Cara mereduksi persamaan kuadrat. Pengertian dan contoh persamaan kuadrat
Dalam masyarakat modern, kemampuan melakukan operasi dengan persamaan yang mengandung variabel kuadrat dapat berguna dalam banyak bidang kegiatan dan banyak digunakan dalam praktik dalam pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Buktinya dapat ditemukan pada desain kapal laut dan sungai, pesawat terbang, dan roket. Dengan menggunakan perhitungan seperti itu, lintasan pergerakan berbagai benda, termasuk benda luar angkasa, ditentukan. Contoh penyelesaian persamaan kuadrat digunakan tidak hanya dalam peramalan ekonomi, dalam desain dan konstruksi bangunan, tetapi juga dalam keadaan sehari-hari yang paling biasa. Mereka mungkin diperlukan dalam perjalanan hiking, di acara olahraga, di toko saat melakukan pembelian, dan dalam situasi umum lainnya.
Mari kita pecahkan ekspresi tersebut menjadi faktor-faktor komponennya
Derajat suatu persamaan ditentukan oleh nilai maksimum derajat variabel yang dikandung ekspresi tersebut. Jika sama dengan 2, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat.
Jika kita berbicara dalam bahasa rumus, maka ekspresi yang ditunjukkan, bagaimana pun tampilannya, selalu dapat dibawa ke bentuk jika sisi kiri ekspresi terdiri dari tiga suku. Diantaranya: ax 2 (yaitu variabel yang dikuadratkan dengan koefisiennya), bx (yang tidak diketahui tanpa kuadrat dengan koefisiennya) dan c (komponen bebas, yaitu bilangan biasa). Semua ini di ruas kanan sama dengan 0. Jika polinomial tersebut tidak memiliki salah satu suku penyusunnya, kecuali sumbu 2, maka disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Contoh penyelesaian masalah seperti itu, yang nilai-nilai variabelnya mudah ditemukan, harus diperhatikan terlebih dahulu.
Jika persamaan terlihat memiliki dua suku di sisi kanannya, lebih tepatnya ax 2 dan bx, cara termudah untuk mencari x adalah dengan mengeluarkan variabel di dalam tanda kurung. Sekarang persamaan kita akan terlihat seperti ini: x(ax+b). Selanjutnya, menjadi jelas bahwa x=0, atau masalahnya adalah mencari variabel dari ekspresi berikut: ax+b=0. Hal ini ditentukan oleh salah satu sifat perkalian. Aturannya menyatakan bahwa hasil kali dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satunya nol.
Contoh
x=0 atau 8x - 3 = 0
Hasilnya, kita mendapatkan dua akar persamaan: 0 dan 0,375.
Persamaan semacam ini dapat menggambarkan gerak benda di bawah pengaruh gravitasi, yang mulai bergerak dari suatu titik tertentu yang diambil sebagai titik asal koordinat. Di sini notasi matematikanya berbentuk sebagai berikut: y = v 0 t + gt 2 /2. Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang diperlukan, menyamakan ruas kanan dengan 0 dan menemukan kemungkinan yang tidak diketahui, Anda dapat mengetahui waktu yang berlalu dari saat benda naik hingga jatuh, serta banyak besaran lainnya. Tapi kita akan membicarakannya nanti.
Memfaktorkan Ekspresi
Aturan yang dijelaskan di atas memungkinkan penyelesaian masalah ini dalam kasus yang lebih kompleks. Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan kuadrat jenis ini.
X 2 - 33x + 200 = 0
Trinomial kuadrat ini selesai. Pertama, mari kita transformasikan ekspresi dan faktorkan. Ada dua diantaranya: (x-8) dan (x-25) = 0. Hasilnya, kita memiliki dua akar 8 dan 25.
Contoh penyelesaian persamaan kuadrat di kelas 9 memungkinkan metode ini menemukan variabel dalam ekspresi tidak hanya orde kedua, tetapi bahkan orde ketiga dan keempat.
Contoh: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ketika memfaktorkan ruas kanan menjadi faktor-faktor yang mempunyai variabel ada tiga, yaitu (x+1), (x-3) dan (x+ 3).
Hasilnya, menjadi jelas bahwa persamaan ini memiliki tiga akar: -3; -1; 3.
Akar Kuadrat
Kasus lain dari persamaan orde kedua yang tidak lengkap adalah ekspresi yang direpresentasikan dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga ruas kanannya dibangun dari komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai variabel, suku bebas dipindahkan ke ruas kanan, dan setelah itu akar kuadrat diekstraksi dari kedua ruas persamaan. Perlu dicatat bahwa di dalam hal ini Biasanya ada dua akar persamaan. Satu-satunya pengecualian adalah persamaan yang tidak mengandung suku dengan sama sekali, di mana variabelnya sama dengan nol, serta varian ekspresi ketika ruas kanannya ternyata negatif. Dalam kasus terakhir, tidak ada solusi sama sekali, karena tindakan di atas tidak dapat dilakukan dengan root. Contoh solusi persamaan kuadrat jenis ini harus diperhatikan.
Dalam hal ini, akar persamaannya adalah angka -4 dan 4.
Perhitungan luas lahan
Kebutuhan akan perhitungan semacam ini muncul pada zaman dahulu, karena perkembangan matematika pada masa itu sangat ditentukan oleh kebutuhan untuk menentukan luas dan keliling suatu bidang tanah dengan ketelitian yang paling tinggi.
Kita juga harus mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadrat berdasarkan masalah semacam ini.
Jadi, misalkan ada sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang panjangnya 16 meter lebih besar dari lebarnya. Panjang, lebar, dan keliling situs tersebut harus dicari jika diketahui luasnya 612 m 2.
Untuk memulai, pertama-tama mari buat persamaan yang diperlukan. Misalkan lebar luas tersebut dilambangkan dengan x, maka panjangnya adalah (x+16). Dari apa yang telah ditulis maka luasnya ditentukan oleh ekspresi x(x+16), yang menurut kondisi soal kita adalah 612. Artinya x(x+16) = 612.
Menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, dan ungkapan ini persis seperti itu, tidak dapat dilakukan dengan cara yang sama. Mengapa? Meskipun ruas kiri masih memuat dua faktor, hasil kali keduanya tidak sama dengan 0, jadi metode yang berbeda digunakan di sini.
Diskriminan
Pertama-tama kita akan melakukan transformasi yang diperlukan, maka tampilan ekspresi ini akan terlihat seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Artinya kita telah menerima ekspresi dalam bentuk yang sesuai dengan standar yang ditentukan sebelumnya, di mana a=1, b=16, c= -612.
Ini bisa menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan diskriminan. Di sini perhitungan yang diperlukan dilakukan sesuai dengan skema: D = b 2 - 4ac. Besaran bantu ini tidak hanya memungkinkan untuk menemukan besaran yang diperlukan dalam persamaan orde kedua, tetapi juga menentukan jumlah opsi yang memungkinkan. Jika D>0, ada dua; untuk D=0 ada satu akar. Dalam kasus D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Tentang akar dan rumusnya
Dalam kasus kita, diskriminannya sama dengan: 256 - 4(-612) = 2704. Hal ini menunjukkan bahwa masalah kita ada jawabannya. Jika diketahui k, penyelesaian persamaan kuadrat harus dilanjutkan menggunakan rumus di bawah ini. Ini memungkinkan Anda menghitung akarnya.
Artinya dalam kasus yang disajikan: x 1 =18, x 2 =-34. Pilihan kedua dalam dilema ini tidak dapat menjadi solusi, karena ukuran sebidang tanah tidak dapat diukur dalam besaran negatif, artinya x (yaitu lebar bidang tanah) adalah 18 m +16=34, dan kelilingnya 2(34+ 18)=104(m2).
Contoh dan tugas
Kami melanjutkan studi kami tentang persamaan kuadrat. Contoh dan solusi rinci dari beberapa di antaranya akan diberikan di bawah ini.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri persamaan, lakukan transformasi, yaitu kita akan mendapatkan jenis persamaan yang biasa disebut standar, dan menyamakannya dengan nol.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Menjumlahkan yang serupa, kita menentukan diskriminannya: D = 49 - 48 = 1. Artinya persamaan kita akan mempunyai dua akar. Mari kita hitung menggunakan rumus di atas, artinya yang pertama sama dengan 4/3, dan yang kedua sama dengan 1.
2) Sekarang mari kita pecahkan misteri yang berbeda.
Mari kita cari tahu apakah ada akar-akar di sini x 2 - 4x + 5 = 1? Untuk mendapatkan jawaban yang komprehensif, mari kita kurangi polinomialnya ke bentuk biasa yang sesuai dan hitung diskriminannya. Pada contoh di atas, persamaan kuadrat tidak perlu diselesaikan, karena ini bukanlah inti permasalahan sama sekali. Dalam hal ini D = 16 - 20 = -4 yang berarti memang tidak ada akar-akarnya.
teorema Vieta
Lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus di atas dan diskriminan, ketika akar kuadrat diambil dari nilai diskriminan. Namun hal ini tidak selalu terjadi. Namun, ada banyak cara untuk mendapatkan nilai variabel dalam kasus ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta. Namanya diambil dari nama seseorang yang tinggal di Prancis abad ke-16 dan membuat karier cemerlang berkat bakat matematika dan koneksinya di istana. Potretnya bisa dilihat di artikel.
Pola yang diperhatikan orang Prancis terkenal itu adalah sebagai berikut. Dia membuktikan bahwa akar-akar persamaan dijumlahkan secara numerik menjadi -p=b/a, dan produknya sesuai dengan q=c/a.
Sekarang mari kita lihat tugas spesifiknya.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Untuk mempermudah, mari kita ubah ekspresi:
x 2 + 7x - 18 = 0
Mari kita gunakan teorema Vieta, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut: jumlah akar-akarnya adalah -7, dan hasil kali akar-akarnya adalah -18. Dari sini kita mendapatkan bahwa akar persamaannya adalah angka -9 dan 2. Setelah diperiksa, kita akan memastikan bahwa nilai variabel tersebut benar-benar sesuai dengan ekspresi.
Grafik dan persamaan parabola
Konsep fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat sangat erat hubungannya. Contohnya telah diberikan sebelumnya. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematika dengan lebih detail. Persamaan apa pun dari tipe yang dijelaskan dapat direpresentasikan secara visual. Hubungan seperti itu, yang digambarkan sebagai grafik, disebut parabola. Berbagai jenisnya disajikan pada gambar di bawah ini.
Setiap parabola mempunyai titik sudut, yaitu titik asal cabang-cabangnya. Jika a>0, maka akan naik hingga tak terhingga, dan jika a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Representasi visual dari fungsi membantu menyelesaikan persamaan apa pun, termasuk persamaan kuadrat. Metode ini disebut grafis. Dan nilai variabel x merupakan koordinat absis pada titik-titik perpotongan garis grafik dengan 0x. Koordinat titik sudut dapat dicari dengan menggunakan rumus yang baru saja diberikan x 0 = -b/2a. Dan dengan mensubstitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan fungsi aslinya, Anda dapat mengetahui y 0, yaitu koordinat kedua dari titik puncak parabola yang termasuk dalam sumbu ordinat.
Perpotongan cabang parabola dengan sumbu absis
Ada banyak contoh penyelesaian persamaan kuadrat, tetapi ada juga pola umum. Mari kita lihat mereka. Jelas bahwa perpotongan grafik dengan sumbu 0x untuk a>0 hanya mungkin terjadi jika 0 bernilai negatif. Dan untuk a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Dari grafik parabola juga dapat ditentukan akar-akarnya. Hal sebaliknya juga terjadi. Artinya, jika tidak mudah mendapatkan representasi visual dari fungsi kuadrat, Anda dapat menyamakan ruas kanan ekspresi dengan 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Dan mengetahui titik potong dengan sumbu 0x, akan lebih mudah untuk membuat grafik.
Dari sejarah
Dengan menggunakan persamaan yang mengandung variabel kuadrat, pada zaman dahulu mereka tidak hanya melakukan perhitungan matematis dan menentukan luas bangun geometri. Orang-orang zaman dahulu membutuhkan perhitungan seperti itu untuk penemuan-penemuan besar di bidang fisika dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.
Menurut para ilmuwan modern, penduduk Babilonia termasuk orang pertama yang memecahkan persamaan kuadrat. Ini terjadi empat abad sebelum zaman kita. Tentu saja, perhitungan mereka sangat berbeda dari perhitungan yang diterima saat ini dan ternyata jauh lebih primitif. Misalnya, matematikawan Mesopotamia tidak mengetahui keberadaan bilangan negatif. Mereka juga tidak terbiasa dengan seluk-beluk lain yang diketahui oleh setiap anak sekolah modern.
Mungkin bahkan lebih awal dari para ilmuwan Babilonia, orang bijak dari India Baudhayama mulai memecahkan persamaan kuadrat. Hal ini terjadi sekitar delapan abad sebelum zaman Masehi. Benar, persamaan orde kedua, metode penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling sederhana. Selain dia, matematikawan Tiongkok juga tertarik dengan pertanyaan serupa di masa lalu. Di Eropa, persamaan kuadrat mulai diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudian persamaan tersebut digunakan dalam karya mereka oleh ilmuwan besar seperti Newton, Descartes, dan banyak lainnya.
Masalah persamaan kuadrat dipelajari baik dalam kurikulum sekolah maupun di universitas. Maksudnya persamaan berbentuk a*x^2 + b*x + c = 0, dimana X- variabel, a, b, c – konstanta; A<>0 . Tugasnya adalah menemukan akar-akar persamaan tersebut.
Arti geometris persamaan kuadrat
Grafik suatu fungsi yang diwakili oleh persamaan kuadrat adalah parabola. Penyelesaian (akar-akar) persamaan kuadrat adalah titik potong parabola dengan sumbu absis (x). Oleh karena itu, ada tiga kemungkinan kasus:
1) parabola tidak mempunyai titik potong dengan sumbu absis. Artinya berada di bidang atas dengan cabang di atas atau di bawah dengan cabang di bawah. Dalam kasus seperti ini, persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (memiliki dua akar kompleks).
2) parabola mempunyai satu titik potong dengan sumbu Ox. Titik seperti itu disebut titik puncak parabola, dan persamaan kuadrat pada titik tersebut memperoleh nilai minimum atau maksimum. Dalam hal ini, persamaan kuadrat mempunyai satu akar real (atau dua akar identik).
3) Kasus terakhir lebih menarik dalam praktiknya - ada dua titik perpotongan parabola dengan sumbu absis. Artinya ada dua akar real dari persamaan tersebut.
Berdasarkan analisis koefisien pangkat variabel, dapat ditarik kesimpulan menarik tentang penempatan parabola.
1) Jika koefisien a lebih besar dari nol, maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas; jika negatif, cabang-cabang parabola mengarah ke bawah.
2) Jika koefisien b lebih besar dari nol, maka titik puncak parabola terletak pada setengah bidang kiri, jika bernilai negatif maka di kanan.
Penurunan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
Mari kita pindahkan konstanta dari persamaan kuadrat 
untuk tanda sama dengan, kita mendapatkan ekspresi
Kalikan kedua ruas dengan 4a 
Untuk mendapatkan persegi lengkap di sebelah kiri, tambahkan b^2 di kedua sisi dan lakukan transformasi
Dari sini kita temukan
Rumus diskriminan dan akar persamaan kuadrat
Diskriminan adalah nilai ekspresi radikal. Jika positif, maka persamaan tersebut memiliki dua akar real yang dihitung dengan rumus 
Jika diskriminannya nol, persamaan kuadrat mempunyai satu solusi (dua akar yang berimpit), yang dapat dengan mudah diperoleh dari rumus di atas untuk D=0. Jika diskriminannya negatif, persamaan tersebut tidak mempunyai akar real. Namun, solusi persamaan kuadrat ditemukan pada bidang kompleks, dan nilainya dihitung menggunakan rumus 
teorema Vieta
Mari kita pertimbangkan dua akar persamaan kuadrat dan buatlah persamaan kuadrat berdasarkan keduanya. Teorema Vieta sendiri dengan mudah mengikuti notasinya: jika kita memiliki persamaan kuadrat dalam bentuk 
maka jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien p yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar-akar persamaan tersebut sama dengan suku bebas q. Rumus di atas akan terlihat seperti Jika dalam persamaan klasik konstanta a bukan nol, maka Anda perlu membagi seluruh persamaan dengan konstanta tersebut, lalu menerapkan teorema Vieta.
Memfaktorkan jadwal persamaan kuadrat
Biarkan tugasnya ditetapkan: faktorkan persamaan kuadrat. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita selesaikan persamaannya (temukan akar-akarnya). Selanjutnya, kita substitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam rumus muai persamaan kuadrat. Ini akan menyelesaikan soal.
Masalah persamaan kuadrat
Tugas 1. Temukan akar persamaan kuadrat
x^2-26x+120=0 .
Penyelesaian: Tuliskan koefisiennya dan substitusikan ke dalam rumus diskriminan
Akar dari nilai ini adalah 14, mudah ditemukan dengan kalkulator, atau diingat dengan sering digunakan, namun untuk kenyamanan, di akhir artikel saya akan memberikan daftar kuadrat angka yang sering ditemui di masalah seperti itu.
Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus akar 
dan kita mendapatkan 
Tugas 2. Selesaikan persamaannya
2x 2 +x-3=0.
Penyelesaian: Kita mempunyai persamaan kuadrat lengkap, tuliskan koefisiennya dan cari diskriminannya 
Dengan menggunakan rumus yang diketahui, kita menemukan akar persamaan kuadrat 
Tugas 3. Selesaikan persamaannya
9x 2 -12x+4=0.
Penyelesaian: Kita mempunyai persamaan kuadrat lengkap. Menentukan diskriminan
Kami mendapat kasus di mana akarnya bertepatan. Temukan nilai akar menggunakan rumus 
Tugas 4. Selesaikan persamaannya
x^2+x-6=0 .
Solusi: Jika koefisien x kecil, disarankan untuk menerapkan teorema Vieta. Berdasarkan kondisinya kita memperoleh dua persamaan
Dari kondisi kedua kita menemukan bahwa hasil kali harus sama dengan -6. Artinya salah satu akarnya negatif. Kami memiliki kemungkinan pasangan solusi berikut (-3;2), (3;-2) . Dengan mempertimbangkan kondisi pertama, kami menolak pasangan solusi kedua.
Akar-akar persamaannya sama
Soal 5. Hitunglah panjang sisi suatu persegi panjang jika kelilingnya 18 cm dan luasnya 77 cm 2.
Penyelesaian: Setengah keliling suatu persegi panjang sama dengan jumlah sisi-sisi yang berdekatan. Mari kita nyatakan x sebagai sisi yang lebih besar, maka 18-x adalah sisi yang lebih kecil. Luas persegi panjang sama dengan hasil kali panjang berikut:
x(18-x)=77;
atau
x 2 -18x+77=0.
Mari kita cari diskriminan dari persamaan tersebut
Menghitung akar persamaan 
Jika x=11, Itu 18=7 , hal sebaliknya juga berlaku (jika x=7, maka 21=9).
Soal 6. Faktorkan persamaan kuadrat 10x 2 -11x+3=0.
Solusi: Mari kita hitung akar-akar persamaannya, untuk melakukan ini kita mencari diskriminannya 
Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus akar dan menghitung 
Kami menerapkan rumus untuk menguraikan persamaan kuadrat berdasarkan akar 
Membuka tanda kurung kita memperoleh identitas.
Persamaan kuadrat dengan parameter
Contoh 1. Pada nilai parameter berapa A , apakah persamaan (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 mempunyai satu akar?
Penyelesaian: Dengan substitusi langsung terhadap nilai a=3 kita melihat bahwa nilai tersebut tidak mempunyai solusi. Selanjutnya, kita akan menggunakan fakta bahwa dengan diskriminan nol, persamaan tersebut memiliki satu akar multiplisitas 2. Mari kita tuliskan diskriminannya 
Mari kita sederhanakan dan samakan dengan nol
Kami telah memperoleh persamaan kuadrat terhadap parameter a, solusinya dapat dengan mudah diperoleh menggunakan teorema Vieta. Jumlah akar-akarnya adalah 7 dan hasil kali akar-akarnya adalah 12. Dengan pencarian sederhana kami menetapkan bahwa angka 3,4 akan menjadi akar persamaan. Karena kita sudah menolak solusi a=3 di awal perhitungan, satu-satunya solusi yang benar adalah - sebuah = 4. Jadi, ketika a=4 persamaan tersebut mempunyai satu akar.
Contoh 2. Pada nilai parameter berapa A , persamaan a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 memiliki lebih dari satu akar?
Solusi: Pertama-tama mari kita perhatikan titik tunggalnya, yaitu nilai a=0 dan a=-3. Jika a=0, persamaannya akan disederhanakan menjadi 6x-9=0; x=3/2 dan akan ada satu akar. Untuk a= -3 kita memperoleh identitas 0=0.
Mari kita hitung diskriminannya 
dan carilah nilai a yang positif 
Dari kondisi pertama kita mendapatkan a>3. Untuk yang kedua, kita mencari diskriminan dan akar persamaannya 
Mari kita tentukan interval di mana fungsi tersebut bernilai positif. Dengan mensubstitusikan titik a=0 kita peroleh 3>0
.
Jadi, di luar interval (-3;1/3) fungsinya negatif. Jangan lupa intinya sebuah=0, yang harus dikecualikan karena persamaan aslinya mempunyai satu akar di dalamnya.
Hasilnya, kita memperoleh dua interval yang memenuhi kondisi masalah 
Akan ada banyak tugas serupa dalam praktiknya, cobalah untuk mencari tahu sendiri tugas-tugas tersebut dan jangan lupa untuk memperhitungkan kondisi yang saling eksklusif. Pelajari dengan baik rumus-rumus penyelesaian persamaan kuadrat; seringkali diperlukan dalam perhitungan dalam berbagai masalah dan ilmu pengetahuan.
Rumus akar-akar persamaan kuadrat. Kasus-kasus akar nyata, ganda dan kompleks dipertimbangkan. Memfaktorkan trinomial kuadrat. Interpretasi geometris. Contoh penentuan akar dan pemfaktoran.
Rumus dasar
Perhatikan persamaan kuadrat:
(1)
.
Akar persamaan kuadrat(1) ditentukan dengan rumus:
;
.
Rumus ini dapat digabungkan seperti ini:
.
Jika akar-akar persamaan kuadrat diketahui, maka polinomial derajat kedua dapat direpresentasikan sebagai hasil kali faktor-faktor (difaktorkan):
.
Selanjutnya kita asumsikan itu adalah bilangan real.
Mari kita pertimbangkan diskriminan persamaan kuadrat:
.
Jika diskriminannya positif, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar real yang berbeda:
;
.
Maka faktorisasi trinomial kuadrat berbentuk:
.
Jika diskriminan sama dengan nol, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar real kelipatan (sama):
.
Faktorisasi:
.
Jika diskriminannya negatif, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar konjugasi kompleks:
;
.
Berikut adalah satuan imajinernya, ;
dan merupakan bagian real dan imajiner dari akar-akar:
;
.
Kemudian
.
Interpretasi grafis
Jika Anda memplot fungsinya
,
yang merupakan parabola, maka titik potong grafik tersebut dengan sumbunya adalah akar-akar persamaannya
.
Pada , grafik memotong sumbu x (sumbu) di dua titik.
Ketika , grafik menyentuh sumbu x di satu titik.
Jika , grafiknya tidak memotong sumbu x.
Di bawah ini adalah contoh grafik tersebut.
Rumus berguna terkait persamaan kuadrat
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Penurunan rumus akar-akar persamaan kuadrat
Kami melakukan transformasi dan menerapkan rumus (f.1) dan (f.3):
,
Di mana
;
.
Jadi, kita mendapatkan rumus polinomial derajat kedua dalam bentuk:
.
Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut
dilakukan di
Dan .
Artinya, dan merupakan akar persamaan kuadrat
.
Contoh menentukan akar-akar persamaan kuadrat
Contoh 1
(1.1)
.
Larutan
.
Dibandingkan dengan persamaan kita (1.1), kita menemukan nilai koefisien:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Karena diskriminannya positif, persamaan tersebut mempunyai dua akar real:
;
;
.
Dari sini kita memperoleh faktorisasi trinomial kuadrat:
.
Grafik fungsi y = 2x2+7x+3 memotong sumbu x di dua titik.
Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Ia melintasi sumbu absis (sumbu) di dua titik:
Dan .
Titik-titik ini adalah akar-akar persamaan awal (1.1).
Menjawab
;
;
.
Contoh 2
Temukan akar persamaan kuadrat:
(2.1)
.
Larutan
Mari kita tulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
.
Dibandingkan dengan persamaan awal (2.1), kita menemukan nilai koefisiennya:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Karena diskriminannya nol, persamaan tersebut mempunyai dua akar kelipatan (sama):
;
.
Maka faktorisasi trinomialnya berbentuk:
.
Grafik fungsi y = x 2 - 4x+4 menyentuh sumbu x di satu titik.
Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Menyentuh sumbu x (sumbu) di satu titik:
.
Titik ini merupakan akar persamaan awal (2.1). Karena akar ini difaktorkan dua kali:
,
maka akar seperti itu biasanya disebut kelipatan. Artinya, mereka percaya bahwa ada dua akar yang sama:
.
Menjawab
;
.
Contoh 3
Temukan akar persamaan kuadrat:
(3.1)
.
Larutan
Mari kita tulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
(1)
.
Mari kita tulis ulang persamaan awal (3.1):
.
Dibandingkan dengan (1), kita menemukan nilai koefisien:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Diskriminannya negatif, .
Oleh karena itu tidak ada akar yang sebenarnya.
;
;
.
Anda dapat menemukan akar kompleks:
.
Kemudian
Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi tidak memotong sumbu x. Tidak ada akar yang nyata.
Menjawab
Grafik fungsi ini adalah parabola. Tidak memotong sumbu x (sumbu). Oleh karena itu tidak ada akar yang nyata.
;
;
.
Tidak ada akar yang nyata. Akar kompleks:
Beberapa soal dalam matematika memerlukan kemampuan menghitung nilai akar kuadrat. Masalah-masalah tersebut termasuk penyelesaian persamaan orde kedua. Pada artikel ini kami akan menyajikan metode efektif untuk menghitung akar kuadrat dan menggunakannya saat mengerjakan rumus akar persamaan kuadrat.
Apa itu akar kuadrat?
Dalam matematika, konsep ini berhubungan dengan simbol √. Data sejarah menyebutkan bahwa ini pertama kali digunakan sekitar paruh pertama abad ke-16 di Jerman (karya Jerman pertama tentang aljabar oleh Christoph Rudolf). Para ilmuwan percaya bahwa simbol yang ditentukan adalah huruf Latin r yang diubah (radix berarti "root" dalam bahasa Latin).
Akar suatu bilangan sama dengan nilai yang kuadratnya sesuai dengan ekspresi radikal. Dalam bahasa matematika, definisinya akan terlihat seperti ini: √x = y, jika y 2 = x.< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Akar suatu bilangan positif (x > 0) juga merupakan bilangan positif (y > 0), tetapi jika diambil akar suatu bilangan negatif (x
Berikut adalah dua contoh sederhana:
√9 = 3, karena 3 2 = 9; √(-9) = 3i, karena i 2 = -1.
Rumus iteratif Heron untuk mencari nilai akar kuadrat
Contoh di atas sangat sederhana, dan menghitung akar-akarnya tidaklah sulit. Kesulitan mulai muncul bahkan ketika mencari nilai akar untuk nilai apa pun yang tidak dapat direpresentasikan sebagai kuadrat dari bilangan asli, misalnya √10, √11, √12, √13, belum lagi fakta bahwa dalam praktiknya memang demikian perlu mencari akar-akar bilangan bukan bilangan bulat: misalnya √(12.15), √(8.5) dan seterusnya.
Dalam semua kasus di atas, metode khusus untuk menghitung akar kuadrat harus digunakan. Saat ini dikenal beberapa metode seperti itu: misalnya pemuaian deret Taylor, pembagian kolom dan lain-lain. Dari semua metode yang diketahui, mungkin yang paling sederhana dan efektif adalah penggunaan rumus iteratif Heron, yang juga dikenal sebagai metode Babilonia dalam menentukan akar kuadrat (ada bukti bahwa orang Babilonia kuno menggunakannya dalam perhitungan praktis mereka).
a n+1 = 1/2(an +x/a n), dimana lim n->∞ (an) => x.
Mari kita menguraikan notasi matematika ini. Untuk menghitung √x, sebaiknya ambil suatu bilangan tertentu a 0 (bisa sembarang, namun agar cepat mendapatkan hasilnya, sebaiknya pilih bilangan tersebut sehingga (a 0) 2 sedekat mungkin dengan x. Kemudian substitusikan ke dalam menunjukkan rumus untuk menghitung akar kuadrat dan mendapatkan angka baru a 1, yang sudah mendekati nilai yang diinginkan. Setelah itu, perlu untuk mengganti 1 ke dalam ekspresi dan mendapatkan 2. Prosedur ini harus diulang sampai akurasi yang diperlukan diperoleh.
Contoh penggunaan rumus iteratif Heron
Algoritme yang dijelaskan di atas untuk mendapatkan akar kuadrat dari suatu bilangan tertentu mungkin terdengar cukup rumit dan membingungkan bagi banyak orang, namun kenyataannya semuanya menjadi jauh lebih sederhana, karena rumus ini menyatu dengan sangat cepat (terutama jika bilangan sukses a 0 dipilih) .
Mari kita beri contoh sederhana: Anda perlu menghitung √11. Mari kita pilih a 0 = 3, karena 3 2 = 9, yang lebih mendekati 11 daripada 4 2 = 16. Substitusikan ke dalam rumus, kita peroleh:
a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Tidak ada gunanya melanjutkan penghitungan, karena kami menemukan bahwa angka 2 dan 3 mulai berbeda hanya pada angka desimal ke-5. Jadi, cukup menerapkan rumus 2 kali saja untuk menghitung √11 dengan ketelitian 0,0001.
Saat ini, kalkulator dan komputer banyak digunakan untuk menghitung akar, namun ada gunanya mengingat rumus yang ditandai agar dapat menghitung nilai pastinya secara manual.
Persamaan orde kedua
Memahami apa itu akar kuadrat dan kemampuan menghitungnya digunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Persamaan ini disebut persamaan dengan satu hal yang tidak diketahui, yang bentuk umumnya ditunjukkan pada gambar di bawah.
Di sini c, b, dan a mewakili beberapa bilangan, dan a tidak boleh sama dengan nol, dan nilai c dan b dapat berubah-ubah, termasuk sama dengan nol.
Setiap nilai x yang memenuhi persamaan yang ditunjukkan pada gambar disebut akarnya (konsep ini berbeda dengan akar kuadrat √). Karena persamaan yang dipertimbangkan adalah persamaan orde ke-2 (x 2), maka persamaan tersebut tidak boleh lebih dari dua akar. Mari kita lihat lebih jauh di artikel tentang cara menemukan akar-akar ini.
Menemukan akar-akar persamaan kuadrat (rumus)
Metode penyelesaian jenis persamaan yang sedang dipertimbangkan ini disebut juga metode universal, atau metode diskriminan. Ini dapat digunakan untuk persamaan kuadrat apa pun. Rumus diskriminan dan akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
Hal ini menunjukkan bahwa akar-akar bergantung pada nilai masing-masing dari ketiga koefisien persamaan. Selain itu, perhitungan x 1 berbeda dengan perhitungan x 2 hanya pada tanda di depan akar kuadrat. Ekspresi radikal yang sama dengan b 2 - 4ac tidak lebih dari diskriminan terhadap persamaan yang dimaksud. Diskriminan pada rumus akar-akar persamaan kuadrat memegang peranan penting karena menentukan jumlah dan jenis penyelesaian. Jadi, jika sama dengan nol maka hanya ada satu penyelesaian, jika positif maka persamaan tersebut mempunyai dua akar real, dan terakhir diskriminan negatif menghasilkan dua akar kompleks x 1 dan x 2.
Teorema Vieta atau beberapa sifat akar persamaan orde kedua
Pada akhir abad ke-16, salah satu pendiri aljabar modern, seorang Perancis, yang mempelajari persamaan orde kedua, mampu memperoleh sifat-sifat akarnya. Secara matematis dapat ditulis seperti ini:
x 1 + x 2 = -b / a dan x 1 * x 2 = c / a.
Kedua persamaan tersebut dapat dengan mudah diperoleh oleh siapa saja; untuk melakukannya, Anda hanya perlu melakukan operasi matematika yang sesuai dengan akar-akar yang diperoleh melalui rumus dengan diskriminan.
Kombinasi kedua ekspresi ini dapat disebut sebagai rumus kedua untuk akar-akar persamaan kuadrat, yang memungkinkan untuk menebak solusinya tanpa menggunakan diskriminan. Di sini perlu dicatat bahwa meskipun kedua ekspresi selalu valid, akan lebih mudah untuk menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan hanya jika persamaan tersebut dapat difaktorkan.
Tugas mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh
Mari kita selesaikan masalah matematika di mana kita akan mendemonstrasikan semua teknik yang dibahas dalam artikel. Kondisi soalnya adalah sebagai berikut: Anda perlu mencari dua bilangan yang hasil perkaliannya -13 dan jumlahnya 4.
Kondisi ini langsung mengingatkan kita pada teorema Vieta dengan menggunakan rumus jumlah akar kuadrat dan hasil kali mereka, kita menulis:
x 1 + x 2 = -b / a = 4;
x 1 * x 2 = c / a = -13.
Jika kita asumsikan a = 1, maka b = -4 dan c = -13. Koefisien ini memungkinkan kita membuat persamaan orde kedua:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Mari kita gunakan rumus dengan diskriminan dan dapatkan akar-akar berikut:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Artinya, masalahnya direduksi menjadi mencari bilangan √68. Perhatikan bahwa 68 = 4 * 17, maka dengan menggunakan sifat akar kuadrat, kita mendapatkan: √68 = 2√17.
Sekarang mari kita gunakan rumus akar kuadrat: a 0 = 4, maka:
a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231.
Tidak perlu menghitung angka 3 karena nilai yang ditemukan hanya berbeda 0,02. Jadi, √68 = 8,246. Menggantinya ke dalam rumus x 1,2, kita mendapatkan:
x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 dan x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123.
Seperti yang bisa kita lihat, jumlah bilangan yang ditemukan sebenarnya sama dengan 4, tetapi jika kita mencari hasil perkaliannya, maka hasilnya akan sama dengan -12,999, yang memenuhi kondisi soal dengan ketelitian 0,001.