Sifat-sifat sinus dan cosinus. Besaran dasar trigonometri

Apa itu sinus, cosinus, tangen, kotangen suatu sudut akan membantu anda memahami segitiga siku-siku.

Sisi-sisi segitiga siku-siku disebut apa? Benar, sisi miring dan kaki: sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku (dalam contoh kita ini adalah sisi \(AC\)); kaki adalah dua sisi yang tersisa \(AB\) dan \(BC\) (yang berdekatan dengan sudut siku-siku), dan jika kita menganggap kaki-kaki tersebut relatif terhadap sudut \(BC\), maka kaki \(AB\) adalah kaki yang bersebelahan, dan kaki \(BC\) yang berseberangan. Nah, sekarang mari kita jawab pertanyaannya: apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut?

Sinus sudut– ini adalah perbandingan kaki yang berlawanan (jauh) dengan sisi miring.

Dalam segitiga kita:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus sudut– ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

Dalam segitiga kita:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Garis singgung sudut– ini adalah perbandingan sisi yang berlawanan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).

Dalam segitiga kita:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangen sudut– ini adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan kaki yang berlawanan (jauh).

Dalam segitiga kita:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Definisi-definisi ini diperlukan Ingat! Agar lebih mudah mengingat kaki mana yang akan dibagi menjadi apa, Anda perlu memahaminya dengan jelas garis singgung Dan kotangens hanya kakinya yang duduk, dan sisi miring hanya muncul di dalam sinus Dan kosinus. Dan kemudian Anda dapat membuat rantai asosiasi. Misalnya yang ini:

Cosinus→sentuh→sentuh→berdekatan;

Kotangen→sentuh→sentuh→berdekatan.

Pertama-tama, perlu diingat bahwa sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sebagai perbandingan sisi-sisi suatu segitiga tidak bergantung pada panjang sisi-sisi tersebut (pada sudut yang sama). Tidak percaya padaku? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:

Misalnya, cosinus sudut \(\beta \) . Menurut definisi, dari segitiga \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), namun kita dapat menghitung kosinus sudut \(\beta \) dari segitiga \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Soalnya, panjang sisinya berbeda-beda, tetapi nilai cosinus salah satu sudutnya sama. Jadi, nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen hanya bergantung pada besar sudut.

Jika Anda memahami definisinya, lanjutkan dan gabungkan!

Untuk segitiga \(ABC \) yang ditunjukkan pada gambar di bawah, kita temukan \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Nah, apakah kamu mengerti? Kemudian cobalah sendiri: hitung hal yang sama untuk sudut \(\beta \) .

Jawaban: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Lingkaran satuan (trigonometri).

Memahami konsep derajat dan radian, kita menganggap lingkaran dengan jari-jari sama dengan \(1\) . Lingkaran seperti ini disebut lajang. Ini akan sangat berguna ketika mempelajari trigonometri. Oleh karena itu, mari kita lihat lebih detail.

Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun dalam sistem koordinat Cartesian. Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal koordinat, posisi awal vektor jari-jari tetap sepanjang arah positif sumbu \(x\) (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari \(AB\)).

Setiap titik pada lingkaran berhubungan dengan dua angka: koordinat sepanjang sumbu \(x\) dan koordinat sepanjang sumbu \(y\). Berapakah bilangan koordinat tersebut? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang sedang dibahas? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat tentang segitiga siku-siku yang dianggap. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku utuh. Perhatikan segitiga \(ACG\) . Berbentuk persegi panjang karena \(CG\) tegak lurus terhadap sumbu \(x\).

Berapakah \(\cos \ \alpha \) dari segitiga \(ACG \)? Itu benar \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Selain itu, kita mengetahui bahwa \(AC\) adalah jari-jari lingkaran satuan, yang artinya \(AC=1\) . Mari kita substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Berapakah \(\sin \ \alpha \) dari segitiga \(ACG \)? Tentu saja \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Substitusikan nilai jari-jari \(AC\) ke dalam rumus ini dan dapatkan:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Jadi, bisakah kamu mengetahui koordinat titik \(C\) yang termasuk dalam lingkaran? Ya, tidak mungkin? Bagaimana jika Anda menyadari bahwa \(\cos \ \alpha \) dan \(\sin \alpha \) hanyalah angka? Koordinat manakah yang sesuai dengan \(\cos \alpha \)? Tentu saja koordinatnya \(x\)! Dan koordinat \(\sin \alpha \) berhubungan dengan apa? Benar, koordinat \(y\)! Jadi intinya \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Lalu \(tg \alpha \) dan \(ctg \alpha \) sama dengan apa? Itu benar, mari kita gunakan definisi yang sesuai tentang tangen dan kotangen dan dapatkan itu \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Misalnya saja seperti pada gambar ini:

Apa yang berubah dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, mari kita kembali ke segitiga siku-siku. Misalkan segitiga siku-siku \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : sudut (berdekatan dengan sudut \(\beta \) ). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \sudut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat \(y\) ; nilai kosinus sudut - koordinat \(x\) ; dan nilai tangen dan kotangen terhadap perbandingan yang bersangkutan. Jadi, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi vektor radius.

Telah disebutkan bahwa posisi awal vektor jari-jari adalah sepanjang arah positif sumbu \(x\). Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan nilai tertentu, tetapi hanya negatif. Jadi, ketika vektor jari-jari diputar berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam – negatif.

Jadi, kita tahu bahwa seluruh putaran vektor jari-jari mengelilingi lingkaran adalah \(360()^\circ \) atau \(2\pi \) . Apakah mungkin untuk memutar vektor radius sebesar \(390()^\circ \) atau sebesar \(-1140()^\circ \)? Ya, tentu saja bisa! Dalam kasus pertama, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dengan demikian, vektor jari-jari akan membuat satu putaran penuh dan berhenti pada posisi \(30()^\circ \) atau \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Dalam kasus kedua, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), yaitu vektor jari-jari akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti pada posisi \(-60()^\circ \) atau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Jadi, dari contoh di atas kita dapat menyimpulkan bahwa sudut-sudut yang berbeda sebesar \(360()^\circ \cdot m \) atau \(2\pi \cdot m \) (dengan \(m \) adalah bilangan bulat ), sesuai dengan posisi yang sama dari vektor radius.

Gambar di bawah menunjukkan sudut \(\beta =-60()^\circ \) . Gambar yang sama berhubungan dengan sudut \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) dll. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas waktu. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum \(\beta +360()^\circ \cdot m\) atau \(\beta +2\pi \cdot m \) (dengan \(m \) adalah bilangan bulat apa pun)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Nah, setelah mengetahui definisi fungsi dasar trigonometri dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab berapa nilainya:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\teks(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Berikut lingkaran satuan untuk membantu Anda:

Mengalami kesulitan? Kalau begitu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array)\)

Dari sini, kita menentukan koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan besar sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut ke dalam \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) bersesuaian dengan suatu titik dengan koordinat \(\left(0;1 \right) \) , oleh karena itu:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Panah Kanan \text(tg)\ 90()^\circ \)- tidak ada;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Selanjutnya, dengan mengikuti logika yang sama, kita menemukan bahwa sudut-sudutnya masuk \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) sesuai dengan titik-titik dengan koordinat \(\kiri(-1;0 \kanan),\teks( )\kiri(0;-1 \kanan),\teks( )\kiri(1;0 \kanan),\teks( )\kiri(0 ;1 \kanan) \), masing-masing. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik-titik yang bersesuaian. Cobalah sendiri terlebih dahulu, lalu periksa jawabannya.

Jawaban:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Panah Kanan \text(ctg)\ \pi \)- tidak ada

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\teks(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Panah Kanan \teks(tg)\ 270()^\circ \)- tidak ada

\(\teks(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\teks(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\teks(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Panah Kanan \teks(ctg)\ 2\pi \)- tidak ada

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \kanan)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \kanan)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\teks(tg)\ 450()^\circ =\teks(tg)\ \kiri(360()^\circ +90()^\circ \kanan)=\teks(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Panah Kanan \teks(tg)\ 450()^\circ \)- tidak ada

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \kanan)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:

Tidak perlu mengingat semua nilai-nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik-titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:

\(\kiri.\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Anda harus ingat atau bisa menampilkannya!! \) !}

Namun nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) diberikan pada tabel di bawah ini, Anda harus ingat:

Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan kepada Anda salah satu contoh menghafal nilai-nilai terkait yang cukup sederhana:

Untuk menggunakan metode ini, penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), serta nilai garis singgung sudut pada \(30()^\circ \) . Mengetahui nilai \(4\) ini, cukup mudah untuk mengembalikan seluruh tabel - nilai kosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), mengetahui hal ini, Anda dapat mengembalikan nilainya \(\teks(tg)\ 45()^\circ , \teks(tg)\ 60()^\circ \). Pembilang "\(1 \)" akan sesuai dengan \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) dan penyebut "\(\sqrt(\text(3)) \)" akan sesuai dengan \(\teks (tg)\ 60()^\circ \ \) . Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami hal ini dan mengingat diagram dengan panah, maka cukup mengingat nilai \(4\) saja dari tabel.

Koordinat suatu titik pada lingkaran

Mungkinkah mencari suatu titik (koordinatnya) pada sebuah lingkaran dengan mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya, dan sudut rotasinya? Ya, tentu saja bisa! Mari kita turunkan rumus umum untuk mencari koordinat suatu titik. Misalnya, berikut adalah lingkaran di depan kita:

Kita diberikan poin itu \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- pusat lingkaran. Jari-jari lingkaran adalah \(1,5\) . Kita perlu mencari koordinat titik \(P\) yang diperoleh dengan memutar titik \(O\) sebesar \(\delta \) derajat.

Terlihat dari gambar, koordinat \(x\) titik \(P\) sesuai dengan panjang segmen \(TP=UQ=UK+KQ\) . Panjang ruas \(UK\) sesuai dengan koordinat \(x\) pusat lingkaran, yaitu sama dengan \(3\) . Panjang segmen \(KQ\) dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Panah Kanan KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Kemudian kita mendapatkan koordinat titik \(P\). \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Dengan menggunakan logika yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik \(P\) . Dengan demikian,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Jadi, secara umum koordinat titik ditentukan dengan rumus:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Di mana

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinat pusat lingkaran,

\(r\) - jari-jari lingkaran,

\(\delta \) - sudut rotasi jari-jari vektor.

Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang kita pertimbangkan, rumus ini dikurangi secara signifikan, karena koordinat pusatnya sama dengan nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript dinonaktifkan di browser Anda.
Untuk melakukan penghitungan, Anda harus mengaktifkan kontrol ActiveX!

Sinus dan kosinus awalnya muncul dari kebutuhan untuk menghitung besaran pada segitiga siku-siku. Telah diketahui bahwa jika besar derajat sudut-sudut dalam segitiga siku-siku tidak berubah, maka rasio aspeknya, tidak peduli seberapa besar perubahan panjang sisi-sisinya, selalu tetap sama.

Dari sinilah konsep sinus dan cosinus diperkenalkan. Sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi miring, dan kosinus adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi miring.

Teorema cosinus dan sinus

Namun cosinus dan sinus dapat digunakan lebih dari sekedar segitiga siku-siku. Untuk mencari nilai sudut atau sisi tumpul atau lancip suatu segitiga, cukup menerapkan teorema kosinus dan sinus.

Teorema kosinus cukup sederhana: “Kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya dikurangi dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dan kosinus sudut di antara keduanya.”

Ada dua interpretasi teorema sinus: kecil dan diperluas. Menurut anak di bawah umur: “Dalam segitiga, sudut-sudutnya sebanding dengan sisi-sisi yang berhadapan.” Teorema ini sering kali diperluas karena sifat lingkaran yang dibatasi suatu segitiga: “Dalam suatu segitiga, sudut-sudutnya sebanding dengan sisi-sisi yang berhadapan, dan perbandingannya sama dengan diameter lingkaran yang dibatasi itu.”

Derivatif

Turunan adalah alat matematika yang menunjukkan seberapa cepat suatu fungsi berubah relatif terhadap perubahan argumennya. Derivatif digunakan dalam geometri, dan di sejumlah disiplin ilmu teknis.

Saat menyelesaikan masalah, Anda perlu mengetahui nilai tabel turunan fungsi trigonometri: sinus dan kosinus. Turunan sinus adalah cosinus, dan cosinus adalah sinus, tetapi bertanda minus.

Penerapan dalam matematika

Sinus dan cosinus terutama sering digunakan dalam menyelesaikan segitiga siku-siku dan masalah-masalah yang berkaitan dengannya.

Kemudahan sinus dan cosinus juga tercermin dalam teknologi. Sudut dan sisi mudah dievaluasi menggunakan teorema kosinus dan sinus, yang memecah bentuk dan objek kompleks menjadi segitiga “sederhana”. Insinyur yang sering menangani penghitungan rasio aspek dan ukuran derajat menghabiskan banyak waktu dan tenaga untuk menghitung kosinus dan sinus sudut non-tabular.

Kemudian tabel Bradis datang untuk menyelamatkan, berisi ribuan nilai sinus, cosinus, garis singgung, dan kotangen dari berbagai sudut. Di masa Soviet, beberapa guru memaksa siswanya untuk menghafal halaman tabel Bradis.

Radian adalah nilai sudut suatu busur yang panjangnya sama dengan jari-jari atau 57.295779513° derajat.

Derajat (dalam geometri) adalah 1/360 lingkaran atau 1/90 sudut siku-siku.

π = 3,141592653589793238462… (nilai perkiraan Pi).

Tabel kosinus sudut: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Sudut x (dalam derajat)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Sudut x (dalam radian)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
karena x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Kita akan memulai pembelajaran trigonometri dengan segitiga siku-siku. Mari kita definisikan apa itu sinus dan kosinus, serta garis singgung dan kotangen sudut lancip. Ini adalah dasar-dasar trigonometri.

Izinkan kami mengingatkan Anda akan hal itu sudut kanan adalah sudut yang besarnya sama dengan 90 derajat. Dengan kata lain, setengah sudut berubah.

Sudut lancip- kurang dari 90 derajat.

Sudut tumpul- lebih besar dari 90 derajat. Jika diterapkan pada sudut seperti itu, “tumpul” bukanlah sebuah penghinaan, melainkan istilah matematika :-)

Mari kita menggambar segitiga siku-siku. Sudut siku-siku biasanya dilambangkan dengan . Perlu diketahui bahwa sisi yang berhadapan dengan sudut ditandai dengan huruf yang sama, hanya kecil. Jadi, sisi yang berhadapan dengan sudut A disebut .

Sudut dilambangkan dengan huruf Yunani yang sesuai.

Sisi miring segitiga siku-siku adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku.

Kaki- sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut lancip.

Kaki yang terletak berhadapan dengan sudut disebut di depan(relatif terhadap sudut). Kaki lainnya yang terletak pada salah satu sisi sudut disebut bersebelahan.

Sinus Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring:

Kosinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku - rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring:

Garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku - perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan:

Definisi lain (yang setara): garis singgung sudut lancip adalah perbandingan sinus sudut dengan kosinusnya:

Kotangens sudut lancip dalam segitiga siku-siku - perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berlawanan (atau, yang sama, perbandingan kosinus dan sinus):

Perhatikan hubungan dasar sinus, cosinus, tangen, dan kotangen di bawah ini. Mereka akan berguna bagi kita ketika memecahkan masalah.

Mari kita buktikan beberapa di antaranya.

Oke, kami sudah memberikan definisi dan menuliskan rumusnya. Tapi kenapa kita masih membutuhkan sinus, cosinus, tangen dan kotangen?

Kami tahu itu jumlah sudut suatu segitiga sama dengan.

Kita tahu hubungan antara keduanya pesta segitiga siku-siku. Ini adalah teorema Pythagoras: .

Ternyata dengan mengetahui dua sudut dalam sebuah segitiga, Anda bisa menemukan sudut ketiga. Mengetahui kedua sisi segitiga siku-siku, Anda dapat menemukan sisi ketiga. Artinya sudut-sudutnya mempunyai perbandingannya sendiri-sendiri, dan sisi-sisinya mempunyai perbandingannya sendiri-sendiri. Namun apa yang harus kamu lakukan jika dalam segitiga siku-siku kamu mengetahui satu sudut (kecuali sudut siku-siku) dan satu sisinya, tetapi kamu perlu mencari sisi-sisi lainnya?

Inilah yang dihadapi orang-orang di masa lalu ketika membuat peta wilayah dan langit berbintang. Lagi pula, tidak selalu mungkin untuk mengukur semua sisi segitiga secara langsung.

Sinus, kosinus, dan tangen - disebut juga fungsi sudut trigonometri- berikan hubungan antar pesta Dan sudut segi tiga. Mengetahui sudut, Anda dapat mengetahui semua fungsi trigonometrinya menggunakan tabel khusus. Dan dengan mengetahui sinus, cosinus, dan garis singgung sudut segitiga dan salah satu sisinya, Anda dapat mengetahui sisanya.

Kami juga akan menggambar tabel nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen untuk sudut “baik” dari ke.

Harap perhatikan dua garis merah pada tabel. Pada nilai sudut yang sesuai, garis singgung dan kotangen tidak ada.

Mari kita lihat beberapa soal trigonometri dari Bank Tugas FIPI.

1. Dalam suatu segitiga, sudutnya adalah , . Menemukan .

Masalahnya terpecahkan dalam empat detik.

Sejak , .

2. Sudut dalam segitiga adalah , , . Menemukan .

Mari kita cari menggunakan teorema Pythagoras.

Masalahnya terpecahkan.

Seringkali dalam soal ada segitiga dengan sudut dan atau dengan sudut dan. Ingat rasio dasar mereka dengan hati!

Untuk segitiga yang sudutnya dan kaki yang berhadapan dengan sudut di sama dengan setengah dari sisi miring.

Segitiga yang mempunyai sudut dan sama kaki. Di dalamnya, sisi miringnya beberapa kali lebih besar dari kakinya.

Kami melihat masalah penyelesaian segitiga siku-siku - yaitu, menemukan sisi atau sudut yang tidak diketahui. Tapi bukan itu saja! Banyak sekali soal-soal UN matematika yang menyangkut sinus, cosinus, tangen atau kotangen sudut luar suatu segitiga. Lebih lanjut tentang ini di artikel berikutnya.

Trigonometri adalah salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari fungsi trigonometri dan kegunaannya dalam geometri. Perkembangan trigonometri dimulai pada zaman Yunani kuno. Selama Abad Pertengahan, para ilmuwan dari Timur Tengah dan India memberikan kontribusi penting bagi perkembangan ilmu ini.

Artikel ini dikhususkan untuk konsep dasar dan definisi trigonometri. Membahas tentang pengertian fungsi dasar trigonometri: sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Maknanya dijelaskan dan diilustrasikan dalam konteks geometri.

Yandex.RTB RA-339285-1

Awalnya, definisi fungsi trigonometri yang argumennya adalah sudut dinyatakan dalam perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku.

Definisi fungsi trigonometri

Sinus suatu sudut (sin α) adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut tersebut dengan sisi miringnya.

Kosinus sudut (cos α) - rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Sudut singgung (t g α) - perbandingan sisi yang berlawanan dengan sisi yang berdekatan.

Kotangen sudut (c t g α) - rasio sisi yang berdekatan dengan sisi yang berlawanan.

Definisi berikut diberikan untuk sudut lancip segitiga siku-siku!

Mari kita beri ilustrasi.

Pada segitiga ABC dengan sudut siku-siku C, sinus sudut A sama dengan perbandingan kaki BC dan sisi miring AB.

Definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen memungkinkan Anda menghitung nilai fungsi-fungsi ini dari panjang sisi-sisi segitiga yang diketahui.

Penting untuk diingat!

Kisaran nilai sinus dan kosinus adalah dari -1 sampai 1. Dengan kata lain sinus dan kosinus mengambil nilai dari -1 sampai 1. Kisaran nilai tangen dan kotangen adalah seluruh garis bilangan, artinya, fungsi-fungsi ini dapat mengambil nilai apa pun.

Definisi yang diberikan di atas berlaku untuk sudut lancip. Dalam trigonometri, konsep sudut rotasi diperkenalkan, yang nilainya, tidak seperti sudut lancip, tidak dibatasi pada 0 hingga 90 derajat. Sudut rotasi dalam derajat atau radian dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari - ∞ hingga + ∞.

Dalam konteks ini, kita dapat mendefinisikan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut yang besarnya berubah-ubah. Mari kita bayangkan sebuah lingkaran satuan dengan pusatnya di titik asal sistem koordinat Kartesius.

Titik awal A dengan koordinat (1, 0) berputar mengelilingi pusat lingkaran satuan melalui sudut tertentu dan menuju ke titik A 1. Definisi tersebut diberikan dalam bentuk koordinat titik A 1 (x, y).

Sinus (sin) sudut rotasi

Sinus sudut rotasi adalah ordinat titik A 1 (x, y). dosa α = y

Cosinus (cos) dari sudut rotasi

Kosinus sudut rotasi adalah absis titik A 1 (x, y). karena α = x

Tangen (tg) sudut putaran

Garis singgung sudut rotasi adalah perbandingan ordinat titik A 1 (x, y) dengan absisnya. tg α = yx

Kotangen (ctg) dari sudut rotasi

Kotangen sudut rotasi adalah perbandingan absis titik A 1 (x, y) terhadap ordinatnya. ctg α = x y

Sinus dan kosinus ditentukan untuk setiap sudut rotasi. Hal ini logis, karena absis dan ordinat suatu titik setelah rotasi dapat ditentukan pada sudut mana pun. Lain halnya dengan tangen dan kotangen. Garis singgung tidak terdefinisi bila suatu titik setelah rotasi menuju ke titik yang absisnya nol (0, 1) dan (0, - 1). Dalam kasus seperti itu, ekspresi tangen t g α = y x tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Situasinya mirip dengan kotangen. Perbedaannya adalah kotangen tidak terdefinisi jika ordinat suatu titik mendekati nol.

Penting untuk diingat!

Sinus dan kosinus didefinisikan untuk sembarang sudut α.

Garis singgung didefinisikan untuk semua sudut kecuali α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangen didefinisikan untuk semua sudut kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Saat menyelesaikan contoh praktis, jangan ucapkan “sinus sudut rotasi α”. Kata “sudut rotasi” dihilangkan begitu saja, menyiratkan bahwa dari konteksnya sudah jelas apa yang sedang dibahas.

Angka

Bagaimana dengan menentukan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan, bukan sudut rotasinya?

Sinus, cosinus, tangen, kotangen suatu bilangan

Sinus, cosinus, tangen dan kotangen suatu bilangan T adalah bilangan yang masing-masing sama dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen in T radian.

Misalnya sinus bilangan 10 π sama dengan sinus sudut rotasi 10 π rad.

Ada pendekatan lain untuk menentukan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan. Mari kita lihat lebih dekat.

Bilangan real apa pun T suatu titik pada lingkaran satuan dikaitkan dengan pusat di titik asal sistem koordinat kartesius persegi panjang. Sinus, cosinus, tangen dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini.

Titik pangkal lingkaran adalah titik A dengan koordinat (1, 0).

Angka positif T

Angka negatif T sesuai dengan titik yang akan dituju oleh titik awal jika bergerak mengelilingi lingkaran berlawanan arah jarum jam dan melewati lintasan t.

Setelah hubungan antara bilangan dan titik pada lingkaran telah diketahui, kita beralih ke definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen.

Sinus (dosa) dari t

Sinus suatu bilangan T- ordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan tersebut T. dosa t = y

Kosinus (cos) dari t

Kosinus suatu bilangan T- absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan tersebut T. biaya t = x

Garis singgung (tg) dari t

Garis singgung suatu bilangan T- rasio ordinat terhadap absis suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan tersebut T. t g t = y x = dosa t biaya t

Definisi yang terakhir ini sesuai dan tidak bertentangan dengan definisi yang diberikan pada awal paragraf ini. Tunjuk lingkaran yang sesuai dengan nomor tersebut T, bertepatan dengan titik tujuan titik awal setelah berbelok suatu sudut T radian.

Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik

Setiap nilai sudut α sesuai dengan nilai sinus dan kosinus tertentu dari sudut tersebut. Sama seperti semua sudut α selain α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) bersesuaian dengan nilai tangen tertentu. Kotangen, sebagaimana dinyatakan di atas, didefinisikan untuk semua α kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Kita dapat mengatakan bahwa sin α, cos α, t g α, c t g α adalah fungsi dari sudut alpha, atau fungsi dari argumen sudut.

Demikian pula, kita dapat membicarakan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen sebagai fungsi argumen numerik. Setiap bilangan real T sesuai dengan nilai tertentu dari sinus atau kosinus suatu bilangan T. Semua bilangan selain π 2 + π · k, k ∈ Z, berhubungan dengan nilai tangen. Kotangen juga didefinisikan untuk semua bilangan kecuali π · k, k ∈ Z.

Fungsi dasar trigonometri

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen adalah fungsi dasar trigonometri.

Biasanya jelas dari konteks argumen fungsi trigonometri mana (argumen sudut atau argumen numerik) yang kita hadapi.

Mari kita kembali ke definisi yang diberikan di awal dan sudut alfa, yang berkisar antara 0 hingga 90 derajat. Definisi trigonometri sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sepenuhnya konsisten dengan definisi geometri yang diberikan oleh perbandingan aspek segitiga siku-siku. Mari kita tunjukkan.

Mari kita ambil lingkaran satuan yang berpusat pada sistem koordinat kartesius persegi panjang. Mari kita putar titik awal A (1, 0) dengan sudut hingga 90 derajat dan gambar garis tegak lurus terhadap sumbu absis dari titik yang dihasilkan A 1 (x, y). Pada segitiga siku-siku yang dihasilkan, sudut A 1 O H sama dengan sudut putar , panjang kaki O H sama dengan absis titik A 1 (x, y). Panjang kaki yang berhadapan dengan sudut sama dengan ordinat titik A 1 (x, y), dan panjang sisi miringnya sama dengan satu, karena merupakan jari-jari lingkaran satuan.

Sesuai dengan definisi geometri, sinus sudut α sama dengan perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring.

dosa α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Artinya, menentukan sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku melalui rasio aspek sama dengan menentukan sinus sudut rotasi α, dengan alfa berada pada kisaran 0 hingga 90 derajat.

Demikian pula, korespondensi definisi dapat ditampilkan untuk kosinus, tangen, dan kotangen.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter

Pertama, perhatikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 dan berpusat di (0;0). Untuk αЄR apa pun, jari-jari 0A dapat ditarik sehingga ukuran radian sudut antara 0A dan sumbu 0x sama dengan α. Arah berlawanan jarum jam dianggap positif. Misalkan ujung jari-jari A mempunyai koordinat (a,b).

Definisi sinus

Definisi: Bilangan b, sama dengan ordinat jari-jari satuan yang dibangun dengan cara yang dijelaskan, dilambangkan dengan sinα dan disebut sinus sudut α.

Contoh: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Definisi kosinus

Definisi: Bilangan a, sama dengan absis ujung jari-jari satuan yang dibangun dengan cara yang dijelaskan, dilambangkan dengan cosα dan disebut kosinus sudut α.

Contoh: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

Contoh-contoh ini menggunakan definisi sinus dan kosinus suatu sudut dalam koordinat ujung jari-jari satuan dan lingkaran satuan. Untuk representasi yang lebih visual, Anda perlu menggambar lingkaran satuan dan memplot titik-titik yang sesuai di atasnya, lalu menghitung absisnya untuk menghitung kosinus dan ordinat untuk menghitung sinus.

Definisi garis singgung

Definisi: Fungsi tgx=sinx/cosx untuk x≠π/2+πk, kЄZ, disebut kotangen sudut x. Daerah definisi fungsi tgx adalah semua bilangan real, kecuali x=π/2+πn, nЄZ.

Contoh: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Contoh ini mirip dengan contoh sebelumnya. Untuk menghitung garis singgung suatu sudut, Anda perlu membagi ordinat suatu titik dengan absisnya.

Definisi kotangen

Definisi: Fungsi ctgx=cosx/sinx untuk x≠πk, kЄZ disebut kotangen sudut x. Daerah definisi fungsi ctgx = adalah semua bilangan real kecuali titik x=πk, kЄZ.

Mari kita lihat contoh penggunaan segitiga siku-siku beraturan

Agar lebih jelas apa itu cosinus, sinus, tangen, dan kotangen. Mari kita perhatikan contoh segitiga siku-siku beraturan dengan sudut y dan sisi a,b,c. Sisi miring c, masing-masing kaki a dan b. Sudut antara sisi miring c dan kaki b y.

Definisi: Sinus sudut y adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring: siny = a/c

Definisi: Kosinus sudut y adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring: cosy= in/c

Definisi: Garis singgung sudut y adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi berdekatan: tgy = a/b

Definisi: Kotangen sudut y adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan: ctgy= in/a

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen disebut juga fungsi trigonometri. Setiap sudut mempunyai sinus dan cosinus masing-masing. Dan hampir setiap orang memiliki garis singgung dan kotangennya masing-masing.

Dipercaya bahwa jika kita diberi sudut, maka sinus, kosinus, tangen, dan kotangennya akan kita ketahui! Dan sebaliknya. Diberikan sinus, atau fungsi trigonometri lainnya, kita mengetahui sudutnya. Bahkan tabel khusus telah dibuat dimana fungsi trigonometri ditulis untuk setiap sudut.