berikut:

catatan b = catatan 10 b

Jika karena alasan tertentu Anda bingung dengan notasi log b , maka saat melakukan semua perhitungan Anda cukup menulis log 10 b . Anda dapat bekerja dengan logaritma desimal dengan cara yang sama seperti yang lain: ambil pangkat, tambahkan, dan nyatakan angka apa pun dalam bentuk lg 10.

Sifat-sifat inilah yang sekarang akan kita gunakan untuk menyelesaikan masalah, karena ini bukan sifat paling sederhana yang kita tulis di awal pelajaran kita.

Pertama, perhatikan bahwa faktor 2 di depan lg 5 dapat dimasukkan dan menjadi pangkat dari basis 5. Selain itu, suku bebas 3 juga dapat direpresentasikan sebagai logaritma - ini sangat mudah diamati dari notasi kita.

Nilailah sendiri: bilangan apa pun dapat direpresentasikan sebagai log ke basis 10:

3 = catatan 10 10 3 = catatan 10 3

Mari kita tulis ulang masalah aslinya dengan mempertimbangkan perubahan yang diperoleh:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000

Di hadapan kita ada lagi bentuk kanonik, dan kita mendapatkannya tanpa melalui tahap transformasi, yaitu. persamaan logaritmik paling sederhana tidak muncul di mana pun.

Inilah yang saya bicarakan di awal pelajaran. Bentuk kanonik memungkinkan Anda memecahkan masalah kelas yang lebih luas daripada rumus standar sekolah yang diberikan sebagian besar guru sekolah.

Itu saja, kita menghilangkan tanda logaritma desimal, dan kita mendapatkan konstruksi linier sederhana:

x + 3 = 25.000
x = 24.997

Semua! Masalahnya terpecahkan.

Catatan tentang ruang lingkup

Di sini saya ingin memberikan komentar penting mengenai ruang lingkup definisi. Pastinya sekarang akan ada siswa dan guru yang berkata: “Saat kita menyelesaikan persamaan dengan logaritma, kita harus ingat bahwa argumen f(x) harus lebih besar dari nol!” Dalam hal ini, muncul pertanyaan logis: mengapa kita tidak menuntut agar ketimpangan ini dipenuhi dalam salah satu permasalahan yang dibahas?

Jangan khawatir. Dalam kasus ini, tidak ada akar tambahan yang akan muncul. Dan ini adalah trik hebat lainnya yang memungkinkan Anda mempercepat solusinya. Ketahuilah bahwa jika dalam soal variabel x hanya muncul di satu tempat (atau lebih tepatnya, dalam satu argumen dari satu logaritma), dan tidak di tempat lain dalam kasus kita variabel x muncul, maka tuliskan domain definisinya tidak perlu, karena akan dieksekusi secara otomatis.

Nilailah sendiri: pada persamaan pertama kita mendapatkan 3x − 1, yaitu argumennya harus sama dengan 8. Ini secara otomatis berarti bahwa 3x − 1 akan lebih besar dari nol.

Dengan keberhasilan yang sama, kita dapat menulis bahwa dalam kasus kedua x harus sama dengan 5 2, yaitu pasti lebih besar dari nol. Dan dalam kasus ketiga, dimana x + 3 = 25.000, yaitu, sekali lagi, jelas lebih besar dari nol. Dengan kata lain, cakupannya dipenuhi secara otomatis, tetapi hanya jika x hanya muncul dalam argumen satu logaritma saja.

Hanya itu yang perlu Anda ketahui untuk menyelesaikan masalah paling sederhana. Aturan ini saja, bersama dengan aturan transformasi, akan memungkinkan Anda memecahkan berbagai macam masalah.

Tapi jujur ​​saja: untuk akhirnya memahami teknik ini, untuk mempelajari cara menerapkan bentuk kanonik persamaan logaritma, tidak cukup hanya dengan menonton satu video pelajaran. Oleh karena itu, sekarang juga, unduh opsi untuk solusi independen yang terlampir pada video tutorial ini dan mulailah menyelesaikan setidaknya satu dari dua pekerjaan independen ini.

Ini akan memakan waktu beberapa menit. Namun efek dari pelatihan tersebut akan jauh lebih tinggi dibandingkan jika Anda hanya menonton video tutorial ini.

Saya harap pelajaran ini akan membantu Anda memahami persamaan logaritma. Gunakan bentuk kanonik, sederhanakan ekspresi menggunakan aturan untuk bekerja dengan logaritma - dan Anda tidak akan takut akan masalah apa pun. Hanya itu yang saya punya untuk hari ini.

Memperhatikan domain definisi

Sekarang mari kita bicara tentang domain definisi fungsi logaritma, dan bagaimana hal ini mempengaruhi penyelesaian persamaan logaritma. Pertimbangkan konstruksi formulir

catatan a f (x) = b

Ekspresi seperti itu disebut yang paling sederhana - hanya berisi satu fungsi, dan angka a dan b hanyalah angka, dan bukan fungsi yang bergantung pada variabel x. Ini dapat diselesaikan dengan sangat sederhana. Anda hanya perlu menggunakan rumus:

b = log ab

Rumus ini adalah salah satu properti utama logaritma, dan ketika disubstitusikan ke dalam ekspresi asli, kita mendapatkan yang berikut:

log a f (x) = log a a b

f(x) = ab

Ini adalah rumus yang familiar dari buku pelajaran sekolah. Banyak siswa mungkin memiliki pertanyaan: karena dalam ekspresi asli fungsi f(x) berada di bawah tanda log, maka batasan berikut diberlakukan padanya:

f(x) > 0

Batasan ini berlaku karena logaritma bilangan negatif tidak ada. Jadi, mungkin, sebagai akibat dari keterbatasan ini, pemeriksaan terhadap jawaban harus dilakukan? Mungkin mereka perlu dimasukkan ke dalam sumbernya?

Tidak, dalam persamaan logaritma yang paling sederhana, pemeriksaan tambahan tidak diperlukan. Dan inilah alasannya. Lihatlah rumus akhir kami:

f(x) = ab

Faktanya adalah bahwa angka a bagaimanapun juga lebih besar dari 0 - persyaratan ini juga dikenakan oleh logaritma. Angka a adalah basisnya. Dalam hal ini, tidak ada batasan yang dikenakan pada nomor b. Namun hal ini tidak menjadi masalah, karena berapapun pangkat yang kita naikkan pada bilangan positif, kita akan tetap mendapatkan bilangan positif pada keluarannya. Jadi, persyaratan f(x) > 0 terpenuhi secara otomatis.

Yang benar-benar layak untuk diperiksa adalah domain fungsi di bawah tanda log. Mungkin ada struktur yang cukup rumit, dan Anda pasti perlu memperhatikannya selama proses penyelesaian. Mari kita lihat.

Tugas pertama:

Langkah pertama: ubah pecahan di sebelah kanan. Kami mendapatkan:

Kami menghilangkan tanda logaritma dan mendapatkan persamaan irasional biasa:

Dari akar-akar yang diperoleh, hanya akar pertama yang cocok untuk kita, karena akar kedua kurang dari nol. Satu-satunya jawaban adalah angka 9. Itu saja, masalahnya terpecahkan. Tidak diperlukan pemeriksaan tambahan untuk memastikan bahwa ekspresi di bawah tanda logaritma lebih besar dari 0, karena tidak hanya lebih besar dari 0, tetapi menurut kondisi persamaan sama dengan 2. Oleh karena itu, persyaratan “lebih besar dari nol ” terpenuhi secara otomatis.

Mari kita beralih ke tugas kedua:

Semuanya sama di sini. Kami menulis ulang konstruksinya, mengganti triple:

Kami menghilangkan tanda logaritma dan mendapatkan persamaan irasional:

Kami mengkuadratkan kedua sisi dengan mempertimbangkan batasan dan mendapatkan:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Kami menyelesaikan persamaan yang dihasilkan melalui diskriminan:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Tetapi x = −6 tidak cocok untuk kita, karena jika kita mensubstitusikan bilangan ini ke dalam pertidaksamaan, kita mendapatkan:

−6 + 4 = −2 < 0

Dalam kasus kami, nilainya harus lebih besar dari 0 atau, dalam kasus ekstrim, sama. Tapi x = −1 cocok untuk kita:

−1 + 4 = 3 > 0

Satu-satunya jawaban dalam kasus kita adalah x = −1. Itulah solusinya. Mari kita kembali ke awal perhitungan kita.

Kesimpulan utama dari pelajaran ini adalah Anda tidak perlu memeriksa batasan suatu fungsi dalam persamaan logaritma sederhana. Karena selama proses penyelesaian semua kendala terpenuhi secara otomatis.

Namun, ini tidak berarti Anda bisa melupakan pemeriksaan sama sekali. Dalam proses mengerjakan persamaan logaritma, persamaan tersebut mungkin berubah menjadi persamaan irasional, yang akan memiliki batasan dan persyaratan tersendiri untuk ruas kanan, yang telah kita lihat hari ini dalam dua contoh berbeda.

Jangan ragu untuk menyelesaikan masalah seperti itu dan berhati-hatilah jika ada akar permasalahannya.

Persamaan logaritma dengan basis berbeda

Kami terus mempelajari persamaan logaritmik dan melihat dua teknik menarik lainnya yang populer untuk menyelesaikan konstruksi yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita ingat bagaimana masalah paling sederhana diselesaikan:

catatan a f (x) = b

Dalam entri ini, a dan b adalah bilangan, dan dalam fungsi f(x) variabel x harus ada, dan hanya di sana, yaitu x hanya boleh ada dalam argumen. Kami akan mengubah persamaan logaritma tersebut menggunakan bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, perhatikan itu

b = log ab

Terlebih lagi, a b justru merupakan sebuah argumen. Mari kita tulis ulang ungkapan ini sebagai berikut:

log a f (x) = log a a b

Inilah yang ingin kita capai, sehingga terdapat logaritma yang didasarkan pada a di kiri dan kanan. Dalam hal ini, secara kiasan, kita dapat mencoret tanda log, dan dari sudut pandang matematika kita dapat mengatakan bahwa kita hanya menyamakan argumennya:

f(x) = ab

Hasilnya, kita akan mendapatkan ekspresi baru yang lebih mudah dipecahkan. Mari kita terapkan aturan ini pada permasalahan kita saat ini.

Jadi, desain pertama:

Pertama-tama, saya perhatikan bahwa di sebelah kanan adalah pecahan yang penyebutnya adalah log. Saat Anda melihat ekspresi seperti ini, ada baiknya Anda mengingat properti logaritma yang menakjubkan:

Diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia, ini berarti bahwa logaritma apa pun dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi dua logaritma dengan basis c apa pun. Tentu saja 0< с ≠ 1.

Jadi: rumus ini mempunyai satu kasus khusus yang luar biasa, ketika variabel c sama dengan variabel B. Dalam hal ini, kita mendapatkan konstruksi seperti:

Konstruksi inilah yang kita lihat dari tanda di sebelah kanan persamaan kita. Mari kita ganti konstruksi ini dengan log a b , kita mendapatkan:

Dengan kata lain, dibandingkan dengan tugas awal, kami menukar argumen dan basis logaritma. Sebaliknya, kami harus membalik pecahannya.

Kita ingat bahwa derajat apa pun dapat diturunkan dari basis sesuai dengan aturan berikut:

Dengan kata lain, koefisien k, yang merupakan pangkat dari basis, dinyatakan sebagai pecahan terbalik. Mari kita render sebagai pecahan terbalik:

Faktor pecahan tidak boleh dibiarkan di depan, karena dalam hal ini kita tidak akan dapat merepresentasikan notasi tersebut sebagai bentuk kanonik (lagi pula, dalam bentuk kanonik tidak ada faktor tambahan sebelum logaritma kedua). Oleh karena itu, mari tambahkan pecahan 1/4 ke argumen sebagai pangkat:

Sekarang kita menyamakan argumen yang basisnya sama (dan basis kita benar-benar sama), dan menulis:

x + 5 = 1

x = −4

Itu saja. Kami mendapat jawaban persamaan logaritma pertama. Harap diperhatikan: dalam soal awal, variabel x hanya muncul di satu log, dan muncul di argumennya. Oleh karena itu, tidak perlu mengecek domainnya, dan bilangan kita x = −4 memang jawabannya.

Sekarang mari kita beralih ke ekspresi kedua:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Di sini, selain logaritma biasa, kita harus bekerja dengan log f(x). Bagaimana cara menyelesaikan persamaan seperti itu? Bagi siswa yang tidak siap, ini mungkin tampak seperti tugas yang sulit, tetapi sebenarnya semuanya dapat diselesaikan dengan cara yang mendasar.

Perhatikan baik-baik istilah lg 2 log 2 7. Apa yang bisa kita katakan tentangnya? Basis dan argumen log dan lg adalah sama, dan ini akan memberikan beberapa gagasan. Mari kita ingat sekali lagi bagaimana pangkat dikeluarkan dari bawah tanda logaritma:

log a b n = nlog a b

Dengan kata lain, pangkat b dalam argumen tersebut menjadi faktor di depan log itu sendiri. Mari kita terapkan rumus ini pada ekspresi lg 2 log 2 7. Jangan takut dengan lg 2 - ini adalah ekspresi yang paling umum. Anda dapat menulis ulang sebagai berikut:

Semua aturan yang berlaku untuk logaritma lainnya berlaku untuk logaritma tersebut. Secara khusus, faktor di depan dapat ditambahkan pada derajat argumen. Mari kita tuliskan:

Seringkali siswa tidak melihat tindakan ini secara langsung, karena tidak baik memasukkan satu log di bawah tanda log lainnya. Sebenarnya, tidak ada yang kriminal dalam hal ini. Selain itu, kami mendapatkan rumus yang mudah dihitung jika Anda mengingat aturan penting:

Rumus ini dapat dianggap sebagai definisi dan salah satu propertinya. Bagaimanapun, jika Anda mengonversi persamaan logaritma, Anda harus mengetahui rumus ini dengan cara yang sama seperti Anda mengetahui representasi log dari bilangan apa pun.

Mari kita kembali ke tugas kita. Kami menulis ulang dengan mempertimbangkan fakta bahwa suku pertama di sebelah kanan tanda sama dengan akan sama dengan lg 7. Kita punya:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Mari kita pindahkan lg 7 ke kiri, kita mendapatkan:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Kita kurangi ekspresi di sebelah kiri karena keduanya mempunyai basis yang sama:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Sekarang mari kita lihat lebih dekat persamaan yang kita dapatkan. Ini praktis merupakan bentuk kanonik, tetapi ada faktor −3 di sebelah kanan. Mari tambahkan ke argumen lg kanan:

log 8 = log (x + 4) −3

Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma, jadi kita coret tanda lg dan samakan argumennya:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Itu saja! Kami memecahkan persamaan logaritma kedua. Dalam hal ini, tidak diperlukan pemeriksaan tambahan, karena dalam soal awal x hanya ada dalam satu argumen.

Izinkan saya membuat daftar poin-poin penting dari pelajaran ini lagi.

Rumus utama yang diajarkan dalam semua pelajaran di halaman ini yang didedikasikan untuk menyelesaikan persamaan logaritma adalah bentuk kanonik. Dan jangan takut dengan kenyataan bahwa sebagian besar buku pelajaran sekolah mengajarkan Anda untuk memecahkan masalah tersebut secara berbeda. Alat ini bekerja sangat efektif dan memungkinkan Anda memecahkan masalah yang jauh lebih luas daripada masalah paling sederhana yang kita pelajari di awal pelajaran.

Selain itu, untuk menyelesaikan persamaan logaritma akan berguna jika mengetahui sifat-sifat dasarnya. Yaitu:

1. Rumus untuk berpindah ke satu basis dan kasus khusus ketika kita membalik log (ini sangat berguna bagi kita di soal pertama);
2. Rumus penjumlahan dan pengurangan pangkat dari tanda logaritma. Di sini banyak siswa yang terjebak dan tidak melihat bahwa gelar yang diambil dan diperkenalkan itu sendiri dapat memuat log f(x). Tidak ada yang salah dengan itu. Kita dapat memperkenalkan satu log sesuai dengan tanda log lainnya dan pada saat yang sama menyederhanakan solusi masalah secara signifikan, yang kita amati pada kasus kedua.

Sebagai kesimpulan, saya ingin menambahkan bahwa tidak perlu memeriksa domain definisi dalam setiap kasus ini, karena di mana pun variabel x hanya ada dalam satu tanda log, dan pada saat yang sama ada dalam argumennya. Akibatnya, semua persyaratan ruang lingkup terpenuhi secara otomatis.

Masalah dengan basis variabel

Hari ini kita akan melihat persamaan logaritma, yang bagi banyak siswa tampak tidak standar, atau bahkan tidak sepenuhnya tidak dapat diselesaikan. Kita berbicara tentang ekspresi yang tidak didasarkan pada angka, tetapi pada variabel dan fungsi genap. Kami akan menyelesaikan konstruksi tersebut dengan menggunakan teknik standar kami, yaitu melalui bentuk kanonik.

Pertama, mari kita ingat bagaimana masalah paling sederhana diselesaikan berdasarkan bilangan biasa. Jadi, konstruksi paling sederhana disebut

catatan a f (x) = b

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut kita dapat menggunakan rumus berikut:

b = log ab

Kami menulis ulang ekspresi asli kami dan mendapatkan:

log a f (x) = log a a b

Kemudian kita samakan argumennya, yaitu kita menulis:

f(x) = ab

Jadi, kami menghilangkan tanda log dan menyelesaikan masalah biasa. Dalam hal ini, akar-akar yang diperoleh dari solusi akan menjadi akar-akar persamaan logaritma asli. Selain itu, catatan ketika kiri dan kanan berada dalam logaritma yang sama dengan basis yang sama disebut bentuk kanonik. Kami akan mencoba mereduksi desain saat ini menjadi rekor seperti itu. Jadi, ayo pergi.

Tugas pertama:

catatan x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Gantikan 1 dengan log x − 2 (x − 2) 1 . Derajat yang kita amati dalam argumen tersebut sebenarnya adalah bilangan b yang berada di sebelah kanan tanda sama dengan. Jadi, mari kita tulis ulang ekspresi kita. Kami mendapatkan:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Apa yang kita lihat? Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma, sehingga kita dapat dengan aman menyamakan argumennya. Kami mendapatkan:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Namun penyelesaiannya tidak berakhir di situ, karena persamaan ini tidak ekuivalen dengan persamaan awal. Bagaimanapun, konstruksi yang dihasilkan terdiri dari fungsi-fungsi yang didefinisikan pada seluruh garis bilangan, dan logaritma asli kita tidak ditentukan di mana-mana dan tidak selalu.

Oleh karena itu, kita harus menuliskan domain definisinya secara terpisah. Jangan membelah rambut dan tuliskan dulu semua persyaratannya:

Pertama, argumen masing-masing logaritma harus lebih besar dari 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Kedua, basisnya tidak hanya harus lebih besar dari 0, tetapi juga berbeda dari 1:

x − 2 ≠ 1

Hasilnya, kami mendapatkan sistem:

Namun jangan khawatir: saat memproses persamaan logaritmik, sistem seperti itu dapat disederhanakan secara signifikan.

Nilailah sendiri: di satu sisi, kita diharuskan fungsi kuadrat lebih besar dari nol, dan di sisi lain, fungsi kuadrat ini disamakan dengan ekspresi linier tertentu, yang juga harus lebih besar dari nol.

Dalam hal ini, jika kita mensyaratkan x − 2 > 0, maka syarat 2x 2 − 13x + 18 > 0 otomatis terpenuhi. Oleh karena itu, kita dapat dengan aman mencoret pertidaksamaan yang memuat fungsi kuadrat tersebut. Dengan demikian, jumlah ekspresi yang terdapat dalam sistem kami akan dikurangi menjadi tiga.

Tentu saja, kita dapat dengan mudah mencoret pertidaksamaan linier tersebut, yaitu mencoret x − 2 > 0 dan mengharuskan 2x 2 − 13x + 18 > 0. Namun Anda harus setuju bahwa menyelesaikan pertidaksamaan linier yang paling sederhana jauh lebih cepat dan lebih sederhana daripada kuadrat, bahkan dengan syarat bahwa sebagai hasil penyelesaian seluruh sistem ini kita mendapatkan akar-akar yang sama.

Secara umum, cobalah untuk mengoptimalkan penghitungan bila memungkinkan. Dan dalam kasus persamaan logaritma, coretlah pertidaksamaan yang paling sulit.

Mari kita menulis ulang sistem kita:

Berikut adalah sistem tiga ekspresi, dua di antaranya sebenarnya telah kita bahas. Mari kita tuliskan persamaan kuadrat secara terpisah dan selesaikan:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Di depan kita ada trinomial kuadrat tereduksi dan, oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus Vieta. Kami mendapatkan:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Sekarang kita kembali ke sistem kita dan menemukan bahwa x = 2 tidak cocok untuk kita, karena kita diharuskan agar x lebih besar dari 2.

Tetapi x = 5 sangat cocok untuk kita: angka 5 lebih besar dari 2, dan pada saat yang sama 5 tidak sama dengan 3. Oleh karena itu, satu-satunya solusi untuk sistem ini adalah x = 5.

Itu saja, masalahnya selesai, termasuk dengan mempertimbangkan ODZ. Mari kita beralih ke persamaan kedua. Perhitungan yang lebih menarik dan informatif menanti kita di sini:

Langkah pertama: seperti terakhir kali, kami membawa seluruh masalah ini ke bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, kita dapat menulis angka 9 sebagai berikut:

Anda tidak harus menyentuh dasar dengan akarnya, tetapi lebih baik mengubah argumennya. Mari kita beralih dari akar ke pangkat dengan eksponen rasional. Mari kita tulis:

Izinkan saya tidak menulis ulang seluruh persamaan logaritma besar kita, tetapi langsung menyamakan argumennya:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Di hadapan kita ada trinomial kuadrat tereduksi yang baru, mari gunakan rumus Vieta dan tulis:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Jadi, kita mendapatkan akar-akarnya, tetapi tidak ada yang menjamin bahwa akar-akar tersebut akan cocok dengan persamaan logaritma asli. Lagi pula, tanda-tanda log memberlakukan batasan tambahan (di sini kita seharusnya menuliskan sistemnya, tetapi karena sifat keseluruhan struktur yang rumit, saya memutuskan untuk menghitung domain definisi secara terpisah).

Pertama-tama perlu diingat bahwa argumennya harus lebih besar dari 0, yaitu:

Ini adalah persyaratan yang ditentukan oleh ruang lingkup definisi.

Mari kita segera perhatikan bahwa karena kita menyamakan dua ekspresi pertama dari sistem satu sama lain, kita dapat mencoret salah satunya. Mari kita coret yang pertama karena terlihat lebih mengancam dibandingkan yang kedua.

Selain itu, perhatikan bahwa penyelesaian pertidaksamaan kedua dan ketiga akan berupa himpunan yang sama (kubus suatu bilangan lebih besar dari nol, jika bilangan itu sendiri lebih besar dari nol; demikian pula, dengan akar derajat ketiga - pertidaksamaan ini benar-benar analog, jadi kita bisa mencoretnya).

Namun dengan ketimpangan ketiga, hal ini tidak akan berhasil. Mari kita hilangkan tanda radikal di sebelah kiri dengan menaikkan kedua bagian menjadi kubus. Kami mendapatkan:

Jadi kami mendapatkan persyaratan berikut:

− 2 ≠ x > −3

Akar kita yang mana: x 1 = −3 atau x 2 = −1 yang memenuhi persyaratan berikut? Jelasnya, hanya x = −1, karena x = −3 tidak memenuhi pertidaksamaan pertama (karena pertidaksamaan kita sangat ketat). Jadi, kembali ke soal kita, kita mendapatkan satu akar: x = −1. Itu saja, masalah terpecahkan.

Sekali lagi, poin-poin penting dari tugas ini:

1. Jangan ragu untuk menerapkan dan menyelesaikan persamaan logaritma menggunakan bentuk kanonik. Siswa yang membuat notasi seperti itu, daripada berpindah langsung dari masalah awal ke konstruksi seperti log a f (x) = b, membuat kesalahan yang jauh lebih sedikit daripada mereka yang terburu-buru ke suatu tempat, melewatkan langkah-langkah perhitungan perantara;
2. Segera setelah basis variabel muncul dalam logaritma, masalahnya tidak lagi menjadi masalah yang paling sederhana. Oleh karena itu, ketika menyelesaikannya, domain definisi harus diperhitungkan: argumennya harus lebih besar dari nol, dan basisnya tidak hanya harus lebih besar dari 0, tetapi juga tidak boleh sama dengan 1.

Persyaratan akhir dapat diterapkan pada jawaban akhir dengan cara yang berbeda. Misalnya, Anda dapat menyelesaikan seluruh sistem yang berisi semua persyaratan untuk domain definisi. Di sisi lain, pertama-tama Anda dapat menyelesaikan masalah itu sendiri, lalu mengingat domain definisinya, mengerjakannya secara terpisah dalam bentuk sistem dan menerapkannya pada akar-akar yang dihasilkan.

Metode mana yang harus dipilih saat menyelesaikan persamaan logaritma tertentu terserah Anda. Bagaimanapun, jawabannya akan sama.