Menentukan sudut antara bidang miring dan bidang. Sudut antara garis lurus dan bidang

Artikel diawali dengan pengertian sudut antara garis lurus dan bidang. Artikel ini akan menunjukkan cara mencari sudut antara garis lurus dan bidang menggunakan metode koordinat. Solusi contoh dan permasalahan akan dibahas secara rinci.

Yandex.RTB RA-339285-1

Pertama, perlu mengulang kembali konsep garis lurus dalam ruang dan konsep bidang. Untuk menentukan sudut antara garis lurus dan bidang, diperlukan beberapa definisi bantu. Mari kita lihat definisi ini secara detail.

Definisi 1

Garis lurus dan bidang berpotongan dalam hal keduanya mempunyai satu titik persekutuan, yaitu titik potong garis lurus dan bidang.

Garis lurus yang memotong suatu bidang mungkin tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Definisi 2

Garis lurus tegak lurus terhadap suatu bidang ketika tegak lurus terhadap garis mana pun yang terletak di bidang ini.

Definisi 3

Proyeksi titik M ke bidangγ adalah titik itu sendiri jika terletak pada suatu bidang tertentu, atau merupakan titik potong bidang tersebut dengan garis yang tegak lurus bidang γ yang melalui titik M, asalkan bidang tersebut tidak termasuk dalam bidang γ.

Definisi 4

Proyeksi garis a pada bidang datarγ adalah himpunan proyeksi semua titik pada suatu garis pada bidang.

Dari sini kita peroleh bahwa proyeksi garis lurus yang tegak lurus bidang mempunyai titik potong. Diketahui bahwa proyeksi garis a adalah garis yang termasuk dalam bidang γ dan melalui titik potong garis a dan bidang tersebut. Mari kita lihat gambar di bawah ini.

Saat ini kita memiliki semua informasi dan data yang diperlukan untuk merumuskan definisi sudut antara garis lurus dan bidang

Definisi 5

Sudut antara garis lurus dan bidang sudut antara garis lurus ini dan proyeksinya pada bidang ini disebut, dan garis lurus tersebut tidak tegak lurus terhadapnya.

Definisi sudut yang diberikan di atas membantu untuk sampai pada kesimpulan bahwa sudut antara suatu garis dan bidang adalah sudut antara dua garis yang berpotongan, yaitu suatu garis tertentu beserta proyeksinya pada bidang tersebut. Artinya sudut antara keduanya akan selalu lancip. Mari kita lihat gambar di bawah ini.

Sudut antara garis lurus dan bidang dianggap siku-siku, yaitu sama dengan 90 derajat, tetapi sudut antara garis lurus sejajar tidak ditentukan. Ada kalanya nilainya diambil sama dengan nol.

Soal-soal yang memerlukan mencari sudut antara garis lurus dan bidang mempunyai banyak variasi penyelesaian. Jalannya penyelesaiannya sendiri tergantung pada data yang tersedia pada kondisi tersebut. Pendamping yang sering terjadi pada penyelesaiannya adalah tanda-tanda persamaan atau persamaan bangun datar, cosinus, sinus, garis singgung sudut. Menemukan sudut dapat dilakukan dengan menggunakan metode koordinat. Mari kita lihat lebih detail.

Jika sistem koordinat persegi panjang O x y z dimasukkan ke dalam ruang tiga dimensi, maka di dalamnya terdapat garis lurus a yang memotong bidang di titik M, dan tidak tegak lurus terhadap bidang tersebut. Kita perlu mencari sudut α yang terletak antara garis lurus tertentu dan bidang.

Pertama, Anda perlu menerapkan definisi sudut antara garis lurus dan bidang dengan menggunakan metode koordinat. Kemudian kita mendapatkan yang berikut ini.

Dalam sistem koordinat O x y z, suatu garis lurus a ditentukan, yang sesuai dengan persamaan garis lurus dalam ruang dan vektor pengarah garis lurus dalam ruang; untuk bidang γ sesuai dengan persamaan bidang dan garis normal vektor pesawat. Maka a → = (ax , a y , a z) adalah vektor arah dari garis a tertentu, dan n → (n x , n y , n z) adalah vektor normal bidang γ. Jika kita bayangkan kita mempunyai koordinat vektor pengarah garis lurus a dan vektor normal bidang γ, maka persamaannya diketahui, yaitu ditentukan oleh syarat, maka vektor a dapat ditentukan. → dan n → berdasarkan persamaan.

Untuk menghitung sudut, perlu dilakukan transformasi rumus untuk memperoleh nilai sudut tersebut dengan menggunakan koordinat vektor pengarah garis lurus dan vektor normal yang ada.

Vektor a → dan n → perlu diplot, dimulai dari titik potong garis lurus a dengan bidang . Ada 4 pilihan letak vektor-vektor ini relatif terhadap garis dan bidang tertentu. Lihatlah gambar di bawah ini, yang menunjukkan keempat variasi tersebut.

Dari sini kita menemukan bahwa sudut antara vektor a → dan n → dilambangkan a → , n → ^ dan lancip, maka sudut yang diinginkan yang terletak antara garis lurus dan bidang dikomplemen, yaitu kita memperoleh ekspresi dari bentuk a → , n → ^ = 90 ° - α. Bila dengan syarat a →, n → ^ > 90 °, maka kita mempunyai a →, n → ^ = 90 ° + α.

Dari sini kita mendapatkan bahwa kosinus sudut-sudut yang sama besar adalah sama, maka persamaan terakhir dituliskan dalam bentuk sistem

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

Anda harus menggunakan rumus reduksi untuk menyederhanakan ekspresi. Kemudian kita memperoleh persamaan bentuk cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°

Setelah melakukan transformasi, sistem mengambil bentuk sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

Dari sini kita memperoleh bahwa sinus sudut antara garis lurus dan bidang sama dengan modulus kosinus sudut antara vektor pengarah garis lurus dan vektor normal bidang tertentu.

Bagian mencari sudut yang dibentuk oleh dua vektor mengungkapkan bahwa sudut ini mengambil nilai hasil kali skalar vektor-vektor dan hasil kali panjangnya. Proses menghitung sinus sudut yang diperoleh dari perpotongan garis lurus dan bidang dilakukan sesuai dengan rumus

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Artinya rumus menghitung sudut antara garis lurus dan bidang dengan koordinat vektor pengarah garis lurus dan vektor normal bidang setelah transformasi berbentuk

α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Menemukan kosinus untuk sinus yang diketahui dapat dilakukan dengan menerapkan identitas trigonometri dasar. Perpotongan garis lurus dan bidang membentuk sudut lancip. Hal ini menunjukkan bahwa nilainya adalah bilangan positif, dan perhitungannya dilakukan dari rumus cos α = 1 - sin α.

Mari kita selesaikan beberapa contoh serupa untuk mengkonsolidasikan materi.

Contoh 1

Tentukan sudut, sinus, cosinus dari sudut yang dibentuk oleh garis lurus x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 dan bidang 2 x + z - 1 = 0.

Larutan

Untuk memperoleh koordinat vektor arah, perlu diperhatikan persamaan kanonik garis lurus dalam ruang. Maka kita peroleh bahwa a → = (3, - 2, 6) adalah vektor arah garis lurus x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6.

Untuk mencari koordinat suatu vektor normal, perlu diperhatikan persamaan umum bidang tersebut, karena keberadaannya ditentukan oleh koefisien yang ada di depan variabel persamaan tersebut. Kemudian kita temukan bahwa untuk bidang 2 x + z - 1 = 0 vektor normalnya berbentuk n → = (2, 0, 1).

Penting untuk melanjutkan menghitung sinus sudut antara garis lurus dan bidang. Untuk melakukan ini, perlu untuk mengganti koordinat vektor a → dan b → ke dalam rumus yang diberikan. Kami mendapatkan ekspresi bentuk

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

Dari sini kita mencari nilai cosinus dan nilai sudut itu sendiri. Kami mendapatkan:

cos α = 1 - dosa α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

Menjawab: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.

Contoh 2

Ada sebuah piramida yang dibangun menggunakan nilai vektor A B → = 1, 0, 2, AC → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1. Tentukan sudut antara garis lurus A D dan bidang A B C.

Larutan

Untuk menghitung sudut yang diinginkan, diperlukan koordinat vektor pengarah garis lurus dan vektor normal bidang. untuk garis lurus A D vektor arahnya mempunyai koordinat A D → = 4, 1, 1.

Vektor normal n → yang termasuk dalam bidang A B C tegak lurus terhadap vektor A B → dan A C →. Artinya vektor normal bidang A B C dapat dianggap sebagai hasil kali vektor dari vektor A B → dan A C →. Kami menghitungnya menggunakan rumus dan mendapatkan:

n → = A B → × AC → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )

Koordinat vektor perlu disubstitusikan untuk menghitung sudut yang diinginkan yang dibentuk oleh perpotongan garis lurus dan bidang. kita mendapatkan ekspresi dalam bentuk:

α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c dosa 23 21 2

Menjawab: a r c dosa 23 21 2 .

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Sudut a antara garis lurus l dan bidang 6 dapat ditentukan melalui sudut tambahan p antara suatu garis lurus tertentu l dan tegak lurus n terhadap suatu bidang tertentu yang ditarik dari titik mana pun pada garis lurus tersebut (Gbr. 144). Sudut P melengkapi sudut a yang diinginkan hingga 90°. Setelah menentukan nilai sebenarnya dari sudut P dengan memutar di sekitar garis lurus tingkat bidang sudut yang dibentuk oleh garis lurus l dan tegak lurus dan, tetap melengkapinya menjadi sudut siku-siku. Sudut tambahan ini akan memberikan nilai sebenarnya sudut a antara garis lurus l dan bidang 0.

27. Menentukan sudut antara dua bidang.

Nilai sebenarnya sudut dihedral adalah antara dua bidang Q dan l. - dapat ditentukan dengan mengganti bidang proyeksi untuk mengubah tepi sudut dihedral menjadi garis proyeksi (soal 1 dan 2), atau jika tepinya tidak ditentukan, karena sudut antara dua garis tegak lurus n1 dan n2 ditarik ke bidang-bidang ini dari suatu titik sembarang M dalam ruang B bidang tegak lurus ini di titik M kita memperoleh dua sudut bidang a dan P, yang masing-masing sama dengan sudut linier dari dua sudut yang berdekatan (dihedral) yang dibentuk oleh bidang q dan l. Setelah menentukan nilai sebenarnya dari sudut antara tegak lurus n1 dan n2 dengan memutar mengelilingi garis lurus sejajar tersebut, maka kita akan menentukan sudut linier dari sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang q dan l.

Garis melengkung. Titik-titik khusus garis lengkung.

Dalam gambar kurva yang kompleks, titik-titik istimewanya, yang meliputi titik belok, titik kembali, putus, dan titik simpul, juga merupakan titik-titik khusus pada proyeksinya. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa titik-titik tunggal kurva terhubung dengan garis singgung di titik-titik tersebut.

Jika bidang kurva menempati posisi menonjol (Gbr. A), maka salah satu proyeksi kurva ini berbentuk garis lurus.

Untuk kurva spasial, semua proyeksinya berupa garis lengkung (Gbr. 2). B).

Untuk menentukan dari gambar kurva mana yang diberikan (bidang atau spasial), perlu diketahui apakah semua titik pada kurva tersebut berada pada bidang yang sama. Ditentukan pada Gambar. B kurvanya spasial, sejak titik D kurva tersebut tidak termasuk dalam bidang yang ditentukan oleh tiga titik lainnya A, B Dan E kurva ini.

Lingkaran - kurva bidang orde kedua, yang proyeksi ortogonalnya dapat berupa lingkaran dan elips

Heliks silinder (heliks) adalah kurva spasial yang mewakili lintasan suatu titik yang melakukan gerakan heliks.

29. Garis lengkung datar dan spasial.

Lihat pertanyaan 28

30. Gambar permukaan yang rumit. Ketentuan dasar.

Permukaan adalah sekumpulan posisi garis berurutan yang bergerak dalam ruang. Garis ini bisa lurus atau melengkung dan disebut matriks generasi permukaan. Jika generatrixnya berbentuk kurva, maka ia dapat memiliki tampilan yang konstan atau variabel. Generatrix terus bergerak panduan, mewakili garis dengan arah yang berbeda dari generator. Garis panduan mengatur hukum gerak generator. Saat menggerakkan generatrix sepanjang pemandu, a bingkai permukaan (Gbr. 84), yang merupakan kumpulan beberapa posisi generatrice dan pemandu yang berurutan. Saat memeriksa bingkainya, orang dapat yakin bahwa itu adalah generator aku dan panduan T bisa ditukar, tapi permukaannya tetap sama.

Permukaan apa pun dapat diperoleh dengan berbagai cara.

Tergantung pada bentuk generatrix, semua permukaan dapat dibagi menjadi memerintah, yang mempunyai garis lurus generatif, dan tidak diatur, yang mempunyai garis lengkung yang membentuk.

Permukaan yang dapat dikembangkan meliputi permukaan semua permukaan polihedra, silinder, kerucut, dan batang tubuh. Semua permukaan lainnya tidak dapat dikembangkan. Permukaan tak bergaris dapat memiliki generatrix dengan bentuk konstan (permukaan revolusi dan permukaan tubular) dan generatrix dengan bentuk variabel (permukaan saluran dan bingkai).

Permukaan dalam gambar kompleks ditentukan oleh proyeksi bagian geometris determinannya, yang menunjukkan metode pembuatan generatornya. Dalam menggambar suatu permukaan, untuk titik mana pun dalam ruang, pertanyaan apakah titik tersebut termasuk dalam permukaan tertentu sudah terpecahkan dengan jelas. Menentukan secara grafis elemen-elemen penentu permukaan memastikan reversibilitas gambar, tetapi tidak membuatnya visual. Untuk lebih jelasnya, mereka menggunakan proyeksi kerangka generatrice yang cukup padat dan konstruksi garis kontur permukaan (Gbr. 86). Ketika permukaan Q diproyeksikan ke bidang proyeksi, sinar proyeksi menyentuh permukaan ini pada titik-titik yang membentuk garis tertentu di atasnya aku, yang disebut kontur garis. Proyeksi garis kontur disebut karangan permukaan. Dalam gambar yang kompleks, permukaan apa pun memiliki: P 1 - garis horizontal, pada P 2 - garis depan, pada P 3 - garis profil permukaan. Sketsa tersebut, selain proyeksi garis kontur, juga mencakup proyeksi garis potong.

Konsep sudut antara garis dan bidang dapat diperkenalkan untuk setiap kedudukan relatif garis dan bidang.

Jika garis lurus l tegak lurus bidang, maka sudut antara l dan dianggap sama dengan 90.

Jika garis lurus l sejajar dengan bidang atau terletak pada bidang tersebut, maka sudut antara l dan dianggap sama dengan nol.

Jika garis lurus l condong ke bidang, maka sudut antara l dan ini adalah sudut "antara garis lurus l dan proyeksi p ke bidang (Gbr. 39).

Beras. 39. Sudut antara garis lurus dan bidang

Jadi, mari kita ingat definisi kasus nontrivial ini: jika suatu garis lurus miring, maka sudut antara garis lurus dan bidang adalah sudut antara garis lurus tersebut.

Dan proyeksinya ke bidang tertentu.

7.1 Contoh pemecahan masalah

Mari kita lihat tiga tugas, disusun dalam tingkat kesulitan yang semakin meningkat. Tugas ketiga level C2 pada Unified State Examination bidang matematika.

Soal 1. Dalam tetrahedron beraturan, tentukan sudut antara tepi samping dan bidang alasnya.

Larutan. Biarkan ABCD menjadi tetrahedron beraturan dengan tepi
rum a (Gbr. 40). Mari kita cari sudut antara AD dan bidang
Mari kita menggambar tinggi DH. Proyeksi AD langsung ke
bidang ABC berfungsi sebagai garis lurus AH. Oleh karena itu, yang diinginkan
sudut” adalah sudut antara garis AD dan AH.
Ruas AH adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi
keliling segitiga ABC:
		H = hal
Sekarang dari segitiga siku-siku ADH:
										Beras. 40. Untuk tugas 1
		cos "=IKLAN=p
Jawaban: arccos hal

Soal 2. Pada prisma segitiga beraturan ABCA1 B1 C1, rusuk sisinya sama dengan sisi alasnya. Tentukan sudut antara garis AA1 dan bidang ABC1.

Larutan. Sudut antara garis lurus dan bidang tidak akan berubah jika garis lurus tersebut digeser sejajar satu sama lain. Karena CC1 sejajar dengan AA1, maka sudut yang diperlukan adalah sudut antara garis lurus CC1 dan bidang ABC1 (Gbr. 41).

B 1"

Beras. 41. Untuk tugas 2

Misalkan M adalah titik tengah AB. Mari kita gambarkan ketinggian CH pada segitiga CC1 M. Mari kita tunjukkan bahwa CH tegak lurus bidang ABC1. Untuk melakukan ini, Anda perlu membayangkan dua garis berpotongan pada bidang ini, tegak lurus terhadap CH.

Garis lurus pertama sudah jelas - C1 M. Memang, CH ? C1 M berdasarkan konstruksi.

Baris kedua adalah AB. Memang proyeksi bidang miring CH pada bidang ABC adalah garis lurus CM; sedangkan AB? CM. Dari teorema tiga garis tegak lurus maka AB ? CH.

Jadi CH? ABC1. Oleh karena itu, sudut antara CC1 dan ABC1 adalah " = \CC1 H. Kita mencari nilai CH dari relasi tersebut

C1 M CH = CC1 CM

(kedua sisi perbandingan ini sama dengan dua kali luas segitiga CC1 M). Kami memiliki:

CM = sebuah 2 3 ;

Tetap mencari sudut ":

Menjawab: arcsin 3 7 .

C1 M =q CC1 2 + CM2 =r

a2 +4

CH = sebuah

CH = ar

dosa" = CH =3 : CC1 7

Soal 3. Titik K diambil pada rusuk A1 B1 kubus ABCDA1 B1 C1 D1 sehingga A1 K:KB1 = 3:1. Tentukan sudut antara garis lurus AK dan bidang BC1 D1.

Larutan. Setelah membuat gambar (Gbr. 42, kiri), kami memahami bahwa diperlukan konstruksi tambahan.

		K B 1
			Beras. 42. Untuk tugas 3

Pertama, perhatikan bahwa garis AB terletak pada bidang BC1 D1 (karena AB k C1 D1 ). Kedua, gambar B1 M sejajar dengan AK (Gbr. 42, kanan). Mari kita gambar juga B1 C, dan misalkan N menjadi titik potong B1 C dan BC1.

Mari kita tunjukkan bahwa garis lurus B1 C tegak lurus terhadap bidang BC1 D1. Nyatanya:

1) B 1 C ? BC1 (seperti diagonal persegi);

2) B 1 C ? AB dengan teorema tiga garis tegak lurus (bagaimanapun juga, AB tegak lurus terhadap garis lurus BC dari proyeksi bidang miring B1 C pada bidang ABC).

Jadi, B1 C tegak lurus terhadap dua garis berpotongan pada bidang BC1 D1; oleh karena itu, B1 C ? BC1 D1. Oleh karena itu, proyeksi garis lurus MB

dosa " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5