Objek yang mustahil. Sosok mustahil di dunia nyata

Gambar 1.

Ini adalah tri-bar yang mustahil. Gambar ini bukan merupakan ilustrasi suatu benda spasial, karena benda tersebut tidak mungkin ada. MATA kita menerima fakta ini dan objek itu sendiri tanpa kesulitan. Kita dapat mengemukakan sejumlah argumen untuk mempertahankan ketidakmungkinan suatu benda. Misalnya, muka C terletak pada bidang mendatar, sedangkan muka A condong ke arah kita, dan muka B condong menjauhi kita, dan jika tepi A dan B berbeda satu sama lain, mereka tidak dapat bertemu di bagian atas gambar, seperti yang kita lihat dalam kasus ini. Kita dapat melihat bahwa tribar membentuk segitiga tertutup, ketiga balok tegak lurus satu sama lain, dan jumlah sudut internalnya sama dengan 270 derajat, yang tidak mungkin. Kita dapat menggunakan prinsip dasar stereometri untuk membantu kita, yaitu tiga bidang yang tidak sejajar selalu bertemu pada titik yang sama. Namun, pada Gambar 1 kita melihat yang berikut:

• Bidang C abu-abu tua bertemu dengan bidang B; garis persimpangan - aku;
• Bidang C abu-abu tua bertemu dengan bidang A abu-abu terang; garis persimpangan - M;
• Bidang putih B bertemu dengan bidang abu-abu terang A; garis persimpangan - N;
• Garis persimpangan aku, M, N berpotongan di tiga titik berbeda.

Dengan demikian, gambar yang dimaksud tidak memenuhi salah satu pernyataan dasar stereometri, bahwa tiga bidang yang tidak sejajar (dalam hal ini A, B, C) harus bertemu di satu titik.

Ringkasnya: tidak peduli betapa rumit atau sederhananya penalaran kita, MATA memberi sinyal kepada kita tentang kontradiksi tanpa penjelasan apa pun dari pihaknya.

Suku yang mustahil itu bersifat paradoks dalam beberapa hal. Mata membutuhkan sepersekian detik untuk menyampaikan pesan: “Ini adalah benda tertutup yang terdiri dari tiga batang.” Sesaat kemudian berikut: “Objek ini tidak mungkin ada…”. Pesan ketiga dapat dibaca sebagai berikut: "...dan kesan pertama salah." Secara teori, benda seperti itu seharusnya terpecah menjadi banyak garis yang tidak mempunyai hubungan berarti satu sama lain dan tidak lagi berkumpul menjadi bentuk suku. Namun, hal ini tidak terjadi, dan MATA kembali memberi sinyal: “Ini adalah sebuah objek, sebuah suku.” Singkatnya, kesimpulannya adalah bahwa ia adalah sebuah objek dan bukan sebuah objek, dan ini adalah paradoks pertama. Kedua penafsiran tersebut mempunyai kekuatan yang sama, seolah-olah MATA menyerahkan keputusan akhir kepada otoritas yang lebih tinggi.

Ciri paradoks kedua dari tribar yang mustahil muncul dari pertimbangan mengenai konstruksinya. Jika balok A mengarah ke arah kita, dan balok B menjauhi kita, namun keduanya bergabung, maka sudut yang dibentuknya pasti terletak di dua tempat sekaligus, satu lebih dekat ke pengamat, dan satu lagi lebih jauh. (Hal yang sama berlaku untuk dua sudut lainnya, karena bentuk benda tetap sama ketika diputar pada sudut lainnya.)

Gambar 2. Bruno Ernst, foto suku yang mustahil, 1985
Gambar 3. Gerard Traarbach, "Perfect timing", cat minyak di atas kanvas, 100x140 cm, 1985, dicetak terbalik
Gambar 4. Dirk Huiser, "Cube", sablon iris, 48x48 cm, 1984

Realitas benda yang mustahil

Salah satu pertanyaan tersulit tentang angka-angka mustahil berkaitan dengan realitasnya: apakah mereka benar-benar ada atau tidak? Tentu saja, gambaran tentang suku yang mustahil memang ada, dan ini tidak diragukan lagi. Namun, pada saat yang sama, tidak ada keraguan bahwa bentuk tiga dimensi yang disajikan kepada kita oleh MATA, tidak ada di dunia sekitar. Karena alasan ini, kami memutuskan untuk membicarakan hal yang mustahil objek, bukan tentang hal yang mustahil angka(walaupun mereka lebih dikenal dengan nama itu dalam bahasa Inggris). Tampaknya ini merupakan solusi yang memuaskan terhadap dilema ini. Namun, ketika kita, misalnya, dengan cermat mengkaji suku yang mustahil, realitas spasialnya terus membingungkan kita.

Dihadapkan pada suatu benda yang dibongkar menjadi bagian-bagian yang terpisah, hampir mustahil untuk percaya bahwa hanya dengan menghubungkan batang dan kubus satu sama lain dapat menghasilkan tribar mustahil yang diinginkan.

Gambar 3 sangat menarik bagi spesialis kristalografi. Objek tersebut tampak seperti kristal yang tumbuh perlahan; dimasukkan ke dalam kisi kristal yang ada tanpa mengganggu struktur keseluruhan.

Foto pada Gambar 2 adalah nyata, meskipun tri-batang yang terbuat dari kotak cerutu dan difoto dari sudut tertentu adalah tidak nyata. Ini adalah lelucon visual yang dibuat oleh Roger Penrose, salah satu penulis artikel pertama dan Impossible Tribar.

Gambar 5.

Gambar 5 menunjukkan tribar yang terdiri dari balok-balok bernomor berukuran 1x1x1 dm. Dengan hanya menghitung balok, kita dapat mengetahui bahwa volume bangun tersebut adalah 12 dm 3 dan luasnya adalah 48 dm 2.

Gambar 6.
Gambar 7.

Dengan cara yang sama, kita dapat menghitung jarak yang ditempuh kepik sepanjang tribar (Gambar 7). Titik pusat setiap balok diberi nomor dan arah pergerakannya ditunjukkan dengan panah. Dengan demikian, permukaan tribar tampak seperti jalan panjang yang berkesinambungan. Kepik harus membuat empat lingkaran penuh sebelum kembali ke titik awalnya.

Angka 8.

Anda mungkin mulai curiga bahwa suku yang mustahil memiliki beberapa rahasia di sisi tak terlihatnya. Tetapi Anda dapat dengan mudah menggambar tribar transparan yang mustahil (Gbr. 8). Dalam hal ini, keempat sisinya terlihat. Namun, objek tersebut tetap terlihat cukup nyata.

Mari kita ajukan pertanyaan lagi: apa sebenarnya yang membuat tri-bar menjadi sosok yang dapat diinterpretasikan dalam banyak cara. Kita harus ingat bahwa MATA memproses bayangan suatu benda yang mustahil dari retina dengan cara yang sama seperti ia memproses bayangan benda biasa - kursi atau rumah. Hasilnya adalah “gambar spasial”. Pada tahap ini tidak ada perbedaan antara tri-bar yang mustahil dan kursi biasa. Jadi, tribar mustahil ada di kedalaman otak kita pada tingkat yang sama dengan semua objek lain di sekitar kita. Penolakan mata untuk memastikan "keberlangsungan" tiga dimensi suatu suku dalam kenyataan sama sekali tidak mengurangi fakta bahwa suatu suku yang mustahil hadir di kepala kita.

Di Bab 1, kita menemukan benda mustahil yang tubuhnya menghilang ke dalam ketiadaan. Dalam gambar pensil "Kereta Penumpang" (Gbr. 11), Fons de Vogelaere secara halus menggunakan prinsip yang sama dengan kolom yang diperkuat di sisi kiri gambar. Jika kita mengikuti kolom dari atas ke bawah, atau menutup bagian bawah gambar, kita akan melihat kolom yang ditopang oleh empat penyangga (hanya dua yang terlihat). Namun jika Anda melihat kolom yang sama dari bawah, Anda akan melihat bukaan yang cukup lebar yang bisa dilewati kereta api. Balok batu padat pada saat yang sama ternyata... lebih tipis dari udara!

Objek ini cukup sederhana untuk dikategorikan, namun ternyata cukup rumit ketika kita mulai menganalisisnya. Peneliti seperti Broydrick Thro telah menunjukkan bahwa gambaran fenomena ini mengarah pada kontradiksi. Konflik di salah satu perbatasan. MATA pertama-tama menghitung kontur dan kemudian menyusun bentuk dari kontur tersebut. Kebingungan terjadi ketika kontur memiliki dua tujuan dalam dua bentuk atau bagian yang berbeda, seperti pada Gambar 11.

Gambar 9.

Situasi serupa muncul pada Gambar 9. Pada gambar ini, garis kontur aku muncul sebagai batas bentuk A dan batas bentuk B. Namun, ini bukan batas kedua bentuk pada saat yang bersamaan. Jika mata Anda pertama-tama melihat ke atas gambar, lalu melihat ke bawah, ke garis aku akan dianggap sebagai batas bangun A dan akan tetap demikian sampai diketahui bahwa A merupakan bangun datar. Pada titik ini MATA menawarkan interpretasi kedua untuk garis tersebut aku, yaitu batas bentuk B. Jika kita mengikuti pandangan kita kembali ke atas garis tersebut aku, selanjutnya kita akan kembali lagi ke tafsir pertama.

Jika ini adalah satu-satunya ambiguitas, maka kita dapat berbicara tentang sosok ganda piktografik. Namun kesimpulan tersebut diperumit oleh faktor-faktor tambahan, seperti fenomena sosok yang menghilang dari latar belakang, dan, khususnya, representasi spasial dari sosok tersebut oleh MATA. Dalam hal ini, Anda dapat melihat Gambar 7, 8 dan 9 dari Bab 1 secara berbeda. Meskipun jenis bentuk ini memanifestasikan dirinya sebagai objek spasial yang nyata, untuk sementara kita dapat menyebutnya sebagai objek yang mustahil dan menjelaskannya (tetapi tidak menjelaskannya) dalam istilah umum berikut: MATA menghitung dari objek-objek ini dua bentuk tiga dimensi berbeda yang saling eksklusif namun tidak dapat dijelaskan. ada secara bersamaan. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 11 pada kolom yang tampak monolitik. Namun setelah diperiksa ulang, ternyata ternyata terbuka, dengan celah lebar di tengahnya yang seperti terlihat pada gambar, bisa dilewati kereta api.

Gambar 10. Arthur Stibbe, "Di depan dan belakang", karton/akrilik, 50x50 cm, 1986
Gambar 11. Fons de Vogelaere, "Kereta Penumpang", gambar pensil, 80x98 cm, 1984

Objek mustahil sebagai sebuah paradoks

Gambar 12. Oscar Reutersvärd, "Perspective japonaise n° 274 dda", gambar tinta berwarna, 74x54 cm

Pada awal bab ini kita melihat objek mustahil sebagai paradoks tiga dimensi, yaitu gambar yang unsur stereografiknya saling bertentangan. Sebelum mendalami paradoks ini lebih jauh, perlu dipahami apakah yang namanya paradoks piktorafik itu ada. Faktanya, makhluk itu memang ada - bayangkan putri duyung, sphinx, dan makhluk dongeng lainnya yang sering ditemukan dalam seni visual Abad Pertengahan dan awal Renaisans. Namun dalam kasus ini, bukan kerja MATA yang terganggu oleh persamaan piktografik seperti wanita + ikan = putri duyung, melainkan pengetahuan kita (khususnya pengetahuan biologi), yang menurutnya kombinasi tersebut tidak dapat diterima. Hanya jika data spasial dalam gambar retina saling bertentangan maka pemrosesan data “otomatis” oleh EY akan gagal. MATA belum siap memproses materi aneh tersebut, dan kita menyaksikan pengalaman visual yang baru bagi kita.

Gambar 13a. Harry Turner, menggambar dari serial "Pola Paradoks", media campuran, 1973-78
Gambar 13b. Harry Turner, "Pojok", media campuran, 1978

Kita dapat membagi informasi spasial yang terkandung dalam citra retina (saat melihat hanya dengan satu mata) menjadi dua kelas - alam dan budaya. Golongan pertama berisi informasi yang tidak dipengaruhi oleh lingkungan budaya seseorang, dan juga terdapat pada lukisan. “Sifat tidak rusak” yang sebenarnya ini mencakup hal-hal berikut:

• Benda yang berukuran sama akan tampak semakin kecil jika semakin jauh jaraknya. Inilah prinsip dasar perspektif linier, yang telah memainkan peran utama dalam seni visual sejak zaman Renaisans;
• Suatu objek yang menghalangi sebagian objek lain lebih dekat dengan kita;
• Benda-benda atau bagian-bagian suatu benda yang saling berhubungan berada pada jarak yang sama dari kita;
• Objek yang letaknya relatif jauh dari kita akan kurang dapat dibedakan dan akan tersembunyi oleh kabut biru dari perspektif spasial;
• Sisi benda yang terkena cahaya lebih terang dibandingkan sisi sebaliknya, dan bayangan mengarah ke arah yang berlawanan dengan sumber cahaya.

Gambar 14. Zenon Kulpa, "Angka mustahil", tinta/kertas, 30x21 cm, 1980

Dalam konteks budaya, dua faktor berikut memainkan peran penting dalam penilaian kita terhadap ruang. Orang-orang telah menciptakan ruang hidup mereka sedemikian rupa sehingga sudut siku-siku mendominasi di dalamnya. Arsitektur, furnitur, dan banyak peralatan kami pada dasarnya terdiri dari persegi panjang. Kita dapat mengatakan bahwa kita telah mengemas dunia kita ke dalam sistem koordinat persegi panjang, ke dalam dunia garis lurus dan sudut.

Gambar 15. Mitsumasa Anno, "Bagian Kubus"
Gambar 16. Mitsumasa Anno, "Teka-teki Kayu Rumit"
Gambar 17. Monika Buch, "Blue Cube", akrilik/kayu, 80x80 cm, 1976

Dengan demikian, informasi spasial kelas kedua kami - budaya, jelas dan dapat dipahami:

• Permukaan adalah bidang yang terus berlanjut hingga detail lainnya memberi tahu kita bahwa permukaan tersebut belum berakhir;
• Sudut pertemuan ketiga bidang menentukan tiga arah mata angin, sehingga garis zigzag dapat menunjukkan pemuaian atau kontraksi.

Gambar 18. Tamas Farcas, "Crystal", cetakan iris, 40x29 cm, 1980
Gambar 19. Frans Erens, cat air, 1985

Dalam konteks kita, pembedaan antara lingkungan alam dan budaya sangatlah berguna. Indra visual kita berevolusi di lingkungan alami, dan juga memiliki kemampuan luar biasa untuk memproses informasi spasial dari kategori budaya secara akurat dan akurat.

Objek mustahil (setidaknya sebagian besar) ada karena adanya pernyataan spasial yang saling bertentangan. Misalnya, dalam lukisan karya Jos de Mey “Gerbang berpelindung ganda ke Arcadia musim dingin” (Gbr. 20), permukaan datar yang membentuk bagian atas tembok pecah menjadi beberapa bidang di bagian bawah, terletak pada jarak yang berbeda dari pengamat. Kesan jarak yang berbeda juga dibentuk oleh tumpang tindih bagian-bagian gambar dalam lukisan Arthur Stibbe “Di depan dan di belakang” (Gbr. 10), yang bertentangan dengan aturan permukaan datar. Dalam gambar cat air oleh Frans Erens (Gbr. 19), rak, yang ditunjukkan dalam perspektif, dengan ujung yang mengecil memberi tahu kita bahwa letaknya secara horizontal, menjauh dari kita, dan juga dipasang pada penyangga sedemikian rupa. menjadi vertikal. Dalam lukisan "Lima Pembawa" karya Fons de Vogelaere (Gbr. 21), kita akan dikejutkan oleh banyaknya paradoks stereografik. Meskipun lukisan tersebut tidak memuat objek-objek yang tumpang tindih secara paradoks, namun banyak mengandung hubungan paradoks. Yang menarik adalah cara figur sentral dihubungkan ke langit-langit. Lima sosok yang menopang langit-langit menghubungkan tembok pembatas dan langit-langit dengan begitu banyak hubungan paradoks sehingga MATA terus mencari tanpa henti untuk mencari titik terbaik untuk melihatnya.

Gambar 20. Jos de Mey, "Gerbang berpelindung ganda ke Arcadia musim dingin", kanvas/akrilik, 60x70 cm, 1983
Gambar 21. Fons de Vogelaere, "Lima Pembawa", gambar pensil, 80x98 cm, 1985

Anda mungkin berpikir bahwa dengan setiap kemungkinan jenis elemen stereografik yang muncul dalam sebuah lukisan, akan relatif mudah untuk membuat gambaran sistematis tentang angka-angka yang mustahil:

• Yang mengandung unsur cara pandang yang saling bertentangan;
• Elemen perspektif yang bertentangan dengan informasi spasial yang ditandai dengan elemen yang tumpang tindih;
• dll.

Namun, kita akan segera menyadari bahwa kita tidak akan dapat menemukan contoh-contoh yang ada untuk banyak konflik semacam itu, sementara beberapa objek yang mustahil akan sulit untuk dimasukkan ke dalam sistem tersebut. Namun, klasifikasi seperti itu akan memungkinkan kita menemukan lebih banyak lagi jenis objek mustahil yang sampai sekarang belum diketahui.

Gambar 22. Shigeo Fukuda, "Gambar ilusi", cetakan layar, 102x73 cm, 1984

Definisi

Untuk menyimpulkan bab ini, mari kita coba mendefinisikan objek-objek mustahil.

Dalam publikasi pertama saya tentang lukisan dengan objek yang mustahil, M.K. Escher, yang muncul sekitar tahun 1960, saya sampai pada rumusan berikut: objek yang mungkin selalu dapat dianggap sebagai proyeksi – representasi objek tiga dimensi. Namun, dalam kasus objek mustahil, tidak ada objek tiga dimensi yang proyeksinya merupakan representasi, dan dalam hal ini kita dapat menyebut objek mustahil tersebut sebagai representasi ilusi. Definisi ini tidak hanya tidak lengkap, tetapi juga salah (kita akan kembali ke Bab 7), karena definisi ini hanya berkaitan dengan sisi matematis dari objek yang mustahil.

Gambar 23. Oscar Reutersvärd, "Organisasi ruang kubik", gambar tinta berwarna, 29x20,6 cm.
Pada kenyataannya, ruang tersebut tidak terisi karena kubus yang lebih besar tidak terhubung dengan kubus yang lebih kecil.

Zeno Kulpa menawarkan definisi sebagai berikut: gambaran suatu benda yang mustahil adalah sosok dua dimensi yang menimbulkan kesan objek tiga dimensi yang ada, dan sosok tersebut tidak dapat ada jika kita menafsirkannya secara spasial; dengan demikian, segala upaya untuk menciptakannya mengarah pada kontradiksi (spasial) yang terlihat jelas oleh pemirsa.

Poin terakhir Kulpa menyarankan salah satu cara praktis untuk mengetahui apakah suatu benda itu mustahil atau tidak: coba saja membuatnya sendiri. Anda akan segera melihat, bahkan mungkin sebelum Anda memulai pembangunan, bahwa Anda tidak dapat melakukan hal ini.

Saya lebih memilih definisi yang menekankan bahwa MATA, ketika menganalisis objek yang mustahil, menghasilkan dua kesimpulan yang bertentangan. Saya lebih memilih definisi ini karena definisi ini menangkap alasan dari kesimpulan-kesimpulan yang saling bertentangan ini, dan juga menjelaskan fakta bahwa ketidakmungkinan bukanlah sifat matematis dari suatu bangun, namun merupakan sifat interpretasi orang yang melihat gambar tersebut.

Berdasarkan hal tersebut, saya mengusulkan definisi berikut:

Suatu benda yang mustahil mempunyai representasi dua dimensi, yang diinterpretasikan oleh MATA sebagai benda tiga dimensi, dan pada saat yang sama, MATA menentukan bahwa benda tersebut tidak dapat berbentuk tiga dimensi, karena informasi spasial yang terkandung dalam gambar tersebut saling bertentangan.

Gambar 24. Oscar Reutersväird, “Empat palang yang mustahil dengan Palang”
Gambar 25. Bruno Ernst, "Ilusi Campuran", fotografi, 1985

Pendahuluan…………………………………………………………………………………..2

Bagian utama. Angka yang mustahil……….…………………………4

2.1. Sedikit sejarah………………………………………………….4

2.2. Jenis-jenis bangun datar yang mustahil……………………………………….6

2.3. Oscar Ruthersward – ayah dari sosok mustahil…………………..11

2.4. Angka yang tidak mungkin menjadi mungkin!………………………………………..13

2.5. Penerapan angka-angka yang mustahil………………………………………14

Kesimpulan…………………………………………………………………………………..15

Bibliografi………………………………………………………………16

Perkenalan

Untuk beberapa waktu sekarang saya tertarik pada angka-angka yang sekilas tampak biasa saja, tetapi setelah diperiksa lebih dekat Anda dapat melihat bahwa ada sesuatu yang salah dengan angka-angka tersebut. Ketertarikan utama bagi saya adalah apa yang disebut sebagai sosok yang mustahil, jika dilihat dari mana seseorang mendapat kesan bahwa mereka tidak mungkin ada di dunia nyata. Saya ingin tahu lebih banyak tentang mereka.

“Dunia Tokoh-tokoh yang Mustahil” adalah salah satu topik paling menarik yang baru berkembang pesat pada awal abad ke-20. Namun, jauh sebelumnya, banyak ilmuwan dan filsuf yang membahas masalah ini. Bahkan bentuk volumetrik sederhana seperti kubus, limas, paralelepiped dapat direpresentasikan sebagai kombinasi beberapa bangun ruang yang terletak pada jarak berbeda dari mata pengamat. Harus selalu ada garis di mana gambar masing-masing bagian digabungkan menjadi gambar yang lengkap.

“Bentuk mustahil adalah benda tiga dimensi yang dibuat di atas kertas yang tidak mungkin ada dalam kenyataan, namun dapat dilihat sebagai gambar dua dimensi.” Ini adalah salah satu tipenya ilusi optik, suatu sosok yang sekilas tampak seperti proyeksi suatu benda tiga dimensi biasa, setelah diperiksa dengan cermat akan terlihat hubungan-hubungan yang kontradiktif dari unsur-unsur gambar tersebut. Terciptalah ilusi tentang ketidakmungkinan keberadaan sosok seperti itu dalam ruang tiga dimensi.

Saya dihadapkan pada pertanyaan: “Apakah angka-angka mustahil itu ada di dunia nyata?”

Tujuan proyek:

1. Cari tahu apa yang harus dilakukanaku terciptaAngka-angka yang tidak nyata muncul.

2. Temukan aplikasiangka yang mustahil.

Tujuan proyek:

1. Pelajari literatur dengan topik “Angka-angka yang mustahil”.

2 .Buatlah klasifikasiangka yang mustahil.

3.PPertimbangkan cara untuk membuat angka yang mustahil.

4. Tidak mungkin diciptakansosok baru.

Topik karya saya relevan karena memahami paradoks adalah salah satu tanda potensi kreatif yang dimiliki oleh ahli matematika, ilmuwan, dan seniman terbaik. Banyak karya dengan objek tidak nyata dapat digolongkan sebagai “permainan matematika intelektual”. Dunia seperti itu hanya bisa dimodelkan dengan menggunakan rumus matematika; Dan angka-angka mustahil berguna untuk pengembangan imajinasi spasial. Seseorang tanpa lelah secara mental menciptakan sesuatu di sekelilingnya yang sederhana dan dapat dimengerti olehnya. Dia bahkan tidak dapat membayangkan bahwa beberapa objek di sekitarnya mungkin “tidak mungkin”. Sebenarnya dunia itu satu, tapi bisa dilihat dari sudut yang berbeda.

Mustahilangka-angka baru

Sedikit sejarah

Sosok-sosok mustahil cukup sering ditemukan dalam ukiran, lukisan, dan ikon kuno - dalam beberapa kasus kita memiliki kesalahan yang jelas dalam transfer perspektif, dalam kasus lain - dengan distorsi yang disengaja karena desain artistik.

Dalam lukisan Jepang dan Persia abad pertengahan, objek mustahil merupakan bagian integral dari gaya artistik oriental, yang hanya memberikan gambaran umum gambar, detail yang “harus” dipikirkan oleh pemirsa secara mandiri, sesuai dengan kesukaannya. Ini sekolah di depan kita. Perhatian kami tertuju pada struktur arsitektur di latar belakang, yang ketidakkonsistenan geometrisnya terlihat jelas. Dapat diartikan sebagai dinding bagian dalam suatu ruangan atau dinding luar suatu bangunan, tetapi kedua penafsiran ini salah, karena kita berhadapan dengan bidang yang merupakan dinding luar dan dinding luar, yaitu gambar. menggambarkan objek mustahil yang khas.

Lukisan dengan perspektif yang menyimpang sudah dapat ditemukan pada awal milenium pertama. Miniatur dari buku Henry II, dibuat sebelum tahun 1025 dan disimpan di Perpustakaan Negara Bagian Bavaria di Munich, menggambarkan Madonna dan Anak. Lukisan itu menggambarkan sebuah kubah yang terdiri dari tiga kolom, dan kolom tengah, menurut hukum perspektif, harus terletak di depan Madonna, tetapi terletak di belakangnya, yang memberikan efek tidak nyata pada lukisan itu.

Jenisangka yang mustahil.

“Angka mustahil” dibagi menjadi 4 kelompok. Jadi, yang pertama:

Segitiga yang menakjubkan - tribar.

Angka ini mungkin merupakan objek mustahil pertama yang dipublikasikan di media cetak. Itu muncul pada tahun 1958. Penulisnya, ayah dan anak Lionell dan Roger Penrose, seorang ahli genetika dan matematikawan, mendefinisikan objek tersebut sebagai “struktur persegi panjang tiga dimensi.” Itu juga disebut “suku”. Sekilas, tribar tampak seperti gambar segitiga sama sisi. Namun sisi-sisi yang menyatu di bagian atas gambar tampak tegak lurus. Pada saat yang sama, tepi kiri dan kanan di bawah juga tampak tegak lurus. Jika Anda melihat setiap detail secara terpisah, tampak nyata, tetapi secara umum angka ini tidak mungkin ada. Itu tidak berubah bentuk, tetapi elemen yang benar tidak tersambung dengan benar saat menggambar.

Berikut adalah beberapa contoh angka mustahil berdasarkan sukunya.

Suku melengkung rangkap tiga	Segitiga 12 kubus
Suku Bersayap	Triple domino

Tangga tak berujung

Angka ini paling sering disebut "Tangga Tak Berujung", "Tangga Abadi" atau "Tangga Penrose" - sesuai nama penciptanya. Ini juga disebut “jalan yang terus naik dan turun.”

Angka ini pertama kali diterbitkan pada tahun 1958. Sebuah tangga muncul di hadapan kita, sepertinya mengarah ke atas atau ke bawah, tetapi pada saat yang sama, orang yang berjalan di sepanjang tangga itu tidak naik atau turun. Setelah menyelesaikan rute visualnya, dia akan menemukan dirinya berada di awal jalan.

“Tangga Tak Berujung” berhasil digunakan oleh seniman Maurits K. Escher, kali ini dalam litografnya “Ascent and Descend”, yang dibuat pada tahun 1960.

Tangga dengan empat atau tujuh langkah. Penulis bisa saja terinspirasi dari tumpukan bantalan rel kereta api biasa untuk membuat sosok ini dengan jumlah anak tangga yang banyak. Saat hendak menaiki tangga ini, Anda akan dihadapkan pada pilihan: menaiki empat atau tujuh anak tangga.

Pencipta tangga ini memanfaatkan garis paralel untuk mendesain bagian ujung balok yang berjarak sama; Beberapa balok tampak dipelintir agar sesuai dengan ilusi.

Garpu luar angkasa.

Kelompok tokoh berikutnya secara kolektif disebut “Space Fork”. Dengan figur ini kita masuk ke dalam inti dan esensi dari hal yang mustahil. Ini mungkin merupakan kelas terbesar dari objek mustahil.

Benda mustahil yang terkenal dengan tiga (atau dua?) gigi ini menjadi populer di kalangan insinyur dan penggemar teka-teki pada tahun 1964. Publikasi pertama yang didedikasikan untuk sosok yang tidak biasa ini muncul pada bulan Desember 1964. Penulis menyebutnya “Penjepit yang terdiri dari tiga elemen.”

Dari sudut pandang praktis, mekanisme aneh seperti trisula atau braket ini sama sekali tidak dapat diterapkan. Beberapa orang hanya menyebutnya sebagai “kesalahan yang disayangkan.” Salah satu perwakilan industri dirgantara mengusulkan penggunaan propertinya dalam pembangunan garpu tala ruang interdimensi.

Kotak yang mustahil

Objek mustahil lainnya muncul pada tahun 1966 di Chicago sebagai hasil eksperimen asli fotografer Dr. Charles F. Cochran. Banyak pecinta figur mustahil telah bereksperimen dengan “Kotak Gila”. Penulis awalnya menyebutnya “Kotak Gratis” dan menyatakan bahwa itu “dirancang untuk mengirim objek mustahil dalam jumlah besar.”

“Kotak gila” adalah bingkai kubus yang dibalik. Pendahulu dari "Crazy Box" adalah "Impossible Box" (penulis Escher), dan pendahulunya adalah Necker Cube.

Ini bukan objek yang mustahil, tetapi merupakan gambaran di mana parameter kedalaman dapat dianggap ambigu.

Saat kita melihat kubus Necker, kita melihat bahwa wajah dengan titik berada di latar depan atau di latar belakang, ia melompat dari satu posisi ke posisi lain.

Oscar Ruthersvard - ayah dari sosok yang mustahil.

“Bapak” dari tokoh-tokoh mustahil adalah seniman Swedia Oscar Rutersvard. Seniman Swedia Oscar Ruthersvard, seorang spesialis dalam menciptakan gambar-gambar yang mustahil, mengklaim bahwa ia kurang berpengalaman dalam matematika, namun, bagaimanapun, mengangkat karya seninya ke peringkat sains, menciptakan keseluruhan teori tentang menciptakan angka-angka yang mustahil menurut sejumlah tertentu. pola.

Ia membagi angka-angka tersebut menjadi dua kelompok utama. Dia menyebut salah satu dari mereka sebagai “figur yang benar-benar mustahil.” Ini adalah gambar dua dimensi dari benda tiga dimensi yang dapat diwarnai dan dibayangi di atas kertas, namun tidak memiliki kedalaman yang monolitik dan stabil.

Tipe lainnya adalah angka mustahil yang meragukan. Angka-angka ini tidak mewakili benda padat tunggal. Mereka adalah kombinasi dari dua angka atau lebih. Mereka tidak dapat dicat, cahaya dan bayangan juga tidak dapat diterapkan padanya.

Angka yang benar-benar mustahil terdiri dari sejumlah elemen yang mungkin, sedangkan angka yang diragukan “kehilangan” sejumlah elemen jika Anda mengikutinya dengan mata Anda.

Salah satu versi dari angka-angka mustahil ini sangat mudah dilakukan, dan banyak dari mereka yang secara otomatis menggambar geometris

angka ketika berbicara di telepon, hal ini sudah dilakukan lebih dari satu kali. Anda perlu menggambar lima, enam atau tujuh garis paralel, menyelesaikan garis-garis ini di ujung yang berbeda dengan cara yang berbeda - dan gambar yang mustahil sudah siap. Jika, misalnya, Anda menggambar lima garis sejajar, maka garis tersebut akan menjadi dua balok di satu sisi dan tiga di sisi lainnya.

Pada gambar tersebut kita melihat tiga varian dari angka mustahil yang meragukan. Di sebelah kiri adalah struktur tiga-tujuh balok, dibangun dari tujuh garis, di mana tiga balok berubah menjadi tujuh. Gambar di tengah, dibangun dari tiga garis, dimana satu balok berubah menjadi dua balok bulat. Gambar di sebelah kanan, dibuat dari empat garis, di mana dua balok bundar berubah menjadi dua balok

Sepanjang hidupnya, Ruthersvard melukis sekitar 2.500 figur. Buku Ruthersvard telah diterbitkan dalam banyak bahasa, termasuk bahasa Rusia.

Angka yang mustahil menjadi mungkin!

Banyak orang yang percaya bahwa angka-angka mustahil itu benar-benar mustahil dan tidak bisa diciptakan di dunia nyata. Namun kita harus ingat bahwa setiap gambar pada selembar kertas merupakan proyeksi suatu bangun tiga dimensi. Oleh karena itu, setiap gambar yang digambar pada selembar kertas pasti ada dalam ruang tiga dimensi. Benda mustahil dalam lukisan merupakan proyeksi benda tiga dimensi, artinya benda tersebut dapat diwujudkan dalam bentuk komposisi pahatan. Ada banyak cara untuk membuatnya. Salah satunya adalah penggunaan garis lengkung sebagai sisi-sisi segitiga mustahil. Patung yang dibuat terlihat mustahil hanya dari satu titik saja. Dari titik ini, sisi-sisi yang melengkung terlihat lurus, dan tujuannya akan tercapai - objek "mustahil" yang nyata akan tercipta.

Seniman Rusia Anatoly Konenko, kontemporer kita, membagi figur mustahil menjadi 2 kelas: beberapa dapat disimulasikan dalam kenyataan, sementara yang lain tidak. Model bangun datar yang mustahil disebut model Ames.

Saya membuat model Ames dari kotak mustahil saya. Saya mengambil empat puluh dua kubus dan merekatkannya untuk membentuk kubus dengan sebagian tepinya hilang. Saya perhatikan bahwa untuk menciptakan ilusi yang lengkap, diperlukan sudut pandang yang tepat dan pencahayaan yang tepat.

Saya mempelajari bilangan mustahil menggunakan teorema Euler dan sampai pada kesimpulan berikut: Teorema Euler, yang berlaku untuk semua polihedron cembung, salah untuk bilangan mustahil, tetapi berlaku untuk model Amesnya.

Saya membuat angka-angka mustahil saya menggunakan saran O. Ruthersward. Saya menggambar tujuh garis sejajar di atas kertas. Saya menghubungkannya dari bawah dengan garis putus-putus, dan dari atas saya memberi mereka bentuk paralelepiped. Lihatlah dulu dari atas lalu dari bawah. Anda dapat menghasilkan angka-angka seperti itu dalam jumlah tak terbatas. Lihat lampiran.

Penerapan angka yang mustahil

Angka-angka yang mustahil terkadang menemukan kegunaan yang tidak terduga. Oscar Ruthersvard berbicara dalam bukunya “Omojliga figurer” tentang penggunaan gambar seni imp untuk psikoterapi. Ia menulis bahwa lukisan-lukisan itu, dengan paradoksnya, membangkitkan keterkejutan, memusatkan perhatian, dan keinginan untuk menguraikan. Psikolog Roger Shepard menggunakan gagasan trisula untuk lukisannya tentang gajah yang mustahil.

Di Swedia, mereka digunakan dalam praktik kedokteran gigi: dengan melihat gambar di ruang tunggu, pasien teralihkan dari pikiran tidak menyenangkan di depan kantor dokter gigi.

Sosok-sosok mustahil menginspirasi seniman untuk menciptakan gerakan baru dalam seni lukis yang disebut impossibilisme. Seniman Belanda Escher dianggap mustahil. Dia adalah penulis litograf terkenal “Air Terjun”, “Pendakian dan Keturunan” dan “Belvedere”. Sang seniman menggunakan efek “tangga tak berujung” yang ditemukan oleh Rootesward.

Di luar negeri, di jalanan kota, kita bisa melihat perwujudan arsitektural dari sosok-sosok mustahil.

Penggunaan figur mustahil yang paling terkenal dalam budaya populer adalah logo perhatian mobil "Renault"

Ahli matematika mengklaim bahwa istana tempat Anda bisa menuruni tangga menuju ke atas memang ada. Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu membangun struktur seperti itu bukan dalam ruang tiga dimensi, tetapi, katakanlah, dalam ruang empat dimensi. Namun di dunia maya, dimana teknologi komputer modern terbuka untuk kita, hal ini pun tidak dapat dilakukan. Beginilah akhir-akhir ini gagasan seseorang yang, pada awal abad ini, percaya akan keberadaan dunia yang mustahil menjadi kenyataan.

Kesimpulan.

Angka-angka mustahil memaksa pikiran kita untuk melihat terlebih dahulu apa yang tidak seharusnya terjadi, kemudian mencari jawabannya - apa yang dilakukan salah, apa esensi tersembunyi dari paradoks tersebut. Dan terkadang tidak mudah untuk menemukan jawabannya - jawabannya tersembunyi dalam persepsi optik, psikologis, dan logis dari gambar tersebut.

Perkembangan ilmu pengetahuan, kebutuhan untuk berpikir dengan cara baru, pencarian keindahan – semua tuntutan kehidupan modern memaksa kita untuk mencari metode baru yang dapat mengubah pemikiran dan imajinasi spasial.

Setelah mempelajari literatur mengenai topik tersebut, saya dapat menjawab pertanyaan “Apakah ada angka-angka mustahil di dunia nyata?” Saya menyadari bahwa hal yang tidak mungkin adalah mungkin dan angka-angka yang tidak nyata dapat dibuat dengan tangan Anda sendiri. Saya membuat model "Kubus Mustahil" Ames dan menguji teorema Euler padanya. Setelah mencari cara untuk membuat figur mustahil, saya dapat menggambar figur mustahil saya sendiri. Saya mampu menunjukkan hal itu

Kesimpulan1: Semua angka mustahil bisa ada di dunia nyata.

Kesimpulan2: Teorema Euler, berlaku untuk semua polihedron cembung, salah untuk bilangan mustahil, namun berlaku untuk model Ames.

Kesimpulan 3: Akan ada lebih banyak area dimana angka-angka mustahil akan digunakan.

Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa dunia angka-angka mustahil sangatlah menarik dan beragam. Studi tentang bangun-bangun mustahil cukup penting dari sudut pandang geometri. Karya tersebut dapat digunakan di kelas matematika untuk mengembangkan pemikiran spasial siswa. Bagi orang-orang kreatif yang cenderung berkreasi, angka-angka mustahil adalah semacam pengungkit untuk menciptakan sesuatu yang baru dan tidak biasa.

Bibliografi

Rhapsody Geometris Levitin Karl. – M.: Pengetahuan, 1984, -176 hal.

Penrose L., Penrose R. Benda mustahil, Quantum, No. 5, 1971, hal

Reutersvard O. Angka yang mustahil. – M.: Stroyizdat, 1990, 206 hal.

Tkacheva M.V. Kubus berputar. – M.: Bustard, 2002. – 168 hal.

Mata kita tidak bisa mengetahui
sifat benda.
Jadi jangan memaksakannya pada mereka
delusi alasan.

Titus Lucretius Carus

Ungkapan umum “ilusi optik” pada dasarnya tidak benar. Mata tidak bisa menipu kita, karena mata hanyalah penghubung antara suatu objek dan otak manusia. Ilusi optik biasanya terjadi bukan karena apa yang kita lihat, tetapi karena kita secara tidak sadar bernalar dan tanpa sadar melakukan kesalahan: “pikiran dapat melihat dunia melalui mata, bukan melalui mata.”

Salah satu bidang gerakan artistik seni optik (op-art) yang paling spektakuler adalah imp-art (seni yang mustahil), yang didasarkan pada penggambaran sosok-sosok yang mustahil. Benda mustahil adalah gambar pada suatu bidang (bidang apa pun adalah dua dimensi) yang menggambarkan struktur tiga dimensi yang tidak mungkin ada di dunia tiga dimensi nyata. Bentuk klasik dan paling sederhana adalah segitiga mustahil.

Dalam segitiga mustahil, setiap sudut adalah mungkin, tetapi sebuah paradoks muncul ketika kita mempertimbangkannya secara keseluruhan. Sisi-sisi segitiga diarahkan ke arah dan menjauhi pengamat, sehingga masing-masing bagiannya tidak dapat membentuk objek tiga dimensi yang nyata.

Sebenarnya, otak kita mengartikan gambar di bidang sebagai model tiga dimensi. Kesadaran menentukan “kedalaman” di mana setiap titik gambar berada. Gagasan kita tentang dunia nyata menghadapi kontradiksi, beberapa ketidakkonsistenan, dan kita harus membuat beberapa asumsi:

• garis lurus 2D diartikan sebagai garis lurus 3D;
• Garis sejajar 2D diartikan sebagai garis sejajar 3D;
• sudut lancip dan tumpul diartikan sebagai sudut siku-siku dalam perspektif;
• garis terluar dianggap sebagai batas bentuk. Batas luar ini sangat penting untuk membangun gambaran yang utuh.

Kesadaran manusia pertama-tama menciptakan gambaran umum suatu objek, dan kemudian memeriksa bagian-bagian individualnya. Masing-masing sudut sesuai dengan perspektif spasial, namun bila disatukan kembali akan membentuk paradoks spasial. Jika Anda menutup salah satu sudut segitiga, maka ketidakmungkinannya hilang.

Sejarah angka-angka mustahil

Kesalahan dalam konstruksi tata ruang ditemukan oleh para seniman bahkan ribuan tahun yang lalu. Namun orang pertama yang membangun dan menganalisis benda mustahil adalah seniman Swedia Oscar Reutersvard, yang pada tahun 1934 menggambar segitiga mustahil pertama, yang terdiri dari sembilan kubus.

Terlepas dari Reuters, matematikawan dan fisikawan Inggris Roger Penrose menemukan kembali segitiga mustahil dan menerbitkan gambarnya di jurnal psikologi Inggris pada tahun 1958. Ilusi tersebut menggunakan “perspektif palsu.” Kadang-kadang perspektif ini disebut Cina, karena cara menggambar yang serupa, ketika kedalaman gambarnya “ambigu”, sering ditemukan pada karya-karya seniman Tiongkok.

Kubus yang mustahil

Pada tahun 1961, orang Belanda Maurits C. Escher, terinspirasi oleh segitiga Penrose yang mustahil, menciptakan litograf terkenal “Air Terjun”. Air pada gambar mengalir tanpa henti, setelah kincir air mengalir lebih jauh dan berakhir kembali di titik awal. Intinya, ini adalah gambaran mesin yang bergerak terus-menerus, tetapi segala upaya untuk benar-benar membangun struktur ini pasti akan gagal.

Sejak itu, segitiga mustahil telah digunakan lebih dari satu kali dalam karya master lainnya. Selain yang telah disebutkan, kita dapat menyebutkan nama Jos de Mey dari Belgia, Sandro del Prete dari Swiss, dan Istvan Orosz dari Hongaria.

Sama seperti gambar yang dibentuk dari piksel-piksel individual di layar, objek-objek yang mustahil menjadi kenyataan dapat diciptakan dari bentuk-bentuk geometris dasar. Misalnya, gambar “Moskow”, yang menggambarkan diagram metro Moskow yang tidak biasa. Pada awalnya kita melihat gambar itu secara keseluruhan, tetapi ketika kita menelusuri garis-garis individual dengan pandangan kita, kita menjadi yakin akan ketidakmungkinan keberadaannya.

Pada gambar "Tiga Siput", kubus kecil dan besar tidak berorientasi pada proyeksi isometrik normal. Kubus yang lebih kecil berdekatan dengan kubus yang lebih besar di sisi depan dan belakang, yang berarti, mengikuti logika tiga dimensi, ia memiliki dimensi yang sama di beberapa sisi dengan kubus yang lebih besar. Pada awalnya, gambar tersebut tampak seperti representasi nyata dari benda padat, tetapi seiring berjalannya analisis, kontradiksi logis dari benda tersebut terungkap.

Gambar "Tiga Siput" melanjutkan tradisi sosok mustahil kedua yang terkenal - kubus (kotak) yang mustahil.

Kombinasi berbagai objek juga dapat ditemukan dalam gambar “IQ” (intelligence quotient) yang tidak terlalu serius. Menariknya, beberapa orang tidak melihat objek yang mustahil karena pikirannya tidak mampu mengidentifikasi gambar datar dengan objek tiga dimensi.

Donald E. Simanek berpendapat bahwa memahami paradoks visual adalah salah satu ciri kreativitas yang dimiliki oleh ahli matematika, ilmuwan, dan seniman terbaik. Banyak karya dengan objek paradoks dapat diklasifikasikan sebagai “permainan matematika intelektual”. Ilmu pengetahuan modern berbicara tentang model dunia 7 dimensi atau 26 dimensi. Dunia seperti itu hanya bisa dimodelkan dengan menggunakan rumus matematika; Di sinilah angka-angka mustahil menjadi berguna. Dari sudut pandang filosofis, mereka berfungsi sebagai pengingat bahwa fenomena apa pun (dalam analisis sistem, sains, politik, ekonomi, dll.) harus dipertimbangkan dalam semua hubungan yang kompleks dan tidak jelas.

Beragam objek mustahil (dan mungkin) dihadirkan dalam lukisan “Impossible Alphabet”.

Sosok mustahil ketiga yang populer adalah tangga luar biasa yang dibuat oleh Penrose. Anda akan terus naik (berlawanan arah jarum jam) atau turun (searah jarum jam) sepanjang itu. Model Penrose menjadi dasar lukisan terkenal M. Escher “Up and Down” (“Ascending and Descending”).

Ada kelompok objek lain yang tidak dapat diimplementasikan. Sosok klasiknya adalah trisula yang mustahil, atau "garpu setan".

Jika Anda mempelajari gambar tersebut dengan cermat, Anda akan melihat bahwa tiga gigi secara bertahap berubah menjadi dua pada satu alas, yang menyebabkan konflik. Kita bandingkan jumlah gigi di atas dan di bawah dan sampai pada kesimpulan bahwa benda tersebut mustahil.

Sumber daya internet tentang objek yang mustahil

Sekilas, sosok mustahil hanya bisa ada di pesawat. Faktanya, sosok luar biasa dapat diwujudkan dalam ruang tiga dimensi, tetapi untuk “efek yang sama” Anda perlu melihatnya dari sudut tertentu.

Perspektif yang terdistorsi merupakan fenomena umum dalam seni lukis kuno. Hal ini disebabkan oleh ketidakmampuan seniman dalam mengkonstruksi sebuah gambar, atau karena ketidakpedulian terhadap realisme, yang lebih mengutamakan simbolisme. Dunia material sebagian direhabilitasi selama Renaisans. Para ahli Renaisans mulai mengeksplorasi perspektif dan menemukan permainan dengan ruang.

Salah satu gambar sosok mustahil berasal dari abad ke-16 - dalam lukisan Pieter Bruegel the Elder “The Magpie on the Gallows,” tiang gantungan yang sama terlihat mencurigakan.

Ketenaran besar datang pada angka-angka mustahil di abad ke-20. Seniman Swedia Oskar Rootesvard melukis sebuah segitiga yang terdiri dari kubus, “Opus 1,” pada tahun 1934, dan beberapa tahun kemudian, “Opus 2B,” yang jumlah kubusnya dikurangi. Seniman itu sendiri mencatat bahwa hal yang paling berharga dalam pengembangan figur, yang ia lakukan di masa sekolahnya, bukanlah penciptaan gambar itu sendiri, tetapi kemampuan untuk memahami bahwa apa yang digambar itu paradoks dan bertentangan dengan hukum. geometri Euclidean.

Angka mustahil pertama saya muncul secara kebetulan, ketika pada tahun 1934, pada tahun terakhir saya di gimnasium, saya sedang mencoret-coret buku teks tata bahasa Latin, menggambar angka-angka geometris di dalamnya.

Oscar Rootesward "Angka yang Mustahil"

Pada tahun 50-an abad kedua puluh, sebuah artikel oleh ahli matematika Inggris Roger Penrose diterbitkan, membahas kekhasan persepsi bentuk spasial yang digambarkan pada bidang datar. Artikel tersebut diterbitkan di British Journal of Psychology, yang menjelaskan banyak hal tentang esensi angka-angka mustahil. Hal utama tentang mereka bukanlah geometri paradoksnya, tetapi bagaimana pikiran kita memandang fenomena tersebut. Biasanya diperlukan waktu beberapa detik untuk mengetahui apa sebenarnya yang “salah” pada gambar tersebut.

Berkat Roger Penrose, angka-angka ini dipandang dari sudut pandang ilmiah, sebagai objek dengan karakteristik topologi khusus. Patung Australia yang dibahas di atas justru merupakan segitiga Penrose yang mustahil, yang semua komponennya nyata, namun gambarnya tidak sesuai dengan keutuhan yang bisa ada di dunia tiga dimensi. Segitiga Penrose menyesatkan dengan memberikan perspektif yang salah.

Tokoh-tokoh misterius telah menjadi sumber inspirasi bagi para fisikawan, matematikawan, dan seniman. Terinspirasi oleh artikel Penrose, seniman grafis Maurits Escher menciptakan beberapa litograf yang membuatnya terkenal sebagai seorang ilusionis, dan kemudian terus bereksperimen dengan distorsi spasial pada bidang.

Garpu yang mustahil

Trisula yang mustahil, blivet atau bahkan, sebagaimana juga disebut, “garpu iblis”, adalah sosok dengan tiga cabang bundar di satu ujung dan persegi panjang di ujung lainnya. Ternyata benda tersebut cukup normal di bagian kanan dan kiri, namun jika di kompleks ternyata benar-benar gila.

Efek ini dicapai karena sulit untuk mengatakan dengan jelas di mana letak latar depan dan di mana latar belakang.

Kubus yang tidak rasional

Kubus mustahil (juga dikenal sebagai “kubus Escher”) muncul dalam litograf “Belvedere” oleh Maurits Escher. Tampaknya keberadaan kubus ini melanggar semua hukum dasar geometri. Solusinya, seperti halnya angka-angka mustahil, cukup sederhana: mata manusia cenderung melihat gambar dua dimensi sebagai objek tiga dimensi.

Sedangkan secara tiga dimensi, kubus mustahil akan terlihat seperti ini dan dari titik tertentu akan tampak sama seperti gambar di atas.

Angka-angka mustahil sangat menarik bagi para psikolog, ilmuwan kognitif, dan ahli biologi evolusi, karena membantu untuk memahami lebih banyak tentang visi dan pemikiran spasial kita. Saat ini, teknologi komputer, realitas virtual, dan proyeksi memperluas kemungkinan sehingga objek kontroversial dapat dilihat dengan minat baru.

Selain contoh klasik yang telah kami berikan, masih banyak varian lain dari bentuk mustahil, dan seniman serta ahli matematika memunculkan varian baru dan paradoks. Pematung dan arsitek menggunakan solusi yang mungkin tampak luar biasa, meskipun tampilannya bergantung pada arah pandangan pemirsa (seperti yang dijanjikan Escher - relativitas!).

Anda tidak perlu menjadi seorang arsitek profesional untuk mencoba menciptakan kemustahilan volumetrik. Ada origami gambar yang mustahil - ini dapat diulangi di rumah dengan mengunduh bagian yang kosong.

Sumber daya yang berguna

• The Impossible World adalah sumber daya dalam bahasa Rusia dan Inggris dengan lukisan terkenal, ratusan contoh figur mustahil, dan program untuk menciptakan hal luar biasa sendiri.
• M.C. Escher - situs resmi M.K. Escher, didirikan oleh MC Escher Company (Inggris dan Belanda).
• - karya seniman, artikel, biografi (bahasa Rusia).

Sosok mustahil adalah sosok yang digambarkan dalam sudut pandang sedemikian rupa sehingga sekilas terlihat seperti sosok biasa. Namun, jika diamati lebih dekat, pemirsa akan menyadari bahwa sosok seperti itu tidak mungkin ada dalam ruang tiga dimensi. Escher menggambarkan sosok mustahil dalam lukisannya yang terkenal Belvedere (1958), Ascent and Descend (1960) dan Waterfall (1961). Salah satu contoh sosok mustahil adalah lukisan karya seniman kontemporer Hongaria István Orosz.

Istvan Oros "Persimpangan Jalan" (1999). Reproduksi ukiran logam. Lukisan tersebut menggambarkan jembatan yang tidak mungkin ada dalam ruang tiga dimensi. Misalnya, ada pantulan di air yang tidak bisa menjadi jembatan aslinya.

jalur Mobius

Strip Möbius adalah objek tiga dimensi yang hanya memiliki satu sisi. Pita jenis ini dapat dengan mudah dibuat dari selembar kertas dengan memelintir salah satu ujung pita lalu merekatkan kedua ujungnya. Escher menggambarkan strip Möbius di Riders (1946), Möbius Strip II (Red Ants) (1963) dan Knots (1965).

"Simpul" - Maurits Cornelis Escher 1965

Belakangan, permukaan energi minimum menjadi inspirasi bagi banyak seniman matematika. Brent Collins, menggunakan strip Möbius dan permukaan energi minimum, serta jenis abstraksi lainnya dalam seni pahat.

Perspektif yang terdistorsi dan tidak biasa

Sistem perspektif yang tidak biasa yang memuat dua atau tiga titik hilang juga menjadi tema favorit banyak seniman. Ini juga termasuk bidang terkait - seni anamorphic. Escher menggunakan perspektif yang terdistorsi dalam beberapa karyanya, Above and Below (1947), House of Stairs (1951), dan The Picture Gallery (1956). Dick Termes menggunakan perspektif enam titik untuk menggambar pemandangan pada bola dan polihedra, seperti yang ditunjukkan pada contoh di bawah.

Dick Termes "Kandang untuk Manusia" (1978). Ini adalah bola dicat yang dibuat menggunakan perspektif enam titik. Ini menggambarkan struktur geometris dalam bentuk kisi-kisi yang melaluinya lanskap terlihat. Tiga cabang menembus ke dalam kandang, dan reptil merangkak di sepanjang itu. Sementara beberapa orang menjelajahi dunia, yang lain mendapati diri mereka terkurung.

Kata anamorphic terbentuk dari dua kata Yunani “ana” (lagi) dan morthe (bentuk). Gambar anamorfik adalah gambar yang sangat terdistorsi sehingga tidak mungkin terlihat tanpa cermin khusus. Cermin ini kadang-kadang disebut anamorphoscope. Jika Anda melihat melalui anamorphoscope, gambar tersebut “terbentuk kembali” menjadi gambar yang dapat dikenali. Seniman Eropa pada awal Renaisans terpesona dengan lukisan anamorphic linier, di mana gambar memanjang menjadi normal kembali jika dilihat dari sudut tertentu. Contoh yang terkenal adalah lukisan Hans Holbein "The Ambassadors" (1533), yang menggambarkan tengkorak memanjang. Lukisan tersebut dapat dimiringkan pada bagian atas tangga sehingga orang yang menaiki tangga akan terkejut dengan gambar tengkorak tersebut. Lukisan anamorphic, yang memerlukan cermin silinder untuk melihatnya, populer di Eropa dan Timur pada abad ke-17 dan ke-18. Seringkali gambar seperti itu membawa pesan protes politik atau berisi konten erotis. Escher tidak menggunakan cermin anamorphic klasik dalam karyanya, namun ia menggunakan cermin bola di beberapa lukisannya. Karyanya yang paling terkenal dalam gaya ini adalah “Hand with a Reflecting Sphere” (1935). Contoh di bawah ini menunjukkan gambar anamorphic klasik karya Istvan Orosz.

Istvan Oros "Sumur" (1998). Lukisan "Yah" dicetak dari ukiran logam. Karya tersebut diciptakan untuk memperingati seratus tahun kelahiran M.K. Escher. Escher menulis tentang perjalanan ke seni matematika seperti berjalan melalui taman yang indah di mana tidak ada yang terulang. Gerbang di sisi kiri gambar memisahkan taman matematika Escher, yang terletak di otak, dari dunia fisik. Cermin pecah di sisi kanan lukisan memperlihatkan pemandangan kota kecil Atrani di Pantai Amalfi di Italia. Escher menyukai tempat itu dan tinggal di sana selama beberapa waktu. Ia menggambarkan kota ini dalam lukisan kedua dan ketiga dari seri Metamorphoses. Jika Anda menempatkan cermin silinder di tempat sumur, seperti yang ditunjukkan di sebelah kanan, wajah Escher akan muncul di dalamnya, seolah-olah disihir.