Jumlah terbesar di dunia. "Angka" yang tak terbatas

Dua hal yang benar-benar tidak ada habisnya:
Alam semesta dan kebodohan manusia.
Namun, tentang Semesta yang saya miliki
ada beberapa keraguan.
Albert Einstein

Kami telah mengangkat masalah ini baru-baru ini, namun masalah ini sangat penting sehingga layak untuk dibahas lebih detail.

Jika kata-kata yang sama kadang-kadang diucapkan tentang suatu benda dengan benda lainnya, ini tidak berarti bahwa benda-benda tersebut mempunyai sifat yang sama.

Ini adalah kalimat yang panjang dan tidak dapat dipahami, jadi saya akan menjelaskannya dengan sebuah contoh:
Anda dapat mengatakan "memanggil telepon", atau Anda dapat mengatakan "membunyikan bel" - tindakan yang sangat berbeda, tetapi satu kata kerja. Dari sini kita tidak dapat menyimpulkan bahwa semua tindakan lain dengan telepon (menerima SMS, mengingat 200 nomor, dan sebagainya) merupakan karakteristik bel. Hal ini sangat jelas sehingga paragraf ini terlihat tidak masuk akal.

Namun mengapa banyak orang begitu mudah mengoperasikan kata tak terhingga, seolah-olah itu adalah angka? Ya, Anda dapat menerapkan beberapa tindakan hingga tak terbatas yang berhasil dengan angka ( membuat reservasi yang diperlukan):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
∞ + ∞ = ∞ (selain itu, deret bilangan real sering kali diperluas dengan sepasang elemen +∞ dan -∞, tetapi menetapkan dengan tegas bagaimana hal tersebut dapat ditangani).

Artinya tidak semuanya bisa dilakukan dengan “ketidakterbatasan” seperti itu. Misalnya, ∞ - ∞ = ? (di sini kita menghadapi ketidakpastian, karena kita tidak dapat memberikan jawaban tanpa mengetahui sifat dari kedua “ketidakterbatasan”). Bagaimanapun, adalah naif untuk langsung mengatakan bahwa perbedaannya akan menjadi nol.

Dan jika pembicaraan dimulai tentang fakta bahwa suatu besaran cenderung nol atau tak terhingga, maka seringkali hal itu tidak pernah sampai pada penalaran yang benar. Ngomong-ngomong, enam bulan lalu kita membahas penggunaan konsep ketidakterbatasan sehari-hari. Kami kemudian berhasil “membuktikan” bahwa jumlah kaki-kaki suatu segitiga selalu sama dengan sisi miring. Ini bukanlah contoh yang sangat sederhana, namun merupakan contoh yang berguna. Masih banyak lagi konstruksi kuno dan terkenal yang terlihat sangat sederhana sehingga sama sekali tidak jelas bagaimana masalah yang mungkin terjadi dengannya.

Mari kita ingat aporia klasik Zeno:
Jika diketahui Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura, dan berada pada jarak 1 kilometer darinya, maka selama waktu yang dihabiskan Achilles pada kilometer tersebut, kura-kura akan merangkak sejauh 100 meter. Jadi, ketika Achilles berlari 100 meter lagi, kura-kura akan merangkak sejauh 10 meter, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, dan Achilles tidak akan pernah bisa mengejar penyu tersebut, meskipun ia bergerak lebih cepat.

Kemampuan untuk mengatakan hal-hal yang dapat dipahami tentang masalah-masalah seperti itu diperlukan untuk setidaknya memahami alasan tentang aspirasi, batas, ketidakterbatasan, dan konsep-konsep lain yang jelas secara intuitif, tetapi agak rumit. Tanpa ini, percakapan biasanya beralih ke “siapa yang bersuara lebih keras,” meskipun inti ilmu matematika sama sekali bukan untuk mencegah diri sendiri diyakinkan dengan cara apa pun. Sayangnya, dalam beberapa dekade terakhir, semakin sedikit orang yang membedakan mana yang benar dan mana yang ilmiah, sehingga sering kali dianggap lebih penting untuk berhenti berteriak dan meyakinkan daripada mendekati kebenaran.

Lalu bagaimana kita bisa mengatasi masalah Achilles dan kura-kura? Tolong jangan menulis bahwa begitu Achilles berlari sejauh dua kilometer, kura-kura akan tertinggal jauh. Ini jelas bagi semua orang, tapi tidak membantu sama sekali. Di sini Anda perlu merasakan masalah dalam solusi aslinya, dan tidak memunculkan pandangan Anda sendiri tentang kondisi yang sama.

Semoga harimu menyenangkan!

Dahulu kala di masa kanak-kanak, kita belajar berhitung sampai sepuluh, lalu ke seratus, lalu ke seribu. Jadi berapa angka terbesar yang kamu tahu? Seribu, satu juta, satu miliar, satu triliun... Lalu? Kelopak bunga, kata seseorang, dan dia salah, karena dia mengacaukan awalan SI dengan konsep yang sama sekali berbeda.

Faktanya, pertanyaannya tidak sesederhana kelihatannya pada pandangan pertama. Pertama, kita berbicara tentang menyebutkan nama kekuatan seribu. Dan di sini, nuansa pertama yang diketahui banyak orang dari film-film Amerika adalah bahwa mereka menyebut miliaran kita sebagai miliaran.

Selain itu, ada dua jenis skala – panjang dan pendek. Di negara kita, skala pendek digunakan. Dalam skala ini, pada setiap langkah mantissa bertambah tiga kali lipat, yaitu. kalikan dengan seribu - ribu 10 3, juta 10 6, miliar/miliar 10 9, triliun (10 12). Dalam skala panjang, setelah satu miliar 10 9 ada satu miliar 10 12, dan selanjutnya mantissa bertambah enam kali lipat, dan angka berikutnya, yang disebut satu triliun, sudah berarti 10 18.

Tapi mari kita kembali ke skala asal kita. Ingin tahu apa yang terjadi setelah satu triliun? Silakan:

10 3 ribu
10 6 juta
10 9 miliar
10 12 triliun
10 15 kuadriliun
10 18 triliun
10 21 sextillion
10 24 septiliun
10 27 oktillion
10 30 non-miliar
10 33 desiliun
10 36 undecillion
10 39 dodesiliun
10 42 triliun
10 45 quattoordecillion
10 48 triliun
10 51 cedecillion
10 54 septdecillion
10 57 duodevigintillion
10 60 undevigintillion
10 63 vigintillion
10 66 avigintillion
10 69 duovigintillion
10 72 trivigintillion
10 75 quattorvigintillion
10 78 triliun triliun
10 81 sexvigintillion
10 84 septemvigintillion
10 87 oktovigintillion
10 90 novembervigintillion
10 93 trigintiliun
10 96 antigintillion

Pada jumlah ini skala pendek kita tidak dapat bertahan, dan selanjutnya belalang sembah semakin bertambah.

10 100 gogol
10.123 kuadragintiliun
10.153 triliun triliun
10.183 seksagintiliun
10.213 septuagintiliun
10.243 oktogintiliun
10.273 nonagintillion
10,303 triliun
10.306 sen
10.309 sen
10.312 sentriliun
10.315 senkuadriliun
10.402 sentritrigintiliun
10.603 desensitiliun
10,903 triliun
10 1203 kuadringentiliun
10 1503 triliun
10 1803 satu triliun
10 2103 septingentillion
10 2403 oktingentillion
10 2703 nongentillion
10 3003 juta
10 6003 duo-juta
10 9003 tiga juta
10 3000003 miliar
10 6000003 duomimiliaillion
10 10 100 googolplex
10 3×n+3 miliar

Google(dari bahasa Inggris googol) - angka yang diwakili dalam sistem bilangan desimal dengan satuan diikuti oleh 100 angka nol:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Pada tahun 1938, matematikawan Amerika Edward Kasner (1878-1955) sedang berjalan-jalan di taman bersama kedua keponakannya dan mendiskusikan bilangan besar dengan mereka. Selama percakapan, kami berbicara tentang angka dengan seratus angka nol, yang tidak memiliki namanya sendiri. Salah satu keponakannya, Milton Sirotta yang berusia sembilan tahun, menyarankan untuk menyebut nomor ini “googol.” Pada tahun 1940, Edward Kasner, bersama dengan James Newman, menulis buku sains populer “Mathematics and Imagination” (“Nama Baru dalam Matematika”), di mana ia memberi tahu para pecinta matematika tentang bilangan googol.
Istilah “googol” tidak memiliki arti teoritis atau praktis yang serius. Kasner mengusulkannya untuk mengilustrasikan perbedaan antara bilangan besar yang tak terbayangkan dan tak terhingga, dan istilah ini kadang-kadang digunakan dalam pengajaran matematika untuk tujuan ini.

Googolplex(dari bahasa Inggris googolplex) - angka yang diwakili oleh unit dengan googol nol. Seperti googol, istilah "googolplex" diciptakan oleh ahli matematika Amerika Edward Kasner dan keponakannya Milton Sirotta.
Jumlah googol lebih besar dari jumlah seluruh partikel di bagian alam semesta yang kita kenal, yaitu berkisar antara 1079 hingga 1081. Dengan demikian, bilangan googolplex yang terdiri dari (googol + 1) digit tidak dapat dituliskan dalam bentuk “desimal” klasik, meskipun semua materi di bagian alam semesta yang diketahui berubah menjadi kertas dan tinta atau ruang disk komputer.

Miliaran(Bahasa Inggris miliaran) - nama umum untuk jumlah yang sangat besar.

Istilah ini tidak memiliki definisi matematis yang ketat. Pada tahun 1996, Conway (eng. J.H. Conway) dan Guy (eng. R.K. Guy) dalam buku mereka Bahasa Inggris. Kitab Bilangan mendefinisikan satu miliar pangkat n sebagai 10 3×n+3 untuk sistem penamaan bilangan skala pendek.

Masalah-masalah filosofis mulai terasa ketika, di dalam suatu ketidakterbatasan, tiba-tiba ditemukan masalah lain. Misalnya, dengan memilih bilangan genap saja di antara semua bilangan, kita akan kembali mendapatkan barisan tak hingga 2, 4, 6, ... Agar tidak bingung dengan tak terhingga, ahli matematika mulai berbicara tentang himpunan dan kardinalitas: himpunan bilangan asli , meskipun tak terhingga, kardinalitasnya sama dengan himpunan genap Hal ini mengikuti adanya aturan sederhana yang menetapkan hubungan antara dua himpunan ini: cukup dengan membagi bilangan genap dengan 2 atau mengalikan bilangan asli dengan 2 untuk memastikan bahwa aturan ini adalah satu-satu.

Aturan serupa - hanya sedikit lebih kompleks - menghubungkan bilangan asli satu-ke-satu dengan semua pecahan sederhana. Dengan kata lain, pecahan sederhana juga dapat dinomori ulang. Artinya himpunan bilangan rasional mempunyai pangkat yang sama dengan himpunan bilangan rasional, yaitu kedua tak terhingga tersebut “sama” satu sama lain. Jadi, mungkinkah ketidakterbatasan adalah satu dan semua himpunan tak hingga dalam pengertian ini selalu “sama” satu sama lain? Tapi tidak: pertama, tidak mungkin untuk menomori ulang bilangan irasional - dan himpunan ini ternyata "lebih besar" daripada himpunan bilangan asli - dan kedua, untuk himpunan apa pun, dimungkinkan untuk membuat "lebih besar".

Matematikawan nakal Jerman

Kedua pernyataan tersebut dibuktikan oleh matematikawan Jerman Georg Cantor (1845-1918). Karena tak terhingga berbeda, Anda juga dapat memasukkan nama Anda sendiri untuk tak terhingga - bisa dikatakan, bilangan transfinit. Cantor melambangkan pangkat deret alami dengan huruf alef dari alfabet Ibrani dengan indeks nol: א o, dan untuk pangkat kontinum - ini adalah segmen kontinu dari garis lurus atau seluruh garis lurus - ia menggunakan huruf yang sama , tetapi dengan indeks satu: א l, sehingga menunjukkan bahwa tidak ada. Tidak boleh ada bilangan transfinit lain antara א o dan א l.

Fakta bahwa sebuah kontinum dapat dianggap sebagai sekumpulan titik diketahui tidak lama sebelum Cantor, namun ia mampu membuktikannya lagi, setelah berhasil “menomori ulang” semua titik pada sebuah garis lurus—lebih tepatnya, sebuah segmen satuan. Hanya saja peran “bilangan” dalam hal ini bukanlah bilangan asli, melainkan barisan bilangan tak terhingga. Bahkan nol dan satu saja sudah cukup (jika kita berasumsi bahwa setiap “bilangan” ditulis dalam sistem biner): himpunan pecahan berbentuk 0,100010100111... sepenuhnya mewujudkan himpunan semua bilangan rasional beserta bilangan irasional dari 0 ke 1. Namun, sesuatu yang lebih mengikuti dari teori Cantor: "alefs" -nya memungkinkan untuk memberi nomor pada titik-titik yang garis lurusnya terlalu pendek (karena itu dinamakan transfinit - yaitu, terletak "di luar tak terhingga").

Ide-ide Cantor membuatnya mengalami kemalangan besar. Banyak rekannya menemukan dalam teori "alephs" bukan hanya banyak paradoks dan absurditas matematika - itu tidak terlalu buruk. Alasan Cantor mengungkapkan religiusitasnya yang mendalam dan keinginannya untuk memahami “Yang Absolut”. Saat ia mengembangkan teorinya, hubungannya dengan atasannya di universitas di kota Halle menjadi semakin tidak nyaman, dan bahkan para matematikawan yang awalnya antusias meninggalkannya. Pusat pemikiran matematika pada akhir abad ke-19 adalah Prancis, namun dua matematikawan terkemuka Prancis, Charles Hermite (1822-1901) dan Paul Emile Appel (1855-1930), bahkan menentang penerjemahan karya Cantor ke dalam bahasa Prancis. Orang mungkin mengira bahwa ide-ide baru ini akan didukung oleh patriark matematika Prancis, seorang pria yang dalam banyak hal mengantisipasi perkembangannya di masa depan di abad kedua puluh - Henri Poincaré (, 1854-1912) ... Tapi tidak - dan dia juga menolak untuk berbicara “tentang ketidakterbatasan yang sebenarnya.”

Menjelang akhir abad tersebut, Cantor sendiri semakin sering terserang depresi. Lambat laun menjadi jelas bahwa kita sedang membicarakan penyakit serius - psikosis manik-depresif. Emile Borel (1871-1956), salah satu penggemar muda teori himpunan, lambat laun mulai merasa jijik terhadap teori tersebut, yang semakin meningkat karena rumor tentang penyakit ahli matematika lainnya. Bertahun-tahun setelah ini, dia menulis kepada temannya Paul Valéry (Paul Valéry, 1871-1945) bahwa dia harus meninggalkan studinya dalam teori himpunan “karena terlalu banyak pekerjaan yang menimpanya dan membuatnya takut akan penyakit serius jika dia melanjutkan studinya. bekerja."

Pertanyaan tersebut ditutup oleh ahli matematika otoritatif lainnya, Jacques Hadamard (1865-1963), yang menyimpulkan bahwa keseluruhan plot melampaui “batas matematika” dan mulai berhubungan “dengan psikologi, dengan sifat-sifat pikiran kita.” Keputusan ini tampaknya cerdik bagi banyak orang, namun, menurut Lauren Graham dan Jean-Michel Cantor, keputusan ini menyebabkan keluarnya matematika Prancis dari garis depan. Setelah melihat kandungan matematika yang serius dalam membandingkan ukuran himpunan tak hingga dan mengurutkan himpunan bagian tak hingganya, matematikawan Rusia mampu membangun sebuah sekolah yang tetap menjadi yang pertama untuk waktu yang lama dan bahkan hingga hari ini belum sepenuhnya kehilangan signifikansinya.

Nomor Dewa

Pencipta teori himpunan menghabiskan sebelas tahun pertama hidupnya di St. Petersburg. Namun, iklim kota ini terbukti terlalu berbahaya bagi ayahnya, dan pada tahun 1856 seluruh keluarga pindah ke iklim yang jauh lebih baik di Frankfurt am Main. Kajian ilmu-ilmu alam dan teknik dilakukan oleh Penyanyi muda di berbagai kota di Eropa - dari Darmstadt hingga Zurich - dan disertai dengan perjuangan yang sangat diharapkan dengan orang tuanya, yang lebih senang melihat pada anak mereka seorang insinyur. daripada seorang ahli matematika dengan kecenderungan filosofis yang jelas. Namun, Georg secara bertahap mengatasi perlawanan mereka dan, seperti telah disebutkan, berakhir di Universitas Halle.

Dia mendefinisikan pandangan filosofisnya dengan rumusan "realisme Aristotelian moderat", tetapi platonisme Pythagoras terlihat jelas di dalamnya. Ketidakterbatasan yang sebenarnya, yang dinyatakan dengan bilangan-bilangan transfinit, menempati posisi perantara antara yang terbatas dan yang benar-benar tak terbatas - yaitu, yang ilahi. Menyadari bahwa rumusan pertanyaan seperti itu mungkin lebih dekat dengan para filsuf daripada ahli matematika, ia mengarahkan karya utamanya, “Pengalaman Matematika dan Filsafat dalam Doktrin Yang Tak Terbatas,” kepada para filsuf daripada ahli matematika:

[Maksud saya] ada dua jenis pembaca - di satu sisi, para filsuf yang mengikuti perkembangan matematika hingga zaman modern, dan di sisi lain, para ahli matematika yang akrab dengan fakta-fakta terpenting dari filsafat kuno dan modern..

Dan dia menemukan pembaca seperti ini - di tanah kelahirannya. Tidaklah mengherankan bahwa mereka juga ternyata, pertama-tama, adalah penganut Platonis Pythagoras dan mistikus Kristen. Mungkin yang paling terkenal saat ini - (1882-1937) - memahami dalam arti apa kita dapat berbicara tentang bilangan yang lebih besar dari bilangan asli mana pun:

Dalam pengertian yang sama, kita dapat mengatakan bahwa kuasa Tuhan itu nyata dan tidak terbatas, karena kuasa itu, karena ditentukan (karena tidak ada perubahan dalam Tuhan), pada saat yang sama lebih besar daripada kuasa terbatas mana pun..

Metafora ini sama sekali bukan metafora di mata Florensky sendiri, yang bahkan tidak menyiratkan batasan khusus antara teologi dan matematika. Selain itu, arah agama dan filosofi yang dikembangkan Florensky pada awal abad ke-20 mendalilkan bahwa “nama Tuhan adalah Tuhan sendiri”. Namun nama ini sendiri mewakili nama yang jumlahnya tidak terbatas, termasuk angka.

Selamat tinggal Lusitania!

Pada tahun 1900, Florensky masuk ke Fakultas Fisika dan Matematika Universitas Negeri Moskow, tetapi empat tahun kemudian ia meninggalkan matematika untuk berkarir di gereja dan teologi. Namun, di masa Soviet, ia juga berhenti mempelajari filsafat dan teologi, sepenuhnya membenamkan dirinya dalam masalah-masalah teknik praktis saja. Dia melakukan banyak bidang teknik kelistrikan, mengambil bagian dalam pengembangan rencana GOELRO, dan mempelajari sifat-sifat permafrost. Semua ini tidak menyelamatkannya dari penindasan pemerintahan baru, dan setelah beberapa kali ditangkap pada tahun 1937, dia ditembak.

Meninggalkan matematika tidak berarti meninggalkan komunitas matematika untuk Florensky. Di antara orang-orang terdekatnya adalah Nikolai Nikolaevich Luzin (1883-1950) dan Dmitry Fedorovich Egorov (1869-1931). Tidaklah cukup untuk mengatakan bahwa keduanya adalah ahli matematika yang hebat: pada tahun 1923, Egorov terpilih sebagai presiden dan ditunjuk sebagai direktur Institut Matematika dan Mekanika Universitas Negeri Moskow Pertama; penciptaan dan pengembangan teori fungsi. Di antara keberhasilan luar biasa Luzin tidak hanya hasil matematika itu sendiri, tetapi juga energi pedagogisnya yang unik: hampir semua ahli matematika besar Rusia adalah muridnya atau murid dari muridnya. , yang sudah terbentuk pada tahun 20-an, disebut “Lusitania”. Merekalah yang, pada usia 30-an, membuat penemuan yang membuka jalan bagi topik populer saat ini seperti fraktal dan chaos.

Seringkali, nasib sains tidak ditentukan oleh keberhasilan dalam memecahkan masalah, tetapi lebih ditentukan oleh pilihan yang tepat. Siapa yang tahu argumen apa yang diberikan seorang ahli matematika kepada dirinya sendiri, meyakinkan dirinya untuk mengambil solusi salah satunya, dan tidak mengambil solusi yang lain. Dalam kasus Egorov dan Luzin, menurut Lauren Graham dan Jean-Michel Cantor, pandangan keagamaan mereka dan kemampuan untuk melihat perspektif matematis yang jauh di balik permainan nama sangatlah penting. Ide-ide filosofis Cantor, yang sangat memperumit penerimaan matematikanya di negara-negara Eropa Barat dan, terutama, di Prancis yang rasionalis, memainkan peran yang berlawanan di Rusia, di mana terdapat tradisi filosofis yang berlawanan - mistis.

Tentu saja pernyataan ini cukup sulit dibuktikan, dan harus diperlakukan sebagai hipotesis yang indah dan produktif, namun tetap hipotesis. Dia telah dikritik - mungkin memang benar - baik oleh ahli matematika maupun filsuf kita. Namun bahkan sebagai hipotesis, gambaran yang diajukan oleh para peneliti Barat sangat menarik: setelah “Zaman Perak” puisi dan seni Rusia secara umum, muncullah “Renaisans” filsafat, yang digantikan oleh “Zaman Keemasan” matematika. Kemudian, tentu saja, semuanya berlalu, semua keindahan, jika tidak binasa, setidaknya lumpuh: pada tahun 1931 Egorov ditembak, segera setelah ini kasus terhadap Luzin dibuka, hanya dengan keajaiban dia melarikan diri dari penjara bawah tanah, tetapi skating arena represi tidak menyayangkan murid-muridnya... Namun kenangan akan keindahan di masa lalu tetap ada, dan perenungannya menimbulkan kepercayaan diri - itu bukan kebetulan.

Berita mitra

10 pangkat 3003

Perselisihan mengenai berapa angka terbesar di dunia masih terus berlanjut. Sistem kalkulus yang berbeda menawarkan pilihan yang berbeda dan orang tidak tahu apa yang harus dipercaya dan angka mana yang dianggap paling besar.

Pertanyaan ini telah menarik minat para ilmuwan sejak zaman Kekaisaran Romawi. Masalah terbesar terletak pada definisi “angka” dan “digit”. Pada suatu waktu, orang-orang sejak lama menganggap angka terbesar adalah satu desiliun, yaitu 10 pangkat 33. Namun, setelah para ilmuwan mulai aktif mempelajari sistem metrik Amerika dan Inggris, ditemukan bahwa angka terbesar di dunia adalah 10 pangkat 3003 - satu juta. Orang-orang dalam kehidupan sehari-hari percaya bahwa angka terbesar adalah satu triliun. Terlebih lagi, ini cukup formal, karena setelah satu triliun, nama tidak diberikan, karena penghitungannya menjadi terlalu rumit. Namun, secara teoritis murni, jumlah angka nol dapat ditambahkan tanpa batas. Oleh karena itu, hampir mustahil untuk membayangkan secara visual satu triliun dan apa yang terjadi setelahnya.

Dalam angka Romawi

Di sisi lain, definisi “bilangan” sebagaimana dipahami oleh para ahli matematika sedikit berbeda. Angka berarti suatu tanda yang diterima secara universal dan digunakan untuk menunjukkan suatu besaran yang dinyatakan dalam persamaan numerik. Konsep kedua “angka” berarti ekspresi karakteristik kuantitatif dalam bentuk yang mudah digunakan melalui penggunaan angka. Oleh karena itu, bilangan terdiri dari angka-angka. Penting juga bahwa bilangan tersebut memiliki sifat simbolis. Mereka terkondisi, dapat dikenali, tidak dapat diubah. Bilangan juga mempunyai sifat tanda, tetapi bilangan tersebut didasarkan pada fakta bahwa bilangan terdiri dari angka-angka. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa satu triliun bukanlah sebuah angka sama sekali, melainkan sebuah angka. Lalu berapakah angka terbesar di dunia jika bukan triliun, yang mana itu angka?

Yang penting bilangan digunakan sebagai komponen bilangan, tapi tidak hanya itu saja. Namun suatu bilangan adalah bilangan yang sama jika kita membicarakan suatu hal, menghitungnya dari nol sampai sembilan. Sistem ciri ini tidak hanya berlaku untuk angka Arab yang sudah dikenal, tetapi juga untuk angka Romawi I, V, X, L, C, D, M. Ini adalah angka Romawi. Sebaliknya, V I I I adalah sebuah angka romawi. Dalam kalkulus Arab, ini sama dengan angka delapan.

Dalam angka Arab

Jadi, ternyata satuan hitung dari nol sampai sembilan dianggap bilangan, dan yang lainnya dianggap bilangan. Oleh karena itu disimpulkan bahwa angka terbesar di dunia adalah sembilan. 9 adalah sebuah tanda, dan angka adalah abstraksi kuantitatif sederhana. Satu triliun adalah angka, dan bukan angka sama sekali, sehingga tidak bisa menjadi angka terbesar di dunia. Satu triliun dapat disebut sebagai angka terbesar di dunia, dan itu murni nominal, karena angka dapat dihitung tanpa batas. Jumlah digit sangat dibatasi - dari 0 hingga 9.

Perlu juga diingat bahwa angka dan angka dari sistem angka yang berbeda tidak sama, seperti yang kita lihat dari contoh angka dan angka Arab dan Romawi. Hal ini terjadi karena bilangan dan bilangan merupakan konsep sederhana yang diciptakan oleh manusia sendiri. Oleh karena itu, suatu bilangan dalam suatu sistem bilangan dapat dengan mudah menjadi bilangan dalam sistem bilangan lain dan sebaliknya.

Dengan demikian, bilangan terbesar tidak dapat dihitung banyaknya, karena dapat terus dijumlahkan dari angka-angka tanpa batas waktu. Sedangkan untuk bilangannya sendiri, dalam sistem yang berlaku umum, 9 dianggap sebagai bilangan terbesar.

Ada juga kelompok angka yang lebih panjang, yang berada di akhir angka, juga disimpan dalam hasil perkaliannya. Jumlah kelompok angka tersebut, seperti yang akan kami tunjukkan, sangatlah besar.

Kita mengetahui kelompok bilangan dua digit yang memiliki sifat ini: yaitu 25 dan 76. Untuk mencari kelompok tiga digit, Anda perlu menambahkan satu digit di depan angka 25 atau 76 sehingga dihasilkan tiga digit. sekelompok angka juga memiliki properti yang diperlukan.

Digit apa yang harus diberikan pada angka 76? Mari kita nyatakan dengan k. Kemudian akan ditampilkan tiga digit nomor yang diinginkan:

100k + 76.

Ekspresi umum untuk bilangan yang diakhiri dengan kelompok angka ini adalah:

1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76, dst.

Mari kalikan dua angka jenis ini; kita mendapatkan:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776.

Semua suku, kecuali dua suku terakhir, memiliki setidaknya tiga angka nol di akhir. Oleh karena itu, hasil kali berakhir pada 1006+76 jika selisihnya

15200k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100 (k + 7)

habis dibagi 1000. Hal ini jelas hanya terjadi untuk k = 3.

Jadi, kelompok bilangan yang diperlukan berbentuk 376. Oleh karena itu, setiap pangkat dari bilangan 376 berakhiran 376. Contoh:

376 2 = 141376.

Jika sekarang kita ingin mencari kelompok empat angka yang mempunyai sifat yang sama, kita harus menambahkan angka lain ke 376 di depannya. Jika kita menyatakan angka ini dengan l, maka kita sampai pada masalah: untuk apa l produknya

(10000a + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)

berakhir dengan 1000l + 376? Jika pada perkalian ini kita membuka tanda kurung dan membuang semua suku yang berakhiran 4 angka nol atau lebih, maka suku tersebut akan tetap ada

752000l+141376.

Produk berakhir pada 1000l + 376 jika selisihnya

752000l + 141376 - (1000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1000(l + 1)

habis dibagi 10.000. Hal ini jelas hanya akan terjadi jika l = 9.

Kelompok angka empat digit yang dibutuhkan adalah 9376.

Kelompok angka empat digit yang dihasilkan dapat ditambah dengan angka lain, yang perlu Anda alasannya dengan cara yang persis sama seperti di atas. Kita mendapatkan 09376. Mengambil satu langkah lagi, kita menemukan sekelompok angka 109376, lalu 7109376, dst.

Penetapan angka ke kiri ini dapat dilakukan berkali-kali tanpa batas. Hasilnya, kita mendapatkan “angka” yang memiliki banyak digit tak terhingga:

7109376.

“Bilangan” tersebut dapat dijumlahkan dan dikalikan menurut aturan yang biasa: bagaimanapun juga, ditulis dari kanan ke kiri, dan penjumlahan dan perkalian (“kolom”) juga dilakukan dari kanan ke kiri, sehingga dalam jumlah dan perkalian dari dua angka seperti itu, seseorang dapat menghitung satu demi satu digit - angka sebanyak yang Anda suka

Menariknya, “bilangan” tak terhingga yang tertulis di atas memenuhi persamaan tersebut, meskipun kelihatannya luar biasa

x 2 = x.

Faktanya, kuadrat dari “bilangan” ini (yaitu, hasil kali bilangan itu sendiri) berakhiran 76, karena masing-masing faktor mempunyai 76 di akhir; untuk alasan yang sama kuadrat dari “angka” yang tertulis berakhiran 376; berakhiran 9376, dst. Dengan kata lain, dengan menghitung satu per satu angka-angka “bilangan” x 2, dimana x =... 7109376, kita akan mendapatkan angka-angka yang sama dengan angka x, jadi x 2 = X.

Kami melihat kelompok angka yang diakhiri dengan 76 *. Jika penalaran serupa dilakukan untuk kelompok bilangan yang berakhiran 5, maka diperoleh kelompok bilangan berikut:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625, dst.

* (Perhatikan bahwa kelompok dua angka dari angka 76 dapat dicari dengan menggunakan alasan yang mirip dengan yang diberikan di atas: cukup menyelesaikan pertanyaan angka mana yang harus ditempatkan di depan angka 6 sehingga dihasilkan kelompok dua angka. digit memiliki properti yang dimaksud. Oleh karena itu, “angka” ... 7109376 dapat diperoleh dengan menjumlahkan angka-angka di depan angka enam, satu demi satu.)

Hasilnya, kita akan dapat menulis "bilangan" tak terhingga lainnya

2890625,

juga memenuhi persamaan x 2 = x. Seseorang dapat menunjukkan bahwa “bilangan” tak terhingga ini adalah “sama dengan”

5 2 2 2...

Hasil menarik yang diperoleh dalam bahasa “bilangan” tak terhingga dirumuskan sebagai berikut: persamaan x 2 = x memiliki (selain x = 0 dan x = 1) dua solusi “tak terhingga”:

X = ...7109376 dan x = ...2890625,

dan tidak memiliki solusi lain (dalam sistem bilangan desimal) *.

* ("Bilangan" tak terhingga dapat dianggap tidak hanya dalam desimal, tetapi juga dalam sistem bilangan lainnya. Bilangan seperti itu, yang dipertimbangkan dalam sistem bilangan dengan basis p, disebut bilangan p-adik. Anda dapat membaca sesuatu tentang angka-angka ini dalam buku “Mathematical Conversations” oleh E. B. Dynkin dan V. A. Uspensky (Gostekhizdat, 1952).)