Ekspresi kompleks dengan pecahan. Prosedur
Pecahan- suatu bentuk representasi bilangan dalam matematika. Bilah pecahan menunjukkan operasi pembagian. Pembilang pecahan disebut dividen, dan penyebut- pembagi. Misalnya pecahan mempunyai pembilang 5 dan penyebut 7.
Benar Pecahan disebut pecahan yang modulus pembilangnya lebih besar dari modulus penyebutnya. Jika suatu pecahan bernilai wajar, maka modulus nilainya selalu kurang dari 1. Semua pecahan lainnya bernilai wajar salah.
Pecahan tersebut disebut campur aduk, jika ditulis sebagai bilangan bulat dan pecahan. Ini sama dengan jumlah dari bilangan ini dan pecahannya:
Sifat utama pecahan
Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan tersebut tidak akan berubah, misalnya
Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama
Untuk membawa dua pecahan ke penyebut yang sama, Anda memerlukan:
- Kalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua
- Kalikan pembilang pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama
- Gantikan penyebut kedua pecahan dengan hasil kali keduanya
Operasi dengan pecahan
Tambahan. Untuk menambahkan dua pecahan yang Anda butuhkan
- Tambahkan pembilang baru dari kedua pecahan dan biarkan penyebutnya tidak berubah
Contoh:
Pengurangan. Untuk mengurangkan satu pecahan dari pecahan lainnya, Anda perlu
- Kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama
- Kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah
Contoh:
Perkalian. Untuk mengalikan satu pecahan dengan pecahan lainnya, kalikan pembilang dan penyebutnya:
Divisi. Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, kalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan kalikan penyebut pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua:
Untuk menyatakan suatu bagian sebagai pecahan dari keseluruhan, Anda perlu membagi bagian tersebut menjadi keseluruhan.
Tugas 1. Ada 30 siswa di kelas, empat tidak hadir. Berapa proporsi siswa yang tidak hadir?
Larutan:
Menjawab: Tidak ada siswa di kelas.
Menemukan pecahan dari suatu bilangan
Untuk menyelesaikan masalah di mana Anda perlu menemukan bagian dari keseluruhan, berlaku aturan berikut:
Jika suatu bagian dari suatu bilangan bulat dinyatakan sebagai pecahan, maka untuk mencari bagian tersebut, Anda dapat membagi bilangan bulat tersebut dengan penyebut pecahan tersebut dan mengalikan hasilnya dengan pembilangnya.
Tugas 1. Ada 600 rubel, jumlah ini dibelanjakan. Berapa banyak uang yang Anda keluarkan?
Larutan: untuk menemukan 600 rubel atau lebih, kita perlu membagi jumlah ini menjadi 4 bagian, dengan demikian kita akan mengetahui berapa banyak uang yang seperempatnya:
600: 4 = 150 (r.)
Menjawab: menghabiskan 150 rubel.
Tugas 2. Ada 1000 rubel, jumlah ini dibelanjakan. Berapa banyak uang yang dikeluarkan?
Larutan: dari rumusan masalah kita mengetahui bahwa 1000 rubel terdiri dari lima bagian yang sama. Pertama, mari kita cari berapa rubel yang merupakan seperlima dari 1000, lalu kita akan mengetahui berapa banyak rubel yang merupakan dua perlima:
1) 1000: 5 = 200 (r.) - seperlima.
2) 200 · 2 = 400 (r.) - dua perlima.
Kedua tindakan ini dapat digabungkan: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).
Menjawab: 400 rubel dihabiskan.
Cara kedua untuk menemukan bagian dari keseluruhan:
Untuk mencari bagian dari suatu keseluruhan, Anda dapat mengalikan keseluruhan dengan pecahan yang menyatakan bagian dari keseluruhan tersebut.
Tugas 3. Menurut piagam koperasi, agar rapat pelaporan dapat sah, sekurang-kurangnya harus hadir anggota organisasi. Koperasi ini mempunyai 120 anggota. Komposisi apa yang dapat dilakukan dalam rapat pelaporan?
Larutan: 
Menjawab: rapat pelaporan dapat berlangsung jika anggota organisasi berjumlah 80 orang.
Menemukan bilangan berdasarkan pecahannya
Untuk menyelesaikan masalah di mana Anda perlu mencari keseluruhan dari bagiannya, berlaku aturan berikut:
Jika bagian dari bilangan bulat yang diinginkan dinyatakan sebagai pecahan, maka untuk mencari bilangan bulat tersebut, Anda dapat membagi bagian tersebut dengan pembilang pecahan dan mengalikan hasilnya dengan penyebutnya.
Tugas 1. Kami menghabiskan 50 rubel, lebih kecil dari jumlah aslinya. Temukan jumlah uang aslinya.
Larutan: dari uraian masalah kita melihat bahwa 50 rubel adalah 6 kali lebih kecil dari jumlah aslinya, yaitu jumlah aslinya 6 kali lebih banyak dari 50 rubel. Untuk mencari jumlah ini, Anda perlu mengalikan 50 dengan 6:
50 · 6 = 300 (r.)
Menjawab: jumlah awal adalah 300 rubel.
Tugas 2. Kami menghabiskan 600 rubel, lebih kecil dari jumlah uang aslinya. Temukan jumlah aslinya.
Larutan: Kita asumsikan jumlah yang dibutuhkan terdiri dari tiga pertiga. Menurut ketentuan, dua pertiga dari jumlah tersebut sama dengan 600 rubel. Pertama, cari sepertiga dari jumlah aslinya, lalu berapa rubel tiga pertiganya (jumlah aslinya):
1) 600: 2 3 = 900 (r.)
Menjawab: jumlah awalnya adalah 900 rubel.
Cara kedua untuk menemukan keseluruhan dari bagiannya:
Untuk mencari suatu bilangan bulat berdasarkan nilai yang menyatakan bagiannya, Anda dapat membagi nilai tersebut dengan pecahan yang menyatakan bagian tersebut.
Tugas 3. Segmen AB, sama dengan 42 cm, adalah panjang ruas tersebut CD. Temukan panjang segmen tersebut CD.
Larutan: 
Menjawab: panjang segmen CD 70 cm.
Tugas 4. Semangka dibawa ke toko. Sebelum makan siang, toko menjual semangka yang dibawanya, setelah makan siang, tersisa 80 buah semangka untuk dijual. Berapa banyak semangka yang Anda bawa ke toko?
Larutan: Pertama, mari kita cari tahu bagian mana dari semangka yang dibawa yang jumlahnya 80. Caranya, kita ambil jumlah semangka yang dibawa menjadi satu dan kurangi dengan jumlah semangka yang terjual (terjual):
Jadi, kami mengetahui bahwa jumlah total semangka yang dibawa adalah 80 buah semangka. Sekarang kita cari tahu berapa banyak semangka dari jumlah keseluruhannya, lalu berapa banyak semangka yang ada (jumlah semangka yang dibawa):
2) 80: 4 15 = 300 (semangka)
Menjawab: Total 300 buah semangka dibawa ke toko.
Contoh dengan pecahan merupakan salah satu unsur dasar matematika. Ada banyak jenis persamaan dengan pecahan. Di bawah ini adalah petunjuk rinci untuk menyelesaikan contoh jenis ini.
Cara menyelesaikan contoh dengan pecahan - aturan umum
Untuk menyelesaikan contoh pecahan jenis apa pun, baik itu penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian, Anda perlu mengetahui aturan dasarnya:
- Untuk menjumlahkan ekspresi pecahan dengan penyebut yang sama (penyebutnya adalah bilangan yang terletak di bagian bawah pecahan, pembilangnya di atas), Anda perlu menjumlahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.
- Untuk mengurangkan ekspresi pecahan kedua (dengan penyebut yang sama) dari satu pecahan, Anda perlu mengurangi pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tetap sama.
- Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, Anda perlu mencari penyebut terkecilnya.
- Untuk mencari hasil kali pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya, dan, jika memungkinkan, menguranginya.
- Untuk membagi pecahan dengan pecahan, kamu mengalikan pecahan pertama dengan pecahan kedua secara terbalik.
Cara menyelesaikan contoh dengan pecahan - latihan
Aturan 1, contoh 1:
Hitung 3/4 +1/4.
Menurut Aturan 1, jika dua (atau lebih) pecahan mempunyai penyebut yang sama, cukup tambahkan pembilangnya. Kita peroleh: 3/4 + 1/4 = 4/4. Jika suatu pecahan mempunyai pembilang dan penyebut yang sama, maka pecahan tersebut akan sama dengan 1.
Jawaban: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Aturan 2, contoh 1:
Hitung: 3/4 – 1/4
Dengan menggunakan aturan nomor 2, untuk menyelesaikan persamaan ini Anda perlu mengurangi 1 dari 3 dan membiarkan penyebutnya tetap sama. Kami mendapatkan 2/4. Karena dua 2 dan 4 dapat direduksi, kita kurangi dan dapatkan 1/2.
Jawaban: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.
Aturan 3, Contoh 1
Hitung: 3/4 + 1/6
Solusi: Dengan menggunakan aturan ke-3, kita mencari penyebut persekutuan terkecil. Penyebut terkecil adalah bilangan yang habis dibagi penyebut semua persamaan pecahan pada contoh. Jadi, kita perlu mencari bilangan minimum yang habis dibagi 4 dan 6. Bilangan tersebut adalah 12. Kita tuliskan 12 sebagai penyebutnya. Bagilah 12 dengan penyebut pecahan pertama, kita peroleh 3, kalikan dengan 3, tulis 3 pada pembilang *3 dan tanda +. Bagi 12 dengan penyebut pecahan kedua, kita mendapat 2, kalikan 2 dengan 1, tulis 2*1 di pembilangnya. Jadi, kita mendapatkan pecahan baru dengan penyebut sama dengan 12 dan pembilangnya sama dengan 3*3+2*1=11. 11/12.
Jawaban: 11/12
Aturan 3, Contoh 2:
Hitung 3/4 – 1/6. Contoh ini sangat mirip dengan contoh sebelumnya. Kami melakukan semua langkah yang sama, tetapi di pembilangnya, alih-alih tanda +, kami menulis tanda minus. Kita peroleh: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Jawaban: 7/12
Aturan 4, Contoh 1:
Hitung: 3/4 * 1/4
Dengan menggunakan aturan keempat, kita mengalikan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua. 3*1/4*4 = 3/16.
Jawaban: 16/3
Aturan 4, Contoh 2:
Hitung 2/5 * 10/4.
Fraksi ini dapat dikurangi. Dalam hal hasil kali, pembilang pecahan pertama dan penyebut pecahan kedua serta pembilang pecahan kedua dan penyebut pecahan pertama dibatalkan.
2 pembatalan dari 4. 10 pembatalan dari 5. Kita mendapatkan 1 * 2/2 = 1*1 = 1.
Jawaban: 2/5 * 10/4 = 1
Aturan 5, Contoh 1:
Hitung: 3/4: 5/6
Dengan menggunakan aturan ke-5, kita mendapatkan: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Kami mengurangi pecahan sesuai dengan prinsip contoh sebelumnya dan mendapatkan 9/10.
Jawaban: 9/10.
Cara menyelesaikan contoh pecahan – persamaan pecahan
Persamaan pecahan adalah contoh yang penyebutnya mengandung sesuatu yang tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, Anda perlu menggunakan aturan tertentu.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Selesaikan persamaan 15/3x+5 = 3
Ingatlah bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol, mis. nilai penyebutnya tidak boleh nol. Saat memecahkan contoh seperti itu, hal ini harus ditunjukkan. Untuk tujuan ini, ada OA (kisaran nilai yang diizinkan).
Jadi 3x+5 ≠ 0.
Jadi: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
Pada x = 5/3 persamaan tersebut tidak memiliki solusi.
Setelah menentukan ODZ, cara terbaik untuk menyelesaikan persamaan ini adalah dengan menghilangkan pecahan. Caranya, pertama-tama kita nyatakan semua nilai non-fraksional sebagai pecahan, dalam hal ini angka 3. Kita peroleh: 15/(3x+5) = 3/1. Untuk menghilangkan pecahan, Anda perlu mengalikan masing-masing pecahan dengan penyebut terkecil. Dalam hal ini akan menjadi (3x+5)*1. Urutan tindakan:
- Kalikan 15/(3x+5) dengan (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Buka tanda kurung: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- Kita melakukan hal yang sama pada ruas kanan persamaan: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Samakan ruas kiri dan kanan: 45x + 75 = 9x +15
- Pindahkan tanda X ke kiri, angka ke kanan: 36x = – 50
- Carilah x: x = -50/36.
- Kita kurangi: -50/36 = -25/18
Jawaban: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.
Cara menyelesaikan contoh pecahan – pertidaksamaan pecahan
Pertidaksamaan pecahan bertipe (3x-5)/(2-x)≥0 diselesaikan menggunakan sumbu bilangan. Mari kita lihat contoh ini.
Urutan tindakan:
- Kita samakan pembilang dan penyebutnya dengan nol: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Kami menggambar sumbu bilangan, menulis nilai yang dihasilkan di atasnya.
- Gambarlah sebuah lingkaran di bawah nilainya. Ada dua jenis lingkaran - terisi dan kosong. Lingkaran terisi berarti nilai yang diberikan berada dalam kisaran solusi. Lingkaran kosong menunjukkan bahwa nilai ini tidak termasuk dalam area solusi.
- Karena penyebutnya tidak boleh sama dengan nol, akan ada lingkaran kosong di bawah angka 2.
- Untuk menentukan tandanya, kita substitusikan bilangan apa pun yang lebih besar dari dua ke dalam persamaan, misalnya 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. nilainya negatif, artinya kita tuliskan minus di atas luas setelah keduanya. Kemudian gantikan X dengan nilai apa pun yang intervalnya dari 5/3 hingga 2, misalnya 1. Nilainya lagi-lagi negatif. Kami menulis minusnya. Kami mengulangi hal yang sama dengan area yang terletak hingga 5/3. Kita substitusikan bilangan apa pun yang kurang dari 5/3, misalnya 1. Sekali lagi, minus.
- Karena kita tertarik pada nilai x yang ekspresi akan lebih besar dari atau sama dengan 0, dan tidak ada nilai seperti itu (ada minus di mana-mana), pertidaksamaan ini tidak memiliki solusi, yaitu x = Ø (satu set kosong).
Jawaban: x = Ø
Salah satu ilmu terpenting yang penerapannya dapat dilihat dalam disiplin ilmu seperti kimia, fisika bahkan biologi, adalah matematika. Mempelajari ilmu ini memungkinkan Anda mengembangkan beberapa kualitas mental dan meningkatkan kemampuan Anda untuk berkonsentrasi. Salah satu topik yang perlu mendapat perhatian khusus dalam mata kuliah Matematika adalah penjumlahan dan pengurangan pecahan. Banyak siswa yang merasa kesulitan dalam belajar. Mungkin artikel kami akan membantu Anda lebih memahami topik ini.
Cara mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama
Pecahan adalah bilangan yang sama yang dapat digunakan untuk melakukan berbagai operasi. Perbedaannya dari bilangan bulat terletak pada adanya penyebut. Oleh karena itu, saat melakukan operasi pecahan, Anda perlu mempelajari beberapa fitur dan aturannya. Kasus paling sederhana adalah pengurangan pecahan biasa yang penyebutnya direpresentasikan sebagai bilangan yang sama. Melakukan tindakan ini tidak akan sulit jika Anda mengetahui aturan sederhana:
- Untuk mengurangkan satu detik dari satu pecahan, pembilang pecahan yang dikurangi harus dikurangi dari pembilang pecahan yang dikurangi. Kita tuliskan bilangan ini ke dalam pembilang selisihnya, dan biarkan penyebutnya tetap sama: k/m - b/m = (k-b)/m.
Contoh pengurangan pecahan yang penyebutnya sama
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Dari pembilang pecahan “7” kita kurangi pembilang pecahan “3” yang akan dikurangkan, kita peroleh “4”. Kami menulis angka ini di pembilang jawabannya, dan di penyebutnya kami memasukkan angka yang sama dengan penyebut pecahan pertama dan kedua - “19”.
Gambar di bawah menunjukkan beberapa contoh serupa.
Mari kita perhatikan contoh yang lebih kompleks di mana pecahan dengan penyebut yang sama dikurangkan:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Dari pembilang pecahan “29” dikurangi dengan mengurangkan secara bergantian pembilang semua pecahan berikutnya - “3”, “8”, “2”, “7”. Hasilnya, kita mendapatkan hasil “9”, yang kita tulis di pembilang jawabannya, dan di penyebutnya kita tuliskan angka yang ada di penyebut semua pecahan ini - “47”.
Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama
Penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa mengikuti prinsip yang sama.
- Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya. Angka yang dihasilkan adalah pembilang dari jumlah tersebut, dan penyebutnya akan tetap sama: k/m + b/m = (k + b)/m.
Mari kita lihat seperti apa contohnya:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Ke pembilang suku pertama pecahan - "1" - tambahkan pembilang suku kedua pecahan - "2". Hasilnya - "3" - ditulis ke dalam pembilang penjumlahan, dan penyebutnya dibiarkan sama dengan yang ada pada pecahan - "4".
Pecahan yang penyebutnya berbeda dan pengurangannya
Kita telah membahas operasi pecahan yang penyebutnya sama. Seperti yang Anda lihat, mengetahui aturan sederhana, menyelesaikan contoh seperti itu cukup mudah. Namun bagaimana jika Anda perlu melakukan operasi dengan pecahan yang penyebutnya berbeda? Banyak siswa sekolah menengah yang bingung dengan contoh seperti itu. Namun di sini pun, jika Anda mengetahui prinsip penyelesaiannya, contoh-contohnya tidak lagi menyulitkan Anda. Ada juga aturan di sini, yang tanpanya penyelesaian pecahan seperti itu tidak mungkin dilakukan.
- 2/3 - satu tiga dan satu dua hilang dalam penyebut:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 atau 7/(3 x 3) - penyebutnya hilang dua:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 atau 5/(2 x 3) - penyebutnya tidak ada tiga:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - Bilangan 18 terdiri dari 3 x 2 x 3.
- Angka 15 terdiri dari 5 x 3.
- Kelipatan persekutuannya adalah faktor-faktor berikut: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 dibagi 15. Angka “6” yang dihasilkan akan menjadi pengali 15/3.
- 90 dibagi 18. Angka “5” yang dihasilkan akan menjadi pengali 18/4.
- Ubahlah semua pecahan yang mempunyai bagian bilangan bulat menjadi pecahan biasa. Dengan kata sederhana, hapus seluruh bagian. Caranya, kalikan jumlah bagian bilangan bulat dengan penyebut pecahan, dan tambahkan hasil perkalian ke pembilangnya. Angka yang keluar setelah tindakan tersebut adalah pembilang pecahan biasa. Penyebutnya tetap tidak berubah.
- Jika pecahan mempunyai penyebut yang berbeda, maka pecahan tersebut harus direduksi menjadi penyebut yang sama.
- Lakukan penjumlahan atau pengurangan dengan penyebut yang sama.
- Saat menerima pecahan biasa, pilih seluruh bagiannya.
Untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, pecahan tersebut harus direduksi menjadi penyebut terkecil yang sama.
Kami akan berbicara lebih detail tentang cara melakukan ini.
Properti pecahan
Untuk membawa beberapa pecahan ke penyebut yang sama, Anda perlu menggunakan sifat utama pecahan dalam penyelesaiannya: setelah membagi atau mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama, Anda mendapatkan pecahan yang sama dengan pecahan yang diberikan.
Jadi, misalnya pecahan 2/3 dapat mempunyai penyebut seperti “6”, “9”, “12”, dst, yaitu dapat berbentuk bilangan apa pun yang merupakan kelipatan “3”. Setelah kita mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan “2”, kita mendapatkan pecahan 4/6. Setelah kita mengalikan pembilang dan penyebut pecahan asal dengan “3”, kita mendapatkan 6/9, dan jika kita melakukan operasi serupa dengan angka “4”, kita mendapatkan 8/12. Satu persamaan dapat ditulis sebagai berikut:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Cara mengubah beberapa pecahan menjadi penyebut yang sama
Mari kita lihat cara mereduksi beberapa pecahan menjadi penyebut yang sama. Sebagai contoh, mari kita ambil pecahan yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Pertama, Anda perlu menentukan angka mana yang bisa menjadi penyebut semuanya. Agar lebih mudah, mari kita faktorkan penyebut yang ada.
Penyebut pecahan 1/2 dan pecahan 2/3 tidak dapat difaktorkan. Penyebut 7/9 mempunyai dua faktor 7/9 = 7/(3 x 3), penyebut pecahan 5/6 = 5/(2 x 3). Sekarang kita perlu menentukan faktor mana yang terkecil untuk keempat pecahan tersebut. Karena pecahan pertama mempunyai angka “2” pada penyebutnya, berarti harus ada pada semua penyebutnya; pada pecahan 7/9 ada dua kembar tiga, artinya keduanya juga harus ada pada penyebutnya. Dengan memperhatikan hal di atas, kita tentukan bahwa penyebutnya terdiri dari tiga faktor: 3, 2, 3 dan sama dengan 3 x 2 x 3 = 18.
Mari kita perhatikan pecahan pertama - 1/2. Ada “2” di penyebutnya, tapi tidak ada satu “3”, tapi harus ada dua. Untuk melakukannya, kita mengalikan penyebutnya dengan dua kali tiga, tetapi berdasarkan sifat pecahan, kita harus mengalikan pembilangnya dengan dua kali tiga kali lipat:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Kami melakukan operasi yang sama dengan pecahan yang tersisa.
Secara keseluruhan terlihat seperti ini:
Cara mengurangkan dan menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda
Seperti disebutkan di atas, untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, pecahan tersebut harus direduksi menjadi penyebut yang sama, kemudian menggunakan aturan pengurangan pecahan yang penyebutnya sama, yang telah dibahas.
Mari kita lihat ini sebagai contoh: 18/4 - 15/3.
Mencari kelipatan bilangan 18 dan 15:
Setelah penyebutnya ditemukan, perlu dihitung faktor yang berbeda untuk setiap pecahan, yaitu bilangan yang perlu dikalikan tidak hanya penyebutnya, tetapi juga pembilangnya. Untuk melakukannya, bagilah bilangan yang kita temukan (kelipatan persekutuan) dengan penyebut pecahan yang perlu ditentukan faktor tambahannya.
Tahap selanjutnya dari solusi kita adalah mereduksi setiap pecahan menjadi penyebut “90”.
Kami telah membicarakan bagaimana hal ini dilakukan. Mari kita lihat bagaimana ini ditulis dalam sebuah contoh:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Jika pecahan mempunyai bilangan yang kecil, maka anda dapat menentukan penyebutnya seperti contoh pada gambar di bawah ini.
Hal yang sama berlaku untuk penyebut yang berbeda.
Pengurangan dan memiliki bagian bilangan bulat
Kita telah membahas secara detail tentang pengurangan pecahan dan penjumlahannya. Tapi bagaimana cara mengurangi jika pecahan memiliki bagian bilangan bulat? Sekali lagi, mari gunakan beberapa aturan:
Ada cara lain untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan dengan bagian bilangan bulat. Untuk melakukan ini, tindakan dilakukan secara terpisah dengan seluruh bagian, dan tindakan dengan pecahan dilakukan secara terpisah, dan hasilnya dicatat bersama.
Contoh yang diberikan terdiri dari pecahan yang penyebutnya sama. Jika penyebutnya berbeda, maka penyebutnya harus disamakan, lalu lakukan tindakan seperti yang ditunjukkan pada contoh.
Pengurangan pecahan dari bilangan bulat
Jenis operasi pecahan lainnya adalah kasus ketika pecahan harus dikurangkan. Sepintas, contoh seperti itu tampaknya sulit untuk diselesaikan. Namun, semuanya cukup sederhana di sini. Untuk menyelesaikannya, Anda perlu mengubah bilangan bulat menjadi pecahan, dan dengan penyebut yang sama dengan pecahan yang dikurangkan. Selanjutnya, kita melakukan pengurangan yang mirip dengan pengurangan dengan penyebut yang sama. Dalam contohnya terlihat seperti ini:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Pengurangan pecahan (kelas 6) yang disajikan dalam artikel ini adalah dasar untuk menyelesaikan contoh-contoh yang lebih kompleks yang dibahas di kelas-kelas berikutnya. Pengetahuan tentang topik ini selanjutnya digunakan untuk menyelesaikan fungsi, turunan, dan sebagainya. Oleh karena itu, sangat penting untuk memahami dan memahami operasi pecahan yang telah dibahas di atas.
Tindakan dengan pecahan. Pada artikel ini kita akan melihat contohnya, semuanya secara detail beserta penjelasannya. Kami akan mempertimbangkan pecahan biasa. Kita akan melihat desimal nanti. Saya sarankan menonton semuanya dan mempelajarinya secara berurutan.
1. Jumlah pecahan, selisih pecahan.
Aturan: bila menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, hasilnya adalah pecahan yang penyebutnya tetap sama, dan pembilangnya akan sama dengan jumlah pembilang pecahan tersebut.
Aturan: saat menghitung selisih pecahan yang penyebutnya sama, kita memperoleh pecahan - penyebutnya tetap sama, dan pembilang pecahan kedua dikurangi dari pembilang pecahan pertama.
Notasi formal untuk jumlah dan selisih pecahan yang penyebutnya sama:
Contoh (1):
Jelas bahwa ketika pecahan biasa diberikan, maka semuanya sederhana, tetapi bagaimana jika dicampur? Tidak ada yang rumit...
Pilihan 1– Anda dapat mengubahnya menjadi nilai biasa dan kemudian menghitungnya.
pilihan 2– Anda dapat “bekerja” secara terpisah dengan bagian bilangan bulat dan pecahan.
Contoh (2):
Lagi:
Bagaimana jika diketahui selisih dua pecahan campuran dan pembilang pecahan pertama lebih kecil dari pembilang pecahan kedua? Anda juga dapat bertindak dengan dua cara.
Contoh (3):
*Diubah menjadi pecahan biasa, dihitung selisihnya, diubah hasil pecahan biasa menjadi pecahan campuran.
*Kami memecahnya menjadi bagian bilangan bulat dan pecahan, mendapatkan tiga, lalu menyajikan 3 sebagai jumlah dari 2 dan 1, dengan satu direpresentasikan sebagai 11/11, lalu mencari selisih antara 11/11 dan 7/11 dan menghitung hasilnya . Maksud dari transformasi di atas adalah mengambil (memilih) suatu satuan dan menyajikannya dalam bentuk pecahan dengan penyebut yang kita perlukan, kemudian kita dapat mengurangkan pecahan tersebut dengan pecahan lain.
Contoh lain:
Kesimpulan: ada pendekatan universal - untuk menghitung jumlah (selisih) pecahan campuran dengan penyebut yang sama, pecahan tersebut selalu dapat diubah menjadi pecahan biasa, kemudian melakukan tindakan yang diperlukan. Setelah itu, jika hasilnya pecahan biasa, kita ubah menjadi pecahan campuran.
Di atas kita melihat contoh pecahan yang penyebutnya sama. Bagaimana jika penyebutnya berbeda? Dalam hal ini, pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama dan tindakan tertentu dilakukan. Untuk mengubah (mentransformasi) suatu pecahan digunakan sifat dasar pecahan.
Mari kita lihat contoh sederhana:
Dalam contoh ini, kita langsung melihat bagaimana salah satu pecahan dapat ditransformasikan untuk mendapatkan penyebut yang sama.
Jika kita menentukan cara untuk mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, maka kita akan menyebutnya demikian METODE PERTAMA.
Artinya, segera ketika “mengevaluasi” suatu pecahan, Anda perlu mencari tahu apakah pendekatan ini akan berhasil - kami memeriksa apakah penyebut yang lebih besar habis dibagi dengan penyebut yang lebih kecil. Dan jika habis dibagi, maka kita melakukan transformasi - kita mengalikan pembilang dan penyebutnya sehingga penyebut kedua pecahan menjadi sama.
Sekarang lihat contoh-contoh ini:
Pendekatan ini tidak berlaku bagi mereka. Ada juga cara untuk mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, mari kita pertimbangkan.
Metode KEDUA.
Kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan pembilang serta penyebut pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama:
*Faktanya, kita mereduksi pecahan menjadi bentuk yang penyebutnya sama. Selanjutnya, kita menggunakan aturan penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama.
Contoh:
*Metode ini bisa disebut universal dan selalu berhasil. Satu-satunya kelemahan adalah setelah perhitungan, Anda mungkin mendapatkan pecahan yang perlu dikurangi lebih lanjut.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Terlihat pembilang dan penyebutnya habis dibagi 5:
Metode KETIGA.
Anda perlu mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebutnya. Ini akan menjadi penyebut yang sama. Nomor macam apa ini? Ini adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi masing-masing bilangan tersebut.
Lihat, ini ada dua bilangan: 3 dan 4, ada banyak bilangan yang habis dibagi - yaitu 12, 24, 36, ... Yang terkecil adalah 12. Atau 6 dan 15, habis dibagi 30, 60, 90 .... Yang terkecil adalah 30. Pertanyaannya adalah bagaimana cara menentukan kelipatan persekutuan terkecil ini?
Ada algoritma yang jelas, tetapi seringkali hal ini dapat dilakukan langsung tanpa perhitungan. Misalnya, berdasarkan contoh di atas (3 dan 4, 6 dan 15) tidak diperlukan algoritma, kami mengambil bilangan besar (4 dan 15), menggandakannya dan melihat bahwa bilangan tersebut habis dibagi bilangan kedua, tetapi pasangan bilangan bisa jadilah yang lain, misalnya 51 dan 119.
Algoritma. Untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan, Anda harus:
- menguraikan setiap angka menjadi faktor SEDERHANA
— tuliskan penguraian yang LEBIH BESAR
- kalikan dengan faktor HILANG dari bilangan lain
Mari kita lihat contohnya:
50 dan 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
dalam perluasan angka satu lima yang lebih besar hilang
=> KPK(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 dan 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
dalam perluasan angka yang lebih besar, dua dan tiga hilang
=> KPK(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan prima adalah hasil kali keduanya
Pertanyaan! Mengapa mencari kelipatan persekutuan terkecil berguna, karena Anda dapat menggunakan metode kedua dan cukup mengurangi pecahan yang dihasilkan? Ya, itu mungkin, tetapi tidak selalu nyaman. Lihatlah penyebut angka 48 dan 72 jika Anda mengalikannya 48∙72 = 3456. Anda pasti setuju bahwa bekerja dengan angka yang lebih kecil lebih menyenangkan.
Mari kita lihat contohnya:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
perluasan bilangan yang lebih besar akan menghilangkan tiga kali lipat
=> NOC(51.119) = 3∙7∙17
Sekarang mari kita gunakan cara pertama:
*Lihatlah perbedaan perhitungannya, pada kasus pertama jumlahnya minimal, tetapi pada kasus kedua Anda harus mengerjakannya secara terpisah di selembar kertas, dan bahkan pecahan yang Anda terima perlu dikurangi. Menemukan LOC menyederhanakan pekerjaan secara signifikan.
Contoh lainnya:
*Pada contoh kedua jelas bilangan terkecil yang habis dibagi 40 dan 60 adalah 120.
HASIL! ALGORITMA KOMPUTASI UMUM!
— kita mereduksi pecahan menjadi pecahan biasa jika ada bagian bilangan bulat.
- kita bawa pecahan ke penyebut yang sama (pertama kita lihat apakah satu penyebutnya habis dibagi yang lain; jika habis dibagi, maka kita kalikan pembilang dan penyebut dari pecahan lain ini; jika tidak habis dibagi, kita bertindak menggunakan metode lain ditunjukkan di atas).
- Setelah menerima pecahan dengan penyebut yang sama, kami melakukan operasi (penjumlahan, pengurangan).
- jika perlu, kami mengurangi hasilnya.
- jika perlu, pilih seluruh bagian.
2. Hasil kali pecahan.
Aturannya sederhana. Saat mengalikan pecahan, pembilang dan penyebutnya dikalikan:
Contoh: