Bagaimana cara menghitung logaritma natural? Sifat-sifat logaritma natural: grafik, basis, fungsi, limit, rumus dan domain definisi

Sifat-sifat dasar logaritma natural, grafik, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, turunan, integral, pemuaian deret pangkat dan representasi fungsi ln x menggunakan bilangan kompleks diberikan.

Definisi

Logaritma natural adalah fungsi y = di x, kebalikan dari eksponensial, x = ey, dan merupakan logaritma ke bilangan pokok e: ln x = log e x.

Logaritma natural banyak digunakan dalam matematika karena turunannya memiliki bentuk paling sederhana: (ln x)′ = 1/ x.

Berdasarkan definisi, basis logaritma natural adalah bilangan e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Grafik fungsi y = di x.

Grafik logaritma natural (fungsi y = di x) diperoleh dari grafik eksponensial dengan refleksi cermin relatif terhadap garis lurus y = x.

Logaritma natural didefinisikan untuk nilai positif dari variabel x.

Ia meningkat secara monoton dalam domain definisinya. 0 Pada x →

limit logaritma naturalnya dikurangi tak terhingga (-∞).

Karena x → + ∞, limit logaritma naturalnya adalah ditambah tak terhingga (+ ∞). Untuk x besar, logaritma meningkat cukup lambat. Setiap fungsi pangkat x a dengan eksponen positif a tumbuh lebih cepat daripada logaritma.

Sifat-sifat logaritma natural

Domain definisi, kumpulan nilai, ekstrem, naik, turun

Logaritma natural merupakan fungsi yang meningkat secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Sifat-sifat utama logaritma natural disajikan dalam tabel.

dalam nilai x

dalam 1 = 0

Rumus dasar logaritma natural

Rumus berikut dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus penggantian basa

Logaritma apa pun dapat dinyatakan dalam logaritma natural menggunakan rumus substitusi dasar:

Bukti rumus-rumus ini disajikan pada bagian "Logaritma".

Fungsi terbalik

Kebalikan dari logaritma natural adalah eksponen.

Jika , maka

Jika, maka.

Turunan ln x
.
Turunan dari logaritma natural:
.
Turunan dari logaritma natural modulus x:
.
Turunan dari orde ke-n:

Menurunkan rumus > > >

Integral
.
Integral dihitung dengan integrasi bagian:

Jadi,

Ekspresi menggunakan bilangan kompleks
.
Perhatikan fungsi variabel kompleks z: Mari kita nyatakan variabel kompleksnya z melalui modul R φ :
.
Dengan menggunakan properti logaritma, kita mendapatkan:
.
Atau
.
Argumen φ tidak didefinisikan secara unik. Jika Anda menaruh
, dimana n adalah bilangan bulat,
itu akan menjadi nomor yang sama untuk n yang berbeda.

Oleh karena itu, logaritma natural, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Kapan perluasan terjadi:

Sastra bekas:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Misalnya, kalkulator dari kumpulan program dasar sistem operasi Windows. Tautan untuk meluncurkannya cukup tersembunyi di menu utama OS - buka dengan mengklik tombol "Start", lalu buka bagian "Program", buka subbagian "Standar", lalu ke "Utilitas" bagian dan, terakhir, klik item "Kalkulator" " Daripada menggunakan mouse dan menavigasi menu, Anda dapat menggunakan keyboard dan dialog peluncuran program - tekan kombinasi tombol WIN + R, ketik calc (ini adalah nama file kalkulator yang dapat dieksekusi) dan tekan Enter.

Alihkan antarmuka kalkulator ke mode lanjutan, yang memungkinkan Anda melakukan... Secara default, ini terbuka dalam tampilan “normal”, tetapi Anda memerlukan “engineering” atau “ ” (tergantung pada versi OS yang Anda gunakan). Perluas bagian "Tampilan" di menu dan pilih baris yang sesuai.

Masukkan argumen yang nilai alaminya ingin Anda evaluasi. Ini dapat dilakukan baik dari keyboard atau dengan mengklik tombol yang sesuai pada antarmuka kalkulator di layar.

Klik tombol berlabel ln - program akan menghitung logaritma ke basis e dan menampilkan hasilnya.

Gunakan salah satu -kalkulator sebagai alternatif untuk menghitung nilai logaritma natural. Misalnya yang berlokasi di http://calc.org.ua. Antarmukanya sangat sederhana - hanya ada satu kolom masukan di mana Anda perlu mengetikkan nilai angka, yang logaritmanya ingin Anda hitung. Di antara tombol, temukan dan klik tombol yang bertuliskan ln. Skrip kalkulator ini tidak memerlukan pengiriman data ke server dan respons, sehingga Anda akan menerima hasil perhitungan hampir seketika. Satu-satunya ciri yang perlu diperhatikan adalah pemisah antara bagian pecahan dan bilangan bulat dari bilangan yang dimasukkan harus berupa titik, bukan .

Istilah " logaritma" berasal dari dua kata Yunani, yang satu berarti "angka" dan yang lainnya berarti "rasio". Ini menunjukkan operasi matematika untuk menghitung besaran variabel (eksponen) yang nilai konstannya (basis) harus dinaikkan untuk mendapatkan angka yang ditunjukkan di bawah tanda logaritma A. Jika basisnya sama dengan konstanta matematika yang disebut bilangan “e”, maka logaritma disebut "alami".

Anda akan membutuhkan

Akses internet, Microsoft Office Excel atau kalkulator.

instruksi

Gunakan banyak kalkulator yang tersedia di Internet - ini mungkin cara mudah untuk menghitung natural a. Anda tidak perlu mencari layanan yang sesuai, karena banyak mesin pencari sendiri memiliki kalkulator bawaan yang cukup cocok untuk digunakan. logaritma saya. Misalnya, buka halaman utama mesin pencari online terbesar - Google. Tidak ada tombol yang diperlukan di sini untuk memasukkan nilai atau memilih fungsi; cukup masukkan tindakan matematika yang diinginkan di kolom input kueri. Katakanlah, untuk menghitung logaritma dan angka 457 di basis "e", masukkan ln 457 - ini akan cukup bagi Google untuk menampilkan dengan akurasi delapan tempat desimal (6.12468339) bahkan tanpa menekan tombol untuk mengirim permintaan ke server.

Gunakan fungsi bawaan yang sesuai jika Anda perlu menghitung nilai natural logaritma dan terjadi saat bekerja dengan data di editor spreadsheet populer Microsoft Office Excel. Fungsi ini dipanggil di sini menggunakan notasi umum logaritma dan dalam huruf besar - LN. Pilih sel di mana hasil perhitungan harus ditampilkan dan masukkan tanda sama dengan - ini adalah bagaimana catatan harus dimulai di editor spreadsheet ini di sel yang terdapat dalam subbagian "Standar" dari bagian "Semua Program" pada menu utama. Alihkan kalkulator ke mode yang lebih fungsional dengan menekan pintasan keyboard Alt + 2. Lalu masukkan nilainya, natural logaritma yang ingin Anda hitung, dan klik di antarmuka program tombol yang ditunjukkan oleh simbol ln. Aplikasi akan melakukan perhitungan dan menampilkan hasilnya.

Video tentang topik tersebut

sering mengambil nomor e = 2,718281828 . Logaritma berdasarkan basis ini disebut alami. Saat melakukan perhitungan dengan logaritma natural, biasanya menggunakan tanda akuN, bukan mencatat; sedangkan nomornya 2,718281828 , yang menjelaskan dasarnya, tidak disebutkan.

Dengan kata lain rumusannya akan terlihat seperti: logaritma natural angka X- ini adalah eksponen yang angkanya harus dipangkatkan e untuk mendapatkan X.

Jadi, dalam(7.389...)= 2, karena e 2 =7,389... . Logaritma natural dari bilangan itu sendiri e= 1 karena e 1 =e, dan logaritma natural kesatuan adalah nol, karena e 0 = 1.

Nomor itu sendiri e mendefinisikan limit barisan berbatas monoton

menghitung itu e = 2,7182818284... .

Seringkali, untuk mencatat suatu nomor dalam memori, digit-digit dari nomor yang diperlukan dikaitkan dengan beberapa tanggal yang belum dibayar. Kecepatan menghafal sembilan digit pertama suatu angka e setelah koma desimal akan bertambah jika Anda memperhatikan bahwa tahun 1828 adalah tahun kelahiran Leo Tolstoy!

Saat ini terdapat tabel logaritma natural yang cukup lengkap.

Grafik logaritma natural(fungsi kamu=di x) merupakan konsekuensi dari grafik eksponen yang merupakan bayangan cermin dari garis lurus kamu = x dan memiliki bentuk:

Logaritma natural dapat dicari untuk setiap bilangan real positif A sebagai luas di bawah kurva kamu = 1/X dari 1 ke A.

Sifat dasar rumusan ini, yang konsisten dengan banyak rumus lain yang melibatkan logaritma natural, menjadi alasan terbentuknya nama “alami”.

Jika Anda menganalisis logaritma natural, sebagai fungsi nyata dari variabel nyata, maka ia bertindak fungsi terbalik menjadi fungsi eksponensial, yang direduksi menjadi identitas:

e ln(a) =a (a>0)

ln(ea) =a

Dengan analogi dengan semua logaritma, logaritma natural mengubah perkalian menjadi penjumlahan, pembagian menjadi pengurangan:

dalam(xy) = dalam(X) + dalam(kamu)

dalam(x/y)= lnx - lny

Logaritma dapat ditemukan untuk setiap basis positif yang tidak sama dengan satu, tidak hanya untuk e, tetapi logaritma untuk basis lain berbeda dari logaritma natural hanya dengan faktor konstan, dan biasanya ditentukan dalam logaritma natural.

Setelah dianalisis grafik logaritma natural, kami menemukan bahwa itu ada untuk nilai positif dari variabel X. Ia meningkat secara monoton dalam domain definisinya.

Pada X → 0 limit logaritma natural adalah minus tak terhingga ( -∞ ).Pada x → +∞ limit logaritma naturalnya ditambah tak terhingga ( + ∞ ). Secara luas X Logaritma meningkat cukup lambat. Fungsi daya apa pun xa dengan eksponen positif A meningkat lebih cepat dari logaritma. Logaritma natural merupakan fungsi yang meningkat secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem.

Penggunaan logaritma natural sangat rasional ketika lulus matematika yang lebih tinggi. Oleh karena itu, menggunakan logaritma akan lebih mudah untuk menemukan jawaban persamaan yang bilangan tak diketahuinya muncul sebagai eksponen. Penggunaan logaritma natural dalam perhitungan memungkinkan penyederhanaan sejumlah besar rumus matematika. Logaritma ke basis e hadir dalam memecahkan sejumlah besar masalah fisika dan secara alami termasuk dalam deskripsi matematis dari proses kimia, biologi, dan proses lainnya. Jadi, logaritma digunakan untuk menghitung konstanta peluruhan untuk waktu paruh yang diketahui, atau untuk menghitung waktu peluruhan dalam menyelesaikan masalah radioaktivitas. Mereka memainkan peran utama dalam banyak bidang matematika dan ilmu praktis; mereka digunakan di bidang keuangan untuk memecahkan sejumlah besar masalah, termasuk perhitungan bunga majemuk.

Logaritma natural

Grafik fungsi logaritma natural. Fungsi tersebut perlahan-lahan mendekati tak terhingga positif seiring bertambahnya X dan dengan cepat mendekati tak terhingga negatif ketika X cenderung 0 (“lambat” dan “cepat” dibandingkan dengan fungsi daya apa pun X).

Logaritma natural adalah logaritma ke basis , Di mana e- konstanta irasional sama dengan sekitar 2,718281 828. Logaritma natural biasanya ditulis dengan ln( X), catatan e (X) atau terkadang hanya mencatat( X), jika basis e tersirat.

Logaritma natural suatu bilangan X(ditulis sebagai dalam(x)) adalah eksponen yang bilangannya harus dipangkatkan e untuk mendapatkan X. Misalnya, dalam(7.389...) sama dengan 2 karena e 2 =7,389... . Logaritma natural dari bilangan itu sendiri e (di(e)) sama dengan 1 karena e 1 = e, dan logaritma naturalnya adalah 1 ( dalam(1)) sama dengan 0 karena e 0 = 1.

Logaritma natural dapat didefinisikan untuk sembarang bilangan real positif A sebagai luas di bawah kurva kamu = 1/X dari 1 sampai A. Kesederhanaan definisi ini, yang konsisten dengan banyak rumus lain yang menggunakan logaritma natural, menyebabkan munculnya nama "natural". Definisi ini dapat diperluas ke bilangan kompleks, seperti yang akan dibahas di bawah.

Jika kita menganggap logaritma natural sebagai fungsi riil dari variabel riil, maka itu adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial, yang menghasilkan identitas:

Seperti semua logaritma, logaritma natural memetakan perkalian ke penjumlahan:

Jadi, fungsi logaritma adalah isomorfisme kelompok bilangan real positif terhadap perkalian dengan kelompok bilangan real terhadap penjumlahan, yang dapat direpresentasikan sebagai fungsi:

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis positif apa pun selain 1, tidak hanya e, tetapi logaritma untuk basis lain berbeda dari logaritma natural hanya dengan faktor konstan, dan biasanya ditentukan dalam logaritma natural. Logaritma berguna untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan bilangan tak diketahui sebagai eksponen. Misalnya, logaritma digunakan untuk mencari konstanta peluruhan untuk waktu paruh yang diketahui, atau untuk mencari waktu peluruhan dalam menyelesaikan masalah radioaktivitas. Mereka memainkan peran penting dalam banyak bidang matematika dan ilmu terapan, dan digunakan di bidang keuangan untuk memecahkan banyak masalah, termasuk menemukan bunga majemuk.

Cerita

Penyebutan logaritma natural pertama kali dilakukan oleh Nicholas Mercator dalam karyanya Logaritmoteknik, diterbitkan pada tahun 1668, meskipun guru matematika John Spidell menyusun tabel logaritma natural pada tahun 1619. Sebelumnya disebut logaritma hiperbolik karena sesuai dengan luas di bawah hiperbola. Kadang-kadang disebut logaritma Napier, meskipun arti asli istilah ini agak berbeda.

Konvensi penunjukan

Logaritma natural biasanya dilambangkan dengan “ln( X)", logaritma ke basis 10 - melalui "lg( X)", dan alasan lainnya biasanya ditunjukkan secara eksplisit dengan simbol "log".

Dalam banyak karya matematika diskrit, sibernetika, dan ilmu komputer, penulis menggunakan notasi “log( X)" untuk logaritma ke basis 2, tetapi konvensi ini tidak diterima secara umum dan memerlukan klarifikasi baik dalam daftar notasi yang digunakan atau (jika tidak ada daftar tersebut) dengan catatan kaki atau komentar saat pertama kali digunakan.

Tanda kurung di sekitar argumen logaritma (jika hal ini tidak menyebabkan kesalahan pembacaan rumus) biasanya dihilangkan, dan saat menaikkan logaritma ke pangkat, eksponen diberikan langsung ke tanda logaritma: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ dalam ( 3 )] 2 .

sistem Anglo-Amerika

Matematikawan, ahli statistik, dan beberapa insinyur biasanya menggunakan istilah “logaritma natural” atau “log( X)" atau "dalam( X)", dan untuk menunjukkan logaritma basis 10 - "log 10 ( X)».

Beberapa insinyur, ahli biologi dan spesialis lainnya selalu menulis “ln( X)" (atau kadang-kadang "log e ( X)") yang dimaksud dengan logaritma natural, dan penulisan "log( X)" maksudnya log 10 ( X).

mencatat e adalah logaritma "alami" karena muncul secara otomatis dan sangat sering muncul dalam matematika. Misalnya, perhatikan masalah turunan fungsi logaritma:

Jika pangkalan B sama e, maka turunannya adalah 1/ X, dan kapan X= 1 turunan ini sama dengan 1. Alasan lain mengapa basa e Hal yang paling wajar tentang logaritma adalah bahwa logaritma dapat didefinisikan secara sederhana dalam integral sederhana atau deret Taylor, yang tidak dapat dikatakan tentang logaritma lainnya.

Pembenaran lebih lanjut atas kealamian tidak berkaitan dengan notasi. Misalnya, ada beberapa deret sederhana dengan logaritma natural. Pietro Mengoli dan Nicholas Mercator memanggil mereka logaritmus naturalis beberapa dekade hingga Newton dan Leibniz mengembangkan kalkulus diferensial dan integral.

Definisi

Secara formal ln( A) dapat didefinisikan sebagai luas daerah di bawah kurva grafik 1/ X dari 1 sampai A, yaitu sebagai suatu integral:

Ini benar-benar sebuah logaritma karena memenuhi sifat dasar logaritma:

Hal ini dapat dibuktikan dengan asumsi sebagai berikut:

Nilai numerik

Untuk menghitung nilai numerik logaritma natural suatu bilangan, Anda dapat menggunakan pemuaian deret Taylor dalam bentuk:

Untuk mendapatkan tingkat konvergensi yang lebih baik, Anda dapat menggunakan identitas berikut:

asalkan kamu = (X−1)/(X+1) dan X > 0.

Untuk ln( X), Di mana X> 1, semakin dekat nilainya X menjadi 1, semakin cepat tingkat konvergensinya. Identitas yang terkait dengan logaritma dapat digunakan untuk mencapai tujuan:

Metode ini digunakan bahkan sebelum munculnya kalkulator, yang menggunakan tabel numerik dan melakukan manipulasi serupa dengan yang dijelaskan di atas.

Akurasi tinggi

Untuk menghitung logaritma natural dengan jumlah digit presisi yang banyak, deret Taylor tidak efektif karena konvergensinya lambat. Alternatifnya adalah dengan menggunakan metode Newton untuk melakukan inversi fungsi eksponensial yang deretnya konvergen lebih cepat.

Alternatif untuk akurasi perhitungan yang sangat tinggi adalah rumus:

Di mana M menunjukkan rata-rata aritmatika-geometris 1 dan 4/s, dan

M dipilih agar P tanda akurasi tercapai. (Dalam kebanyakan kasus, nilai 8 untuk m sudah cukup.) Faktanya, jika metode ini digunakan, invers logaritma natural Newton dapat diterapkan untuk menghitung fungsi eksponensial secara efisien. (Konstanta ln 2 dan pi dapat dihitung terlebih dahulu hingga akurasi yang diinginkan menggunakan salah satu deret konvergen cepat yang diketahui.)

Kompleksitas komputasi

Kompleksitas komputasi logaritma natural (menggunakan mean aritmatika-geometris) adalah O( M(N)ln N). Di Sini N adalah jumlah digit presisi yang logaritma naturalnya harus dievaluasi, dan M(N) adalah kompleksitas komputasi dari perkalian dua N-angka angka.

Pecahan lanjutan

Meskipun tidak ada pecahan lanjutan sederhana yang mewakili logaritma, beberapa pecahan lanjutan umum dapat digunakan, antara lain:

Logaritma kompleks

Fungsi eksponensial dapat diperluas ke fungsi yang memberikan bentuk bilangan kompleks e X untuk bilangan kompleks sembarang X, dalam hal ini deret tak hingga dengan kompleks X. Fungsi eksponensial ini dapat dibalik untuk membentuk logaritma kompleks, yang memiliki sebagian besar sifat logaritma biasa. Namun ada dua kesulitan: tidak ada X, untuk itu e X= 0, dan ternyata e 2πi = 1 = e 0 . Karena sifat perkalian berlaku untuk fungsi eksponensial kompleks, maka e Mari kita nyatakan variabel kompleksnya = e Mari kita nyatakan variabel kompleksnya+2tidak untuk semua kompleks Mari kita nyatakan variabel kompleksnya dan utuh N.

Logaritma tidak dapat didefinisikan pada seluruh bidang kompleks, dan meskipun demikian, logaritma tersebut bernilai banyak - logaritma kompleks apa pun dapat diganti dengan logaritma "ekuivalen" dengan menambahkan kelipatan bilangan bulat apa pun dari 2 πi. Logaritma kompleks hanya dapat bernilai tunggal pada suatu irisan bidang kompleks. Misalnya, ln Saya = 1/2 πi atau 5/2 πi atau −3/2 πi, dll., dan meskipun Saya 4 = 1,4 catatan Saya dapat didefinisikan sebagai 2 πi, atau 10 πi atau −6 πi, dan seterusnya.

Lihat juga

John Napier - penemu logaritma

Catatan

Matematika untuk kimia fisik. - ke-3. - Academic Press, 2005. - Hal.9. - ISBN 0-125-08347-5,Ekstrak halaman 9
J J O "Connor dan EF Robertson Nomor e. Arsip Sejarah Matematika MacTutor (September 2001). Diarsipkan
Cajori Florian Sejarah Matematika, edisi ke-5. - Toko Buku AMS, 1991. - Hal.152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Memperkirakan Integral menggunakan Polinomial. Diarsipkan dari versi asli tanggal 12 Februari 2012.

Logaritma suatu bilangan tertentu disebut eksponen yang harus dipangkatkan bilangan lain, disebut dasar logaritma untuk mendapatkan nomor ini. Misalnya, logaritma basis 10 dari 100 adalah 2. Dengan kata lain, 10 harus dikuadratkan untuk mendapatkan 100 (10 2 = 100). Jika N– nomor tertentu, B– dasar dan aku– logaritma, kalau begitu b aku = n. Nomor N disebut juga antilogaritma basa B angka aku. Misalnya antilogaritma 2 ke basis 10 sama dengan 100. Hal ini dapat ditulis dalam bentuk log relasi bn = aku dan antilog b l = N.

Sifat dasar logaritma:

Bilangan positif apa pun selain satu dapat dijadikan sebagai basis logaritma, namun sayangnya ternyata jika B Dan N adalah bilangan rasional, maka dalam kasus yang jarang terdapat bilangan rasional seperti itu aku, Apa b aku = n. Namun, bilangan irasional dapat didefinisikan aku, misalnya, sehingga 10 aku= 2; ini adalah bilangan irasional aku dapat didekati dengan akurasi apa pun yang diperlukan dengan bilangan rasional. Ternyata dalam contoh yang diberikan aku kira-kira sama dengan 0,3010, dan perkiraan logaritma basis 10 dari 2 ini dapat ditemukan dalam tabel empat digit logaritma desimal. Logaritma basis 10 (atau logaritma basis 10) sangat umum digunakan dalam perhitungan sehingga disebut biasa logaritma dan ditulis sebagai log2 = 0,3010 atau log2 = 0,3010, menghilangkan indikasi eksplisit basis logaritma. Logaritma ke basis e, bilangan transendental yang kira-kira sama dengan 2,71828, disebut alami logaritma. Mereka ditemukan terutama dalam karya-karya tentang analisis matematika dan penerapannya pada berbagai ilmu pengetahuan. Logaritma natural juga ditulis tanpa menunjukkan basisnya secara eksplisit, tetapi menggunakan notasi khusus ln: misalnya ln2 = 0,6931, karena e 0,6931 = 2.

Menggunakan tabel logaritma biasa.

Logaritma reguler suatu bilangan adalah eksponen yang harus dipangkatkan 10 untuk memperoleh bilangan tertentu. Karena 10 0 = 1, 10 1 = 10 dan 10 2 = 100, kita langsung mendapatkan log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, dst. untuk menaikkan pangkat bilangan bulat 10. Demikian pula, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 dan karenanya log0.1 = –1, log0.01 = –2, dst. untuk semua bilangan bulat negatif 10. Logaritma biasa dari bilangan-bilangan yang tersisa diapit di antara logaritma bilangan bulat terdekat dari 10; log2 harus antara 0 dan 1, log20 harus antara 1 dan 2, dan log0.2 harus antara -1 dan 0. Jadi, logaritma terdiri dari dua bagian, bilangan bulat dan desimal, diapit antara 0 dan 1. bagian bilangan bulat disebut ciri logaritma dan ditentukan oleh bilangan itu sendiri, disebut bagian pecahan mantissa dan dapat ditemukan dari tabel. Juga, log20 = log(2¬10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritma dari 2 adalah 0,3010, jadi log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Demikian pula, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Setelah dikurangi, kita mendapatkan log0.2 = – 0.6990. Namun, akan lebih mudah untuk merepresentasikan log0,2 sebagai 0,3010 – 1 atau sebagai 9,3010 – 10; Aturan umum juga dapat dirumuskan: semua bilangan yang diperoleh dari suatu bilangan tertentu dengan mengalikannya dengan pangkat 10 mempunyai mantissa yang identik sama dengan mantissa dari bilangan tersebut. Kebanyakan tabel menunjukkan mantissa angka dalam rentang 1 sampai 10, karena mantissa dari semua angka lainnya dapat diperoleh dari yang diberikan dalam tabel.

Kebanyakan tabel memberikan logaritma dengan empat atau lima tempat desimal, meskipun ada tabel tujuh digit dan tabel dengan lebih banyak tempat desimal. Cara termudah untuk mempelajari cara menggunakan tabel tersebut adalah dengan contoh. Untuk mencari log3.59, pertama-tama kita perhatikan bahwa bilangan 3.59 terdapat antara 10 0 dan 10 1, jadi ciri-cirinya adalah 0. Kita cari bilangan 35 (di sebelah kiri) pada tabel dan gerakkan sepanjang baris ke kolom yang mempunyai angka 9 di bagian atas; perpotongan kolom ini dan baris 35 adalah 5551, jadi log3,59 = 0,5551. Untuk mencari mantissa suatu bilangan dengan empat angka penting, harus menggunakan interpolasi. Pada beberapa tabel, interpolasi difasilitasi oleh proporsi yang diberikan pada sembilan kolom terakhir di sisi kanan setiap halaman tabel. Sekarang mari kita temukan log736.4; bilangan 736,4 terletak di antara 10 2 dan 10 3, maka ciri logaritmanya adalah 2. Pada tabel kita temukan baris di sebelah kirinya ada 73 dan kolom 6. Pada perpotongan baris ini dan kolom ini ada angka 8669. Di antara bagian linier kita temukan kolom 4 . Di perpotongan baris 73 dan kolom 4 ada angka 2. Dengan menambahkan 2 ke 8669, kita mendapatkan mantissa - sama dengan 8671. Jadi, log736.4 = 2,8671.

Logaritma natural.

Tabel dan properti logaritma natural mirip dengan tabel dan properti logaritma biasa. Perbedaan utama antara keduanya adalah bahwa bagian bilangan bulat dari logaritma natural tidak signifikan dalam menentukan posisi koma desimal, oleh karena itu perbedaan antara mantissa dan karakteristik tidak memainkan peran khusus. Logaritma natural dari bilangan 5,432; 54,32 dan 543,2 masing-masing sama dengan 1,6923; 3,9949 dan 6,2975. Hubungan antara logaritma-logaritma ini akan menjadi jelas jika kita mempertimbangkan perbedaan di antara keduanya: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; bilangan terakhir tidak lain adalah logaritma natural dari bilangan 10 (ditulis seperti ini: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; angka terakhir adalah 2ln10. Tapi 543,2 = 10֑54,32 = 10 2Ƒ5,432. Jadi, dengan logaritma natural dari suatu bilangan tertentu A Anda dapat menemukan logaritma natural dari bilangan yang sama dengan hasil kali bilangan tersebut A untuk gelar apa pun N angka 10 jika ke ln A tambahkan ln10 dikalikan N, yaitu. dalam( Aґ10N) = catatan A + N ln10 = ln A + 2,3026N. Misalnya, ln0.005432 = ln(5.432¬10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3¬2.3026) = – 5.2155. Oleh karena itu, tabel logaritma natural, seperti tabel logaritma biasa, biasanya hanya berisi logaritma bilangan dari 1 sampai 10. Dalam sistem logaritma natural, kita dapat berbicara tentang antilogaritma, tetapi lebih sering berbicara tentang fungsi eksponensial atau eksponen. Jika X= mencatat kamu, Itu kamu = mantan, Dan kamu disebut eksponen dari X(untuk kenyamanan tipografi, mereka sering menulis kamu= pengalaman X). Eksponen berperan sebagai antilogaritma suatu bilangan X.

Dengan menggunakan tabel desimal dan logaritma natural, Anda dapat membuat tabel logaritma dalam basis apa pun selain 10 dan e. Jika log b a = X, Itu bx = A, dan karena itu log cbx= mencatat c a atau X mencatat c b= mencatat c a, atau X= mencatat c a/log c b= mencatat b a. Oleh karena itu, gunakan rumus inversi dari tabel logaritma dasar C Anda dapat membuat tabel logaritma di basis lainnya B. Pengganda 1/log c b ditelepon modul transisi dari pangkalan C ke pangkalan B. Tidak ada yang menghalangi, misalnya, menggunakan rumus inversi atau transisi dari satu sistem logaritma ke sistem logaritma lainnya, mencari logaritma natural dari tabel logaritma biasa, atau melakukan transisi sebaliknya. Misalnya, log105.432 = log e 5.432/catatan e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923¬0,4343 = 0,7350. Angka 0,4343, dimana logaritma natural dari suatu bilangan harus dikalikan untuk mendapatkan logaritma biasa, adalah modulus transisi ke sistem logaritma biasa.

Tabel khusus.

Logaritma awalnya diciptakan sehingga, dengan menggunakan propertinya log ab= mencatat A+ catatan B dan mencatat A/B= mencatat A– mencatat B, ubah hasil kali menjadi jumlah dan hasil bagi menjadi selisih. Dengan kata lain, jika log A dan mencatat B diketahui, maka dengan menggunakan penjumlahan dan pengurangan kita dapat dengan mudah mencari logaritma hasil kali dan hasil bagi. Namun dalam astronomi, nilai log sering diberikan A dan mencatat B perlu menemukan log( A + B) atau mencatat( A – B). Tentu saja, pertama-tama orang dapat menemukannya dari tabel logaritma A Dan B, kemudian lakukan penjumlahan atau pengurangan yang ditunjukkan dan, sekali lagi beralih ke tabel, temukan logaritma yang diperlukan, tetapi prosedur seperti itu memerlukan rujukan ke tabel tiga kali. Z. Leonelli pada tahun 1802 menerbitkan tabel yang disebut. Logaritma Gaussian– logaritma untuk menjumlahkan jumlah dan selisih – yang memungkinkan untuk membatasi diri pada satu akses ke tabel.

Pada tahun 1624, I. Kepler mengusulkan tabel logaritma proporsional, yaitu. logaritma angka A/X, Di mana A– beberapa nilai konstan positif. Tabel-tabel ini terutama digunakan oleh para astronom dan navigator.

Logaritma proporsional di A= 1 dipanggil kologaritma dan digunakan dalam perhitungan ketika seseorang harus berurusan dengan perkalian dan hasil bagi. Cologaritma suatu bilangan N sama dengan logaritma bilangan kebalikannya; itu. colog N= log1/ N= – catatan N. Jika log2 = 0,3010, maka colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Keuntungan menggunakan cologaritma adalah ketika menghitung nilai logaritma dari ekspresi seperti hal/melalui modul log jumlah tiga kali lipat desimal positif P+ catatan Q+colog melalui modul lebih mudah ditemukan daripada log penjumlahan dan selisih campuran P+ catatan Q– mencatat melalui modul.

Cerita.

Prinsip yang mendasari setiap sistem logaritma telah dikenal sejak lama dan dapat ditelusuri kembali ke matematika Babilonia kuno (sekitar tahun 2000 SM). Pada masa itu, interpolasi antara nilai tabel pangkat bilangan bulat positif dengan bilangan bulat digunakan untuk menghitung bunga majemuk. Belakangan, Archimedes (287–212 SM) menggunakan pangkat 108 untuk menemukan batas atas jumlah butiran pasir yang dibutuhkan untuk memenuhi seluruh alam semesta yang diketahui pada saat itu. Archimedes memperhatikan sifat eksponen yang mendasari keefektifan logaritma: hasil kali pangkat sesuai dengan jumlah eksponen. Pada akhir Abad Pertengahan dan awal era modern, matematikawan mulai beralih ke hubungan antara deret geometri dan aritmatika. M. Stiefel dalam esainya Aritmatika Integer(1544) memberikan tabel pangkat positif dan negatif dari angka 2:

Stiefel memperhatikan bahwa jumlah dua bilangan pada baris pertama (baris eksponen) sama dengan eksponen dua bilangan yang bersesuaian dengan hasil kali dua bilangan yang bersesuaian pada baris terbawah (baris eksponen). Sehubungan dengan tabel ini, Stiefel merumuskan empat aturan yang setara dengan empat aturan modern untuk operasi eksponen atau empat aturan untuk operasi logaritma: jumlah di baris teratas sesuai dengan hasil kali di baris terbawah; pengurangan pada baris paling atas sama dengan pembagian pada baris terbawah; perkalian di baris paling atas sama dengan eksponensial di baris paling bawah; pembagian di baris paling atas sama dengan rooting di baris paling bawah.

Rupanya, aturan yang mirip dengan aturan Stiefel membuat J. Naper secara resmi memperkenalkan sistem logaritma pertama dalam karyanya Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan, diterbitkan pada tahun 1614. Namun pikiran Napier disibukkan dengan masalah mengubah produk menjadi jumlah sejak itu, lebih dari sepuluh tahun sebelum karyanya diterbitkan, Napier menerima kabar dari Denmark bahwa di Observatorium Tycho Brahe asistennya memiliki metode yang membuat dimungkinkan untuk mengubah produk menjadi jumlah. Metode yang dibahas dalam pesan yang diterima Napier didasarkan pada penggunaan rumus trigonometri seperti

oleh karena itu tabel Naper sebagian besar terdiri dari logaritma fungsi trigonometri. Meskipun konsep basis tidak secara eksplisit dimasukkan dalam definisi yang diajukan oleh Napier, peran yang setara dengan basis sistem logaritma dalam sistemnya dimainkan oleh angka (1 – 10 –7)ɑ10 7, kira-kira sama dengan 1/ e.

Terlepas dari Naper dan hampir bersamaan dengannya, sistem logaritma, yang jenisnya sangat mirip, ditemukan dan diterbitkan oleh J. Bürgi di Praha, diterbitkan pada tahun 1620 Tabel perkembangan aritmatika dan geometri. Ini adalah tabel antilogaritma ke basis (1 + 10 –4) ɑ10 4, perkiraan angka yang cukup baik e.

Dalam sistem Naper, logaritma bilangan 10 7 dianggap nol, dan seiring dengan berkurangnya bilangan, logaritma bertambah. Ketika G. Briggs (1561–1631) mengunjungi Napier, keduanya sepakat bahwa akan lebih mudah menggunakan angka 10 sebagai basis dan menganggap logaritma satu sama dengan nol. Kemudian, seiring bertambahnya angka, logaritmanya akan bertambah. Dengan demikian, kami memperoleh sistem logaritma desimal modern, tabel yang diterbitkan Briggs dalam karyanya Aritmatika logaritma(1620). Logaritma ke basis e, meskipun tidak persis seperti yang diperkenalkan oleh Naper, sering kali disebut Naper's. Istilah "karakteristik" dan "mantissa" dikemukakan oleh Briggs.

Logaritma pertama, karena alasan sejarah, menggunakan perkiraan angka 1/ e Dan e. Beberapa waktu kemudian, gagasan logaritma natural mulai dikaitkan dengan studi daerah di bawah hiperbola xy= 1 (Gbr. 1). Pada abad ke-17 ditunjukkan bahwa luas yang dibatasi oleh kurva ini adalah sumbu X dan ordinat X= 1 dan X = A(pada Gambar 1, area ini ditutupi dengan titik-titik yang lebih tebal dan jarang) bertambah dalam perkembangan aritmatika ketika A meningkat secara eksponensial. Ketergantungan inilah yang muncul dalam aturan operasi dengan eksponen dan logaritma. Hal ini menyebabkan logaritma Naperian disebut sebagai “logaritma hiperbolik”.

Fungsi logaritma.

Ada suatu masa ketika logaritma dianggap semata-mata sebagai alat perhitungan, namun pada abad ke-18, terutama berkat karya Euler, konsep fungsi logaritma terbentuk. Grafik fungsi tersebut kamu= mencatat X, yang ordinatnya bertambah dalam barisan aritmatika, sedangkan absisnya bertambah dalam barisan geometri, disajikan pada Gambar. 2, A. Grafik fungsi invers atau eksponensial kamu = ex, yang ordinatnya bertambah dalam barisan geometri, dan yang absisnya bertambah dalam barisan aritmatika, masing-masing disajikan pada Gambar. 2, B. (Kurva kamu= mencatat X Dan kamu = 10X bentuknya mirip dengan kurva kamu= mencatat X Dan kamu = mantan.) Definisi alternatif dari fungsi logaritma juga telah diusulkan, misalnya.

kpi; dan, demikian pula, logaritma natural dari bilangan -1 adalah bilangan kompleks dalam bentuk (2 k + 1)pi, Di mana k– bilangan bulat. Pernyataan serupa juga berlaku untuk logaritma umum atau sistem logaritma lainnya. Selain itu, definisi logaritma dapat digeneralisasikan menggunakan identitas Euler untuk memasukkan logaritma kompleks dari bilangan kompleks.

Definisi alternatif dari fungsi logaritma diberikan oleh analisis fungsional. Jika F(X) – fungsi kontinu dari bilangan real X, memiliki tiga properti berikut: F (1) = 0, F (B) = 1, F (sinar UV) = F (kamu) + F (ay), Itu F(X) didefinisikan sebagai logaritma dari bilangan tersebut X berdasarkan B. Definisi ini memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan definisi yang diberikan di awal artikel ini.

Aplikasi.

Logaritma awalnya digunakan semata-mata untuk menyederhanakan penghitungan, dan penerapan ini masih menjadi salah satu penerapannya yang paling penting. Perhitungan hasil kali, hasil bagi, pangkat dan akar difasilitasi tidak hanya oleh ketersediaan luas tabel logaritma yang diterbitkan, tetapi juga oleh penggunaan apa yang disebut. slide rule - alat komputasi yang prinsip operasinya didasarkan pada sifat logaritma. Penggaris dilengkapi dengan skala logaritmik, yaitu. jarak dari nomor 1 ke nomor apa pun X dipilih sama dengan log X; Dengan menggeser satu skala relatif terhadap skala lainnya, dimungkinkan untuk memplot jumlah atau perbedaan logaritma, yang memungkinkan untuk membaca langsung dari skala hasil kali atau hasil bagi dari bilangan-bilangan yang bersesuaian. Anda juga dapat memanfaatkan keuntungan merepresentasikan angka dalam bentuk logaritmik. kertas logaritma untuk membuat grafik (kertas dengan skala logaritma tercetak di kedua sumbu koordinat). Jika suatu fungsi memenuhi hukum pangkat bentuk y = kxn, maka grafik logaritmanya tampak seperti garis lurus, karena mencatat kamu= mencatat k + N mencatat X– persamaan linier terhadap log kamu dan mencatat X. Sebaliknya, jika grafik logaritmik suatu ketergantungan fungsional tampak seperti garis lurus, maka ketergantungan tersebut bersifat pangkat. Kertas semi-log (yang sumbu y mempunyai skala logaritma dan sumbu x mempunyai skala yang seragam) berguna ketika Anda perlu mengidentifikasi fungsi eksponensial. Persamaan bentuk y = kb rx terjadi bila suatu kuantitas, seperti jumlah penduduk, jumlah bahan radioaktif, atau saldo bank, berkurang atau bertambah dengan laju yang sebanding dengan jumlah penduduk, bahan radioaktif, atau uang yang tersedia saat ini. Jika ketergantungan tersebut diplot pada kertas semilogaritma, grafiknya akan terlihat seperti garis lurus.

Fungsi logaritma muncul sehubungan dengan berbagai macam bentuk alam. Bunga di bunga matahari tersusun dalam spiral logaritmik, cangkang moluska dipelintir Nautilus, tanduk domba gunung dan paruh burung beo. Semua bentuk alam ini dapat menjadi contoh kurva yang disebut spiral logaritmik karena, dalam sistem koordinat kutub, persamaannya adalah r = ae bq, atau ln melalui modul= mencatat A + bq. Kurva seperti itu digambarkan oleh suatu titik yang bergerak, yang jarak dari kutubnya bertambah secara barisan geometri, dan sudut yang digambarkan oleh vektor jari-jarinya bertambah dalam barisan aritmatika. Keberadaan kurva seperti itu, dan juga fungsi logaritmik, diilustrasikan dengan baik oleh fakta bahwa kurva tersebut terjadi di area yang sangat jauh dan sangat berbeda seperti kontur kamera eksentrik dan lintasan beberapa serangga yang terbang menuju cahaya.