Cara membuat grafik proyeksi percepatan. Topik pelajaran: “Representasi grafis dari gerakan

Gerakan seragam– ini adalah gerak dengan kecepatan tetap, yaitu ketika kecepatan tidak berubah (v = konstanta) dan tidak terjadi percepatan atau perlambatan (a = 0).

Gerakan garis lurus- ini adalah gerak lurus, yaitu lintasan gerak lurus adalah garis lurus.

Gerakan linier seragam- ini adalah gerakan di mana suatu benda melakukan gerakan yang sama pada interval waktu yang sama. Misalnya, jika kita membagi selang waktu tertentu menjadi selang waktu satu detik, maka dengan gerak beraturan benda akan berpindah jarak yang sama untuk setiap selang waktu tersebut.

Kecepatan gerak lurus beraturan tidak bergantung pada waktu dan pada setiap titik lintasannya diarahkan dengan cara yang sama seperti gerak benda. Artinya, vektor perpindahan searah dengan vektor kecepatan. Dalam hal ini, kecepatan rata-rata untuk suatu periode waktu sama dengan kecepatan sesaat:

V cp = v

Jarak yang ditempuh dalam gerak linier sama dengan modul perpindahan. Jika arah positif sumbu OX bertepatan dengan arah gerak, maka proyeksi kecepatan pada sumbu OX sama dengan besar kecepatan dan bernilai positif:

V x = v, yaitu v > 0

Proyeksi perpindahan pada sumbu OX sama dengan:

S = vt = x – x 0

dimana x 0 adalah koordinat awal benda, x adalah koordinat akhir benda (atau koordinat benda kapan saja)

Persamaan gerak, yaitu ketergantungan koordinat benda terhadap waktu x = x(t), berbentuk:

X = x 0 + vt

Jika arah positif sumbu OX berlawanan dengan arah gerak benda, maka proyeksi kecepatan benda ke sumbu OX bernilai negatif, kecepatannya kurang dari nol (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

X = x 0 - vt

Ketergantungan kecepatan, koordinat dan jalur pada waktu

Ketergantungan proyeksi kecepatan benda terhadap waktu ditunjukkan pada Gambar. 1.11. Karena kecepatannya konstan (v = const), grafik kecepatannya berupa garis lurus yang sejajar sumbu waktu Ot.

Beras. 1.11. Ketergantungan proyeksi kecepatan benda terhadap waktu untuk gerak lurus beraturan.

Proyeksi gerak pada sumbu koordinat secara numerik sama dengan luas persegi panjang OABC (Gbr. 1.12), karena besar vektor gerak sama dengan hasil kali vektor kecepatan dan waktu selama gerak itu terjadi. dibuat.

Beras. 1.12. Ketergantungan proyeksi perpindahan benda terhadap waktu untuk gerak lurus beraturan.

Grafik perpindahan terhadap waktu ditunjukkan pada Gambar. 1.13. Grafik menunjukkan bahwa proyeksi kecepatan adalah sama dengan

V = s 1 / t 1 = tan

dimana α adalah sudut kemiringan grafik terhadap sumbu waktu. Semakin besar sudut α maka semakin cepat benda bergerak, yaitu semakin besar kecepatannya (semakin jauh jarak yang ditempuh benda dalam waktu yang lebih singkat). Garis singgung grafik koordinat terhadap waktu sama dengan kecepatan:

Tg α = v

Beras. 1.13. Ketergantungan proyeksi perpindahan benda terhadap waktu untuk gerak lurus beraturan.

Ketergantungan koordinat terhadap waktu ditunjukkan pada Gambar. 1.14. Dari gambar tersebut jelas bahwa

Tg α 1 > tg α 2

oleh karena itu, kecepatan benda 1 lebih tinggi daripada kecepatan benda 2 (v 1 > v 2).

Tg α 3 = v 3< 0

Jika benda dalam keadaan diam, maka grafik koordinatnya berupa garis lurus yang sejajar sumbu waktu, yaitu

X = x 0

Beras. 1.14. Ketergantungan koordinat benda terhadap waktu untuk gerak lurus beraturan.

Gerakan linier seragam- Ini adalah kasus khusus gerak tidak rata.

Gerakan tidak rata- ini adalah gerakan di mana suatu benda (titik material) melakukan gerakan yang tidak sama dalam periode waktu yang sama. Misalnya, bus kota bergerak tidak merata, karena pergerakannya sebagian besar terdiri dari percepatan dan perlambatan.

Gerakan yang sama bergantian- ini adalah gerakan di mana kecepatan suatu benda (titik material) berubah secara merata selama periode waktu yang sama.

Percepatan suatu benda pada gerak beraturan besar dan arahnya tetap konstan (a = konstanta).

Gerak beraturan dapat dipercepat beraturan atau diperlambat beraturan.

Gerak dipercepat beraturan- ini adalah gerak suatu benda (titik material) dengan percepatan positif, yaitu dengan gerak seperti itu benda dipercepat dengan percepatan konstan. Dalam kasus gerak dipercepat beraturan, modulus kecepatan benda meningkat seiring waktu, dan arah percepatan bertepatan dengan arah kecepatan gerak.

Gerakan lambat yang sama- ini adalah gerak suatu benda (titik material) dengan percepatan negatif, yaitu dengan gerak seperti itu benda melambat secara seragam. Dalam gerak lambat beraturan, vektor kecepatan dan percepatan berlawanan, dan modulus kecepatan menurun seiring waktu.

Dalam mekanika, setiap gerak lurus dipercepat, oleh karena itu gerak lambat berbeda dengan gerak dipercepat hanya pada tanda proyeksi vektor percepatan ke sumbu yang dipilih pada sistem koordinat.

Kecepatan variabel rata-rata ditentukan dengan membagi gerak suatu benda dengan waktu terjadinya gerakan tersebut. Satuan kelajuan rata-rata adalah m/s.

V cp = s/t

adalah kecepatan suatu benda (titik material) pada momen waktu tertentu atau pada titik lintasan tertentu, yaitu batas kecenderungan kecepatan rata-rata dengan penurunan tak terhingga dalam selang waktu Δt:

Vektor kecepatan sesaat gerak bolak-balik beraturan dapat dicari sebagai turunan pertama vektor perpindahan terhadap waktu:

Proyeksi vektor kecepatan pada sumbu OX:

V x = x'

ini adalah turunan koordinat terhadap waktu (proyeksi vektor kecepatan ke sumbu koordinat lain diperoleh dengan cara yang sama).

adalah besaran yang menentukan laju perubahan kecepatan suatu benda, yaitu batas kecenderungan perubahan kecepatan dengan penurunan tak terhingga dalam jangka waktu Δt:

Vektor percepatan gerak bolak-balik beraturan dapat dicari sebagai turunan pertama vektor kecepatan terhadap waktu atau sebagai turunan kedua vektor perpindahan terhadap waktu:

Jika suatu benda bergerak lurus sepanjang sumbu OX dari sistem koordinat Kartesius lurus, searah dengan lintasan benda tersebut, maka proyeksi vektor kecepatan ke sumbu tersebut ditentukan dengan rumus:

V x = v 0x ± a x t

Tanda “-” (minus) di depan proyeksi vektor percepatan mengacu pada gerak lambat beraturan. Persamaan proyeksi vektor kecepatan ke sumbu koordinat lainnya ditulis dengan cara yang sama.

Karena pada gerak beraturan percepatannya konstan (a = const), maka grafik percepatannya berupa garis lurus yang sejajar sumbu 0t (sumbu waktu, Gambar 1.15).

Beras. 1.15. Ketergantungan akselerasi tubuh pada waktu.

Ketergantungan kecepatan pada waktu adalah fungsi linier yang grafiknya berupa garis lurus (Gbr. 1.16).

Beras. 1.16. Ketergantungan kecepatan tubuh pada waktu.

Grafik kecepatan versus waktu(Gbr. 1.16) menunjukkan hal itu

Dalam hal ini, perpindahannya secara numerik sama dengan luas gambar 0abc (Gbr. 1.16).

Luas trapesium sama dengan hasil kali setengah jumlah panjang alas dan tingginya. Alas trapesium 0abc sama secara numerik:

0a = v 0 sm = v

Tinggi trapesium tersebut adalah t. Jadi, luas trapesium, dan proyeksi perpindahan ke sumbu OX, adalah:

Dalam kasus gerak lambat beraturan, proyeksi percepatannya negatif dan dalam rumus proyeksi perpindahan, tanda “–” (minus) ditempatkan sebelum percepatan.

Grafik kecepatan suatu benda terhadap waktu pada berbagai percepatan ditunjukkan pada Gambar. 1.17. Grafik perpindahan terhadap waktu untuk v0 = 0 ditunjukkan pada Gambar. 1.18.

Beras. 1.17. Ketergantungan kecepatan benda terhadap waktu untuk nilai percepatan yang berbeda.

Beras. 1.18. Ketergantungan gerak tubuh pada waktu.

Kecepatan benda pada waktu tertentu t 1 sama dengan garis singgung sudut kemiringan antara garis singgung grafik dan sumbu waktu v = tg α, dan perpindahan ditentukan dengan rumus:

Jika waktu gerak suatu benda tidak diketahui, Anda dapat menggunakan rumus perpindahan lain dengan menyelesaikan sistem dua persamaan:

Ini akan membantu kita mendapatkan rumus proyeksi perpindahan:

Karena koordinat benda pada suatu waktu ditentukan oleh jumlah koordinat awal dan proyeksi perpindahan, maka akan terlihat seperti ini:

Grafik koordinat x(t) juga merupakan parabola (seperti grafik perpindahan), tetapi titik puncak parabola pada umumnya tidak berimpit dengan titik asal koordinat. Ketika x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Gerakan seragam– ini adalah gerak dengan kecepatan tetap, yaitu ketika kecepatan tidak berubah (v = konstanta) dan tidak terjadi percepatan atau perlambatan (a = 0).

Gerakan garis lurus- ini adalah gerak lurus, yaitu lintasan gerak lurus adalah garis lurus.

Kecepatan gerak lurus beraturan adalah besaran vektor fisika yang sama dengan perbandingan gerak suatu benda dalam selang waktu tertentu dengan nilai selang waktu ini t:

Jadi, kecepatan gerak lurus beraturan menunjukkan seberapa besar pergerakan yang dilakukan suatu titik material per satuan waktu.

Bergerak dengan gerak linier beraturan ditentukan dengan rumus:

v x = v, yaitu v > 0

Proyeksi perpindahan pada sumbu OX sama dengan:

s = vt = x – x 0

dimana x 0 adalah koordinat awal benda, x adalah koordinat akhir benda (atau koordinat benda kapan saja)

Persamaan gerak, yaitu ketergantungan koordinat benda terhadap waktu x = x(t), berbentuk:

Ketergantungan kecepatan, koordinat dan jalur pada waktu

Ketergantungan proyeksi kecepatan benda terhadap waktu ditunjukkan pada Gambar. 1.11. Karena kecepatannya konstan (v = const), grafik kecepatannya berupa garis lurus yang sejajar sumbu waktu Ot.

Beras. 1.11. Ketergantungan proyeksi kecepatan benda terhadap waktu untuk gerak lurus beraturan.

Beras. 1.12. Ketergantungan proyeksi perpindahan benda terhadap waktu untuk gerak lurus beraturan.

Grafik perpindahan terhadap waktu ditunjukkan pada Gambar. 1.13. Grafik menunjukkan bahwa proyeksi kecepatan adalah sama dengan

v = s 1 / t 1 = tan

dimana α adalah sudut kemiringan grafik terhadap sumbu waktu.

Semakin besar sudut α maka semakin cepat benda bergerak, yaitu semakin besar kecepatannya (semakin jauh jarak yang ditempuh benda dalam waktu yang lebih singkat). Garis singgung grafik koordinat terhadap waktu sama dengan kecepatan:

Beras. 1.13. Ketergantungan proyeksi perpindahan benda terhadap waktu untuk gerak lurus beraturan.

Ketergantungan koordinat terhadap waktu ditunjukkan pada Gambar. 1.14. Dari gambar tersebut jelas bahwa

tan α 1 > tan α 2

oleh karena itu, kecepatan benda 1 lebih tinggi daripada kecepatan benda 2 (v 1 > v 2).

tan α 3 = v 3< 0

Jika benda dalam keadaan diam, maka grafik koordinatnya berupa garis lurus yang sejajar sumbu waktu, yaitu

Beras. 1.14. Ketergantungan koordinat benda terhadap waktu untuk gerak lurus beraturan.

Hubungan antara besaran sudut dan besaran linier

Titik-titik individual dari benda yang berputar memiliki kecepatan linier yang berbeda. Kecepatan setiap titik, yang diarahkan secara tangensial ke lingkaran yang bersesuaian, terus menerus berubah arahnya. Besarnya kecepatan ditentukan oleh kecepatan putaran benda dan jarak R titik yang bersangkutan dari sumbu rotasi. Biarkan benda berputar membentuk sudut dalam waktu singkat (Gambar 2.4). Sebuah titik yang terletak pada jarak R dari sumbu menempuh lintasan yang sama dengan

Kecepatan linier suatu titik menurut definisi.

Percepatan tangensial

Dengan menggunakan relasi yang sama (2.6) kita peroleh

Jadi, percepatan normal dan percepatan tangensial meningkat secara linier seiring dengan jarak titik dari sumbu rotasi.

Konsep dasar.

Osilasi periodik adalah proses di mana suatu sistem (misalnya sistem mekanis) kembali ke keadaan yang sama setelah jangka waktu tertentu. Periode waktu ini disebut periode osilasi.

memulihkan kekuatan- kekuatan di bawah pengaruh terjadinya proses osilasi. Gaya ini cenderung mengembalikan suatu benda atau suatu titik material, yang menyimpang dari posisi diamnya, ke posisi semula.

Tergantung pada sifat dampak pada benda yang berosilasi, perbedaan dibuat antara getaran bebas (atau alami) dan getaran paksa.

Getaran bebas terjadi ketika hanya gaya pemulih yang bekerja pada benda yang berosilasi. Jika tidak terjadi disipasi energi, osilasi bebas tidak teredam. Namun, proses osilasi nyata teredam karena benda yang berosilasi terkena gaya hambatan gerak (terutama gaya gesekan).

Getaran paksa dilakukan di bawah pengaruh kekuatan eksternal yang berubah secara berkala, yang disebut pemaksaan. Dalam banyak kasus, sistem mengalami osilasi yang dianggap harmonis.

Getaran harmonik disebut gerak osilasi yang perpindahan suatu benda dari posisi setimbang terjadi menurut hukum sinus atau kosinus:

Untuk mengilustrasikan arti fisisnya, perhatikan sebuah lingkaran dan putar jari-jarinya OK dengan kecepatan sudut ω berlawanan arah jarum jam (7.1) berlawanan arah jarum jam. Jika pada saat awal OK terletak pada bidang mendatar, maka setelah waktu t akan bergeser membentuk sudut. Jika sudut awalnya bukan nol dan sama dengan φ 0 , maka sudut rotasinya akan sama dengan Proyeksi pada sumbu XO 1 adalah sama dengan . Saat jari-jari OK berputar, besarnya proyeksi berubah, dan titik akan berosilasi relatif terhadap titik - ke atas, ke bawah, dan seterusnya. Dalam hal ini, nilai maksimum x sama dengan A dan disebut amplitudo osilasi; ω - frekuensi melingkar atau siklik; - fase osilasi; Untuk satu putaran titik K mengelilingi lingkaran, proyeksinya akan membuat satu osilasi penuh dan kembali ke titik awal.

Periode T disebut waktu satu osilasi lengkap. Setelah waktu T, nilai semua besaran fisis yang mencirikan osilasi diulang. Dalam satu periode, titik osilasi menempuh lintasan yang secara numerik sama dengan empat amplitudo.

Kecepatan sudut ditentukan dari syarat bahwa selama periode T jari-jari OK akan melakukan satu putaran, yaitu akan berputar dengan sudut 2π radian:

Frekuensi osilasi- jumlah osilasi suatu titik per detik, mis. frekuensi osilasi didefinisikan sebagai kebalikan dari periode osilasi:

Gaya elastis pendulum pegas.

Pendulum pegas terdiri dari pegas dan bola besar yang dipasang pada batang horizontal yang dapat digesernya. Biarkan bola berlubang dipasang pada pegas dan meluncur sepanjang sumbu pemandu (batang). Pada Gambar. 7.2a menunjukkan posisi bola yang berhenti; pada Gambar. 7.2, b - kompresi maksimum dan pada Gambar. 7.2,c - posisi bola sewenang-wenang.

Di bawah pengaruh gaya pemulih yang sama dengan gaya kompresi, bola akan berosilasi. Gaya tekan F = -kx, dimana k adalah koefisien kekakuan pegas. Tanda minus menunjukkan arah gaya F dan perpindahan x berlawanan. Energi potensial pegas terkompresi

kinetis

Untuk menurunkan persamaan gerak bola, perlu menghubungkan x dan t. Kesimpulan tersebut didasarkan pada hukum kekekalan energi. Energi mekanik total sama dengan jumlah energi kinetik dan energi potensial sistem. Dalam hal ini:

. Di posisi b): .

Karena hukum kekekalan energi mekanik dipenuhi pada gerak yang ditinjau, kita dapat menulis:

. Mari kita tentukan kecepatannya dari sini:

Tapi pada gilirannya dan karena itu . Mari kita pisahkan variabelnya . Mengintegrasikan ekspresi ini, kita mendapatkan: ,

di mana adalah konstanta integrasi. Dari yang terakhir berikut ini

Jadi, di bawah pengaruh gaya elastis, benda melakukan osilasi harmonik. Gaya-gaya yang sifatnya berbeda dengan gaya elastis, tetapi memenuhi kondisi F = -kx, disebut kuasi-elastis. Di bawah pengaruh gaya-gaya ini, benda juga menghasilkan getaran harmonik. Dalam hal ini:

bias:
kecepatan:
percepatan:

Pendulum matematika.

Pendulum matematis adalah suatu titik material yang digantungkan pada seutas benang tak berbobot yang tidak dapat diperpanjang, melakukan gerak osilasi dalam satu bidang vertikal di bawah pengaruh gravitasi.

Pendulum semacam itu dapat dianggap sebagai bola berat bermassa m, digantung pada seutas benang tipis, yang panjangnya l jauh lebih besar daripada ukuran bola. Jika dibelokkan dengan sudut α (Gbr. 7.3.) dari garis vertikal, maka di bawah pengaruh gaya F, salah satu komponen berat P, ia akan berosilasi. Komponen lain yang diarahkan sepanjang utas tidak diperhitungkan karena diseimbangkan dengan tegangan benang. Pada sudut perpindahan yang kecil, maka koordinat x dapat diukur pada arah mendatar. Dari Gambar 7.3 terlihat jelas bahwa komponen berat yang tegak lurus benang adalah sama dengan

Tanda minus di sebelah kanan berarti gaya F diarahkan untuk memperkecil sudut . Memperhatikan kecilnya sudut α

Untuk menurunkan hukum gerak bandul matematis dan fisika, kita menggunakan persamaan dasar dinamika gerak rotasi

Momen gaya relatif terhadap titik O: , dan momen inersia: M = FL. Momen inersia J dalam hal ini percepatan sudut:

Dengan mempertimbangkan nilai-nilai ini, kami memiliki:

keputusannya ,

Seperti dapat kita lihat, periode osilasi bandul matematis bergantung pada panjang dan percepatan gravitasi, serta tidak bergantung pada amplitudo osilasi.

Osilasi teredam.

Semua sistem osilasi nyata bersifat disipatif. Energi getaran mekanis dari sistem semacam itu secara bertahap dihabiskan untuk bekerja melawan gaya gesekan, oleh karena itu getaran bebas selalu padam - amplitudonya berkurang secara bertahap. Dalam banyak kasus, ketika tidak ada gesekan kering, sebagai perkiraan pertama kita dapat berasumsi bahwa pada kecepatan gerak rendah, gaya yang menyebabkan pelemahan getaran mekanis sebanding dengan kecepatan. Kekuatan-kekuatan ini, terlepas dari asal usulnya, disebut kekuatan perlawanan.

Mari kita tulis ulang persamaan ini sebagai berikut:

dan menunjukkan:

di mana mewakili frekuensi terjadinya osilasi bebas sistem tanpa adanya hambatan lingkungan, yaitu. pada r = 0. Frekuensi ini disebut frekuensi alami osilasi sistem; β adalah koefisien atenuasi. Kemudian

Kita akan mencari solusi persamaan (7.19) dalam bentuk dimana U adalah suatu fungsi dari t.

Mari kita bedakan ekspresi ini dua kali terhadap waktu t dan, dengan mensubstitusikan nilai turunan pertama dan kedua ke dalam persamaan (7.19), kita memperoleh

Penyelesaian persamaan ini sangat bergantung pada tanda koefisien di U. Mari kita perhatikan kasus ketika koefisien ini positif. Mari kita perkenalkan notasi tersebut. Dengan ω real, solusi persamaan ini, seperti yang kita ketahui, adalah fungsinya

Jadi, dalam kasus resistansi medium yang rendah, solusi persamaan (7.19) adalah fungsinya

Grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar. 7.8. Garis putus-putus menunjukkan batas perpindahan titik osilasi. Besaran tersebut disebut frekuensi siklik alami dari osilasi sistem disipatif. Osilasi teredam merupakan osilasi non-periodik, karena tidak pernah berulang, misalnya nilai perpindahan, kecepatan, dan percepatan maksimum. Besaran tersebut biasanya disebut periode osilasi teredam, atau lebih tepatnya periode kondisional osilasi teredam,

Logaritma natural perbandingan amplitudo perpindahan yang mengikuti satu sama lain melalui selang waktu yang sama dengan periode T disebut penurunan atenuasi logaritmik.

Mari kita nyatakan dengan τ periode waktu di mana amplitudo osilasi berkurang sebanyak e kali. Kemudian

Akibatnya, koefisien atenuasi adalah besaran fisis yang berbanding terbalik dengan periode waktu τ selama amplitudo berkurang sebesar faktor e. Besaran τ disebut waktu relaksasi.

Misalkan N adalah banyaknya osilasi yang setelahnya amplitudonya berkurang sebesar faktor e, Maka

Oleh karena itu, penurunan redaman logaritmik δ adalah besaran fisis yang berbanding terbalik dengan jumlah osilasi N, setelah itu amplitudonya berkurang beberapa kali e.

Getaran paksa.

Dalam kasus osilasi paksa, sistem berosilasi di bawah pengaruh gaya eksternal (paksa), dan karena kerja gaya ini, kehilangan energi sistem dikompensasi secara berkala. Frekuensi osilasi paksa (forcing frekuensi) bergantung pada frekuensi perubahan gaya luar. Mari kita tentukan amplitudo osilasi paksa suatu benda bermassa m, dengan mempertimbangkan osilasi yang tidak teredam karena gaya yang bekerja secara konstan.

Biarkan gaya ini berubah seiring waktu menurut hukum dimana adalah amplitudo gaya penggerak. Memulihkan gaya dan menahan gaya Maka hukum kedua Newton dapat dituliskan sebagai berikut.

Mari kita tunjukkan bagaimana Anda dapat menemukan jalur yang dilalui suatu benda menggunakan grafik kecepatan versus waktu.

Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana - gerak seragam. Gambar 6.1 menunjukkan grafik v(t) – kecepatan versus waktu. Ini mewakili segmen garis lurus yang sejajar dengan basis waktu, karena dengan gerak seragam kecepatannya konstan.

Gambar yang terdapat di bawah grafik ini adalah persegi panjang (pada gambar diarsir). Luasnya secara numerik sama dengan produk kecepatan v dan waktu pergerakan t. Sebaliknya, hasil kali vt sama dengan lintasan l yang dilalui benda. Jadi, dengan gerak beraturan

lintasan secara numerik sama dengan luas gambar yang tercakup dalam grafik kecepatan versus waktu.

Sekarang mari kita tunjukkan bahwa gerak tidak rata juga mempunyai sifat luar biasa ini.

Misalnya, grafik kecepatan versus waktu terlihat seperti kurva yang ditunjukkan pada Gambar 6.2.

Mari kita secara mental membagi seluruh waktu gerak menjadi interval-interval kecil sehingga pada masing-masing interval tersebut pergerakan benda dapat dianggap hampir seragam (pembagian ini ditunjukkan oleh garis putus-putus pada Gambar 6.2).

Kemudian jalur yang ditempuh selama setiap interval tersebut secara numerik sama dengan luas gambar di bawah gumpalan grafik yang sesuai. Oleh karena itu, seluruh jalur sama dengan luas gambar yang terdapat di bawah keseluruhan grafik. (Teknik yang kami gunakan adalah dasar kalkulus integral, yang dasar-dasarnya akan Anda pelajari dalam mata kuliah “Permulaan Analisis Matematika.”)

2. Lintasan dan perpindahan pada gerak lurus beraturan dipercepat

Sekarang mari kita terapkan metode yang dijelaskan di atas untuk menemukan jalur gerak lurus beraturan yang dipercepat.

Kecepatan awal benda adalah nol

Mari kita arahkan sumbu x ke arah percepatan benda. Maka ax = a, vx = v. Karena itu,

Gambar 6.3 menunjukkan grafik v(t).

1. Dengan menggunakan Gambar 6.3, buktikan bahwa pada gerak lurus beraturan yang dipercepat tanpa kecepatan awal, lintasan l dinyatakan dalam modul percepatan a dan waktu gerak t dengan rumus

aku = pada 2 /2. (2)

Kesimpulan utama:

pada gerak lurus beraturan yang dipercepat tanpa kecepatan awal, jarak yang ditempuh benda sebanding dengan kuadrat waktu gerak.

Dengan cara ini, gerak dipercepat beraturan berbeda secara signifikan dengan gerak beraturan.

Gambar 6.4 menunjukkan grafik lintasan versus waktu untuk dua benda, salah satunya bergerak beraturan, dan yang lainnya berakselerasi seragam tanpa kecepatan awal.

2. Perhatikan Gambar 6.4 dan jawablah pertanyaannya.
a) Apa warna grafik benda yang bergerak dengan percepatan beraturan?
b) Berapakah percepatan benda tersebut?
c) Berapa kecepatan benda-benda tersebut pada saat mereka menempuh lintasan yang sama?
d) Pada titik waktu manakah kecepatan benda sama?

3. Setelah berangkat, mobil menempuh jarak 20 m dalam waktu 4 s pertama. Anggaplah gerak mobil tersebut lurus dan dipercepat beraturan. Tanpa menghitung percepatan mobil, tentukan jarak yang akan ditempuh mobil:
a) dalam 8 detik? b) dalam 16 detik? c) dalam 2 detik?

Sekarang mari kita cari ketergantungan proyeksi perpindahan s x terhadap waktu. Dalam hal ini proyeksi percepatan pada sumbu x adalah positif, jadi s x = l, a x = a. Jadi dari rumus (2) sebagai berikut:

sx = axt 2 /2. (3)

Rumus (2) dan (3) sangat mirip, sehingga terkadang menimbulkan kesalahan saat menyelesaikan masalah sederhana. Faktanya nilai proyeksi perpindahan bisa negatif. Hal ini terjadi jika sumbu x berlawanan arah dengan perpindahan: maka s x< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. Gambar 6.5 menunjukkan grafik waktu tempuh dan proyeksi perpindahan suatu benda tertentu. Apa warna grafik proyeksi perpindahan?

Kecepatan awal benda tidak nol

Ingatlah bahwa dalam hal ini ketergantungan proyeksi kecepatan terhadap waktu dinyatakan dengan rumus

vx = v 0x + axt, (4)

dimana v 0x adalah proyeksi kecepatan awal pada sumbu x.

Kita akan membahas lebih lanjut kasus ketika v 0x > 0, ax > 0. Dalam kasus ini, kita dapat kembali memanfaatkan fakta bahwa lintasan secara numerik sama dengan luas gambar di bawah grafik kecepatan versus waktu. (Pertimbangkan sendiri kombinasi tanda lain untuk proyeksi kecepatan dan percepatan awal: hasilnya akan sama dengan rumus umum (5).

Gambar 6.6 menunjukkan grafik v x (t) untuk v 0x > 0, a x > 0.

5. Dengan menggunakan Gambar 6.6, buktikan bahwa pada gerak lurus beraturan yang dipercepat beraturan dengan kecepatan awal, proyeksi perpindahannya

sx = v 0x + axt 2 /2. (5)

Rumus ini memungkinkan Anda menemukan ketergantungan koordinat x suatu benda terhadap waktu. Mari kita ingat kembali (lihat rumus (6), § 2) bahwa koordinat x suatu benda berhubungan dengan proyeksi perpindahannya s x melalui relasi

s x = x – x 0 ,

dimana x 0 adalah koordinat awal benda. Karena itu,

x = x 0 + s x , (6)

Dari rumus (5), (6) kita peroleh:

x = x 0 + v 0x t + a x t 2 /2. (7)

6. Ketergantungan koordinat terhadap waktu suatu benda yang bergerak sepanjang sumbu x dinyatakan dalam satuan SI dengan rumus x = 6 – 5t + t 2.
a) Berapakah koordinat awal benda tersebut?
b) Berapa proyeksi kecepatan awal pada sumbu x?
c) Berapa proyeksi percepatan pada sumbu x?
d) Gambarlah grafik koordinat x terhadap waktu.
e) Gambarlah grafik proyeksi kecepatan terhadap waktu.
f) Pada saat berapa kecepatan benda sama dengan nol?
g) Apakah benda akan kembali ke titik awal? Jika ya, pada titik waktu manakah?
h) Akankah benda melewati titik asal? Jika ya, pada titik waktu manakah?
i) Gambarlah grafik proyeksi perpindahan terhadap waktu.
j) Gambarlah grafik jarak versus waktu.

3. Hubungan antara lintasan dan kecepatan

Saat menyelesaikan masalah, hubungan antara lintasan, percepatan dan kecepatan (v awal 0, v akhir atau keduanya) sering digunakan. Mari kita turunkan hubungan ini. Mari kita mulai dengan gerakan tanpa kecepatan awal. Dari rumus (1) kita peroleh waktu gerak:

Mari kita gantikan ekspresi ini ke dalam rumus (2) untuk jalurnya:

aku = pada 2 /2 = a/2(v/a) 2 = v 2 /2a. (9)

Kesimpulan utama:

pada gerak lurus beraturan yang dipercepat tanpa kecepatan awal, jarak yang ditempuh benda sebanding dengan kuadrat kecepatan akhir.

7. Setelah berangkat, mobil memperoleh kecepatan 10 m/s dalam jarak 40 m. Anggaplah gerak mobil tersebut linier dan dipercepat beraturan. Tanpa menghitung percepatan mobil, tentukan jarak yang ditempuh mobil dari awal gerak ketika kecepatannya sama dengan: a) 20 m/s? b) 40 m/s? c) 5 m/s?

Hubungan (9) juga dapat diperoleh dengan mengingat bahwa lintasan secara numerik sama dengan luas gambar yang tercakup dalam grafik kecepatan versus waktu (Gbr. 6.7).

Pertimbangan ini akan membantu Anda mengatasi tugas selanjutnya dengan mudah.

8. Dengan menggunakan Gambar 6.8, buktikan bahwa ketika melakukan pengereman dengan percepatan tetap, benda menempuh jarak l t = v 0 2 /2a hingga berhenti total, dimana v 0 adalah kecepatan awal benda, a adalah modulus percepatan.

Dalam hal terjadi pengereman pada suatu kendaraan (mobil, kereta api), jarak yang ditempuh hingga berhenti total disebut jarak pengereman. Perlu diperhatikan: jarak pengereman pada kecepatan awal v 0 dan jarak yang ditempuh selama percepatan dari diam ke kecepatan v 0 dengan percepatan yang sama a adalah sama.

9. Pada saat pengereman darurat di aspal kering, percepatan mobil sama dengan nilai mutlak 5 m/s 2 . Berapa jarak pengereman sebuah mobil pada kecepatan awal: a) 60 km/jam (kecepatan maksimum yang diperbolehkan dalam kota); b) 120 km/jam? Tentukan jarak pengereman pada kecepatan yang ditunjukkan selama kondisi es, ketika modulus percepatannya adalah 2 m/s 2 . Bandingkan jarak pengereman yang Anda temukan dengan panjang ruang kelas.

10. Dengan menggunakan Gambar 6.9 dan rumus yang menyatakan luas trapesium melalui tingginya dan setengah jumlah alasnya, buktikan bahwa untuk gerak lurus beraturan dipercepat:
a) l = (v 2 – v 0 2)/2a, jika kecepatan benda bertambah;
b) l = (v 0 2 – v 2)/2a, jika kecepatan benda berkurang.

11. Buktikan bahwa proyeksi perpindahan, kecepatan awal dan akhir, serta percepatan berhubungan dengan hubungan

s x = (v x 2 – v 0x 2)/2ax (10)

12. Sebuah mobil yang menempuh jarak 200 m dipercepat dari kecepatan 10 m/s menjadi 30 m/s.
a) Berapa kecepatan mobil tersebut bergerak?
b) Berapa lama waktu yang dibutuhkan mobil untuk menempuh jarak yang ditentukan?
c) Berapakah kelajuan rata-rata mobil tersebut?

Pertanyaan dan tugas tambahan

13. Gerbong terakhir dilepas dari kereta yang sedang bergerak, setelah itu kereta bergerak beraturan, dan gerbong bergerak dengan percepatan tetap hingga berhenti total.
a) Gambarlah pada satu gambar grafik kecepatan versus waktu untuk kereta api dan gerbong.
b) Berapa kali jarak yang ditempuh kereta ke halte lebih kecil dari jarak yang ditempuh kereta api dalam waktu yang sama?

14. Setelah meninggalkan stasiun, kereta api melaju dengan percepatan seragam selama beberapa waktu, kemudian selama 1 menit dengan kecepatan seragam 60 km/jam, kemudian dengan percepatan seragam lagi hingga berhenti di stasiun berikutnya. Modul akselerasi saat akselerasi dan pengereman berbeda. Kereta api menempuh jarak antar stasiun dalam waktu 2 menit.
a) Gambarlah grafik skema proyeksi kecepatan kereta api sebagai fungsi waktu.
b) Dengan menggunakan grafik ini, tentukan jarak antar stasiun.
c) Berapa jarak yang ditempuh kereta api jika dipercepat pada ruas pertama dan diperlambat pada ruas kedua? Berapa kecepatan maksimumnya?

15. Sebuah benda bergerak dengan percepatan beraturan sepanjang sumbu x. Pada saat awal ia berada di titik asal koordinat, dan proyeksi kecepatannya sama dengan 8 m/s. Setelah 2 s, koordinat benda menjadi 12 m.
a) Berapakah proyeksi percepatan benda?
b) Buatlah grafik v x (t).
c) Tuliskan rumus yang menyatakan ketergantungan x(t) dalam satuan SI.
d) Akankah kecepatan benda menjadi nol? Jika ya, pada jam berapa?
e) Akankah benda mengunjungi titik dengan koordinat 12 m untuk kedua kalinya? Jika ya, pada jam berapa?
f) Apakah benda akan kembali ke titik awal? Jika iya, kapan waktunya dan berapa jarak yang ditempuh?

16. Setelah dorongan, bola menggelinding pada bidang miring, setelah itu kembali ke titik awal. Bola berada pada jarak b dari titik awal sebanyak dua kali pada selang waktu t 1 dan t 2 setelah dorongan. Bola bergerak naik turun sepanjang bidang miring dengan percepatan yang sama.
a) Arahkan sumbu x ke atas sepanjang bidang miring, pilih titik asal pada posisi awal bola dan tuliskan rumus yang menyatakan ketergantungan x(t), yang meliputi modulus kecepatan awal bola v0 dan modulus percepatan bola a.
b) Dengan menggunakan rumus ini dan fakta bahwa bola berada pada jarak b dari titik awal pada waktu t 1 dan t 2, buatlah sistem dua persamaan dengan dua v 0 dan a yang tidak diketahui.
c) Setelah menyelesaikan sistem persamaan ini, nyatakan v 0 dan a dalam bentuk b, t 1 dan t 2.
d) Nyatakan seluruh lintasan l yang dilalui bola dalam bentuk b, t 1 dan t 2.
e) Tentukan nilai numerik v 0, a dan l untuk b = 30 cm, t 1 = 1 s, t 2 = 2 s.
f) Plot grafik v x (t), s x (t), l(t).
g) Dengan menggunakan grafik sx(t), tentukan momen ketika modulus perpindahan bola mencapai maksimum.

3.1. Gerak seragam dalam garis lurus.

3.1.1. Gerak seragam dalam garis lurus- gerak lurus dengan percepatan tetap besar dan arahnya:

3.1.2. Percepatan()- besaran vektor fisika yang menunjukkan seberapa besar perubahan kecepatan dalam 1 s.

Dalam bentuk vektor:

dimana adalah kecepatan awal benda, adalah kecepatan benda pada momen waktu T.

Dalam proyeksi ke sumbu Sapi:

dimana adalah proyeksi kecepatan awal pada sumbu Sapi, - proyeksi kecepatan benda ke sumbu Sapi pada suatu saat T.

Tanda-tanda proyeksi bergantung pada arah vektor dan sumbu Sapi.

3.1.3. Grafik proyeksi percepatan terhadap waktu.

Pada gerak bolak-balik beraturan, percepatannya tetap, sehingga tampak sebagai garis lurus yang sejajar sumbu waktu (lihat gambar):

3.1.4. Kecepatan selama gerak seragam.

Dalam bentuk vektor:

Dalam proyeksi ke sumbu Sapi:

Untuk gerak dipercepat beraturan:

Untuk gerak lambat seragam:

3.1.5. Grafik proyeksi kecepatan versus waktu.

Grafik proyeksi kecepatan terhadap waktu berbentuk garis lurus.

Arah gerak: jika grafik (atau sebagiannya) berada di atas sumbu waktu, maka benda bergerak searah sumbu positif Sapi.

Nilai percepatan: semakin besar garis singgung sudut kemiringan (semakin curam naik atau turun), semakin besar modul percepatannya; dimana perubahan kecepatan terhadap waktu

Persimpangan dengan sumbu waktu: jika grafik memotong sumbu waktu, maka sebelum titik potong benda tersebut melambat (gerak lambat beraturan), dan setelah titik potong tersebut mulai mengalami percepatan ke arah yang berlawanan (gerakan dipercepat beraturan).

3.1.6. Arti geometris dari luas di bawah grafik pada sumbu

Luas di bawah grafik ketika berada pada sumbu Oi kecepatannya tertunda, dan pada porosnya Sapi- waktu adalah jalur yang dilalui tubuh.

Pada Gambar. 3.5 menunjukkan kasus gerak dipercepat beraturan. Lintasan dalam hal ini akan sama dengan luas trapesium: (3.9)

3.1.7. Rumus untuk menghitung jalur

Gerak dipercepat beraturan	Gerakan lambat yang sama
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

Semua rumus yang disajikan dalam tabel hanya berfungsi bila arah gerak dipertahankan, yaitu sampai garis lurus berpotongan dengan sumbu waktu pada grafik proyeksi kecepatan versus waktu.

Jika telah terjadi perpotongan, maka pergerakannya lebih mudah dibagi menjadi dua tahap:

sebelum menyeberang (pengereman):

Setelah persimpangan (percepatan, gerakan berlawanan arah)

Pada rumus di atas - waktu dari awal gerakan sampai perpotongan dengan sumbu waktu (waktu sebelum berhenti), - jalur yang ditempuh benda dari awal gerakan sampai perpotongan dengan sumbu waktu, - waktu yang telah berlalu dari saat melintasi sumbu waktu hingga saat ini T, - jalur yang dilalui benda dalam arah yang berlawanan selama waktu yang telah berlalu sejak saat melintasi sumbu waktu hingga saat ini T, - modul vektor perpindahan sepanjang waktu pergerakan, L- jalur yang dilalui tubuh selama seluruh gerakan.

3.1.8. Gerakan di detik ke-th.

Selama waktu tersebut benda akan menempuh jarak sebagai berikut:

Kemudian pada interval ke-th benda akan menempuh jarak sebagai berikut:

Setiap periode waktu dapat dianggap sebagai interval. Paling sering dengan.

Kemudian dalam waktu 1 sekon benda tersebut menempuh jarak sebagai berikut:

Dalam 2 detik:

Dalam 3 detik:

Jika kita perhatikan baik-baik, kita akan melihat itu, dll.

Jadi, kita sampai pada rumus:

Dengan kata lain: jalur yang dilalui suatu benda selama periode waktu yang berurutan berhubungan satu sama lain sebagai rangkaian bilangan ganjil, dan ini tidak bergantung pada percepatan gerak benda tersebut. Kami menekankan bahwa hubungan ini valid untuk

3.1.9. Persamaan koordinat benda untuk gerak beraturan

Persamaan koordinat

Tanda-tanda proyeksi kecepatan dan percepatan awal bergantung pada posisi relatif vektor dan sumbu yang bersesuaian Sapi.

Untuk menyelesaikan masalah, perlu ditambahkan persamaan perubahan proyeksi kecepatan ke sumbu:

3.2. Grafik besaran kinematik gerak lurus

3.3. Tubuh jatuh bebas

Yang kami maksud dengan jatuh bebas adalah model fisik berikut:

1) Kejatuhan terjadi di bawah pengaruh gravitasi:

2) Tidak ada hambatan udara (dalam soal terkadang mereka menulis “abaikan hambatan udara”);

3) Semua benda, berapa pun massanya, jatuh dengan percepatan yang sama (terkadang mereka menambahkan “apa pun bentuk bendanya”, tetapi kita menganggap pergerakan hanya suatu titik material, sehingga bentuk benda tidak lagi diambil. memperhitungkan);

4) Percepatan jatuh bebas diarahkan tepat ke bawah dan sama besarnya di permukaan bumi (dalam soal sering kita asumsikan untuk memudahkan perhitungan);

3.3.1. Persamaan gerak dalam proyeksi ke sumbu Oi

Berbeda dengan gerakan sepanjang garis lurus horizontal, ketika tidak semua tugas melibatkan perubahan arah gerakan, dalam jatuh bebas sebaiknya segera menggunakan persamaan yang ditulis dalam proyeksi ke sumbu. Oi.

Persamaan koordinat benda:

Persamaan proyeksi kecepatan:

Biasanya, dalam soal akan lebih mudah untuk memilih sumbu Oi sebagai berikut:

Sumbu Oi diarahkan secara vertikal ke atas;

Titik asal bertepatan dengan permukaan bumi atau titik terendah lintasan.

Dengan pilihan ini, persamaan dan akan ditulis ulang dalam bentuk berikut:

3.4. Gerakan di pesawat Oks.

Kami memeriksa gerak suatu benda dengan percepatan sepanjang garis lurus. Namun, gerak variabel seragam tidak terbatas pada hal ini. Misalnya benda dilempar dengan sudut mendatar. Dalam soal seperti itu, perlu memperhitungkan pergerakan sepanjang dua sumbu sekaligus:

Atau dalam bentuk vektor:

Dan mengubah proyeksi kecepatan pada kedua sumbu:

3.5. Penerapan konsep turunan dan integral

Kami tidak akan memberikan definisi detail mengenai turunan dan integral di sini. Untuk menyelesaikan masalah kita hanya membutuhkan sejumlah kecil rumus.

Turunan:

Di mana A, B dan itu adalah, nilai konstan.

Integral:

Sekarang mari kita lihat bagaimana konsep turunan dan integral diterapkan pada besaran fisika. Dalam matematika, turunan dilambangkan dengan """, dalam fisika, turunan terhadap waktu dilambangkan dengan "∙" di atas fungsi.

Kecepatan:

yaitu kecepatan merupakan turunan dari vektor jari-jari.

Untuk proyeksi kecepatan:

Percepatan:

artinya percepatan merupakan turunan dari kecepatan.

Untuk proyeksi percepatan:

Jadi, jika hukum gerak diketahui, maka kita dapat dengan mudah mengetahui kecepatan dan percepatan benda.

Sekarang mari kita gunakan konsep integral.

Kecepatan:

artinya, kecepatan dapat dicari sebagai integral waktu dari percepatan.

vektor radius:

artinya, vektor jari-jari dapat dicari dengan mengambil integral fungsi kecepatan.

Jadi, jika fungsinya diketahui, kita dapat dengan mudah mencari kecepatan dan hukum gerak benda.

Konstanta dalam rumus ditentukan dari kondisi awal - nilai dan waktu

3.6. Segitiga kecepatan dan segitiga perpindahan

3.6.1. Segitiga kecepatan

Dalam bentuk vektor dengan percepatan konstan, hukum perubahan kecepatan berbentuk (3.5):

Rumus ini berarti suatu vektor sama dengan jumlah vektor dari vektor-vektor dan jumlah vektor selalu dapat digambarkan dalam suatu gambar (lihat gambar).

Dalam setiap soal, tergantung kondisinya, segitiga kecepatan akan memiliki bentuknya sendiri-sendiri. Representasi ini memungkinkan penggunaan pertimbangan geometris dalam penyelesaiannya, yang seringkali menyederhanakan penyelesaian masalah.

3.6.2. Segitiga gerakan

Dalam bentuk vektor, hukum gerak dengan percepatan konstan berbentuk:

Saat menyelesaikan suatu masalah, Anda dapat memilih sistem referensi dengan cara yang paling nyaman, oleh karena itu, tanpa kehilangan keumuman, kita dapat memilih sistem referensi sedemikian rupa sehingga, yaitu, kita menempatkan asal sistem koordinat pada titik tersebut. di mana tubuh berada pada saat awal. Kemudian

yaitu vektor sama dengan jumlah vektor dari vektor-vektor tersebut dan Mari kita gambarkan dalam gambar (lihat gambar).

Seperti pada kasus sebelumnya, tergantung kondisinya, segitiga perpindahan akan memiliki bentuknya sendiri-sendiri. Representasi ini memungkinkan penggunaan pertimbangan geometris dalam penyelesaiannya, yang seringkali menyederhanakan penyelesaian masalah.