Besaran fisika dan sebutannya. Kurikulum sekolah: apa yang dimaksud dengan fisika

Menggambar bukanlah tugas yang mudah, tetapi Anda tidak dapat melakukannya tanpanya di dunia modern. Lagi pula, untuk membuat benda yang paling biasa sekalipun (baut atau mur kecil, rak buku, desain baju baru, dll.), Anda harus terlebih dahulu melakukan perhitungan yang sesuai dan menggambar gambarnya. produk masa depan. Namun, sering kali satu orang mengkompilasinya, dan orang lain menghasilkan sesuatu sesuai dengan skema ini.

Untuk menghindari kebingungan dalam memahami objek yang digambarkan dan parameternya, konvensi tentang panjang, lebar, tinggi, dan besaran lain yang digunakan dalam desain diterima di seluruh dunia. Apa itu? Mari kita cari tahu.

Kuantitas

Luas, tinggi, dan sebutan lain yang sejenis tidak hanya merupakan besaran fisis, tetapi juga besaran matematis.

Penunjukan satu hurufnya (digunakan oleh semua negara) ditetapkan pada pertengahan abad kedua puluh oleh Sistem Satuan Internasional (SI) dan masih digunakan hingga saat ini. Karena alasan inilah semua parameter tersebut ditunjukkan dalam bahasa Latin, dan bukan dalam huruf Sirilik atau tulisan Arab. Agar tidak menimbulkan kesulitan tertentu, ketika mengembangkan standar dokumentasi desain di sebagian besar negara modern, diputuskan untuk menggunakan konvensi yang hampir sama dengan yang digunakan dalam fisika atau geometri.

Setiap lulusan sekolah ingat bahwa tergantung pada gambar (produk) dua dimensi atau tiga dimensi yang digambarkan, ia memiliki serangkaian parameter dasar. Jika ada dua dimensi maka lebar dan panjang, jika tiga maka tinggi juga ditambah.

Jadi, pertama-tama, mari kita cari tahu cara menunjukkan panjang, lebar, tinggi dengan benar pada gambar.

Lebar

Sebagaimana disebutkan di atas, dalam matematika besaran yang dimaksud adalah salah satu dari tiga dimensi spasial suatu benda, asalkan pengukurannya dilakukan dalam arah melintang. Jadi apa yang membuat lebar terkenal? Itu dilambangkan dengan huruf "B". Hal ini diketahui di seluruh dunia. Selain itu, menurut Gost, diperbolehkan menggunakan huruf Latin kapital dan kecil. Pertanyaan yang sering muncul adalah mengapa surat khusus ini dipilih. Lagi pula, pengurangan biasanya dilakukan sesuai dengan nama pertama kuantitas dalam bahasa Yunani atau Inggris. Dalam hal ini, lebar dalam bahasa Inggris akan terlihat seperti “width”.

Mungkin intinya di sini adalah bahwa parameter ini awalnya paling banyak digunakan dalam geometri. Dalam ilmu ini, ketika mendeskripsikan bangun, panjang, lebar, tinggi sering dilambangkan dengan huruf “a”, “b”, “c”. Menurut tradisi ini, ketika memilih, huruf "B" (atau "b") dipinjam dari sistem SI (walaupun simbol selain geometri mulai digunakan untuk dua dimensi lainnya).

Sebagian besar percaya bahwa hal ini dilakukan agar tidak membingungkan lebar (ditunjukkan dengan huruf "B"/"b") dengan berat. Faktanya adalah bahwa yang terakhir kadang-kadang disebut sebagai "W" (kependekan dari nama bahasa Inggris bobot), meskipun penggunaan huruf lain ("G" dan "P") juga dapat diterima. Menurut standar internasional sistem SI, lebar diukur dalam meter atau kelipatan (kelipatan) satuannya. Perlu dicatat bahwa dalam geometri kadang-kadang penggunaan "w" juga dapat diterima untuk menunjukkan lebar, tetapi dalam fisika dan ilmu eksakta lainnya sebutan seperti itu biasanya tidak digunakan.

Panjang

Seperti yang telah disebutkan, dalam matematika, panjang, tinggi, lebar adalah tiga dimensi spasial. Apalagi jika lebar merupakan dimensi linier pada arah melintang, maka panjang merupakan dimensi linier pada arah memanjang. Mengingatnya sebagai besaran fisika, dapat dipahami bahwa kata ini berarti karakteristik numerik dari panjang garis.

Dalam bahasa Inggris istilah ini disebut panjang. Karena itulah nilai ini dilambangkan dengan huruf kapital atau huruf kecil dari kata ini - “L”. Seperti halnya lebar, panjang diukur dalam meter atau kelipatannya (kelipatannya).

Tinggi

Kehadiran nilai ini menunjukkan bahwa kita harus berhadapan dengan ruang tiga dimensi yang lebih kompleks. Berbeda dengan panjang dan lebar, tinggi secara numerik mencirikan ukuran suatu benda dalam arah vertikal.

Dalam bahasa Inggris ditulis "height". Oleh karena itu menurut standar internasional dilambangkan dengan huruf latin “H” / “h”. Selain ketinggian, dalam gambar terkadang huruf ini juga berfungsi sebagai sebutan kedalaman. Tinggi, lebar dan panjang - semua parameter ini diukur dalam meter serta kelipatan dan subkelipatannya (kilometer, sentimeter, milimeter, dll.).

Jari-jari dan diameter

Selain parameter yang dibahas, saat membuat gambar, Anda harus berurusan dengan parameter lain.

Misalnya, saat bekerja dengan lingkaran, radiusnya perlu ditentukan. Ini adalah nama ruas yang menghubungkan dua titik. Yang pertama adalah pusatnya. Yang kedua terletak tepat di lingkaran itu sendiri. Dalam bahasa Latin kata ini terlihat seperti "radius". Oleh karena itu huruf kecil atau kapital “R”/”r”.

Saat menggambar lingkaran, selain jari-jarinya, Anda sering kali harus menghadapi fenomena yang dekat dengannya - diameter. Ini juga merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik pada sebuah lingkaran. Dalam hal ini, ia harus melewati pusat.

Secara numerik, diameternya sama dengan dua jari-jari. Dalam bahasa Inggris kata ini ditulis seperti ini: "diameter". Oleh karena itu singkatannya - huruf Latin besar atau kecil "D" / "d". Seringkali diameter dalam gambar ditunjukkan menggunakan lingkaran yang dicoret - “Ø”.

Meskipun ini adalah singkatan umum, perlu diingat bahwa GOST hanya menyediakan penggunaan bahasa Latin “D” / “d”.

Ketebalan

Sebagian besar dari kita ingat pelajaran matematika sekolah. Meski begitu, para guru memberi tahu kami bahwa huruf latin “s” digunakan untuk menunjukkan besaran seperti luas. Namun, menurut standar yang diterima secara umum, parameter yang sama sekali berbeda ditulis dalam gambar dengan cara ini - ketebalan.

Mengapa demikian? Diketahui bahwa dalam hal tinggi, lebar, panjang, sebutan dengan huruf dapat dijelaskan oleh tulisan atau tradisinya. Hanya saja ketebalan dalam bahasa Inggris terlihat seperti “thickness”, dan dalam bahasa Latin terlihat seperti “crassities”. Juga tidak jelas mengapa, tidak seperti besaran lainnya, ketebalan hanya dapat ditunjukkan dengan huruf kecil. Notasi "s" juga digunakan untuk menggambarkan ketebalan halaman, dinding, rusuk, dll.

Keliling dan luas

Berbeda dengan semua besaran yang disebutkan di atas, kata “perimeter” tidak berasal dari bahasa Latin atau Inggris, melainkan dari bahasa Yunani. Ini berasal dari "περιμετρέο" ("mengukur keliling"). Dan saat ini istilah ini masih mempertahankan maknanya (panjang total batas gambar). Selanjutnya kata tersebut masuk ke dalam bahasa Inggris (“perimeter”) dan ditetapkan dalam sistem SI berupa singkatan dengan huruf “P”.

Luas adalah besaran yang menunjukkan sifat kuantitatif suatu bangun datar yang mempunyai dua dimensi (panjang dan lebar). Tidak seperti semua hal yang disebutkan sebelumnya, ini diukur dalam meter persegi (serta dalam subkelipatan dan kelipatannya). Adapun huruf sebutan daerah berbeda-beda di setiap daerah. Misalnya dalam matematika, ini adalah huruf latin “S”, yang sudah tidak asing lagi bagi semua orang sejak kecil. Mengapa demikian - tidak ada informasi.

Beberapa orang tanpa sadar mengira hal ini disebabkan oleh ejaan bahasa Inggris untuk kata "square". Namun, di dalamnya luas matematisnya adalah "luas", dan "persegi" adalah luas dalam pengertian arsitektural. Ngomong-ngomong, perlu diingat bahwa "persegi" adalah nama figur geometris "persegi". Jadi sebaiknya berhati-hati saat mempelajari gambar dalam bahasa Inggris. Karena terjemahan “area” dalam beberapa disiplin ilmu, huruf “A” digunakan sebagai sebutan. Dalam kasus yang jarang terjadi, "F" juga digunakan, tetapi dalam fisika huruf ini berarti besaran yang disebut "gaya" ("fortis").

Singkatan umum lainnya

Sebutan tinggi, lebar, panjang, tebal, jari-jari, dan diameter adalah yang paling umum digunakan saat menggambar. Namun, ada besaran lain yang juga sering terdapat di dalamnya. Misalnya huruf kecil "t". Dalam fisika, ini berarti "suhu", namun menurut Gost dari Sistem Dokumentasi Desain Terpadu, huruf ini adalah nada (pegas heliks, dll.). Namun, ini tidak digunakan untuk roda gigi dan benang.

Huruf kapital dan huruf kecil “A”/”a” (menurut standar yang sama) pada gambar digunakan bukan untuk menunjukkan luas, tetapi untuk menunjukkan jarak pusat ke pusat dan jarak pusat ke pusat. Selain ukuran yang berbeda, dalam gambar seringkali perlu untuk menunjukkan sudut dengan ukuran berbeda. Untuk tujuan ini, biasanya menggunakan huruf kecil alfabet Yunani. Yang paling umum digunakan adalah “α”, “β”, “γ” dan “δ”. Namun, penggunaan yang lain dapat diterima.

Standar apa yang mendefinisikan penunjukan huruf untuk panjang, lebar, tinggi, luas dan besaran lainnya?

Seperti disebutkan di atas, agar tidak terjadi kesalahpahaman saat membaca gambar, perwakilan dari berbagai negara telah mengadopsi standar umum penunjukan huruf. Dengan kata lain, jika Anda ragu tentang penafsiran singkatan tertentu, lihatlah GOST. Dengan cara ini Anda akan belajar cara menunjukkan tinggi, lebar, panjang, diameter, jari-jari dengan benar, dan sebagainya.

Bukan rahasia lagi bahwa ada notasi khusus untuk besaran dalam ilmu apa pun. Sebutan huruf dalam fisika membuktikan bahwa ilmu ini tidak terkecuali dalam hal mengidentifikasi besaran dengan menggunakan simbol-simbol khusus. Besaran pokok dan turunannya cukup banyak, yang masing-masing mempunyai lambang tersendiri. Nah, sebutan huruf dalam fisika akan dibahas secara detail di artikel ini.

Fisika dan besaran fisika dasar

Berkat Aristoteles, kata fisika mulai digunakan, karena dialah yang pertama kali menggunakan istilah ini, yang pada saat itu dianggap sinonim dengan istilah filsafat. Hal ini disebabkan oleh kesamaan objek kajian – hukum Alam Semesta, lebih khusus lagi – cara fungsinya. Seperti yang Anda ketahui, revolusi ilmiah pertama terjadi pada abad 16-17, dan berkat itulah fisika dipilih sebagai ilmu yang mandiri.

Mikhail Vasilyevich Lomonosov memperkenalkan kata fisika ke dalam bahasa Rusia dengan menerbitkan buku teks yang diterjemahkan dari bahasa Jerman - buku teks fisika pertama di Rusia.

Jadi, fisika adalah cabang ilmu alam yang mempelajari hukum-hukum umum alam, serta materi, pergerakan dan strukturnya. Besaran fisika dasar tidak sebanyak yang terlihat pada pandangan pertama - hanya ada 7:

• panjang,
• berat,
• waktu,
• kekuatan saat ini,
• suhu,
• jumlah zat
• kekuatan cahaya.

Tentu saja, mereka memiliki sebutan hurufnya sendiri dalam fisika. Misalnya, simbol yang dipilih untuk massa adalah m, dan untuk suhu - T. Selain itu, semua besaran memiliki satuan pengukurannya sendiri: intensitas cahaya adalah candela (cd), dan satuan pengukuran jumlah suatu zat adalah mol.

Besaran fisika yang diturunkan

Besaran fisika turunan jauh lebih banyak daripada besaran pokok. Ada 26 di antaranya, dan seringkali beberapa di antaranya diklasifikasikan sebagai yang utama.

Jadi, luas merupakan turunan dari panjang, volume juga merupakan turunan dari panjang, kecepatan merupakan turunan dari waktu, panjang, dan percepatan, pada gilirannya, mencirikan laju perubahan kecepatan. Momentum dinyatakan dalam massa dan kecepatan, gaya adalah hasil kali massa dan percepatan, kerja mekanik bergantung pada gaya dan panjang, energi sebanding dengan massa. Daya, tekanan, massa jenis, massa jenis permukaan, massa jenis linier, jumlah panas, tegangan, hambatan listrik, fluks magnet, momen inersia, momen impuls, momen gaya - semuanya bergantung pada massa. Frekuensi, kecepatan sudut, percepatan sudut berbanding terbalik dengan waktu, dan muatan listrik berbanding lurus dengan waktu. Sudut dan sudut padat merupakan besaran turunan dari panjang.

Huruf apa yang melambangkan tegangan dalam fisika? Tegangan yang merupakan besaran skalar dilambangkan dengan huruf U. Untuk kecepatan dilambangkan dengan huruf v, untuk kerja mekanik - A, dan untuk energi - E. Muatan listrik biasanya dilambangkan dengan huruf q, dan fluks magnet - F.

SI: informasi umum

Sistem Satuan Internasional (SI) adalah sistem satuan fisika yang didasarkan pada Sistem Satuan Internasional, termasuk nama dan lambang besaran fisika. Hal ini diadopsi oleh General Conference on Weights and Measures. Sistem inilah yang mengatur sebutan huruf dalam fisika, serta dimensi dan satuan ukurannya. Untuk penunjukan, huruf alfabet Latin digunakan, dalam beberapa kasus - alfabet Yunani. Dimungkinkan juga untuk menggunakan karakter khusus sebagai sebutan.

Kesimpulan

Jadi, dalam setiap disiplin ilmu ada sebutan khusus untuk berbagai macam besaran. Tentu saja, fisika tidak terkecuali. Simbol hurufnya cukup banyak: gaya, luas, massa, percepatan, tegangan, dll. Mereka mempunyai simbolnya masing-masing. Ada sistem khusus yang disebut Sistem Satuan Internasional. Ada pendapat bahwa satuan dasar tidak dapat diturunkan secara matematis dari satuan lain. Besaran turunan diperoleh dengan mengalikan dan membagi besaran pokok.

Beralih ke penerapan fisika turunan, kita akan menggunakan notasi yang sedikit berbeda dari notasi yang diterima dalam fisika.

Pertama, peruntukan fungsi berubah. Sebenarnya fitur apa saja yang akan kita bedakan? Fungsi-fungsi ini adalah besaran fisis yang bergantung pada waktu. Misalnya, koordinat benda x(t) dan kecepatannya v(t) dapat diberikan dengan rumus:

(baca ¾ix dengan titik¿).

Ada notasi lain untuk turunan, yang sangat umum dalam matematika dan fisika:

(baca ¾de x oleh de te¿).

Mari kita membahas lebih detail tentang arti notasi (1.16). Ahli matematika memahaminya dalam dua cara, baik sebagai batasan:

atau sebagai pecahan, yang penyebutnya adalah pertambahan waktu dt, dan pembilangnya disebut diferensial dx dari fungsi x(t). Konsep diferensial tidaklah rumit, tetapi kita tidak akan membahasnya sekarang; itu menanti Anda di tahun pertama Anda.

Seorang fisikawan, yang tidak dibatasi oleh persyaratan ketelitian matematika, memahami notasi (1.16) secara lebih informal. Misalkan dx adalah perubahan koordinat terhadap waktu dt. Mari kita ambil interval dt begitu kecil sehingga rasio dx=dt mendekati batasnya (1,17) dengan akurasi yang sesuai untuk kita.

Dan kemudian, fisikawan akan mengatakan, turunan koordinat terhadap waktu hanyalah pecahan, yang pembilangnya berisi perubahan yang cukup kecil pada koordinat dx, dan penyebutnya berisi periode waktu yang cukup kecil dt selama perubahan ini. secara koordinat terjadi.

Pemahaman yang longgar tentang turunan adalah tipikal penalaran dalam fisika. Selanjutnya kita akan mematuhi tingkat ketelitian fisik ini.

Turunan x(t) dari besaran fisis x(t) juga merupakan fungsi waktu, dan fungsi ini dapat diturunkan lagi untuk mencari turunan dari turunannya, atau turunan kedua dari fungsi x(t). Berikut salah satu notasi untuk turunan kedua:

turunan kedua dari fungsi x(t) dilambangkan dengan x (t)

(baca ¾ix dengan dua titik¿), tapi ini satu lagi:

turunan kedua dari fungsi x(t) dilambangkan dengan dt 2

(baca ¾de dua x kali de te square¿ atau ¾de dua x kali de te dua kali¿).

Mari kita kembali ke contoh awal (1.13) dan menghitung turunan koordinat, sekaligus melihat penggunaan gabungan notasi (1.15) dan (1.16):

x(t) = 1 + 12t 3t2 )

x(t) = dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t:

(Simbol pembeda dt d sebelum tanda kurung sama dengan bilangan prima di belakang tanda kurung pada notasi sebelumnya.)

Perlu diketahui bahwa turunan koordinat tersebut ternyata sama dengan kecepatan (1,14). Ini bukanlah suatu kebetulan. Hubungan antara turunan koordinat dan kecepatan benda akan dijelaskan pada bagian selanjutnya “Gerakan Mekanik”.

1.1.7 Batas besaran vektor

Besaran fisika tidak hanya skalar, tetapi juga vektor. Oleh karena itu, kita sering kali tertarik pada laju perubahan besaran vektor, yaitu turunan vektor. Namun sebelum kita membahas turunan, kita perlu memahami konsep limit suatu besaran vektor.

Perhatikan barisan vektor ~u1 ; ~u2 ; ~u3 ; : : : Setelah melakukan, jika perlu, terjemahan paralel, kami membawa asal-usulnya ke satu titik O (Gbr. 1.5):

Misalkan barisan titik-titik tersebut adalah A1 ; A2; A3; : : : ¾mengalir¿2 ke titik B:

lim An = B:

Mari kita nyatakan ~v = OB. Maka kita akan mengatakan bahwa barisan vektor biru ~un cenderung ke vektor merah ~v, atau bahwa vektor ~v adalah limit barisan vektor ~un:

~v = lim ~un :

2 Pemahaman intuitif tentang “mengalir masuk” ini sudah cukup, tetapi mungkin Anda tertarik pada penjelasan yang lebih teliti? Lalu ini dia.

Biarkan segala sesuatunya terjadi di pesawat. ¾Aliran masuk¿ dari urutan A1 ; A2; A3; : : : ke titik B artinya sebagai berikut: sekecil apapun lingkaran yang berpusat di titik B kita ambil, semua titik barisan yang dimulai dari suatu titik akan berada di dalam lingkaran tersebut. Dengan kata lain, di luar lingkaran mana pun dengan pusat B hanya terdapat sejumlah titik terbatas dalam barisan kita.

Bagaimana jika hal itu terjadi di luar angkasa? Definisi “mengalir masuk” sedikit dimodifikasi: Anda hanya perlu mengganti kata “lingkaran” dengan kata “bola”.

Sekarang mari kita asumsikan bahwa ujung vektor biru pada Gambar. 1.5 menjalankan bukan kumpulan nilai yang terpisah, tetapi kurva kontinu (misalnya, ditunjukkan dengan garis putus-putus). Jadi, kita tidak berurusan dengan barisan vektor ~un, tetapi dengan vektor ~u(t), yang berubah seiring waktu. Inilah yang kita butuhkan dalam fisika!

Penjelasan selanjutnya hampir sama. Misalkan t cenderung pada suatu nilai t0. Jika

dalam hal ini ujung-ujung vektor ~u(t) mengalir ke suatu titik B, maka kita katakan vektor tersebut

~v = OB adalah limit besaran vektor ~u(t):

t!t0

1.1.8 Diferensiasi vektor

Setelah mengetahui limit suatu besaran vektor, kita siap mengambil langkah selanjutnya dengan memperkenalkan konsep turunan suatu vektor.

Mari kita asumsikan bahwa ada beberapa vektor ~u(t) yang bergantung pada waktu. Artinya panjang suatu vektor dan arahnya dapat berubah seiring waktu.

Dengan analogi dengan fungsi biasa (skalar), konsep perubahan (atau kenaikan) suatu vektor diperkenalkan. Perubahan vektor ~u terhadap waktu t merupakan besaran vektor:

~u = ~u(t + t) ~u(t):

Perlu diketahui bahwa di sisi kanan relasi ini terdapat selisih vektor. Perubahan vektor ~u ditunjukkan pada Gambar. 1.6 (ingat bahwa ketika mengurangkan vektor, kita membawa permulaannya ke satu titik, menghubungkan ujung-ujungnya dan “menusuk” dengan panah vektor dari mana pengurangan dilakukan).

~kamu(t) ~kamu

Beras. 1.6. Perubahan vektor

Jika selang waktu t cukup pendek, maka vektor ~u berubah sedikit selama waktu tersebut (setidaknya dalam fisika, hal ini selalu dianggap demikian). Oleh karena itu, jika pada t ! 0 relasi~u= t cenderung pada batas tertentu, maka batas tersebut disebut turunan dari vektor ~u:

Saat menyatakan turunan suatu vektor, kita tidak akan menggunakan titik di atasnya (karena simbol ~u_ tidak terlihat bagus) dan membatasi diri pada notasi (1.18). Namun untuk turunan skalar tentunya kita leluasa menggunakan kedua notasi tersebut.

Ingatlah bahwa d~u=dt adalah simbol turunan. Dapat juga dipahami sebagai pecahan, yang pembilangnya memuat selisih vektor ~u, yang sesuai dengan selang waktu dt. Kami tidak membahas konsep diferensial di atas, karena tidak diajarkan di sekolah; Kami juga tidak akan membahas perbedaannya di sini.

Namun, pada tingkat ketelitian fisik, turunan d~u=dt dapat dianggap sebagai pecahan, yang penyebutnya adalah selang waktu yang sangat kecil dt, dan pembilangnya adalah perubahan kecil yang sesuai d~u dari vektor ~u . Pada dt yang cukup kecil, nilai pecahan ini berbeda

batas di sisi kanan (1,18) sangat kecil sehingga, dengan mempertimbangkan keakuratan pengukuran yang ada, perbedaan ini dapat diabaikan.

Pemahaman fisik (yang tidak sepenuhnya ketat) tentang turunan ini sudah cukup bagi kita.

Aturan untuk membedakan ekspresi vektor dalam banyak hal mirip dengan aturan untuk membedakan skalar. Kami hanya membutuhkan aturan yang paling sederhana.

1. Faktor skalar konstanta dikeluarkan dari tanda turunannya: jika c = const, maka

d(c~u) = c d~u: dt dt

Kami menggunakan aturan ini di bagian ¾Momentum¿ ketika hukum kedua Newton

2. Pengali vektor konstanta dikeluarkan dari tanda turunannya: jika ~c = const, maka dt d (x(t)~c) = x(t)~c:

3. Turunan jumlah vektor sama dengan jumlah turunannya:

dt d (~u + ~v) =d~u dt +d~v dt :

Kami akan menggunakan dua aturan terakhir berulang kali. Mari kita lihat cara kerjanya dalam situasi diferensiasi vektor yang paling penting dengan adanya sistem koordinat persegi panjang OXY Z di ruang angkasa (Gbr. 1.7).

Beras. 1.7. Penguraian vektor menjadi basis

Sebagaimana diketahui, setiap vektor ~u dapat diperluas secara unik berdasarkan satuan

vektor ~ ,~ ,~ : i j k

~u = ux i + uy j + uz k:

Di sini ux, uy, uz adalah proyeksi vektor ~u ke sumbu koordinat. Mereka juga merupakan koordinat vektor ~u dalam basis ini.

Vektor ~u dalam kasus kita bergantung pada waktu, yang berarti koordinatnya ux, uy, uz adalah fungsi waktu:

Mari kita bedakan kesetaraan ini. Pertama kita menggunakan aturan untuk membedakan jumlah:

Jadi, jika vektor ~u mempunyai koordinat (ux ; uy ; uz ), maka koordinat turunannya d~u=dt merupakan turunan dari koordinat vektor ~u yaitu (ux ; uy ; uz ).

Mengingat pentingnya rumus (1.20), kami akan memberikan turunan yang lebih langsung. Pada waktu t + t menurut (1.19) kita mempunyai:

~u(t + t) = ux (t + t) i + uy (t + t) j + uz (t + t)k:

Mari kita tulis perubahan vektor ~u:

~u = ~u(t + t) ~u(t) =

Ux (t + t) i + uy (t + t) j + uz (t + t)k ux (t) i + uy (t) j + uz (t)k =

Dalam batas di t! 0 pecahan ux = t, uy = t, uz = t masing-masing diubah menjadi turunan ux, uy, uz, dan kita kembali memperoleh relasi (1.20):

Ux i + uy j + uz k.