Contoh sistem persamaan eksponensial dan pertidaksamaan. Ketimpangan eksponensial

Dimana peran $b$ bisa berupa angka biasa, atau mungkin yang lebih keras. Contohnya? Ya, silakan:

\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ segi empat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(sejajarkan)\]

Menurut saya maknanya jelas: ada fungsi eksponensial $((a)^(x))$, dibandingkan dengan sesuatu, lalu diminta mencari $x$. Dalam kasus-kasus klinis tertentu, alih-alih variabel $x$, mereka dapat menempatkan beberapa fungsi $f\left(x \right)$ dan dengan demikian sedikit memperumit ketidaksetaraan :)

Tentu saja, dalam beberapa kasus, kesenjangan tersebut mungkin tampak lebih parah. Di sini, misalnya:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Atau bahkan ini:

Secara umum, kompleksitas dari pertidaksamaan tersebut bisa sangat berbeda, namun pada akhirnya pertidaksamaan tersebut tetap bermuara pada konstruksi sederhana $((a)^(x)) \gt b$. Dan entah bagaimana kita akan memahami konstruksi seperti itu (terutama dalam kasus klinis, ketika tidak ada yang terlintas dalam pikiran, logaritma akan membantu kita). Oleh karena itu, sekarang kami akan mengajari Anda cara menyelesaikan konstruksi sederhana tersebut.

Memecahkan pertidaksamaan eksponensial sederhana

Mari kita pertimbangkan sesuatu yang sangat sederhana. Misalnya, ini:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Jelasnya, angka di sebelah kanan dapat ditulis ulang sebagai pangkat dua: $4=((2)^(2))$. Jadi, pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang dalam bentuk yang sangat mudah:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Dan sekarang tanganku gatal untuk “mencoret” keduanya di dasar kekuasaan untuk mendapatkan jawabannya $x \gt 2$. Namun sebelum mencoret apa pun, mari kita ingat kekuatan dua hal:

\[((2)^(1))=2;\kuad ((2)^(2))=4;\kuad ((2)^(3))=8;\kuad ((2)^( 4))=16;...\]

Seperti yang Anda lihat, semakin besar angka eksponennya, semakin besar angka keluarannya. “Terima kasih, Kapten!” - salah satu siswa akan berseru. Apakah ada bedanya? Sayangnya, hal itu terjadi. Misalnya:

\[((\kiri(\frac(1)(2) \kanan))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\kiri(\frac(1)(2) \ kanan))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\kiri(\frac(1)(2) \kanan))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Di sini juga, semuanya logis: semakin besar derajatnya, semakin sering angka 0,5 dikalikan dengan dirinya sendiri (yaitu, dibagi dua). Dengan demikian, barisan bilangan yang dihasilkan semakin mengecil, dan selisih barisan pertama dan kedua hanya pada basisnya:

• Jika alas derajat $a \gt 1$, maka seiring bertambahnya eksponen $n$, bilangan $((a)^(n))$ juga akan bertambah;
• Dan sebaliknya, jika $0 \lt a \lt 1$, maka seiring bertambahnya eksponen $n$, bilangan $((a)^(n))$ akan berkurang.

Meringkas fakta-fakta ini, kita memperoleh pernyataan paling penting yang menjadi dasar seluruh penyelesaian pertidaksamaan eksponensial:

Jika $a \gt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $x \gt n$. Jika $0 \lt a \lt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $x \lt n$.

Dengan kata lain, jika basisnya lebih besar dari satu, Anda cukup menghilangkannya - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Dan jika alasnya kurang dari satu, maka alasnya juga bisa dihilangkan, tetapi pada saat yang sama Anda harus mengubah tanda pertidaksamaan.

Harap dicatat bahwa kami belum mempertimbangkan opsi $a=1$ dan $a\le 0$. Karena dalam kasus ini timbul ketidakpastian. Katakanlah bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan berbentuk $((1)^(x)) \gt 3$? Seseorang akan memberikan satu lagi kepada kekuatan mana pun - kita tidak akan pernah mendapatkan tiga atau lebih. Itu. tidak ada solusi.

Dengan alasan negatif, segalanya menjadi lebih menarik. Misalnya, pertimbangkan ketidaksetaraan ini:

\[((\kiri(-2 \kanan))^(x)) \gt 4\]

Sekilas, semuanya sederhana:

Benar? Tapi tidak! Cukup dengan mengganti $x$ beberapa bilangan genap dan beberapa bilangan ganjil untuk memastikan bahwa penyelesaiannya salah. Lihatlah:

\[\begin(align) & x=4\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, tanda-tandanya bergantian. Tapi ada juga kekuatan pecahan dan omong kosong lainnya. Misalnya, bagaimana cara Anda menghitung $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (dikurang dua pangkat tujuh)? Mustahil!

Oleh karena itu, agar lebih pasti, kita berasumsi bahwa dalam semua pertidaksamaan eksponensial (dan juga persamaannya) $1\ne a \gt 0$. Dan kemudian semuanya diselesaikan dengan sangat sederhana:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Panah Kanan \kiri[ \begin(align) & x \gt n\quad \kiri(a \gt 1 \kanan), \\ & x \lt n\quad \kiri(0 \lt a \lt 1 \kanan). \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Secara umum, ingat aturan utama sekali lagi: jika basis dalam persamaan eksponensial lebih besar dari satu, Anda cukup menghilangkannya; dan jika basisnya kurang dari satu, dapat juga dihilangkan, tetapi tanda pertidaksamaannya berubah.

Contoh solusi

Jadi, mari kita lihat beberapa pertidaksamaan eksponensial sederhana:

\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(sejajarkan)\]

Tugas utama dalam semua kasus adalah sama: mengurangi pertidaksamaan ke bentuk paling sederhana $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Inilah yang sekarang akan kita lakukan dengan setiap pertidaksamaan, dan pada saat yang sama kita akan mengulangi sifat-sifat derajat dan fungsi eksponensial. Jadi, ayo pergi!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Apa yang bisa kamu lakukan di sini? Nah, di sebelah kiri kita sudah memiliki ekspresi indikatif - tidak ada yang perlu diubah. Tapi di sebelah kanan ada semacam omong kosong: pecahan, dan bahkan akar penyebutnya!

Namun, mari kita ingat aturan mengerjakan pecahan dan pangkat:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(sejajarkan)\]

Apa maksudnya? Pertama, kita dapat dengan mudah menghilangkan pecahan dengan mengubahnya menjadi pangkat dengan eksponen negatif. Dan kedua, karena penyebutnya memiliki akar, alangkah baiknya jika dipangkatkan - kali ini dengan eksponen pecahan.

Mari kita terapkan tindakan ini secara berurutan ke sisi kanan pertidaksamaan dan lihat apa yang terjadi:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\kiri(\sqrt(2) \kanan))^(-1))=((\kiri(((2)^(\frac( 1)(3))) \kanan))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \kiri(-1 \kanan)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Jangan lupa bahwa saat menaikkan suatu derajat, eksponen derajat tersebut dijumlahkan. Dan secara umum, ketika bekerja dengan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, sangatlah penting untuk mengetahui setidaknya aturan paling sederhana untuk bekerja dengan pangkat:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\kiri(((a)^(x)) \kanan))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(sejajarkan)\]

Sebenarnya kami baru menerapkan aturan terakhir. Oleh karena itu, pertidaksamaan awal kita akan ditulis ulang sebagai berikut:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Panah Kanan ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frak(1)(3)))\]

Sekarang kita singkirkan keduanya di pangkalan. Karena 2 > 1, tanda pertidaksamaan akan tetap sama:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Panah Kanan x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \kiri(-\infty ;\frac(2)(3) \kanan]. \\\end(align)\]

Itulah solusinya! Kesulitan utama sama sekali bukan pada fungsi eksponensial, tetapi pada transformasi kompeten dari ekspresi aslinya: Anda perlu dengan hati-hati dan cepat membawanya ke bentuk yang paling sederhana.

Perhatikan pertidaksamaan kedua:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Ya ya. Pecahan desimal menunggu kita di sini. Seperti yang telah saya katakan berkali-kali, dalam ekspresi apa pun dengan pangkat Anda harus menghilangkan desimal - ini sering kali merupakan satu-satunya cara untuk melihat solusi yang cepat dan sederhana. Di sini kita akan menyingkirkan:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ kanan))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Panah Kanan ((\left(\frac(1)(10) \kanan))^(1-x)) \lt ( (\kiri(\frac(1)(10) \kanan))^(2)). \\\end(sejajarkan)\]

Di sini sekali lagi kita mempunyai pertidaksamaan yang paling sederhana, dan bahkan dengan basis 1/10, yaitu. kurang dari satu. Nah, kita hapus basisnya, sekaligus mengubah tanda dari "lebih sedikit" menjadi "lebih banyak", dan kita mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(sejajarkan)\]

Kami menerima jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Harap diperhatikan: jawabannya adalah himpunan, dan bukan merupakan konstruksi bentuk $x \lt -1$. Karena secara formal, konstruksi seperti itu bukanlah himpunan sama sekali, melainkan pertidaksamaan terhadap variabel $x$. Ya, ini sangat sederhana, tapi itu bukanlah jawabannya!

Catatan Penting. Ketimpangan ini dapat diselesaikan dengan cara lain - dengan mereduksi kedua belah pihak menjadi kekuatan yang basisnya lebih besar dari satu. Lihatlah:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Panah Kanan ((\kiri(((10)^(-1)) \kanan))^(1-x)) \ lt ((\kiri(((10)^(-1)) \kanan))^(2))\Panah Kanan ((10)^(-1\cdot \kiri(1-x \kanan))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Setelah transformasi seperti itu, kita akan kembali memperoleh pertidaksamaan eksponensial, tetapi dengan basis 10 > 1. Artinya, kita cukup mencoret sepuluh - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kami mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan) & -1\cdot \kiri(1-x \kanan) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, jawabannya persis sama. Pada saat yang sama, kami menyelamatkan diri dari keharusan mengubah tanda dan secara umum mengingat aturan apa pun :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Namun, jangan biarkan hal ini membuat Anda takut. Apapun indikatornya, teknologi untuk mengatasi kesenjangan tetap sama. Oleh karena itu, mari kita perhatikan terlebih dahulu bahwa 16 = 2 4. Mari kita tulis ulang pertidaksamaan awal dengan mempertimbangkan fakta ini:

\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]

Hore! Kami mendapatkan pertidaksamaan kuadrat seperti biasa! Tandanya tidak berubah dimanapun, karena alasnya adalah dua - angka yang lebih besar dari satu.

Nol suatu fungsi pada garis bilangan

Kita susun tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - jelas grafiknya akan berbentuk parabola dengan cabang ke atas, sehingga akan ada “plus” ” di samping. Kami tertarik pada wilayah yang fungsinya kurang dari nol, yaitu. $x\in \left(2;5 \right)$ adalah jawaban untuk masalah awal.

Terakhir, pertimbangkan ketimpangan lainnya:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Sekali lagi kita melihat fungsi eksponensial dengan pecahan desimal di dasarnya. Mari kita ubah pecahan ini menjadi pecahan biasa:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Panah Kanan \\ & \Panah Kanan ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\kiri(((5)^(-1)) \kanan))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \kiri(1+((x)^(2)) \kanan)))\end(sejajarkan)\]

Dalam hal ini, kami menggunakan pernyataan yang diberikan sebelumnya - kami mengurangi basis menjadi angka 5 > 1 untuk menyederhanakan solusi selanjutnya. Mari kita lakukan hal yang sama dengan sisi kanan:

\[\frac(1)(25)=((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(2))=((\kiri(((5)^(-1)) \ kanan))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Mari kita tulis ulang pertidaksamaan awal dengan mempertimbangkan kedua transformasi:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Panah Kanan ((5)^(-1\cdot \kiri(1+ ((x)^(2)) \kanan)))\ge ((5)^(-2))\]

Basis di kedua sisinya sama dan melebihi satu. Tidak ada istilah lain di kanan dan kiri, jadi kita cukup “mencoret” angka limanya dan mendapatkan ekspresi yang sangat sederhana:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(sejajarkan)\]

Di sinilah Anda perlu lebih berhati-hati. Banyak siswa yang suka mengambil akar kuadrat dari kedua ruas pertidaksamaan dan menulis sesuatu seperti $x\le 1\Panah Kanan x\in \kiri(-\infty ;-1 \kanan]$. Hal ini tidak boleh dilakukan dalam kondisi apa pun , karena akar kuadrat eksak adalah modulus, dan bukan merupakan variabel asli:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\kiri| x\kanan|\]

Namun, bekerja dengan modul bukanlah pengalaman yang paling menyenangkan, bukan? Jadi kami tidak akan bekerja. Sebagai gantinya, kita cukup memindahkan semua suku ke kiri dan menyelesaikan pertidaksamaan biasa menggunakan metode interval:

$\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+1 \kanan)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(sejajarkan)$

Kita tandai kembali titik-titik yang diperoleh pada garis bilangan dan lihat tanda-tandanya:

Karena kita sedang menyelesaikan pertidaksamaan tidak tegas, semua titik pada grafik diarsir. Oleh karena itu, jawabannya adalah: $x\in \left[ -1;1 \right]$ bukanlah sebuah interval, melainkan sebuah segmen.

Secara umum, saya ingin mencatat bahwa tidak ada yang rumit dalam ketidaksetaraan eksponensial. Arti dari semua transformasi yang kami lakukan hari ini direduksi menjadi algoritma sederhana:

• Temukan dasar di mana kita akan mengurangi semua derajat;
• Lakukan transformasi dengan hati-hati untuk mendapatkan pertidaksamaan berbentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Tentu saja, selain variabel $x$ dan $n$, mungkin terdapat fungsi yang jauh lebih kompleks, tetapi maknanya tidak akan berubah;
• Coretlah dasar derajatnya. Dalam hal ini, tanda pertidaksamaan dapat berubah jika basis $a \lt 1$.

Faktanya, ini adalah algoritma universal untuk menyelesaikan semua ketidaksetaraan tersebut. Dan semua hal lain yang akan mereka sampaikan kepada Anda tentang topik ini hanyalah teknik dan trik khusus yang akan menyederhanakan dan mempercepat transformasi. Kita akan membicarakan salah satu teknik ini sekarang :)

Metode rasionalisasi

Mari kita pertimbangkan serangkaian ketidaksetaraan lainnya:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\kiri(\frac(1)(9) \kanan))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Jadi apa istimewanya mereka? Itu ringan. Meskipun begitu, berhentilah! Apakah bilangan π dipangkatkan? Omong kosong apa?

Bagaimana cara menaikkan angka $2\sqrt(3)-3$ menjadi pangkat? Atau $3-2\sqrt(2)$? Penulis masalah jelas meminum terlalu banyak Hawthorn sebelum mulai bekerja :)

Sebenarnya, tidak ada yang salah dengan tugas-tugas ini. Izinkan saya mengingatkan Anda: fungsi eksponensial adalah ekspresi bentuk $((a)^(x))$, dengan basis $a$ adalah bilangan positif apa pun kecuali satu. Angka π positif - kita sudah mengetahuinya. Angka $2\sqrt(3)-3$ dan $3-2\sqrt(2)$ juga positif - ini mudah dilihat jika Anda membandingkannya dengan nol.

Ternyata semua kesenjangan yang “menakutkan” ini diselesaikan dengan cara yang sederhana seperti yang dibahas di atas? Dan apakah permasalahan tersebut diselesaikan dengan cara yang sama? Ya, itu benar sekali. Namun, dengan menggunakan contoh mereka, saya ingin mempertimbangkan salah satu teknik yang sangat menghemat waktu dalam pekerjaan mandiri dan ujian. Kita akan berbicara tentang metode rasionalisasi. Jadi, perhatian:

Setiap pertidaksamaan eksponensial berbentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ kanan) \gt 0 $.

Itulah keseluruhan metodenya. :) Apakah menurut Anda akan ada permainan lain? Tidak ada yang seperti itu! Namun fakta sederhana ini, yang ditulis secara harfiah dalam satu baris, akan sangat menyederhanakan pekerjaan kita. Lihatlah:

\[\begin(matriks) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\teks( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Panah Bawah \\ \kiri(x+7-\kiri(((x)^(2)) -3x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )-1 \kanan) \gt 0 \\\end(matriks)\]

Jadi tidak ada lagi fungsi eksponensial! Dan Anda tidak perlu mengingat apakah tandanya berubah atau tidak. Namun masalah baru muncul: apa yang harus dilakukan dengan pengali sialan itu \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Kita tidak tahu berapa nilai pasti dari bilangan π tersebut. Namun, sang kapten sepertinya mengisyaratkan hal yang sudah jelas:

\[\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )\kira-kira 3,14... \gt 3\Panah Kanan \teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )- 1\gt 3-1=2\]

Secara umum, nilai pasti dari π tidak terlalu menjadi perhatian kita - yang penting bagi kita untuk memahami bahwa bagaimanapun juga $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ini adalah konstanta positif, dan kita dapat membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan konstanta tersebut:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \kanan) \kanan)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \kanan) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \kanan) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \kiri(x-5 \kanan)\kiri(x+1 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, pada titik tertentu kita harus membaginya dengan minus satu - dan tanda pertidaksamaan berubah. Pada akhirnya, saya memperluas trinomial kuadrat menggunakan teorema Vieta - jelas bahwa akar-akarnya sama dengan $((x)_(1))=5$ dan $((x)_(2))=-1$ . Kemudian semuanya diselesaikan dengan menggunakan metode interval klasik:

Semua poin dihilangkan karena pertidaksamaan aslinya sangat ketat. Kita tertarik pada wilayah dengan nilai negatif, jadi jawabannya adalah $x\in \left(-1;5 \right)$. Itulah solusinya. :)

Mari beralih ke tugas berikutnya:

\[((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Semuanya disini umumnya sederhana, karena ada unit di sebelah kanan. Dan kita ingat bahwa satu adalah bilangan apa pun yang dipangkatkan nol. Sekalipun bilangan ini merupakan ekspresi irasional di dasar sebelah kiri:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\ & ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\\end(sejajarkan)\]

Baiklah, mari kita rasionalkan:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot \kiri(2\sqrt(3)-4 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot 2\kiri(\sqrt(3)-2 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\ ]

Yang tersisa hanyalah mencari tahu tanda-tandanya. Faktor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ tidak mengandung variabel $x$ - ini hanya sebuah konstanta, dan kita perlu mencari tandanya. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:

\[\begin(matriks) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \kanan)=0 \\\end(matriks)\]

Ternyata faktor kedua bukan sekadar konstanta, melainkan konstanta negatif! Dan bila dibagi, tanda pertidaksamaan awal berubah menjadi kebalikannya:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \kanan) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\kiri(x-2 \kanan) \gt 0. \\\end(sejajarkan)\]

Sekarang semuanya menjadi jelas. Akar trinomial persegi di sebelah kanan adalah: $((x)_(1))=0$ dan $((x)_(2))=2$. Kita menandainya pada garis bilangan dan melihat tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Kami tertarik pada interval yang ditandai dengan tanda tambah. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya:

Mari kita beralih ke contoh berikutnya:

\[((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\kiri(\frac(1)(9) \ kanan))^(16-x))\]

Nah, semuanya sudah jelas di sini: basisnya berisi pangkat dengan angka yang sama. Oleh karena itu, saya akan menulis semuanya secara singkat:

\[\begin(matriks) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Panah Bawah \\ ((\kiri(((3)^(-1)) \kanan))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\kiri(((3)^(-2)) \kanan))^(16-x)) \\\end(matriks)\]

\[\begin(sejajarkan) & ((3)^(-1\cdot \kiri(((x)^(2))+2x \kanan))) \gt ((3)^(-2\cdot \ kiri(16-x \kanan))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \kiri(-((x)^(2))-2x-\kiri(-32+2x \kanan) \kanan)\cdot \kiri(3-1 \kanan) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \kiri(x+8 \kanan)\kiri(x-4 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, selama proses transformasi kita harus mengalikannya dengan bilangan negatif, sehingga tanda pertidaksamaannya berubah. Pada bagian akhir, saya kembali menerapkan teorema Vieta untuk memfaktorkan trinomial kuadrat. Hasilnya, jawabannya adalah sebagai berikut: $x\in \left(-8;4 \right)$ - siapa pun dapat memverifikasi ini dengan menggambar garis bilangan, menandai titik-titik dan menghitung tanda-tandanya. Sementara itu, kita akan beralih ke ketimpangan terakhir dari “kumpulan” kita:

\[((\kiri(3-2\sqrt(2) \kanan))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Seperti yang Anda lihat, di pangkalan ada lagi bilangan irasional, dan di sebelah kanan ada lagi satuan. Oleh karena itu, kami menulis ulang pertidaksamaan eksponensial kami sebagai berikut:

\[((\kiri(3-2\sqrt(2) \kanan))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\kiri(3-2\sqrt(2) \ kanan))^(0))\]

Kami menerapkan rasionalisasi:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot \kiri(2-2\sqrt(2) \kanan) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Namun, cukup jelas bahwa $1-\sqrt(2) \lt 0$, karena $\sqrt(2)\kira-kira 1,4... \gt 1$. Oleh karena itu, faktor kedua juga merupakan konstanta negatif, yang kedua ruas pertidaksamaannya dapat dibagi:

\[\begin(matriks) \kiri(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot 2\kiri(1-\sqrt(2) \kanan) \lt 0 \\ \Panah Bawah \ \\akhir(matriks)\]

\[\begin(sejajarkan) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\kiri(x-3 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]

Pindah ke markas lain

Masalah tersendiri dalam menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial adalah pencarian basis yang “benar”. Sayangnya, pada pandangan pertama, tidak selalu jelas pada suatu tugas apa yang harus dijadikan dasar dan apa yang harus dilakukan sesuai dengan tingkat dasar tersebut.

Namun jangan khawatir: tidak ada keajaiban atau teknologi “rahasia” di sini. Dalam matematika, keterampilan apa pun yang tidak dapat dialgoritmakan dapat dengan mudah dikembangkan melalui latihan. Tetapi untuk ini, Anda harus memecahkan masalah dengan tingkat kerumitan yang berbeda-beda. Misalnya seperti ini:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(6,25 \kanan))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ akhir(sejajarkan)\]

Sulit? Menakutkan? Ini lebih mudah daripada menabrak ayam di aspal! Mari kita mencobanya. Ketimpangan pertama:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Menurut saya, semuanya sudah jelas di sini:

Kami menulis ulang pertidaksamaan awal, mereduksi semuanya menjadi basis dua:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Panah Kanan \kiri(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \kanan)\cdot \kiri(2-1 \kanan) \lt 0\]

Ya, ya, Anda tidak salah dengar: Saya baru saja menerapkan metode rasionalisasi yang dijelaskan di atas. Sekarang kita perlu bekerja dengan hati-hati: kita memiliki pertidaksamaan pecahan-rasional (ini adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel dalam penyebutnya), jadi sebelum menyamakan apa pun dengan nol, kita perlu membawa semuanya ke penyebut yang sama dan menghilangkan faktor konstanta .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \kanan)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Sekarang kita menggunakan metode interval standar. Pembilang nol: $x=\pm 4$. Penyebutnya menjadi nol hanya jika $x=0$. Total ada tiga titik yang perlu ditandai pada garis bilangan (semua titik diberi pin karena tanda pertidaksamaannya tegas). Kami mendapatkan:

Seperti yang Anda duga, arsiran menandai interval di mana ekspresi di sebelah kiri bernilai negatif. Oleh karena itu, jawaban akhir akan mencakup dua interval sekaligus:

Ujung-ujung interval tidak disertakan dalam jawaban karena pertidaksamaan aslinya sangat ketat. Tidak diperlukan verifikasi lebih lanjut atas jawaban ini. Dalam hal ini, pertidaksamaan eksponensial jauh lebih sederhana daripada pertidaksamaan logaritmik: tidak ada ODZ, tidak ada batasan, dll.

Mari beralih ke tugas berikutnya:

\[((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Tidak ada masalah di sini juga, karena kita sudah mengetahui bahwa $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, sehingga seluruh pertidaksamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(((3)^(-1)) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Panah Kanan ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \kiri(-\frac(3)(x)-\kiri(2+x \kanan) \kanan)\cdot \kiri(3-1 \kanan)\ge 0; \\ & \kiri(-\frac(3)(x)-2-x \kanan)\cdot 2\ge 0;\quad \kiri| :\kiri(-2 \kanan) \kanan. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Harap diperhatikan: di baris ketiga saya memutuskan untuk tidak membuang waktu untuk hal-hal sepele dan segera membagi semuanya dengan (−2). Minul masuk ke braket pertama (sekarang ada plus di mana-mana), dan dua dikurangi dengan faktor konstan. Inilah yang harus Anda lakukan ketika menyiapkan perhitungan nyata untuk pekerjaan independen dan pengujian - Anda tidak perlu menjelaskan setiap tindakan dan transformasi.

Selanjutnya, metode interval yang lazim digunakan. Pembilangnya nol: tapi tidak ada. Karena diskriminannya akan negatif. Pada gilirannya, penyebutnya direset hanya ketika $x=0$ - sama seperti terakhir kali. Jelas bahwa di sebelah kanan $x=0$ pecahan akan bernilai positif, dan di sebelah kiri - negatif. Karena kita tertarik pada nilai negatif, jawaban akhirnya adalah: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(6,25 \kanan))^(x))\ge 1\]

Apa yang harus Anda lakukan dengan pecahan desimal dalam pertidaksamaan eksponensial? Benar: singkirkan, ubah menjadi biasa. Di sini kami akan menerjemahkan:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Panah Kanan ((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x)) =((\ kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Panah Kanan ((\kiri(6.25 \kanan))^(x))=((\kiri(\ frac(25) (4)\kanan))^(x)). \\\end(sejajarkan)\]

Jadi, apa yang kita dapatkan dari dasar-dasar fungsi eksponensial? Dan kami mendapat dua angka yang saling terbalik:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(-1))\Panah Kanan ((\left(\frac(25)(4) \ kanan))^(x))=((\kiri(((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-1)) \kanan))^(x))=((\ kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-x))\]

Jadi, pertidaksamaan aslinya dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x+\kiri(-x \kanan)))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0)); \\ & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0) ). \\\end(sejajarkan)\]

Tentu saja, ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dijumlahkan, seperti yang terjadi pada baris kedua. Selain itu, kami mewakili unit di sebelah kanan, juga sebagai kekuatan di basis 4/25. Yang tersisa hanyalah merasionalisasi:

\[((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0)) \Panah kanan \kiri(x+1-0 \kanan)\cdot \kiri(\frac(4)(25)-1 \kanan)\ge 0\]

Perhatikan bahwa $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, yaitu faktor kedua adalah konstanta negatif, dan bila dibagi dengan faktor tersebut, tanda pertidaksamaan akan berubah:

\[\begin(sejajarkan) & x+1-0\le 0\Panah Kanan x\le -1; \\ & x\in \kiri(-\infty ;-1 \kanan]. \\\end(align)\]

Terakhir, pertidaksamaan terakhir dari “himpunan” saat ini:

\[((\kiri(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Pada prinsipnya, gagasan penyelesaian di sini juga jelas: semua fungsi eksponensial yang termasuk dalam pertidaksamaan harus direduksi menjadi basis “3”. Tetapi untuk ini Anda harus sedikit mengotak-atik akar dan kekuatannya:

\[\begin(sejajarkan) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\kuad 81=((3)^(4)). \\\end(sejajarkan)\]

Dengan mempertimbangkan fakta-fakta ini, pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\kanan))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(sejajarkan)\]

Perhatikan baris perhitungan ke-2 dan ke-3: sebelum melakukan apa pun dengan pertidaksamaan, pastikan untuk membawanya ke bentuk yang kita bicarakan sejak awal pelajaran: $((a)^(x)) \ itu ((a)^(n))$. Selama Anda memiliki beberapa faktor kidal, konstanta tambahan, dll. di kiri atau kanan, tidak ada rasionalisasi atau “pencoretan” alasan yang dapat dilakukan! Banyak sekali tugas yang diselesaikan secara tidak benar karena kegagalan memahami fakta sederhana ini. Saya sendiri terus-menerus mengamati masalah ini pada siswa saya ketika kami baru mulai menganalisis pertidaksamaan eksponensial dan logaritma.

Tapi mari kita kembali ke tugas kita. Mari kita coba melakukannya tanpa rasionalisasi kali ini. Mari kita ingat: alas derajatnya lebih besar dari satu, sehingga rangkap tiganya cukup dicoret - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kami mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja. Jawaban akhir: $x\in \kiri(-\infty ;3 \kanan)$.

Mengisolasi ekspresi stabil dan mengganti variabel

Sebagai kesimpulan, saya mengusulkan untuk menyelesaikan empat pertidaksamaan eksponensial lagi, yang sudah cukup sulit bagi siswa yang tidak siap. Untuk mengatasinya, Anda perlu mengingat aturan untuk bekerja dengan derajat. Khususnya, menghilangkan faktor-faktor persekutuan.

Namun yang terpenting adalah belajar memahami apa sebenarnya yang bisa dikeluarkan dari kurung. Ekspresi seperti itu disebut stabil - ekspresi ini dapat dilambangkan dengan variabel baru dan dengan demikian menghilangkan fungsi eksponensial. Jadi, mari kita lihat tugasnya:

\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(sejajarkan)\]

Mari kita mulai dari baris pertama. Mari kita tuliskan pertidaksamaan ini secara terpisah:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Perhatikan bahwa $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, jadi sebelah kanan sisi dapat ditulis ulang:

Perhatikan bahwa tidak ada fungsi eksponensial lain kecuali $((5)^(x+1))$ dalam pertidaksamaan. Dan secara umum, variabel $x$ tidak muncul di tempat lain, jadi mari kita perkenalkan variabel baru: $((5)^(x+1))=t$. Kami mendapatkan konstruksi berikut:

\[\begin(sejajarkan) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(sejajarkan)\]

Kita kembali ke variabel asli ($t=((5)^(x+1))$), dan pada saat yang sama mengingat bahwa 1=5 0 . Kami memiliki:

\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(sejajarkan)\]

Itulah solusinya! Jawaban: $x\in \kiri[ -1;+\infty \kanan)$. Mari kita beralih ke pertidaksamaan kedua:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Semuanya sama di sini. Perhatikan bahwa $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Kemudian sisi kiri dapat ditulis ulang:

\[\begin(sejajarkan) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \kiri| ((3)^(x))=t \benar. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Panah kanan x\in \kiri[ 2;+\infty \kanan). \\\end(sejajarkan)\]

Kira-kira beginilah cara Anda perlu menyusun solusi untuk ujian nyata dan kerja mandiri.

Baiklah, mari kita coba sesuatu yang lebih rumit. Misalnya, berikut ketimpangannya:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Apa masalahnya disini? Pertama-tama, basis fungsi eksponensial di sebelah kiri berbeda: 5 dan 25. Namun, 25 = 5 2, sehingga suku pertama dapat diubah:

\[\begin(sejajarkan) & ((25)^(x+1.5))=((\kiri(((5)^(2)) \kanan))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(sejajarkan )\]

Seperti yang Anda lihat, pertama-tama kami membawa semuanya ke basis yang sama, dan kemudian kami memperhatikan bahwa suku pertama dapat dengan mudah direduksi menjadi suku kedua - Anda hanya perlu memperluas eksponennya. Sekarang Anda dapat dengan aman memasukkan variabel baru: $((5)^(2x+2))=t$, dan seluruh pertidaksamaan akan ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(sejajarkan) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(sejajarkan)\]

Dan sekali lagi, tidak ada kesulitan! Jawaban akhir: $x\in \kiri[ 1;+\infty \kanan)$. Mari beralih ke pertidaksamaan terakhir dalam pelajaran hari ini:

\[((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Hal pertama yang harus Anda perhatikan tentu saja adalah pecahan desimal pangkat satu. Penting untuk menghilangkannya, dan pada saat yang sama membawa semua fungsi eksponensial ke basis yang sama - angka "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Panah Kanan ((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x- 8))= ((\kiri(((2)^(-1)) \kanan))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Panah Kanan ((16)^(x+1,5))=((\kiri(((2)^(4)) \kanan))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(sejajarkan)\]

Hebat, kita telah mengambil langkah pertama—semuanya mengarah pada landasan yang sama. Sekarang Anda perlu memilih ekspresi stabil. Perhatikan bahwa $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jika kita memasukkan variabel baru $((2)^(4x+6))=t$, maka pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(sejajarkan) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(sejajarkan)\]

Tentu saja, pertanyaan yang mungkin timbul: bagaimana kita mengetahui bahwa 256 = 2 8? Sayangnya, di sini Anda hanya perlu mengetahui pangkat dua (dan sekaligus pangkat tiga dan lima). Nah, atau bagi 256 dengan 2 (bisa dibagi, karena 256 bilangan genap) sampai kita mendapatkan hasilnya. Ini akan terlihat seperti ini:

\[\begin(sejajarkan) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(sejajarkan )\]

Hal yang sama berlaku untuk tiga (angka 9, 27, 81 dan 243 adalah derajatnya), dan dengan tujuh (angka 49 dan 343 juga bagus untuk diingat). Nah, kelimanya juga punya derajat “indah” yang perlu Anda ketahui:

\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(sejajarkan)\]

Tentu saja, jika Anda mau, semua angka ini dapat diingat kembali hanya dengan mengalikannya secara berurutan. Namun, jika Anda harus menyelesaikan beberapa pertidaksamaan eksponensial, dan pertidaksamaan berikutnya lebih sulit daripada pertidaksamaan sebelumnya, maka hal terakhir yang ingin Anda pikirkan adalah pangkat beberapa bilangan. Dan dalam hal ini, permasalahan ini lebih kompleks daripada kesenjangan “klasik” yang diselesaikan dengan metode interval.