Contoh penyelesaian pecahan biasa dan pecahan biasa. §26
Saat mempelajari ratu segala ilmu - matematika, pada titik tertentu setiap orang menemukan pecahan. Meskipun konsep ini (seperti jenis-jenis pecahan itu sendiri atau operasi matematika dengannya) sama sekali tidak rumit, namun Anda perlu menyikapinya dengan hati-hati, karena dalam kehidupan nyata di luar sekolah akan sangat berguna. Jadi, mari kita segarkan kembali pengetahuan kita tentang pecahan: apa itu pecahan, kegunaannya, apa jenisnya, dan cara melakukan berbagai operasi aritmatika dengannya.
Fraksi Yang Mulia: apa itu
Dalam matematika, pecahan adalah bilangan yang masing-masing terdiri atas satu atau lebih bagian suatu satuan. Pecahan seperti ini disebut juga pecahan biasa atau pecahan sederhana. Biasanya ditulis dalam bentuk dua angka yang dipisahkan oleh garis mendatar atau garis miring, disebut garis “pecahan”. Misalnya: ½, ¾.
Angka atas, atau pertama, adalah pembilangnya (menunjukkan berapa banyak bagian yang diambil dari angka tersebut), dan angka bawah, atau kedua, adalah penyebut (menunjukkan berapa banyak bagian yang dibagi menjadi satuan).
Bilah pecahan sebenarnya berfungsi sebagai tanda pembagian. Misalnya, 7:9=7/9
Secara tradisional, pecahan biasa kurang dari satu. Sedangkan desimalnya bisa lebih besar dari itu.
Untuk apa pecahan? Ya, untuk semuanya, karena di dunia nyata tidak semua bilangan adalah bilangan bulat. Misalnya, dua siswi di kantin membeli sebatang coklat yang enak bersama-sama. Ketika mereka hendak berbagi makanan penutup, mereka bertemu dengan seorang teman dan memutuskan untuk mentraktirnya juga. Namun, kini coklat batangan tersebut perlu dibagi dengan benar, mengingat terdiri dari 12 kotak.
Awalnya, gadis-gadis itu ingin membagi semuanya secara merata, lalu masing-masing mendapat empat bagian. Tapi, setelah dipikir-pikir, mereka memutuskan untuk mentraktir temannya, bukan 1/3, tapi 1/4 coklatnya. Dan karena para siswi tidak mempelajari pecahan dengan baik, mereka tidak memperhitungkan bahwa dalam situasi seperti itu mereka akan mendapatkan 9 buah, yang sangat sulit untuk dibagi menjadi dua. Contoh yang cukup sederhana ini menunjukkan betapa pentingnya menemukan bagian suatu bilangan dengan benar. Namun dalam kehidupan nyata, masih banyak lagi kasus seperti itu.
Jenis pecahan: biasa dan desimal
Semua pecahan matematika dibagi menjadi dua kategori besar: biasa dan desimal. Fitur-fitur yang pertama telah dijelaskan di paragraf sebelumnya, jadi sekarang ada baiknya memperhatikan yang kedua.
Desimal adalah notasi kedudukan suatu pecahan suatu bilangan, yang ditulis secara tertulis dengan dipisahkan tanda koma, tanpa tanda hubung atau garis miring. Misalnya: 0,75, 0,5.
Faktanya, pecahan desimal identik dengan pecahan biasa, namun penyebutnya selalu satu diikuti nol - itulah namanya.
Angka sebelum koma adalah bilangan bulat, dan angka setelahnya adalah pecahan. Pecahan sederhana apa pun dapat diubah menjadi desimal. Jadi, pecahan desimal yang ditunjukkan pada contoh sebelumnya dapat ditulis seperti biasa: ¾ dan ½.
Perlu dicatat bahwa pecahan desimal dan pecahan biasa dapat bernilai positif atau negatif. Jika didahului dengan tanda “-”, maka pecahan tersebut negatif, jika “+” adalah pecahan positif.
Subtipe pecahan biasa
Ada beberapa jenis pecahan sederhana.
Subtipe pecahan desimal
Berbeda dengan pecahan sederhana, pecahan desimal hanya terbagi menjadi 2 jenis.
- Final - mendapat nama ini karena fakta bahwa setelah koma ia memiliki jumlah digit yang terbatas (terbatas): 19,25.
- Pecahan tak terhingga adalah bilangan yang jumlah digitnya tak terhingga setelah koma. Misalnya, jika membagi 10 dengan 3, hasilnya adalah pecahan tak hingga 3,333...
Menjumlahkan Pecahan
Melakukan berbagai manipulasi aritmatika dengan pecahan sedikit lebih sulit dibandingkan dengan bilangan biasa. Namun, jika Anda memahami aturan dasarnya, menyelesaikan contoh apa pun dengan aturan tersebut tidak akan sulit.
Misalnya: 2/3+3/4. Kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 12, oleh karena itu, angka tersebut harus ada di setiap penyebutnya. Caranya kita kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 4, ternyata 8/12, kita lakukan hal yang sama dengan suku kedua, tetapi kalikan saja dengan 3 - 9/12. Sekarang Anda dapat dengan mudah menyelesaikan contoh: 8/12+9/12= 17/12. Pecahan yang dihasilkan merupakan satuan yang salah karena pembilangnya lebih besar dari penyebutnya. Dapat dan harus diubah menjadi campuran yang benar dengan membagi 17:12 = 1 dan 5/12.
Ketika pecahan campuran dijumlahkan, operasi dilakukan terlebih dahulu dengan bilangan bulat, dan kemudian dengan pecahan.
Jika contoh berisi pecahan desimal dan pecahan biasa, maka keduanya perlu disederhanakan, kemudian disamakan dengan penyebut yang sama dan dijumlahkan. Misalnya 3.1+1/2. Angka 3.1 dapat ditulis sebagai pecahan campuran dari 3 dan 1/10 atau sebagai pecahan biasa - 31/10. Penyebut suku-suku tersebut adalah 10, jadi Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut 1/2 dengan 5 secara bergantian, Anda mendapatkan 5/10. Kemudian Anda dapat dengan mudah menghitung semuanya: 31/10+5/10=35/10. Hasil yang didapat adalah pecahan biasa, kita bawa ke bentuk normalnya dengan menguranginya 5: 7/2 = 3 dan 1/2, atau desimal - 3,5.
Saat menjumlahkan 2 pecahan desimal, penting agar jumlah digit setelah koma desimal sama. Jika tidak demikian, Anda hanya perlu menambahkan jumlah nol yang diperlukan, karena dalam pecahan desimal hal ini dapat dilakukan tanpa rasa sakit. Misalnya, 3,5+3,005. Untuk menyelesaikan soal ini, Anda perlu menambahkan 2 angka nol pada angka pertama lalu menjumlahkannya satu per satu: 3.500+3.005=3.505.
Pengurangan Pecahan
Saat mengurangkan pecahan, Anda harus melakukan hal yang sama seperti saat menjumlahkan: kurangi menjadi penyebut yang sama, kurangi satu pembilang dari pembilang lainnya, dan, jika perlu, ubah hasilnya menjadi pecahan campuran.
Misalnya: 16/20-5/10. Penyebutnya adalah 20. Anda perlu membawa pecahan kedua ke penyebut ini dengan mengalikan kedua bagiannya dengan 2, Anda mendapatkan 10/20. Sekarang Anda dapat menyelesaikan contoh: 16/20-10/20= 6/20. Namun, hasil ini berlaku untuk pecahan tereduksi, jadi sebaiknya kedua ruasnya dibagi 2 dan hasilnya adalah 3/10.
Mengalikan pecahan
Pembagian dan perkalian pecahan merupakan operasi yang lebih sederhana dibandingkan penjumlahan dan pengurangan. Faktanya adalah ketika melakukan tugas-tugas ini, tidak perlu mencari penyebut yang sama.
Untuk mengalikan pecahan, Anda hanya perlu mengalikan kedua pembilangnya satu per satu, lalu kedua penyebutnya. Kurangi hasil yang dihasilkan jika pecahan tersebut merupakan besaran yang dapat direduksi.
Misalnya: 4/9x5/8. Setelah dikalikan bergantian, hasilnya adalah 4x5/9x8=20/72. Pecahan ini bisa dikurangi 4, jadi jawaban akhir pada contohnya adalah 18/5.
Cara membagi pecahan
Membagi pecahan juga merupakan operasi sederhana; sebenarnya, tetap saja harus mengalikannya. Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, Anda perlu membalik pecahan kedua dan mengalikannya dengan pecahan pertama.
Misalnya membagi pecahan 5/19 dan 5/7. Untuk menyelesaikan contoh ini, Anda perlu menukar penyebut dan pembilang pecahan kedua dan mengalikannya: 5/19x7/5=35/95. Hasilnya bisa dikurangi 5 - ternyata 19/7.
Jika Anda perlu membagi pecahan dengan bilangan prima, tekniknya sedikit berbeda. Awalnya, Anda harus menulis bilangan ini sebagai pecahan biasa, lalu membaginya dengan skema yang sama. Misalnya, 13/2:5 harus ditulis sebagai 13/2:1/5. Sekarang Anda perlu membalik 5/1 dan mengalikan pecahan yang dihasilkan: 2/13x1/5= 2/65.
Terkadang Anda harus membagi pecahan campuran. Anda perlu memperlakukannya seperti Anda memperlakukan bilangan bulat: mengubahnya menjadi pecahan biasa, membalik pembaginya, dan mengalikan semuanya. Misalnya 8 ½: 3. Ubahlah semuanya menjadi pecahan biasa: 17/2: 3/1. Diikuti dengan pembalikan 3/1 dan perkalian: 17/2x1/3= 17/6. Sekarang Anda harus mengubah pecahan biasa menjadi pecahan biasa - 2 utuh dan 5/6.
Jadi, setelah mengetahui apa itu pecahan dan bagaimana Anda dapat melakukan berbagai operasi aritmatika dengannya, Anda perlu berusaha untuk tidak melupakannya. Lagi pula, orang selalu lebih cenderung membagi sesuatu menjadi beberapa bagian daripada menjumlahkan, jadi Anda harus bisa melakukannya dengan benar.
Kita menemukan pecahan dalam kehidupan jauh sebelum kita mulai mempelajarinya di sekolah. Jika kita memotong apel utuh menjadi dua, kita mendapatkan ½ bagian buahnya. Mari kita potong lagi - hasilnya akan menjadi ¼. Ini adalah pecahan. Dan semuanya tampak sederhana. Untuk orang dewasa. Bagi seorang anak (dan topik ini mulai dipelajari di akhir sekolah dasar), konsep matematika abstrak masih sangat sulit dipahami, dan guru harus menjelaskan dengan jelas apa itu pecahan biasa dan tak wajar, persekutuan dan desimal, operasi apa yang dapat dilakukan. dengan mereka dan, yang paling penting, mengapa semua ini diperlukan.
Apa saja jenis pecahan yang ada?
Pengenalan topik baru di sekolah diawali dengan pecahan biasa. Mereka mudah dikenali dengan garis horizontal yang memisahkan dua angka - atas dan bawah. Yang paling atas disebut pembilang, yang paling bawah disebut penyebut. Ada juga pilihan huruf kecil untuk menulis pecahan biasa biasa dan biasa - melalui garis miring, misalnya: ½, 4/9, 384/183. Opsi ini digunakan ketika tinggi garis terbatas dan tidak memungkinkan untuk menggunakan formulir entri “dua lantai”. Mengapa? Ya, karena lebih nyaman. Kita akan melihatnya nanti.
Selain pecahan biasa, ada juga pecahan desimal. Sangat mudah untuk membedakannya: jika dalam satu kasus digunakan garis horizontal atau garis miring, maka di kasus lain koma digunakan untuk memisahkan urutan angka. Mari kita lihat contohnya: 2.9; 163,34; 1.953. Kami sengaja menggunakan titik koma sebagai pemisah untuk membatasi angka. Yang pertama akan berbunyi seperti ini: "dua koma sembilan".
Konsep baru
Mari kita kembali ke pecahan biasa. Mereka datang dalam dua jenis.
Pengertian pecahan biasa adalah sebagai berikut: pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Mengapa ini penting? Kita lihat saja sekarang!
Anda memiliki beberapa apel, dibelah dua. Total - 5 bagian. Bagaimana menurut Anda: apakah Anda memiliki “dua setengah” atau “lima setengah” apel? Tentu saja opsi pertama terdengar lebih natural dan akan kita gunakan saat berbicara dengan teman. Tetapi jika kita perlu menghitung berapa banyak buah yang akan diperoleh setiap orang, jika ada lima orang dalam satu perusahaan, kita akan menuliskan angka 5/2 dan membaginya dengan 5 - dari sudut pandang matematika, ini akan lebih jelas. .
Jadi, untuk penamaan pecahan biasa dan pecahan biasa, aturannya begini: jika suatu bagian dapat dibedakan dalam pecahan (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), maka pecahan tersebut tidak beraturan. Jika hal ini tidak dapat dilakukan, seperti dalam kasus ½, 13/16, 9/10, maka itu benar.
Sifat utama pecahan
Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama secara bersamaan, maka nilainya tidak berubah. Bayangkan: mereka memotong kue menjadi 4 bagian yang sama dan memberi Anda satu. Mereka memotong kue yang sama menjadi delapan bagian dan memberi Anda dua. Apakah itu penting? Bagaimanapun, ¼ dan 2/8 adalah sama!
Pengurangan
Penulis soal dan contoh dalam buku teks matematika sering kali berusaha membingungkan siswa dengan menawarkan pecahan yang rumit untuk ditulis tetapi sebenarnya dapat disingkat. Berikut ini contoh pecahan biasa: 167/334, yang nampaknya terlihat sangat “menakutkan”. Tapi sebenarnya kita bisa menuliskannya sebagai ½. Angka 334 habis dibagi 167 tanpa sisa - setelah melakukan operasi ini, kita mendapatkan 2.
Nomor campuran
Pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai bilangan campuran. Ini adalah saat seluruh bagian dimajukan dan ditulis setinggi garis horizontal. Faktanya, ekspresi tersebut berbentuk penjumlahan: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 dan seterusnya.
Untuk mengambil seluruh bagiannya, Anda perlu membagi pembilangnya dengan penyebutnya. Tuliskan sisa pembagian di atas, di atas garis, dan seluruh bagian - sebelum ekspresi. Jadi, kita mendapatkan dua bagian struktural: satuan utuh + pecahan biasa.
Anda juga dapat melakukan operasi invers - untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut dan menambahkan nilai yang dihasilkan ke pembilangnya. Tidak ada yang rumit.
Perkalian dan pembagian
Anehnya, mengalikan pecahan lebih mudah daripada menjumlahkan. Yang diperlukan hanyalah memanjangkan garis horizontal: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
Dengan pembagian, semuanya juga sederhana: Anda perlu mengalikan pecahan secara melintang: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.
Menjumlahkan Pecahan
Apa yang harus dilakukan jika Anda perlu melakukan penjumlahan atau penyebutnya memiliki angka yang berbeda? Melakukan hal yang sama seperti perkalian tidak akan berhasil - di sini Anda harus memahami definisi pecahan biasa dan esensinya. Suku-suku tersebut perlu dibawa ke penyebut yang sama, yaitu bagian bawah kedua pecahan harus mempunyai bilangan yang sama.
Untuk melakukan ini, Anda harus menggunakan sifat dasar pecahan: kalikan kedua bagian dengan angka yang sama. Misalnya, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Bagaimana cara memilih penyebut yang akan dikurangi sukunya? Ini harus berupa bilangan minimum yang merupakan kelipatan kedua bilangan penyebut pecahan: untuk 1/3 dan 1/9 akan menjadi 9; untuk ½ dan 1/7 - 14, karena tidak ada nilai lebih kecil yang habis dibagi 2 dan 7 tanpa sisa.
Penggunaan
Pecahan biasa digunakan untuk apa? Lagi pula, jauh lebih mudah untuk segera memilih seluruh bagian, mendapatkan nomor campuran - dan menyelesaikannya! Ternyata jika ingin mengalikan atau membagi dua pecahan, lebih menguntungkan menggunakan pecahan tak beraturan.
Mari kita ambil contoh berikut: (2 + 3/17) / (37/68).
Tampaknya tidak ada yang perlu dipotong sama sekali. Namun bagaimana jika hasil penjumlahan di dalam tanda kurung pertama kita tuliskan sebagai pecahan biasa? Lihat: (37/17) / (37/68)
Sekarang semuanya beres! Mari kita tuliskan contohnya sedemikian rupa sehingga semuanya menjadi jelas: (37*68) / (17*37).
Mari kita hapus 37 pada pembilang dan penyebutnya, lalu bagi bagian atas dan bawah dengan 17. Ingatkah Anda aturan dasar pecahan biasa dan pecahan biasa? Kita bisa mengalikan dan membaginya dengan bilangan apa saja asalkan pembilang dan penyebutnya dilakukan secara bersamaan.
Jadi, kita mendapat jawabannya: 4. Contohnya terlihat rumit, tetapi jawabannya hanya berisi satu angka. Hal ini sering terjadi dalam matematika. Hal utama adalah jangan takut dan ikuti aturan sederhana.
Kesalahan Umum
Saat menerapkan, seorang siswa dapat dengan mudah membuat salah satu kesalahan umum. Biasanya terjadi karena kurangnya perhatian, dan terkadang karena materi yang dipelajari belum tersimpan dengan baik di kepala.
Seringkali penjumlahan angka-angka pada pembilangnya membuat Anda ingin mengurangi masing-masing komponennya. Misalkan pada contoh: (13+2)/13 ditulis tanpa tanda kurung (dengan garis mendatar), banyak siswa yang karena kurang pengalaman mencoret 13 atas dan bawah. Namun hal ini tidak boleh dilakukan dalam keadaan apapun, karena ini adalah kesalahan besar! Jika alih-alih penjumlahan ada tanda perkalian, kita akan mendapat angka 2 pada jawabannya. Namun saat melakukan penjumlahan, operasi dengan salah satu suku tidak diperbolehkan, hanya dengan jumlah keseluruhan.
Cowok juga sering melakukan kesalahan saat membagi pecahan. Mari kita ambil dua pecahan tak tersederhanakan dan membaginya satu sama lain: (5/6) / (25/33). Siswa dapat mencampurnya dan menulis ekspresi yang dihasilkan sebagai (5*25) / (6*33). Tapi ini akan terjadi dengan perkalian, tetapi dalam kasus kita semuanya akan sedikit berbeda: (5*33) / (6*25). Kami mengurangi apa yang mungkin, dan jawabannya adalah 11/10. Kami menulis pecahan biasa yang dihasilkan sebagai desimal - 1.1.
Tanda kurung
Ingatlah bahwa dalam ekspresi matematika apa pun, urutan operasi ditentukan oleh prioritas tanda operasi dan keberadaan tanda kurung. Semua hal lain dianggap sama, urutan tindakan dihitung dari kiri ke kanan. Hal ini juga berlaku untuk pecahan - ekspresi dalam pembilang atau penyebutnya dihitung secara ketat berdasarkan aturan ini.
Bagaimanapun, ini adalah hasil pembagian satu angka dengan angka lainnya. Jika tidak terbagi rata, maka menjadi pecahan - itu saja.
Cara menulis pecahan di komputer
Karena alat standar tidak selalu memungkinkan pembuatan pecahan yang terdiri dari dua “tingkatan”, siswa terkadang menggunakan berbagai trik. Misalnya, mereka menyalin pembilang dan penyebut ke dalam editor grafis Paint dan merekatkannya, menggambar garis horizontal di antara keduanya. Tentu saja, ada opsi yang lebih sederhana, yang menyediakan banyak fitur tambahan yang akan berguna bagi Anda di masa mendatang.
Buka Microsoft Word. Salah satu panel di bagian atas layar disebut "Sisipkan" - klik panel tersebut. Di sebelah kanan, di sisi tempat ikon tutup dan perkecil jendela berada, terdapat tombol “Formula”. Inilah yang kita butuhkan!
Jika Anda menggunakan fungsi ini, area persegi panjang akan muncul di layar tempat Anda dapat menggunakan tanda matematika apa pun yang tidak ada di keyboard, serta menulis pecahan dalam bentuk klasik. Yaitu membagi pembilang dan penyebutnya dengan garis mendatar. Anda bahkan mungkin terkejut bahwa pecahan biasa begitu mudah untuk ditulis.
Pelajari matematika
Jika Anda berada di kelas 5-6, maka pengetahuan matematika (termasuk kemampuan bekerja dengan pecahan!) akan segera dibutuhkan di banyak mata pelajaran sekolah. Di hampir semua masalah fisika, ketika mengukur massa zat dalam kimia, geometri, dan trigonometri, pecahan sangat diperlukan. Anda akan segera belajar menghitung semua yang ada di kepala Anda, bahkan tanpa menuliskan ekspresi di atas kertas, tetapi contoh yang lebih kompleks akan muncul. Jadi, pelajari apa itu pecahan yang benar dan bagaimana cara menggunakannya, ikuti kurikulum Anda, kerjakan pekerjaan rumah Anda tepat waktu, dan Anda akan berhasil.
Artikel ini tentang pecahan biasa. Di sini kita akan memperkenalkan konsep pecahan dari keseluruhan, yang akan membawa kita pada definisi pecahan biasa. Selanjutnya kita akan membahas tentang notasi pecahan biasa yang diterima dan memberikan contoh pecahan, misalkan pembilang dan penyebut suatu pecahan. Setelah itu kita akan memberikan definisi pecahan wajar dan tak wajar, pecahan positif dan negatif, serta memperhatikan kedudukan bilangan pecahan pada sinar koordinat. Sebagai kesimpulan, kami mencantumkan operasi dasar dengan pecahan.
Navigasi halaman.
Bagian dari keseluruhan
Pertama kami perkenalkan konsep berbagi.
Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki suatu benda yang terdiri dari beberapa bagian yang benar-benar identik (yaitu sama). Untuk lebih jelasnya, Anda dapat membayangkan, misalnya, sebuah apel yang dipotong menjadi beberapa bagian yang sama, atau sebuah jeruk yang terdiri dari beberapa irisan yang sama besar. Masing-masing bagian sama yang membentuk keseluruhan benda disebut bagian dari keseluruhan atau hanya saham.
Perhatikan bahwa bagiannya berbeda. Mari kita jelaskan ini. Mari kita makan dua buah apel. Potong apel pertama menjadi dua bagian yang sama, dan apel kedua menjadi 6 bagian yang sama. Jelas bahwa bagian apel pertama akan berbeda dengan bagian apel kedua.
Tergantung pada jumlah bagian yang membentuk keseluruhan objek, bagian tersebut memiliki namanya sendiri. Mari kita selesaikan nama-nama ketukan. Jika suatu benda terdiri dari dua bagian, salah satunya disebut bagian kedua dari keseluruhan benda; jika suatu benda terdiri dari tiga bagian, maka salah satunya disebut sepertiga bagian, dan seterusnya.
Bagian satu detik memiliki nama khusus - setengah. Sepertiga dipanggil ketiga, dan seperempat bagian - seperempat.
Agar singkatnya, berikut ini diperkenalkan: mengalahkan simbol. Satu bagian kedua ditetapkan sebagai atau 1/2, sepertiga bagian ditetapkan sebagai atau 1/3; seperempat bagian - suka atau 1/4, dan seterusnya. Perhatikan bahwa notasi dengan garis horizontal lebih sering digunakan. Untuk memperkuat materi, mari kita berikan satu contoh lagi: entri tersebut menunjukkan seratus enam puluh tujuh bagian dari keseluruhan.
Konsep berbagi secara alami meluas dari objek hingga kuantitas. Misalnya salah satu ukuran panjang adalah meter. Untuk mengukur panjang yang lebih pendek dari satu meter, dapat digunakan pecahan meter. Jadi Anda bisa menggunakan, misalnya setengah meter atau sepersepuluh atau seperseribu meter. Pembagian besaran lain diterapkan serupa.
Pecahan biasa, pengertian dan contoh pecahan
Untuk menggambarkan jumlah share yang kami gunakan pecahan biasa. Mari kita berikan contoh yang memungkinkan kita mendekati definisi pecahan biasa.
Biarkan jeruk terdiri dari 12 bagian. Setiap bagian dalam hal ini mewakili seperduabelas dari keseluruhan jeruk, yaitu,. Dua ketukan kita nyatakan sebagai , tiga ketukan sebagai , dan seterusnya, 12 ketukan kita nyatakan sebagai . Setiap entri yang diberikan disebut pecahan biasa.
Sekarang mari kita berikan gambaran umum definisi pecahan biasa.
Definisi pecahan biasa yang disuarakan memungkinkan kita untuk memberi contoh pecahan biasa: 5/10, , 21/1, 9/4, . Dan inilah catatannya 
tidak sesuai dengan definisi pecahan biasa, yaitu bukan pecahan biasa.
Pembilang dan penyebut
Untuk kenyamanan, pecahan biasa dibedakan pembilang dan penyebut.
Definisi.
Pembilang pecahan biasa (m/n) adalah bilangan asli m.
Definisi.
Penyebut pecahan biasa (m/n) adalah bilangan asli n.
Jadi, pembilangnya terletak di atas garis pecahan (di sebelah kiri garis miring), dan penyebutnya terletak di bawah garis pecahan (di sebelah kanan garis miring). Misalnya pecahan biasa 17/29, pembilang pecahan tersebut adalah 17, dan penyebutnya adalah angka 29.
Tinggal membahas pengertian yang terkandung pada pembilang dan penyebut pecahan biasa. Penyebut suatu pecahan menunjukkan berapa banyak bagian yang terdiri dari suatu benda, dan pembilangnya, pada gilirannya, menunjukkan jumlah bagian tersebut. Misalnya, penyebut 5 pada pecahan 12/5 berarti satu benda terdiri dari lima bagian, dan pembilang 12 berarti diambil 12 bagian.
Bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1
Penyebut pecahan biasa bisa sama dengan satu. Dalam hal ini kita dapat menganggap bahwa benda tersebut tidak dapat dibagi-bagi, dengan kata lain mewakili sesuatu yang utuh. Pembilang pecahan tersebut menunjukkan berapa banyak benda utuh yang diambil. Jadi, pecahan biasa berbentuk m/1 mempunyai arti bilangan asli m. Beginilah cara kami membuktikan validitas persamaan m/1=m.
Mari kita tulis ulang persamaan terakhir sebagai berikut: m=m/1. Persamaan ini memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan asli m sebagai pecahan biasa. Misalnya bilangan 4 adalah pecahan 4/1, dan bilangan 103.498 sama dengan pecahan 103.498/1.
Jadi, bilangan asli m apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa dengan penyebut 1 sebagai m/1, dan pecahan biasa apa pun yang berbentuk m/1 dapat diganti dengan bilangan asli m.
Bilah pecahan sebagai tanda pembagian
Mewakili suatu benda asli dalam bentuk n bagian tidak lebih dari pembagian menjadi n bagian yang sama besar. Setelah suatu barang dibagi menjadi n bagian, kita dapat membaginya secara merata kepada n orang – masing-masing akan menerima satu bagian.
Jika awalnya kita mempunyai m benda identik, yang masing-masing dibagi menjadi n bagian, maka kita dapat membagi m benda tersebut secara merata kepada n orang, sehingga setiap orang mendapat satu bagian dari masing-masing m benda. Dalam hal ini, setiap orang akan memiliki m bagian dari 1/n, dan m bagian dari 1/n menghasilkan pecahan biasa m/n. Jadi, pecahan biasa m/n dapat digunakan untuk menyatakan pembagian m benda antara n orang.
Beginilah cara kita mendapatkan hubungan yang jelas antara pecahan biasa dan pembagian (lihat gagasan umum tentang pembagian bilangan asli). Hubungan ini diungkapkan sebagai berikut: garis pecahan dapat dipahami sebagai tanda pembagian, yaitu m/n=m:n.
Dengan menggunakan pecahan biasa, Anda dapat menuliskan hasil pembagian dua bilangan asli yang tidak dapat dilakukan pembagian bilangan bulat. Misalnya hasil pembagian 5 buah apel oleh 8 orang dapat dituliskan 5/8, yaitu setiap orang mendapat lima per delapan bagian apel: 5:8 = 5/8.
Pecahan sama dan tidak sama, perbandingan pecahan
Tindakan yang cukup alami adalah membandingkan pecahan, karena jelas 1/12 buah jeruk berbeda dengan 5/12, dan 1/6 buah apel sama dengan 1/6 buah apel lainnya.
Dari hasil membandingkan dua pecahan biasa, diperoleh salah satu hasil: pecahan tersebut sama atau tidak sama. Dalam kasus pertama yang kita miliki pecahan biasa yang sama, dan yang kedua – pecahan biasa yang tidak sama. Mari kita berikan definisi pecahan biasa yang sama dan tidak sama.
Definisi.
setara, jika persamaan a·d=b·c benar.
Definisi.
Dua pecahan biasa a/b dan c/d tidak sama, jika persamaan a·d=b·c tidak terpenuhi.
Berikut beberapa contoh pecahan sama besar. Misalnya, pecahan biasa 1/2 sama dengan pecahan 2/4, karena 1·4=2·2 (bila perlu lihat aturan dan contoh perkalian bilangan asli). Untuk lebih jelasnya, Anda dapat membayangkan dua buah apel yang identik, yang pertama dipotong menjadi dua, dan yang kedua dipotong menjadi 4 bagian. Jelas sekali bahwa dua perempat bagian apel sama dengan 1/2 bagian. Contoh pecahan biasa yang sama lainnya adalah pecahan 4/7 dan 36/63, serta pasangan pecahan 81/50 dan 1.620/1.000.
Tetapi pecahan biasa 4/13 dan 5/14 tidak sama, karena 4·14=56, dan 13·5=65, yaitu 4·14≠13·5. Contoh pecahan biasa tak sama lainnya adalah pecahan 17/7 dan 6/4.
Jika, saat membandingkan dua pecahan biasa, ternyata keduanya tidak sama, maka Anda mungkin perlu mencari tahu pecahan biasa mana yang lebih sedikit berbeda, dan yang mana - lagi. Untuk mengetahuinya digunakan aturan membandingkan pecahan biasa, yang intinya adalah membawa pecahan yang dibandingkan ke penyebut yang sama dan kemudian membandingkan pembilangnya. Informasi terperinci tentang topik ini dikumpulkan dalam artikel perbandingan pecahan: aturan, contoh, solusi.
Bilangan pecahan
Setiap pecahan adalah notasi bilangan pecahan. Artinya, pecahan hanyalah “cangkang” suatu bilangan pecahan, penampakannya, dan seluruh muatan semantik terkandung dalam bilangan pecahan tersebut. Namun, agar singkat dan mudah, konsep pecahan dan bilangan pecahan digabungkan dan disebut pecahan. Di sini tepat untuk memparafrasekan pepatah terkenal: kita mengatakan pecahan - yang kita maksud adalah bilangan pecahan, kita mengatakan bilangan pecahan - yang kita maksud adalah pecahan.
Pecahan pada sinar koordinat
Semua bilangan pecahan yang bersesuaian dengan pecahan biasa mempunyai tempat uniknya masing-masing, yaitu ada korespondensi satu-satu antara pecahan dan titik-titik pada sinar koordinat.
Untuk mencapai titik pada sinar koordinat yang sesuai dengan pecahan m/n, Anda perlu menyisihkan m ruas dari titik asal koordinat dalam arah positif, yang panjangnya 1/n pecahan satuan ruas. Segmen tersebut dapat diperoleh dengan membagi satuan segmen menjadi n bagian yang sama, yang selalu dapat dilakukan dengan menggunakan kompas dan penggaris.
Misalnya, mari kita tunjukkan titik M pada sinar koordinat yang bersesuaian dengan pecahan 14/10. Panjang suatu ruas yang ujungnya di titik O dan titik terdekatnya, yang diberi tanda garis kecil, adalah 1/10 satuan ruas. Sebuah titik dengan koordinat 14/10 dipindahkan dari titik asal pada jarak 14 ruas tersebut.
Pecahan yang sama berhubungan dengan bilangan pecahan yang sama, yaitu pecahan yang sama adalah koordinat titik yang sama pada sinar koordinat. Misalnya, koordinat 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 berhubungan dengan satu titik pada sinar koordinat, karena semua pecahan yang tertulis adalah sama (terletak pada jarak setengah satuan segmen yang ditata dari titik asal ke arah positif).
Pada sinar koordinat mendatar dan berarah kanan, titik yang koordinat pecahannya lebih besar terletak di sebelah kanan titik yang koordinat pecahannya lebih kecil. Demikian pula, titik dengan koordinat lebih kecil terletak di sebelah kiri titik dengan koordinat lebih besar.
Pecahan biasa dan tidak wajar, definisi, contoh
Di antara pecahan biasa ada pecahan wajar dan pecahan tak wajar. Pembagian ini didasarkan pada perbandingan pembilang dan penyebutnya.
Mari kita definisikan pecahan biasa yang wajar dan tak wajar.
Definisi.
Pecahan yang tepat adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, yaitu jika m Definisi.
Pecahan tidak wajar adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya, yaitu jika m≥n maka pecahan biasa tersebut adalah pecahan biasa. Berikut beberapa contoh pecahan biasa: 1/4, , 32,765/909,003. Memang, dalam setiap pecahan biasa yang ditulis, pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya (jika perlu, lihat artikel membandingkan bilangan asli), sehingga menurut definisinya benar. Berikut contoh pecahan biasa: 9/9, 23/4, . Memang, pembilang pecahan biasa pertama yang ditulis sama dengan penyebutnya, dan pada pecahan selebihnya, pembilangnya lebih besar dari penyebutnya. Ada juga definisi pecahan biasa dan pecahan biasa, berdasarkan perbandingan pecahan dengan satu. Definisi. benar, jika kurang dari satu. Definisi. Pecahan biasa disebut salah, jika sama dengan satu atau lebih besar dari 1. Jadi pecahan biasa 7/11 benar, karena 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1, dan 27/27=1. Mari kita pikirkan bagaimana pecahan biasa yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya pantas mendapatkan nama seperti itu - “tidak wajar”. Misalnya, ambil pecahan biasa 9/9. Pecahan ini berarti diambil sembilan bagian dari suatu benda yang terdiri dari sembilan bagian. Artinya, dari sembilan bagian yang tersedia kita dapat membuat suatu benda utuh. Artinya, pecahan biasa 9/9 pada dasarnya menghasilkan keseluruhan benda, yaitu 9/9 = 1. Secara umum, pecahan biasa yang pembilangnya sama dengan penyebutnya menyatakan satu benda utuh, dan pecahan tersebut dapat diganti dengan bilangan asli 1. Sekarang perhatikan pecahan biasa 7/3 dan 12/4. Jelas sekali bahwa dari tujuh pertiga bagian ini kita dapat menyusun dua benda utuh (satu benda utuh terdiri dari 3 bagian, kemudian untuk menyusun dua benda utuh kita memerlukan 3 + 3 = 6 bagian) dan masih tersisa sepertiga bagian. . Artinya, pecahan biasa 7/3 pada dasarnya berarti 2 benda dan juga 1/3 dari benda tersebut. Dan dari dua belas perempat bagian kita dapat membuat tiga benda utuh (tiga benda dengan masing-masing empat bagian). Artinya, pecahan 12/4 pada dasarnya berarti 3 benda utuh. Contoh-contoh yang dipertimbangkan membawa kita pada kesimpulan berikut: pecahan biasa dapat diganti dengan bilangan asli, jika pembilangnya dibagi rata dengan penyebutnya (misalnya, 9/9=1 dan 12/4=3), atau dengan jumlah bilangan asli dan pecahan biasa, jika pembilangnya tidak habis dibagi penyebutnya (misalnya, 7/3=2+1/3). Mungkin inilah tepatnya yang menyebabkan pecahan tak wajar diberi nama “tidak beraturan”. Yang menarik adalah representasi pecahan biasa sebagai jumlah bilangan asli dan pecahan biasa (7/3=2+1/3). Proses ini disebut memisahkan seluruh bagian dari pecahan biasa, dan memerlukan pertimbangan terpisah dan lebih cermat. Perlu juga dicatat bahwa ada hubungan yang sangat erat antara pecahan biasa dan bilangan campuran. Setiap pecahan biasa berhubungan dengan bilangan pecahan positif (lihat artikel tentang bilangan positif dan negatif). Artinya, pecahan biasa adalah pecahan positif. Misalnya pecahan biasa 1/5, 56/18, 35/144 adalah pecahan positif. Jika Anda perlu menyorot kepositifan suatu pecahan, tanda plus ditempatkan di depannya, misalnya +3/4, +72/34. Jika Anda memberi tanda minus di depan pecahan biasa, maka entri ini akan sesuai dengan bilangan pecahan negatif. Dalam hal ini kita bisa membicarakannya pecahan negatif. Berikut beberapa contoh pecahan negatif: −6/10, −65/13, −1/18. Pecahan positif dan negatif m/n dan −m/n adalah bilangan berlawanan. Misalnya, pecahan 5/7 dan −5/7 adalah pecahan yang berlawanan. Pecahan positif, seperti bilangan positif pada umumnya, menunjukkan penambahan, pendapatan, perubahan nilai apa pun, dll. Pecahan negatif berhubungan dengan pengeluaran, hutang, atau penurunan jumlah berapapun. Misalnya pecahan negatif −3/4 dapat diartikan sebagai hutang yang nilainya sama dengan 3/4. Pada arah mendatar dan ke kanan, pecahan negatif terletak di sebelah kiri titik asal. Titik-titik pada garis koordinat yang koordinatnya merupakan pecahan positif m/n dan pecahan negatif −m/n, terletak pada jarak yang sama dari titik asal, tetapi berlawanan arah dengan titik O. Di sini perlu disebutkan pecahan berbentuk 0/n. Pecahan ini sama dengan angka nol, yaitu 0/n=0. Pecahan positif, pecahan negatif, dan pecahan 0/n digabungkan membentuk bilangan rasional. Kami telah membahas satu tindakan dengan pecahan biasa - membandingkan pecahan - di atas. Empat fungsi aritmatika lagi didefinisikan operasi dengan pecahan– penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pecahan. Mari kita lihat masing-masingnya. Hakikat umum operasi pecahan mirip dengan hakikat operasi bersesuaian dengan bilangan asli. Mari kita membuat analogi. Mengalikan pecahan dapat dianggap sebagai tindakan mencari pecahan dari pecahan. Untuk memperjelas, mari kita beri contoh. Misalkan kita mempunyai 1/6 bagian apel dan kita perlu mengambil 2/3 bagiannya. Bagian yang kita butuhkan adalah hasil perkalian pecahan 1/6 dan 2/3. Hasil perkalian dua pecahan biasa adalah pecahan biasa (yang dalam kasus khusus sama dengan bilangan asli). Selanjutnya sebaiknya Anda mempelajari informasi pada artikel Mengalikan Pecahan - Aturan, Contoh dan Penyelesaiannya. Referensi. Pecahan biasa dibagi menjadi pecahan \textit (pantas) dan \textit (tidak wajar). Pembagian ini didasarkan pada perbandingan pembilang dan penyebutnya. Pecahan yang tepat Disebut pecahan biasa $\frac(m)(n)$ yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, yaitu $m Contoh 1 Misalnya, pecahan $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ benar , jadi bagaimana masing-masing pecahan tersebut pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, sehingga memenuhi definisi pecahan wajar. Ada definisi pecahan biasa, yang didasarkan pada perbandingan pecahan dengan satu. benar, jika kurang dari satu: Contoh 2 Misalnya, pecahan biasa $\frac(6)(13)$ adalah pecahan wajar karena kondisi $\frac(6)(13) terpenuhi Pecahan tidak wajar Disebut pecahan biasa $\frac(m)(n)$ yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya, yaitu. $m\ge n$. Contoh 3 Misalnya, pecahan $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ adalah pecahan tak beraturan , jadi bagaimana masing-masing pecahan tersebut pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya, sehingga memenuhi definisi pecahan biasa. Mari kita berikan definisi pecahan biasa, yang didasarkan pada perbandingannya dengan pecahan biasa. Pecahan persekutuan $\frac(m)(n)$ adalah salah, jika sama dengan atau lebih besar dari satu: \[\frac(m)(n)\ge 1\] Contoh 4 Misalnya, pecahan biasa $\frac(21)(4)$ tidak tepat karena kondisi $\frac(21)(4) >1$ terpenuhi; pecahan biasa $\frac(8)(8)$ tidak tepat karena kondisi $\frac(8)(8)=1$ terpenuhi. Mari kita lihat lebih dekat konsep pecahan biasa. Mari kita ambil pecahan biasa $\frac(7)(7)$ sebagai contoh. Arti dari pecahan ini adalah mengambil tujuh bagian suatu benda, yang dibagi menjadi tujuh bagian yang sama besar. Dengan demikian, dari tujuh bagian yang tersedia, seluruh objek bisa tersusun. Itu. pecahan biasa $\frac(7)(7)$ menggambarkan keseluruhan objek dan $\frac(7)(7)=1$. Jadi, pecahan biasa, yang pembilangnya sama dengan penyebutnya, menggambarkan satu benda utuh dan pecahan tersebut dapat diganti dengan bilangan asli $1$. $\frac(5)(2)$ - cukup jelas bahwa dari lima bagian kedua ini Anda dapat membuat $2$ objek utuh (satu objek utuh akan terdiri dari $2$ bagian, dan untuk membuat dua objek utuh, Anda perlu $2+2=4$ lembar saham) dan satu lembar saham tersisa. Artinya, pecahan biasa $\frac(5)(2)$ menggambarkan $2$ suatu objek dan $\frac(1)(2)$ bagian dari objek ini. $\frac(21)(7)$ -- dari dua puluh satu per tujuh bagian Anda dapat membuat $3$ objek utuh ($3$ objek dengan masing-masing $7$ bagian). Itu. pecahan $\frac(21)(7)$ mendeskripsikan $3$ keseluruhan objek. Dari contoh yang diberikan, kita dapat menarik kesimpulan berikut: pecahan biasa dapat diganti dengan bilangan asli jika pembilangnya habis dibagi penyebutnya (misalnya, $\frac(7)(7)=1$ dan $\ frac(21)(7)=3$) , atau jumlah bilangan asli dan pecahan biasa, jika pembilangnya tidak habis dibagi penyebutnya (misalnya, $\ \frac(5)(2)=2 +\frac(1)(2)$). Itu sebabnya pecahan seperti itu disebut salah. Definisi 1 Proses menyatakan pecahan biasa sebagai jumlah dari bilangan asli dan pecahan biasa (misalnya, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) disebut memisahkan seluruh bagian dari pecahan biasa. Saat mengerjakan pecahan biasa, ada hubungan erat antara pecahan tersebut dan bilangan campuran. Pecahan biasa sering kali ditulis sebagai bilangan campuran - bilangan yang terdiri dari bagian bilangan bulat dan bagian pecahan. Untuk menuliskan pecahan biasa sebagai bilangan campuran, Anda harus membagi pembilangnya dengan penyebutnya dan sisanya. Hasil bagi adalah bagian bilangan bulat dari bilangan campuran, sisanya adalah pembilang bagian pecahan, dan pembagi adalah penyebut bagian pecahan. Contoh 5 Tulis pecahan biasa $\frac(37)(12)$ sebagai bilangan campuran. Larutan. Bagilah pembilangnya dengan penyebutnya dan sisanya: \[\frac(37)(12)=37:12=3\ (sisa\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\] Menjawab.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$. Untuk menuliskan bilangan campuran sebagai pecahan biasa, Anda perlu mengalikan penyebutnya dengan seluruh bagian bilangan tersebut, menambahkan pembilang bagian pecahan tersebut ke hasil perkaliannya, dan menuliskan jumlah yang dihasilkan ke dalam pembilang pecahan tersebut. Penyebut pecahan biasa akan sama dengan penyebut bagian pecahan bilangan campuran. Contoh 6 Tuliskan bilangan campuran $5\frac(3)(7)$ sebagai pecahan biasa. Larutan. Menjawab.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$. Penambahan Nomor Campuran$a\frac(b)(c)$ dan pecahan yang tepat$\frac(d)(e)$ dilakukan dengan menambahkan bagian pecahan dari bilangan campuran tertentu ke pecahan tertentu: Contoh 7 Tambahkan pecahan biasa $\frac(4)(15)$ dan bilangan campuran $3\frac(2)(5)$. Larutan. Mari kita gunakan rumus untuk menjumlahkan bilangan campuran dan pecahan biasa: \[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\kiri(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\kanan)=3+\ kiri(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\kanan)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\] Dengan membaginya dengan bilangan \textit(5) kita dapat menentukan bahwa pecahan $\frac(10)(15)$ dapat direduksi. Mari kita lakukan pengurangan dan cari hasil penjumlahannya: Jadi, hasil penjumlahan pecahan wajar $\frac(4)(15)$ dan bilangan campuran $3\frac(2)(5)$ adalah $3\frac(2)(3)$. Menjawab:$3\frac(2)(3)$ Penjumlahan pecahan biasa dan bilangan campuran direduksi menjadi penjumlahan dua bilangan campuran, yang cukup untuk mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa. Contoh 8 Hitung jumlah bilangan campuran $6\frac(2)(15)$ dan pecahan biasa $\frac(13)(5)$. Larutan. Pertama, mari kita ekstrak seluruh bagian dari pecahan biasa $\frac(13)(5)$: Menjawab:$8\frac(11)(15)$. Pecahan yang tepat Perempat src="/gambar/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0"> . src="/gambar/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0"> Semua sifat-sifat lain yang melekat pada bilangan rasional tidak dapat dibedakan sebagai sifat-sifat dasar, karena pada umumnya sifat-sifat tersebut tidak lagi didasarkan secara langsung pada sifat-sifat bilangan bulat, tetapi dapat dibuktikan berdasarkan sifat-sifat dasar yang diberikan atau secara langsung dengan definisi suatu objek matematika. . Ada banyak properti tambahan seperti itu. Masuk akal untuk mencantumkan hanya beberapa di antaranya di sini. Untuk memperkirakan jumlah bilangan rasional, Anda perlu mencari kardinalitas himpunannya. Mudah untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Untuk melakukan ini, cukup dengan memberikan algoritma yang menghitung bilangan rasional, yaitu menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional dan bilangan asli. Algoritma yang paling sederhana terlihat seperti ini. Tabel pecahan biasa yang tak ada habisnya telah dikompilasi, untuk masing-masingnya Saya-baris ke-th di masing-masing J kolom ke-th tempat pecahan berada. Untuk lebih jelasnya, diasumsikan baris dan kolom tabel ini diberi nomor mulai dari satu. Sel tabel dilambangkan dengan , dimana Saya- nomor baris tabel tempat sel berada, dan J- nomor kolom. Tabel yang dihasilkan dilintasi menggunakan “ular” sesuai dengan algoritma formal berikut. Aturan ini dicari dari atas ke bawah dan posisi selanjutnya dipilih berdasarkan pertandingan pertama. Dalam proses penjelajahan tersebut, setiap bilangan rasional baru dikaitkan dengan bilangan asli lainnya. Artinya, pecahan 1/1 diberi nomor 1, pecahan 2/1 diberi nomor 2, dan seterusnya. Perlu diperhatikan bahwa hanya pecahan tak tereduksi yang diberi nomor. Tanda formal dari sifat tak tersederhanakan adalah pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut suatu pecahan sama dengan satu. Dengan mengikuti algoritma ini, kita dapat menghitung semua bilangan rasional positif. Artinya himpunan bilangan rasional positif dapat dihitung. Sangat mudah untuk membuat bijeksi antara himpunan bilangan rasional positif dan negatif hanya dengan menetapkan kebalikannya pada setiap bilangan rasional. Itu. himpunan bilangan rasional negatif juga dapat dihitung. Persatuan mereka juga dapat dihitung berdasarkan sifat himpunan yang dapat dihitung. Himpunan bilangan rasional juga dapat dihitung sebagai gabungan suatu himpunan terhitung dengan himpunan berhingga. Pernyataan tentang keterhitungan himpunan bilangan rasional mungkin menimbulkan kebingungan, karena sekilas tampak himpunan bilangan rasional jauh lebih luas daripada himpunan bilangan asli. Faktanya, hal ini tidak terjadi dan terdapat cukup bilangan asli untuk menghitung semua bilangan rasional. Sisi miring segitiga tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan rasional apa pun Bilangan rasional berbentuk 1 / N secara luas N jumlah kecil yang sewenang-wenang dapat diukur. Fakta ini menimbulkan kesan menyesatkan bahwa bilangan rasional dapat digunakan untuk mengukur jarak geometri apa pun. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ini tidak benar. Dari teorema Pythagoras kita mengetahui bahwa sisi miring suatu segitiga siku-siku dinyatakan sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki-kakinya. Itu. panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku sama kaki dengan satuan kaki sama dengan , yaitu bilangan yang kuadratnya 2. Jika kita berasumsi bahwa suatu bilangan dapat diwakili oleh suatu bilangan rasional, maka bilangan tersebut adalah bilangan bulat M dan bilangan asli N, itu , dan pecahan tidak dapat direduksi, yaitu bilangan M Dan N- saling sederhana. Jika , maka Pecahan positif dan negatif
Operasi dengan pecahan
Pecahan yang tepat
Pecahan yang tidak wajar
Penjumlahan bilangan campuran dan pecahan biasa
Penjumlahan bilangan campuran dan pecahan biasa
.
.
, Anda dapat mengambil begitu banyak unit hingga jumlahnya melebihi
Properti tambahan
Kurangnya bilangan rasional
, yaitu M 2 = 2N 2. Oleh karena itu, nomornya M 2 bilangan genap, tetapi hasil kali dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil yang artinya bilangan itu sendiri M juga genap. Jadi ada bilangan asli k, sedemikian rupa sehingga jumlahnya M dapat direpresentasikan dalam bentuk M = 2k. Nomor persegi M dalam pengertian ini M 2 = 4k 2, tapi di sisi lain M 2 = 2N 2 berarti 4 k 2 = 2N 2, atau N 2 = 2k 2. Seperti yang ditunjukkan sebelumnya untuk nomor tersebut M, ini berarti nomor tersebut N- bahkan sebagai M. Namun keduanya tidak relatif prima, karena keduanya terbagi dua. Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan bahwa ini bukanlah bilangan rasional.