Saat mempelajari aljabar di sekolah menengah (kelas 9), salah satu topik penting adalah studi tentang barisan numerik, yang meliputi barisan - geometri dan aritmatika. Pada artikel ini kita akan melihat barisan aritmatika dan contoh solusinya.

Apa yang dimaksud dengan perkembangan aritmatika?

Untuk memahami hal tersebut, perlu didefinisikan perkembangan yang dimaksud, serta memberikan rumus-rumus dasar yang nantinya akan digunakan dalam menyelesaikan masalah.

Aritmatika atau merupakan himpunan bilangan rasional terurut, yang masing-masing anggotanya berbeda dari bilangan sebelumnya dengan suatu nilai konstan. Nilai ini disebut selisih. Artinya, dengan mengetahui anggota deret bilangan terurut dan selisihnya, Anda dapat mengembalikan seluruh perkembangan aritmatika.

Mari kita beri contoh. Barisan bilangan berikut merupakan barisan aritmatika: 4, 8, 12, 16, ..., karena selisihnya dalam hal ini adalah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi himpunan bilangan 3, 5, 8, 12, 17 tidak dapat lagi diklasifikasikan sebagai jenis barisan yang dipertimbangkan, karena selisihnya bukan merupakan nilai konstan (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Rumus Penting

Sekarang mari kita sajikan rumus dasar yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan perkembangan aritmatika. Mari kita nyatakan dengan simbol a n anggota barisan ke-n, di mana n adalah bilangan bulat. Perbedaannya kami nyatakan dengan huruf latin d. Maka ekspresi berikut ini valid:

1. Untuk menentukan nilai suku ke-n, rumus berikut ini cocok: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Untuk menentukan jumlah n suku pertama: S n = (a n +a 1)*n/2.

Untuk memahami contoh perkembangan aritmatika dengan solusi di kelas 9, cukup mengingat kedua rumus ini, karena setiap masalah dari jenis yang dipertimbangkan didasarkan pada penggunaannya. Perlu juga diingat bahwa selisih perkembangan ditentukan dengan rumus: d = a n - a n-1.

Contoh #1: menemukan anggota yang tidak dikenal

Mari kita berikan contoh sederhana barisan aritmatika dan rumus-rumus yang perlu digunakan untuk menyelesaikannya.

Misalkan barisan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, Anda perlu mencari lima suku di dalamnya.

Dari kondisi soal sudah diketahui 4 suku pertama. Yang kelima dapat didefinisikan dalam dua cara:

1. Mari kita hitung dulu selisihnya. Kita mempunyai: d = 8 - 10 = -2. Demikian pula, Anda dapat mengajak dua anggota lainnya berdiri bersebelahan. Misalnya d = 4 - 6 = -2. Karena diketahui d = a n - a n-1, maka d = a 5 - a 4, sehingga diperoleh: a 5 = a 4 + d. Kami mengganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Cara kedua juga membutuhkan pengetahuan tentang selisih perkembangan yang dimaksud, jadi Anda harus menentukannya terlebih dahulu seperti gambar di atas (d = -2). Mengetahui suku pertama a 1 = 10, kita menggunakan rumus n bilangan barisan tersebut. Kita mempunyai: an = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Mengganti n = 5 ke dalam ekspresi terakhir, kita mendapatkan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Seperti yang Anda lihat, kedua solusi tersebut memberikan hasil yang sama. Perhatikan bahwa dalam contoh ini perbedaan perkembangan d adalah nilai negatif. Barisan seperti ini disebut menurun, karena setiap suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya.

Contoh #2: perbedaan perkembangan

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugasnya, berikan contoh cara mencari selisih suatu barisan aritmatika.

Diketahui bahwa pada suatu barisan aljabar suku ke-1 sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Kita perlu mencari selisihnya dan mengembalikan barisan ini ke suku ke-7.

Mari kita gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Mari kita substitusikan data yang diketahui dari kondisi tersebut ke dalamnya, yaitu bilangan a 1 dan a 7, kita peroleh: 18 = 6 + 6 * d. Dari persamaan ini Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) /6 = 2. Jadi, kita telah menjawab soal bagian pertama.

Untuk mengembalikan barisan tersebut ke suku ke-7, sebaiknya menggunakan definisi barisan aljabar, yaitu a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Hasilnya, kita mengembalikan seluruh barisan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Contoh No. 3: menyusun perkembangan

Mari kita membuat masalah ini semakin rumit. Sekarang kita perlu menjawab pertanyaan bagaimana mencari barisan aritmatika. Contoh berikut dapat diberikan: diberikan dua bilangan, misalnya - 4 dan 5. Perlu dibuat barisan aljabar sehingga tiga suku lagi ditempatkan di antara keduanya.

Sebelum Anda mulai memecahkan masalah ini, Anda perlu memahami tempat apa yang akan ditempati oleh angka-angka ini dalam perkembangan di masa depan. Karena akan ada tiga suku lagi di antara keduanya, maka a 1 = -4 dan a 5 = 5. Setelah menetapkan ini, kita beralih ke soal yang mirip dengan soal sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n kita menggunakan rumus, kita mendapatkan: a 5 = a 1 + 4 * d. Dari: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Yang kita peroleh di sini bukanlah nilai bilangan bulat dari selisihnya, melainkan bilangan rasional, sehingga rumus barisan aljabarnya tetap sama.

Sekarang mari kita tambahkan perbedaan yang ditemukan ke 1 dan kembalikan suku-suku perkembangan yang hilang. Kita peroleh: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, yang bertepatan dengan kondisi permasalahannya.

Contoh No. 4: perkembangan suku pertama

Mari kita terus memberikan contoh barisan aritmatika beserta penyelesaiannya. Dalam semua soal sebelumnya, bilangan pertama dari perkembangan aljabar telah diketahui. Sekarang mari kita perhatikan jenis soal yang berbeda: misalkan diberikan dua bilangan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Kita perlu mencari bilangan mana yang memulai barisan ini.

Rumus yang digunakan sejauh ini mengasumsikan pengetahuan tentang a 1 dan d. Dalam rumusan masalah, tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini. Namun demikian, kami akan menuliskan ekspresi untuk setiap suku yang informasinya tersedia: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami menerima dua persamaan di mana ada 2 besaran yang tidak diketahui (a 1 dan d). Artinya masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linear.

Cara termudah untuk menyelesaikan sistem ini adalah dengan menyatakan angka 1 pada setiap persamaan dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, maka selisih d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (hanya diberikan 3 tempat desimal).

Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1. Misal pertama: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jika Anda ragu dengan hasil yang diperoleh, Anda dapat memeriksanya, misalnya menentukan suku ke-43 dari perkembangan yang ditentukan dalam kondisi. Didapatkan: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Kesalahan kecil ini disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.

Contoh No. 5: jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh solusi jumlah barisan aritmatika.

Misalkan diberikan suatu perkembangan numerik dalam bentuk berikut: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 angka-angka ini?

Berkat perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diatasi, yaitu dengan menjumlahkan semua angka secara berurutan, yang akan dilakukan komputer segera setelah seseorang menekan tombol Enter. Namun permasalahan tersebut dapat diselesaikan secara mental jika memperhatikan fakta bahwa deret bilangan yang disajikan merupakan barisan aljabar, dan selisihnya sama dengan 1. Dengan menerapkan rumus penjumlahan, kita memperoleh: S n = n * ( a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Menarik untuk dicatat bahwa masalah ini disebut “Gaussian” karena pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, yang baru berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya di kepalanya dalam beberapa detik. Anak laki-laki tersebut tidak mengetahui rumus jumlah suatu barisan aljabar, tetapi ia memperhatikan bahwa jika Anda menjumlahkan bilangan-bilangan di ujung barisan secara berpasangan, Anda selalu mendapatkan hasil yang sama, yaitu 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlahnya tepat 50 (100/2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar cukup mengalikan 50 dengan 101.

Contoh No. 6: jumlah suku dari n sampai m

Contoh umum lainnya dari jumlah suatu barisan aritmatika adalah sebagai berikut: jika diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu mencari jumlah suku-sukunya dari 8 hingga 14 yang akan sama dengan .

Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan pencarian suku yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena istilahnya sedikit, metode ini tidak memakan banyak tenaga. Namun demikian, diusulkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan metode kedua, yang lebih universal.

Idenya adalah untuk memperoleh rumus jumlah barisan aljabar antara suku m dan n, dengan n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus tersebut, kami menulis dua ekspresi untuk penjumlahannya:

1. S m = m * (saya + a 1) / 2.
2. S n = n * (an + a 1) / 2.

Karena n > m, jelaslah bahwa jumlah ke-2 termasuk jumlah pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil selisih antara jumlah-jumlah ini dan menambahkan suku a m ke dalamnya (dalam hal mengambil selisihnya, dikurangi dari jumlah S n), kita akan memperoleh jawaban yang diperlukan untuk soal tersebut. Kita mempunyai: S mn = S n - S m + am =n * (a 1 + an) / 2 - m *(a 1 + am)/2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n/2 + pagi * (1- m/2). Rumus a n dan m perlu disubstitusikan ke dalam ekspresi ini. Maka kita mendapatkan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kita, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Substitusikan bilangan-bilangan ini, kita peroleh: S mn = 301.

Seperti terlihat dari penyelesaian di atas, semua soal didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah himpunan suku pertama. Sebelum mulai menyelesaikan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang perlu Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.

Tip lainnya adalah mengupayakan kesederhanaan, yaitu jika Anda dapat menjawab suatu pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematis yang rumit, maka Anda perlu melakukan hal itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, pada contoh barisan aritmatika dengan solusi No. 6, kita dapat berhenti pada rumus S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, dan bagilah keseluruhan masalah menjadi subtugas yang terpisah (dalam hal ini, temukan dulu suku a n dan a m).

Jika Anda ragu dengan hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Kami menemukan cara menemukan perkembangan aritmatika. Jika Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.

Ya, ya: perkembangan aritmatika bukanlah mainan untuk Anda :)

Baiklah teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka bukti batas internal memberi tahu saya bahwa Anda belum tahu apa itu barisan aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti ini: SANGAT!) ingin tahu. Oleh karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan langsung ke pokok permasalahan.

Pertama, beberapa contoh. Mari kita lihat beberapa kumpulan angka:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apa kesamaan dari semua rangkaian ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Namun sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari elemen sebelumnya dengan nomor yang sama.

Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah angka-angka yang berurutan, setiap set berikutnya lebih banyak satu dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, selisih angka-angka yang berdekatan sudah lima, tetapi selisihnya tetap konstan. Dalam kasus ketiga, ada akar-akarnya sama sekali. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yaitu dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya hanya bertambah sebesar $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).

Jadi: semua barisan tersebut disebut barisan aritmatika. Mari kita berikan definisi yang tegas:

Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Besarnya perbedaan angka-angka tersebut disebut selisih perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah perkembangannya sendiri, $d$ adalah selisihnya.

Dan hanya beberapa catatan penting. Pertama, hanya kemajuan yang dipertimbangkan dipesan urutan angka: angka-angka tersebut boleh dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Nomor tidak dapat diatur ulang atau ditukar.

Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu dalam semangat (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah merupakan perkembangan yang tak ada habisnya. Elipsis setelah angka empat sepertinya mengisyaratkan bahwa masih ada beberapa angka lagi yang akan datang. Banyak sekali, misalnya. :)

Saya juga ingin mencatat bahwa kemajuan dapat meningkat atau menurun. Kita telah melihat peningkatan - himpunan yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh perkembangan yang menurun:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oke, oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi selebihnya, saya rasa, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Perkembangan aritmatika disebut:

1. meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari elemen sebelumnya;
2. menurun jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari elemen sebelumnya.

Selain itu, ada yang disebut barisan "stasioner" - barisan tersebut terdiri dari bilangan berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan kemajuan yang meningkat dan kemajuan yang menurun? Untungnya, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:

1. Jika $d \gt 0$, maka perkembangannya meningkat;
2. Jika $d \lt 0$, maka perkembangannya jelas menurun;
3. Terakhir, ada kasus $d=0$ - dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi barisan stasioner dari angka-angka identik: (1; 1; 1; 1; ...), dll.

Mari kita coba menghitung selisih $d$ untuk tiga perkembangan menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan mengurangi angka di sebelah kiri dari angka di sebelah kanan. Ini akan terlihat seperti ini:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang bisa kita lihat, dalam ketiga kasus tersebut, perbedaannya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita sedikit banyak memahami definisinya, sekarang saatnya mencari tahu bagaimana perkembangan dijelaskan dan properti apa yang dimilikinya.

Syarat perkembangan dan rumus perulangan

Karena elemen-elemen dari barisan kita tidak dapat ditukar, mereka dapat diberi nomor:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Kanan\)\]

Elemen-elemen individual dari himpunan ini disebut anggota suatu perkembangan. Mereka ditandai dengan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dst.

Selain itu, seperti yang telah kita ketahui, suku-suku yang berdekatan dari perkembangan tersebut dihubungkan dengan rumus:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah Kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Singkatnya, untuk mencari suku ke $n$ suatu perkembangan, Anda perlu mengetahui suku ke $n-1$ dan selisih $d$. Rumus ini disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan bilangan apa pun hanya dengan mengetahui bilangan sebelumnya (dan sebenarnya semua bilangan sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun menjadi suku pertama dan selisihnya:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemukan rumus ini. Mereka suka memberikannya di berbagai buku referensi dan buku soal. Dan dalam buku pelajaran matematika yang masuk akal, ini adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.

Tugas No.1. Tuliskan tiga suku pertama barisan aritmatika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Larutan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $((a)_(1))=8$ dan selisih perkembangannya $d=-5$. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: (8; 3; −2)

Itu saja! Harap dicatat: kemajuan kami menurun.

Tentu saja, $n=1$ tidak dapat diganti - istilah pertama sudah kita ketahui. Namun, dengan mengganti kesatuan, kami yakin bahwa bahkan untuk suku pertama, rumus kami berhasil. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika yang dangkal.

Tugas No.2. Tuliskan tiga suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku ketujuh sama dengan −40 dan suku ketujuh belas sama dengan −50.

Larutan. Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam istilah yang familiar:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(sejajarkan) \kanan.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Kanan.\]

Saya beri tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Sekarang perhatikan bahwa jika kita mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kita berhak melakukan ini, karena kita mempunyai sistem), kita mendapatkan ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \kanan)=-50-\left(-40 \kanan); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(sejajarkan)\]

Begitulah mudahnya menemukan perbedaan perkembangannya! Yang tersisa hanyalah mengganti bilangan yang ditemukan ke dalam persamaan sistem mana pun. Misalnya, yang pertama:

\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]

Sekarang, setelah mengetahui suku pertama dan selisihnya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(sejajarkan)\]

Siap! Masalahnya terpecahkan.

Jawaban: (−34; −35; −36)

Perhatikan sifat menarik dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku $n$th dan $m$th dan mengurangkannya satu sama lain, kita mendapatkan selisih perkembangan dikalikan dengan bilangan $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Properti sederhana namun sangat berguna yang pasti perlu Anda ketahui - dengan bantuannya Anda dapat mempercepat solusi banyak masalah perkembangan secara signifikan. Berikut ini contoh jelasnya:

Tugas No.3. Suku kelima suatu barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari perkembangan ini.

Larutan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu mencari $((a)_(15))$, kita perhatikan hal berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, maka $5d=6$, dari mana kita mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: 20.4

Itu saja! Kami tidak perlu membuat sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama serta selisihnya - semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita lihat jenis masalah lainnya - mencari suku negatif dan positif dari suatu perkembangan. Bukan rahasia lagi bahwa jika suatu perkembangan meningkat, dan suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku-suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: kondisi perkembangan yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.

Pada saat yang sama, tidak selalu mungkin untuk menemukan momen ini secara langsung dengan menelusuri elemen-elemennya secara berurutan. Seringkali, soal ditulis sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungannya akan memakan beberapa lembar kertas—kita hanya akan tertidur saat menemukan jawabannya. Oleh karena itu, mari kita coba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Tugas No.4. Berapa banyak suku negatif pada barisan aritmatika −38.5; −35.8; ...?

Larutan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dari situ langsung kita cari perbedaannya:

Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga perkembangannya meningkat. Suku pertama adalah negatif, jadi suatu saat kita akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan hal ini akan terjadi.

Mari kita coba mencari tahu berapa lama (yaitu sampai berapa bilangan asli $n$) negativitas dari suku-suku tersebut tetap ada:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah Kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah Kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \end(sejajarkan)\]

Baris terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, kita hanya puas dengan nilai bilangan bulat dari bilangan tersebut (apalagi: $n\in \mathbb(N)$), jadi bilangan terbesar yang diizinkan adalah $n=15$, dan tidak berarti 16 .

Tugas No.5. Dalam perkembangan aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tentukan bilangan suku positif pertama dari barisan tersebut.

Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan masalah sebelumnya, tetapi kita tidak mengetahui $((a)_(1))$. Namun suku-suku tetangganya sudah diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, sehingga kita dapat dengan mudah mencari perbedaan perkembangannya:

Selain itu, mari kita coba nyatakan suku kelima melalui suku pertama dan selisihnya menggunakan rumus standar:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan tugas sebelumnya. Mari kita cari tahu di titik mana angka positif akan muncul dalam urutan kita:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah Kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(sejajarkan)\]

Solusi bilangan bulat minimum dari pertidaksamaan ini adalah angka 56.

Harap dicatat: dalam tugas terakhir semuanya bermuara pada ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi $n=55$ tidak cocok untuk kita.

Sekarang kita telah mempelajari cara memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari properti deret aritmatika lain yang sangat berguna, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak setara di masa depan :)

Rata-rata aritmatika dan lekukan yang sama

Mari kita perhatikan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:

Suku-suku barisan aritmatika pada garis bilangan

Saya secara khusus menandai istilah arbitrer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, dll. Karena aturan yang akan saya ceritakan sekarang berlaku sama untuk "segmen" mana pun.

Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita mengingat rumus berulang dan menuliskannya untuk semua suku yang ditandai:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(sejajarkan)\]

Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi apa? Dan fakta bahwa suku $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - keduanya juga dihapus dari $((a)_(n) )$ pada jarak yang sama sama dengan $2d$. Kita dapat melanjutkannya tanpa batas waktu, tetapi maknanya diilustrasikan dengan baik oleh gambar

Syarat-syarat perkembangannya terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apa artinya ini bagi kita? Artinya $((a)_(n))$ dapat ditemukan jika bilangan tetangganya diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kita telah memperoleh pernyataan yang sangat bagus: setiap suku suatu barisan aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku tetangganya! Selain itu: kita dapat mundur dari $((a)_(n))$ ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah - dan rumusnya akan tetap benar:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita dapat dengan mudah menemukan $((a)_(150))$ jika kita mengetahui $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak soal yang dirancang khusus untuk menggunakan mean aritmatika. Lihatlah:

Tugas No.6. Tentukan semua nilai $x$ yang bilangan $-6((x)^(2))$, $x+1$, dan $14+4((x)^(2))$ merupakan suku-suku yang berurutan perkembangan aritmatika (dalam urutan yang ditunjukkan).

Larutan. Karena bilangan-bilangan ini adalah anggota suatu barisan, kondisi rata-rata aritmatika terpenuhi untuk bilangan-bilangan tersebut: elemen pusat $x+1$ dapat dinyatakan dalam elemen-elemen tetangganya:

\[\begin(sejajarkan) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Hasilnya adalah persamaan kuadrat klasik. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.

Jawaban: −3; 2.

Tugas No.7. Temukan nilai $$ yang bilangan $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk barisan aritmatika (dalam urutan itu).

Larutan. Mari kita nyatakan kembali suku tengah melalui mean aritmatika suku-suku tetangganya:

\[\begin(sejajarkan) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \kiri| \cdot 2 \kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Persamaan kuadrat lagi. Dan sekali lagi ada dua akar: $x=6$ dan $x=1$.

Jawaban: 1; 6.

Jika dalam proses pemecahan masalah Anda menemukan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada teknik luar biasa yang memungkinkan Anda memeriksa: apakah kita sudah menyelesaikan masalah dengan benar?

Katakanlah dalam soal No. 6 kita menerima jawaban −3 dan 2. Bagaimana kita dapat memeriksa kebenaran jawaban tersebut? Mari kita sambungkan ke kondisi aslinya dan lihat apa yang terjadi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang harus membentuk barisan aritmatika. Mari kita substitusikan $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat angka −54; −2; 50 yang berbeda 52 tentu merupakan barisan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]

Sekali lagi merupakan kemajuan, tetapi dengan selisih 27. Dengan demikian, masalah terselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa sendiri masalah kedua, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.

Secara umum, ketika memecahkan masalah terakhir, kami menemukan fakta menarik lainnya yang juga perlu diingat:

Jika tiga bilangan sedemikian rupa sehingga bilangan kedua merupakan rata-rata aritmatika dari bilangan pertama dan terakhir, maka bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.

Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk secara harfiah “membangun” kemajuan yang diperlukan berdasarkan kondisi masalah. Namun sebelum kita melakukan “konstruksi” tersebut, kita perlu memperhatikan satu fakta lagi, yang langsung mengikuti apa yang telah dibahas.

Mengelompokkan dan menjumlahkan elemen

Mari kita kembali ke sumbu bilangan lagi. Mari kita perhatikan ada beberapa anggota perkembangan, mungkin di antaranya. bernilai banyak anggota lainnya:

Ada 6 elemen yang ditandai pada garis bilangan

Mari kita coba menyatakan “ekor kiri” melalui $((a)_(n))$ dan $d$, dan “ekor kanan” melalui $((a)_(k))$ dan $d$. Ini sangat sederhana:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut ini sama:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]

Sederhananya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan suatu bilangan $S$, dan kemudian mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke arah yang berlawanan (ke arah satu sama lain atau sebaliknya menjauh), Kemudian jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Hal ini dapat direpresentasikan dengan jelas secara grafis:

Lekukan yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah dengan tingkat kompleksitas yang jauh lebih tinggi daripada masalah yang kita bahas di atas. Misalnya, ini:

Tugas No.8. Tentukan selisih barisan aritmatika yang suku pertamanya 66 dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.

Larutan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]

Jadi, kita tidak mengetahui perbedaan perkembangan $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun berdasarkan perbedaan tersebut, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]

Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya mengambil total pengali 11 dari braket kedua. Jadi, hasil kali yang dibutuhkan adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $d$. Oleh karena itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita memperluas tanda kurung, kita mendapatkan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, koefisien suku tertinggi adalah 11 - ini adalah bilangan positif, jadi kita sebenarnya berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:

grafik fungsi kuadrat - parabola

Harap diperhatikan: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada titik puncaknya dengan absis $((d)_(0))$. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini menggunakan skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan lebih masuk akal untuk diperhatikan bahwa titik sudut yang diinginkan terletak pada sumbu simetri parabola, maka titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(sejajarkan) & f\kiri(d \kanan)=0; \\ & 11\cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(sejajarkan)\]

Itu sebabnya saya tidak terburu-buru membuka tanda kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat-sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absisnya sama dengan mean aritmatika dari bilangan −66 dan −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang diberikan oleh angka yang ditemukan kepada kita? Dengan itu, produk yang dibutuhkan mengambil nilai terkecil (omong-omong, kami tidak pernah menghitung $((y)_(\min ))$ - ini tidak diwajibkan dari kami). Selain itu, angka ini adalah selisih dari perkembangan aslinya, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)

Jawaban: −36

Tugas No.9. Di antara bilangan $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ masukkan tiga bilangan sehingga bersama-sama dengan bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.

Larutan. Intinya, kita perlu membuat barisan lima angka, yang angka pertama dan terakhirnya sudah diketahui. Mari kita nyatakan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]

Perhatikan bahwa bilangan $y$ adalah “tengah” barisan kita - bilangan tersebut berjarak sama dari bilangan $x$ dan $z$, dan dari bilangan $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika saat ini kita tidak dapat memperoleh $y$ dari angka $x$ dan $z$, maka situasinya berbeda dengan akhir perkembangannya. Mari kita ingat mean aritmatika:

Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari angka sisanya. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ yang baru saja kita temukan. Itu sebabnya

Dengan menggunakan alasan serupa, kami menemukan jumlah sisanya:

Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban sesuai urutan sisipannya di antara angka aslinya.

Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas No.10. Di antara angka 2 dan 42, sisipkan beberapa angka yang bersama-sama dengan angka-angka tersebut membentuk barisan aritmatika, jika diketahui jumlah angka pertama, kedua, dan terakhir yang disisipkan adalah 56.

Larutan. Masalah yang lebih kompleks, yang, bagaimanapun, diselesaikan sesuai dengan skema yang sama seperti yang sebelumnya - melalui mean aritmatika. Soalnya kita tidak tahu persis berapa angka yang perlu dimasukkan. Oleh karena itu, mari kita asumsikan dengan pasti bahwa setelah memasukkan semuanya akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, perkembangan aritmatika yang diperlukan dapat direpresentasikan dalam bentuk:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Namun perhatikan bahwa angka $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 di tepinya dengan satu langkah ke arah satu sama lain, yaitu.. ke tengah urutan. Dan ini berarti itu

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Namun kemudian ungkapan yang tertulis di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(sejajarkan)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangannya:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah Kanan d=5. \\ \end(sejajarkan)\]

Yang tersisa hanyalah menemukan suku-suku yang tersisa:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri barisan - angka 42. Total yang harus dimasukkan hanya 7 angka: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Masalah kata dengan kemajuan

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah yang relatif sederhana. Sesederhana itu: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, soal-soal ini mungkin terasa sulit. Meskipun demikian, ini adalah jenis soal yang muncul di OGE dan Ujian Negara Terpadu matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Tugas No.11. Tim memproduksi 62 bagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya mereka memproduksi 14 bagian lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak bagian yang diproduksi tim pada bulan November?

Larutan. Jelasnya, jumlah bagian yang diurutkan berdasarkan bulan akan mewakili perkembangan aritmatika yang meningkat. Lebih-lebih lagi:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada bulan November.

Tugas No.12. Workshop penjilidan buku pada bulan Januari berjumlah 216 buku, dan setiap bulan berikutnya menjilid 4 buku lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?

Larutan. Semua sama:

$\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember adalah bulan terakhir, bulan ke-12 dalam setahun, jadi kita mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.

Nah, jika Anda sudah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan “kursus petarung muda” dalam perkembangan aritmatika. Anda dapat dengan aman melanjutkan ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus jumlah perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.

instruksi

Barisan aritmatika adalah barisan yang berbentuk a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Langkah nomor d kemajuan.Jelas bahwa umum dari suku ke-n sembarang dari aritmatika kemajuan mempunyai bentuk: An = A1+(n-1)d. Kemudian mengetahui salah satu anggotanya kemajuan, anggota kemajuan dan langkah kemajuan, Anda bisa, yaitu jumlah anggota kemajuan. Tentunya akan ditentukan dengan rumus n = (An-A1+d)/d.

Biarkan sekarang istilah ke-bulan diketahui kemajuan dan anggota lainnya kemajuan- nth, tapi n , seperti pada kasus sebelumnya, tetapi diketahui bahwa n dan m tidak bertepatan kemajuan dapat dihitung dengan rumus: d = (An-Am)/(n-m). Maka n = (An-Am+md)/d.

Jika jumlah beberapa elemen persamaan aritmatika diketahui kemajuan, serta yang pertama dan terakhir, maka jumlah elemen tersebut juga dapat ditentukan kemajuan akan sama dengan: S = ((A1+An)/2)n. Maka n = 2S/(A1+An) - chdenov kemajuan. Dengan menggunakan fakta bahwa An = A1+(n-1)d, rumus ini dapat ditulis ulang menjadi: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Dari sini kita dapat menyatakan n dengan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Barisan aritmatika adalah himpunan bilangan terurut, yang masing-masing anggotanya, kecuali yang pertama, berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama. Nilai konstanta ini disebut selisih barisan atau langkahnya dan dapat dihitung dari suku-suku barisan aritmatika yang diketahui.

instruksi

Jika nilai suku pertama dan kedua atau pasangan suku berdekatan lainnya diketahui dari kondisi soal, untuk menghitung selisih (d) cukup kurangi suku sebelumnya dari suku berikutnya. Nilai yang dihasilkan dapat berupa angka positif atau negatif - bergantung pada apakah perkembangannya meningkat. Dalam bentuk umum, tuliskan penyelesaian pasangan sembarang (aᵢ dan aᵢ₊₁) suku-suku tetangga dari perkembangan tersebut sebagai berikut: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Untuk sepasang suku dari suatu barisan, salah satunya adalah suku pertama (a₁), dan suku lainnya adalah suku lain yang dipilih secara sembarang, rumus untuk mencari selisih (d) juga dapat dibuat. Namun, dalam kasus ini, nomor seri (i) dari anggota barisan yang dipilih secara sembarang harus diketahui. Untuk menghitung selisihnya, tambahkan kedua angka dan bagi hasilnya dengan bilangan urut suku sembarang dikurangi satu. Secara umum, tuliskan rumus ini sebagai berikut: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Jika, selain suku sembarang suatu barisan aritmatika dengan bilangan urut i, diketahui suku lain dengan bilangan urut u, ubahlah rumus dari langkah sebelumnya. Dalam hal ini, selisih (d) barisan tersebut adalah jumlah kedua suku tersebut dibagi selisih bilangan urutnya: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Rumus untuk menghitung selisih (d) menjadi lebih rumit jika kondisi soal memberikan nilai suku pertama (a₁) dan jumlah (Sᵢ) dari suatu bilangan (i) suku pertama barisan aritmatika. Untuk memperoleh nilai yang diinginkan, bagilah jumlah tersebut dengan banyaknya suku yang menyusunnya, kurangi nilai bilangan pertama barisan tersebut, dan gandakan hasilnya. Bagilah nilai yang dihasilkan dengan banyaknya suku yang membentuk jumlah tersebut, dikurangi satu. Secara umum, tuliskan rumus menghitung diskriminan sebagai berikut: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Tingkat masuk

Perkembangan aritmatika. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan nomor

Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu dapat mengetahui mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, yaitu kita dapat memberi nomor pada angka tersebut. Ini adalah contoh barisan bilangan:

Urutan nomor
Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.
Bilangan yang mempunyai bilangan disebut suku ke-th barisan tersebut.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Katakanlah kita mempunyai barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.
Misalnya:

dll.
Barisan bilangan ini disebut barisan aritmatika.
Istilah "perkembangan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada abad ke-6 dan dipahami dalam arti yang lebih luas sebagai barisan numerik yang tak terhingga. Nama "aritmatika" ditransfer dari teori proporsi kontinu, yang dipelajari oleh orang Yunani kuno.

Ini adalah barisan bilangan yang masing-masing anggotanya sama dengan anggota sebelumnya ditambah dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut selisih suatu barisan aritmatika dan dilambangkan.

Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:

A)
B)
C)
D)

Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:
Adalah perkembangan aritmatika - b, c.
Tidak perkembangan aritmatika - a, d.

Mari kita kembali ke barisan berikut () dan mencoba mencari nilai suku ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.

1. Metode

Kita dapat menambahkan bilangan perkembangan ke nilai sebelumnya hingga kita mencapai suku ke-progresi. Ada baiknya kita tidak perlu meringkas banyak hal - hanya tiga nilai:

Jadi, suku ke-th dari barisan aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.

2. Metode

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-1 dari perkembangan tersebut? Penjumlahannya akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menjumlahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara yang tidak perlu menjumlahkan selisih barisan aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan lebih dekat gambar yang digambar... Pasti Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat terdiri dari apa nilai suku ke-th dari barisan aritmatika ini:


Dengan kata lain:

Cobalah untuk menemukan sendiri nilai suatu suku dari perkembangan aritmatika tertentu dengan cara ini.

Apakah Anda menghitung? Bandingkan catatan Anda dengan jawabannya:

Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kami menambahkan suku-suku perkembangan aritmatika secara berurutan ke nilai sebelumnya.
Mari kita coba untuk “mendepersonalisasikan” rumus ini - mari kita letakkan dalam bentuk umum dan dapatkan:

Persamaan perkembangan aritmatika.

Perkembangan aritmatika dapat meningkat atau menurun.

Meningkat- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Menurun- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Rumus turunan digunakan dalam menghitung suku-suku dalam suku naik dan turun dari suatu barisan aritmatika.
Mari kita periksa ini dalam praktiknya.
Kita diberikan barisan aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut: Mari kita periksa berapa bilangan ke-th dari barisan aritmatika tersebut jika kita menggunakan rumus kita untuk menghitungnya:

Sejak itu:

Jadi, kami yakin bahwa rumus tersebut berfungsi baik dalam perkembangan aritmatika menurun maupun meningkat.
Cobalah mencari sendiri suku ke-th dan ke-th dari perkembangan aritmatika ini.

Mari kita bandingkan hasilnya:

Properti perkembangan aritmatika

Mari kita memperumit masalahnya - kita akan memperoleh sifat perkembangan aritmatika.
Katakanlah kita diberikan kondisi berikut:
- perkembangan aritmatika, temukan nilainya.
Gampang, ucapkan dan mulailah menghitung sesuai rumus yang sudah Anda ketahui:

Biarkan, ah, kalau begitu:

Benar sekali. Ternyata kita cari dulu, lalu dijumlahkan dengan angka pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangannya diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang rumit, tapi bagaimana jika kita diberi angka pada kondisi tersebut? Setuju, ada kemungkinan terjadi kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan apakah mungkin menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja ya, dan itulah yang akan kami coba tampilkan sekarang.

Mari kita nyatakan suku yang diperlukan dari barisan aritmatika sebagai, rumus untuk mencarinya kita ketahui - ini adalah rumus yang sama yang kita turunkan di awal:
, Kemudian:

• suku perkembangan sebelumnya adalah:
• suku perkembangan berikutnya adalah:

Mari kita rangkum suku-suku perkembangan sebelumnya dan selanjutnya:

Ternyata jumlah suku-suku perkembangan sebelumnya dan suku-suku selanjutnya adalah dua kali nilai suku-suku perkembangan yang terletak di antara keduanya. Dengan kata lain, untuk mencari nilai suku perkembangan dengan nilai sebelumnya dan nilai berurutan yang diketahui, Anda perlu menjumlahkannya dan membaginya.

Benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari amankan materinya. Hitung sendiri nilai kemajuannya, sama sekali tidak sulit.

Bagus sekali! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tinggal menemukan satu rumus saja, yang menurut legenda, dengan mudah disimpulkan sendiri oleh salah satu ahli matematika terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematika" - Karl Gauss...

Ketika Carl Gauss berusia 9 tahun, seorang guru yang sibuk memeriksa pekerjaan siswa di kelas lain, menanyakan tugas berikut di kelas: “Hitung jumlah semua bilangan asli dari ke (menurut sumber lain hingga) inklusif.” Bayangkan betapa terkejutnya sang guru ketika salah satu muridnya (ini adalah Karl Gauss) semenit kemudian memberikan jawaban yang benar untuk tugas tersebut, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani, setelah perhitungan yang panjang, menerima hasil yang salah...

Carl Gauss muda memperhatikan pola tertentu yang juga dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Misalkan kita mempunyai barisan aritmatika yang terdiri dari suku -th: Kita perlu mencari jumlah suku-suku barisan aritmatika tersebut. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas tersebut memerlukan pencarian jumlah suku-sukunya, seperti yang dicari Gauss?

Mari kita gambarkan kemajuan yang diberikan kepada kita. Perhatikan baik-baik angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengannya.


Sudahkah Anda mencobanya? Apa yang kamu perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama

Sekarang beritahu saya, berapa total pasangan tersebut dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari seluruh angka.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua suku suatu barisan aritmatika adalah sama, dan pasangan-pasangan sebangun adalah sama, kita peroleh bahwa jumlah totalnya sama dengan:
.
Jadi, rumus jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Dalam beberapa soal kita tidak mengetahui suku ke-nya, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Coba substitusikan rumus suku ke dalam rumus penjumlahan.
Apa yang kamu dapatkan?

Bagus sekali! Sekarang mari kita kembali ke soal yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari -th dan jumlah bilangan yang dimulai dari -th.

Berapa banyak yang kamu dapat?
Gauss menemukan bahwa jumlah suku-sukunya sama, dan jumlah suku-sukunya sama. Itukah yang kamu putuskan?

Faktanya, rumus jumlah suku suatu barisan aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini, orang-orang cerdas memanfaatkan sepenuhnya sifat-sifat barisan aritmatika.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan proyek konstruksi terbesar pada masa itu - pembangunan piramida... Gambar menunjukkan salah satu sisinya.

Di mana kemajuannya, kata Anda? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding limas.


Mengapa bukan perkembangan aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang dibutuhkan untuk membangun satu dinding jika balok bata ditempatkan di alasnya. Saya harap Anda tidak menghitung sambil menggerakkan jari Anda melintasi monitor, Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang perkembangan aritmatika?

Dalam hal ini, perkembangannya terlihat seperti ini: .
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Banyaknya suku suatu barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus terakhir (hitung jumlah blok dengan 2 cara).

Metode 1.

Metode 2.

Dan sekarang Anda dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah blok yang ada di piramida kita. Mengerti? Bagus sekali, Anda telah menguasai penjumlahan suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok-balok di dasarnya, tetapi dari? Coba hitung berapa jumlah batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi seperti ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:

Pelatihan

Tugas:

1. Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia menambah jumlah squatnya. Berapa kali Masha melakukan squat dalam seminggu jika dia melakukan squat pada sesi latihan pertama?
2. Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada.
3. Saat menyimpan log, logger menumpuknya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak kayu gelondongan dalam satu pasangan bata, jika fondasi pasangan bata tersebut adalah kayu gelondongan?

Jawaban:

1. Mari kita tentukan parameter barisan aritmatika. Dalam hal ini
   (minggu = hari).

   Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus melakukan squat sekali sehari.

2. Angka ganjil pertama, angka terakhir.
   Perbedaan perkembangan aritmatika.
   Banyaknya bilangan ganjil adalah setengahnya, namun mari kita periksa fakta ini menggunakan rumus mencari suku ke-th suatu barisan aritmatika:

   Angka memang mengandung angka ganjil.
   Mari kita substitusikan data yang tersedia ke dalam rumus:

   Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya adalah sama.

3. Mari kita ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kita, a , karena setiap lapisan atas dikurangi satu log, maka totalnya ada banyak lapisan, yaitu.
   Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:

   Menjawab: Ada kayu gelondongan di pasangan bata.

Mari kita simpulkan

1. - barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama. Bisa saja bertambah atau berkurang.
2. Menemukan rumus Suku ke-th suatu barisan aritmatika ditulis dengan rumus - , dimana adalah banyaknya bilangan pada barisan tersebut.
3. Properti anggota perkembangan aritmatika- - dimana banyaknya angka yang berurutan.
4. Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:
   
   , di mana jumlah nilainya.

PROGRESI ARITMATIK. TINGKAT MENENGAH

Urutan nomor

Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka. Tapi kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.

Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Dengan kata lain, setiap bilangan dapat diasosiasikan dengan bilangan asli tertentu, dan bilangan unik. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari kumpulan ini.

Bilangan yang mempunyai bilangan disebut anggota barisan ke-th.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Sangat mudah jika suku ke-th suatu barisan dapat ditentukan dengan suatu rumus. Misalnya saja rumusnya

mengatur urutannya:

Dan rumusnya adalah urutan berikut:

Misalnya, barisan aritmatika adalah suatu barisan (suku pertama di sini sama, dan selisihnya adalah). Atau (, perbedaan).

rumus suku ke-n

Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku ke-th, Anda perlu mengetahui suku sebelumnya atau beberapa suku sebelumnya:

Misalnya, untuk mencari suku ke-th suatu barisan dengan menggunakan rumus ini, kita harus menghitung sembilan suku sebelumnya. Misalnya, biarkan saja. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?

Di setiap baris yang kita tambahkan, dikalikan dengan beberapa angka. Yang mana? Sederhana sekali: ini jumlah anggota saat ini dikurangi:

Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:

Putuskan sendiri:

Dalam barisan aritmatika, carilah rumus suku ke-n dan carilah suku keseratus.

Larutan:

Suku pertama sama. Apa bedanya? Inilah yang:

(Inilah mengapa disebut selisih karena sama dengan selisih suku-suku perkembangan yang berurutan).

Jadi, rumusnya:

Maka suku keseratus sama dengan:

Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?

Menurut legenda, ahli matematika hebat Carl Gauss, saat masih berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Ia memperhatikan bahwa jumlah bilangan pertama dan terakhir adalah sama, jumlah bilangan kedua dan kedua dari belakang sama, jumlah bilangan ketiga dan ketiga dari akhir adalah sama, dan seterusnya. Berapa banyak total pasangan seperti itu? Itu benar, tepatnya setengah dari jumlah semua angka. Jadi,

Rumus umum jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Contoh:
Temukan jumlah semua kelipatan dua digit.

Larutan:

Nomor pertama adalah ini. Setiap bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan bilangan sebelumnya. Jadi, bilangan-bilangan yang kita minati membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.

Rumus suku ke-1 perkembangan ini:

Berapa banyak suku dalam deret tersebut jika semuanya harus terdiri dari dua digit?

Sangat mudah: .

Suku terakhir perkembangannya akan sama. Maka jumlahnya:

Menjawab: .

Sekarang putuskan sendiri:

1. Setiap hari atlet berlari lebih banyak meter dibandingkan hari sebelumnya. Berapa kilometer total yang akan ia tempuh dalam seminggu, jika pada hari pertama ia berlari km m?
2. Seorang pengendara sepeda menempuh jarak lebih jauh setiap hari dibandingkan hari sebelumnya. Pada hari pertama dia menempuh jarak km. Berapa hari yang harus dia tempuh untuk menempuh jarak satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
3. Harga lemari es di toko turun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga sebuah lemari es setiap tahunnya jika, dijual dengan harga rubel, enam tahun kemudian lemari es tersebut dijual dengan harga rubel.

Jawaban:

1. Hal terpenting di sini adalah mengenali barisan aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
   .
   Menjawab:
2. Di sini diberikan: , harus ditemukan.
   Tentunya, Anda perlu menggunakan rumus penjumlahan yang sama seperti pada soal sebelumnya:
   .
   Gantikan nilainya:

   Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
   Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama sehari terakhir menggunakan rumus suku ke-th:
   (km).
   Menjawab:

3. Diberikan: . Menemukan: .
   Ini sangat sederhana:
   (menggosok).
   Menjawab:

PROGRESI ARITMATIK. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Ini adalah barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.

Perkembangan aritmatika dapat meningkat () dan menurun ().

Misalnya:

Rumus mencari suku ke-n suatu barisan aritmatika

ditulis dengan rumus dimana adalah banyaknya bilangan yang berurutan.

Properti anggota perkembangan aritmatika

Hal ini memungkinkan Anda dengan mudah menemukan suku suatu barisan jika suku-suku tetangganya diketahui - di mana jumlah bilangan dalam barisan tersebut.

Jumlah suku suatu barisan aritmatika

Ada dua cara untuk mencari jumlahnya:

Dimana jumlah nilainya.

Dimana jumlah nilainya.

Misalnya, barisan \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... merupakan barisan aritmatika, karena setiap elemen berikutnya berbeda tiga dari elemen sebelumnya (dapat diperoleh dari elemen sebelumnya dengan menambahkan tiga):

Pada deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), sehingga setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Perkembangan seperti ini disebut meningkat.

Namun, \(d\) juga bisa berupa bilangan negatif. Misalnya, dalam barisan aritmatika \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... selisih perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.

Dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari elemen sebelumnya. Kemajuan ini disebut menurun.

Notasi perkembangan aritmatika

Kemajuan ditunjukkan dengan huruf Latin kecil.

Bilangan yang membentuk barisan disebut anggota(atau elemen).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan barisan aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan jumlah elemen secara berurutan.

Misalnya, barisan aritmatika \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.

Dengan kata lain, untuk perkembangan \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Memecahkan masalah perkembangan aritmatika

Pada prinsipnya, informasi yang disajikan di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Larutan:

Menjawab: \(b_5=23\)

Contoh (OGE). Diketahui tiga suku pertama suatu barisan aritmatika: \(62; 49; 36…\) Tentukan nilai suku negatif pertama barisan tersebut..
Larutan:

	Kita diberikan elemen pertama dari barisan tersebut dan mengetahui bahwa itu adalah barisan aritmatika. Artinya, setiap unsur berbeda satu sama lain dengan bilangan yang sama. Mari kita cari tahu yang mana dengan mengurangkan elemen sebelumnya dari elemen berikutnya: \(d=49-62=-13\).
	Sekarang kita dapat mengembalikan perkembangan kita ke elemen (negatif pertama) yang kita perlukan.
	Siap. Anda dapat menulis jawabannya.

Menjawab: \(-3\)

Contoh (OGE). Diberikan beberapa elemen barisan aritmatika yang berurutan: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tentukan nilai elemen yang diberi tanda huruf \(x\).
Larutan:

	Untuk mencari \(x\), kita perlu mengetahui seberapa besar perbedaan elemen berikutnya dengan elemen sebelumnya, dengan kata lain, selisih perkembangannya. Mari kita cari dari dua elemen bertetangga yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\).
	Dan sekarang kita dapat dengan mudah menemukan apa yang kita cari: \(x=5+2.5=7.5\).
	Siap. Anda dapat menulis jawabannya.

Menjawab: \(7,5\).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tentukan jumlah enam suku pertama barisan ini.
Larutan:

Kita perlu mencari jumlah enam suku pertama dari perkembangan tersebut. Tapi kita tidak tahu artinya; kita hanya diberi elemen pertama. Oleh karena itu, pertama-tama kita menghitung nilainya satu per satu, menggunakan apa yang diberikan kepada kita: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Dan setelah menghitung enam elemen yang kita butuhkan, kita menemukan jumlahnya.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Jumlah yang dibutuhkan telah ditemukan.

Menjawab: \(S_6=9\).

Contoh (OGE). Dalam perkembangan aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Larutan:

Menjawab: \(d=7\).

Rumus penting untuk perkembangan aritmatika

Seperti yang Anda lihat, banyak masalah pada perkembangan aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa perkembangan aritmatika adalah rantai angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (the perbedaan kemajuan).

Namun, terkadang ada situasi di mana memutuskan “langsung” sangatlah merepotkan. Misalnya, bayangkan pada contoh pertama kita tidak perlu mencari elemen kelima \(b_5\), melainkan elemen ketiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Haruskah kita menambahkan empat \(385\) kali? Atau bayangkan dalam contoh kedua dari belakang Anda perlu mencari jumlah tujuh puluh tiga elemen pertama. Anda akan bosan menghitung...

Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu mereka tidak menyelesaikan masalah secara “langsung”, tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk perkembangan aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n barisan tersebut dan rumus jumlah suku pertama \(n\).

Rumus suku ke-\(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) adalah suku pertama dari barisan tersebut;
\(n\) – jumlah elemen yang diperlukan;
\(a_n\) – suku barisan dengan bilangan \(n\).

Rumus ini memungkinkan kita dengan cepat menemukan elemen ketiga ratus atau sejuta, hanya mengetahui elemen pertama dan perbedaan perkembangannya.

Contoh. Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Temukan \(b_(246)\).
Larutan:

Menjawab: \(b_(246)=1850\).

Rumus jumlah n suku pertama: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana

\(a_n\) – suku terakhir yang dijumlahkan;

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Tentukan jumlah suku \(25\) pertama dari barisan tersebut.
Larutan:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Untuk menghitung jumlah dua puluh lima suku pertama, kita perlu mengetahui nilai suku pertama dan kedua puluh lima. Perkembangan kita diberikan oleh rumus suku ke-n tergantung pada bilangannya (untuk lebih jelasnya lihat). Mari kita hitung elemen pertama dengan mengganti \(n\) dengan satu.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Sekarang mari kita cari suku ke dua puluh lima dengan mensubstitusikan dua puluh lima ke dalam \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Nah, sekarang kita bisa dengan mudah menghitung jumlah yang dibutuhkan.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Jawabannya sudah siap.

Menjawab: \(S_(25)=1090\).

Untuk jumlah \(n\) suku pertama, kamu bisa mendapatkan rumus lain: kamu hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) alih-alih \(a_n\) gantikan rumusnya dengan \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kami mendapatkan:

Rumus jumlah n suku pertama: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

\(S_n\) – jumlah yang diperlukan dari \(n\) elemen pertama;
\(a_1\) – suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) – jumlah total elemen.

Contoh. Tentukan jumlah suku \(33\)-ex pertama dari barisan aritmetika: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Larutan:

Menjawab: \(S_(33)=-231\).

Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks

Sekarang Anda memiliki semua informasi yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika. Mari kita selesaikan topik ini dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika ini bisa berguna ☺)

Contoh (OGE). Tentukan jumlah semua suku negatif dari barisan tersebut: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Larutan:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tugasnya sangat mirip dengan yang sebelumnya. Kita mulai menyelesaikan hal yang sama: pertama kita temukan \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Sekarang kita ingin mengganti \(d\) ke dalam rumus jumlah... dan di sini muncul sedikit perbedaan - kita tidak tahu \(n\). Dengan kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambahkan. Bagaimana cara mengetahuinya? Mari kita berpikir. Kami akan berhenti menambahkan elemen ketika kami mencapai elemen positif pertama. Artinya, Anda perlu mengetahui jumlah elemen ini. Bagaimana? Mari kita tuliskan rumus untuk menghitung elemen apa pun dari barisan aritmatika: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kasus kita.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Kita perlu \(a_n\) menjadi lebih besar dari nol. Mari kita cari tahu pada \(n\) hal ini akan terjadi.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Kita membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Kita transfer minus satu, tak lupa ganti tandanya
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Mari kita hitung...
\(n>65.333…\)		...dan ternyata unsur positif pertama mempunyai bilangan \(66\). Oleh karena itu, negatif terakhir memiliki \(n=65\). Untuk berjaga-jaga, mari kita periksa ini.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Jadi kita perlu menambahkan elemen \(65\) pertama.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Jawabannya sudah siap.

Menjawab: \(S_(65)=-630,5\).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Temukan jumlah dari elemen \(26\) hingga \(42\) inklusif.
Larutan:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Dalam soal ini Anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi tidak dimulai dari yang pertama, tetapi dari \(26\). Untuk kasus seperti ini kami tidak mempunyai rumusnya. Bagaimana cara memutuskan? Caranya mudah - untuk mendapatkan jumlah dari \(26\)th hingga \(42\)th, Anda harus terlebih dahulu mencari jumlah dari \(1\)th hingga \(42\)th, lalu menguranginya dari situ jumlah dari pertama sampai \(25\) (lihat gambar).
	Untuk perkembangan kita \(a_1=-33\), dan selisihnya \(d=4\) (bagaimanapun juga, empat itulah yang kita tambahkan ke elemen sebelumnya untuk menemukan elemen berikutnya). Mengetahui hal ini, kita mencari jumlah elemen \(42\)-y pertama.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sekarang jumlah elemen \(25\) pertama.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Dan terakhir, kami menghitung jawabannya.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Menjawab: \(S=1683\).

Untuk perkembangan aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang tidak kami bahas dalam artikel ini karena rendahnya kegunaan praktisnya. Namun, Anda dapat menemukannya dengan mudah.