Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode yang berbeda. Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan

Materi artikel ini ditujukan untuk pengenalan pertama tentang sistem persamaan. Di sini kami akan memperkenalkan definisi sistem persamaan dan solusinya, serta mempertimbangkan jenis sistem persamaan yang paling umum. Seperti biasa, kami akan memberikan contoh penjelasan.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan?

Kita akan mendekati definisi sistem persamaan secara bertahap. Pertama, anggap saja nyaman untuk memberikannya, dengan menunjukkan dua hal: pertama, jenis rekaman, dan kedua, makna yang terkandung dalam rekaman ini. Mari kita lihat satu per satu, lalu menggeneralisasi alasannya ke dalam definisi sistem persamaan.

Biarlah ada beberapa dari mereka di depan kita. Sebagai contoh, mari kita ambil dua persamaan 2 x+y=−3 dan x=5. Mari kita tuliskan satu di bawah yang lain dan gabungkan di sebelah kiri dengan kurung kurawal:

Catatan jenis ini, yaitu beberapa persamaan yang disusun dalam satu kolom dan disatukan di sebelah kiri dengan tanda kurung kurawal, merupakan catatan sistem persamaan.

Apa arti entri tersebut? Mereka mendefinisikan himpunan semua solusi persamaan sistem yang merupakan solusi untuk setiap persamaan.

Tidak ada salahnya untuk menggambarkannya dengan kata lain. Katakanlah beberapa solusi persamaan pertama adalah solusi semua persamaan sistem lainnya. Jadi catatan sistem hanya berarti mereka.

Sekarang kita siap menerima definisi sistem persamaan secara memadai.

Definisi.

Sistem persamaan catatan panggilan yaitu persamaan yang terletak satu di bawah yang lain, disatukan di sebelah kiri dengan tanda kurung kurawal, yang menunjukkan himpunan semua solusi persamaan yang juga merupakan solusi untuk setiap persamaan sistem.

Definisi serupa diberikan dalam buku teks, namun definisi tersebut diberikan bukan untuk kasus umum, tetapi untuk dua persamaan rasional dengan dua variabel.

Tipe utama

Jelas bahwa ada banyak sekali persamaan yang berbeda. Secara alami, ada juga sistem persamaan yang jumlahnya tak terbatas yang disusun menggunakan mereka. Oleh karena itu, untuk kenyamanan mempelajari dan bekerja dengan sistem persamaan, masuk akal untuk membaginya ke dalam kelompok-kelompok sesuai dengan karakteristik yang serupa, dan kemudian melanjutkan untuk mempertimbangkan sistem persamaan tipe individu.

Pembagian pertama menunjukkan jumlah persamaan yang termasuk dalam sistem. Jika ada dua persamaan, maka kita dapat mengatakan bahwa kita mempunyai sistem dua persamaan, jika ada tiga, maka sistem tiga persamaan, dan seterusnya. Jelas bahwa tidak masuk akal membicarakan sistem persamaan tunggal, karena dalam kasus ini, pada dasarnya, kita berurusan dengan persamaan itu sendiri, dan bukan dengan sistem.

Pembagian selanjutnya didasarkan pada jumlah variabel yang terlibat dalam penulisan persamaan sistem. Jika ada satu variabel, maka kita berhadapan dengan sistem persamaan dengan satu variabel (disebut juga dengan satu variabel yang tidak diketahui), jika ada dua, maka dengan sistem persamaan dengan dua variabel (dengan dua variabel yang tidak diketahui), dan seterusnya. Misalnya, adalah sistem persamaan dengan dua variabel x dan y.

Ini mengacu pada jumlah semua variabel berbeda yang terlibat dalam pencatatan. Mereka tidak harus semuanya dimasukkan dalam catatan setiap persamaan sekaligus; kehadiran mereka dalam setidaknya satu persamaan sudah cukup. Misalnya, adalah sistem persamaan dengan tiga variabel x, y dan z. Pada persamaan pertama, variabel x hadir secara eksplisit, dan y dan z bersifat implisit (kita dapat berasumsi bahwa variabel-variabel ini memiliki nol), dan pada persamaan kedua terdapat x dan z, tetapi variabel y tidak disajikan secara eksplisit. Dengan kata lain, persamaan pertama dapat dipandang sebagai , dan yang kedua – sebagai x+0·y−3·z=0.

Hal ketiga yang membedakan sistem persamaan adalah jenis persamaan itu sendiri.

Di sekolah, pembelajaran sistem persamaan dimulai dengan sistem dua persamaan linear dalam dua variabel. Artinya, sistem seperti itu merupakan dua persamaan linier. Berikut beberapa contohnya: Dan . Mereka mempelajari dasar-dasar bekerja dengan sistem persamaan.

Saat memecahkan masalah yang lebih kompleks, Anda mungkin juga menemukan sistem tiga persamaan linier dengan tiga persamaan yang tidak diketahui.

Selanjutnya di kelas 9, persamaan nonlinier ditambahkan ke sistem dua persamaan dengan dua variabel, sebagian besar seluruh persamaan derajat kedua, lebih jarang - derajat yang lebih tinggi. Sistem ini disebut sistem persamaan nonlinier; jika perlu, jumlah persamaan dan persamaan yang tidak diketahui ditentukan. Mari kita tunjukkan contoh sistem persamaan nonlinier tersebut: Dan .

Lalu di dalam sistem juga ada, misalnya, . Mereka biasanya hanya disebut sistem persamaan, tanpa menentukan persamaan yang mana. Perlu dicatat di sini bahwa sering kali sistem persamaan hanya disebut sebagai “sistem persamaan”, dan klarifikasi ditambahkan hanya jika diperlukan.

Di sekolah menengah, seiring dengan pembelajaran materi, persamaan irasional, trigonometri, logaritma, dan eksponensial menembus ke dalam sistem: , , .

Jika kita melihat lebih jauh kurikulum universitas tahun pertama, penekanan utamanya adalah pada studi dan penyelesaian sistem persamaan aljabar linier (SLAE), yaitu persamaan yang ruas kirinya berisi polinomial derajat pertama, dan sisi kanannya berisi angka-angka tertentu. Namun di sana, berbeda dengan di sekolah, mereka tidak lagi mengambil dua persamaan linier dengan dua variabel, melainkan sejumlah persamaan yang berubah-ubah dengan jumlah variabel yang berubah-ubah, yang seringkali tidak sesuai dengan jumlah persamaannya.

Apa solusi dari sistem persamaan?

Istilah “penyelesaian sistem persamaan” secara langsung mengacu pada sistem persamaan. Di sekolah diberikan definisi penyelesaian sistem persamaan dengan dua variabel :

Definisi.

Menyelesaikan sistem persamaan dengan dua variabel disebut pasangan nilai dari variabel-variabel tersebut yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan yang benar, dengan kata lain merupakan penyelesaian dari setiap persamaan sistem.

Misalnya sepasang nilai variabel x=5, y=2 (dapat dituliskan (5, 2)) merupakan penyelesaian sistem persamaan menurut definisinya, karena persamaan sistem tersebut, ketika x= 5, y=2 disubstitusikan ke dalamnya, diubah menjadi persamaan numerik yang benar masing-masing 5+2=7 dan 5−2=3. Tetapi pasangan nilai x=3, y=0 bukanlah solusi untuk sistem ini, karena ketika nilai-nilai ini disubstitusikan ke dalam persamaan, nilai pertama akan berubah menjadi persamaan yang salah 3+0=7.

Definisi serupa dapat dirumuskan untuk sistem dengan satu variabel, serta untuk sistem dengan tiga, empat, dan seterusnya. variabel.

Definisi.

Memecahkan sistem persamaan dengan satu variabel akan ada nilai variabel yang merupakan akar dari semua persamaan sistem, yaitu mengubah semua persamaan menjadi persamaan numerik yang benar.

Mari kita beri contoh. Pertimbangkan sistem persamaan dengan satu variabel berbentuk t . Bilangan −2 adalah penyelesaiannya, karena (−2) 2 =4 dan 5·(−2+2)=0 merupakan persamaan numerik yang sebenarnya. Dan t=1 bukanlah penyelesaian sistem, karena mensubstitusi nilai ini akan menghasilkan dua persamaan yang salah 1 2 =4 dan 5·(1+2)=0.

Definisi.

Menyelesaikan sistem dengan tiga, empat, dst. variabel disebut tiga, empat, dst. nilai-nilai variabel, masing-masing, mengubah semua persamaan sistem menjadi persamaan yang sebenarnya.

Jadi, menurut definisi, tripel nilai variabel x=1, y=2, z=0 adalah solusi sistem , karena 2·1=2, 5·2=10 dan 1+2+0=3 adalah persamaan numerik yang benar. Dan (1, 0, 5) bukanlah solusi untuk sistem ini, karena ketika nilai-nilai variabel ini disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, persamaan kedua berubah menjadi persamaan yang salah 5·0=10, dan persamaan ketiga juga 1+0+5=3.

Perhatikan bahwa sistem persamaan mungkin tidak memiliki solusi, mungkin memiliki jumlah solusi yang terbatas, misalnya satu, dua, ..., atau mungkin memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Anda akan melihat ini saat Anda mempelajari topik ini lebih dalam.

Dengan memperhatikan pengertian sistem persamaan dan penyelesaiannya, kita dapat menyimpulkan bahwa penyelesaian suatu sistem persamaan adalah perpotongan himpunan penyelesaian semua persamaannya.

Sebagai kesimpulan, berikut adalah beberapa definisi terkait:

Definisi.

non-bersama, jika tidak memiliki solusi, jika tidak, sistem akan dipanggil persendian.

Definisi.

Sistem persamaan disebut tidak pasti, jika ia mempunyai banyak solusi yang tak terhingga, dan yakin, jika ia mempunyai jumlah solusi yang terbatas atau tidak mempunyai solusi sama sekali.

Istilah-istilah ini diperkenalkan, misalnya, dalam buku teks, tetapi jarang digunakan di sekolah; istilah-istilah ini lebih sering terdengar di lembaga pendidikan tinggi.

Referensi.

Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 7. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 7. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-17, tambahkan. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 9. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-13, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A.G. Aljabar dan awal mula analisis matematika. kelas 11. Dalam 2 bagian. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk kelas 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov. - Edisi ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 hal.: sakit.
A.G.Kurosh. Kursus aljabar yang lebih tinggi.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometri analitik: Buku Ajar: Untuk universitas. – edisi ke-5. – M.: Sains. Fizmatlit, 1999. – 224 hal. – (Mata kuliah matematika tinggi dan fisika matematika). – ISBN 5-02-015234 – X (Edisi 3)

Lebih dapat diandalkan daripada metode grafis yang dibahas pada paragraf sebelumnya.

Metode substitusi

Kami menggunakan metode ini di kelas 7 untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Algoritma yang dikembangkan di kelas 7 cukup cocok untuk menyelesaikan sistem dua persamaan apa pun (tidak harus linier) dengan dua variabel x dan y (tentu saja, variabel tersebut dapat dilambangkan dengan huruf lain, tidak masalah). Faktanya, kami menggunakan algoritma ini pada paragraf sebelumnya, ketika masalah bilangan dua digit mengarah pada model matematika, yaitu sistem persamaan. Kami menyelesaikan sistem persamaan di atas menggunakan metode substitusi (lihat contoh 1 dari § 4).

Algoritma penggunaan metode substitusi ketika menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel x, y.

1. Nyatakan y dalam bentuk x dari salah satu persamaan sistem.
2. Substitusikan ekspresi yang dihasilkan sebagai pengganti y ke dalam persamaan sistem yang lain.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x.
4. Substitusikan masing-masing akar persamaan yang ditemukan pada langkah ketiga sebagai ganti x ke dalam ekspresi y hingga x yang diperoleh pada langkah pertama.
5. Tulislah jawabannya dalam bentuk pasangan nilai (x;y) yang masing-masing terdapat pada langkah ketiga dan keempat.

4) Substitusikan satu per satu masing-masing nilai y yang ditemukan ke dalam rumus x = 5 - 3. Jika kemudian
5) Pasangan (2; 1) dan solusi dari sistem persamaan tertentu.

Jawaban: (2; 1);

Metode penjumlahan aljabar

Metode ini, seperti metode substitusi, sudah Anda kenal dari mata pelajaran aljabar kelas 7, yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Mari kita mengingat kembali esensi metode ini dengan menggunakan contoh berikut.

Contoh 2. Memecahkan sistem persamaan

Mari kita kalikan semua suku persamaan pertama sistem dengan 3, dan biarkan persamaan kedua tidak berubah:
Kurangi persamaan kedua sistem dari persamaan pertama:

Sebagai hasil penjumlahan aljabar dua persamaan sistem asal, diperoleh persamaan yang lebih sederhana dari persamaan pertama dan kedua sistem yang diberikan. Dengan persamaan yang lebih sederhana ini kita berhak mengganti persamaan apa pun dari sistem tertentu, misalnya persamaan kedua. Kemudian sistem persamaan yang diberikan akan diganti dengan sistem yang lebih sederhana:

Sistem ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode substitusi. Dari persamaan kedua kita temukan. Dengan mengganti persamaan ini dengan persamaan pertama sistem, kita peroleh

Tetap mengganti nilai x yang ditemukan ke dalam rumus

Jika x = 2 maka

Jadi, kami menemukan dua solusi untuk sistem ini:

Metode untuk memperkenalkan variabel baru

Anda diperkenalkan dengan metode memasukkan variabel baru saat menyelesaikan persamaan rasional dengan satu variabel pada mata pelajaran aljabar kelas 8. Inti dari metode penyelesaian sistem persamaan ini adalah sama, namun dari segi teknis ada beberapa ciri yang akan kita bahas pada contoh berikut.

Contoh 3. Memecahkan sistem persamaan

Mari kita perkenalkan variabel baru. Kemudian persamaan pertama sistem tersebut dapat ditulis ulang dalam bentuk yang lebih sederhana: Mari kita selesaikan persamaan ini terhadap variabel t:

Kedua nilai ini memenuhi syarat dan oleh karena itu merupakan akar persamaan rasional dengan variabel t. Tapi itu berarti ketika kita menemukan bahwa x = 2y, atau
Jadi, dengan menggunakan metode memasukkan variabel baru, kami berhasil mengurutkan “stratifikasi” persamaan pertama sistem, yang tampilannya cukup rumit, menjadi dua persamaan yang lebih sederhana:

x = 2 tahun; kamu - 2x.

Apa selanjutnya? Kemudian masing-masing dari dua persamaan sederhana yang diperoleh harus dipertimbangkan secara bergantian dalam sistem dengan persamaan x 2 - y 2 = 3, yang belum kita ingat. Dengan kata lain, masalahnya adalah menyelesaikan dua sistem persamaan:

Kita perlu mencari solusi untuk sistem pertama, sistem kedua, dan memasukkan semua pasangan nilai yang dihasilkan ke dalam jawabannya. Mari selesaikan sistem persamaan pertama:

Mari kita gunakan metode substitusi, terutama karena semuanya sudah siap di sini: mari kita substitusikan ekspresi 2y sebagai pengganti x ke dalam persamaan kedua sistem. Kami mengerti

Karena x = 2y, kita masing-masing mencari x 1 = 2, x 2 = 2. Jadi, diperoleh dua solusi dari sistem yang diberikan: (2; 1) dan (-2; -1). Mari kita selesaikan sistem persamaan kedua:

Mari kita gunakan metode substitusi lagi: substitusikan ekspresi 2x sebagai pengganti y ke dalam persamaan kedua sistem. Kami mengerti

Persamaan ini tidak mempunyai akar, artinya sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Jadi, hanya solusi dari sistem pertama yang perlu disertakan dalam jawabannya.

Jawaban: (2; 1); (-2;-1).

Metode memasukkan variabel baru ketika menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel digunakan dalam dua versi. Opsi pertama: satu variabel baru diperkenalkan dan digunakan hanya dalam satu persamaan sistem. Inilah yang terjadi pada contoh 3. Opsi kedua: dua variabel baru dimasukkan dan digunakan secara bersamaan di kedua persamaan sistem. Hal ini akan terjadi pada contoh 4.

Contoh 4. Memecahkan sistem persamaan

Mari perkenalkan dua variabel baru:

Mari kita pertimbangkan hal itu

Ini akan memungkinkan Anda untuk menulis ulang sistem yang diberikan dalam bentuk yang lebih sederhana, tetapi sehubungan dengan variabel baru a dan b:

Karena a = 1, maka dari persamaan a + 6 = 2 kita peroleh: 1 + 6 = 2; 6=1. Jadi, mengenai variabel a dan b, kita mendapat satu solusi:

Kembali ke variabel x dan y, kita memperoleh sistem persamaan

Mari kita terapkan metode penjumlahan aljabar untuk menyelesaikan sistem ini:

Sejak itu dari persamaan 2x + y = 3 kita temukan:
Jadi, mengenai variabel x dan y, kita mendapat satu solusi:

Mari kita akhiri paragraf ini dengan percakapan teoretis yang singkat namun serius. Anda telah memperoleh pengalaman dalam menyelesaikan berbagai persamaan: linier, kuadrat, rasional, irasional. Anda tahu bahwa ide utama menyelesaikan suatu persamaan adalah berpindah secara bertahap dari satu persamaan ke persamaan lainnya, lebih sederhana, tetapi setara dengan persamaan yang diberikan. Pada paragraf sebelumnya kita telah memperkenalkan konsep kesetaraan untuk persamaan dengan dua variabel. Konsep ini juga digunakan untuk sistem persamaan.

Definisi.

Dua sistem persamaan dengan variabel x dan y disebut ekuivalen jika keduanya mempunyai solusi yang sama atau jika kedua sistem tidak mempunyai solusi.

Ketiga metode (substitusi, penjumlahan aljabar, dan memasukkan variabel baru) yang kita bahas di bagian ini sepenuhnya benar dalam hal kesetaraan. Dengan kata lain, dengan menggunakan metode ini, kami mengganti satu sistem persamaan dengan sistem persamaan lain yang lebih sederhana, tetapi setara dengan sistem aslinya.

Metode grafis untuk menyelesaikan sistem persamaan

Kita telah mempelajari cara menyelesaikan sistem persamaan dengan cara yang umum dan dapat diandalkan seperti metode substitusi, penjumlahan aljabar, dan pengenalan variabel baru. Sekarang mari kita ingat metode yang telah Anda pelajari pada pelajaran sebelumnya. Yaitu, ulangi apa yang Anda ketahui tentang metode solusi grafis.

Metode penyelesaian sistem persamaan secara grafis melibatkan pembuatan grafik untuk setiap persamaan tertentu yang termasuk dalam sistem tertentu dan terletak pada bidang koordinat yang sama, serta di mana perlu untuk menemukan perpotongan titik-titik tersebut. grafik. Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah koordinat titik ini (x; y).

Harus diingat bahwa sistem persamaan grafis biasanya mempunyai satu solusi yang benar, atau solusi yang jumlahnya tak terhingga, atau tidak memiliki solusi sama sekali.

Sekarang mari kita lihat masing-masing solusi ini secara lebih rinci. Jadi, suatu sistem persamaan dapat memiliki solusi unik jika garis-garis yang merupakan grafik persamaan sistem tersebut berpotongan. Jika garis-garis ini sejajar, maka sistem persamaan seperti itu sama sekali tidak mempunyai solusi. Jika grafik garis lurus persamaan sistem bertepatan, maka sistem seperti itu memungkinkan seseorang menemukan banyak solusi.

Nah, sekarang mari kita lihat algoritma penyelesaian sistem dua persamaan dengan 2 yang tidak diketahui menggunakan metode grafis:

Pertama, pertama kita buat grafik persamaan ke-1;
Langkah kedua adalah membuat grafik yang berhubungan dengan persamaan kedua;
Ketiga, kita perlu mencari titik potong grafiknya.
Hasilnya, kita mendapatkan koordinat setiap titik potong yang akan menjadi solusi sistem persamaan tersebut.

Mari kita lihat metode ini lebih detail menggunakan sebuah contoh. Kita diberikan sistem persamaan yang perlu diselesaikan:

Memecahkan persamaan

1. Pertama, kita akan membuat grafik persamaan ini: x2+y2=9.

Namun perlu diperhatikan bahwa grafik persamaan ini akan berupa lingkaran dengan pusat di titik asal, dan jari-jarinya sama dengan tiga.

2. Langkah selanjutnya adalah membuat grafik persamaan seperti: y = x – 3.

Dalam hal ini, kita harus membuat garis lurus dan mencari titik (0;−3) dan (3;0).

3. Mari kita lihat apa yang kita dapat. Kita melihat bahwa garis lurus memotong lingkaran di dua titik A dan B.

Sekarang kita mencari koordinat titik-titik tersebut. Kita melihat bahwa koordinat (3;0) berhubungan dengan titik A, dan koordinat (0;−3) berhubungan dengan titik B.

Dan apa yang kita dapatkan sebagai hasilnya?

Bilangan (3;0) dan (0;−3) yang diperoleh ketika garis memotong lingkaran merupakan penyelesaian kedua persamaan sistem tersebut. Oleh karena itu, bilangan-bilangan ini juga merupakan solusi dari sistem persamaan ini.

Artinya, jawaban penyelesaian ini adalah bilangan: (3;0) dan (0;−3).

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE) tidak diragukan lagi merupakan topik terpenting dalam mata kuliah aljabar linier. Sejumlah besar masalah dari semua cabang matematika direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linear. Faktor-faktor ini menjelaskan alasan artikel ini. Materi artikel dipilih dan disusun sedemikian rupa sehingga dengan bantuannya Anda bisa

pilih metode optimal untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier Anda,
mempelajari teori metode yang dipilih,
selesaikan sistem persamaan linier Anda dengan mempertimbangkan solusi terperinci untuk contoh dan masalah umum.

Deskripsi singkat materi artikel.

Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep, dan memperkenalkan notasi yang diperlukan.

Selanjutnya, kita akan membahas metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan memiliki solusi unik. Pertama, kita akan fokus pada metode Cramer, kedua, kita akan menunjukkan metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, dan ketiga, kita akan menganalisis metode Gauss (metode eliminasi berurutan dari variabel yang tidak diketahui). Untuk mengkonsolidasikan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan cara berbeda.

Setelah ini, kita akan melanjutkan ke penyelesaian sistem persamaan aljabar linier bentuk umum, yang jumlah persamaannya tidak sesuai dengan jumlah variabel yang tidak diketahui atau matriks utama sistemnya adalah tunggal. Mari kita merumuskan teorema Kronecker-Capelli, yang memungkinkan kita menetapkan kompatibilitas SLAE. Mari kita menganalisis solusi sistem (jika kompatibel) menggunakan konsep basis minor dari sebuah matriks. Kami juga akan mempertimbangkan metode Gauss dan menjelaskan secara rinci solusi dari contoh.

Kami pasti akan membahas struktur solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen. Mari kita berikan konsep sistem solusi fundamental dan tunjukkan bagaimana solusi umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem solusi fundamental. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.

Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan sistem persamaan yang dapat direduksi menjadi persamaan linier, serta berbagai masalah yang penyelesaiannya menimbulkan SLAE.

Navigasi halaman.

Definisi, konsep, sebutan.

Kita akan mempertimbangkan sistem persamaan aljabar linier p dengan n variabel yang tidak diketahui (p bisa sama dengan n) dalam bentuk

Variabel yang tidak diketahui, - koefisien (beberapa bilangan real atau kompleks), - suku bebas (juga bilangan real atau kompleks).

Bentuk pencatatan SLAE ini disebut koordinat.

DI DALAM bentuk matriks penulisan sistem persamaan ini berbentuk,
Di mana - matriks utama sistem, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks kolom suku bebas.

Jika kita menambahkan kolom matriks suku bebas ke matriks A sebagai kolom ke-(n+1), kita memperoleh apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linear. Biasanya matriks yang diperluas dilambangkan dengan huruf T, dan kolom suku bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom yang tersisa, yaitu,

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier disebut himpunan nilai variabel yang tidak diketahui yang mengubah semua persamaan sistem menjadi identitas. Persamaan matriks untuk nilai tertentu dari variabel yang tidak diketahui juga menjadi identitas.

Jika suatu sistem persamaan mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, maka disebut persendian.

Jika suatu sistem persamaan tidak mempunyai solusi, maka disebut non-bersama.

Jika SLAE mempunyai solusi unik, maka SLAE disebut yakin; jika ada lebih dari satu solusi, maka – tidak pasti.

Jika suku bebas semua persamaan sistem sama dengan nol , maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.

Memecahkan sistem dasar persamaan aljabar linier.

Jika banyaknya persamaan suatu sistem sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utamanya tidak sama dengan nol, maka SLAE tersebut disebut dasar. Sistem persamaan tersebut mempunyai solusi yang unik, dan dalam kasus sistem homogen, semua variabel yang tidak diketahui sama dengan nol.

Kami mulai mempelajari SLAE tersebut di sekolah menengah. Saat menyelesaikannya, kita mengambil satu persamaan, menyatakan satu variabel yang tidak diketahui ke dalam variabel lain dan mensubstitusikannya ke persamaan yang tersisa, lalu mengambil persamaan berikutnya, menyatakan variabel berikutnya yang tidak diketahui dan mensubstitusikannya ke persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan metode penjumlahan, yaitu menambahkan dua persamaan atau lebih untuk menghilangkan beberapa variabel yang tidak diketahui. Kami tidak akan membahas metode ini secara rinci, karena metode ini pada dasarnya merupakan modifikasi dari metode Gauss.

Metode utama penyelesaian sistem persamaan linier dasar adalah metode Cramer, metode matriks, dan metode Gauss. Mari kita selesaikan.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer.

Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier

yang banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem bukan nol, yaitu .

Misalkan menjadi determinan matriks utama sistem, dan - determinan matriks yang diperoleh dari A dengan penggantian 1, 2, …, n kolom masing-masing ke kolom anggota bebas:

Dengan notasi ini, variabel yang tidak diketahui dihitung menggunakan rumus metode Cramer sebagai . Beginilah cara menemukan solusi sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode Cramer.

Contoh.

metode Cramer .

Larutan.

Matriks utama sistem berbentuk . Mari kita hitung determinannya (jika perlu, lihat artikel):

Karena determinan matriks utama sistem bukan nol, sistem mempunyai solusi unik yang dapat dicari dengan metode Cramer.

Mari kita menyusun dan menghitung determinan yang diperlukan (kita memperoleh determinan dengan mengganti kolom pertama matriks A dengan kolom suku bebas, determinan dengan mengganti kolom kedua dengan kolom suku bebas, dan mengganti kolom ketiga matriks A dengan kolom suku bebas) :

Menemukan variabel yang tidak diketahui menggunakan rumus :

Menjawab:

Kerugian utama dari metode Cramer (jika bisa disebut kerugian) adalah rumitnya penghitungan determinan ketika jumlah persamaan dalam sistem lebih dari tiga.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode matriks (menggunakan matriks invers).

Misalkan suatu sistem persamaan aljabar linier diberikan dalam bentuk matriks, dimana matriks A berdimensi n kali n dan determinannya bukan nol.

Karena matriks A dapat dibalik, maka terdapat matriks invers. Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan kiri, kita memperoleh rumus untuk mencari kolom matriks dari variabel yang tidak diketahui. Beginilah cara kami memperoleh solusi sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode matriks.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan linear metode matriks.

Larutan.

Mari kita tulis ulang sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Karena

maka SLAE dapat diselesaikan dengan menggunakan metode matriks. Dengan menggunakan matriks invers, solusi sistem ini dapat dicari sebagai .

Mari kita buat matriks invers menggunakan matriks penjumlahan aljabar elemen matriks A (jika perlu, lihat artikel):

Tetap menghitung matriks variabel yang tidak diketahui dengan mengalikan matriks invers ke kolom matriks anggota bebas (jika perlu, lihat artikel):

Menjawab:

atau dalam notasi lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Masalah utama dalam mencari solusi sistem persamaan aljabar linier dengan menggunakan metode matriks adalah rumitnya mencari matriks invers, terutama untuk matriks persegi yang ordenya lebih tinggi dari sepertiga.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss.

Misalkan kita perlu mencari solusi untuk sistem n persamaan linear dengan n variabel yang tidak diketahui
determinan matriks utamanya bukan nol.

Inti dari metode Gauss terdiri dari penghilangan variabel yang tidak diketahui secara berurutan: pertama x 1 dikeluarkan dari semua persamaan sistem, mulai dari persamaan kedua, kemudian x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga, dan seterusnya, hingga hanya variabel yang tidak diketahui x n yang tersisa di persamaan terakhir. Proses transformasi persamaan suatu sistem untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan langkah maju metode Gaussian, x n dicari dari persamaan terakhir, dengan menggunakan nilai ini dari persamaan kedua dari belakang, x n-1 dihitung, dan seterusnya, x 1 dicari dari persamaan pertama. Proses menghitung variabel yang tidak diketahui ketika berpindah dari persamaan terakhir sistem ke persamaan pertama disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Mari kita jelaskan secara singkat algoritma untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui.

Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Mari kita hilangkan variabel x 1 yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Caranya, pada persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , pada persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan .

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Jadi, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Untuk melakukannya, pada persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , pada persamaan keempat kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan . Jadi, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya, kita melanjutkan untuk menghilangkan x 3 yang tidak diketahui, dan kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk

Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , dengan menggunakan nilai x n yang diperoleh, kita mencari x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita mencari x 1 dari persamaan pertama .

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan linear metode Gauss.

Larutan.

Mari kita kecualikan variabel x 1 yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, pada kedua ruas persamaan kedua dan ketiga kita tambahkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan pertama, masing-masing dikalikan dengan dan dengan:

Sekarang kita hilangkan x 2 dari persamaan ketiga dengan menjumlahkan ruas kiri dan kanannya ruas kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan:

Ini melengkapi gerakan maju dari metode Gauss; kita memulai gerakan mundur.

Dari persamaan terakhir dari sistem persamaan yang dihasilkan kita temukan x 3:

Dari persamaan kedua kita peroleh.

Dari persamaan pertama kita menemukan sisa variabel yang tidak diketahui dan dengan demikian menyelesaikan kebalikan dari metode Gauss.

Menjawab:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Secara umum, banyaknya persamaan sistem p tidak sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui n:

SLAE tersebut mungkin tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Pernyataan ini juga berlaku untuk sistem persamaan yang matriks utamanya berbentuk persegi dan tunggal.

Teorema Kronecker – Capelli.

Sebelum menemukan solusi suatu sistem persamaan linear, perlu ditetapkan kompatibilitasnya. Jawaban atas pertanyaan kapan SLAE kompatibel dan kapan tidak konsisten diberikan oleh Teorema Kronecker – Capelli:
Agar suatu sistem persamaan p dengan n yang tidak diketahui (p dapat sama dengan n) konsisten, maka pangkat matriks utama sistem harus sama dengan pangkat matriks yang diperluas, yaitu , Pangkat(A)=Pangkat(T).

Mari kita perhatikan, sebagai contoh, penerapan teorema Kronecker – Capelli untuk menentukan kompatibilitas sistem persamaan linier.

Contoh.

Cari tahu apakah sistem persamaan linier memiliki solusi.

Larutan.

. Mari kita gunakan metode membatasi anak di bawah umur. Kecil dari urutan kedua berbeda dari nol. Mari kita lihat anak di bawah umur urutan ketiga yang berbatasan dengannya:

Karena semua minor yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, maka pangkat matriks utama sama dengan dua.

Pada gilirannya, peringkat matriks yang diperluas sama dengan tiga, karena minornya berada pada orde ketiga

berbeda dari nol.

Dengan demikian, Rang(A), oleh karena itu, dengan menggunakan teorema Kronecker–Capelli, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem persamaan linier asli tidak konsisten.

Menjawab:

Sistem tidak memiliki solusi.

Jadi, kita telah belajar menentukan inkonsistensi suatu sistem menggunakan teorema Kronecker–Capelli.

Tetapi bagaimana menemukan solusi untuk SLAE jika kompatibilitasnya telah ditetapkan?

Untuk itu diperlukan konsep basis minor suatu matriks dan teorema rank suatu matriks.

Minor dari orde tertinggi matriks A, selain nol, disebut dasar.

Dari definisi basis minor maka ordenya sama dengan rank matriks. Untuk matriks A yang bukan nol, terdapat beberapa basis minor; selalu ada satu basis minor.

Misalnya, perhatikan matriks .

Semua minor orde ketiga matriks ini sama dengan nol, karena elemen-elemen baris ketiga matriks ini adalah jumlah elemen-elemen yang bersesuaian pada baris pertama dan kedua.

Anak di bawah umur orde kedua berikut ini adalah bilangan dasar, karena bukan nol

Anak di bawah umur tidak mendasar, karena sama dengan nol.

Teorema pangkat matriks.

Jika pangkat suatu matriks berorde p kali n sama dengan r, maka semua elemen baris (dan kolom) matriks yang tidak membentuk basis minor terpilih dinyatakan secara linier dalam bentuk elemen-elemen pembentuk baris (dan kolom) yang bersesuaian. dasar kecil.

Apa yang disampaikan oleh teorema pangkat matriks kepada kita?

Jika, menurut teorema Kronecker–Capelli, kita telah menetapkan kompatibilitas sistem, maka kita memilih basis minor mana pun dari matriks utama sistem (urutannya sama dengan r), dan mengecualikan dari sistem semua persamaan yang sesuai. tidak membentuk basis minor yang dipilih. SLAE yang diperoleh dengan cara ini akan ekuivalen dengan persamaan aslinya, karena persamaan yang dibuang masih mubazir (menurut teorema rank matriks, persamaan tersebut merupakan kombinasi linier dari persamaan yang tersisa).

Akibatnya, setelah membuang persamaan sistem yang tidak perlu, ada dua kasus yang mungkin terjadi.

Jika banyaknya persamaan r pada sistem yang dihasilkan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui, maka persamaan tersebut pasti dan solusi satu-satunya dapat dicari dengan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.

Contoh.

Larutan.

Peringkat matriks utama sistem sama dengan dua, karena minornya berada pada orde kedua berbeda dari nol. Peringkat matriks yang diperluas juga sama dengan dua, karena satu-satunya minor orde ketiga adalah nol

dan minor orde kedua yang dibahas di atas berbeda dari nol. Berdasarkan teorema Kronecker – Capelli, kita dapat menegaskan kompatibilitas sistem persamaan linear asli, karena Rank(A)=Rank(T)=2.

Kami mengambil minor sebagai dasarnya . Dibentuk oleh koefisien persamaan pertama dan kedua:

Persamaan ketiga sistem tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor, jadi kami mengecualikannya dari sistem berdasarkan teorema pangkat matriks:

Ini adalah bagaimana kami memperoleh sistem dasar persamaan aljabar linier. Mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer:

Menjawab:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jika banyaknya persamaan r pada SLAE yang dihasilkan lebih kecil dari banyaknya variabel yang tidak diketahui n, maka pada ruas kiri persamaan kita tinggalkan suku-suku yang membentuk basis minor, dan pindahkan suku-suku yang tersisa ke ruas kanan persamaan. persamaan sistem yang bertanda berlawanan.

Variabel yang tidak diketahui (r diantaranya) yang tersisa di ruas kiri persamaan disebut utama.

Variabel yang tidak diketahui (ada n – r buah) yang berada di ruas kanan disebut bebas.

Sekarang kami percaya bahwa variabel bebas yang tidak diketahui dapat mengambil nilai yang berubah-ubah, sedangkan r variabel utama yang tidak diketahui akan diekspresikan melalui variabel bebas yang tidak diketahui dengan cara yang unik. Ekspresinya dapat ditemukan dengan menyelesaikan SLAE yang dihasilkan menggunakan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.

Mari kita lihat dengan sebuah contoh.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier .

Larutan.

Mari kita cari rank matriks utama sistem dengan metode berbatasan dengan anak di bawah umur. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor bukan nol pada orde pertama. Mari kita mulai mencari minor bukan nol dari orde kedua yang berbatasan dengan minor ini:

Beginilah cara kami menemukan minor bukan nol pada orde kedua. Mari kita mulai mencari minor yang berbatasan dengan nol dari orde ketiga:

Jadi, pangkat matriks utama adalah tiga. Pangkat matriks yang diperluas juga sama dengan tiga, yaitu sistemnya konsisten.

Kami mengambil minor bukan nol dari orde ketiga sebagai basisnya.

Untuk lebih jelasnya, kami tunjukkan unsur-unsur yang membentuk basis minor:

Kami meninggalkan suku-suku yang terlibat dalam basis minor di sisi kiri persamaan sistem, dan memindahkan sisanya dengan tanda yang berlawanan ke sisi kanan:

Mari kita berikan nilai arbitrer pada variabel bebas yang tidak diketahui x 2 dan x 5, yaitu kita terima , di mana angka arbitrer. Dalam hal ini, SLAE akan mengambil formulir tersebut

Mari kita selesaikan sistem dasar persamaan aljabar linier yang dihasilkan menggunakan metode Cramer:

Karena itu, .

Dalam jawaban Anda, jangan lupa untuk menunjukkan variabel bebas yang tidak diketahui.

Menjawab:

Dimana angka sembarang.

Mari kita rangkum.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier umum, pertama-tama kita menentukan kompatibilitasnya menggunakan teorema Kronecker–Capelli. Jika rank matriks utama tidak sama dengan rank matriks yang diperluas, maka kita simpulkan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel.

Jika pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks yang diperluas, maka kita memilih basis minor dan membuang persamaan sistem yang tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor yang dipilih.

Jika orde basis minor sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai solusi unik yang dapat ditemukan dengan metode apa pun yang kita ketahui.

Jika orde basis minor lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka di sisi kiri persamaan sistem kita meninggalkan suku-suku dengan variabel utama yang tidak diketahui, memindahkan suku-suku yang tersisa ke ruas kanan dan memberikan nilai sembarang ke variabel bebas yang tidak diketahui. Dari sistem persamaan linear yang dihasilkan kita mencari variabel-variabel utama yang belum diketahui dengan menggunakan metode Cramer, metode matriks atau metode Gauss.

Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Metode Gauss dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier apa pun tanpa terlebih dahulu menguji kompatibilitasnya. Proses eliminasi berurutan dari variabel yang tidak diketahui memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang kompatibilitas dan ketidakcocokan SLAE, dan jika ada solusi, hal ini memungkinkan untuk menemukannya.

Dari sudut pandang komputasi, metode Gaussian lebih disukai.

Lihat penjelasan rinci dan contoh analisisnya di artikel Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Menulis solusi umum sistem aljabar linier homogen dan tidak homogen menggunakan vektor-vektor sistem dasar solusi.

Pada bagian ini kita akan membahas tentang sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen simultan yang memiliki jumlah solusi tak terhingga.

Mari kita bahas sistem homogen terlebih dahulu.

Sistem solusi mendasar sistem homogen p persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui merupakan himpunan (n – r) solusi bebas linier dari sistem ini, dengan r adalah orde basis minor matriks utama sistem.

Jika kita menyatakan solusi bebas linier dari SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) adalah matriks kolom berdimensi n oleh 1) , maka solusi umum sistem homogen ini direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor sistem fundamental solusi dengan koefisien konstanta sembarang C 1, C 2, ..., C (n-r), yaitu, .

Apa yang dimaksud dengan istilah penyelesaian umum sistem persamaan aljabar linier homogen (oroslau)?

Artinya sederhana: rumusnya menentukan semua kemungkinan solusi dari SLAE asli, dengan kata lain, mengambil himpunan nilai konstanta sembarang C 1, C 2, ..., C (n-r), dengan menggunakan rumus kita akan dapatkan salah satu solusi dari SLAE homogen asli.

Jadi, jika kita menemukan sistem solusi fundamental, maka kita dapat mendefinisikan semua solusi SLAE homogen ini sebagai .

Mari kita tunjukkan proses membangun sistem dasar solusi SLAE homogen.

Kami memilih basis minor dari sistem persamaan linier asli, mengecualikan semua persamaan lain dari sistem, dan memindahkan semua suku yang mengandung variabel bebas yang tidak diketahui ke ruas kanan persamaan sistem yang tandanya berlawanan. Mari kita beri nilai 1,0,0,...,0 pada variabel bebas yang tidak diketahui dan hitung variabel utama yang tidak diketahui dengan menyelesaikan sistem dasar persamaan linier yang dihasilkan dengan cara apa pun, misalnya, menggunakan metode Cramer. Ini akan menghasilkan X (1) - solusi pertama dari sistem fundamental. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui gratis 0,1,0,0,…,0 dan menghitung yang tidak diketahui utama, kita mendapatkan X (2) . Dan sebagainya. Jika kita menetapkan nilai 0.0,...,0.1 ke variabel bebas yang tidak diketahui dan menghitung variabel utama yang tidak diketahui, kita memperoleh X (n-r) . Dengan cara ini, sistem dasar solusi SLAE homogen akan dibangun dan solusi umumnya dapat ditulis dalam bentuk .

Untuk sistem persamaan aljabar linier yang tidak homogen, solusi umum direpresentasikan dalam bentuk , di mana adalah solusi umum dari sistem homogen yang bersesuaian, dan merupakan solusi khusus dari SLAE tidak homogen asli, yang kita peroleh dengan memberikan nilai yang tidak diketahui bebas 0,0,…,0 dan menghitung nilai-nilai utama yang tidak diketahui.

Mari kita lihat contohnya.

Contoh.

Temukan sistem solusi dasar dan solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen .

Larutan.

Pangkat matriks utama sistem persamaan linier homogen selalu sama dengan pangkat matriks yang diperluas. Mari kita cari rank matriks utama dengan menggunakan metode border minor. Sebagai minor bukan nol orde pertama, kita ambil elemen a 1 1 = 9 dari matriks utama sistem. Mari kita cari minor bukan nol yang berbatasan dengan orde kedua:

Minor orde kedua, selain nol, telah ditemukan. Mari kita menelusuri anak di bawah umur tingkat ketiga yang berbatasan dengannya untuk mencari yang bukan nol:

Semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, oleh karena itu, pangkat matriks utama dan matriks yang diperluas sama dengan dua. Ayo ambil. Agar lebih jelas, mari kita perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya:

Persamaan ketiga SLAE asli tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor, oleh karena itu dapat dikecualikan:

Kita tinggalkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui utama di ruas kanan persamaan, dan pindahkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui bebas ke ruas kanan:

Mari kita membangun sistem dasar solusi dari sistem persamaan linear homogen asli. Sistem dasar solusi SLAE ini terdiri dari dua solusi, karena SLAE asli berisi empat variabel yang tidak diketahui, dan orde basis minornya sama dengan dua. Untuk mencari X (1), kita berikan nilai x 2 = 1 ke variabel bebas yang tidak diketahui, x 4 = 0, kemudian kita cari hal-hal utama yang tidak diketahui dari sistem persamaan
.

Pembelajaran dan presentasi dengan topik: "Sistem persamaan. Metode substitusi, metode penjumlahan, metode memasukkan variabel baru"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator di toko online Integral untuk kelas 9
Simulator untuk buku teks oleh Atanasyan L.S. Simulator untuk buku teks Pogorelova A.V.

Metode penyelesaian sistem pertidaksamaan

Teman-teman, kita telah mempelajari sistem persamaan dan mempelajari cara menyelesaikannya menggunakan grafik. Sekarang mari kita lihat apa saja cara lain untuk menyelesaikan sistem?
Hampir semua metode penyelesaiannya tidak berbeda dengan yang kita pelajari di kelas 7. Sekarang kita perlu melakukan beberapa penyesuaian sesuai dengan persamaan yang telah kita pelajari untuk menyelesaikannya.
Inti dari semua metode yang dijelaskan dalam pelajaran ini adalah mengganti sistem dengan sistem ekuivalen yang bentuk dan penyelesaiannya lebih sederhana. Teman-teman, ingat apa itu sistem ekuivalen.

Metode substitusi

Cara pertama untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan dua variabel sudah kita ketahui - ini adalah metode substitusi. Kami menggunakan metode ini untuk menyelesaikan persamaan linear. Sekarang mari kita lihat bagaimana menyelesaikan persamaan dalam kasus umum?

Bagaimana sebaiknya Anda melanjutkan ketika mengambil keputusan?
1. Nyatakan salah satu variabel dalam variabel lain. Variabel yang paling sering digunakan dalam persamaan adalah x dan y. Dalam salah satu persamaan kita menyatakan satu variabel dalam variabel lain. Tip: Perhatikan kedua persamaan dengan cermat sebelum Anda mulai menyelesaikannya, dan pilih persamaan yang lebih mudah untuk menyatakan variabelnya.
2. Substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke persamaan kedua, bukan variabel yang dinyatakan.
3. Selesaikan persamaan yang kita peroleh.
4. Substitusikan solusi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua. Jika terdapat beberapa solusi, maka Anda perlu menggantinya secara berurutan agar tidak kehilangan beberapa solusi.
5. Hasilnya, Anda akan mendapatkan sepasang angka $(x;y)$ yang harus dituliskan sebagai jawabannya.

Contoh.
Selesaikan sistem dengan dua variabel menggunakan metode substitusi: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Larutan.
Mari kita lihat lebih dekat persamaan kita. Jelasnya, menyatakan y dalam bentuk x pada persamaan pertama jauh lebih sederhana.
$\begin(kasus)y=5-x, \\xy=6\end(kasus)$.
Mari kita substitusikan ekspresi pertama ke dalam persamaan kedua $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Mari selesaikan persamaan kedua secara terpisah:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Kami memperoleh dua solusi untuk persamaan kedua $x_1=2$ dan $x_2=3$.
Substitusikan secara berurutan ke dalam persamaan kedua.
Jika $x=2$, maka $y=3$. Jika $x=3$, maka $y=2$.
Jawabannya adalah dua pasang angka.
Jawaban: $(2;3)$ dan $(3;2)$.

Metode penjumlahan aljabar

Kami juga mempelajari metode ini di kelas 7.
Diketahui bahwa persamaan rasional dua variabel dapat kita kalikan dengan bilangan berapapun, dengan tidak lupa mengalikan kedua ruas persamaan tersebut. Kami mengalikan salah satu persamaan dengan angka tertentu sehingga ketika menambahkan persamaan yang dihasilkan ke persamaan kedua sistem, salah satu variabelnya dimusnahkan. Kemudian persamaan diselesaikan untuk variabel yang tersisa.
Cara ini masih berhasil, meskipun tidak selalu mungkin untuk menghancurkan salah satu variabel. Tapi ini memungkinkan Anda menyederhanakan bentuk salah satu persamaan secara signifikan.

Contoh.
Selesaikan sistem: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Larutan.
Mari kalikan persamaan pertama dengan 2.
$\begin(kasus)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(kasus)$.
Mari kita kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Seperti yang Anda lihat, bentuk persamaan yang dihasilkan jauh lebih sederhana daripada persamaan aslinya. Sekarang kita bisa menggunakan metode substitusi.
$\begin(kasus)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(kasus)$.
Mari kita nyatakan x dalam bentuk y dalam persamaan yang dihasilkan.
$\begin(kasus)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(kasus)$.
Kita mendapat $y=-1$ dan $y=-3$.
Mari kita substitusikan nilai-nilai ini secara berurutan ke dalam persamaan pertama. Kami mendapatkan dua pasang angka: $(1;-1)$ dan $(-1;-3)$.
Jawaban: $(1;-1)$ dan $(-1;-3)$.

Metode untuk memperkenalkan variabel baru

Kami juga mempelajari metode ini, tapi mari kita lihat lagi.

Contoh.
Selesaikan sistem: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Larutan.
Mari kita perkenalkan penggantinya $t=\frac(x)(y)$.
Mari kita tulis ulang persamaan pertama dengan variabel baru: $t+\frac(2)(t)=3$.
Mari selesaikan persamaan yang dihasilkan:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Kita mendapat $t=2$ atau $t=1$. Mari kita perkenalkan perubahan kebalikannya $t=\frac(x)(y)$.
Kita mendapatkan: $x=2y$ dan $x=y$.

Untuk setiap ekspresi, sistem asli harus diselesaikan secara terpisah:
$\begin(kasus)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\7y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kasus)$.

Contoh.
$\begin(kasus)x=y, \\y=±1\end(kasus)$.

Larutan.
$\begin(kasus)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=±1, \\y=±1\end(kasus)$.
Kami menerima empat pasang solusi.
Jawaban: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Selesaikan sistem: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2,\\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(kasus)$.
Mari kita perkenalkan penggantinya: $z=\frac(2)(x-3y)$ dan $t=\frac(3)(2x+y)$.
Mari kita tulis ulang persamaan awal dengan variabel baru:
$\begin(kasus)z+t=2, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
Mari kita gunakan metode penjumlahan aljabar:
$\begin(kasus)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)7z=7, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)z=1, \\-3t=1-4\end(kasus)$.
$\begin(kasus)z=1, \\t=1\end(kasus)$.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik:
$\begin(kasus)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x-3y=2, \\2x+y=3\end(kasus)$.
Mari kita gunakan metode substitusi:

$\begin(kasus)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(kasus)$.

$\begin(kasus)x=2+3y, \\7y=-1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(kasus)$.
Jawaban: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.
Masalah pada sistem persamaan untuk solusi independen
Memecahkan sistem: