instruksi

Jika suatu segitiga sama kaki atau beraturan, maka segitiga tersebut mempunyai
dua atau tiga sisinya, lalu garis baginya, menurut sifat-sifatnya segi tiga, juga akan menjadi median. Oleh karena itu, kebalikannya akan dibagi dua oleh garis bagi.

Ukur sisi sebaliknya dengan penggaris segi tiga, di mana garis bagi akan cenderung. Bagilah sisi ini menjadi dua dan letakkan sebuah titik di tengah sisinya.

Gambarlah garis lurus yang melalui titik yang dibangun dan titik sudut yang berhadapan. Ini akan menjadi garis bagi segi tiga.

Sumber:

• Median, garis bagi, dan tinggi suatu segitiga

Membagi suatu sudut menjadi dua dan menghitung panjang garis yang ditarik dari puncaknya ke sisi yang berlawanan adalah sesuatu yang harus dapat dilakukan oleh para pemotong, surveyor, pemasang, dan orang-orang dari beberapa profesi lain.

Anda akan membutuhkan

• Alat Pensil Penggaris Busur Derajat Tabel sinus dan kosinus Rumus dan Konsep Matematika : Pengertian garis bagi Teorema sinus dan kosinus Teorema garis bagi

instruksi

Buatlah segitiga dengan ukuran yang diperlukan, tergantung pada apa yang diberikan kepada Anda? dfe sisi dan sudut di antara keduanya, tiga sisi atau dua sudut dan sisi yang terletak di antara keduanya.

Beri label titik sudut dan sisi dengan huruf Latin tradisional A, B, dan C. Titik sudut dilambangkan dengan , dan sisi yang berhadapan dilambangkan dengan huruf kecil. Beri label sudut dengan huruf Yunani?,? Dan?

Dengan menggunakan teorema sinus dan cosinus, hitunglah sudut dan sisinya segi tiga.

Ingat garis bagi. Bisektor - membagi sudut menjadi dua. Garis bagi sudut segi tiga membagi sisi yang berhadapan menjadi dua segmen yang besarnya sama dengan perbandingan dua sisi yang berdekatan segi tiga.

Gambarkan garis bagi sudutnya. Beri label pada segmen yang dihasilkan dengan nama sudut, ditulis dengan huruf kecil, dengan subskrip l. Sisi c dibagi menjadi segmen a dan b dengan indeks l.

Hitung panjang segmen yang dihasilkan menggunakan hukum sinus.

Video tentang topik tersebut

Harap dicatat

Panjang ruas yang sekaligus merupakan sisi segitiga yang dibentuk oleh salah satu sisi segitiga asal, garis bagi, dan ruas itu sendiri, dihitung dengan menggunakan hukum sinus. Untuk menghitung panjang ruas lain pada sisi yang sama, gunakan perbandingan ruas hasil dan sisi-sisi yang berdekatan dari segitiga asal.

Saran yang berguna

Untuk menghindari kebingungan, gambarlah garis bagi sudut yang berbeda dengan warna berbeda.

Bisektris sudut disebut sinar yang dimulai pada titik sudut sudut dan membaginya menjadi dua bagian sama besar. Itu. untuk dibelanjakan bisektris, Anda perlu menemukan bagian tengahnya sudut. Cara termudah untuk melakukannya adalah dengan kompas. Dalam hal ini, Anda tidak perlu melakukan perhitungan apa pun, dan hasilnya tidak akan bergantung pada kuantitasnya sudut bilangan bulat.

Anda akan membutuhkan

• kompas, pensil, penggaris.

instruksi

Biarkan lebar bukaan kompas tetap sama, letakkan jarum di ujung ruas di salah satu sisinya dan gambar bagian lingkaran sehingga letaknya di dalam. sudut. Lakukan hal yang sama dengan yang kedua. Anda akan mendapatkan dua bagian lingkaran yang berpotongan di dalamnya sudut- kira-kira di tengah. Bagian-bagian lingkaran dapat berpotongan di satu atau dua titik.

Video tentang topik tersebut

Saran yang berguna

Untuk membuat garis bagi suatu sudut, Anda dapat menggunakan busur derajat, tetapi cara ini memerlukan ketelitian yang lebih tinggi. Selain itu, jika nilai sudut bukan bilangan bulat, kemungkinan kesalahan dalam membuat garis bagi akan meningkat.

Saat membangun atau mengembangkan proyek desain rumah, seringkali diperlukan pembangunan sudut, sama dengan apa yang sudah tersedia. Templat dan pengetahuan sekolah tentang geometri datang untuk menyelamatkan.

instruksi

Sudut dibentuk oleh dua garis lurus yang berasal dari satu titik. Titik ini disebut titik sudut, dan garis-garisnya disebut sisi-sisi sudut.

Gunakan tiga untuk menunjukkan sudut: satu di atas, dua di samping. Ditelepon sudut, dimulai dengan huruf yang berdiri di satu sisi, kemudian disebut huruf yang berdiri di atas, dan kemudian huruf di sisi lainnya. Gunakan yang lain untuk menunjukkan sudut jika Anda menginginkan sebaliknya. Terkadang hanya satu huruf yang diberi nama, yaitu di bagian atas. Dan Anda dapat menunjukkan sudut dengan huruf Yunani, misalnya α, β, γ.

Ada situasi di mana hal itu diperlukan sudut, sehingga lebih sempit dari sudut yang diberikan. Jika tidak ada kemungkinan untuk menggunakan busur derajat saat membangun, Anda hanya dapat menggunakan penggaris dan kompas. Misalkan, pada garis lurus yang ditandai dengan huruf MN, Anda perlu membuat konstruksi sudut di titik K sehingga sama dengan sudut B. Artinya, dari titik K perlu ditarik garis lurus dengan garis MN sudut, yang besarnya sama dengan sudut B.

Pertama, tandai sebuah titik pada setiap sisi sudut tertentu, misalnya titik A dan C, kemudian hubungkan titik C dan A dengan garis lurus. Dapatkan tiga sudut tidak ABC.

Sekarang buatlah pohon yang sama pada garis lurus MN sudut sehingga titik sudut B berada pada garis di titik K. Gunakan aturan membuat segitiga sudut nnik dalam tiga. Letak ruas KL dari titik K. Itu harus sama dengan segmen BC. Dapatkan poin L.

Dari titik K, gambarlah sebuah lingkaran dengan jari-jari sama dengan ruas BA. Dari L, gambarlah sebuah lingkaran dengan jari-jari CA. Hubungkan hasil titik (P) perpotongan dua lingkaran dengan K. Dapatkan tiga sudut KPL yang akan sama dengan tiga sudut buku ABC. Jadi, Anda akan mendapatkan sudut K. Ini akan sama dengan sudut B. Agar lebih mudah dan cepat, buatlah segmen yang sama besar dari titik B, dengan menggunakan satu bukaan kompas, tanpa menggerakkan kaki, gambarkan sebuah lingkaran dengan jari-jari yang sama dari titik K.

Video tentang topik tersebut

Tip 5: Cara membuat segitiga menggunakan dua sisi dan median

Segitiga adalah bangun datar paling sederhana yang memiliki tiga titik sudut yang dihubungkan berpasangan oleh segmen-segmen yang membentuk sisi-sisi poligon tersebut. Ruas yang menghubungkan titik sudut dengan titik tengah sisi yang berhadapan disebut median. Mengetahui panjang dua sisi dan median yang menghubungkan pada salah satu titik sudut, Anda dapat membuat segitiga tanpa memiliki informasi tentang panjang sisi ketiga atau besar sudutnya.

instruksi

Gambarlah sebuah segmen dari titik A yang panjangnya merupakan salah satu sisi segitiga (a) yang diketahui. Tandai titik akhir ruas ini dengan huruf B. Setelah itu, salah satu sisi (AB) segitiga yang diinginkan sudah dapat dianggap dibangun.

Dengan menggunakan kompas, gambarlah sebuah lingkaran dengan jari-jari sama dengan dua kali panjang median (2∗m) dan berpusat di titik A.

Dengan menggunakan kompas, gambarlah lingkaran kedua dengan jari-jari sama dengan panjang sisi yang diketahui (b), dan berpusat di titik B. Sisihkan kompas untuk sementara waktu, tetapi biarkan yang diukur di atasnya - Anda perlu lagi beberapa saat kemudian.

Buatlah ruas garis yang menghubungkan titik A dengan titik potong dua yang telah Anda gambar. Setengah dari segmen ini akan menjadi yang Anda buat - ukur setengahnya dan beri titik M. Saat ini Anda memiliki satu sisi segitiga yang diinginkan (AB) dan mediannya (AM).

Dengan menggunakan kompas, gambarlah sebuah lingkaran dengan jari-jari sama dengan panjang sisi kedua yang diketahui (b) dan berpusat di titik A.

Gambarlah sebuah ruas yang bermula di titik B, melewati titik M dan berakhir di titik potong garis lurus dengan lingkaran yang telah Anda gambar pada langkah sebelumnya. Tentukan titik potongnya dengan huruf C. Sekarang sisi BC, yang tidak diketahui sesuai dengan kondisi soal, telah dibangun sesuai kebutuhan.

Kemampuan membagi sudut mana pun dengan garis bagi diperlukan tidak hanya untuk mendapatkan nilai “A” dalam matematika. Pengetahuan ini akan sangat berguna bagi para pembangun, perancang, surveyor dan penjahit. Dalam hidup, Anda harus bisa membagi banyak hal menjadi dua.

Semua orang di sekolah mengetahui lelucon tentang seekor tikus yang berlari melewati sudut dan membagi sudut menjadi dua. Nama hewan pengerat yang gesit dan cerdas ini adalah Bisector. Tidak diketahui bagaimana tikus membagi sudut, tetapi metode berikut dapat disarankan untuk ahli matematika dalam buku teks sekolah “Geometri”.

Menggunakan busur derajat

Cara termudah untuk menggambar garis bagi adalah dengan menggunakan alat untuk. Anda perlu memasang busur derajat pada salah satu sisi sudut, sejajarkan titik acuan dengan ujung O. Kemudian ukur nilai sudut dalam derajat atau radian dan bagi dua. Dengan menggunakan busur derajat yang sama, sisihkan derajat yang diperoleh dari salah satu sisinya dan tarik garis lurus, yang akan menjadi garis bagi, ke titik awal sudut O.

Menggunakan kompas

Anda perlu mengambil kompas dan memindahkannya ke ukuran berapa pun (dalam batas gambar). Setelah menempatkan ujungnya pada titik awal sudut O, gambarlah sebuah busur yang memotong sinar-sinar tersebut, tandai dua titik pada mereka. Mereka ditunjuk A1 dan A2. Kemudian, dengan menempatkan kompas secara bergantian pada titik-titik ini, Anda harus menggambar dua lingkaran dengan diameter sembarang yang sama (pada skala gambar). Titik potongnya diberi nama C dan B. Selanjutnya, Anda perlu menggambar garis lurus melalui titik O, C dan B, yang akan menjadi garis bagi yang diinginkan.

Menggunakan penggaris

Untuk menggambar garis bagi suatu sudut menggunakan penggaris, Anda perlu meletakkan segmen dengan panjang yang sama dari titik O pada sinar (sisi) dan menetapkannya sebagai titik A dan B. Kemudian Anda harus menghubungkannya dengan garis lurus dan, dengan menggunakan penggaris, bagilah segmen yang dihasilkan menjadi dua, tentukan titik C. Garis bagi akan diperoleh jika Anda menggambar garis lurus melalui titik C dan O.

Tidak ada alat

Jika tidak ada alat ukur, Anda bisa menggunakan kecerdikan Anda. Cukup menggambar sudut pada kertas kalkir atau kertas tipis biasa dan melipat kertas dengan hati-hati agar sinar sudutnya sejajar. Garis lipatan pada gambar akan menjadi garis bagi yang diinginkan.

Sudut lurus

Sudut yang lebih besar dari 180 derajat dapat dibagi dengan garis bagi dengan menggunakan metode yang sama. Hanya saja yang perlu dibagi bukan itu, tetapi sudut lancip yang berdekatan dengannya, yang tersisa dari lingkaran. Kelanjutan dari garis bagi yang ditemukan akan menjadi garis lurus yang diinginkan, membagi sudut terbuka menjadi dua.

Sudut dalam segitiga

Perlu diingat bahwa dalam segitiga sama sisi, garis bagi juga merupakan median dan tinggi. Oleh karena itu, garis bagi di dalamnya dapat dicari hanya dengan menurunkan garis tegak lurus ke sisi yang berhadapan dengan sudut (tinggi) atau membagi sisi tersebut menjadi dua dan menghubungkan titik tengah dengan sudut yang berlawanan (median).

Video tentang topik tersebut

Aturan mnemonik “garis-bagi adalah tikus yang berlari mengelilingi sudut-sudut dan membaginya menjadi dua” menggambarkan esensi konsep tersebut, tetapi tidak memberikan rekomendasi untuk membuat garis-bagi. Untuk menggambarnya, selain aturan, Anda memerlukan kompas dan penggaris.

instruksi

Katakanlah Anda perlu membangun bisektris sudut A. Ambil kompas, letakkan ujungnya di titik A (sudut) dan gambarlah lingkaran berapa pun. Pada titik potong sisi sudut, letakkan titik B dan C.

Ukur jari-jari lingkaran pertama. Gambarlah satu sama lain dengan jari-jari yang sama, letakkan kompas di titik B.

Gambarlah lingkaran berikutnya (sama besarnya dengan lingkaran sebelumnya) dengan pusat di titik C.

Ketiga lingkaran harus berpotongan di satu titik - sebut saja F. Dengan menggunakan penggaris, gambarlah sinar yang melalui titik A dan F. Ini akan menjadi garis bagi sudut A yang diinginkan.

Ada beberapa aturan yang akan membantu Anda menemukannya. Misalnya, sisi tersebut berlawanan dengan , sama dengan perbandingan dua sisi yang berdekatan. Sama kaki

Tingkat menengah

Garis bagi suatu segitiga. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Garis bagi suatu segitiga dan sifat-sifatnya

Tahukah anda apa yang dimaksud dengan titik tengah suatu ruas? Tentu saja. Bagaimana dengan pusat lingkarannya? Sama. Berapakah titik tengah suatu sudut? Anda dapat mengatakan bahwa ini tidak terjadi. Tetapi mengapa suatu ruas dapat dibagi dua, tetapi suatu sudut tidak dapat? Itu sangat mungkin - hanya saja bukan sebuah titik, tapi…. garis.

Apakah Anda ingat lelucon: garis bagi adalah tikus yang berlari mengitari sudut dan membagi sudut menjadi dua. Jadi, definisi sebenarnya dari garis bagi sangat mirip dengan lelucon ini:

Garis bagi suatu segitiga- ini adalah garis bagi suatu sudut suatu segitiga yang menghubungkan titik sudut tersebut dengan suatu titik di sisi yang berhadapan.

Dahulu kala, para astronom dan matematikawan kuno menemukan banyak sifat menarik dari garis bagi. Pengetahuan ini telah sangat menyederhanakan kehidupan masyarakat. Membangun, menghitung jarak, bahkan menyesuaikan penembakan meriam menjadi lebih mudah... Pengetahuan tentang properti ini akan membantu kita menyelesaikan beberapa tugas GIA dan Unified State Examination!

Pengetahuan pertama yang akan membantu dalam hal ini adalah garis bagi segitiga sama kaki.

Ngomong-ngomong, apakah Anda ingat semua istilah ini? Apakah Anda ingat perbedaannya satu sama lain? TIDAK? Tidak menakutkan. Mari kita cari tahu sekarang.

Jadi, alas segitiga sama kaki- ini adalah sisi yang tidak ada bandingannya. Lihat gambarnya, menurutmu ini sisi yang mana? Itu benar - ini bagian sampingnya.

Median adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga dan membagi sisi yang berhadapan (itu lagi) menjadi dua.

Perhatikan bahwa kita tidak mengatakan, "Median segitiga sama kaki." Tahukah kamu alasannya? Karena median yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga membagi dua sisi yang berhadapan pada segitiga APAPUN.

Nah, tingginya adalah garis yang ditarik dari atas dan tegak lurus dengan alasnya. Apakah Anda memperhatikan? Kita sekali lagi berbicara tentang segitiga apa pun, bukan hanya segitiga sama kaki. Tinggi segitiga APAPUN selalu tegak lurus alasnya.

Jadi, sudahkah Anda menemukan jawabannya? Hampir saja. Untuk memahami lebih baik dan mengingat selamanya apa itu garis bagi, median, dan tinggi badan, Anda perlu membandingkannya satu sama lain dan memahami persamaan dan perbedaannya satu sama lain. Pada saat yang sama, untuk mengingat lebih baik, lebih baik menggambarkan segala sesuatu dalam “bahasa manusia”. Maka Anda akan dengan mudah mengoperasikan bahasa matematika, tetapi pada awalnya Anda tidak memahami bahasa ini dan Anda perlu memahami semuanya dalam bahasa Anda sendiri.

Jadi, apa kemiripannya? Garis bagi, median, dan ketinggian - semuanya “keluar” dari titik sudut segitiga dan bertumpu pada sisi yang berlawanan dan “melakukan sesuatu” baik dengan sudut keluarnya, atau dengan sisi yang berlawanan. Menurutku itu sederhana, bukan?

Apa perbedaannya?

• Garis bagi membagi sudut munculnya menjadi dua.
• Median membagi sisi yang berlawanan menjadi dua.
• Tingginya selalu tegak lurus dengan sisi yang berlawanan.

Sekarang itu saja. Sangat mudah untuk memahaminya. Dan begitu Anda memahaminya, Anda dapat mengingatnya.

Sekarang pertanyaan selanjutnya. Mengapa, pada kasus segitiga sama kaki, garis bagi tampak sebagai median dan ketinggian?

Anda cukup melihat gambarnya dan memastikan bahwa mediannya terbagi menjadi dua segitiga yang benar-benar sama besar. Itu saja! Namun matematikawan tidak suka memercayai mata mereka. Mereka perlu membuktikan segalanya. Kata yang menakutkan? Tidak ada yang seperti itu - sederhana saja! Lihat: keduanya memiliki sisi yang sama dan, umumnya mereka memiliki sisi yang sama dan. (- garis bagi!) Dan ternyata dua segitiga mempunyai dua sisi yang sama besar dan sebuah sudut di antara keduanya. Kita ingat tanda pertama persamaan segitiga (jika Anda tidak ingat, lihat topiknya) dan menyimpulkan bahwa, dan oleh karena itu = dan.

Ini sudah bagus, artinya ternyata median.

Tapi apa itu?

Mari kita lihat gambarnya - . Dan kami mendapatkannya. Begitu juga! Akhirnya, hore! Dan.

Apakah menurut Anda bukti ini agak berat? Lihatlah gambarnya - dua segitiga identik berbicara sendiri.

Bagaimanapun, ingatlah dengan tegas:

Sekarang lebih sulit: kita akan menghitungnya sudut antara garis-bagi pada segitiga apa pun! Jangan takut, ini tidak terlalu rumit. Lihatlah gambar:

Mari kita hitung. Apakah kamu ingat itu jumlah sudut suatu segitiga adalah?

Mari kita terapkan fakta menakjubkan ini.

Di satu sisi, dari:

Yaitu.

Sekarang mari kita lihat:

Tapi garis bagi, garis bagi!

Mari kita ingat tentang:

Sekarang melalui surat-surat itu

\sudut AOC=90()^\circ +\frac(\sudut B)(2)

Bukankah ini mengejutkan? Ternyata itu sudut antara garis bagi dua sudut hanya bergantung pada sudut ketiga!

Ya, kita melihat dua garis bagi. Bagaimana jika mereka bertiga??!! Akankah semuanya berpotongan pada satu titik?

Atau akankah menjadi seperti ini?

Bagaimana menurut Anda? Jadi para ahli matematika berpikir dan berpikir dan membuktikan:

Bukankah itu bagus?

Apakah Anda ingin tahu mengapa ini terjadi?

Jadi...dua segitiga siku-siku: dan. Mereka memiliki:

• sisi miring umum.
• (karena ini adalah garis bagi!)

Artinya - berdasarkan sudut dan sisi miring. Oleh karena itu, kaki-kaki yang bersesuaian pada segitiga-segitiga ini adalah sama! Yaitu.

Kita buktikan bahwa suatu titik mempunyai jarak yang sama (atau sama) dari sisi-sisi sudut. Poin 1 ditangani. Sekarang mari kita beralih ke poin 2.

Mengapa 2 benar?

Dan mari kita hubungkan titik-titiknya dan.

Artinya terletak pada garis bagi!

Itu saja!

Bagaimana semua ini dapat diterapkan ketika memecahkan masalah? Misalnya, dalam soal sering kali terdapat kalimat berikut: “Sebuah lingkaran menyentuh sisi-sisi suatu sudut…”. Nah, Anda perlu menemukan sesuatu.

Kemudian Anda segera menyadarinya

Dan Anda bisa menggunakan kesetaraan.

3. Tiga garis bagi dalam suatu segitiga berpotongan di satu titik

Dari sifat garis bagi yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi suatu sudut, berikut pernyataannya:

Bagaimana tepatnya hasilnya? Tapi lihat: dua garis bagi pasti akan berpotongan, bukan?

Dan garis bagi ketiga bisa seperti ini:

Namun kenyataannya, semuanya jauh lebih baik!

Mari kita lihat titik potong dua garis bagi. Sebut saja.

Apa yang kami gunakan di sini dua kali? Ya poin 1, Tentu saja! Jika suatu titik terletak pada garis bagi, maka jaraknya sama terhadap sisi-sisi sudut tersebut.

Dan itulah yang terjadi.

Namun perhatikan baik-baik kedua persamaan ini! Bagaimanapun, dari mereka dapat disimpulkan bahwa dan, oleh karena itu, .

Dan sekarang hal itu akan mulai berlaku poin 2: jika jarak kedua sisi suatu sudut sama besar, maka titik tersebut terletak pada garis bagi...sudut berapa? Lihat lagi gambarnya:

dan adalah jarak ke sisi-sisi sudut, dan keduanya sama besar, artinya titik terletak pada garis bagi sudut. Garis bagi ketiga melewati titik yang sama! Ketiga garis bagi berpotongan pada satu titik! Dan sebagai hadiah tambahan -

jari-jari tertulis lingkaran.

(Yang pasti, lihat topik lain).

Nah, sekarang Anda tidak akan pernah lupa:

Titik potong garis bagi suatu segitiga adalah pusat lingkaran yang terdapat di dalamnya.

Mari kita lanjut ke sifat berikutnya... Wah, garis bagi itu punya banyak sifat kan? Dan ini bagus, karena semakin banyak properti, semakin banyak alat untuk memecahkan masalah garis bagi.

4. Garis bagi dan paralelisme, garis bagi sudut yang berdekatan

Fakta bahwa garis bagi membagi sudut menjadi dua dalam beberapa kasus menyebabkan hasil yang sama sekali tidak terduga. Di sini, misalnya,

Kasus 1

Hebat, bukan? Mari kita pahami mengapa demikian.

Di satu sisi, kita menggambar garis bagi!

Namun di sisi lain, ada sudut yang terletak bersilangan (ingat temanya).

Dan sekarang ternyata; buang bagian tengahnya: ! - sama kaki!

Kasus 2

Bayangkan sebuah segitiga (atau lihat gambarnya)

Mari kita lanjutkan sisinya melampaui intinya. Sekarang kita memiliki dua sudut:

• - sudut dalam
• - pojok luarnya di luar ya?

Jadi, sekarang ada yang ingin menggambar bukan hanya satu, tapi dua garis bagi sekaligus: untuk dan untuk. Apa yang akan terjadi?

Apakah ini akan berhasil? persegi panjang!

Anehnya, hal ini justru terjadi.

Mari kita cari tahu.

Menurut Anda berapa jumlahnya?

Tentu saja - lagi pula, mereka semua bersama-sama membentuk sudut sedemikian rupa sehingga menjadi garis lurus.

Sekarang ingat bahwa dan adalah garis bagi dan lihat bahwa di dalam sudut tersebut terdapat tepat setengah dari jumlah keempat sudut: dan - - tepatnya. Anda juga dapat menuliskannya sebagai persamaan:

Jadi, luar biasa tapi benar:

Sudut antara garis-bagi sudut dalam dan sudut luar suatu segitiga adalah sama besar.

Kasus 3

Apakah Anda melihat bahwa semuanya sama di sini, baik di sudut dalam maupun luar?

Atau mari kita pikirkan lagi mengapa hal ini terjadi?

Sekali lagi, untuk sudut yang berdekatan,

(sesuai dengan basis paralel).

Dan lagi-lagi mereka berbaikan tepat setengahnya dari jumlahnya

Kesimpulan: Jika soal mengandung garis bagi bersebelahan sudut atau garis bagi relevan sudut jajar genjang atau trapesium, lalu pada soal ini tentu melibatkan segitiga siku-siku, atau mungkin bahkan persegi panjang utuh.

5. Garis bagi dan sisi berhadapan

Ternyata garis bagi suatu sudut suatu segitiga membagi sisi yang berhadapan tidak hanya dengan cara tertentu, tetapi dengan cara yang khusus dan sangat menarik:

Yaitu:

Fakta yang menakjubkan, bukan?

Sekarang kita akan membuktikan fakta ini, tapi bersiaplah: ini akan menjadi sedikit lebih sulit dari sebelumnya.

Sekali lagi - keluar ke "ruang" - formasi tambahan!

Ayo lurus.

Untuk apa? Kita akan lihat sekarang.

Mari kita lanjutkan garis bagi hingga berpotongan dengan garis.

Apakah ini gambar yang familier? Ya, ya, ya, sama persis seperti pada poin 4, kasus 1 - ternyata (- garis bagi)

Berbaring melintang

Jadi itu juga.

Sekarang mari kita lihat segitiga dan.

Apa yang bisa Anda katakan tentang mereka?

Mereka...mirip. Ya, sudut-sudutnya sama dengan sudut vertikal. Jadi, di dua sudut.

Sekarang kami berhak menulis hubungan pihak-pihak terkait.

Dan sekarang secara singkat:

Oh! Mengingatkanku pada sesuatu, bukan? Bukankah ini yang ingin kami buktikan? Ya, ya, persis seperti itu!

Anda lihat betapa hebatnya “jalan luar angkasa” itu - pembangunan garis lurus tambahan - tanpanya tidak akan terjadi apa-apa! Jadi, kami telah membuktikannya

Sekarang Anda dapat menggunakannya dengan aman! Mari kita lihat satu lagi sifat garis bagi sudut segitiga - jangan khawatir, sekarang bagian tersulit sudah selesai - ini akan lebih mudah.

Kami mengerti

Teorema 1:

Teorema 2:

Teorema 3:

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:

Hari ini akan menjadi pelajaran yang sangat mudah. Kami hanya akan mempertimbangkan satu objek - garis bagi sudut - dan membuktikan properti terpentingnya, yang akan sangat berguna bagi kami di masa depan.

Jangan santai saja: terkadang siswa yang ingin mendapat nilai tinggi pada Ujian Negara Terpadu atau UN Unified State yang sama bahkan tidak dapat merumuskan secara akurat definisi garis bagi pada pelajaran pertama.

Dan alih-alih melakukan tugas yang sangat menarik, kita malah membuang waktu untuk hal-hal sederhana seperti itu. Jadi baca, tonton, dan adopsi :)

Pertama-tama, pertanyaan yang agak aneh: apa itu sudut? Benar sekali: sudut hanyalah dua sinar yang memancar dari titik yang sama. Misalnya:

Contoh sudut : lancip, tumpul dan siku-siku

Seperti yang Anda lihat dari gambar, sudut bisa lancip, tumpul, lurus - tidak masalah sekarang. Seringkali, untuk kenyamanan, titik tambahan ditandai pada setiap sinar dan dikatakan bahwa di depan kita ada sudut $AOB$ (ditulis sebagai $\angle AOB$).

Captain Obviousness sepertinya mengisyaratkan bahwa selain sinar $OA$ dan $OB$, selalu ada kemungkinan untuk menggambar lebih banyak sinar dari titik $O$. Tapi di antara mereka akan ada satu yang istimewa - dia disebut garis-bagi.

Definisi. Garis bagi suatu sudut adalah sinar yang datang dari titik sudut tersebut dan membagi dua sudut tersebut.

Untuk sudut di atas, garis bagi akan terlihat seperti ini:

Contoh garis bagi sudut lancip, tumpul dan siku-siku

Karena dalam gambar nyata tidak selalu jelas bahwa sinar tertentu (dalam kasus kita adalah sinar $OM$) membagi sudut asli menjadi dua sudut yang sama besar, dalam geometri biasanya sudut yang sama ditandai dengan jumlah busur yang sama ( dalam gambar kita ini adalah 1 busur untuk sudut lancip, dua untuk tumpul, tiga untuk lurus).

Oke, kita sudah memilah definisinya. Sekarang Anda perlu memahami properti apa yang dimiliki garis bagi.

Sifat utama garis bagi sudut

Faktanya, garis bagi memiliki banyak sifat. Dan kita pasti akan membahasnya di pelajaran berikutnya. Namun ada satu trik yang perlu Anda pahami saat ini:

Dalil. Garis bagi suatu sudut adalah kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi suatu sudut tertentu.

Diterjemahkan dari matematika ke dalam bahasa Rusia, ini berarti dua fakta sekaligus:

1. Setiap titik yang terletak pada garis bagi suatu sudut tertentu berada pada jarak yang sama dari sisi-sisi sudut tersebut.
2. Begitu pula sebaliknya: jika suatu titik terletak pada jarak yang sama dari sisi-sisi suatu sudut tertentu, maka titik tersebut dijamin terletak pada garis-bagi sudut tersebut.

Sebelum membuktikan pernyataan-pernyataan ini, mari kita perjelas satu hal: apa sebenarnya yang disebut jarak dari suatu titik ke sisi suatu sudut? Di sini penentuan jarak dari suatu titik ke garis akan membantu kita:

Definisi. Jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik ke garis tersebut.

Misalnya, perhatikan garis $l$ dan titik $A$ yang tidak terletak pada garis ini. Mari kita menggambar garis tegak lurus terhadap $AH$, di mana $H\in l$. Maka panjang garis tegak lurus tersebut adalah jarak dari titik $A$ ke garis lurus $l$.

Representasi grafis dari jarak dari suatu titik ke garis

Karena sudut hanyalah dua sinar, dan setiap sinar merupakan bagian dari garis lurus, maka mudah untuk menentukan jarak dari suatu titik ke sisi-sisi suatu sudut. Ini hanyalah dua garis tegak lurus:

Tentukan jarak titik ke sisi-sisi sudut

Itu saja! Sekarang kita tahu apa itu jarak dan apa itu garis bagi. Oleh karena itu, kita dapat membuktikan sifat utamanya.

Seperti yang dijanjikan, kami akan membagi buktinya menjadi dua bagian:

1. Jarak titik pada garis bagi ke sisi-sisi sudut adalah sama

Pertimbangkan sudut sembarang dengan titik sudut $O$ dan garis bagi $OM$:

Mari kita buktikan bahwa titik $M$ ini berada pada jarak yang sama dari sisi sudut.

Bukti. Mari kita menggambar garis tegak lurus dari titik $M$ ke sisi-sisi sudut. Sebut saja $M((H)_(1))$ dan $M((H)_(2))$:

Gambarlah garis tegak lurus pada sisi-sisi sudut

Kami memperoleh dua segitiga siku-siku: $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$. Mereka memiliki sisi miring yang sama $OM$ dan sudut yang sama besar:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ dengan syarat (karena $OM$ adalah garis bagi);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ berdasarkan konstruksi;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, karena jumlah Sudut lancip segitiga siku-siku selalu 90 derajat.

Oleh karena itu, segitiga-segitiga tersebut memiliki sisi yang sama dan dua sudut yang berdekatan (lihat tanda-tanda persamaan segitiga). Oleh karena itu, khususnya, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, yaitu jarak titik $O$ ke sisi-sisi sudut memang sama. Q.E.D. :)

2. Jika jaraknya sama, maka titik tersebut terletak pada garis bagi

Kini situasinya terbalik. Misalkan sebuah sudut $O$ dan sebuah titik $M$ berjarak sama dari sisi-sisi sudut ini:

Mari kita buktikan bahwa sinar $OM$ merupakan garis bagi, yaitu. $\sudut MO((H)_(1))=\sudut MO((H)_(2))$.

Bukti. Pertama, mari kita gambarkan sinar $OM$ ini, jika tidak, tidak akan ada yang perlu dibuktikan:

Melakukan sinar $OM$ di dalam sudut

Sekali lagi kita mendapatkan dua segitiga siku-siku: $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$. Jelas mereka setara karena:

1. Sisi miring $OM$ - umum;
2. Kaki $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ dengan syarat (bagaimanapun juga, titik $M$ berjarak sama dari sisi-sisi sudut);
3. Kaki-kaki yang tersisa juga sama, karena dengan teorema Pythagoras $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Oleh karena itu, segitiga $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$ pada tiga sisi. Secara khusus, sudut-sudutnya sama besar: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Dan ini berarti $OM$ adalah garis bagi.

Untuk menyimpulkan pembuktiannya, kami menandai sudut-sudut sama besar yang dihasilkan dengan busur merah:

Garis bagi membagi sudut $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ menjadi dua sudut yang sama besar

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Kita telah membuktikan bahwa garis bagi suatu sudut adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi sudut tersebut :).

Sekarang setelah kita sedikit banyak memutuskan terminologinya, sekarang saatnya untuk beralih ke level berikutnya. Pada pelajaran berikutnya kita akan melihat sifat-sifat garis bagi yang lebih kompleks dan mempelajari cara menerapkannya untuk memecahkan masalah nyata.

Di antara banyak mata pelajaran sekolah menengah ada satu seperti “geometri”. Secara tradisional diyakini bahwa pendiri ilmu sistematis ini adalah orang Yunani. Saat ini, geometri Yunani disebut dasar, karena dialah yang memulai studi tentang bentuk-bentuk paling sederhana: bidang, garis lurus, dan segitiga. Kami akan memusatkan perhatian kami pada yang terakhir, atau lebih tepatnya pada garis bagi gambar ini. Bagi yang sudah lupa, garis bagi suatu segitiga adalah ruas garis bagi salah satu sudut suatu segitiga, yang membaginya menjadi dua dan menghubungkan titik sudutnya dengan suatu titik yang terletak di sisi yang berlawanan.

Garis bagi suatu segitiga memiliki sejumlah sifat yang perlu Anda ketahui ketika menyelesaikan masalah tertentu:

• Garis bagi suatu sudut adalah tempat kedudukan titik-titik yang terletak pada jarak yang sama dari sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut tersebut.
• Garis bagi suatu segitiga membagi sisi yang berhadapan dengan sudut menjadi beberapa bagian yang sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan. Misalnya, diberikan segitiga MKB, di mana sebuah garis bagi muncul dari sudut K, menghubungkan titik sudut tersebut dengan titik A di sisi berlawanan MB. Setelah menganalisis properti ini dan segitiga kita, kita mendapatkan MA/AB=MK/KB.
• Titik potong garis-garis bagi ketiga sudut suatu segitiga adalah pusat lingkaran yang terdapat pada segitiga yang sama.
• Alas garis bagi salah satu sudut luar dan dua sudut dalam berada pada satu garis lurus, asalkan garis bagi sudut luar tersebut tidak sejajar dengan sisi seberang segitiga.
• Jika dua garis bagi dari satu maka ini

Perlu dicatat bahwa jika tiga garis bagi diberikan, maka tidak mungkin membuat segitiga darinya, bahkan dengan bantuan kompas.

Seringkali, ketika memecahkan masalah, garis bagi suatu segitiga tidak diketahui, tetapi panjangnya perlu ditentukan. Untuk menyelesaikan soal ini, Anda perlu mengetahui sudut yang dibagi dua oleh garis bagi dan sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut tersebut. Dalam hal ini, panjang yang diperlukan didefinisikan sebagai perbandingan dua kali hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut dan kosinus sudut dibagi dua dengan jumlah sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut. Misalnya diberi segitiga sama MKB. Garis bagi muncul dari sudut K dan memotong sisi berlawanan dari MV di titik A. Sudut munculnya garis bagi dilambangkan dengan y. Sekarang mari kita tuliskan semua yang diucapkan dengan kata-kata dalam bentuk rumus: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Jika nilai sudut munculnya garis bagi suatu segitiga tidak diketahui, tetapi semua sisinya diketahui, maka untuk menghitung panjang garis bagi kita akan menggunakan variabel tambahan, yang kita sebut setengah keliling dan dilambangkan dengan huruf P: P=1/2*(MK+KB+MB). Setelah itu, kita akan melakukan beberapa perubahan pada rumus sebelumnya yang menentukan panjang garis bagi, yaitu pada pembilang pecahan kita gandakan hasil kali panjang sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut dan setengah keliling. dan hasil bagi, yang panjang sisi ketiganya dikurangi setengah kelilingnya. Biarkan penyebutnya tidak berubah. Dalam bentuk rumusnya akan terlihat seperti ini: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Garis bagi segitiga sama kaki, bersama dengan sifat-sifat umumnya, juga memiliki beberapa sifat tersendiri. Mari kita ingat segitiga macam apa ini. Segitiga seperti itu mempunyai dua sisi yang sama besar dan sudut-sudut yang berdekatan dengan alasnya sama besar. Oleh karena itu, garis-bagi yang terletak pada sisi-sisi segitiga sama kaki adalah sama besar. Selain itu, garis bagi yang diturunkan ke alas adalah tinggi dan median.

SIFAT-SIFAT BISSECTRIX

Properti Garis Bisektor: Dalam sebuah segitiga, garis bagi membagi sisi yang berlawanan menjadi segmen-segmen yang sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan.

Garis bagi sudut luar Garis bagi sudut luar suatu segitiga memotong perpanjangan sisinya di suatu titik, yang jaraknya ke ujung sisi tersebut masing-masing sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan dalam segitiga. C B A D

Rumus panjang garis bagi:

Rumus untuk mencari panjang ruas garis bagi yang membagi sisi seberang segitiga

Rumus untuk mencari perbandingan panjang ruas yang garis bagi dibagi dengan titik potong garis bagi

Soal 1. Salah satu garis bagi suatu segitiga dibagi dengan titik potong garis-baginya dengan perbandingan 3:2, dihitung dari titik sudutnya. Hitunglah keliling segitiga jika panjang sisi segitiga yang ditarik garis bagi adalah 12 cm.

Penyelesaian Mari kita gunakan rumus untuk mencari perbandingan panjang segmen yang garis bagi dibagi dengan titik potong garis bagi pada segitiga:   a + c = = 18  P ∆ ABC = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30 Jawaban : P = 30cm.

Tugas 2. Garis bagi BD dan CE ∆ ABC berpotongan di titik O. AB=14, BC=6, AC=10. Temukan OD.

Larutan. Mari kita gunakan rumus untuk mencari panjang garis bagi: Kita mempunyai: BD = BD = = Menurut rumus perbandingan ruas-ruas yang garis bagi dibagi dengan titik potong garis bagi: l = . 2 + 1 = total 3 bagian.

ini bagian 1  OD = Jawab : OD =

Soal Pada ∆ ABC digambarkan garis bagi AL dan BK. Hitunglah panjang ruas KL jika AB = 15, AK =7,5, BL = 5. Di ∆ ABC terdapat garis bagi AD, dan melalui titik D terdapat garis yang sejajar AC dan memotong AB di titik E. Tentukan perbandingan segmen tersebut luas ∆ ABC dan ∆ BDE , jika AB = 5, AC = 7. Tentukan garis bagi sudut lancip segitiga siku-siku yang berkaki 24 cm dan 18 cm. Pada segitiga siku-siku, garis bagi sudut lancip membagi kaki yang berhadapan menjadi segmen-segmen yang panjangnya 4 dan 5 cm. Tentukan luas segitiga tersebut.

5. Pada segitiga sama kaki, alas dan sisinya masing-masing sama dengan 5 dan 20 cm. Tentukan garis bagi sudut pada alas segitiga. 6. Tentukan garis bagi sudut siku-siku suatu segitiga yang kaki-kakinya sama besar a dan b. 7. Hitung panjang garis bagi sudut A segitiga ABC dengan panjang sisi a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. 8. Pada segitiga ABC, panjang sisi AB, BC dan AC berada di rasio 2:4:5, masing-masing. Tentukan perbandingan pembagian garis-bagi sudut dalam pada titik potongnya.

Jawaban: Jawaban: Jawaban: Jawaban: Jawaban: Jawaban: Jawaban: Jawaban: Jawaban: AP = 6 AP = 10 cm KL = CP =