Contoh

1,6 / 2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8, dst. Faktor proporsionalitas Hubungan konstan besaran proporsional disebut

faktor proporsionalitas

faktor proporsionalitas. Koefisien proporsionalitas menunjukkan berapa banyak satuan suatu besaran per satuan besaran lainnya. Proporsionalitas langsung- ketergantungan fungsional, di mana suatu besaran tertentu bergantung pada besaran lain sedemikian rupa sehingga perbandingannya tetap. Dengan kata lain, variabel-variabel ini berubah

secara proporsional

, dalam bagian yang sama, yaitu jika argumen berubah dua kali ke segala arah, maka fungsinya juga berubah dua kali ke arah yang sama.(Secara matematis, proporsionalitas langsung dituliskan dengan rumus:) = FSecara matematis, proporsionalitas langsung dituliskan dengan rumus:,F = XACHaiN

S

T Proporsionalitas terbalik

Proporsionalitas terbalik

- ini adalah ketergantungan fungsional, di mana peningkatan nilai independen (argumen) menyebabkan penurunan proporsional dalam nilai dependen (fungsi).

Secara matematis, proporsionalitas terbalik dituliskan sebagai rumus:

Properti fungsi:

Sumber

Yayasan Wikimedia.

2010. Hari ini kita akan melihat besaran apa saja yang disebut berbanding terbalik, seperti apa grafik proporsionalitas terbalik, dan bagaimana semua ini dapat bermanfaat bagi Anda tidak hanya dalam pelajaran matematika, tetapi juga di luar sekolah.

Proporsi yang berbeda

faktor proporsionalitas Proporsionalitas

sebutkan dua besaran yang saling bergantung satu sama lain.

S Ketergantungannya bisa langsung dan terbalik. Oleh karena itu, hubungan antar besaran digambarkan dengan proporsionalitas langsung dan terbalik.

Mari kita ilustrasikan dengan contoh sederhana. Anda ingin membeli apel di pasar. Apel di konter dan jumlah uang di dompet Anda berbanding terbalik. Itu. Semakin banyak apel yang Anda beli, semakin sedikit uang yang tersisa.

Fungsi dan grafiknya

Fungsi proporsionalitas terbalik dapat digambarkan sebagai kamu = k/x. Di mana Secara matematis, proporsionalitas langsung dituliskan dengan rumus:≠ 0 dan k≠ 0.

Fungsi ini memiliki properti berikut:

1. Domain definisinya adalah himpunan semua bilangan real kecuali Secara matematis, proporsionalitas langsung dituliskan dengan rumus: = 0. D(kamu): (-∞; 0) kamu (0; +∞).
2. Kisarannya adalah semua bilangan real kecuali kamu= 0. E(kamu): (-∞; 0) kamu (0; +∞) .
3. Tidak memiliki nilai maksimum atau minimum.
4. Ganjil dan grafiknya simetris terhadap titik asal.
5. Non-periodik.
6. Grafiknya tidak memotong sumbu koordinat.
7. Tidak memiliki angka nol.
8. Jika k> 0 (yaitu argumennya bertambah), fungsinya berkurang secara proporsional pada setiap intervalnya. Jika k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ketika argumen meningkat ( k> 0) nilai negatif fungsi berada pada interval (-∞; 0), dan nilai positif berada pada interval (0; +∞). Ketika argumen berkurang ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Grafik fungsi proporsionalitas terbalik disebut hiperbola. Ditampilkan sebagai berikut:

Masalah proporsionalitas terbalik

Agar lebih jelas, mari kita lihat beberapa tugas. Hal ini tidak terlalu rumit, dan menyelesaikannya akan membantu Anda memvisualisasikan apa itu proporsionalitas terbalik dan bagaimana pengetahuan ini dapat berguna dalam kehidupan Anda sehari-hari.

Tugas No.1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 60 km/jam. Butuh waktu 6 jam untuk sampai ke tujuannya. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak yang sama jika ia bergerak dengan kecepatan dua kali lipat?

Kita bisa memulainya dengan menuliskan rumus yang menggambarkan hubungan antara waktu, jarak dan kecepatan: t = S/V. Setuju, ini sangat mengingatkan kita pada fungsi proporsionalitas terbalik. Dan ini menunjukkan bahwa waktu yang dihabiskan mobil di jalan dan kecepatan pergerakannya berbanding terbalik.

Untuk membuktikannya, carilah V 2 yang menurut kondisinya 2 kali lebih tinggi: V 2 = 60 * 2 = 120 km/jam. Kemudian kita hitung jaraknya dengan rumus S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sekarang tidak sulit untuk mengetahui waktu t 2 yang kita perlukan sesuai dengan kondisi soal: t 2 = 360/120 = 3 jam.

Seperti yang Anda lihat, waktu tempuh dan kecepatan memang berbanding terbalik: pada kecepatan 2 kali lebih tinggi dari kecepatan aslinya, mobil akan menghabiskan waktu 2 kali lebih sedikit di jalan.

Penyelesaian masalah ini juga dapat dituliskan secara proporsional. Jadi mari kita buat diagram ini terlebih dahulu:

↓ 60 km/jam – 6 jam

↓120 km/jam – x jam

Tanda panah menunjukkan hubungan berbanding terbalik. Mereka juga menyarankan bahwa ketika membuat proporsi, sisi kanan catatan harus dibalik: 60/120 = x/6. Dimana kita mendapatkan x = 60 * 6/120 = 3 jam.

Tugas No.2. Bengkel ini mempekerjakan 6 orang pekerja yang dapat menyelesaikan sejumlah pekerjaan tertentu dalam waktu 4 jam. Jika jumlah pekerja dikurangi setengahnya, berapa lama waktu yang dibutuhkan sisa pekerja untuk menyelesaikan jumlah pekerjaan yang sama?

Mari kita tuliskan kondisi permasalahan dalam bentuk diagram visual:

↓ 6 pekerja – 4 jam

↓ 3 pekerja – x ​​jam

Mari kita tuliskan ini sebagai proporsi: 6/3 = x/4. Dan kita mendapatkan x = 6 * 4/3 = 8 jam. Jika pekerjanya 2 kali lebih sedikit, maka pekerja yang tersisa akan menghabiskan waktu 2 kali lebih banyak untuk melakukan semua pekerjaan.

Tugas No.3. Ada dua pipa yang menuju ke kolam. Melalui satu pipa, air mengalir dengan kecepatan 2 l/s dan memenuhi kolam dalam waktu 45 menit. Melalui pipa lain, kolam akan terisi dalam waktu 75 menit. Berapa kecepatan air masuk ke kolam melalui pipa ini?

Untuk memulainya, mari kita kurangi semua besaran yang diberikan kepada kita sesuai dengan kondisi soal ke dalam satuan pengukuran yang sama. Untuk melakukannya, kita nyatakan kecepatan pengisian kolam dalam liter per menit: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/mnt.

Karena kondisi tersebut berarti kolam terisi lebih lambat melalui pipa kedua, sehingga laju aliran air menjadi lebih rendah. Proporsionalitasnya berbanding terbalik. Mari kita nyatakan kecepatan yang tidak diketahui melalui x dan buatlah diagram berikut:

↓ 120 l/mnt – 45 menit

↓ x l/mnt – 75 menit

Lalu kita membuat proporsinya: 120/x = 75/45, dari mana x = 120 * 45/75 = 72 l/mnt.

Dalam soal tersebut, laju pengisian kolam dinyatakan dalam liter per detik; mari kita kurangi jawaban yang kita terima ke bentuk yang sama: 72/60 = 1,2 l/s.

Tugas No.4. Sebuah percetakan swasta kecil mencetak kartu nama. Seorang karyawan percetakan bekerja dengan kecepatan 42 kartu nama per jam dan bekerja sehari penuh - 8 jam. Jika dia bekerja lebih cepat dan mencetak 48 kartu nama dalam satu jam, berapa lama lagi dia bisa pulang?

Kami mengikuti jalur yang telah terbukti dan membuat diagram sesuai dengan kondisi masalah, menetapkan nilai yang diinginkan sebagai x:

↓ 42 kartu nama/jam – 8 jam

↓ 48 kartu nama/jam – x jam

Kita mempunyai hubungan yang berbanding terbalik: berapa kali lebih banyak kartu nama yang dicetak oleh seorang pegawai percetakan per jam, berapa kali lebih sedikit waktu yang dia perlukan untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama. Mengetahui hal ini, mari buat proporsinya:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 jam.

Dengan demikian, setelah menyelesaikan pekerjaannya dalam waktu 7 jam, pegawai percetakan tersebut dapat pulang satu jam lebih awal.

Kesimpulan

Bagi kami, masalah proporsionalitas terbalik ini tampaknya sangat sederhana. Kami berharap sekarang Anda juga menganggapnya seperti itu. Dan yang terpenting, pengetahuan tentang ketergantungan besaran berbanding terbalik benar-benar dapat bermanfaat bagi Anda lebih dari satu kali.

Tidak hanya dalam pelajaran matematika dan ujian. Namun demikian, ketika Anda bersiap untuk melakukan perjalanan, berbelanja, memutuskan untuk mendapatkan sedikit uang tambahan selama liburan, dll.

Beri tahu kami di komentar contoh hubungan berbanding terbalik dan berbanding lurus apa yang Anda perhatikan di sekitar Anda. Biarlah ini menjadi permainan seperti itu. Anda akan melihat betapa menariknya itu. Jangan lupa untuk membagikan artikel ini ke media sosial agar teman dan teman sekelasmu juga bisa bermain.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Konsep proporsionalitas langsung

Bayangkan Anda berencana membeli permen favorit Anda (atau apa pun yang Anda sukai). Permen di toko memiliki harganya sendiri. Katakanlah 300 rubel per kilogram. Semakin banyak permen yang Anda beli, semakin banyak uang yang Anda bayarkan. Artinya, jika ingin 2 kilogram, bayar 600 rubel, dan jika ingin 3 kilogram, bayar 900 rubel. Tampaknya semuanya sudah jelas, bukan?

Jika ya, maka sekarang sudah jelas bagi Anda apa itu proporsionalitas langsung - ini adalah konsep yang menggambarkan hubungan dua besaran yang bergantung satu sama lain. Dan perbandingan besaran-besaran ini tetap tidak berubah dan konstan: berapa banyak bagian yang bertambah atau berkurang, dengan jumlah bagian yang sama, jumlah yang kedua bertambah atau berkurang secara proporsional.

Proporsionalitas langsung dapat dijelaskan dengan rumus berikut: f(x) = a*x, dan a dalam rumus ini merupakan nilai konstanta (a = const). Dalam contoh kita tentang permen, harga adalah nilai konstan, konstan. Itu tidak bertambah atau berkurang, tidak peduli berapa banyak permen yang Anda putuskan untuk dibeli. Variabel bebas (argumen) x adalah berapa kilogram permen yang akan dibeli. Dan variabel terikat f(x) (fungsi) adalah berapa banyak uang yang akan Anda bayarkan untuk pembelian Anda. Jadi kita bisa mengganti angka-angka tersebut ke dalam rumus dan mendapatkan: 600 rubel. = 300 gosok. * 2kg.

Kesimpulan antara adalah: jika argumennya bertambah, fungsinya juga meningkat, jika argumennya berkurang, fungsinya juga berkurang

Fungsi dan sifat-sifatnya

Fungsi proporsional langsung adalah kasus khusus dari fungsi linier. Jika fungsi liniernya adalah y = k*x + b, maka untuk proporsionalitas langsung terlihat seperti ini: y = k*x, dengan k disebut koefisien proporsionalitas, dan selalu berupa bilangan bukan nol. Sangat mudah untuk menghitung k - ditemukan sebagai hasil bagi suatu fungsi dan argumen: k = y/x.

Agar lebih jelas, mari kita ambil contoh lain. Bayangkan sebuah mobil bergerak dari titik A ke titik B. Kecepatannya 60 km/jam. Jika kita berasumsi bahwa kecepatan geraknya tetap konstan, maka kecepatan tersebut dapat dianggap konstan. Kemudian kita tuliskan syaratnya dalam bentuk: S = 60*t, dan rumus ini mirip dengan fungsi proporsionalitas langsung y = k *x. Mari kita menggambar paralel lebih jauh: jika k = y/x, maka kecepatan mobil dapat dihitung dengan mengetahui jarak antara A dan B dan waktu yang dihabiskan di jalan: V = S /t.

Sekarang, dari penerapan ilmu proporsionalitas langsung, mari kita kembali ke fungsinya. Sifat-sifatnya antara lain:

domain definisinya adalah himpunan semua bilangan real (beserta himpunan bagiannya);

fungsinya ganjil;

perubahan variabel berbanding lurus sepanjang garis bilangan.

Proporsionalitas langsung dan grafiknya

Grafik fungsi proporsionalitas langsung adalah garis lurus yang memotong titik asal. Untuk membangunnya, cukup menandai satu titik lagi. Dan hubungkan dengan titik asal koordinat dengan garis lurus.

Dalam kasus grafik, k adalah kemiringannya. Jika kemiringannya kurang dari nol (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), grafik dan sumbu x membentuk sudut lancip, dan fungsinya meningkat.

Dan satu lagi sifat grafik fungsi proporsionalitas langsung berhubungan langsung dengan kemiringan k. Misalkan kita mempunyai dua fungsi yang tidak identik dan, karenanya, dua grafik. Jadi, jika koefisien k dari fungsi-fungsi ini sama, grafiknya terletak sejajar dengan sumbu koordinat. Dan jika koefisien k tidak sama, grafiknya berpotongan.

Contoh masalah

Sekarang mari kita selesaikan beberapa masalah proporsionalitas langsung

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana.

Soal 1: Bayangkan 5 ekor ayam bertelur 5 butir dalam 5 hari. Jika ada 20 ekor ayam, berapa banyak telur yang akan dihasilkan dalam waktu 20 hari?

Penyelesaian: Mari kita nyatakan hal yang tidak diketahui dengan kx. Dan kita akan beralasan sebagai berikut: berapa kali lebih banyak ayam yang ada? Bagilah 20 dengan 5 dan temukan hasilnya 4 kali. Berapa kali lebih banyak telur yang dihasilkan 20 ekor ayam dalam 5 hari yang sama? Juga 4 kali lebih banyak. Jadi, kita mendapatkan telur kita seperti ini: 5*4*4 = 80 butir telur akan dihasilkan oleh 20 ekor ayam dalam 20 hari.

Sekarang contohnya sedikit lebih rumit, mari kita parafrasekan soal dari “Aritmatika Umum” Newton. Soal 2: Seorang penulis dapat membuat 14 halaman buku baru dalam 8 hari. Jika dia mempunyai asisten, berapa orang yang dibutuhkan untuk menulis 420 halaman dalam 12 hari?

Penyelesaian: Kami beralasan bahwa jumlah orang (penulis + asisten) bertambah seiring dengan volume pekerjaan jika harus diselesaikan dalam jumlah waktu yang sama. Tapi berapa kali? Membagi 420 dengan 14, kita mendapatkan hasilnya sebanyak 30 kali lipat. Tetapi karena sesuai dengan ketentuan tugas, waktu yang diberikan lebih banyak untuk pekerjaan itu, maka jumlah asistennya bertambah bukan 30 kali lipat, melainkan sebagai berikut: x = 1 (penulis) * 30 (kali): 12/8 ( hari). Mari kita transformasikan dan cari tahu bahwa x = 20 orang akan menulis 420 halaman dalam 12 hari.

Mari kita selesaikan masalah lain yang serupa dengan contoh kita.

Soal 3: Dua mobil berangkat dalam perjalanan yang sama. Yang satu bergerak dengan kecepatan 70 km/jam dan menempuh jarak yang sama dalam waktu 2 jam sedangkan yang lain membutuhkan waktu 7 jam. Temukan kecepatan mobil kedua.

Solusi: Seperti yang Anda ingat, jalur ditentukan melalui kecepatan dan waktu - S = V *t. Karena kedua mobil menempuh jarak yang sama, kita dapat menyamakan kedua persamaan tersebut: 70*2 = V*7. Bagaimana kita mengetahui bahwa kecepatan mobil kedua adalah V = 70*2/7 = 20 km/jam.

Dan beberapa lagi contoh tugas dengan fungsi proporsionalitas langsung. Terkadang soal memerlukan pencarian koefisien k.

Tugas 4: Diketahui fungsi y = - x/16 dan y = 5x/2, tentukan koefisien proporsionalitasnya.

Penyelesaian: Seperti yang Anda ingat, k = y/x. Artinya untuk fungsi pertama koefisiennya sama dengan -1/16, dan untuk fungsi kedua k = 5/2.

Anda mungkin juga menghadapi tugas seperti Tugas 5: Tuliskan proporsionalitas langsung dengan rumus. Grafiknya dan grafik fungsi y = -5x + 3 terletak sejajar.

Penyelesaian: Fungsi yang diberikan kepada kita dalam kondisi tersebut adalah linier. Kita tahu bahwa proporsionalitas langsung adalah kasus khusus dari fungsi linier. Dan kita juga mengetahui bahwa jika koefisien k fungsi sama, grafiknya sejajar. Artinya, yang diperlukan hanyalah menghitung koefisien suatu fungsi yang diketahui dan menetapkan proporsionalitas langsung menggunakan rumus yang sudah kita kenal: y = k *x. Koefisien k = -5, proporsionalitas langsung: y = -5*x.

Kesimpulan

Sekarang Anda telah mempelajari (atau mengingat jika Anda pernah membahas topik ini sebelumnya) apa yang disebut proporsionalitas langsung, dan melihatnya contoh. Kita juga membahas tentang fungsi proporsionalitas langsung dan grafiknya, serta memecahkan beberapa contoh soal.

Jika artikel ini bermanfaat dan membantu Anda memahami topiknya, beri tahu kami di komentar. Agar kami tahu apakah kami dapat memberikan manfaat bagi Anda.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Proporsionalitas langsung dan terbalik

Jika t adalah waktu gerak pejalan kaki (dalam jam), s adalah jarak yang ditempuh (dalam kilometer), dan ia bergerak beraturan dengan kecepatan 4 km/jam, maka hubungan besaran tersebut dapat dinyatakan dengan rumus s = 4t. Karena setiap nilai t berhubungan dengan satu nilai s, kita dapat mengatakan bahwa suatu fungsi didefinisikan menggunakan rumus s = 4t. Ini disebut proporsionalitas langsung dan didefinisikan sebagai berikut.

Definisi. Proporsionalitas langsung adalah fungsi yang dapat ditentukan dengan rumus y=kx, dengan k adalah bilangan real bukan nol.

Dinamakannya fungsi y = k x karena pada rumus y = k x terdapat variabel x dan y yang dapat berupa nilai besaran. Dan jika perbandingan dua besaran sama dengan suatu bilangan selain nol, maka disebut berbanding lurus . Dalam kasus kami = k (k≠0). Nomor ini dipanggil koefisien proporsionalitas.

Fungsi y = k x adalah model matematika dari banyak situasi nyata yang telah dipertimbangkan pada kursus matematika awal. Salah satunya dijelaskan di atas. Contoh lain: jika satu kantong tepung berisi 2 kg, dan x kantong tersebut dibeli, maka seluruh massa tepung yang dibeli (dilambangkan dengan y) dapat direpresentasikan dengan rumus y = 2x, yaitu. hubungan antara jumlah kantong dengan seluruh massa tepung yang dibeli berbanding lurus dengan koefisien k=2.

Mari kita mengingat kembali beberapa sifat proporsionalitas langsung yang dipelajari dalam mata pelajaran matematika sekolah.

1. Daerah asal fungsi y = k x dan rentang nilainya adalah himpunan bilangan real.

2. Grafik proporsionalitas langsung adalah garis lurus yang melalui titik asal koordinat. Oleh karena itu, untuk membuat grafik proporsionalitas langsung, cukup mencari satu titik saja yang termasuk dalam grafik tersebut dan tidak berimpit dengan titik asal koordinat, kemudian menggambar garis lurus melalui titik tersebut dan titik asal koordinat.

Misalnya, untuk membuat grafik fungsi y = 2x, cukup memiliki sebuah titik dengan koordinat (1, 2), lalu menggambar garis lurus yang melaluinya dan titik asal koordinat (Gbr. 7).

3. Untuk k > 0, fungsi y = khx meningkat di seluruh domain definisi; di k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Jika fungsi f berbanding lurus dan (x 1, y 1), (x 2, y 2) merupakan pasangan nilai-nilai yang bersesuaian dari variabel x dan y, dan x 2 ≠0 maka.

Memang jika fungsi f berbanding lurus, maka dapat diberikan dengan rumus y = khx, lalu y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Karena pada x 2 ≠0 dan k≠0, maka y 2 ≠0. Itu sebabnya dan itu berarti.

Jika nilai variabel x dan y merupakan bilangan real positif, maka sifat pembuktian proporsionalitas langsung dapat dirumuskan sebagai berikut: dengan kenaikan (penurunan) nilai variabel x beberapa kali, maka nilai variabel y yang bersangkutan bertambah (menurun) dengan jumlah yang sama.

Sifat ini hanya melekat pada proporsionalitas langsung, dan dapat digunakan ketika menyelesaikan soal cerita yang memperhitungkan besaran berbanding lurus.

Soal 1. Dalam waktu 8 jam, seorang pembubut menghasilkan 16 bagian. Berapa jam yang diperlukan seorang operator mesin bubut untuk memproduksi 48 bagian jika ia bekerja dengan produktivitas yang sama?

Larutan. Permasalahan ini mempertimbangkan besaran-besaran berikut: waktu kerja tukang bubut, jumlah suku cadang yang dibuatnya, dan produktivitas (yaitu, jumlah suku cadang yang diproduksi oleh tukang bubut dalam 1 jam), dengan nilai terakhir konstan, dan dua lainnya mengambil alih nilai yang berbeda. Selain itu, jumlah suku cadang yang dibuat dan waktu pengerjaan merupakan nilai yang berbanding lurus, karena perbandingannya sama dengan suatu bilangan tertentu yang tidak sama dengan nol, yaitu banyaknya suku cadang yang dibuat oleh seorang tukang bubut dalam 1 jam bagian yang dibuat dilambangkan dengan huruf y, waktu kerja x, dan produktivitas k, maka diperoleh = k atau y = khx, yaitu Model matematika dari situasi yang disajikan dalam soal adalah proporsionalitas langsung.

Masalahnya dapat diselesaikan dengan dua cara aritmatika:

Cara ke-1: Cara ke-2:

1) 16:8 = 2 (anak-anak) 1) 48:16 = 3 (kali)

2) 48:2 = 24 (jam) 2) 8-3 = 24 (jam)

Menyelesaikan soal dengan cara pertama, pertama-tama kita mencari koefisien proporsionalitas k, sama dengan 2, dan kemudian, mengetahui bahwa y = 2x, kita menemukan nilai x dengan syarat y = 48.

Saat menyelesaikan masalah dengan cara kedua, kami menggunakan sifat proporsionalitas langsung: seiring bertambahnya jumlah bagian yang dibuat oleh seorang pembubut, jumlah waktu untuk produksinya meningkat dengan jumlah yang sama.

Sekarang mari kita beralih ke fungsi yang disebut proporsionalitas terbalik.

Jika t adalah waktu yang ditempuh pejalan kaki (dalam jam), v adalah kecepatannya (dalam km/jam) dan ia berjalan sejauh 12 km, maka hubungan besaran tersebut dapat dinyatakan dengan rumus v∙t = 20 atau v = .

Karena setiap nilai t (t ≠ 0) berhubungan dengan satu nilai kecepatan v, kita dapat mengatakan bahwa suatu fungsi ditentukan menggunakan rumus v =. Ini disebut proporsionalitas terbalik dan didefinisikan sebagai berikut.

Definisi. Proporsionalitas terbalik adalah fungsi yang dapat ditentukan dengan rumus y =, dimana k adalah bilangan real yang tidak sama dengan nol.

Nama fungsi ini disebabkan oleh fakta bahwa kamu = ada variabel x dan y yang dapat berupa nilai besaran. Dan jika hasil kali dua besaran sama dengan suatu bilangan selain nol, maka keduanya disebut berbanding terbalik. Dalam kasus kita xy = k(k ≠0). Angka k ini disebut koefisien proporsionalitas.

Fungsi kamu = adalah model matematika dari banyak situasi nyata yang telah dipertimbangkan dalam kursus matematika awal. Salah satunya dijelaskan sebelum pengertian proporsionalitas terbalik. Contoh lain: jika Anda membeli 12 kg tepung dan memasukkannya ke dalam kaleng l:y kg, maka hubungan antara jumlah tersebut dapat direpresentasikan sebagai x-y = 12, yaitu. berbanding terbalik dengan koefisien k=12.

Mari kita ingat kembali beberapa sifat proporsionalitas terbalik yang diketahui dari pelajaran matematika sekolah.

1.Domain definisi fungsi kamu = dan rentang nilainya x adalah himpunan bilangan real selain nol.

2. Grafik proporsionalitas terbalik adalah hiperbola.

3. Untuk k > 0, cabang-cabang hiperbola terletak pada kuarter ke-1 dan ke-3 dan fungsinya kamu = menurun di seluruh domain definisi x (Gbr. 8).

Beras. 8 Gambar.9

Di k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция kamu = meningkat di seluruh domain definisi x (Gbr. 9).

4. Jika fungsi f adalah proporsionalitas terbalik dan (x 1, y 1), (x 2, y 2) adalah pasangan nilai-nilai yang bersesuaian dari variabel x dan y, maka.

Memang jika fungsi f berbanding terbalik, maka dapat diberikan dengan rumus kamu = , kemudian . Karena x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, maka

Jika nilai variabel x dan y adalah bilangan real positif, maka sifat proporsionalitas terbalik ini dapat dirumuskan sebagai berikut: dengan kenaikan (penurunan) nilai variabel x beberapa kali, maka nilai variabel tersebut akan sama. y berkurang (meningkat) dengan jumlah yang sama.

Sifat ini hanya melekat pada proporsionalitas terbalik, dan dapat digunakan saat menyelesaikan soal cerita yang memperhitungkan besaran berbanding terbalik.

Soal 2. Seorang pengendara sepeda yang bergerak dengan kecepatan 10 km/jam menempuh jarak dari A ke B dalam waktu 6 jam. Berapa lama waktu yang dibutuhkan pengendara sepeda dalam perjalanan pulang jika ia melaju dengan kecepatan 20 km/jam?

Larutan. Soal tersebut mempertimbangkan besaran-besaran berikut: kecepatan pengendara sepeda, waktu gerak dan jarak dari A ke B, besaran terakhir konstan, sedangkan dua lainnya mempunyai nilai yang berbeda. Selain itu, kecepatan dan waktu gerak merupakan besaran yang berbanding terbalik, karena hasil kali keduanya sama dengan suatu bilangan tertentu, yaitu jarak yang ditempuh. Jika waktu gerak pengendara sepeda dilambangkan dengan huruf y, kecepatan dengan x, dan jarak AB dengan k, maka diperoleh xy = k atau y =, yaitu. Model matematika dari situasi yang disajikan dalam soal adalah proporsionalitas terbalik.

Ada dua cara untuk menyelesaikan masalah ini:

Cara ke-1: Cara ke-2:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (kali)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(jam)

Menyelesaikan soal dengan cara pertama, pertama-tama kita mencari koefisien proporsionalitas k, sama dengan 60, dan kemudian, mengetahui bahwa y =, kita menemukan nilai y dengan syarat x = 20.

Saat menyelesaikan soal dengan cara kedua, kami menggunakan sifat proporsionalitas terbalik: berapa kali kecepatan gerak bertambah, waktu untuk menempuh jarak yang sama berkurang dengan jumlah yang sama.

Perhatikan bahwa ketika menyelesaikan masalah tertentu dengan besaran berbanding terbalik atau berbanding lurus, beberapa batasan dikenakan pada x dan y khususnya, pembatasan tersebut tidak dapat dipertimbangkan pada seluruh himpunan bilangan real, tetapi pada himpunan bagiannya.

Soal 3. Lena membeli x pensil, dan Katya membeli 2 kali lebih banyak. Nyatakan banyaknya pensil yang dibeli Katya dengan y, nyatakan y dengan x dan buatlah grafik korespondensi yang telah ada dengan syarat x≤5. Apakah korespondensi ini termasuk fungsi? Apa domain definisi dan rentang nilainya?

Larutan. Katya membeli = 2 pensil. Saat membuat grafik fungsi y=2x, perlu diperhatikan bahwa variabel x menyatakan jumlah pensil dan x≤5, yang berarti hanya dapat mengambil nilai 0, 1, 2, 3 , 4, 5. Ini akan menjadi domain definisi fungsi ini. Untuk mendapatkan rentang nilai fungsi ini, Anda perlu mengalikan setiap nilai x dari rentang definisi dengan 2, yaitu. ini akan menjadi himpunan (0, 2, 4, 6, 8, 10). Oleh karena itu, grafik fungsi y = 2x dengan domain definisi (0, 1, 2, 3, 4, 5) adalah himpunan titik-titik seperti pada Gambar 10. Semua titik tersebut termasuk dalam garis lurus y = 2x .