Ketimpangan irasional dan sistemnya. Metode interval: menyelesaikan pertidaksamaan tegas yang paling sederhana

Misalnya, pertidaksamaan adalah ekspresi \(x>5\).

Jenis-jenis ketidaksetaraan:

Jika \(a\) dan \(b\) adalah bilangan atau , maka disebut pertidaksamaan numerik. Ini sebenarnya hanya membandingkan dua angka. Ketimpangan tersebut terbagi menjadi setia Dan tidak setia.

Misalnya:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) adalah pertidaksamaan numerik yang salah, karena \(17+3=20\), dan \(20\) kurang dari \(115\) (dan tidak lebih besar atau sama dengan) .

Jika \(a\) dan \(b\) adalah ekspresi yang mengandung variabel, maka kita punya ketimpangan dengan variabel. Ketimpangan tersebut dibagi menjadi beberapa jenis tergantung pada isinya:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabel hanya sampai pangkat satu
\(3x^2-x+5>0\)				Ada variabel yang berpangkat kedua (kuadrat), tetapi tidak ada pangkat yang lebih tinggi (ketiga, keempat, dst.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... dan seterusnya.

Apa solusi untuk mengatasi ketimpangan?

Jika suatu bilangan disubstitusikan ke dalam suatu pertidaksamaan, bukan suatu variabel, maka bilangan tersebut akan berubah menjadi suatu bilangan.

Jika nilai x tertentu mengubah pertidaksamaan awal menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya, maka pertidaksamaan tersebut disebut solusi atas ketimpangan. Jika tidak, maka nilai tersebut bukanlah solusi. Dan begitulah menyelesaikan ketimpangan– Anda perlu menemukan semua solusinya (atau menunjukkan bahwa tidak ada solusi sama sekali).

Misalnya, jika kita mensubstitusi bilangan \(7\) ke dalam pertidaksamaan linier \(x+6>10\), kita mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar: \(13>10\). Dan jika kita substitusikan \(2\), akan terdapat pertidaksamaan numerik yang salah \(8>10\). Artinya, \(7\) merupakan solusi terhadap pertidaksamaan awal, namun \(2\) bukan.

Namun, pertidaksamaan \(x+6>10\) mempunyai solusi lain. Memang, kita akan mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar saat mensubstitusi \(5\), dan \(12\), dan \(138\)... Dan bagaimana kita bisa menemukan semua solusi yang mungkin? Untuk ini mereka menggunakan Untuk kasus kami, kami memiliki:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Artinya, angka apa pun yang lebih besar dari empat akan cocok untuk kita. Sekarang Anda perlu menuliskan jawabannya. Penyelesaian pertidaksamaan biasanya ditulis secara numerik dan juga ditandai pada sumbu bilangan dengan arsiran. Untuk kasus kami, kami memiliki:

Menjawab: \(x\in(4;+\infty)\)

Kapan tanda pertidaksamaan berubah?

Ada satu jebakan besar dalam kesenjangan yang sangat “disukai” oleh siswa:

Saat mengalikan (atau membagi) suatu pertidaksamaan dengan bilangan negatif, pertidaksamaan tersebut dibalik (“lebih” dengan “kurang”, “lebih atau sama dengan” dengan “kurang dari atau sama dengan”, dan seterusnya)

Mengapa ini terjadi? Untuk memahaminya, mari kita lihat transformasi pertidaksamaan numerik \(3>1\). Benar sekali, tiga memang lebih besar dari satu. Pertama, mari kita coba mengalikannya dengan bilangan positif apa pun, misalnya dua:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Seperti yang bisa kita lihat, setelah perkalian, pertidaksamaan tersebut tetap benar. Dan berapapun bilangan positif yang kita kalikan, kita akan selalu mendapatkan pertidaksamaan yang benar. Sekarang mari kita coba mengalikan dengan bilangan negatif, misalnya dikurangi tiga:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Hasilnya adalah pertidaksamaan yang salah, karena minus sembilan lebih kecil dari minus tiga! Artinya, agar pertidaksamaan menjadi benar (dan oleh karena itu, transformasi perkalian dengan negatif adalah “sah”), Anda perlu membalik tanda perbandingannya, seperti ini: \(−9<− 3\).
Dengan pembagian, hasilnya akan sama, Anda dapat memeriksanya sendiri.

Aturan yang tertulis di atas berlaku untuk semua jenis pertidaksamaan, tidak hanya pertidaksamaan numerik.

Contoh: Selesaikan pertidaksamaan \(2(x+1)-1<7+8x\)
Larutan:

\(2x+2-1<7+8x\)	Mari kita pindahkan \(8x\) ke kiri, lalu \(2\) dan \(-1\) ke kanan, jangan lupa ganti tandanya
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Mari kita bagi kedua ruas pertidaksamaan dengan \(-6\), jangan lupa mengubah dari “kurang” menjadi “lebih”
	Mari tandai interval numerik pada sumbu. Ketimpangan, oleh karena itu kita “menusuk” nilai \(-1\) itu sendiri dan tidak menganggapnya sebagai jawaban
	Mari kita tulis jawabannya sebagai interval

Menjawab: \(x\in(-1;\infty)\)

Ketimpangan dan disabilitas

Pertidaksamaan, seperti halnya persamaan, dapat mempunyai batasan pada , yaitu pada nilai x. Oleh karena itu, nilai-nilai yang tidak dapat diterima menurut DZ harus dikeluarkan dari kisaran solusi.

Contoh: Selesaikan pertidaksamaan \(\sqrt(x+1)<3\)

Larutan: Jelas bahwa agar ruas kiri lebih kecil dari \(3\), ekspresi akarnya harus lebih kecil dari \(9\) (lagipula, dari \(9\) hanya \(3\)). Kami mendapatkan:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Semua? Adakah nilai x yang lebih kecil dari \(8\) yang cocok untuk kita? TIDAK! Karena jika kita mengambil, misalnya, nilai \(-5\) yang tampaknya memenuhi syarat, maka nilai tersebut tidak akan menjadi penyelesaian pertidaksamaan awal, karena akan mengarahkan kita pada perhitungan akar suatu bilangan negatif.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Oleh karena itu, kita juga harus memperhitungkan batasan nilai X - tidak boleh ada bilangan negatif di bawah akar. Jadi, kita memiliki persyaratan kedua untuk x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Dan agar x menjadi solusi akhir, ia harus memenuhi kedua persyaratan sekaligus: x harus lebih kecil dari \(8\) (untuk menjadi solusi) dan lebih besar dari \(-1\) (secara prinsip dapat diterima). Merencanakannya pada garis bilangan, kita mendapatkan jawaban akhir:

Menjawab: \(\kiri[-1;8\kanan)\)

Bagaimana cara mengatasi pertidaksamaan linier? Pertama, kita perlu menyederhanakan pertidaksamaan: buka tanda kurung dan masukkan suku-suku serupa.

Mari kita lihat contoh penyelesaian pertidaksamaan linier dengan satu variabel.

Membuka tanda kurung. Jika ada faktor di depan tanda kurung, kalikan faktor tersebut dengan masing-masing suku di dalam tanda kurung. Jika tanda kurung diawali dengan tanda tambah, maka karakter dalam tanda kurung tidak berubah. Jika ada tanda minus di depan tanda kurung, maka tanda di dalam tanda kurung dibalik.

Kami menyajikan istilah serupa.

Kita mendapatkan pertidaksamaan berbentuk ax+b≤cx+d. Kita memindahkan yang tidak diketahui ke satu sisi, yang diketahui ke sisi lain dengan tanda yang berlawanan (pertama-tama kita bisa memindahkan yang tidak diketahui ke satu sisi, yang diketahui ke sisi lain, dan baru kemudian membawa suku-suku serupa).

Kita membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan angka di depan X. Karena 8 lebih besar dari nol, tanda pertidaksamaan tidak berubah:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Karena , titik -2 pada garis bilangan ditandai dengan bayangan. dari -2, hingga minus tak terhingga.

Karena pertidaksamaannya tidak tegas dan titiknya diarsir, kita tuliskan jawabannya -2 dengan tanda kurung siku.

Untuk berpindah dari desimal ke bilangan bulat, Anda dapat mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan 10 (ini tidak perlu. Anda dapat mengerjakan desimal).

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan positif, tanda pertidaksamaan tidak berubah. Setiap suku harus dikalikan 10. Saat mengalikan suatu hasil kali dengan 10, kita menggunakan sifat asosiatif perkalian, yaitu kita mengalikan satu faktor saja dengan 10.

Memperluas tanda kurung:

Berikut istilah serupa:

Kami memindahkan yang tidak diketahui ke satu arah, yang diketahui ke arah lain dengan tanda yang berlawanan:

Kita membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan angka di depan X. Karena -6 bilangan negatif, tanda pertidaksamaannya dibalik:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Kami mengurangi pecahan:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Karena pertidaksamaannya sangat ketat, kita tandai -2/3 pada garis bilangan dengan titik berlubang. Bayangannya mengarah ke kanan, hingga tak terhingga:

Pertidaksamaannya tegas, tidak ada intinya, jadi kita tulis jawabannya -2/3 dengan tanda kurung:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Membuka tanda kurung. Jika hasil kali dua tanda kurung diawali dengan tanda minus, akan lebih mudah untuk melakukan perkalian terlebih dahulu, baru kemudian membuka tanda kurung, mengubah tanda setiap suku menjadi kebalikannya:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Berikut istilah serupa:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Tidak diketahui - di satu arah, diketahui - di sisi lain dengan tanda berlawanan:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Kita membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan angka di depan X. Sejak -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:

Karena pertidaksamaannya sangat ketat, kita tandai 1,6 pada garis bilangan dengan titik berlubang. Bayangan dari 1,6 ke kiri, hingga minus tak terhingga:

Karena pertidaksamaannya tegas dan tidak ada titik, maka kita tuliskan 1,6 pada jawaban dengan tanda kurung.

Konsep ketimpangan matematika muncul pada zaman dahulu kala. Hal ini terjadi ketika manusia primitif mulai perlu membandingkan jumlah dan ukurannya ketika menghitung dan menangani berbagai benda. Sejak zaman kuno, Archimedes, Euclid, dan ilmuwan terkenal lainnya: matematikawan, astronom, perancang, dan filsuf telah menggunakan ketidaksetaraan dalam penalaran mereka.

Namun mereka cenderung menggunakan terminologi verbal dalam karya mereka. Untuk pertama kalinya, tanda-tanda modern untuk menunjukkan konsep “lebih” dan “kurang” dalam bentuk yang diketahui setiap anak sekolah saat ini ditemukan dan dipraktikkan di Inggris. Ahli matematika Thomas Harriot memberikan layanan seperti itu kepada keturunannya. Dan ini terjadi sekitar empat abad lalu.

Ada banyak jenis kesenjangan yang diketahui. Diantaranya ada yang sederhana, memuat satu, dua atau lebih variabel, perbandingan kuadrat, pecahan, perbandingan kompleks, bahkan yang diwakili oleh sistem ekspresi. Cara terbaik untuk memahami cara mengatasi kesenjangan adalah dengan menggunakan berbagai contoh.

Jangan ketinggalan kereta

Pertama, bayangkan seorang penduduk pedesaan sedang bergegas menuju stasiun kereta api yang terletak 20 km dari desanya. Agar tidak ketinggalan kereta yang berangkat jam 11, ia harus berangkat rumah tepat waktu. Pada jam berapa hal ini harus dilakukan jika kecepatannya 5 km/jam? Penyelesaian masalah praktis ini adalah dengan memenuhi syarat ekspresi: 5 (11 - X) ≥ 20, dimana X adalah waktu keberangkatan.

Hal ini dapat dimaklumi, karena jarak yang harus ditempuh seorang penduduk desa ke stasiun sama dengan kecepatan gerak dikalikan dengan jumlah jam perjalanan. Seseorang bisa datang lebih awal, tapi dia tidak boleh terlambat. Mengetahui cara menyelesaikan pertidaksamaan dan menerapkan keterampilan Anda dalam praktik, Anda akan mendapatkan X ≤ 7, itulah jawabannya. Artinya, penduduk desa harus berangkat ke stasiun kereta api pada pukul tujuh pagi atau lebih awal.

Interval numerik pada garis koordinat

Sekarang mari kita cari tahu bagaimana memetakan hubungan yang dijelaskan ke dalam persamaan di atas. Ketimpangan di atas tidaklah ketat. Artinya variabel tersebut dapat bernilai kurang dari 7, atau dapat sama dengan angka tersebut. Mari kita berikan contoh lainnya. Untuk melakukan ini, perhatikan baik-baik empat gambar di bawah ini.

Pada bagian pertama, Anda dapat melihat representasi grafis dari interval [-7; 7]. Terdiri dari sekumpulan angka yang ditempatkan pada garis koordinat dan terletak antara -7 dan 7, termasuk batasnya. Dalam hal ini, titik-titik pada grafik digambarkan sebagai lingkaran terisi, dan intervalnya dicatat menggunakan

Gambar kedua adalah representasi grafis dari ketimpangan yang sangat ketat. Dalam hal ini, angka batas -7 dan 7, yang ditunjukkan dengan titik tertusuk (tidak terisi), tidak termasuk dalam himpunan yang ditentukan. Dan intervalnya sendiri ditulis dalam tanda kurung sebagai berikut: (-7; 7).

Artinya, setelah mengetahui cara menyelesaikan pertidaksamaan jenis ini dan memperoleh jawaban yang serupa, kita dapat menyimpulkan bahwa pertidaksamaan tersebut terdiri dari bilangan-bilangan yang berada di antara batas yang dimaksud, kecuali -7 dan 7. Dua kasus berikutnya harus dievaluasi dalam a cara serupa. Gambar ketiga menunjukkan gambar interval (-∞; -7] U.

Setelah memperoleh keterampilan dalam menangani pertidaksamaan linier, penyelesaiannya dapat dituliskan secara singkat tanpa penjelasan. Dalam hal ini, pertama-tama tuliskan pertidaksamaan linier asli, dan di bawah ini - pertidaksamaan ekuivalen yang diperoleh pada setiap langkah penyelesaian:
3 x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4 .

Menjawab:

x≤−4 atau (−∞, −4] .

Contoh.

Sebutkan semua solusi pertidaksamaan linier −2.7·z>0.

Larutan.

Di sini koefisien a untuk variabel z sama dengan −2.7. Dan koefisien b tidak ada dalam bentuk eksplisit, yaitu sama dengan nol. Oleh karena itu, langkah pertama algoritma penyelesaian pertidaksamaan linier dengan satu variabel tidak perlu dilakukan, karena memindahkan angka nol dari sisi kiri ke kanan tidak akan mengubah bentuk pertidaksamaan aslinya.

Tetap membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan −2.7, jangan lupa mengubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda kebalikannya, karena −2.7 adalah bilangan negatif. Kita punya (−2,7 z):(−2,7)<0:(−2,7) , dan kemudian z<0 .

Dan sekarang secara singkat:
−2.7·z>0;
z<0 .

Menjawab:

z<0 или (−∞, 0) .

Contoh.

Selesaikan ketimpangan tersebut .

Larutan.

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan koefisien a untuk variabel x sama dengan −5, dan dengan koefisien b, yang sesuai dengan pecahan −15/22. Kita lanjutkan sesuai dengan skema yang terkenal: pertama kita pindahkan −15/22 ke ruas kanan yang bertanda berlawanan, setelah itu kita bagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan negatif −5, sambil mengubah tanda pertidaksamaan:

Transisi terakhir di sisi kanan digunakan , lalu dieksekusi .

Menjawab:

Sekarang mari kita beralih ke kasus ketika a=0. Prinsip penyelesaian pertidaksamaan linier ax+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Berdasarkan apa ini? Sangat sederhana: menentukan solusi pertidaksamaan. Bagaimana? Ya, begini caranya: berapa pun nilai variabel x yang kita substitusikan ke pertidaksamaan linier asli, kita akan mendapatkan pertidaksamaan numerik berbentuk b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Mari kita rumuskan argumen di atas dalam bentuk algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• Perhatikan pertidaksamaan numerik b<0 (≤, >, ≥) dan
• jika benar, maka penyelesaian pertidaksamaan awal adalah bilangan berapa pun;
• jika salah, maka pertidaksamaan linier asal tidak mempunyai penyelesaian.

Sekarang mari kita pahami ini dengan contoh.

Contoh.

Selesaikan pertidaksamaan 0·x+7>0.

Larutan.

Untuk setiap nilai variabel x, pertidaksamaan linier 0 x+7>0 akan berubah menjadi pertidaksamaan numerik 7>0. Pertidaksamaan terakhir adalah benar, oleh karena itu, bilangan apa pun merupakan solusi dari pertidaksamaan awal.

Menjawab:

solusinya adalah bilangan apa saja atau (−∞, +∞) .

Contoh.

Apakah pertidaksamaan linier 0·x−12.7≥0 mempunyai solusi?

Larutan.

Jika kita mengganti bilangan apa pun dengan variabel x, maka pertidaksamaan awal berubah menjadi pertidaksamaan numerik −12,7≥0, dan ini salah. Artinya tidak ada satu bilangan pun yang merupakan solusi dari pertidaksamaan linier 0·x−12.7≥0.

Menjawab:

tidak, tidak.

Untuk menyimpulkan bagian ini, kita akan menganalisis solusi dua pertidaksamaan linier, yang kedua koefisiennya sama dengan nol.

Contoh.

Pertidaksamaan linier 0·x+0>0 dan 0·x+0≥0 manakah yang tidak mempunyai penyelesaian, dan manakah yang mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya?

Larutan.

Jika Anda mengganti bilangan apa pun dengan variabel x, maka pertidaksamaan pertama akan berbentuk 0>0, dan pertidaksamaan kedua – 0≥0. Yang pertama salah, dan yang kedua benar. Oleh karena itu, pertidaksamaan linier 0·x+0>0 tidak mempunyai penyelesaian, dan pertidaksamaan 0·x+0≥0 mempunyai banyak penyelesaian yang tak terhingga, yaitu penyelesaiannya adalah bilangan berapa pun.

Menjawab:

pertidaksamaan 0 x+0>0 tidak mempunyai penyelesaian, dan pertidaksamaan 0 x+0≥0 mempunyai banyak penyelesaian.

Metode interval

Pada umumnya metode interval dipelajari pada mata kuliah aljabar sekolah setelah topik penyelesaian pertidaksamaan linier satu variabel. Namun metode interval memungkinkan Anda menyelesaikan berbagai pertidaksamaan, termasuk pertidaksamaan linier. Oleh karena itu, mari kita bahas lebih lanjut.

Mari kita segera perhatikan bahwa disarankan untuk menggunakan metode interval untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan koefisien bukan nol untuk variabel x. Jika tidak, akan lebih cepat dan mudah untuk menarik kesimpulan tentang penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan metode yang dibahas di akhir paragraf sebelumnya.

Metode interval menyiratkan

• memperkenalkan fungsi yang bersesuaian dengan ruas kiri pertidaksamaan, dalam kasus kita – fungsi linier y=a x+b ,
• menemukan angka nolnya, yang membagi domain definisi menjadi interval,
• penentuan tanda-tanda yang mempunyai nilai fungsi pada interval-interval tersebut, yang menjadi dasar ditariknya kesimpulan tentang penyelesaian pertidaksamaan linier.

Mari kumpulkan momen-momen ini algoritma, mengungkapkan cara menyelesaikan pertidaksamaan linier ax+b<0 (≤, >, ≥) untuk a≠0 menggunakan metode interval:

• Angka nol dari fungsi y=a·x+b ditemukan, sehingga a·x+b=0 terselesaikan. Seperti diketahui, untuk a≠0 ia mempunyai akar tunggal, yang kita nyatakan sebagai x 0 .
• Itu dibangun, dan sebuah titik dengan koordinat x 0 digambarkan di atasnya. Apalagi jika pertidaksamaan tegas diselesaikan (dengan tanda< или >), maka titik ini dibuat bersela (dengan bagian tengah yang kosong), dan jika tidak tegas (dengan tanda ≤ atau ≥), maka diberi titik beraturan. Titik ini membagi garis koordinat menjadi dua interval (−∞, x 0) dan (x 0, +∞).
• Tanda-tanda fungsi y=a·x+b pada interval ini ditentukan. Untuk melakukan ini, nilai fungsi ini dihitung pada titik mana pun dalam interval (−∞, x 0), dan tanda dari nilai ini akan menjadi tanda yang diinginkan pada interval (−∞, x 0). Demikian pula, tanda pada interval (x 0 , +∞) berimpit dengan tanda nilai fungsi y=a·x+b pada titik mana pun dalam interval ini. Tetapi Anda dapat melakukannya tanpa perhitungan ini, dan menarik kesimpulan tentang tanda-tanda berdasarkan nilai koefisien a: jika a>0, maka pada interval (−∞, x 0) dan (x 0, +∞) akan ada tanda − dan +, masing-masing, dan jika a >0, maka + dan −.
• Jika pertidaksamaan yang bertanda > atau ≥ diselesaikan, maka diberi tanda tambah di atas celah tersebut, dan jika pertidaksamaan yang bertanda diselesaikan< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Mari kita perhatikan contoh penyelesaian pertidaksamaan linier menggunakan metode interval.

Contoh.

Selesaikan pertidaksamaan −3·x+12>0.

Larutan.

Karena kami menganalisis metode interval, kami akan menggunakannya. Menurut algoritmanya, pertama-tama kita cari akar persamaan −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Selanjutnya, kita menggambar garis koordinat dan menandai sebuah titik di atasnya dengan koordinat 4, dan kita membuat titik ini tertusuk, karena kita menyelesaikan pertidaksamaan tegas:

Sekarang kita menentukan tanda-tanda intervalnya. Untuk menentukan tanda pada interval (−∞, 4), Anda dapat menghitung nilai fungsi y=−3·x+12, misalnya pada x=3. Kita mempunyai −3·3+12=3>0, yang berarti ada tanda + pada interval ini. Untuk menentukan tanda pada interval lain (4, +∞), Anda dapat menghitung nilai fungsi y=−3·x+12, misalnya di titik x=5. Kita punya −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda >, kita mengarsir celah tersebut dengan tanda +, maka gambarnya berbentuk

Berdasarkan gambar yang dihasilkan, kami menyimpulkan bahwa solusi yang diinginkan adalah (−∞, 4) atau dalam notasi lain x<4 .

Menjawab:

(−∞, 4) atau x<4 .

Secara grafis

Pemahaman tentang interpretasi geometri dalam menyelesaikan pertidaksamaan linier dalam satu variabel sangatlah berguna. Untuk mendapatkannya, mari kita pertimbangkan empat pertidaksamaan linier dengan ruas kiri yang sama: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 dan 0,5 x−1≥0 , solusinya adalah x<2 , x≤2 , x>2 dan x≥2, dan gambar juga grafik fungsi linier y=0,5 x−1.

Sangat mudah untuk menyadarinya

• penyelesaian pertidaksamaan 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• penyelesaian pertidaksamaan 0,5 x−1≤0 menyatakan interval dimana grafik fungsi y=0,5 x−1 berada di bawah sumbu Ox atau berimpit dengannya (dengan kata lain, tidak di atas sumbu absis),
• demikian pula, penyelesaian pertidaksamaan 0,5 x−1>0 adalah interval di mana grafik fungsinya berada di atas sumbu Ox (bagian grafik ini ditunjukkan dengan warna merah),
• dan penyelesaian pertidaksamaan 0,5·x−1≥0 adalah interval di mana grafik fungsinya lebih tinggi atau berimpit dengan sumbu absis.

Metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan, khususnya linier, dan menyiratkan pencarian interval di mana grafik fungsi yang bersesuaian dengan sisi kiri pertidaksamaan terletak di atas, di bawah, tidak di bawah atau tidak di atas grafik fungsi yang bersesuaian dengan sisi kanan pertidaksamaan. Dalam kasus pertidaksamaan linier, fungsi ruas kiri adalah y=a·x+b, dan ruas kanan adalah y=0, berimpit dengan sumbu Ox.

Mengingat informasi yang diberikan, mudah untuk dirumuskan algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier secara grafis:

• Grafik fungsi y=a x+b dibuat (mungkin secara skematis) dan
• saat menyelesaikan pertidaksamaan ax+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• ketika menyelesaikan pertidaksamaan ax+b≤0, ditentukan interval yang grafiknya lebih rendah atau berimpit dengan sumbu Ox,
• ketika menyelesaikan pertidaksamaan a x+b>0, ditentukan interval yang grafiknya berada di atas sumbu Ox,
• ketika menyelesaikan pertidaksamaan a·x+b≥0, interval di mana grafik lebih tinggi atau berimpit dengan sumbu Ox ditentukan.

Contoh.

Selesaikan ketimpangan tersebut secara grafis.

Larutan.

Mari kita membuat sketsa grafik fungsi linier . Ini adalah garis lurus yang menurun karena koefisien x negatif. Kita juga membutuhkan koordinat titik potongnya dengan sumbu x, yang merupakan akar persamaan , yang sama dengan . Untuk kebutuhan kita, kita bahkan tidak perlu menggambarkan sumbu Oy. Jadi gambar skema kita akan terlihat seperti ini

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda >, kita tertarik pada interval di mana grafik fungsinya berada di atas sumbu Ox. Untuk lebih jelasnya, mari kita soroti bagian grafik ini dengan warna merah, dan untuk memudahkan menentukan interval yang bersesuaian dengan bagian ini, mari kita soroti dengan warna merah bagian bidang koordinat di mana bagian grafik yang dipilih berada, seperti pada gambar di bawah ini:

Celah yang kami minati adalah bagian sumbu Kerbau yang disorot dengan warna merah. Jelas ini adalah sinar bilangan terbuka . Ini adalah solusi yang kami cari. Perhatikan bahwa jika kita menyelesaikan pertidaksamaan bukan dengan tanda >, tetapi dengan tanda pertidaksamaan tidak tegas ≥, maka kita harus menjumlahkan jawabannya, karena pada titik ini grafik fungsinya berimpit dengan sumbu Ox .y=0·x+7, yang sama dengan y=7, mendefinisikan suatu garis lurus pada bidang koordinat yang sejajar dengan sumbu Ox dan terletak di atasnya. Oleh karena itu, pertidaksamaan 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Dan grafik fungsi y=0·x+0 yang sama dengan y=0 adalah garis lurus yang berimpit dengan sumbu Ox. Oleh karena itu, penyelesaian pertidaksamaan 0·x+0≥0 adalah himpunan semua bilangan real.

Menjawab:

pertidaksamaan kedua, penyelesaiannya adalah sembarang bilangan real.

Ketimpangan yang mereduksi menjadi linear

Pertidaksamaan yang jumlahnya sangat banyak dapat digantikan dengan pertidaksamaan linier yang ekuivalen dengan menggunakan transformasi ekuivalen, dengan kata lain direduksi menjadi pertidaksamaan linier. Ketimpangan seperti ini disebut ketidaksetaraan yang direduksi menjadi linier.

Di sekolah, hampir bersamaan dengan penyelesaian pertidaksamaan linier, pertidaksamaan sederhana yang direduksi menjadi pertidaksamaan linier juga dipertimbangkan. Itu adalah kasus khusus seluruh kesenjangan yaitu pada bagian kiri dan kanannya terdapat ekspresi utuh yang mewakili atau binomial linier, atau dikonversi menjadi mereka oleh dan . Agar lebih jelas, kami berikan beberapa contoh pertidaksamaan tersebut: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Pertidaksamaan yang bentuknya serupa dengan pertidaksamaan di atas selalu dapat direduksi menjadi pertidaksamaan linier. Hal ini dapat dilakukan dengan membuka tanda kurung, membawa suku-suku sejenis, menyusun ulang suku-suku tersebut, dan memindahkan suku-suku dari satu sisi pertidaksamaan ke sisi pertidaksamaan lainnya yang bertanda berlawanan.

Misalnya, untuk mereduksi pertidaksamaan 5−2 x>0 menjadi linier, cukup dengan menata ulang suku-suku di ruas kirinya, kita mendapatkan −2 x+5>0. Untuk mengurangi pertidaksamaan kedua 7·(x−1)+3≤4·x−2+x menjadi linier, Anda memerlukan beberapa langkah lagi: di sisi kiri kita membuka tanda kurung 7·x−7+3≤4· x−2+x , setelah Untuk mencapai hal ini, kita sajikan suku-suku serupa di kedua ruas 7 x−4≤5 x−2 , lalu kita pindahkan suku-suku tersebut dari ruas kanan ke ruas kiri 7 x−4−5 x+2 ≤0 , terakhir, kami menyajikan suku serupa di ruas kiri 2 ·x−2≤0 . Demikian pula, pertidaksamaan ketiga dapat direduksi menjadi pertidaksamaan linier.

Karena ketidaksetaraan tersebut selalu dapat direduksi menjadi ketidaksetaraan linier, beberapa penulis bahkan menyebutnya linier juga. Namun kami akan tetap menganggapnya dapat direduksi menjadi linier.

Sekarang menjadi jelas mengapa kesenjangan tersebut dianggap bersamaan dengan kesenjangan linier. Dan prinsip penyelesaiannya benar-benar sama: dengan melakukan transformasi ekuivalen, transformasi tersebut dapat direduksi menjadi pertidaksamaan dasar yang mewakili solusi yang diinginkan.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan jenis ini, pertama-tama Anda dapat mereduksinya menjadi pertidaksamaan linier, lalu menyelesaikan pertidaksamaan linier tersebut. Namun akan lebih rasional dan nyaman untuk melakukan ini:

• setelah membuka tanda kurung, kumpulkan semua suku dengan variabel di sisi kiri pertidaksamaan, dan semua angka di sisi kanan,
• lalu bawakan istilah serupa,
• lalu bagi kedua ruas pertidaksamaan yang dihasilkan dengan koefisien x (jika tentu saja berbeda dari nol). Ini akan memberikan jawabannya.

Contoh.

Selesaikan pertidaksamaan 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Larutan.

Pertama, buka tanda kurung, alhasil kita mendapatkan pertidaksamaan 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Sekarang mari kita berikan suku serupa: 6 x+15≤6 x−17 . Lalu kita pindahkan suku-sukunya dari ruas kiri, kita mendapatkan 6 x+15−6 x+17≤0, dan sekali lagi kita bawa suku-suku serupa (yang membawa kita ke pertidaksamaan linier 0 x+32≤0) dan kita mendapatkan 32≤ 0. Dengan cara inilah kita sampai pada pertidaksamaan numerik yang salah, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa pertidaksamaan awal tidak mempunyai solusi.

Menjawab:

tidak ada solusi.

Kesimpulannya, kami mencatat bahwa masih banyak kesenjangan lain yang dapat direduksi menjadi kesenjangan linier, atau jenis kesenjangan yang dibahas di atas. Misalnya saja solusinya ketimpangan eksponensial 5 2 x−1 ≥1 direduksi menjadi penyelesaian pertidaksamaan linier 2 x−1≥0 . Namun kita akan membicarakan hal ini ketika menganalisis solusi terhadap pertidaksamaan dalam bentuk yang sesuai.

Referensi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 9. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-13, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Aljabar dan awal mula analisis matematika. kelas 11. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum (tingkat profil) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.

Ketidaksamaan adalah ekspresi dengan, ≤, atau ≥. Misalnya, 3x - 5 Menyelesaikan pertidaksamaan berarti mencari semua nilai variabel yang pertidaksamaannya benar. Masing-masing bilangan tersebut merupakan penyelesaian pertidaksamaan, dan himpunan semua penyelesaian tersebut adalah bilangan tersebut banyak solusi. Pertidaksamaan yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama disebut kesenjangan yang setara.

Ketimpangan linier

Prinsip penyelesaian pertidaksamaan mirip dengan prinsip penyelesaian persamaan.

Prinsip-prinsip untuk mengatasi kesenjangan
Untuk sembarang bilangan real a, b, dan c:
Prinsip menambah pertidaksamaan: Jika sebuah Prinsip perkalian untuk pertidaksamaan: Jika a 0 benar maka ac Jika a bc juga benar.
Pernyataan serupa juga berlaku untuk a ≤ b.

Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan tersebut harus dibalik.
Pertidaksamaan tingkat pertama, seperti pada contoh 1 (di bawah), disebut kesenjangan linier.

Contoh 1 Selesaikan setiap pertidaksamaan berikut. Kemudian gambarkan serangkaian solusi.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Larutan
Bilangan apa pun yang kurang dari 11/5 adalah suatu penyelesaian.
Himpunan penyelesaiannya adalah (x|x
Untuk memeriksanya, kita dapat menggambar grafik y 1 = 3x - 5 dan y 2 = 6 - 2x. Maka jelas bahwa untuk x
Himpunan solusinya adalah (x|x ≤ 1), atau (-∞, 1).Grafik himpunan solusi ditunjukkan di bawah ini.

Ketimpangan ganda

Ketika dua pertidaksamaan dihubungkan dengan sebuah kata Dan, atau, lalu terbentuk ketimpangan ganda. Ketimpangan ganda seperti
-3 Dan 2x + 5 ≤ 7
ditelepon terhubung, karena menggunakan Dan. Entri -3 Pertidaksamaan rangkap dapat diselesaikan dengan menggunakan prinsip penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan.

Contoh 2 Selesaikan -3 Larutan Kita punya

Himpunan solusi (x|x ≤ -1 atau x > 3). Kita juga dapat menuliskan penyelesaiannya dengan menggunakan notasi interval dan simbol untuk asosiasi atau memasukkan kedua himpunan: (-∞ -1] (3, ∞) Grafik himpunan solusi ditunjukkan di bawah ini.

Untuk memeriksanya, mari kita plot y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, dan y 3 = 1. Perhatikan bahwa untuk (x|x ≤ -1 atau x > 3), kamu 1 ≤ kamu 2 atau kamu 1 > kamu 3 .

Pertidaksamaan dengan nilai absolut (modulus)

Ketimpangan terkadang mengandung moduli. Properti berikut digunakan untuk menyelesaikannya.
Untuk a > 0 dan ekspresi aljabar x:
|x| |x| > a setara dengan x atau x > a.
Pernyataan serupa untuk |x| ≤ a dan |x| ≥ sebuah.

Misalnya,
|x| |kamu| ≥ 1 setara dengan y ≤ -1 atau kamu ≥ 1;
dan |2x + 3| ≤ 4 setara dengan -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Contoh 4 Selesaikan setiap pertidaksamaan berikut. Buat grafik himpunan solusi.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Larutan
a) |3x + 2|

Himpunan solusinya adalah (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Himpunan penyelesaiannya adalah (x|x ≤ 2 atau x ≥ 3), atau (-∞, 2] )