Batas fungsi- nomor A akan menjadi limit suatu besaran variabel jika, dalam proses perubahannya, besaran variabel tersebut mendekati tak terhingga A.

Atau dengan kata lain, nomornya A adalah limit fungsinya kamu = f(x) pada intinya x 0, jika untuk sembarang barisan titik dari domain definisi fungsi , tidak sama x 0, dan yang konvergen ke intinya x 0 (lim x n = x0), barisan nilai fungsi yang bersesuaian menyatu dengan bilangan tersebut A.

Grafik suatu fungsi yang limitnya, jika diberi argumen yang cenderung tak terhingga, adalah sama dengan L:

Arti A adalah limit (nilai batas) dari fungsi tersebut f(x) pada intinya x 0 dalam kasus untuk setiap urutan poin , yang menyatu ke x 0, tapi yang tidak mengandung x 0 sebagai salah satu elemennya (yaitu di sekitar yang tertusuk x 0), urutan nilai fungsi menyatu ke A.

Batas fungsi Cauchy.

Arti A akan batas fungsinya f(x) pada intinya x 0 jika untuk bilangan non-negatif yang diambil terlebih dahulu ε nomor non-negatif yang sesuai akan ditemukan δ = δ(ε) sedemikian rupa untuk setiap argumen X, memenuhi kondisi 0 < | x - x0 | < δ , ketimpangan akan terpenuhi | f(x)A |< ε .

Akan sangat sederhana jika Anda memahami esensi dari limit dan aturan dasar untuk menemukannya. Berapakah limit fungsinya F (X) pada X berjuang untuk A sama A, ditulis seperti ini:

Apalagi nilai kecenderungan variabel tersebut X, tidak hanya berupa angka, tetapi juga tak terhingga (∞), terkadang +∞ atau -∞, atau mungkin tidak ada batasan sama sekali.

Untuk memahami caranya mencari limit suatu fungsi, yang terbaik adalah melihat contoh solusi.

Kita perlu mencari limit fungsinya F (x) = 1/X pada:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Mari kita cari solusi untuk limit pertama. Untuk melakukan ini, Anda cukup menggantinya X angka yang cenderung, yaitu. 2, kita mendapatkan:

Mari kita cari limit kedua dari fungsi tersebut. Di sini gantikan 0 murni sebagai gantinya X itu tidak mungkin, karena Anda tidak dapat membaginya dengan 0. Tapi kita bisa mengambil nilai mendekati nol, misalnya 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 dan seterusnya, serta nilai fungsinya F (X) akan meningkat: 100; 1000; 10.000; 100.000 dan seterusnya. Dengan demikian, dapat dipahami bahwa kapan X→ 0 nilai fungsi yang berada di bawah tanda limit akan bertambah tanpa batas, yaitu berusaha menuju ketidakterbatasan. Artinya:

Mengenai batasan ketiga. Situasi yang sama seperti pada kasus sebelumnya tidak dapat digantikan ∞ dalam bentuknya yang paling murni. Kita perlu mempertimbangkan kasus peningkatan yang tidak terbatas X. Kami mengganti 1000 satu per satu; 10.000; 100000 dan seterusnya, kita mendapatkan nilai fungsinya F (x) = 1/X akan berkurang: 0,001; 0,0001; 0,00001; dan seterusnya, cenderung nol. Itu sebabnya:

Penting untuk menghitung limit fungsi

Mulai menyelesaikan contoh kedua, kita melihat ketidakpastian. Dari sini kita menemukan derajat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya - ini adalah x 3, kita keluarkan dari tanda kurung pada pembilang dan penyebutnya lalu dikurangi dengan:

Menjawab

Langkah pertama masuk menemukan batas ini, gantikan nilai 1 sebagai gantinya X, sehingga menimbulkan ketidakpastian. Untuk menyelesaikannya, mari kita faktorkan pembilangnya dan melakukannya menggunakan metode mencari akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Jadi pembilangnya adalah:

Menjawab

Ini adalah definisi dari nilai spesifiknya atau area tertentu di mana fungsi tersebut berada, yang dibatasi oleh limit.

Untuk mengatasi batasan, ikuti aturan:

Setelah memahami hakikat dan pokoknya aturan untuk menyelesaikan limit, Anda akan mendapatkan pemahaman dasar tentang cara menyelesaikannya.

Teori batasan- salah satu bagian analisis matematis yang dapat dikuasai sebagian orang, sementara sebagian lagi mengalami kesulitan dalam menghitung batasannya. Pertanyaan tentang menemukan batasan cukup umum, karena ada lusinan teknik batas solusi berbagai jenis. Batasan yang sama dapat ditemukan baik dengan menggunakan aturan L'Hopital maupun tanpa aturan L'Hopital. Kebetulan menjadwalkan serangkaian fungsi yang sangat kecil memungkinkan Anda mendapatkan hasil yang diinginkan dengan cepat. Ada serangkaian teknik dan trik yang memungkinkan Anda menemukan limit suatu fungsi dengan kompleksitas apa pun. Pada artikel ini kami akan mencoba memahami jenis-jenis batasan utama yang paling sering ditemui dalam praktik. Kami tidak akan memberikan teori dan definisi limit di sini; ada banyak sumber di Internet yang membahas hal ini. Oleh karena itu, mari kita mulai perhitungan praktis, di sinilah Anda berkata, “Saya tidak tahu! Saya tidak bisa!

Menghitung limit menggunakan metode substitusi

Contoh 1. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Penyelesaian: Contoh-contoh seperti ini dapat dihitung secara teoritis dengan menggunakan substitusi biasa

Batasnya adalah 18/11.
Tidak ada yang rumit atau bijaksana tentang batasan tersebut - kami mengganti nilainya, menghitungnya, dan menuliskan batasan tersebut sebagai jawabannya. Namun, berdasarkan batasan tersebut, setiap orang diajari bahwa pertama-tama mereka perlu mensubstitusikan nilai ke dalam fungsi. Selanjutnya, batasan menjadi lebih rumit, memperkenalkan konsep ketidakterbatasan, ketidakpastian, dan sejenisnya.

Batas dengan ketidakpastian seperti tak terhingga dibagi tak terhingga. Metode Pengungkapan Ketidakpastian

Contoh 2. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=tak terhingga).
Penyelesaian: Diberikan limit berbentuk polinomial dibagi polinomial, dan variabelnya cenderung tak terhingga

Mensubstitusikan nilai variabel yang seharusnya dicari saja tidak akan membantu menemukan limitnya; kita mendapatkan ketidakpastian dalam bentuk tak terhingga dibagi tak terhingga.
Menurut teori limit, algoritma untuk menghitung limit adalah dengan mencari pangkat “x” terbesar pada pembilang atau penyebutnya. Selanjutnya pembilang dan penyebutnya disederhanakan dan dicari limit fungsinya

Karena nilainya cenderung nol ketika variabel mendekati tak terhingga, maka variabel tersebut diabaikan, atau dituliskan ke dalam ekspresi akhir dalam bentuk nol

Langsung dari latihan, Anda bisa mendapatkan dua kesimpulan yang menjadi petunjuk dalam perhitungan. Jika suatu variabel cenderung tak terhingga dan derajat pembilangnya lebih besar dari derajat penyebutnya, maka limitnya sama dengan tak terhingga. Sebaliknya, jika polinomial pada penyebutnya lebih tinggi dari pada pembilangnya, maka limitnya adalah nol.
Batasnya dapat ditulis dengan rumus seperti ini:

Jika kita mempunyai fungsi yang berbentuk bidang biasa tanpa pecahan, maka limitnya sama dengan tak terhingga

Jenis limit berikutnya berkaitan dengan perilaku fungsi yang mendekati nol.

Contoh 3. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Solusi: Tidak perlu menghilangkan faktor utama polinomial di sini. Justru sebaliknya, Anda perlu mencari pangkat terkecil dari pembilang dan penyebutnya lalu menghitung limitnya

Nilai x^2; x cenderung nol ketika variabelnya cenderung nol. Oleh karena itu, mereka diabaikan, sehingga kita peroleh

bahwa batasnya adalah 2,5.

Sekarang kamu tahu cara mencari limit suatu fungsi dari bentuknya, bagilah polinomial dengan polinomial jika variabelnya cenderung tak terhingga atau 0. Namun ini hanyalah sebagian kecil dan mudah dari contohnya. Dari materi berikut Anda akan belajar bagaimana mengungkap ketidakpastian dalam batas-batas suatu fungsi.

Batas dengan ketidakpastian tipe 0/0 dan metode perhitungannya

Semua orang langsung ingat aturan bahwa Anda tidak bisa membagi dengan nol. Namun, teori limit dalam konteks ini menyiratkan fungsi yang sangat kecil.
Mari kita lihat beberapa contoh untuk kejelasan.

Contoh 4. Temukan limit suatu fungsi
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Penyelesaian: Jika kita mensubstitusikan nilai variabel x = -1 ke dalam penyebutnya, kita mendapatkan nol, dan kita mendapatkan nilai yang sama pada pembilangnya. Jadi kita punya ketidakpastian bentuk 0/0.
Mengatasi ketidakpastian seperti itu sederhana saja: Anda perlu memfaktorkan polinomialnya, atau lebih tepatnya, memilih faktor yang mengubah fungsinya menjadi nol.

Setelah pemuaian, limit fungsi dapat dituliskan sebagai

Itulah keseluruhan cara menghitung limit suatu fungsi. Kita melakukan hal yang sama jika ada limit dari bentuk polinomial dibagi polinomial.

Contoh 5. Temukan limit suatu fungsi
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Solusi: Pertunjukan substitusi langsung
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
apa yang kita punya ketik ketidakpastian 0/0.
Mari kita bagi polinomial dengan faktor yang menghasilkan singularitas


Ada guru yang mengajarkan bahwa polinomial orde 2, yaitu tipe “persamaan kuadrat”, harus diselesaikan melalui diskriminan. Namun praktik nyata menunjukkan bahwa ini lebih lama dan membingungkan, jadi hilangkan fitur dalam batas sesuai dengan algoritma yang ditentukan. Jadi, kita tuliskan fungsinya sebagai faktor sederhana dan hitung dalam limitnya

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam menghitung batasan tersebut. Pada saat Anda mempelajari limitnya, Anda sudah tahu cara membagi polinomial, setidaknya menurut program Anda seharusnya sudah melewatinya.
Di antara tugas-tugas di ketik ketidakpastian 0/0 Ada beberapa di mana Anda perlu menggunakan rumus perkalian yang disingkat. Namun jika Anda belum mengetahuinya, maka dengan membagi polinomial dengan monomial Anda bisa mendapatkan rumus yang diinginkan.

Contoh 6. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Solusi: Kita mempunyai ketidakpastian bertipe 0/0. Pada pembilangnya kita menggunakan rumus perkalian yang disingkat

dan menghitung batas yang diperlukan

Metode untuk mengungkap ketidakpastian dengan mengalikannya dengan konjugasinya

Metode ini diterapkan pada batas-batas di mana ketidakpastian dihasilkan oleh fungsi-fungsi irasional. Pembilang atau penyebutnya berubah menjadi nol pada titik perhitungan dan tidak diketahui cara mencari batasnya.

Contoh 7. Temukan limit suatu fungsi
Lim((akar(x+2)-akar(7x-10))/(3x-6), x=2).
Larutan: Mari kita nyatakan variabel dalam rumus limit

Saat melakukan substitusi, kita memperoleh ketidakpastian tipe 0/0.
Menurut teori limit, cara untuk melewati fitur ini adalah dengan mengalikan ekspresi irasional dengan konjugasinya. Untuk memastikan ekspresi tidak berubah, penyebutnya harus dibagi dengan nilai yang sama

Dengan menggunakan aturan selisih kuadrat, kita menyederhanakan pembilangnya dan menghitung limit fungsinya

Kita menyederhanakan suku-suku yang menciptakan singularitas pada limit dan melakukan substitusi

Contoh 8. Temukan limit suatu fungsi
Lim((akar(x-2)-akar(2x-5))/(3-x), x=3).
Penyelesaian: Substitusi langsung menunjukkan bahwa limit mempunyai singularitas berbentuk 0/0.

Untuk memperluas, kita mengalikan dan membagi dengan konjugasi pembilangnya

Kami menuliskan perbedaan kuadrat

Kami menyederhanakan suku-suku yang memperkenalkan singularitas dan mencari limit fungsinya

Contoh 9. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2+x-6)/(akar(3x-2)-2), x=2).
Solusi: Gantikan dua ke dalam rumus

Kami mengerti ketidakpastian 0/0.
Penyebutnya harus dikalikan dengan ekspresi konjugasinya, dan pada pembilangnya persamaan kuadrat harus diselesaikan atau difaktorkan, dengan mempertimbangkan singularitas. Karena diketahui 2 adalah akar, maka dicari akar kedua menggunakan teorema Vieta

Jadi, kita menulis pembilangnya dalam bentuk

dan substitusikannya ke dalam limit

Dengan mengurangi selisih kuadrat, kita menghilangkan singularitas pada pembilang dan penyebutnya

Dengan menggunakan metode di atas, singularitas dapat dihilangkan dalam banyak contoh, dan penerapannya harus diperhatikan jika selisih akar tertentu berubah menjadi nol selama substitusi. Jenis limit lainnya menyangkut fungsi eksponensial, fungsi yang sangat kecil, logaritma, limit khusus, dan teknik lainnya. Namun Anda dapat membacanya pada artikel di bawah ini tentang batasan.

Fungsi kamu = f (X) adalah hukum (aturan) yang menyatakan bahwa setiap elemen x dari himpunan X dikaitkan dengan satu dan hanya satu elemen y dari himpunan Y.

Elemen x ∈ X ditelepon argumen fungsi atau variabel independen.
Elemen y ∈ kamu ditelepon nilai fungsi atau variabel terikat.

Himpunan X disebut domain fungsi.
Kumpulan elemen y ∈ kamu, yang memiliki gambar awal di himpunan X, disebut luas atau himpunan nilai fungsi.

Fungsi sebenarnya dipanggil dibatasi dari atas (dari bawah), jika terdapat bilangan M sehingga pertidaksamaan berlaku untuk semua:
.
Fungsi bilangan disebut terbatas, jika ada bilangan M sehingga untuk semua:
.

Tepi atas atau batas atas yang tepat Fungsi real disebut bilangan terkecil yang membatasi rentang nilainya dari atas. Artinya, ini adalah bilangan s yang, untuk semua orang dan siapa pun, terdapat argumen yang nilai fungsinya melebihi s′: .
Batas atas suatu fungsi dapat dilambangkan sebagai berikut:
.

Masing-masing tepi bawah atau batas bawah yang tepat Fungsi real disebut bilangan terbesar yang membatasi rentang nilainya dari bawah. Artinya, ini adalah bilangan i yang, untuk semua orang dan siapa pun, terdapat argumen yang nilai fungsinya lebih kecil dari i′: .
Nilai terkecil suatu fungsi dapat dilambangkan sebagai berikut:
.

Menentukan limit suatu fungsi

Penentuan limit suatu fungsi menurut Cauchy

Batas fungsi yang terbatas pada titik akhir

Biarkan fungsi tersebut terdefinisi di lingkungan tertentu dari titik akhir, dengan kemungkinan pengecualian pada titik itu sendiri.
.
pada suatu titik, jika ada hal seperti itu, bergantung pada , maka untuk semua x yang , pertidaksamaannya berlaku
.
Limit suatu fungsi dinotasikan sebagai berikut:

Dengan menggunakan simbol logika eksistensi dan universalitas, definisi limit suatu fungsi dapat dituliskan sebagai berikut:
.

Batasan sepihak.
Batas kiri suatu titik (batas sisi kiri):
.
Batas kanan pada suatu titik (batas kanan):
.
Batas kiri dan kanan sering dilambangkan sebagai berikut:
; .

Batas terbatas suatu fungsi pada titik-titik tak terhingga

Batas pada titik tak terhingga ditentukan dengan cara yang sama.
.
.
.
Mereka sering disebut sebagai:
; ; .

Menggunakan konsep lingkungan suatu titik

Jika kita memperkenalkan konsep lingkungan tertusuk suatu titik, maka kita dapat memberikan definisi terpadu tentang limit berhingga suatu fungsi pada titik berhingga dan jarak tak terhingga:
.
Di sini untuk titik akhir
; ;
.
Setiap lingkungan titik di tak terhingga tertusuk:
; ; .

Batas Fungsi Tak Terbatas

Definisi
Biarkan fungsi tersebut didefinisikan di lingkungan titik yang tertusuk (berhingga atau tak terhingga). Batas fungsi f (X) sebagai x → x 0 sama dengan tak terhingga, jika untuk sembarang bilangan M yang besar > 0 , ada bilangan δ M > 0 , bergantung pada M, bahwa untuk semua x yang termasuk dalam δ M - lingkungan titik yang tertusuk: , pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Batas tak hingga dilambangkan sebagai berikut:
.
Limit suatu fungsi dinotasikan sebagai berikut:

Dengan menggunakan simbol logika eksistensi dan universalitas, definisi limit tak terhingga suatu fungsi dapat dituliskan sebagai berikut:
.

Anda juga dapat memperkenalkan definisi batas tak terhingga dari tanda-tanda tertentu yang sama dengan dan :
.
.

Definisi universal dari limit suatu fungsi

Dengan menggunakan konsep lingkungan suatu titik, kita dapat memberikan definisi universal tentang limit suatu fungsi yang berhingga dan tak terhingga, yang dapat diterapkan baik untuk titik-titik berhingga (dua sisi dan satu sisi) maupun yang jauhnya tak terhingga:
.

Penentuan limit suatu fungsi menurut Heine

Biarkan fungsi tersebut didefinisikan pada himpunan X:.
Bilangan a disebut limit fungsi pada titik:
,
jika suatu barisan konvergen ke x 0 :
,
yang elemen-elemennya termasuk dalam himpunan X: ,
.

Mari kita tulis definisi ini dengan menggunakan simbol logis keberadaan dan universalitas:
.

Jika kita mengambil lingkungan sisi kiri titik x sebagai himpunan X 0 , maka kita memperoleh definisi limit kiri. Jika bertangan kanan, maka diperoleh definisi limit siku-siku. Jika kita mengambil lingkungan suatu titik di tak terhingga sebagai himpunan X, kita memperoleh definisi limit suatu fungsi di tak terhingga.

Dalil
Definisi Cauchy dan Heine tentang limit suatu fungsi adalah ekuivalen.
Bukti

Sifat dan teorema limit suatu fungsi

Selanjutnya, kita asumsikan bahwa fungsi-fungsi yang dipertimbangkan didefinisikan di lingkungan titik yang bersesuaian, yang merupakan bilangan berhingga atau salah satu simbol: .

Bisa juga berupa titik batas satu sisi, yaitu berbentuk atau .

Lingkungan tersebut bersifat dua sisi untuk batas dua sisi dan satu sisi untuk batas satu sisi. (X) Properti dasar Jika nilai fungsi f mengubah (atau membuat tidak terdefinisi) sejumlah titik x yang terbatas 0 .

1, x 2, x 3, ... xn 0 , maka perubahan ini tidak akan mempengaruhi keberadaan dan nilai limit fungsi pada titik sembarang x (X) Jika terdapat limit berhingga, maka terdapat lingkungan tertusuk dari titik x
.

, di mana fungsinya f 0 terbatas:
.
Biarkan fungsinya berada di titik x 0 batas terbatas bukan nol:
Kemudian, untuk sembarang bilangan c dari interval , terdapat lingkungan titik x yang tertusuk
, untuk apa,

, Jika ;

, Jika . 0
,
Jika, pada lingkungan titik yang tertusuk, , adalah sebuah konstanta, maka .

Jika terdapat batas berhingga dan dan pada suatu lingkungan titik x yang tertusuk
,
Jika, pada lingkungan titik yang tertusuk, , adalah sebuah konstanta, maka .
Itu .
,
Jika , dan di beberapa lingkungan titik tersebut
Khususnya, jika berada di lingkungan suatu titik

lalu jika , maka dan ; 0 :
,
jika , maka dan .
Jika pada suatu lingkungan tertusuk suatu titik x
.

dan ada batas-batas yang sama yang terbatas (atau tidak terbatas dari tanda tertentu):
, Itu

Bukti properti utama diberikan di halaman

"Sifat dasar limit suatu fungsi."
Sifat aritmatika dari limit suatu fungsi
Biarkan fungsi dan didefinisikan di beberapa lingkungan titik yang tertusuk .
;
;
;
, untuk apa,

Dan biarlah ada batasan yang terbatas:

Dan .
Dan misalkan C adalah suatu konstanta, yaitu suatu bilangan tertentu. Kemudian

Jika, maka.

Dalil
Bukti sifat aritmatika diberikan di halaman 0 "Sifat aritmatika dari batas suatu fungsi". > 0 Kriteria Cauchy untuk keberadaan limit suatu fungsi 0 Agar suatu fungsi terdefinisi pada suatu lingkungan tertusuk pada titik x yang berhingga atau tak terhingga
.

, memiliki batas yang terbatas pada saat ini, maka perlu dan cukup untuk sembarang ε

ada lingkungan yang tertusuk di titik x
, bahwa untuk setiap titik dan dari lingkungan ini, pertidaksamaan berikut berlaku:
Batas fungsi kompleks
Teorema limit fungsi kompleks
.

Teorema limit suatu fungsi kompleks diterapkan ketika fungsi tersebut tidak terdefinisi pada suatu titik atau mempunyai nilai yang berbeda dari limitnya.
.

Untuk menerapkan teorema ini, harus ada lingkungan titik yang tertusuk di mana himpunan nilai fungsi tidak mengandung titik tersebut:
.
Jika fungsi tersebut kontinu di titik , maka tanda limit dapat diterapkan pada argumen fungsi kontinu:

Berikut teorema yang berkaitan dengan kasus tersebut.
Teorema limit fungsi kontinu suatu fungsi Misalkan ada limit dari fungsi g(T) 0 sebagai t → t 0 :
.
, dan itu sama dengan x 0 Ini poin t
bisa terbatas atau jauh tak terhingga: . (X) Dan biarkan fungsinya f 0 .
kontinu di titik x Maka ada limit dari fungsi kompleks f(g(t)) , dan itu sama dengan f:
.

(x0)
Bukti teorema diberikan di halaman

“Batas dan kesinambungan suatu fungsi yang kompleks”.

Fungsi yang sangat kecil dan sangat besar

Definisi
Fungsi yang sangat kecil
.

Suatu fungsi dikatakan sangat kecil jika Jumlah, selisih dan hasil kali

dari sejumlah fungsi yang sangat kecil di adalah fungsi yang sangat kecil di . Hasil kali suatu fungsi dibatasi

pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk, hingga suatu fungsi yang sangat kecil di adalah fungsi yang sangat kecil di .
,
Agar suatu fungsi mempunyai limit yang berhingga, maka hal itu perlu dan cukup

di mana adalah fungsi yang sangat kecil di .

"Sifat fungsi yang sangat kecil".

Definisi
Fungsi yang sangat besar
.

Suatu fungsi dikatakan sangat besar jika

Jumlah atau selisih suatu fungsi berbatas, pada suatu lingkungan titik yang tertusuk, dan suatu fungsi yang besarnya tak terhingga di adalah fungsi yang besarnya tak terhingga di .
.

Jika fungsi tersebut sangat besar untuk , dan fungsi tersebut dibatasi pada suatu lingkungan titik yang tertusuk , maka
,
Jika fungsinya , pada suatu lingkungan titik yang tertusuk , memenuhi pertidaksamaan:
dan fungsinya sangat kecil di:
.

, dan (pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk), lalu
Bukti properti disajikan di bagian

"Properti fungsi yang sangat besar".

Hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil

Dari dua sifat sebelumnya berikut hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil.

Jika suatu fungsi sangat besar di , maka fungsi tersebut sangat kecil di .

Jika suatu fungsi sangat kecil untuk , dan , maka fungsi tersebut sangat besar untuk .
, .

Jika suatu fungsi yang sangat kecil mempunyai tanda tertentu di , yaitu positif (atau negatif) di suatu lingkungan titik yang tertusuk , maka fakta ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
.
Dengan cara yang sama, jika suatu fungsi yang besarnya tak terhingga mempunyai tanda tertentu di , maka dituliskan:
.

Kemudian hubungan simbolis antara fungsi yang sangat kecil dan fungsi yang sangat besar dapat dilengkapi dengan hubungan berikut:
, ,
, .

Rumus tambahan terkait simbol tak terhingga dapat ditemukan di halaman
"Titik tak terhingga dan sifat-sifatnya."

Batasan fungsi monotonik

Definisi
Suatu fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan real X disebut meningkat secara ketat, jika untuk semua pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Oleh karena itu, untuk sangat menurun fungsi yang dimiliki pertidaksamaan berikut:
.
Untuk tidak menurun:
.
Untuk tidak meningkat:
.

Oleh karena itu, fungsi yang meningkat secara ketat juga tidak menurun. Fungsi yang sangat menurun juga tidak meningkat.

Fungsinya disebut membosankan, apakah tidak berkurang atau tidak bertambah.

Dalil
Biarkan fungsi tersebut tidak berkurang pada interval dimana .
Jika di atas dibatasi oleh bilangan M: maka ada limit yang berhingga.
Jika tidak dibatasi dari atas, maka .

Jika dibatasi dari bawah oleh bilangan m: maka ada limit yang berhingga.
Jika tidak dibatasi dari bawah, maka .

Jika titik a dan b berada pada jarak tak terhingga, maka dalam persamaan tanda batasnya berarti .
;
.

Teorema ini dapat dirumuskan dengan lebih kompak.

Biarkan fungsi tersebut tidak berkurang pada interval dimana .
;
.

Maka terdapat limit sepihak di titik a dan b:
Teorema serupa untuk fungsi tak bertambah.

Biarkan fungsinya tidak bertambah pada interval di mana .
Lalu ada batasan sepihak:
Bukti teorema disajikan pada halaman

"Batas fungsi monotonik". Sastra bekas: L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 2003. CM. Nikolsky. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 1983. Larutan batas fungsi online Anda dapat memasukkan deret numerik dan fungsi analitik yang berisi konstanta dalam ekspresi literal. Dalam hal ini, limit fungsi yang ditemukan akan berisi konstanta-konstanta ini sebagai argumen konstanta dalam ekspresi. Layanan kami memecahkan masalah pencarian yang rumit batas daring, cukup dengan menunjukkan fungsi dan titik yang perlu dihitung membatasi nilai fungsi. Menghitung batas daring, Anda dapat menggunakan berbagai metode dan aturan untuk menyelesaikannya, sambil memeriksa hasil yang diperoleh dengan memecahkan batas secara online di www.site, yang akan mengarah pada penyelesaian tugas yang berhasil - Anda akan menghindari kesalahan dan kesalahan administrasi Anda sendiri. Atau Anda dapat sepenuhnya mempercayai kami dan menggunakan hasil kami dalam pekerjaan Anda, tanpa menghabiskan tenaga dan waktu ekstra untuk menghitung batas fungsi secara mandiri. Kami mengizinkan input nilai batas seperti tak terhingga. Penting untuk memasukkan anggota umum dari barisan bilangan dan www.situs akan menghitung nilainya batasi secara daring hingga plus atau minus tak terhingga.

Salah satu konsep dasar analisis matematis adalah batas fungsi Dan batas urutan pada suatu titik dan tak terhingga, penting untuk dapat menyelesaikannya dengan benar batas. Dengan layanan kami ini tidak akan sulit. Sebuah keputusan dibuat batas daring dalam beberapa detik, jawabannya akurat dan lengkap. Kajian analisis matematis dimulai dengan transisi ke batas, batas digunakan di hampir semua bidang matematika tingkat tinggi, jadi akan berguna jika memiliki server solusi batas online, yang merupakan situsnya.