Persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Pertidaksamaan logaritma yang kompleks

Apakah menurut Anda masih ada waktu sebelum Ujian Negara Bersatu dan Anda punya waktu untuk mempersiapkannya? Mungkin memang demikian. Namun bagaimanapun juga, semakin dini seorang siswa memulai persiapan, semakin berhasil dia lulus ujian. Hari ini kami memutuskan untuk mendedikasikan artikel tentang pertidaksamaan logaritmik. Ini adalah salah satu tugas yang berarti peluang untuk mendapatkan kredit ekstra.

Sudahkah anda mengetahui apa itu logaritma? Kami sangat berharap demikian. Namun meskipun Anda tidak memiliki jawaban atas pertanyaan ini, itu tidak menjadi masalah. Memahami apa itu logaritma sangatlah sederhana.

Mengapa 4? Anda perlu menaikkan angka 3 ke pangkat ini untuk mendapatkan 81. Setelah Anda memahami prinsipnya, Anda dapat melanjutkan ke perhitungan yang lebih rumit.

Anda mengalami kesenjangan beberapa tahun yang lalu. Dan sejak itu Anda terus-menerus menjumpainya dalam matematika. Jika Anda mengalami masalah dalam menyelesaikan kesenjangan, lihat bagian yang sesuai.
Sekarang setelah kita memahami konsep-konsep tersebut secara individual, mari kita beralih ke pembahasannya secara umum.

Pertidaksamaan logaritma paling sederhana.

Pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana tidak terbatas pada contoh ini; ada tiga lagi, hanya dengan tanda yang berbeda. Mengapa hal ini perlu? Untuk lebih memahami cara menyelesaikan pertidaksamaan dengan logaritma. Sekarang mari kita berikan contoh yang lebih dapat diterapkan, yang masih cukup sederhana; kita akan meninggalkan pertidaksamaan logaritma yang kompleks untuk nanti.

Bagaimana cara mengatasi ini? Semuanya dimulai dengan ODZ. Penting untuk mengetahui lebih banyak tentang hal ini jika Anda ingin selalu menyelesaikan kesenjangan dengan mudah.

Apa itu ODZ? ODZ untuk pertidaksamaan logaritmik

Singkatannya adalah singkatan dari rentang nilai yang dapat diterima. Rumusan ini sering muncul dalam tugas-tugas Ujian Negara Terpadu. ODZ akan berguna bagi Anda tidak hanya dalam kasus pertidaksamaan logaritmik.

Lihat kembali contoh di atas. Kami akan mempertimbangkan ODZ berdasarkan itu, sehingga Anda memahami prinsipnya, dan menyelesaikan pertidaksamaan logaritma tidak menimbulkan pertanyaan. Dari definisi logaritma dapat disimpulkan bahwa 2x+4 harus lebih besar dari nol. Dalam kasus kami, ini berarti sebagai berikut.

Angka ini, menurut definisi, harus positif. Selesaikan pertidaksamaan yang disajikan di atas. Hal ini bahkan dapat dilakukan secara lisan; di sini jelas bahwa X tidak boleh kurang dari 2. Solusi terhadap pertidaksamaan tersebut adalah dengan menentukan kisaran nilai yang dapat diterima.
Sekarang mari kita beralih ke penyelesaian pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana.

Kami membuang logaritma itu sendiri dari kedua sisi pertidaksamaan. Apa manfaatnya bagi kita? Ketimpangan sederhana.

Tidak sulit untuk menyelesaikannya. X harus lebih besar dari -0,5. Sekarang kita menggabungkan dua nilai yang diperoleh ke dalam suatu sistem. Dengan demikian,

Ini akan menjadi kisaran nilai yang dapat diterima untuk pertidaksamaan logaritmik yang sedang dipertimbangkan.

Mengapa kita membutuhkan ODZ? Ini adalah kesempatan untuk menyingkirkan jawaban-jawaban yang salah dan tidak mungkin. Jika jawabannya tidak berada dalam kisaran nilai yang dapat diterima, maka jawabannya tidak masuk akal. Hal ini perlu diingat untuk waktu yang lama, karena dalam Unified State Examination sering kali ada kebutuhan untuk mencari ODZ, dan ini tidak hanya menyangkut pertidaksamaan logaritmik.

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma

Penyelesaiannya terdiri dari beberapa tahap. Pertama, Anda perlu menemukan kisaran nilai yang dapat diterima. Akan ada dua arti dalam ODZ, sudah kita bahas di atas. Selanjutnya kita perlu menyelesaikan ketimpangan itu sendiri. Cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

metode penggantian pengganda;
penguraian;
metode rasionalisasi.

Tergantung pada situasinya, ada baiknya menggunakan salah satu metode di atas. Mari kita langsung ke solusinya. Mari kita ungkapkan metode paling populer yang cocok untuk menyelesaikan tugas-tugas USE di hampir semua kasus. Selanjutnya kita akan melihat metode dekomposisi. Ini bisa membantu jika Anda menemukan ketimpangan yang rumit. Jadi, algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma.

Contoh solusi :

Bukan tanpa alasan kami menganggap ketidaksetaraan ini! Perhatikan pangkalannya. Ingat: jika lebih besar dari satu, tandanya tetap sama ketika menemukan kisaran nilai yang dapat diterima; jika tidak, Anda perlu mengubah tanda pertidaksamaan.

Hasilnya, kita mendapatkan pertidaksamaan:

Sekarang kita turunkan ruas kirinya menjadi bentuk persamaan sama dengan nol. Alih-alih memberi tanda “kurang dari”, kita memberi tanda “sama dengan” dan menyelesaikan persamaannya. Jadi, kita akan menemukan ODZ. Kami harap Anda tidak akan kesulitan memecahkan persamaan sederhana seperti itu. Jawabannya adalah -4 dan -2. Bukan itu saja. Anda perlu menampilkan titik-titik ini pada grafik, menempatkan “+” dan “-”. Apa yang perlu dilakukan untuk ini? Substitusikan angka-angka dari interval ke dalam ekspresi. Jika nilainya positif, kita beri tanda “+” di sana.

Menjawab: x tidak boleh lebih besar dari -4 dan kurang dari -2.

Kita telah menemukan kisaran nilai yang dapat diterima hanya untuk ruas kiri; sekarang kita perlu mencari kisaran nilai yang dapat diterima untuk ruas kanan. Ini jauh lebih mudah. Jawaban: -2. Kami memotong kedua area yang dihasilkan.

Dan baru sekarang kita mulai mengatasi kesenjangan tersebut.

Mari kita sederhanakan semaksimal mungkin agar lebih mudah menyelesaikannya.

Kami kembali menggunakan metode interval dalam penyelesaiannya. Mari kita lewati perhitungannya; semuanya sudah jelas dari contoh sebelumnya. Menjawab.

Namun cara ini cocok jika pertidaksamaan logaritmik memiliki basis yang sama.

Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma dengan basis yang berbeda memerlukan reduksi awal ke basis yang sama. Selanjutnya gunakan cara yang sudah dijelaskan di atas. Namun ada kasus yang lebih rumit. Mari kita pertimbangkan salah satu jenis pertidaksamaan logaritma yang paling rumit.

Pertidaksamaan logaritma dengan basis variabel

Bagaimana mengatasi kesenjangan dengan karakteristik seperti itu? Ya, dan orang-orang seperti itu dapat ditemukan di Unified State Examination. Mengatasi kesenjangan dengan cara berikut juga akan memberikan efek menguntungkan pada proses pendidikan Anda. Mari kita lihat masalahnya secara detail. Mari kita tinggalkan teori dan langsung praktek. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik, cukup membaca contohnya satu kali.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dari bentuk yang disajikan, ruas kanan perlu direduksi menjadi logaritma dengan basis yang sama. Prinsipnya menyerupai transisi yang setara. Akibatnya ketimpangan akan terlihat seperti ini.

Sebenarnya yang tersisa hanyalah menciptakan sistem pertidaksamaan tanpa logaritma. Dengan menggunakan metode rasionalisasi, kita beralih ke sistem ketidaksetaraan yang setara. Anda akan memahami aturan itu sendiri ketika Anda mengganti nilai yang sesuai dan melacak perubahannya. Sistem akan memiliki ketidaksetaraan berikut.

Saat menggunakan metode rasionalisasi saat menyelesaikan pertidaksamaan, Anda perlu mengingat hal berikut: satu harus dikurangi dari basis, x, menurut definisi logaritma, dikurangi dari kedua sisi pertidaksamaan (kanan dari kiri), dua ekspresi dikalikan dan diletakkan di bawah tanda asli dalam kaitannya dengan nol.

Penyelesaian selanjutnya dilakukan dengan menggunakan metode interval, semuanya sederhana di sini. Penting bagi Anda untuk memahami perbedaan metode penyelesaian, maka semuanya akan mulai berjalan dengan mudah.

Ada banyak perbedaan dalam pertidaksamaan logaritmik. Yang paling sederhana cukup mudah untuk diselesaikan. Bagaimana Anda bisa menyelesaikannya tanpa masalah? Anda telah menerima semua jawabannya di artikel ini. Sekarang Anda memiliki latihan panjang di depan Anda. Berlatihlah terus-menerus menyelesaikan berbagai soal dalam ujian dan Anda akan bisa mendapatkan nilai tertinggi. Semoga berhasil dalam tugas sulit Anda!

Tujuan pelajaran:

Bersifat mendidik:

Level 1 – mengajarkan cara menyelesaikan pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana, menggunakan definisi logaritma dan sifat-sifat logaritma;
Level 2 – selesaikan pertidaksamaan logaritma, pilih metode penyelesaian Anda sendiri;
Level 3 – mampu menerapkan pengetahuan dan keterampilan dalam situasi non-standar.

Pendidikan: mengembangkan daya ingat, perhatian, berpikir logis, kemampuan membandingkan, mampu menggeneralisasi dan menarik kesimpulan

Pendidikan: menumbuhkan ketelitian, tanggung jawab terhadap tugas yang dilakukan, dan gotong royong.

Metode pengajaran: lisan , visual , praktis , pencarian parsial , pemerintahan sendiri , kontrol.

Bentuk pengorganisasian aktivitas kognitif siswa: frontal , individu , bekerja berpasangan.

Peralatan: satu set tugas tes, catatan referensi, lembar kosong untuk solusi.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru.

Kemajuan pelajaran

1. Momen organisasi. Topik dan tujuan pembelajaran, rencana pembelajaran diumumkan: setiap siswa diberikan lembar penilaian, yang diisi siswa selama pembelajaran; untuk setiap pasangan siswa - materi cetak dengan tugas harus diselesaikan secara berpasangan; lembar solusi kosong; lembar pendukung: definisi logaritma; grafik fungsi logaritma, sifat-sifatnya; sifat-sifat logaritma; algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik.

Segala keputusan setelah penilaian diri diserahkan kepada guru.

Lembar nilai siswa

2. Memperbarui pengetahuan.

Instruksi guru. Ingat kembali definisi logaritma, grafik fungsi logaritma, dan sifat-sifatnya. Untuk melakukan ini, bacalah teks di halaman 88–90, 98–101 dari buku teks “Aljabar dan permulaan analisis 10–11” yang diedit oleh Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin, dan lainnya.

Siswa diberikan lembaran yang di atasnya tertulis: pengertian logaritma; menunjukkan grafik fungsi logaritma dan sifat-sifatnya; sifat-sifat logaritma; algoritma penyelesaian pertidaksamaan logaritma, contoh penyelesaian pertidaksamaan logaritma yang direduksi menjadi kuadrat.

3. Mempelajari materi baru.

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma didasarkan pada monotonisitas fungsi logaritma.

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma:

A) Temukan domain definisi pertidaksamaan (ekspresi sublogaritma lebih besar dari nol).
B) Nyatakan (jika mungkin) ruas kiri dan kanan pertidaksamaan sebagai logaritma dengan basis yang sama.
C) Tentukan apakah fungsi logaritma naik atau turun: jika t>1, maka naik; jika 0 1, lalu menurun.
D) Lanjutkan ke pertidaksamaan yang lebih sederhana (ekspresi sublogaritma), dengan memperhatikan bahwa tanda pertidaksamaan akan tetap sama jika fungsinya bertambah dan akan berubah jika fungsinya berkurang.

Elemen pembelajaran #1.

Sasaran: mengkonsolidasikan solusi pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana

Bentuk pengorganisasian aktivitas kognitif siswa: kerja individu.

Tugas untuk kerja mandiri selama 10 menit. Untuk setiap ketidaksetaraan ada beberapa kemungkinan jawaban; Anda harus memilih jawaban yang benar dan memeriksanya menggunakan kunci.

KUNCI: 13321, jumlah poin maksimum – 6 poin.

Elemen pembelajaran #2.

Sasaran: mengkonsolidasikan penyelesaian pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat-sifat logaritma.

Instruksi guru. Ingat sifat dasar logaritma. Untuk melakukan ini, bacalah teks buku teks di halaman 92, 103–104.

Tugas untuk kerja mandiri selama 10 menit.

KUNCI: 2113, jumlah poin maksimum – 8 poin.

Elemen pembelajaran #3.

Tujuan: mempelajari penyelesaian pertidaksamaan logaritma dengan metode reduksi ke kuadrat.

Petunjuk Guru: Cara mereduksi suatu pertidaksamaan menjadi pertidaksamaan kuadrat adalah dengan mengubah pertidaksamaan tersebut sedemikian rupa sehingga fungsi logaritma tertentu dilambangkan dengan variabel baru, sehingga diperoleh pertidaksamaan kuadrat terhadap variabel tersebut.

Mari kita gunakan metode interval.

Anda telah melewati penguasaan materi tingkat pertama. Sekarang Anda harus secara mandiri memilih metode untuk menyelesaikan persamaan logaritma, menggunakan semua pengetahuan dan kemampuan Anda.

Elemen pembelajaran #4.

Sasaran: mengkonsolidasikan solusi pertidaksamaan logaritma dengan secara mandiri memilih metode solusi rasional.

Tugas untuk kerja mandiri selama 10 menit

Elemen pembelajaran #5.

Instruksi guru. Bagus sekali! Anda telah menguasai penyelesaian persamaan tingkat kompleksitas kedua. Tujuan dari pekerjaan Anda selanjutnya adalah untuk menerapkan pengetahuan dan keterampilan Anda dalam situasi yang lebih kompleks dan tidak standar.

Tugas untuk solusi mandiri:

Instruksi guru. Sangat bagus jika Anda menyelesaikan seluruh tugas. Bagus sekali!

Nilai seluruh pelajaran tergantung pada jumlah poin yang diperoleh untuk semua elemen pendidikan:

jika N ≥ 20, maka Anda mendapat peringkat “5”,
untuk 16 ≤ N ≤ 19 – skor “4”,
untuk 8 ≤ N ≤ 15 – skor “3”,
di N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Menyerahkan kertas penilaian kepada guru.

5. Pekerjaan rumah: jika Anda mendapat nilai tidak lebih dari 15 poin, kerjakan kesalahan Anda (solusi dapat diperoleh dari guru), jika Anda mendapat nilai lebih dari 15 poin, selesaikan tugas kreatif dengan topik “Pertidaksamaan logaritmik”.

Perkenalan

Logaritma diciptakan untuk mempercepat dan menyederhanakan perhitungan. Gagasan tentang logaritma, yaitu gagasan untuk menyatakan bilangan sebagai pangkat dari basis yang sama, adalah milik Mikhail Stiefel. Namun pada masa Stiefel, matematika belum begitu berkembang dan gagasan tentang logaritma belum berkembang. Logaritma kemudian ditemukan secara bersamaan dan independen satu sama lain oleh ilmuwan Skotlandia John Napier (1550-1617) dan Jobst Burgi dari Swiss (1552-1632) adalah orang pertama yang menerbitkan karyanya pada tahun 1614. dengan judul “Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan”, teori logaritma Napier diberikan secara cukup lengkap, metode penghitungan logaritma diberikan sebagai yang paling sederhana, oleh karena itu kelebihan Napier dalam penemuan logaritma lebih besar daripada Bürgi . Burgi mengerjakan tabel tersebut pada waktu yang sama dengan Napier, tetapi merahasiakannya untuk waktu yang lama dan baru menerbitkannya pada tahun 1620. Napier menguasai gagasan logaritma sekitar tahun 1594. meskipun tabel tersebut diterbitkan 20 tahun kemudian. Mula-mula ia menyebut logaritmanya sebagai “bilangan buatan” dan baru kemudian mengusulkan untuk menyebut “bilangan buatan” tersebut dalam satu kata “logaritma”, yang diterjemahkan dari bahasa Yunani berarti “bilangan berkorelasi”, diambil satu dari perkembangan aritmatika, dan yang lainnya dari a kemajuan geometris yang dipilih khusus untuk itu. Tabel pertama dalam bahasa Rusia diterbitkan pada tahun 1703. dengan partisipasi seorang guru luar biasa abad ke-18. L.F.Magnitsky. Karya akademisi St. Petersburg Leonhard Euler sangat penting dalam pengembangan teori logaritma. Dia adalah orang pertama yang menganggap logaritma sebagai kebalikan dari pangkat; dia memperkenalkan istilah "basis logaritma" dan "mantissa". Briggs menyusun tabel logaritma dengan basis 10. Tabel desimal lebih nyaman untuk penggunaan praktis, begitulah teorinya lebih sederhana dari logaritma Napier. Oleh karena itu, logaritma desimal kadang-kadang disebut logaritma Briggs. Istilah "karakterisasi" diperkenalkan oleh Briggs.

Di masa lalu, ketika orang bijak pertama kali mulai berpikir tentang persamaan yang mengandung jumlah yang tidak diketahui, mungkin tidak ada koin atau dompet. Tapi ada tumpukan, serta pot dan keranjang, yang sempurna untuk peran tempat penyimpanan yang dapat menampung barang dalam jumlah yang tidak diketahui. Dalam soal matematika kuno di Mesopotamia, India, Cina, Yunani, besaran yang tidak diketahui menyatakan jumlah burung merak di taman, jumlah sapi jantan dalam kawanan, dan totalitas hal-hal yang diperhitungkan saat membagi properti. Para juru tulis, pejabat, dan pendeta yang diinisiasi ke dalam pengetahuan rahasia, terlatih dengan baik dalam ilmu akuntansi, berhasil mengatasi tugas-tugas tersebut.

Sumber-sumber yang sampai kepada kita menunjukkan bahwa para ilmuwan zaman dahulu mempunyai beberapa teknik umum untuk memecahkan masalah dengan besaran yang tidak diketahui. Namun, tidak ada satu pun papirus atau tablet tanah liat yang memuat penjelasan tentang teknik ini. Para penulis hanya sesekali memberikan perhitungan numerik mereka dengan komentar yang minim seperti: “Lihat!”, “Lakukan ini!”, “Anda menemukan yang tepat.” Dalam pengertian ini, pengecualiannya adalah "Aritmatika" dari matematikawan Yunani Diophantus dari Alexandria (abad III) - kumpulan masalah untuk menyusun persamaan dengan presentasi sistematis dari solusinya.

Namun, panduan pemecahan masalah pertama yang dikenal luas adalah karya ilmuwan Bagdad abad ke-9. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Kata "al-jabr" dari nama Arab risalah ini - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Kitab restorasi dan oposisi") - seiring berjalannya waktu berubah menjadi kata terkenal "aljabar", dan al- Karya Khawarizmi sendiri menjadi titik tolak berkembangnya ilmu penyelesaian persamaan.

Persamaan dan pertidaksamaan logaritma

1. Persamaan logaritma

Persamaan yang memuat suatu hal yang tidak diketahui di bawah tanda logaritma atau pada basisnya disebut persamaan logaritma.

Persamaan logaritma yang paling sederhana adalah persamaan bentuk

mencatat A X = B . (1)

Pernyataan 1. Jika A > 0, A≠ 1, persamaan (1) untuk sembarang real B mempunyai solusi unik X = sebuah b .

Contoh 1. Selesaikan persamaan:

a)catatan 2 X= 3, b) catatan 3 X= -1,c)

Larutan. Dengan menggunakan Pernyataan 1, kita peroleh a) X= 2 3 atau X= 8; B) X= 3 -1 atau X= 1/3 ; C)

atau X = 1.

Mari kita sajikan sifat dasar logaritma.

P1. Identitas logaritma dasar:

Di mana A > 0, A≠ 1 dan B > 0.

hal2. Logaritma hasil kali faktor-faktor positif sama dengan jumlah logaritma faktor-faktor berikut:

mencatat A N 1 · N 2 = catatan A N 1 + catatan A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentar. Jika N 1 · N 2 > 0, maka properti P2 berbentuk

mencatat A N 1 · N 2 = catatan A |N 1 | + catatan A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

hal3. Logaritma hasil bagi dua bilangan positif sama dengan selisih antara logaritma pembagi dan pembagi

(A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentar. Jika

, (yang setara N 1 N 2 > 0) maka properti P3 berbentuk

(A > 0, A ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

hal4. Logaritma pangkat suatu bilangan positif sama dengan hasil kali eksponen dan logaritma bilangan ini:

mencatat A N k = k mencatat A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Komentar. Jika k- bilangan genap ( k = 2S), Itu

mencatat A N 2S = 2S mencatat A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

hal5. Rumus untuk berpindah ke base lain:

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1, N > 0),

khususnya jika N = B, kita dapatkan

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1). (2)

Dengan menggunakan properti P4 dan P5, mudah untuk mendapatkan properti berikut

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (3) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (4)

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (5)

dan, jika dalam (5) C- bilangan genap ( C = 2N), bertahan

(B > 0, A ≠ 0, |A | ≠ 1). (6)

Mari kita daftar properti utama dari fungsi logaritma F (X) = catatan A X :

1. Daerah definisi fungsi logaritma adalah himpunan bilangan positif.

2. Rentang nilai fungsi logaritma adalah himpunan bilangan real.

3. Kapan A> 1 fungsi logaritma meningkat secara ketat (0< X 1 < X 2log A X 1 < logA X 2), dan pada 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log A X 1 > catatan A X 2).

4.log A 1 = 0 dan catat A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Jika A> 1, maka fungsi logaritmanya negatif ketika X(0;1) dan positif pada X(1;+∞), dan jika 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) dan negatif pada X (1;+∞).

6. Jika A> 1, maka fungsi logaritmanya cembung ke atas, dan jika A(0;1) - cembung ke bawah.

Pernyataan berikut (lihat, misalnya,) digunakan saat menyelesaikan persamaan logaritma.

Dengan mereka ada di dalam logaritma.

Contoh:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Cara menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik:

Kita harus berusaha untuk mengurangi pertidaksamaan logaritma menjadi bentuk \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (simbol \(˅\) berarti salah satu dari ). Tipe ini memungkinkan Anda menghilangkan logaritma dan basisnya dengan melakukan transisi ke ekspresi pertidaksamaan di bawah logaritma, yaitu ke bentuk \(f(x) ˅ g(x)\).

Namun saat melakukan transisi ini, ada satu kehalusan yang sangat penting:
\(-\) jika suatu bilangan dan lebih besar dari 1, tanda pertidaksamaannya tetap sama selama transisi,
\(-\) jika bilangan pokoknya lebih besar dari 0 tetapi kurang dari 1 (terletak di antara nol dan satu), maka tanda pertidaksamaannya harus berubah menjadi sebaliknya, yaitu

Contoh:

\(\log_2⁡((8-x))<1\)
ODZ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(X<8\)

Larutan:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2\(x>6\)
Jawaban: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\)
ODZ: \(\begin(kasus)2x-4>0\\x+1 > 0\end(kasus)\)
\(\begin(kasus)2x>4\\x > -1\end(kasus)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(kasus)x>2\\x > -1\end(kasus) \) \(\Panah Kanan Kiri\) \(x\in(2;\infty)\)

Larutan:
\(2x-4\)\(≤\) \(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
Jawaban: \((2;5]\)

Sangat penting! Dalam pertidaksamaan apa pun, transisi dari bentuk \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) ke ekspresi perbandingan dalam logaritma hanya dapat dilakukan jika:

Contoh . Selesaikan pertidaksamaan: \(\log\)\(≤-1\)

Larutan:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Mari kita tuliskan ODZ-nya.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Kami membuka tanda kurung dan membawanya.
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Kita kalikan pertidaksamaan dengan \(-1\), jangan lupa membalik tanda perbandingannya.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Mari kita buat garis bilangan dan tandai titik \(\frac(7)(3)\) dan \(\frac(3)(2)\) di atasnya. Harap dicatat bahwa titik dihilangkan dari penyebutnya, meskipun pertidaksamaannya tidak tegas. Faktanya, titik ini tidak akan menjadi solusi, karena jika disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan akan membawa kita pada pembagian dengan nol.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Sekarang kita memplot ODZ pada sumbu numerik yang sama dan menuliskan sebagai respons interval yang termasuk dalam ODZ.
	Kami menuliskan jawaban akhirnya.

Menjawab: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Contoh . Selesaikan pertidaksamaan: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Larutan:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Mari kita tuliskan ODZ-nya.
ODZ: \(x>0\)	Mari kita cari solusinya.
Solusi: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Di sini kita mempunyai pertidaksamaan logaritma kuadrat yang khas. Mari kita lakukan.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Kami memperluas sisi kiri pertidaksamaan menjadi .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Sekarang kita perlu kembali ke variabel awal - x. Untuk melakukan ini, mari kita pergi ke , yang memiliki solusi yang sama, dan melakukan substitusi terbalik.
\(\kiri[ \begin(berkumpul) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformasi \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\kiri[ \mulai(berkumpul) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Mari kita beralih ke membandingkan argumen. Basis logaritma lebih besar dari \(1\), sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah.
\(\kiri[ \mulai(berkumpul) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Mari kita gabungkan solusi pertidaksamaan dan ODZ dalam satu gambar.
	Mari kita tuliskan jawabannya.

Menjawab: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)