Pecahan. Mengalikan dan membagi pecahan

Mengalikan bilangan bulat dengan pecahan bukanlah tugas yang sulit. Namun ada beberapa seluk-beluk yang mungkin Anda pahami di sekolah, tetapi kemudian Anda lupakan.

Cara mengalikan bilangan bulat dengan pecahan - beberapa suku

Jika Anda ingat apa itu pembilang dan penyebut serta perbedaan pecahan biasa dan pecahan biasa, lewati paragraf ini. Ini untuk mereka yang sudah benar-benar melupakan teorinya.

Pembilangnya adalah bagian atas pecahan - yang kita bagi. Penyebutnya lebih rendah. Inilah yang kami bagi.
Pecahan wajar adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Pecahan biasa adalah pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya.

Cara mengalikan bilangan bulat dengan pecahan

Aturan mengalikan bilangan bulat dengan pecahan sangat sederhana - kita mengalikan pembilangnya dengan bilangan bulat, tetapi jangan menyentuh penyebutnya. Misalnya: dua dikalikan seperlima - kita mendapatkan dua perlima. Empat dikalikan tiga per enam belas sama dengan dua belas per enam belas.

Pengurangan

Pada contoh kedua, pecahan yang dihasilkan dapat dikurangi.
Apa maksudnya? Perlu diketahui bahwa pembilang dan penyebut pecahan ini habis dibagi empat. Membagi kedua bilangan dengan pembagi persekutuan disebut mereduksi pecahan. Kami mendapat tiga perempat.

Pecahan yang tidak wajar

Tapi misalkan kita mengalikan empat dengan dua per lima. Ternyata menjadi delapan perlima. Ini adalah pecahan biasa.
Itu pasti perlu dibawa ke bentuk yang benar. Untuk melakukan ini, Anda perlu memilih seluruh bagian darinya.
Di sini Anda perlu menggunakan pembagian dengan sisa. Kami mendapat satu dan tiga sebagai sisanya.
Satu bilangan bulat dan tiga perlima adalah pecahan biasa kita.

Membawa tiga puluh lima perdelapan ke bentuk yang benar sedikit lebih sulit. Angka terdekat dengan tiga puluh tujuh yang habis dibagi delapan adalah tiga puluh dua. Jika dibagi kita mendapat empat. Kurangi tiga puluh dua dari tiga puluh lima dan kita mendapatkan tiga. Hasil: empat utuh dan tiga perdelapan.

Persamaan pembilang dan penyebut. Dan di sini semuanya sangat sederhana dan indah. Jika pembilang dan penyebutnya sama, maka hasilnya hanya satu.

Pada pelajaran SMP dan SMA, siswa membahas topik “Pecahan”. Namun konsep ini jauh lebih luas dari apa yang diberikan dalam proses pembelajaran. Saat ini, konsep pecahan cukup sering ditemui, dan tidak semua orang dapat menghitung ekspresi apa pun, misalnya perkalian pecahan.

Apa itu pecahan?

Secara historis, bilangan pecahan muncul dari kebutuhan akan pengukuran. Seperti yang ditunjukkan oleh praktik, sering kali ada contoh penentuan panjang suatu segmen dan volume persegi panjang.

Awalnya siswa diperkenalkan dengan konsep berbagi. Misalnya, jika semangka dibagi menjadi 8 bagian, maka setiap orang akan mendapat seperdelapan dari semangka tersebut. Satu bagian dari delapan ini disebut bagian.

Bagian yang sama dengan ½ dari nilai berapa pun disebut setengah; ⅓ - ketiga; ¼ - seperempat. Catatan yang berbentuk 5/8, 4/5, 2/4 disebut pecahan biasa. Pecahan biasa dibagi menjadi pembilang dan penyebut. Di antara keduanya terdapat bilah pecahan, atau bilah pecahan. Garis pecahan dapat digambarkan sebagai garis horizontal atau miring. Dalam hal ini, ini menunjukkan tanda pembagian.

Penyebut mewakili berapa banyak bagian yang sama yang membagi kuantitas atau benda; dan pembilangnya adalah berapa banyak saham identik yang diambil. Pembilangnya ditulis di atas garis pecahan, dan penyebutnya ditulis di bawahnya.

Paling mudah untuk menampilkan pecahan biasa pada sinar koordinat. Jika satu ruas dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar, yang masing-masing bagian diberi tanda huruf latin, maka hasilnya dapat menjadi alat bantu visual yang sangat baik. Jadi, titik A menunjukkan bagian yang sama dengan 1/4 dari seluruh satuan segmen, dan titik B menandai 2/8 dari suatu segmen tertentu.

Jenis pecahan

Pecahan dapat berupa bilangan biasa, desimal, dan campuran. Selain itu, pecahan dapat dibedakan menjadi pecahan biasa dan pecahan biasa. Klasifikasi ini lebih cocok untuk pecahan biasa.

Pecahan wajar adalah bilangan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Oleh karena itu, pecahan biasa adalah bilangan yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya. Tipe kedua biasanya ditulis sebagai bilangan campuran. Ekspresi ini terdiri dari bilangan bulat dan bagian pecahan. Misalnya, 1½. 1 adalah bagian bilangan bulat, ½ adalah bagian pecahan. Namun, jika Anda perlu melakukan beberapa manipulasi dengan ekspresi (membagi atau mengalikan pecahan, mengurangi atau mengonversinya), bilangan campuran diubah menjadi pecahan biasa.

Ekspresi pecahan yang benar selalu kurang dari satu, dan ekspresi pecahan yang salah selalu lebih besar dari atau sama dengan 1.

Adapun ungkapan ini, yang kami maksud adalah catatan yang mewakili bilangan apa pun, yang penyebut ekspresi pecahannya dapat dinyatakan dalam satu dengan beberapa nol. Jika pecahannya tepat, maka bagian bilangan bulat dalam notasi desimal akan sama dengan nol.

Untuk menulis pecahan desimal, Anda harus menulis seluruh bagiannya terlebih dahulu, memisahkannya dari pecahan menggunakan koma, lalu menulis ekspresi pecahannya. Harus diingat bahwa setelah koma, pembilangnya harus berisi jumlah karakter digital yang sama dengan jumlah nol pada penyebutnya.

Contoh. Nyatakan pecahan 7 21/1000 dalam notasi desimal.

Algoritma untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran dan sebaliknya

Menuliskan pecahan biasa pada jawaban suatu soal adalah salah, sehingga perlu diubah menjadi bilangan campuran:

• membagi pembilangnya dengan penyebut yang ada;
• dalam contoh spesifik, hasil bagi tidak lengkap adalah keseluruhan;
• dan sisanya adalah pembilang bagian pecahan, dan penyebutnya tidak berubah.

Contoh. Ubah pecahan biasa menjadi bilangan campuran: 47/5.

Larutan. 47: 5. Hasil bagi parsial adalah 9, sisanya = 2. Jadi, 47/5 = 9 2/5.

Terkadang Anda perlu menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa. Maka Anda perlu menggunakan algoritma berikut:

• bagian bilangan bulat dikalikan dengan penyebut ekspresi pecahan;
• produk yang dihasilkan ditambahkan ke pembilang;
• hasilnya ditulis pada pembilangnya, penyebutnya tetap.

Contoh. Sajikan bilangan dalam bentuk campuran sebagai pecahan biasa: 9 8/10.

Larutan. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 adalah pembilangnya.

Menjawab: 98 / 10.

Mengalikan pecahan

Berbagai operasi aljabar dapat dilakukan pada pecahan biasa. Untuk mengalikan dua bilangan, Anda perlu mengalikan pembilangnya dengan pembilangnya, dan penyebutnya dengan penyebutnya. Selain itu, mengalikan pecahan yang penyebutnya berbeda tidak ada bedanya dengan mengalikan pecahan yang penyebutnya sama.

Kebetulan setelah menemukan hasilnya, Anda perlu mengurangi pecahannya. Sangat penting untuk menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan sebanyak mungkin. Tentu saja, seseorang tidak dapat mengatakan bahwa pecahan biasa dalam suatu jawaban adalah suatu kesalahan, tetapi sulit juga untuk menyebutnya sebagai jawaban yang benar.

Contoh. Temukan produk dari dua pecahan biasa: ½ dan 20/18.

Seperti dapat dilihat dari contoh, setelah menemukan produk, diperoleh notasi pecahan yang dapat direduksi. Pembilang dan penyebut dalam hal ini dibagi 4, dan hasilnya adalah jawaban 5/9.

Mengalikan pecahan desimal

Perkalian pecahan desimal pada prinsipnya sangat berbeda dengan perkalian pecahan biasa. Jadi perkalian pecahan adalah sebagai berikut:

• dua pecahan desimal harus ditulis satu di bawah yang lain sehingga angka paling kanan berada satu di bawah yang lain;
• anda perlu mengalikan angka-angka yang tertulis, meskipun ada koma, yaitu sebagai bilangan asli;
• menghitung jumlah digit setelah koma pada setiap angka;
• pada hasil yang diperoleh setelah perkalian, perlu dihitung dari kanan sebanyak simbol digital yang terdapat dalam penjumlahan kedua faktor setelah koma, dan memberi tanda pemisah;
• jika ada lebih sedikit angka dalam produk, maka Anda perlu menulis angka nol di depannya sebanyak mungkin untuk menutupi angka ini, beri koma dan tambahkan seluruh bagian yang sama dengan nol.

Contoh. Hitung hasil kali dua pecahan desimal: 2,25 dan 3,6.

Larutan.

Mengalikan pecahan campuran

Untuk menghitung hasil kali dua pecahan campuran, Anda perlu menggunakan aturan mengalikan pecahan:

• mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa;
• temukan produk pembilangnya;
• temukan produk penyebutnya;
• tuliskan hasilnya;
• menyederhanakan ekspresi sebanyak mungkin.

Contoh. Temukan produk dari 4½ dan 6 2/5.

Mengalikan suatu bilangan dengan pecahan (pecahan dengan bilangan)

Selain mencari hasil kali dua pecahan dan bilangan campuran, ada tugas yang mengharuskan Anda mengalikannya dengan pecahan.

Jadi, untuk mencari hasil kali pecahan desimal dan bilangan asli, Anda memerlukan:

• tuliskan bilangan di bawah pecahan sehingga angka paling kanan terletak satu di atas yang lain;
• temukan produknya meskipun ada koma;
• pada hasil yang dihasilkan, pisahkan bagian bilangan bulat dari bagian pecahan menggunakan koma, hitung dari kanan jumlah digit yang terletak setelah koma desimal dalam pecahan.

Untuk mengalikan pecahan biasa dengan suatu bilangan, Anda perlu mencari hasil kali pembilang dan faktor naturalnya. Jika jawabannya menghasilkan pecahan yang dapat dikurangi, maka harus dikonversikan.

Contoh. Hitung hasil kali 5/8 dan 12.

Larutan. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Menjawab: 7 1 / 2.

Seperti yang dapat Anda lihat dari contoh sebelumnya, hasil yang dihasilkan perlu direduksi dan ekspresi pecahan tak beraturan diubah menjadi bilangan campuran.

Perkalian pecahan juga menyangkut pencarian hasil kali suatu bilangan dalam bentuk campuran dan faktor alam. Untuk mengalikan kedua bilangan tersebut, Anda harus mengalikan seluruh bagian faktor campuran dengan bilangan tersebut, mengalikan pembilangnya dengan nilai yang sama, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah. Jika perlu, Anda perlu menyederhanakan hasil yang dihasilkan semaksimal mungkin.

Contoh. Temukan produk dari 9 5/6 dan 9.

Larutan. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Menjawab: 88 1 / 2.

Perkalian dengan faktor 10, 100, 1000 atau 0,1; 0,01; 0,001

Aturan berikut mengikuti dari paragraf sebelumnya. Untuk mengalikan pecahan desimal dengan 10, 100, 1000, 10000, dst., Anda perlu memindahkan koma desimal ke kanan sebanyak digit yang ada di belakang angka nol setelah faktor tersebut.

Contoh 1. Temukan produk dari 0,065 dan 1000.

Larutan. 0,065x1000 = 0065 = 65.

Menjawab: 65.

Contoh 2. Temukan produk dari 3,9 dan 1000.

Larutan. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Menjawab: 3900.

Jika Anda perlu mengalikan bilangan asli dan 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, dst., Anda harus memindahkan koma pada hasil perkalian ke kiri sebanyak karakter digit sebanyak nol sebelum satu. Jika perlu, jumlah nol yang cukup ditulis sebelum bilangan asli.

Contoh 1. Temukan produk dari 56 dan 0,01.

Larutan. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Menjawab: 0,56.

Contoh 2. Temukan produk dari 4 dan 0,001.

Larutan. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Menjawab: 0,004.

Jadi, mencari hasil kali pecahan yang berbeda seharusnya tidak menimbulkan kesulitan, kecuali mungkin menghitung hasilnya; dalam hal ini, Anda tidak dapat melakukannya tanpa kalkulator.

) dan penyebut demi penyebut (kita mendapatkan penyebut hasil perkaliannya).

Rumus perkalian pecahan:

Misalnya:

Sebelum Anda mulai mengalikan pembilang dan penyebutnya, Anda perlu memeriksa apakah pecahan tersebut dapat dikurangi. Jika Anda bisa mengurangi pecahannya, Anda akan lebih mudah melakukan perhitungan selanjutnya.

Membagi pecahan biasa dengan pecahan.

Pembagian pecahan yang melibatkan bilangan asli.

Ini tidak seseram kelihatannya. Seperti halnya penjumlahan, kita mengubah bilangan bulat menjadi pecahan dengan penyebut satu. Misalnya:

Mengalikan pecahan campuran.

Aturan perkalian pecahan (campuran):

• mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa;
• mengalikan pembilang dan penyebut pecahan;
• kurangi pecahannya;
• Jika didapat pecahan biasa, maka pecahan biasa tersebut kita ubah menjadi pecahan campuran.

Memperhatikan! Untuk mengalikan pecahan campuran dengan pecahan campuran lainnya, pertama-tama Anda harus mengubahnya menjadi pecahan biasa, lalu mengalikannya sesuai aturan perkalian pecahan biasa.

Cara kedua mengalikan pecahan dengan bilangan asli.

Mungkin lebih mudah menggunakan metode kedua untuk mengalikan pecahan biasa dengan angka.

Memperhatikan! Untuk mengalikan pecahan dengan bilangan asli, Anda harus membagi penyebut pecahan dengan bilangan tersebut dan membiarkan pembilangnya tidak berubah.

Dari contoh di atas terlihat jelas bahwa opsi ini lebih mudah digunakan ketika penyebut suatu pecahan dibagi tanpa sisa dengan bilangan asli.

Pecahan bertingkat.

Di sekolah menengah, pecahan bertingkat tiga (atau lebih) sering dijumpai. Contoh:

Untuk mengembalikan pecahan tersebut ke bentuk biasanya, gunakan pembagian melalui 2 titik:

Memperhatikan! Saat membagi pecahan, urutan pembagian sangatlah penting. Hati-hati, mudah bingung di sini.

Harap diperhatikan Misalnya:

Jika membagi satu dengan pecahan apa pun, hasilnya adalah pecahan yang sama, hanya saja dibalik:

Tips praktis mengalikan dan membagi pecahan:

1. Hal terpenting saat mengerjakan ekspresi pecahan adalah akurasi dan perhatian. Lakukan semua perhitungan dengan cermat dan akurat, terkonsentrasi dan jelas. Lebih baik menulis beberapa baris tambahan dalam draf Anda daripada tersesat dalam perhitungan mental.

2. Dalam soal dengan jenis pecahan yang berbeda, lanjutkan ke jenis pecahan biasa.

3. Semua pecahan direduksi sampai tidak mungkin lagi direduksi.

4. Kita mengubah ekspresi pecahan bertingkat menjadi ekspresi biasa menggunakan pembagian melalui 2 titik.

5. Bagilah satuan dengan pecahan di kepala Anda, cukup balikkan pecahan tersebut.

Terakhir kali kita mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan (lihat pelajaran “Penjumlahan dan pengurangan pecahan”). Bagian tersulit dari tindakan tersebut adalah membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Sekarang saatnya membahas perkalian dan pembagian. Kabar baiknya adalah operasi ini bahkan lebih sederhana daripada penjumlahan dan pengurangan. Pertama, mari kita perhatikan kasus paling sederhana, ketika ada dua pecahan positif tanpa bagian bilangan bulat yang terpisah.

Untuk mengalikan dua pecahan, Anda harus mengalikan pembilang dan penyebutnya secara terpisah. Angka pertama akan menjadi pembilang pecahan baru, dan angka kedua akan menjadi penyebutnya.

Untuk membagi dua pecahan, Anda perlu mengalikan pecahan pertama dengan pecahan kedua yang “terbalik”.

Penamaan:

Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa pembagian pecahan direduksi menjadi perkalian. Untuk “membalik” pecahan, cukup tukar pembilang dan penyebutnya. Oleh karena itu, sepanjang pelajaran kita terutama akan membahas perkalian.

Sebagai hasil perkalian, pecahan yang dapat direduksi dapat muncul (dan sering kali memang muncul) - tentu saja, harus direduksi. Jika, setelah semua pengurangan, pecahannya ternyata salah, seluruh bagiannya harus disorot. Namun yang pasti tidak akan terjadi dengan perkalian adalah pengurangan ke penyebut yang sama: tidak ada metode silang-silang, faktor terbesar, dan kelipatan persekutuan terkecil.

Menurut definisi kita memiliki:

Mengalikan pecahan dengan bagian bilangan bulat dan pecahan negatif

Jika pecahan mengandung bagian bilangan bulat, maka pecahan tersebut harus diubah menjadi pecahan biasa - dan baru kemudian dikalikan sesuai dengan skema yang diuraikan di atas.

Apabila suatu pecahan terdapat tanda minus pada pembilang, penyebut, atau depannya, maka dapat dikeluarkan dari perkalian atau dihilangkan seluruhnya menurut aturan sebagai berikut:

1. Ditambah dengan minus menghasilkan minus;
2. Dua hal negatif menjadi afirmatif.

Sampai saat ini, aturan-aturan ini hanya ditemui pada penjumlahan dan pengurangan pecahan negatif, ketika seluruh bagian harus dihilangkan. Untuk sebuah karya, dapat digeneralisasikan untuk “membakar” beberapa kekurangan sekaligus:

1. Kami mencoret yang negatif secara berpasangan sampai hilang sepenuhnya. Dalam kasus ekstrim, satu minus dapat bertahan - minus yang tidak memiliki pasangan;
2. Jika tidak ada minus yang tersisa, operasi selesai - Anda dapat mulai mengalikan. Jika minus terakhir tidak dicoret karena tidak ada pasangannya, kita keluarkan dari batas perkalian. Hasilnya adalah pecahan negatif.

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Kita ubah semua pecahan menjadi pecahan biasa, lalu keluarkan minus dari perkaliannya. Kami mengalikan apa yang tersisa sesuai aturan biasa. Kami mendapatkan:

Izinkan saya mengingatkan Anda sekali lagi bahwa tanda minus yang muncul di depan pecahan dengan bagian bilangan bulat yang disorot mengacu secara khusus pada seluruh pecahan, dan bukan hanya pada bagian bilangan bulatnya (ini berlaku untuk dua contoh terakhir).

Perhatikan juga bilangan negatif: saat mengalikannya, bilangan tersebut diapit dalam tanda kurung. Hal ini dilakukan untuk memisahkan tanda minus dari tanda perkalian dan membuat keseluruhan notasi menjadi lebih akurat.

Mengurangi pecahan dengan cepat

Perkalian adalah operasi yang sangat padat karya. Angka-angka di sini ternyata cukup besar, dan untuk menyederhanakan soal, Anda dapat mencoba mengurangi pecahannya lebih jauh sebelum perkalian. Memang pada hakikatnya pembilang dan penyebut pecahan adalah faktor biasa, sehingga dapat dikurangi dengan menggunakan sifat dasar pecahan. Lihatlah contohnya:

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Menurut definisi kita memiliki:

Dalam semua contoh, angka-angka yang telah dikurangi dan angka-angka yang tersisa ditandai dengan warna merah.

Harap dicatat: dalam kasus pertama, pengganda dikurangi sepenuhnya. Sebagai gantinya masih ada satuan yang, secara umum, tidak perlu ditulis. Pada contoh kedua, pengurangan total tidak dapat dicapai, namun jumlah total perhitungan masih mengalami penurunan.

Namun, jangan pernah menggunakan teknik ini saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan! Ya, terkadang ada angka serupa yang ingin dikurangi saja. Di sini, lihat:

Anda tidak bisa melakukan itu!

Kesalahan tersebut terjadi karena pada penjumlahan, pembilang suatu pecahan menghasilkan penjumlahan, bukan hasil kali bilangan. Oleh karena itu, sifat dasar pecahan tidak mungkin diterapkan, karena sifat ini secara khusus berkaitan dengan perkalian bilangan.

Tidak ada alasan lain untuk mereduksi pecahan, jadi solusi yang tepat untuk soal sebelumnya terlihat seperti ini:

Solusi yang benar:

Seperti yang Anda lihat, jawaban yang benar ternyata tidak begitu bagus. Secara umum, berhati-hatilah.