Tingkat masuk

Menyelesaikan persamaan, pertidaksamaan, sistem menggunakan grafik fungsi. Panduan Visual (2019)

Banyak tugas yang biasa kita hitung secara aljabar murni dapat diselesaikan dengan lebih mudah dan cepat menggunakan grafik fungsi akan membantu kita dalam hal ini; Anda berkata “bagaimana bisa?” menggambar sesuatu, dan menggambar apa? Percayalah, terkadang ini lebih nyaman dan mudah. Bagaimana kalau kita mulai? Mari kita mulai dengan persamaannya!

Solusi grafis persamaan

Solusi grafis persamaan linear

Seperti yang telah Anda ketahui, grafik persamaan linier berbentuk garis lurus, oleh karena itu dinamakan jenis ini. Persamaan linier cukup mudah diselesaikan secara aljabar - kita pindahkan semua yang tidak diketahui ke satu sisi persamaan, semua yang kita ketahui ke sisi lainnya dan voila! Kami menemukan akarnya. Sekarang saya akan menunjukkan cara melakukannya secara grafis.

Jadi, Anda memiliki persamaan:

Bagaimana cara mengatasinya?
Pilihan 1, dan yang paling umum adalah memindahkan yang tidak diketahui ke satu sisi dan yang diketahui ke sisi lain, kita mendapatkan:

Sekarang mari kita membangun. Apa yang kamu dapatkan?

Menurut Anda apa yang menjadi akar persamaan kita? Benar, koordinat titik potong grafiknya adalah:

Jawaban kami adalah

Itulah keseluruhan kebijaksanaan dari solusi grafis. Seperti yang bisa kamu periksa dengan mudah, akar persamaan kita adalah angka!

Seperti yang saya katakan di atas, ini adalah opsi paling umum, mendekati solusi aljabar, tetapi Anda dapat menyelesaikannya dengan cara lain. Untuk mempertimbangkan solusi alternatif, mari kembali ke persamaan kita:

Kali ini kita tidak akan memindahkan apapun dari sisi ke sisi, tetapi akan membuat grafiknya secara langsung, seperti sekarang:

Dibuat? Mari kita lihat!

Apa solusinya kali ini? Itu benar. Hal yang sama - koordinat titik potong grafik:

Dan, sekali lagi, jawaban kami adalah.

Seperti yang Anda lihat, persamaan linear semuanya sangat sederhana. Saatnya untuk melihat sesuatu yang lebih kompleks... Misalnya, solusi grafis persamaan kuadrat.

Solusi grafis persamaan kuadrat

Jadi, sekarang mari kita mulai menyelesaikan persamaan kuadrat. Katakanlah Anda perlu mencari akar persamaan ini:

Tentu saja, Anda sekarang dapat mulai menghitung melalui diskriminan, atau menurut teorema Vieta, tetapi banyak orang, karena gugup, membuat kesalahan saat mengali atau mengkuadratkan, terutama jika contohnya dengan bilangan besar, dan, seperti yang Anda tahu, Anda menang tidak punya kalkulator untuk ujian... Oleh karena itu, mari kita coba bersantai sedikit dan menggambar sambil menyelesaikan persamaan ini.

Solusi persamaan ini dapat ditemukan secara grafis dengan berbagai cara. Mari kita lihat berbagai opsi, dan Anda dapat memilih mana yang paling Anda sukai.

Metode 1. Secara langsung

Kami cukup membuat parabola menggunakan persamaan ini:

Untuk melakukannya dengan cepat, saya akan memberi Anda satu petunjuk kecil: Lebih mudah untuk memulai konstruksi dengan menentukan titik puncak parabola. Rumus berikut akan membantu menentukan koordinat titik puncak parabola:

Anda akan berkata, “Berhenti! Rumusnya sangat mirip dengan rumus mencari diskriminan,” ya, benar, dan ini merupakan kerugian besar jika “langsung” membuat parabola untuk mencari akarnya. Namun, mari kita hitung sampai akhir, lalu saya akan menunjukkan cara melakukannya dengan (jauh!) lebih mudah!

Apakah kamu menghitung? Berapa koordinat titik puncak parabola yang kamu peroleh? Mari kita cari tahu bersama:

Jawaban yang sama persis? Bagus sekali! Dan sekarang kita sudah mengetahui koordinat titik sudutnya, namun untuk membuat parabola kita memerlukan lebih banyak... titik. Menurut Anda, berapa poin minimum yang kami perlukan? Benar, .

Diketahui parabola simetris terhadap titik puncaknya, misalnya:

Oleh karena itu, kita memerlukan dua titik lagi di cabang kiri atau kanan parabola, dan selanjutnya kita akan merefleksikan titik-titik ini secara simetris di sisi yang berlawanan:

Mari kita kembali ke parabola kita. Untuk kasus kami, titik. Kita perlu dua poin lagi, jadi kita bisa mengambil yang positif, atau mengambil yang negatif? Poin mana yang lebih nyaman bagi Anda? Lebih nyaman bagi saya untuk bekerja dengan yang positif, jadi saya akan menghitungnya di dan.

Sekarang kita mempunyai tiga titik, kita dapat dengan mudah membuat parabola kita dengan merefleksikan dua titik terakhir relatif terhadap titik puncaknya:

Menurut Anda apa solusi dari persamaan tersebut? Benar, poinnya adalah, dan. Karena.

Dan kalau kita bilang begitu, berarti harus sama juga, atau.

Hanya? Kami telah menyelesaikan penyelesaian persamaan bersama Anda dengan cara grafis yang kompleks, atau akan ada lebih banyak lagi!

Tentu saja, Anda dapat memeriksa jawaban kami secara aljabar - Anda dapat menghitung akar-akarnya menggunakan teorema Vieta atau Diskriminan. Apa yang kamu dapatkan? Sama? Anda lihat! Sekarang mari kita lihat solusi grafis yang sangat sederhana, saya yakin Anda akan sangat menyukainya!

Metode 2. Dibagi menjadi beberapa fungsi

Mari kita ambil persamaan kita yang sama: , namun kita akan menuliskannya sedikit berbeda, yaitu:

Bisakah kita menulisnya seperti ini? Kita bisa, karena transformasinya setara. Mari kita lihat lebih jauh.

Mari kita buat dua fungsi secara terpisah:

1. - grafiknya adalah parabola sederhana, yang dapat Anda buat dengan mudah bahkan tanpa menentukan titik puncaknya menggunakan rumus dan membuat tabel untuk menentukan titik lainnya.
2. - grafiknya adalah garis lurus, yang dapat Anda buat dengan mudah dengan memperkirakan nilai di kepala Anda bahkan tanpa menggunakan kalkulator.

Dibuat? Mari kita bandingkan dengan apa yang saya dapatkan:

Menurut Anda apa akar persamaan dalam kasus ini? Benar! Koordinat yang diperoleh dari perpotongan dua grafik dan, yaitu:

Oleh karena itu, solusi persamaan ini adalah:

Apa yang kamu katakan? Setuju, cara penyelesaian ini jauh lebih mudah dari cara sebelumnya dan bahkan lebih mudah daripada mencari akar melalui diskriminan! Jika ya, coba selesaikan persamaan berikut menggunakan metode ini:

Apa yang kamu dapatkan? Mari kita bandingkan grafik kita:

Grafik menunjukkan bahwa jawabannya adalah:

Apakah Anda berhasil? Bagus sekali! Sekarang mari kita lihat persamaan yang sedikit lebih rumit, yaitu menyelesaikan persamaan campuran, yaitu persamaan yang mengandung fungsi-fungsi yang tipenya berbeda.

Solusi grafis dari persamaan campuran

Sekarang mari kita coba selesaikan hal berikut:

Tentu saja, Anda dapat membawa semuanya ke penyebut yang sama, menemukan akar persamaan yang dihasilkan, tanpa lupa memperhitungkan ODZ, tetapi sekali lagi, kami akan mencoba menyelesaikannya secara grafis, seperti yang kami lakukan pada semua kasus sebelumnya.

Kali ini mari kita buat 2 grafik berikut:

1. - grafiknya hiperbola
2. - grafiknya adalah garis lurus, yang dapat Anda buat dengan mudah dengan memperkirakan nilai di kepala Anda bahkan tanpa menggunakan kalkulator.

Menyadarinya? Sekarang mulailah membangun.

Inilah yang saya dapatkan:

Melihat gambar ini, beri tahu saya apa akar persamaan kita?

Itu benar, dan. Berikut konfirmasinya:

Coba masukkan akar kita ke dalam persamaan. Apakah itu berhasil?

Itu benar! Setuju, menyelesaikan persamaan seperti itu secara grafis adalah suatu kesenangan!

Cobalah untuk menyelesaikan sendiri persamaan tersebut secara grafis:

Saya akan memberi Anda petunjuk: pindahkan sebagian persamaan ke ruas kanan sehingga fungsi yang paling sederhana untuk dibuat ada di kedua ruas. Apakah Anda mendapatkan petunjuknya? Ambil tindakan!

Sekarang mari kita lihat apa yang Anda dapatkan:

Masing-masing:

1. - parabola kubik.
2. - garis lurus biasa.

Baiklah, mari kita membangun:

Seperti yang Anda tuliskan sebelumnya, akar persamaan ini adalah - .

Setelah mempelajari begitu banyak contoh, saya yakin Anda menyadari betapa mudah dan cepatnya menyelesaikan persamaan secara grafis. Saatnya mencari cara untuk menyelesaikan sistem dengan cara ini.

Solusi grafis sistem

Penyelesaian sistem secara grafis pada dasarnya tidak berbeda dengan penyelesaian persamaan secara grafis. Kami juga akan membuat dua grafik, dan titik potongnya akan menjadi akar sistem ini. Satu grafik adalah satu persamaan, grafik kedua adalah persamaan lainnya. Semuanya sangat sederhana!

Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana - menyelesaikan sistem persamaan linear.

Memecahkan sistem persamaan linear

Katakanlah kita memiliki sistem berikut:

Pertama, mari kita ubah sehingga di sebelah kiri ada segala sesuatu yang berhubungan dengan, dan di sebelah kanan - segala sesuatu yang berhubungan dengan. Dengan kata lain, mari kita tulis persamaan ini sebagai fungsi dalam bentuk biasa:

Sekarang kita tinggal membuat dua garis lurus. Apa solusinya dalam kasus kita? Benar! Titik persimpangan mereka! Dan di sini Anda harus sangat, sangat berhati-hati! Coba pikirkan, kenapa? Izinkan saya memberi Anda petunjuk: kita berhadapan dengan sebuah sistem: di dalam sistem terdapat keduanya, dan... Mengerti petunjuknya?

Itu benar! Saat menyelesaikan suatu sistem, kita harus melihat kedua koordinatnya, dan bukan hanya seperti saat menyelesaikan persamaan! Hal penting lainnya adalah menuliskannya dengan benar dan tidak bingung dimana kita mempunyai arti dan dimana arti! Apakah Anda menuliskannya? Sekarang mari kita bandingkan semuanya secara berurutan:

Dan jawabannya: dan. Lakukan pemeriksaan - gantikan akar yang ditemukan ke dalam sistem dan pastikan apakah kita menyelesaikannya dengan benar secara grafis?

Memecahkan sistem persamaan nonlinier

Bagaimana jika, selain satu garis lurus, kita mempunyai persamaan kuadrat? Tidak apa-apa! Anda cukup membuat parabola, bukan garis lurus! Tidak percaya padaku? Coba selesaikan sistem berikut:

Apa langkah kita selanjutnya? Betul, tuliskan agar memudahkan kita membuat grafik:

Dan sekarang semuanya hanya masalah hal-hal kecil - bangunlah dengan cepat dan inilah solusi Anda! Kami sedang membangun:

Apakah grafiknya ternyata sama? Sekarang tandai solusi sistem pada gambar dan tuliskan jawaban yang teridentifikasi dengan benar!

Apakah kamu melakukan semuanya? Bandingkan dengan catatan saya:

Apakah semuanya baik-baik saja? Bagus sekali! Anda sudah menyelesaikan tugas-tugas seperti ini seperti orang gila! Jika ya, berikan Anda sistem yang lebih rumit:

Apa yang kita lakukan? Benar! Kami menulis sistem agar nyaman untuk dibangun:

Saya akan memberi Anda sedikit petunjuk, karena sistemnya terlihat sangat rumit! Saat membuat grafik, buatlah grafik “lebih banyak”, dan yang terpenting, jangan kaget dengan banyaknya titik perpotongan.

Jadi, ayo pergi! Dihembuskan? Sekarang mulailah membangun!

Jadi bagaimana? Cantik? Berapa banyak titik persimpangan yang Anda dapatkan? Saya punya tiga! Mari kita bandingkan grafik kita:

Juga? Sekarang dengan hati-hati tuliskan semua solusi sistem kami:

Sekarang lihat sistemnya lagi:

Bisakah Anda bayangkan Anda menyelesaikannya hanya dalam 15 menit? Setuju, matematika itu masih sederhana, apalagi ketika melihat sebuah ekspresi kamu tidak takut melakukan kesalahan, tapi ambil saja dan selesaikan! Kamu hebat!

Solusi grafis dari ketidaksetaraan

Solusi grafis dari pertidaksamaan linier

Setelah contoh terakhir, Anda bisa melakukan apa saja! Sekarang hembuskan napas - dibandingkan dengan bagian sebelumnya, bagian ini akan sangat, sangat mudah!

Kita akan mulai, seperti biasa, dengan solusi grafis pertidaksamaan linier. Misalnya yang ini:

Pertama, mari kita lakukan transformasi paling sederhana - buka tanda kurung siku sempurna dan sajikan suku-suku serupa:

Pertidaksamaannya tidak tegas, oleh karena itu tidak termasuk dalam interval, dan penyelesaiannya adalah semua titik yang berada di sebelah kanan, karena lebih banyak, lebih banyak, dan seterusnya:

Menjawab:

Itu saja! Mudah? Mari selesaikan pertidaksamaan sederhana dengan dua variabel:

Mari kita menggambar suatu fungsi dalam sistem koordinat.

Apakah Anda mendapat jadwal seperti ini? Sekarang mari kita lihat baik-baik ketimpangan apa yang kita alami di sana? Lebih sedikit? Ini berarti kita mengecat segala sesuatu yang berada di sebelah kiri garis lurus kita. Bagaimana jika ada lebih banyak lagi? Benar sekali, lalu kita akan mengecat semua yang ada di sebelah kanan garis lurus kita. Sederhana saja.

Semua solusi terhadap ketimpangan ini diberi warna oranye. Itu saja, pertidaksamaan dengan dua variabel terselesaikan. Artinya, koordinat suatu titik pada daerah yang diarsir merupakan penyelesaiannya.

Solusi grafis dari pertidaksamaan kuadrat

Sekarang kita akan memahami cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat secara grafis.

Namun sebelum kita langsung ke intinya, mari kita ulas beberapa materi mengenai fungsi kuadrat.

Apa tanggung jawab diskriminan? Benar sekali, untuk posisi grafik relatif terhadap sumbu (kalau belum ingat pasti baca teori tentang fungsi kuadrat).

Bagaimanapun, berikut ini sedikit pengingat untuk Anda:

Sekarang kita telah menyegarkan semua materi dalam ingatan kita, mari kita mulai bisnis - selesaikan pertidaksamaan secara grafis.

Saya akan segera memberitahu Anda bahwa ada dua opsi untuk menyelesaikannya.

Pilihan 1

Kami menulis parabola kami sebagai fungsi:

Dengan menggunakan rumus, kita menentukan koordinat titik puncak parabola (sama persis seperti saat menyelesaikan persamaan kuadrat):

Apakah kamu menghitung? Apa yang kamu dapatkan?

Sekarang mari kita ambil dua titik berbeda dan menghitungnya:

Mari kita mulai membangun salah satu cabang parabola:

Kami mencerminkan titik-titik kami secara simetris ke cabang parabola lainnya:

Sekarang mari kita kembali ke ketidaksetaraan kita.

Kita membutuhkannya masing-masing kurang dari nol:

Karena dalam pertidaksamaan kita tandanya lebih kecil dari, kita mengecualikan titik akhir - “menusuk”.

Menjawab:

Jauh sekali, bukan? Sekarang saya akan menunjukkan versi solusi grafis yang lebih sederhana menggunakan contoh pertidaksamaan yang sama:

pilihan 2

Kita kembali ke pertidaksamaan dan menandai interval yang kita perlukan:

Setuju, ini jauh lebih cepat.

Sekarang mari kita tuliskan jawabannya:

Mari kita pertimbangkan solusi lain yang menyederhanakan bagian aljabar, tetapi yang utama jangan sampai bingung.

Kalikan ruas kiri dan kanan dengan:

Cobalah selesaikan sendiri pertidaksamaan kuadrat berikut sesuka Anda: .

Apakah Anda berhasil?

Lihat bagaimana hasil grafik saya:

Menjawab: .

Solusi grafis dari ketidaksetaraan campuran

Sekarang mari kita beralih ke kesenjangan yang lebih kompleks!

Bagaimana Anda menyukai ini:

Itu menyeramkan, bukan? Sejujurnya, saya tidak tahu bagaimana menyelesaikannya secara aljabar... Tapi itu tidak perlu. Secara grafis, tidak ada yang rumit dalam hal ini! Mata takut, tapi tangan melakukan!

Hal pertama yang akan kita mulai adalah dengan membuat dua grafik:

Saya tidak akan menuliskan tabel untuk masing-masing tabel - saya yakin Anda dapat melakukannya sendiri dengan sempurna (wow, ada begitu banyak contoh yang harus diselesaikan!).

Apakah kamu mengecatnya? Sekarang buat dua grafik.

Mari kita bandingkan gambar kita?

Apakah sama denganmu? Besar! Sekarang mari kita atur titik potongnya dan gunakan warna untuk menentukan grafik mana yang secara teori harus kita buat lebih besar. Lihat apa yang terjadi pada akhirnya:

Sekarang mari kita lihat grafik pilihan kita mana yang lebih tinggi dari grafik tersebut? Jangan ragu untuk mengambil pensil dan mengecat area ini! Dia akan menjadi solusi bagi kesenjangan kita yang kompleks!

Pada interval berapa di sepanjang sumbu kita berada lebih tinggi? Benar, . Inilah jawabannya!

Nah, sekarang Anda dapat menangani persamaan apa pun, sistem apa pun, dan terlebih lagi ketidaksetaraan apa pun!

SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Algoritma penyelesaian persamaan menggunakan grafik fungsi:

1. Mari kita ungkapkan melalui
2. Mari kita tentukan tipe fungsinya
3. Mari kita buat grafik dari fungsi yang dihasilkan
4. Mari kita cari titik potong grafiknya
5. Ayo tuliskan jawabannya dengan benar (perhatikan tanda ODZ dan pertidaksamaan)
6. Mari kita periksa jawabannya (gantikan akar-akarnya ke dalam persamaan atau sistem)

Untuk informasi lebih lanjut tentang membuat grafik fungsi, lihat topik “”.

Grafik pertidaksamaan linier atau kuadrat dibuat dengan cara yang sama seperti grafik fungsi apa pun (persamaan). Bedanya, pertidaksamaan mengandung arti adanya banyak penyelesaian, sehingga grafik pertidaksamaan bukan sekedar titik pada garis bilangan atau garis pada bidang koordinat. Dengan menggunakan operasi matematika dan tanda pertidaksamaan, Anda dapat menentukan banyak solusi pertidaksamaan tersebut.

Tangga

Representasi grafis pertidaksamaan linier pada garis bilangan

1. Selesaikan ketimpangan tersebut. Untuk melakukannya, isolasi variabel menggunakan teknik aljabar yang sama dengan yang Anda gunakan untuk menyelesaikan persamaan apa pun. Ingatlah bahwa ketika mengalikan atau membagi suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan (atau suku) negatif, balikkan tanda pertidaksamaannya.

   • Misalnya, mengingat adanya ketimpangan 3 tahun + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Untuk memisahkan suatu variabel, kurangi kedua ruas pertidaksamaan dengan 9, lalu bagi kedua ruas tersebut dengan 3:
     3 tahun + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 tahun > 3 (\gaya tampilan 3 tahun>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\gaya tampilan y>1)
   • Suatu pertidaksamaan hanya boleh mempunyai satu variabel. Jika pertidaksamaan memiliki dua variabel, sebaiknya grafiknya diplot pada bidang koordinat.

2. Gambarlah garis bilangan. Pada garis bilangan, tandai nilai yang Anda temukan (variabelnya bisa lebih kecil, lebih besar, atau sama dengan nilai tersebut). Gambarlah garis bilangan dengan panjang yang sesuai (panjang atau pendek).

   • Misalnya, jika Anda menghitungnya y > 1 (\gaya tampilan y>1), tandai nilai 1 pada garis bilangan.

3. Gambarlah sebuah lingkaran untuk mewakili nilai yang ditemukan. Jika variabelnya kurang dari ( < {\displaystyle <} ) atau lebih ( > (\gaya tampilan >)) dari nilai ini, lingkaran tidak terisi karena himpunan solusi tidak menyertakan nilai ini. Jika variabelnya lebih kecil atau sama dengan ( ≤ (\displaystyle \leq )) atau lebih besar atau sama dengan ( ≥ (\displaystyle \geq )) pada nilai ini, lingkaran terisi karena himpunan solusi menyertakan nilai ini.

   • y > 1 (\gaya tampilan y>1), pada garis bilangan, gambarlah sebuah lingkaran terbuka di titik 1 karena 1 tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian.

4. Pada garis bilangan, arsirlah daerah yang menentukan himpunan solusi. Jika variabel lebih besar dari nilai yang ditemukan, arsirlah area di sebelah kanannya, karena himpunan solusi mencakup semua nilai yang lebih besar dari nilai yang ditemukan. Jika variabel lebih kecil dari nilai yang ditemukan, arsirlah area di sebelah kirinya, karena himpunan solusi mencakup semua nilai yang lebih kecil dari nilai yang ditemukan.

   • Misalnya jika diberi ketimpangan y > 1 (\gaya tampilan y>1), pada garis bilangan, arsir area di sebelah kanan 1 karena himpunan solusi mencakup semua nilai yang lebih besar dari 1.

   Representasi grafis pertidaksamaan linier pada bidang koordinat

   1. Selesaikan pertidaksamaan (temukan nilainya y (\gaya tampilan y)). Untuk memperoleh persamaan linier, isolasi variabel di ruas kiri menggunakan teknik aljabar yang sudah dikenal. Harus ada variabel di sisi kanan x (\gaya tampilan x) dan mungkin beberapa konstan.

      • Misalnya, mengingat adanya ketimpangan 3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x). Untuk mengisolasi suatu variabel y (\gaya tampilan y), kurangi 9 dari kedua ruas pertidaksamaan, lalu bagi kedua ruas tersebut dengan 3:
        3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Gambarlah grafik persamaan linear pada bidang koordinat. menggambar grafik seperti yang Anda lakukan pada grafik persamaan linier apa pun. Plot titik potong Y dan kemudian gunakan kemiringannya untuk menggambar titik-titik lainnya.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) buat grafik persamaannya y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Titik potong dengan sumbu Y mempunyai koordinat , dan kemiringannya 3 (atau 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Jadi, plot dulu titiknya dengan koordinat (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); titik di atas titik potong sumbu y mempunyai koordinat (1 , 0) (\gaya tampilan (1,0)); titik di bawah titik potong sumbu Y mempunyai koordinat (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Gambarlah garis lurus. Jika pertidaksamaannya tegas (termasuk tanda < {\displaystyle <} atau > (\gaya tampilan >)), gambarlah garis putus-putus karena himpunan solusi tidak menyertakan nilai pada garis tersebut. Jika pertidaksamaannya tidak tegas (termasuk tanda ≤ (\displaystyle \leq ) atau ≥ (\displaystyle \geq )), tariklah garis padat karena himpunan solusi mencakup nilai-nilai yang terletak pada garis tersebut.

      • Misalnya saja dalam hal ketimpangan y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) menggambar garis putus-putus karena himpunan solusi tidak menyertakan nilai pada garis tersebut.

   4. Bayangkan area yang sesuai. Jika pertidaksamaan itu berbentuk y > mx + b (\displaystyle y>mx+b), arsir area di atas garis. Jika pertidaksamaan itu berbentuk kamu< m x + b {\displaystyle y, arsir area di bawah garis.

      • Misalnya saja dalam hal ketimpangan y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) arsir area di atas garis.

   Representasi grafis dari pertidaksamaan kuadrat pada bidang koordinat

   1. Tentukan bahwa pertidaksamaan ini kuadrat. Pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk ax 2 + bx + c (\displaystyle kapak^(2)+bx+c). Terkadang pertidaksamaan tidak mengandung variabel orde pertama ( x (\gaya tampilan x)) dan/atau suku bebas (konstan), tetapi harus menyertakan variabel orde kedua ( x 2 (\gaya tampilan x^(2))). Variabel x (\gaya tampilan x) Dan y (\gaya tampilan y) harus diisolasi pada sisi ketimpangan yang berbeda.

      • Misalnya, Anda perlu memplot pertidaksamaan kamu< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Gambarlah grafik pada bidang koordinat. Untuk melakukannya, ubah pertidaksamaan menjadi persamaan dan buat grafiknya seperti Anda membuat grafik persamaan kuadrat apa pun. Ingatlah bahwa grafik persamaan kuadrat adalah parabola.

      • Misalnya saja dalam hal ketimpangan kamu< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y buatlah grafik persamaan kuadrat y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Titik puncak parabola berada pada titik tersebut (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), dan parabola memotong sumbu X di titik-titik (2 , 0) (\gaya tampilan (2,0)) Dan (8 , 0) (\gaya tampilan (8,0)).

Membiarkan f(x,y) Dan g(x, kamu)- dua ekspresi dengan variabel X Dan pada dan ruang lingkup X. Kemudian ketidaksetaraan bentuk f(x, kamu) > g(x, kamu) atau f(x, kamu) < g(x, kamu) ditelepon pertidaksamaan dengan dua variabel .

Arti Variabel x, kamu dari banyak X, yang pertidaksamaannya berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya disebut keputusan dan ditunjuk (x, kamu). Selesaikan ketimpangan - ini berarti menemukan banyak pasangan seperti itu.

Jika setiap pasangan angka (x, kamu) dari himpunan solusi hingga pertidaksamaan, cocokkan titiknya M(x, kamu), kita memperoleh himpunan titik pada bidang yang ditentukan oleh pertidaksamaan ini. Mereka memanggilnya grafik ketimpangan ini . Grafik pertidaksamaan biasanya berupa luas pada suatu bidang.

Untuk menggambarkan himpunan solusi terhadap pertidaksamaan f(x, kamu) > g(x, kamu), lanjutkan sebagai berikut. Pertama, ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan carilah garis yang memiliki persamaan tersebut f(x,y) = g(x,y). Garis ini membagi bidang menjadi beberapa bagian. Setelah itu, cukup mengambil satu titik di setiap bagian dan memeriksa apakah pertidaksamaan terpenuhi pada titik tersebut f(x, kamu) > g(x, kamu). Jika dieksekusi pada titik ini, maka akan dieksekusi di seluruh bagian dimana titik ini berada. Menggabungkan bagian-bagian tersebut, kita memperoleh banyak solusi.

Tugas. kamu > X.

Larutan. Pertama, kita ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan buatlah garis pada sistem koordinat persegi panjang yang mempunyai persamaan tersebut kamu = X.

Garis ini membagi bidang menjadi dua bagian. Setelah itu, ambil satu titik di setiap bagian dan periksa apakah pertidaksamaan terpenuhi pada titik tersebut kamu > X.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan secara grafis
X 2 + pada 2 £25.

Beras. 18.

Larutan. Pertama, ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan buat garis X 2 + pada 2 = 25. Ini adalah lingkaran yang berpusat di titik asal dan berjari-jari 5. Lingkaran yang dihasilkan membagi bidang menjadi dua bagian. Memeriksa kepuasan ketimpangan X 2 + pada 2 £ 25 pada setiap bagian, kita mengetahui bahwa grafik adalah himpunan titik-titik pada lingkaran dan bagian-bagian bidang di dalam lingkaran.

Biarkan dua ketidaksetaraan diberikan F 1(x, kamu) > G 1(x, kamu) Dan F 2(x, kamu) > G 2(x, kamu).

Sistem himpunan pertidaksamaan dengan dua variabel

Sistem ketidaksetaraan mewakili dirimu sendiri gabungan dari kesenjangan ini. Solusi sistem adalah setiap arti (x, kamu), yang mengubah setiap pertidaksamaan menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Banyak solusi sistem pertidaksamaan adalah perpotongan himpunan solusi pertidaksamaan yang membentuk suatu sistem tertentu.

Kumpulan ketidaksetaraan mewakili dirimu sendiri disjungsi ini kesenjangan Tetapkan solusi adalah setiap arti (x, kamu), yang mengubah setidaknya satu dari himpunan pertidaksamaan menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Banyak solusi keseluruhan adalah gabungan dari himpunan solusi terhadap ketidaksetaraan yang membentuk suatu himpunan.

Tugas. Selesaikan sistem pertidaksamaan secara grafis

Larutan. kamu = x Dan X 2 + pada 2 = 25. Kita selesaikan setiap pertidaksamaan sistem.

Grafik sistemnya adalah himpunan titik-titik pada bidang yang merupakan perpotongan (penetasan ganda) dari himpunan solusi pertidaksamaan pertama dan kedua.

Tugas. Selesaikan secara grafis sekumpulan pertidaksamaan

Larutan. Pertama, kita mengganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan menggambar garis dalam satu sistem koordinat kamu = x+ 4 dan X 2 + pada 2 = 16. Selesaikan setiap ketimpangan dalam populasi. Grafik populasi adalah himpunan titik-titik pada bidang yang merupakan gabungan dari himpunan solusi pertidaksamaan pertama dan kedua.

Latihan untuk kerja mandiri

1. Selesaikan pertidaksamaan secara grafis: a) pada> 2X; B) pada< 2X + 3;

V) X 2+ kamu 2 > 9; G) X 2+ kamu 2 £4.

2. Selesaikan sistem pertidaksamaan secara grafis:

a) b)

Sistem ini terdiri dari pertidaksamaan dalam dua variabel:

Untuk menyelesaikan sistem yang Anda butuhkan:

1. Untuk setiap pertidaksamaan, tuliskan persamaan yang berhubungan dengan pertidaksamaan tersebut.

2. Buatlah garis lurus yang merupakan grafik fungsi yang ditentukan oleh persamaan.

3. Untuk setiap garis, tentukan setengah bidang yang diberikan oleh pertidaksamaan tersebut. Untuk melakukan ini, ambil titik sembarang yang tidak terletak pada suatu garis dan substitusikan koordinatnya ke dalam pertidaksamaan. jika pertidaksamaan tersebut benar, maka setengah bidang yang memuat titik yang dipilih adalah penyelesaian pertidaksamaan awal. Jika pertidaksamaan tersebut salah, maka setengah bidang pada sisi lain garis tersebut adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.

4. Untuk menyelesaikan suatu sistem pertidaksamaan, perlu dicari luas perpotongan semua setengah bidang yang merupakan penyelesaian setiap pertidaksamaan sistem tersebut.

Area ini mungkin kosong, maka sistem ketimpangan tidak memiliki solusi dan tidak konsisten. Jika tidak, sistem dikatakan konsisten. Solusinya bisa terbatas atau jumlahnya tak terbatas. Luasnya bisa berupa poligon tertutup atau tidak dibatasi.

Contoh 3. Selesaikan sistem secara grafis:

Perhatikan persamaan x + y–1 = 0 dan –2x – 2y + 5 = 0, yang berhubungan dengan pertidaksamaan. Mari kita buat garis lurus yang diberikan oleh persamaan ini (Gbr. 3).

Gambar 3 – Gambar garis lurus

Mari kita definisikan setengah bidang yang ditentukan oleh pertidaksamaan. Mari kita ambil titik sembarang, misalkan (0; 0). Misalkan x+ y– 1 ≤ 0, substitusikan titik (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Artinya pada setengah bidang tempat titik (0; 0) berada, x + y – 1 ≤ 0 , yaitu. setengah bidang yang terletak di bawah garis merupakan penyelesaian pertidaksamaan pertama. Substitusikan titik ini (0; 0) ke titik kedua, kita peroleh: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, mis. pada setengah bidang di mana titik (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, dan kita ditanya di mana –2x – 2y + 5 ≤ 0, oleh karena itu, pada setengah bidang lainnya – di setengah bidang yang lain di atas garis lurus.

Mari kita cari perpotongan kedua setengah bidang ini. Garis-garisnya sejajar, sehingga bidang-bidang tersebut tidak berpotongan dimanapun, artinya sistem pertidaksamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian dan tidak konsisten.

Contoh 4. Temukan solusi grafis untuk sistem pertidaksamaan:

1. Mari kita tuliskan persamaan yang berhubungan dengan pertidaksamaan dan buatlah garis lurus (Gbr. 4).

x + 2kamu– 2 = 0 x 2 0

kamu – x – 1 = 0 x 0 2

kamu + 2 = 0; kamu = –2.

Gambar 4 – Gambar garis lurus

2. Setelah memilih titik (0; 0), kita menentukan tanda-tanda pertidaksamaan pada setengah bidang:

0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, yaitu x + 2y– 2 ≤ 0 pada setengah bidang di bawah garis lurus;

0 – 0 – 1 ≤ 0, yaitu y –x– 1 ≤ 0 pada setengah bidang di bawah garis lurus;

0 + 2 =2 ≥ 0, mis. y + 2 ≥ 0 pada setengah bidang di atas garis lurus.

3. Perpotongan ketiga setengah bidang tersebut adalah suatu luas segitiga. Tidak sulit menemukan titik sudut suatu daerah sebagai titik potong garis-garis yang bersesuaian

Jadi, A(–3; –2), B(0; 1), C(6; –2).

Mari kita perhatikan contoh lain di mana domain solusi yang dihasilkan sistem tidak terbatas.

Contoh 5. Selesaikan sistem secara grafis

Mari kita tuliskan persamaan yang berhubungan dengan pertidaksamaan dan buatlah garis lurus (Gbr. 5).

Gambar 5 – Gambar garis lurus

x + kamu – 1 = 0 x 0 1

kamu – x – 1 = 0 x 0 –1

Mari kita definisikan tanda-tanda dalam setengah bidang. Mari kita pilih titik (0; 0):

0 – 0 – 1 ≤ 0, yaitu y – x – 1 ≤ 0 di bawah garis lurus;

0 + 0 – 1 ≤ 0, yaitu x + y – 1 ≤ 0 di bawah garis lurus.

Perpotongan dua setengah bidang merupakan sudut yang titik sudutnya di titik A(0;1). Wilayah yang tidak berbatas ini merupakan solusi terhadap sistem kesenjangan yang ada.

Salah satu metode yang paling mudah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah metode grafis. Pada artikel ini kita akan melihat bagaimana pertidaksamaan kuadrat diselesaikan secara grafis. Pertama, mari kita bahas apa inti dari metode ini. Selanjutnya, kami akan menyajikan algoritma dan mempertimbangkan contoh penyelesaian pertidaksamaan kuadrat secara grafis.

Navigasi halaman.

Inti dari metode grafis

Sama sekali metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan satu variabel tidak hanya digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, tetapi juga jenis pertidaksamaan lainnya. Inti dari metode grafis untuk menyelesaikan kesenjangan selanjutnya: perhatikan fungsi y=f(x) dan y=g(x), yang bersesuaian dengan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan, buat grafiknya dalam satu sistem koordinat persegi panjang dan cari tahu pada interval berapa grafik salah satu dari mereka lebih rendah atau lebih tinggi dari yang lain. Interval tersebut dimana

• grafik fungsi f di atas grafik fungsi g merupakan solusi pertidaksamaan f(x)>g(x) ;
• grafik fungsi f tidak lebih rendah dari grafik fungsi g merupakan solusi pertidaksamaan f(x)≥g(x) ;
• grafik f di bawah grafik g merupakan solusi pertidaksamaan f(x)
• grafik suatu fungsi f tidak lebih tinggi dari grafik suatu fungsi g adalah solusi dari pertidaksamaan f(x)≤g(x) .

Kita juga akan mengatakan bahwa absis titik potong grafik fungsi f dan g adalah solusi persamaan f(x)=g(x) .

Mari kita pindahkan hasil ini ke kasus kita - untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Kita perkenalkan dua fungsi: fungsi pertama y=a x 2 +b x+c (dengan f(x)=a x 2 +b x+c) bersesuaian dengan ruas kiri pertidaksamaan kuadrat, fungsi kedua y=0 (dengan g ( x)=0 ) sesuai dengan sisi kanan pertidaksamaan. Jadwal fungsi kuadrat f adalah parabola dan grafiknya fungsi konstan g – garis lurus bertepatan dengan sumbu absis Lembu.

Selanjutnya, menurut metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan, perlu dianalisis pada interval berapa grafik suatu fungsi terletak di atas atau di bawah fungsi lainnya, yang memungkinkan kita menuliskan solusi pertidaksamaan kuadrat yang diinginkan. Dalam kasus kita, kita perlu menganalisis posisi parabola relatif terhadap sumbu Ox.

Bergantung pada nilai koefisien a, b, dan c, enam opsi berikut dimungkinkan (untuk kebutuhan kita, representasi skematis sudah cukup, dan kita tidak perlu menggambarkan sumbu Oy, karena posisinya tidak mempengaruhi sumbu Oy. penyelesaian pertidaksamaan):

Pada gambar ini kita melihat parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas dan memotong sumbu Ox di dua titik yang absisnya adalah x 1 dan x 2. Gambar ini sesuai dengan opsi ketika koefisien a positif (bertanggung jawab atas arah ke atas cabang parabola), dan ketika nilainya positif diskriminan dari trinomial kuadrat a x 2 +b x+c (dalam hal ini, trinomial memiliki dua akar, yang kita nyatakan sebagai x 1 dan x 2, dan kita asumsikan bahwa x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Agar lebih jelas, mari kita gambarkan dengan warna merah bagian-bagian parabola yang terletak di atas sumbu x, dan dengan warna biru – bagian-bagian yang terletak di bawah sumbu x.


Sekarang mari kita cari tahu interval mana yang sesuai dengan bagian-bagian ini. Gambar berikut akan membantu Anda mengidentifikasinya (di masa depan kami akan membuat pilihan serupa dalam bentuk persegi panjang secara mental):


Jadi pada sumbu absis dua interval (−∞, x 1) dan (x 2 , +∞) disorot dengan warna merah, parabolanya berada di atas sumbu Ox, keduanya merupakan solusi pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x +c>0 , dan interval (x 1 , x 2) disorot dengan warna biru, terdapat parabola di bawah sumbu Ox, yang mewakili solusi pertidaksamaan a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Dan sekarang secara singkat: untuk a>0 dan D=b 2 −4 a c>0 (atau D"=D/4>0 untuk koefisien genap b)

• penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c>0 adalah (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) atau notasi lain x x2;
• penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c≥0 adalah (−∞, x 1 ]∪ atau notasi lain x 1 ≤x≤x 2 ,

dimana x 1 dan x 2 adalah akar-akar trinomial kuadrat a x 2 +b x+c, dan x 1


Di sini kita melihat parabola, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dan menyentuh sumbu absis, yaitu memiliki satu titik yang sama dengannya; kita menyatakan absis titik ini sebagai x 0. Kasus yang disajikan sesuai dengan a>0 (cabangnya mengarah ke atas) dan D=0 (trinomial persegi memiliki satu akar x 0). Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi kuadrat y=x 2 −4·x+4, di sini a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 dan x 0 =2.

Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa parabola terletak di atas sumbu Ox di semua tempat kecuali titik kontak, yaitu pada interval (−∞, x 0), (x 0, ∞). Untuk lebih jelasnya, mari kita soroti area pada gambar dengan analogi dengan paragraf sebelumnya.


Kami menarik kesimpulan: untuk a>0 dan D=0

• penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c>0 adalah (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) atau dalam notasi lain x≠x 0;
• penyelesaian pertidaksamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c≥0 adalah (−∞, +∞) atau notasi lain x∈R ;
• pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• pertidaksamaan kuadrat a x 2 +b x+c≤0 memiliki solusi unik x=x 0 (diberikan oleh titik singgung),

dimana x 0 adalah akar trinomial kuadrat a x 2 + b x + c.


Dalam hal ini cabang-cabang parabola mengarah ke atas dan tidak mempunyai titik persekutuan dengan sumbu absis. Di sini kita memiliki kondisi a>0 (cabang mengarah ke atas) dan D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Jelasnya, parabola terletak di atas sumbu Ox sepanjang keseluruhannya (tidak ada interval di bawah sumbu Ox, tidak ada titik singgung).


Jadi, untuk a>0 dan D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 dan a x 2 +b x+c≥0 adalah himpunan semua bilangan real, dan pertidaksamaan a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Dan masih ada tiga pilihan letak parabola dengan cabang mengarah ke bawah, bukan ke atas, relatif terhadap sumbu Sapi. Pada prinsipnya, pertidaksamaan tersebut tidak perlu dipertimbangkan, karena mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan −1 memungkinkan kita mendapatkan pertidaksamaan ekuivalen dengan koefisien positif untuk x 2. Namun tetap tidak ada salahnya untuk mendapatkan gambaran tentang kasus-kasus tersebut. Alasannya serupa di sini, jadi kami hanya akan menuliskan hasil utamanya saja.

Algoritma solusi

Hasil dari semua perhitungan sebelumnya adalah algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat secara grafis:

Gambar skema dibuat pada bidang koordinat yang menggambarkan sumbu Ox (tidak perlu menggambarkan sumbu Oy) dan sketsa parabola yang sesuai dengan fungsi kuadrat y=a·x 2 +b·x+c. Untuk menggambar sketsa parabola, cukup memperjelas dua hal:

• Pertama, dengan nilai koefisien a ditentukan ke mana arah cabang-cabangnya (untuk a>0 - ke atas, untuk a<0 – вниз).
• Dan kedua, dengan nilai diskriminan trinomial persegi a x 2 + b x + c ditentukan apakah parabola tersebut memotong sumbu absis di dua titik (untuk D>0), menyentuhnya di satu titik (untuk D=0) , atau tidak memiliki titik persekutuan dengan sumbu Ox (di D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Saat gambar sudah siap, gunakan gambar tersebut pada langkah kedua algoritma

  • saat menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c>0, interval ditentukan di mana parabola terletak di atas absis;
  • saat menyelesaikan pertidaksamaan a·x 2 +b·x+c≥0, interval letak parabola di atas sumbu absis ditentukan dan absis titik potong (atau absis titik singgung) ditambahkan ke mereka;
  • saat menyelesaikan pertidaksamaan a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • terakhir, ketika menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat berbentuk a·x 2 +b·x+c≤0, ditemukan interval yang parabolanya berada di bawah sumbu Ox dan absis titik potong (atau absis titik singgung ) ditambahkan ke dalamnya;

  mereka merupakan solusi yang diinginkan untuk pertidaksamaan kuadrat, dan jika tidak ada interval dan tidak ada titik singgung, maka pertidaksamaan kuadrat asli tidak memiliki solusi.

Yang tersisa hanyalah menyelesaikan beberapa pertidaksamaan kuadrat menggunakan algoritma ini.

Contoh dengan solusi

Contoh.

Selesaikan ketimpangan tersebut .

Larutan.

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, mari gunakan algoritma dari paragraf sebelumnya. Pada langkah pertama kita perlu menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat . Koefisien x 2 sama dengan 2, positif, oleh karena itu cabang-cabang parabola mengarah ke atas. Mari kita cari tahu juga apakah parabola memiliki titik-titik yang sama dengan sumbu x; untuk melakukan ini, kita akan menghitung diskriminan trinomial kuadrat . Kita punya . Diskriminannya ternyata lebih besar dari nol, oleh karena itu trinomialnya mempunyai dua akar real: Dan , yaitu x 1 =−3 dan x 2 =1/3.

Dari sini terlihat jelas bahwa parabola memotong sumbu Ox di dua titik dengan absis −3 dan 1/3. Kami akan menggambarkan titik-titik ini dalam gambar sebagai titik-titik biasa, karena kami sedang menyelesaikan pertidaksamaan tidak tegas. Berdasarkan data yang telah diklarifikasi, kami memperoleh gambar berikut (sesuai dengan template pertama dari paragraf pertama artikel):

Mari beralih ke langkah kedua dari algoritme. Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat tidak tegas dengan tanda ≤, kita perlu menentukan interval letak parabola di bawah absis dan menjumlahkannya dengan absis titik potongnya.

Dari gambar tersebut terlihat bahwa parabola berada di bawah sumbu x pada interval (−3, 1/3) dan ke dalamnya kita tambahkan absis titik potongnya, yaitu bilangan −3 dan 1/3. Hasilnya, kita sampai pada interval numerik [−3, 1/3] . Ini adalah solusi yang kami cari. Pertidaksamaan ini dapat ditulis sebagai pertidaksamaan ganda −3≤x≤1/3.

Menjawab:

[−3, 1/3] atau −3≤x≤1/3 .

Contoh.

Temukan solusi pertidaksamaan kuadrat −x 2 +16 x−63<0 .

Larutan.

Seperti biasa, kita mulai dengan menggambar. Koefisien numerik kuadrat variabel adalah negatif, −1, oleh karena itu, cabang-cabang parabola mengarah ke bawah. Mari kita hitung diskriminannya, atau lebih baik lagi, bagian keempatnya: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Nilainya positif, mari kita hitung akar-akar trinomial kuadrat: Dan , x 1 =7 dan x 2 =9. Jadi parabola memotong sumbu Ox di dua titik dengan absis 7 dan 9 (pertidaksamaan aslinya sangat ketat, jadi kita akan menggambarkan titik-titik ini dengan pusat kosong).

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat tegas dengan sebuah tanda<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Gambar menunjukkan bahwa penyelesaian pertidaksamaan kuadrat awal adalah dua interval (−∞, 7) , (9, +∞) .

Menjawab:

(−∞, 7)∪(9, +∞) atau dalam notasi lain x<7 , x>9 .

Saat menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, jika diskriminan suatu trinomial kuadrat di ruas kirinya adalah nol, Anda harus berhati-hati dalam memasukkan atau mengecualikan absis titik singgung dari jawabannya. Hal ini bergantung pada tanda pertidaksamaannya: jika pertidaksamaannya tegas, maka pertidaksamaannya bukanlah penyelesaian, tetapi jika tidak tegas, maka pertidaksamaannya tegas.

Contoh.

Apakah pertidaksamaan kuadrat 10 x 2 −14 x+4.9≤0 mempunyai setidaknya satu penyelesaian?

Larutan.

Mari kita gambarkan fungsinya y=10 x 2 −14 x+4.9. Cabang-cabangnya mengarah ke atas, karena koefisien x 2 positif, dan menyentuh sumbu absis di titik dengan absis 0,7, karena D"=(−7) 2 −10 4,9=0, maka atau 0,7 dalam bentuk dari pecahan desimal. Secara skematis terlihat seperti ini:

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan tanda ≤, penyelesaiannya adalah interval di mana parabola berada di bawah sumbu Ox, serta absis titik singgungnya. Dari gambar tersebut terlihat bahwa tidak ada satupun celah dimana parabola berada di bawah sumbu Ox, sehingga penyelesaiannya hanya berupa absis titik singgung yaitu 0,7.

Menjawab:

pertidaksamaan ini memiliki solusi unik 0,7.

Contoh.

Selesaikan pertidaksamaan kuadrat –x 2 +8 x−16<0 .

Larutan.

Kami mengikuti algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dan mulai dengan membuat grafik. Cabang-cabang parabola mengarah ke bawah, karena koefisien x 2 negatif, −1. Mari kita cari diskriminan trinomial persegi –x 2 +8 x−16, yang kita punya D'=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 dan selanjutnya x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Jadi parabola tersebut menyentuh sumbu Ox di titik absis 4. Mari kita membuat gambarnya:

Kita lihat tanda pertidaksamaan aslinya, itu ada<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Dalam kasus kita, ini adalah sinar terbuka (−∞, 4) , (4, +∞) . Secara terpisah, kami mencatat bahwa 4 - absis titik kontak - bukanlah solusi, karena pada titik kontak parabola tidak lebih rendah dari sumbu Ox.

Menjawab:

(−∞, 4)∪(4, +∞) atau dalam notasi lain x≠4 .

Berikan perhatian khusus pada kasus di mana diskriminan trinomial kuadrat di sisi kiri pertidaksamaan kuadrat kurang dari nol. Tidak perlu terburu-buru dan mengatakan bahwa pertidaksamaan tidak memiliki solusi (kita terbiasa membuat kesimpulan seperti itu untuk persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif). Intinya pertidaksamaan kuadrat untuk D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Contoh.

Temukan solusi pertidaksamaan kuadrat 3 x 2 +1>0.

Larutan.

Seperti biasa, kita mulai dengan menggambar. Koefisien a adalah 3, positif, sehingga cabang-cabang parabola mengarah ke atas. Kami menghitung diskriminannya: D=0 2 −4·3·1=−12 . Karena diskriminannya negatif, parabola tidak mempunyai titik persekutuan dengan sumbu Ox. Informasi yang diperoleh cukup untuk grafik skema:

Kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat tegas dengan tanda >. Solusinya adalah semua interval di mana parabola berada di atas sumbu Ox. Dalam kasus kita, parabola berada di atas sumbu x sepanjang panjangnya, sehingga solusi yang diinginkan adalah himpunan semua bilangan real.

Sapi , dan juga kepada mereka Anda perlu menambahkan absis titik potong atau absis titik singgung. Namun dari gambar terlihat jelas bahwa tidak ada interval seperti itu (karena parabola berada di bawah sumbu absis), sama seperti tidak ada titik potong, sama seperti tidak ada titik singgung. Oleh karena itu, pertidaksamaan kuadrat asal tidak mempunyai penyelesaian.

Menjawab:

tidak ada solusi atau di entri lain ∅.

Referensi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 9. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-13, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Aljabar dan awal mula analisis matematika. kelas 11. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.