Definisikan logaritma. Postingan dengan tag "logaritma"

Jadi, kita punya kekuatan dua. Jika Anda mengambil angka dari garis bawah, Anda dapat dengan mudah menemukan pangkat yang harus Anda naikkan dua untuk mendapatkan angka ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.

Dan sekarang - sebenarnya definisi logaritma:

Basis logaritma dari x adalah pangkat yang harus dipangkatkan a untuk mendapatkan x.

Sebutan: log a x = b, dengan a adalah basis, x adalah argumen, b adalah logaritma sebenarnya.

Misalnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Dengan keberhasilan yang sama log 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.

Operasi mencari logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut logaritma. Jadi, mari tambahkan baris baru ke tabel kita:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
catatan 2 2 = 1	catatan 2 4 = 2	catatan 2 8 = 3	catatan 2 16 = 4	catatan 2 32 = 5	catatan 2 64 = 6

Sayangnya, tidak semua logaritma dapat dihitung dengan mudah. Misalnya, coba cari log 2 5 . Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menyatakan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat pada segmen tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bilangan seperti itu disebut irasional: bilangan setelah koma dapat ditulis ad infinitum dan tidak pernah terulang. Jika logaritmanya ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti ini: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya banyak orang bingung mana dasar dan mana argumentasinya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:

Di hadapan kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana basis harus dibangun untuk mendapatkan argumen. Ini adalah basis yang dinaikkan ke pangkat - disorot dengan warna merah pada gambar. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu siswa saya aturan luar biasa ini pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan yang timbul.

Kami telah menemukan definisinya - yang tersisa hanyalah mempelajari cara menghitung logaritma, mis. hilangkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti definisi tersebut:

1. Argumen dan basisnya harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti definisi derajat dengan eksponen rasional, yang kemudian direduksi menjadi definisi logaritma.
2. Basisnya harus berbeda dari yang satu, karena yang satu tetap satu sampai tingkat apa pun. Oleh karena itu, pertanyaan “kepada kekuatan apa seseorang harus dinaikkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti ini disebut rentang nilai yang dapat diterima(ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma). Misalnya, logaritmanya mungkin negatif: log 2 0,5 = −1, karena 0,5 = 2 −1.

Namun, sekarang kita hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, yang tidak perlu mengetahui VA logaritmanya. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penulis masalah. Namun ketika persamaan dan pertidaksamaan logaritmik dimulai, persyaratan DL akan menjadi wajib. Bagaimanapun juga, dasar dan argumennya mungkin mengandung konstruksi yang sangat kuat yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang mari kita lihat skema umum untuk menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

1. Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan basis minimum yang mungkin lebih besar dari satu. Dalam prosesnya, lebih baik menghilangkan desimal;
2. Selesaikan persamaan variabel b: x = a b ;
3. Angka b yang dihasilkan akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritmanya ternyata irasional, hal ini sudah terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangatlah penting: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Sama halnya dengan pecahan desimal: jika Anda segera mengubahnya menjadi pecahan biasa, kesalahannya akan jauh lebih sedikit.

Mari kita lihat cara kerja skema ini menggunakan contoh spesifik:

Tugas. Hitung logaritmanya: log 5 25

1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Mari buat dan selesaikan persamaannya:
catatan 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Kami menerima jawabannya: 2.

Tugas. Hitung logaritmanya:

Tugas. Hitung logaritmanya: log 4 64

1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
   catatan 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Kami menerima jawabannya: 3.

Tugas. Hitung logaritmanya: log 16 1

1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Kami menerima jawabannya: 0.

Tugas. Hitung logaritmanya: log 7 14

1. Mari kita bayangkan basis dan argumennya sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Dari paragraf sebelumnya dapat disimpulkan bahwa logaritma tidak dihitung;
3. Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Catatan kecil pada contoh terakhir. Bagaimana Anda bisa yakin bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Caranya sangat sederhana - faktorkan saja ke dalam faktor prima. Jika pemuaian mempunyai paling sedikit dua faktor yang berbeda, maka bilangan tersebut bukanlah pangkat pasti.

Tugas. Cari tahu apakah angka-angka tersebut merupakan pangkat eksak: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - derajat eksak, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bukan pangkat eksak, karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - derajat eksak;
35 = 7 · 5 - sekali lagi bukan pangkat pasti;
14 = 7 · 2 - sekali lagi bukan derajat pasti;

Perhatikan juga bahwa bilangan prima itu sendiri selalu merupakan pangkat eksak dari dirinya sendiri.

Logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum sehingga mempunyai nama dan simbol khusus.

Logaritma desimal x adalah logaritma basis 10, yaitu. Pangkat bilangan 10 yang harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Sebutan: lg x.

Misalnya log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika frasa seperti “Temukan lg 0,01” muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda belum terbiasa dengan notasi ini, Anda selalu dapat menulis ulang:
catatan x = catatan 10x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk logaritma desimal.

Logaritma natural

Ada logaritma lain yang memiliki sebutan tersendiri. Dalam beberapa hal, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Kita berbicara tentang logaritma natural.

Logaritma natural dari x adalah logaritma ke basis e, yaitu pangkat berapa bilangan e harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Penunjukan: ln x .

Banyak yang akan bertanya: berapakah angka e? Ini adalah bilangan irasional; nilai pastinya tidak dapat ditemukan dan dituliskan. Saya hanya akan memberikan angka pertama:
e = 2,718281828459...

Kami tidak akan menjelaskan secara detail tentang apa nomor ini dan mengapa diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis logaritma natural:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1 ; dalam e 2 = 2; dalam e 16 = 16 - dst. Sebaliknya, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural dari bilangan rasional apa pun adalah irasional. Kecuali, tentu saja, untuk satu hal: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.

Berikut definisinya. Begitu pula dengan logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A didefinisikan sebagai eksponen yang suatu bilangan harus dipangkatkan A untuk mendapatkan nomornya B(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan tersebut berikut perhitungannya x=log ab, setara dengan menyelesaikan persamaan ax =b. Misalnya, catatan 2 8 = 3 Karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, lalu logaritma bilangan tersebut B berdasarkan A sama Dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma erat kaitannya dengan topik pangkat suatu bilangan.

Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda bisa melakukannya operasi penjumlahan, pengurangan dan bertransformasi dengan segala cara yang mungkin. Tetapi karena logaritma bukan bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut properti utama.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

Mari kita ambil dua logaritma dengan basis yang sama: mencatat x Dan log ay. Maka dimungkinkan untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

catatan a(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = mencatat x 1 + mencatat x 2 + mencatat x 3 + ... + log axk.

Dari teorema hasil bagi logaritma satu lagi properti logaritma dapat diperoleh. Sudah menjadi rahasia umum bahwa log A 1= 0, oleh karena itu

mencatat A 1 /B=log A 1 - catatan sebuah b= -log sebuah b.

Artinya ada persamaan:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dua bilangan timbal balik karena alasan yang sama akan berbeda satu sama lain hanya berdasarkan tandanya. Jadi:

Catatan 3 9= - catatan 3 1 / 9 ; catatan 5 1/125 = -catatan 5 125.

Salah satu unsur aljabar tingkat primitif adalah logaritma. Nama tersebut berasal dari bahasa Yunani yang berasal dari kata “bilangan” atau “pangkat” yang berarti pangkat yang harus dipangkatkan pada bilangan dasar untuk mencari bilangan akhir.

Jenis logaritma

• log a b – logaritma bilangan b ke basis a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – logaritma desimal (logaritma ke basis 10, a = 10);
• ln b – logaritma natural (logaritma ke basis e, a = e).

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Logaritma dari b ke basis a adalah eksponen yang mengharuskan b dipangkatkan ke basis a. Hasil yang diperoleh diucapkan seperti ini: “logaritma b ke basis a.” Solusi untuk masalah logaritma adalah Anda perlu menentukan pangkat tertentu dari angka-angka yang ditentukan. Ada beberapa aturan dasar untuk menentukan atau menyelesaikan logaritma, serta mengubah notasi itu sendiri. Dengan menggunakannya, persamaan logaritma diselesaikan, turunan ditemukan, integral diselesaikan, dan banyak operasi lainnya dilakukan. Pada dasarnya, penyelesaian logaritma itu sendiri adalah notasinya yang disederhanakan. Di bawah ini adalah rumus dan properti dasar:

Untuk setiap a ; sebuah > 0; a ≠ 1 dan untuk sembarang x ; kamu > 0.

• a log a b = b – identitas logaritma dasar
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log ax/ y = log ax – log ay
• log a 1/x = -log ax
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , untuk k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – rumus pindah ke pangkalan baru
• log a x = 1/log x a

Cara menyelesaikan logaritma - petunjuk langkah demi langkah untuk menyelesaikannya

• Pertama, tuliskan persamaan yang diperlukan.

Harap diperhatikan: jika logaritma dasar adalah 10, entri tersebut dipersingkat sehingga menghasilkan logaritma desimal. Jika ada bilangan asli e, maka kita tuliskan, lalu direduksi menjadi logaritma natural. Artinya hasil semua logaritma adalah pangkat dari bilangan dasar yang dipangkatkan sehingga diperoleh bilangan b.

Secara langsung, solusinya terletak pada penghitungan derajat ini. Sebelum menyelesaikan suatu ekspresi dengan logaritma, harus disederhanakan menurut aturannya, yaitu menggunakan rumus. Anda dapat menemukan identitas utamanya dengan melihat kembali sedikit artikel tersebut.

Jika menjumlahkan dan mengurangkan logaritma dengan dua bilangan berbeda tetapi mempunyai basis yang sama, gantilah dengan satu logaritma dengan hasil kali atau pembagian bilangan b dan c berturut-turut. Dalam hal ini, Anda dapat menerapkan rumus untuk berpindah ke pangkalan lain (lihat di atas).

Jika Anda menggunakan ekspresi untuk menyederhanakan logaritma, ada beberapa batasan yang perlu dipertimbangkan. Artinya: basis logaritma a hanyalah bilangan positif, tetapi tidak sama dengan satu. Angka b, seperti a, harus lebih besar dari nol.

Ada kalanya, dengan menyederhanakan suatu ekspresi, Anda tidak akan dapat menghitung logaritma secara numerik. Kebetulan ungkapan seperti itu tidak masuk akal, karena banyak pangkat adalah bilangan irasional. Dalam kondisi ini, biarkan pangkat bilangan tersebut sebagai logaritma.