Pada artikel ini kita akan mencari tahu apa itu kekuatan suatu angka. Di sini kami akan memberikan definisi pangkat suatu bilangan, sementara kami akan mempertimbangkan secara rinci semua eksponen yang mungkin, dimulai dengan eksponen natural dan diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.

Navigasi halaman.

Pangkat dengan eksponen alami, kuadrat suatu bilangan, pangkat tiga suatu bilangan

Mari kita mulai dengan. Ke depan, katakanlah definisi pangkat suatu bilangan a dengan eksponen natural n diberikan untuk a, yang kita sebut dasar gelar, dan n, yang akan kita panggil eksponen. Perlu kita ketahui juga bahwa derajat dengan eksponen natural ditentukan melalui suatu perkalian, sehingga untuk memahami materi di bawah ini anda perlu memiliki pemahaman tentang perkalian bilangan.

Definisi.

Pangkat suatu bilangan dengan eksponen alami n adalah ekspresi bentuk a n, yang nilainya sama dengan hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a, yaitu .
Secara khusus, pangkat suatu bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 =a.

Perlu segera disebutkan tentang aturan membaca derajat. Cara universal membaca notasi a n adalah: “a pangkat n”. Dalam beberapa kasus, opsi berikut juga dapat diterima: “a pangkat ke-n” dan “pangkat ke-n dari a”. Misalnya, mari kita pangkat 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "pangkat dua belas dari delapan".

Pangkat kedua suatu bilangan, serta pangkat ketiga suatu bilangan, memiliki namanya sendiri-sendiri. Pangkat kedua suatu bilangan disebut kuadratkan angkanya, misalnya, 7 2 dibaca sebagai “tujuh kuadrat” atau “kuadrat dari angka tujuh”. Pangkat ketiga suatu bilangan disebut angka potong dadu, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai “lima pangkat tiga” atau Anda dapat mengucapkan “kubus angka 5”.

Saatnya untuk membawa contoh derajat dengan eksponen natural. Mari kita mulai dengan derajat 5 7, di sini 5 adalah basis derajat, dan 7 adalah eksponen. Mari kita beri contoh lain: 4.32 adalah bilangan pokok, dan bilangan asli 9 adalah eksponennya (4.32) 9 .

Perlu diketahui bahwa pada contoh terakhir, basis pangkat 4,32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kami akan memasukkan semua basis pangkat yang berbeda dari bilangan asli ke dalam tanda kurung. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan eksponen natural , basisnya bukan bilangan asli, sehingga ditulis dalam tanda kurung. Nah, agar lebih jelas, pada kali ini kami akan menunjukkan perbedaan yang terdapat pada rekaman bentuk (−2) 3 dan −2 3. Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat −2 dengan eksponen natural 3, dan ekspresi −2 3 (dapat ditulis sebagai −(2 3) ) sesuai dengan bilangan tersebut, nilai pangkat 2 3 .

Perhatikan bahwa ada notasi pangkat suatu bilangan a dengan eksponen n berbentuk a^n. Apalagi jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4^9 adalah notasi lain untuk pangkat 4 9 . Dan berikut beberapa contoh penulisan derajat lagi dengan menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Berikut ini, kita terutama akan menggunakan notasi derajat dalam bentuk a n .

Salah satu soal invers untuk menaikkan pangkat yang eksponennya natural adalah soal mencari basis pangkat dari nilai pangkat yang diketahui dan pangkat yang diketahui. Tugas ini mengarah ke.

Diketahui himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan pecahan, dan setiap pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Derajat dengan eksponen bilangan bulat telah kita definisikan pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kita perlu memberi arti pada pangkat bilangan a dengan eksponen pecahan m/n, dimana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan ini.

Mari kita perhatikan derajat dengan bentuk eksponen pecahan. Agar properti kekuasaan-ke-kuasaan tetap sah, kesetaraan harus dipertahankan . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan cara kita menentukannya, maka masuk akal untuk menerimanya, asalkan diberikan m, n dan a, ekspresi tersebut masuk akal.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat adalah valid (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk melakukan hal berikut kesimpulan: jika diberikan m, n dan a ekspresi tersebut masuk akal, maka pangkat a dengan eksponen pecahan m/n disebut akar ke-n dari a pangkat m.

Pernyataan ini mendekatkan kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan. Yang tersisa hanyalah menjelaskan pada m, n dan a ekspresi mana yang masuk akal. Bergantung pada batasan yang diterapkan pada m, n dan a, ada dua pendekatan utama.

Cara termudah adalah dengan memberikan batasan pada a dengan mengambil a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (karena untuk m≤0 derajat 0 dari m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat dengan eksponen pecahan berikut ini.

Definisi.

Pangkat bilangan positif a dengan eksponen pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari bilangan a pangkat m, yaitu .

Pangkat pecahan dari nol juga ditentukan dengan satu-satunya peringatan bahwa indikatornya harus positif.

Definisi.

Pangkat nol dengan eksponen positif pecahan m/n, dimana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Jika derajatnya tidak ditentukan, maka derajat bilangan nol dengan eksponen pecahan negatif tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan ini, ada satu peringatan: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresi tersebut masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisi a≥0. Misalnya, entri-entrinya masuk akal atau , dan definisi yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa pangkat dengan bentuk eksponen pecahan tidak masuk akal, karena basisnya tidak boleh negatif.

Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan eksponen pecahan m/n adalah dengan mempertimbangkan eksponen akar genap dan ganjil secara terpisah. Pendekatan ini memerlukan kondisi tambahan: pangkat dari bilangan a, yang eksponennya adalah , dianggap sebagai pangkat dari bilangan a, yang eksponennya adalah pecahan tak tersederhanakan (kami akan menjelaskan pentingnya kondisi ini di bawah ). Artinya, jika m/n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajatnya diganti terlebih dahulu dengan .

Untuk n genap dan m positif, ekspresi tersebut masuk akal untuk sembarang a non-negatif (akar genap dari bilangan negatif tidak masuk akal); untuk m negatif, bilangan a harus tetap berbeda dari nol (jika tidak maka akan terjadi pembagian dengan nol). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar pangkat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus bukan nol (agar tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Misalkan m/n adalah pecahan tak tersederhanakan, m adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Untuk setiap pecahan yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Pangkat suatu bilangan dengan eksponen pecahan tak tersederhanakan m/n adalah untuk



Mari kita jelaskan mengapa derajat dengan eksponen pecahan tereduksi terlebih dahulu diganti dengan derajat dengan eksponen tak tereduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajatnya sebagai , dan tidak membuat reservasi tentang tak tereduksinya pecahan m/n, maka kita akan dihadapkan pada situasi seperti berikut: karena 6/10 = 3/5, maka persamaannya harus berlaku , Tetapi , A .

Salah satu ciri utama dalam aljabar, dan semua matematika, adalah gelar. Tentu saja, di abad ke-21, semua perhitungan dapat dilakukan dengan kalkulator online, namun untuk perkembangan otak sebaiknya belajar melakukannya sendiri.

Pada artikel ini kita akan membahas isu-isu paling penting mengenai definisi ini. Yaitu mari kita pahami apa itu secara umum dan apa fungsi utamanya, sifat-sifat apa saja yang ada dalam matematika.

Mari kita lihat contoh perhitungannya dan apa saja rumus dasarnya. Mari kita lihat jenis-jenis besaran utama dan perbedaannya dengan fungsi lainnya.

Mari kita pahami bagaimana menyelesaikan berbagai masalah dengan menggunakan besaran ini. Kami akan menunjukkan dengan contoh cara menaikkan pangkat ke nol, irasional, negatif, dll.

Kalkulator eksponensial online

Apa yang dimaksud dengan pangkat suatu bilangan

Apa yang dimaksud dengan ungkapan “pangkatkan suatu bilangan”?

Pangkat n suatu bilangan adalah hasil kali faktor-faktor besaran n kali berturut-turut.

Secara matematis terlihat seperti ini:

an = a * a * a * …an .

Misalnya:

• 2 3 = 2 pada derajat ketiga. = 2*2*2 = 8;
• 4 2 = 4 langkah. dua = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 langkah. empat = 5*5*5*5 = 625;
• 10 5 = 10 dalam 5 langkah. = 10*10*10*10*10 = 100.000;
• 10 4 = 10 dalam 4 langkah. = 10*10*10*10 = 10.000.

Di bawah ini adalah tabel persegi dan kubus dari 1 sampai 10.

Tabel derajat dari 1 hingga 10

Di bawah ini adalah hasil menaikkan bilangan asli ke pangkat positif - “dari 1 menjadi 100”.

Ch-lo	seni ke-2.	tahap ke-3
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Sifat derajat

Apa ciri-ciri fungsi matematika tersebut? Mari kita lihat properti dasarnya.

Para ilmuwan telah menetapkan hal berikut tanda-tanda karakteristik semua derajat:

• a n * am = (a) (n+m) ;
• sebuah: am = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Mari kita periksa dengan contoh:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Sebaliknya, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Demikian pula: 2 3: 2 2 = 8/4 =2. Jika tidak, 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Bagaimana jika berbeda? 2 6 = 2*2*2*2*2*2 = 32*2 = 64.

Seperti yang Anda lihat, aturannya berhasil.

Tapi bagaimana dengan dengan penjumlahan dan pengurangan? Sederhana saja. Eksponensial dilakukan terlebih dahulu, lalu penjumlahan dan pengurangan.

Mari kita lihat contohnya:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Perlu diperhatikan: aturan ini tidak berlaku jika Anda mengurangi terlebih dahulu: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Namun dalam hal ini, Anda perlu menghitung penjumlahannya terlebih dahulu, karena ada tindakan di dalam tanda kurung: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Bagaimana cara memproduksinya perhitungan dalam kasus yang lebih kompleks? Urutannya sama:

• jika ada tanda kurung, Anda harus memulainya;
• lalu eksponensial;
• kemudian melakukan operasi perkalian dan pembagian;
• setelah penjumlahan, pengurangan.

Ada sifat khusus yang bukan merupakan karakteristik semua derajat:

1. Akar ke-n bilangan a sampai pangkat m dituliskan sebagai: a m / n.
2. Saat menaikkan pecahan ke pangkat: pembilang dan penyebutnya harus mengikuti prosedur ini.
3. Saat menaikkan hasil kali bilangan-bilangan yang berbeda ke suatu pangkat, ekspresi akan sesuai dengan hasil kali bilangan-bilangan ini dengan pangkat yang diberikan. Yaitu: (a * b) n = a n * b n .
4. Saat menaikkan suatu bilangan ke pangkat negatif, Anda perlu membagi 1 dengan bilangan pada abad yang sama, tetapi dengan tanda “+”.
5. Jika penyebut suatu pecahan berpangkat negatif, maka persamaan tersebut sama dengan hasil kali pembilang dan penyebutnya berpangkat positif.
6. Bilangan apa pun yang dipangkatkan 0 = 1, dan dipangkatkan. 1 = untuk diri sendiri.

Aturan-aturan ini penting dalam beberapa kasus; kami akan mempertimbangkannya secara lebih rinci di bawah.

Gelar dengan eksponen negatif

Apa yang harus dilakukan dengan derajat minus, yaitu ketika indikatornya negatif?

Berdasarkan properti 4 dan 5(lihat poin di atas), ternyata:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Dan sebaliknya:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Bagaimana jika itu pecahan?

(A/B) (- n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Gelar dengan indikator alami

Ini dipahami sebagai derajat yang eksponennya sama dengan bilangan bulat.

Hal yang perlu diingat:

SEBUAH 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...dst.

SEBUAH 1 = SEBUAH, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...dst.

Selain itu, jika (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...maka hasilnya akan bertanda “+”. Jika suatu bilangan negatif dipangkatkan ganjil, maka sebaliknya.

Sifat-sifat umum, dan semua ciri khusus yang dijelaskan di atas, juga merupakan ciri khasnya.

Gelar pecahan

Tipe ini dapat dituliskan dalam bentuk skema: A m/n. Dibaca sebagai: akar ke-n dari bilangan A pangkat m.

Anda dapat melakukan apa pun yang Anda inginkan dengan indikator pecahan: menguranginya, membaginya menjadi beberapa bagian, menaikkannya ke pangkat lain, dll.

Gelar dengan eksponen irasional

Misalkan α adalah bilangan irasional dan A ˃ 0.

Untuk memahami esensi suatu gelar dengan indikator seperti itu, Mari kita lihat berbagai kemungkinan kasus:

• A = 1. Hasilnya akan sama dengan 1. Karena ada aksioma - 1 di semua pangkat sama dengan satu;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – bilangan rasional;

• 0˂А˂1.

Dalam hal ini yang terjadi adalah sebaliknya: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 dengan kondisi yang sama seperti pada paragraf kedua.

Misalnya eksponennya adalah bilangan π. Itu rasional.

r 1 – dalam hal ini sama dengan 3;

r 2 – akan sama dengan 4.

Maka, untuk A = 1, 1 π = 1.

A = 2, maka 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, maka (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Derajat tersebut dicirikan oleh semua operasi matematika dan sifat spesifik yang dijelaskan di atas.

Kesimpulan

Mari kita rangkum - untuk apa besaran-besaran ini, apa keuntungan dari fungsi-fungsi tersebut? Tentu saja, pertama-tama, mereka menyederhanakan kehidupan ahli matematika dan pemrogram ketika memecahkan contoh, karena mereka memungkinkan mereka meminimalkan perhitungan, memperpendek algoritma, mensistematisasikan data, dan banyak lagi.

Di mana lagi pengetahuan ini bisa bermanfaat? Dalam spesialisasi pekerjaan apa pun: kedokteran, farmakologi, kedokteran gigi, konstruksi, teknologi, teknik, desain, dll.

Tingkat masuk

Derajat dan sifat-sifatnya. Panduan Komprehensif (2019)

Mengapa gelar dibutuhkan? Di mana Anda membutuhkannya? Mengapa Anda harus meluangkan waktu untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari segala sesuatu tentang gelar, apa kegunaannya, dan bagaimana menggunakan pengetahuan Anda dalam kehidupan sehari-hari, baca artikel ini.

Dan tentunya pengetahuan tentang gelar akan membawa Anda lebih dekat untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu atau Unified State Exam dan memasuki universitas impian Anda.

Ayo pergi... (Ayo pergi!)

Catatan penting! Jika Anda melihat gobbledygook dan bukan rumus, kosongkan cache Anda. Untuk melakukannya, tekan CTRL+F5 (di Windows) atau Cmd+R (di Mac).

TINGKAT MASUK

Eksponensial adalah operasi matematika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian atau pembagian.

Sekarang saya akan menjelaskan semuanya dalam bahasa manusia dengan menggunakan contoh yang sangat sederhana. Hati-hati. Contoh-contohnya bersifat mendasar, tetapi menjelaskan hal-hal penting.

Mari kita mulai dengan penambahan.

Tidak ada yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segalanya: kami ada delapan. Setiap orang memiliki dua botol cola. Berapa banyak kola yang ada? Benar - 16 botol.

Sekarang perkalian.

Contoh yang sama dengan cola dapat ditulis berbeda: . Matematikawan adalah orang yang licik dan malas. Pertama-tama mereka memperhatikan beberapa pola, dan kemudian mencari cara untuk “menghitung” pola tersebut dengan lebih cepat. Dalam kasus kami, mereka memperhatikan bahwa masing-masing dari delapan orang tersebut memiliki jumlah botol cola yang sama dan menemukan teknik yang disebut perkalian. Setuju, ini dianggap lebih mudah dan lebih cepat dari.

Jadi, agar berhitung lebih cepat, mudah dan tanpa kesalahan, Anda hanya perlu mengingatnya saja tabel perkalian. Tentu saja, Anda dapat melakukan semuanya dengan lebih lambat, lebih sulit, dan dengan kesalahan! Tetapi…

Berikut tabel perkaliannya. Mengulang.

Dan satu lagi yang lebih indah:

Trik berhitung cerdas apa lagi yang pernah dilakukan oleh para matematikawan malas? Benar - menaikkan suatu bilangan menjadi suatu pangkat.

Menaikkan angka menjadi pangkat

Jika Anda perlu mengalikan suatu angka dengan dirinya sendiri sebanyak lima kali, ahli matematika mengatakan bahwa Anda perlu menaikkan angka tersebut ke pangkat kelima. Misalnya, . Matematikawan ingat bahwa dua pangkat lima adalah... Dan mereka memecahkan masalah seperti itu di kepala mereka - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesalahan.

Yang perlu Anda lakukan hanyalah ingat apa yang disorot dalam warna dalam tabel pangkat angka. Percayalah, ini akan membuat hidup Anda lebih mudah.

Ngomong-ngomong, kenapa disebut derajat kedua? persegi angka, dan yang ketiga - kubus? Apa maksudnya? Pertanyaan yang sangat bagus. Sekarang Anda akan memiliki kotak dan kubus.

Contoh kehidupan nyata #1

Mari kita mulai dengan kuadrat atau pangkat dua dari suatu bilangan.

Bayangkan sebuah kolam persegi berukuran satu meter kali satu meter. Kolam renang ada di dacha Anda. Panas sekali dan saya sangat ingin berenang. Tapi... kolam itu tidak memiliki dasar! Anda perlu menutupi dasar kolam dengan ubin. Berapa banyak ubin yang Anda butuhkan? Untuk menentukannya, Anda perlu mengetahui luas dasar kolam.

Anda cukup menghitung dengan menunjuk jari Anda bahwa dasar kolam terdiri dari kubus meter demi meter. Jika Anda memiliki ubin berukuran satu meter kali satu meter, Anda memerlukan potongan. Mudah saja... Tapi di mana Anda pernah melihat ubin seperti itu? Ubinnya kemungkinan besar berukuran cm demi cm, dan kemudian Anda akan tersiksa dengan “menghitung dengan jari Anda”. Maka Anda harus memperbanyaknya. Jadi, di satu sisi dasar kolam kita akan memasang ubin (potongan) dan di sisi lain juga ubin. Kalikan dengan dan Anda mendapatkan ubin ().

Pernahkah Anda memperhatikan bahwa untuk menentukan luas dasar kolam kita mengalikan angka yang sama dengan angka itu sendiri? Apa maksudnya? Karena kita mengalikan bilangan yang sama, kita dapat menggunakan teknik “eksponensial”. (Tentu saja, jika Anda hanya memiliki dua angka, Anda tetap perlu mengalikannya atau menaikkannya ke pangkat. Namun jika Anda memiliki banyak angka, maka menaikkannya ke pangkat akan jauh lebih mudah dan kesalahan perhitungannya juga lebih sedikit. . Untuk Ujian Negara Bersatu, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh pangkat dua adalah (). Atau kita dapat mengatakan bahwa tiga puluh kuadrat adalah. Dengan kata lain, pangkat dua suatu bilangan selalu dapat direpresentasikan sebagai kuadrat. Dan sebaliknya, jika Anda melihat sebuah persegi, itu SELALU merupakan pangkat dua suatu bilangan. Persegi adalah gambaran pangkat dua suatu bilangan.

Contoh kehidupan nyata #2

Ini tugas untuk Anda: hitung berapa banyak kotak yang ada di papan catur menggunakan kuadrat angkanya... Di satu sisi sel dan di sisi lain juga. Untuk menghitung jumlahnya, Anda perlu mengalikan delapan dengan delapan atau... jika Anda memperhatikan bahwa papan catur berbentuk persegi dengan satu sisi, maka Anda dapat mengkuadratkan delapan. Anda akan mendapatkan sel. () Jadi?

Contoh kehidupan nyata #3

Sekarang kubus atau pangkat ketiga suatu bilangan. Kolam yang sama. Namun sekarang Anda perlu mencari tahu berapa banyak air yang harus dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu menghitung volumenya. (Omong-omong, volume dan cairan diukur dalam meter kubik. Tak terduga, bukan?) Gambarlah sebuah kolam: bagian bawahnya berukuran satu meter dan dalam satu meter, dan coba hitung berapa banyak kubus berukuran satu meter kali satu meter yang akan dihasilkan. cocok dengan kolam Anda.

Cukup arahkan jari Anda dan hitung! Satu, dua, tiga, empat...dua puluh dua, dua puluh tiga...Berapa banyak yang kamu dapat? Tidak hilang? Apakah sulit menghitung dengan jari? Itu saja! Ambil contoh dari ahli matematika. Mereka malas, sehingga mereka memperhatikan bahwa untuk menghitung volume kolam, Anda perlu mengalikan panjang, lebar, dan tinggi satu sama lain. Dalam kasus kita, volume kolam akan sama dengan kubus... Lebih mudah bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan liciknya para ahli matematika jika mereka menyederhanakannya juga. Kami mengurangi semuanya menjadi satu tindakan. Mereka memperhatikan bahwa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan bilangan yang sama dikalikan dengan bilangan itu sendiri... Apa artinya ini? Ini berarti Anda dapat memanfaatkan gelar tersebut. Jadi, apa yang pernah Anda hitung dengan jari Anda, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga pangkat tiga sama. Ada tertulis seperti ini: .

Yang tersisa hanyalah ingat tabel derajat. Kecuali, tentu saja, Anda malas dan licik seperti ahli matematika. Jika Anda suka bekerja keras dan melakukan kesalahan, Anda bisa terus menghitung dengan jari.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan Anda bahwa gelar diciptakan oleh orang-orang yang mudah menyerah dan licik untuk menyelesaikan masalah hidup mereka, dan bukan untuk menciptakan masalah bagi Anda, berikut beberapa contoh lagi dari kehidupan.

Contoh kehidupan nyata #4

Anda memiliki satu juta rubel. Pada setiap awal tahun, untuk setiap satu juta penghasilan Anda, Anda menghasilkan satu juta lagi. Artinya, setiap juta Anda mendapat dua kali lipat di setiap awal tahun. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam beberapa tahun? Jika Anda sekarang duduk dan "menghitung dengan jari Anda", maka Anda adalah orang yang pekerja keras dan... bodoh. Namun kemungkinan besar Anda akan memberikan jawaban dalam beberapa detik, karena Anda pintar! Jadi, pada tahun pertama - dua dikalikan dua... pada tahun kedua - apa yang terjadi, dua lagi, pada tahun ketiga... Berhenti! Anda memperhatikan bahwa angka tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri. Jadi dua pangkat lima adalah satu juta! Sekarang bayangkan Anda mengadakan sebuah kompetisi dan orang yang dapat menghitung paling cepat akan mendapatkan jutaan ini... Penting untuk mengingat kekuatan angka, bukan begitu?

Contoh kehidupan nyata #5

Anda punya satu juta. Pada setiap awal tahun, untuk setiap satu juta yang Anda hasilkan, Anda mendapat dua juta lagi. Hebat bukan? Setiap juta meningkat tiga kali lipat. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam setahun? Mari kita hitung. Tahun pertama - kalikan dengan, lalu hasilnya dengan yang lain... Membosankan saja, karena Anda sudah mengerti semuanya: tiga dikalikan dengan dirinya sendiri kali. Jadi pangkat empat sama dengan satu juta. Anda hanya perlu mengingat bahwa pangkat tiga sampai empat adalah atau.

Sekarang Anda tahu bahwa dengan menaikkan angka menjadi pangkat, Anda akan membuat hidup Anda jauh lebih mudah. Mari kita lihat lebih jauh apa yang dapat Anda lakukan dengan gelar dan apa yang perlu Anda ketahui tentangnya.

Syarat dan Konsep...agar tidak bingung

Jadi, pertama-tama, mari kita definisikan konsepnya. menurut mu apa itu eksponen? Ini sangat sederhana - ini adalah angka yang berada "di atas" pangkat angka tersebut. Tidak ilmiah, tapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada saat yang sama, apa dasar gelar seperti itu? Lebih sederhana lagi - ini adalah nomor yang terletak di bawah, di pangkalan.

Ini gambar untuk mengukurnya.

Nah, secara umum, untuk menggeneralisasi dan mengingat dengan lebih baik... Gelar dengan basis “ ” dan eksponen “ ” dibaca “sampai derajat” dan ditulis sebagai berikut:

Pangkat suatu bilangan dengan eksponen natural

Anda mungkin sudah menebaknya: karena eksponennya adalah bilangan asli. Ya, tapi apa itu bilangan asli? Dasar! Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan dalam penghitungan saat membuat daftar suatu benda: satu, dua, tiga... Saat kita menghitung benda, kita tidak mengatakan: "minus lima", "minus enam", "minus tujuh". Kami juga tidak mengatakan: “sepertiga”, atau “nol koma lima”. Ini bukan bilangan asli. Menurut Anda, angka apa ini?

Angka-angka seperti “minus lima”, “minus enam”, “minus tujuh” mengacu pada bilangan bulat. Secara umum, bilangan bulat mencakup semua bilangan asli, bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli (yaitu, diambil dengan tanda minus), dan bilangan. Nol mudah dimengerti - ini adalah saat tidak ada apa-apa. Apa arti angka negatif (“minus”)? Tetapi mereka diciptakan terutama untuk menunjukkan hutang: jika Anda memiliki saldo di ponsel Anda dalam rubel, ini berarti Anda berhutang kepada operator dalam rubel.

Semua pecahan adalah bilangan rasional. Menurut Anda bagaimana mereka muncul? Sangat sederhana. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita menemukan bahwa mereka tidak mempunyai bilangan asli untuk mengukur panjang, berat, luas, dan lain-lain. Dan mereka datang dengan itu bilangan rasional... Menarik bukan?

Ada juga bilangan irasional. Berapa angka-angka ini? Singkatnya, ini adalah pecahan desimal tak terhingga. Misalnya, jika Anda membagi keliling lingkaran dengan diameternya, Anda akan mendapatkan bilangan irasional.

Melanjutkan:

Mari kita definisikan konsep derajat yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).

1. Bilangan apa pun yang dipangkatkan pertama sama dengan bilangan itu sendiri:
2. Mengkuadratkan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan dirinya sendiri:
3. Mengkubuskan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan bilangan itu sendiri sebanyak tiga kali:

Definisi. Menaikkan suatu bilangan ke pangkat alami berarti mengalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri dikalikan:
.

Sifat derajat

Dari mana asal properti ini? Akan kutunjukkan padamu sekarang.

Mari kita lihat: apa itu Dan ?

Menurut definisi:

Berapa total pengganda yang ada?

Caranya sangat sederhana: kita menambahkan pengganda pada faktor-faktornya, dan hasilnya adalah pengganda.

Namun menurut definisi, ini adalah pangkat suatu bilangan yang mempunyai eksponen, yaitu: , yang perlu dibuktikan.

Contoh: Menyederhanakan ekspresi.

Larutan:

Contoh: Sederhanakan ekspresi tersebut.

Larutan: Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami Perlu pasti ada alasan yang sama!
Oleh karena itu, kami menggabungkan kekuatan dengan basis, namun tetap menjadi faktor terpisah:

hanya untuk produk kekuatan!

Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.

2. itu saja kekuatan suatu bilangan

Sama seperti sifat sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Ternyata ekspresi tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri, yaitu menurut definisinya, ini adalah pangkat ke-th dari bilangan tersebut:

Intinya, hal ini bisa disebut “mengeluarkan indikator dari tanda kurung.” Namun Anda tidak akan pernah bisa melakukan ini secara total:

Mari kita ingat rumus perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis?

Tapi ini tidak benar.

Kekuatan dengan basis negatif

Sampai di sini, kita hanya membahas apa yang seharusnya menjadi eksponen.

Tapi apa yang harus dijadikan dasar?

Dalam kekuasaan indikator alami dasarnya mungkin nomor berapa pun. Memang benar, kita bisa mengalikan bilangan apa pun, baik bilangan positif, negatif, atau genap.

Mari kita pikirkan tanda mana ("" atau "") yang memiliki pangkat bilangan positif dan negatif?

Misalnya, apakah bilangan tersebut positif atau negatif? A? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak bilangan positif yang kita kalikan, hasilnya akan positif.

Namun sisi negatifnya sedikit lebih menarik. Kita ingat aturan sederhana dari kelas 6 SD: “minus untuk minus memberi nilai tambah.” Yaitu, atau. Tapi kalau dikalikan, berhasil.

Tentukan sendiri tanda apa yang dimiliki ekspresi berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Apakah Anda berhasil?

Inilah jawabannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kita cukup melihat basis dan eksponennya lalu menerapkan aturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5) semuanya juga tidak seseram kelihatannya: lagi pula, tidak masalah sama dengan apa basisnya - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif.

Ya, kecuali jika basisnya nol. Basisnya tidak sama, bukan? Jelas tidak, sejak (karena).

Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu!

6 contoh untuk dipraktikkan

Analisis solusi 6 contoh

Jika kita mengabaikan kekuatan kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita ingat program kelas 7. Jadi, apakah kamu ingat? Inilah rumus perkalian yang disingkat yaitu selisih kuadrat! Kami mendapatkan:

Mari kita perhatikan baik-baik penyebutnya. Kelihatannya mirip sekali dengan salah satu faktor pembilangnya, tapi apa yang salah? Urutan istilahnya salah. Jika dibatalkan, aturan tersebut bisa berlaku.

Tapi bagaimana cara melakukan ini? Ternyata caranya sangat mudah: derajat penyebut genap membantu kita dalam hal ini.

Secara ajaib istilah-istilah itu berpindah tempat. “Fenomena” ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga tingkat yang genap: kita dapat dengan mudah mengubah tanda dalam tanda kurung.

Namun penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang bersamaan!

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

Utuh kita menyebut bilangan asli, kebalikannya (yaitu, diambil dengan tanda " ") dan bilangan tersebut.

bilangan bulat positif, dan tidak ada bedanya dengan natural, maka semuanya terlihat persis seperti pada bagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kasus-kasus baru. Mari kita mulai dengan indikator yang sama dengan.

Bilangan apa pun yang dipangkatkan nol sama dengan satu:

Seperti biasa, marilah kita bertanya pada diri sendiri: mengapa demikian?

Mari kita pertimbangkan beberapa derajat dengan dasar. Ambil contoh, dan kalikan dengan:

Jadi, kita kalikan angkanya dengan, dan kita mendapatkan hasil yang sama seperti sebelumnya - . Angka berapa yang harus dikalikan agar tidak ada perubahan? Itu benar, aktif. Cara.

Kita dapat melakukan hal yang sama dengan nomor sembarang:

Mari kita ulangi aturannya:

Bilangan apa pun yang dipangkatkan nol sama dengan satu.

Namun ada pengecualian terhadap banyak aturan. Dan ini juga ada - ini adalah angka (sebagai basis).

Di satu sisi, itu harus sama dengan derajat apa pun - tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan nol dengan dirinya sendiri, Anda tetap akan mendapatkan nol, ini jelas. Namun di sisi lain, seperti bilangan apa pun yang dipangkatkan nol, bilangan itu harus sama. Jadi yang mana yang benar? Para ahli matematika memutuskan untuk tidak terlibat dan menolak menaikkan pangkat nol menjadi nol. Artinya, sekarang kita tidak hanya bisa membaginya dengan nol, tapi juga menaikkannya ke pangkat nol.

Mari kita lanjutkan. Selain bilangan asli dan bilangan, bilangan bulat juga termasuk bilangan negatif. Untuk memahami apa itu pangkat negatif, mari kita lakukan seperti terakhir kali: kalikan suatu bilangan normal dengan bilangan yang sama dengan pangkat negatif:

Dari sini mudah untuk mengungkapkan apa yang Anda cari:

Sekarang mari kita memperluas aturan yang dihasilkan ke tingkat yang sewenang-wenang:

Jadi, mari kita rumuskan aturannya:

Suatu bilangan yang berpangkat negatif adalah kebalikan dari bilangan yang sama yang berpangkat positif. Tapi di saat yang sama Basis tidak boleh nol:(karena Anda tidak dapat membaginya).

Mari kita rangkum:

I. Ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus ini. Jika, maka.

II. Bilangan apa pun yang dipangkatkan nol sama dengan satu: .

AKU AKU AKU. Suatu bilangan yang tidak sama dengan nol pangkat negatif adalah kebalikan dari bilangan yang sama pangkat positif: .

Tugas untuk solusi mandiri:

Seperti biasa, contoh solusi independen:

Analisis masalah untuk solusi mandiri:

Saya tahu, saya tahu, angkanya menakutkan, tetapi di Ujian Negara Bersatu Anda harus bersiap untuk apa pun! Selesaikan contoh-contoh ini atau analisis solusinya jika Anda tidak dapat menyelesaikannya dan Anda akan belajar mengatasinya dengan mudah dalam ujian!

Mari kita terus memperluas jangkauan angka yang “cocok” sebagai eksponen.

Sekarang mari kita pertimbangkan bilangan rasional. Bilangan apa yang disebut rasional?

Jawaban: segala sesuatu yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, dimana dan adalah bilangan bulat, dan.

Untuk memahami apa itu "derajat pecahan", perhatikan pecahannya:

Mari kita naikkan kedua ruas persamaan menjadi pangkat:

Sekarang mari kita ingat aturan tentang "derajat ke derajat":

Berapa angka yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan?

Rumusan ini merupakan definisi dari akar derajat ke-th.

Izinkan saya mengingatkan Anda: akar pangkat suatu bilangan () adalah bilangan yang, jika dipangkatkan, sama dengan.

Artinya, akar dari pangkat adalah operasi kebalikan dari menaikkan pangkat: .

Ternyata itu. Jelasnya, kasus khusus ini dapat diperluas: .

Sekarang kita tambahkan pembilangnya: apa itu? Jawabannya mudah diperoleh dengan menggunakan aturan power-to-power:

Tapi bisakah basisnya berupa angka apa saja? Lagi pula, akar tidak dapat diekstraksi dari semua bilangan.

Tidak ada!

Mari kita ingat aturannya: bilangan apa pun yang dipangkatkan genap adalah bilangan positif. Artinya, tidak mungkin mengekstrak akar genap dari bilangan negatif!

Artinya, bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dipangkatkan dengan penyebut genap, sehingga ungkapan tersebut tidak masuk akal.

Bagaimana dengan ekspresinya?

Namun di sini muncul masalah.

Bilangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai pecahan lain yang dapat direduksi, misalnya atau.

Dan ternyata ada, tapi tidak ada, tapi ini hanyalah dua record berbeda dengan nomor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, barulah Anda bisa menuliskannya. Tetapi jika kita menuliskan indikatornya secara berbeda, kita akan mendapat masalah lagi: (yaitu, kita mendapatkan hasil yang sangat berbeda!).

Untuk menghindari paradoks seperti itu, kami mempertimbangkannya hanya eksponen basis positif dengan eksponen pecahan.

Jadi jika:

• — bilangan asli;
• - bilangan bulat;

Contoh:

Eksponen rasional sangat berguna untuk mentransformasikan ekspresi dengan akar, misalnya:

5 contoh untuk dipraktikkan

Analisis 5 contoh untuk pelatihan

Nah, sekarang sampai pada bagian tersulitnya. Sekarang kita akan mencari tahu derajat dengan eksponen irasional.

Semua aturan dan sifat derajat di sini sama persis dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian

Memang, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan merupakan bilangan bulat (yaitu, bilangan irasional adalah bilangan real kecuali bilangan rasional).

Saat mempelajari derajat dengan eksponen natural, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kita membuat “gambar”, “analogi”, atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih familiar.

Misalnya, derajat dengan eksponen natural adalah bilangan yang dikalikan sendiri beberapa kali;

...angka pangkat nol- ini seolah-olah suatu bilangan yang dikalikan satu kali, yaitu belum mulai mengalikannya, artinya bilangan itu sendiri genap belum muncul - oleh karena itu hasilnya hanya “bilangan kosong” tertentu. , yaitu suatu bilangan;

...derajat bilangan bulat negatif- seolah-olah telah terjadi “proses sebaliknya”, yaitu bilangan tersebut tidak dikalikan dengan sendirinya, melainkan dibagi.

Ngomong-ngomong, dalam sains sering digunakan derajat dengan eksponen kompleks, yaitu eksponennya bukan bilangan real.

Namun di sekolah kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

KE MANA KAMI YAKIN ANDA AKAN PERGI! (jika Anda belajar memecahkan contoh seperti itu :))

Misalnya:

Putuskan sendiri:

Analisis solusi:

1. Mari kita mulai dengan aturan biasa untuk menaikkan suatu kekuasaan menjadi suatu kekuasaan:

Sekarang lihat indikatornya. Apakah dia tidak mengingatkanmu pada sesuatu? Mari kita ingat kembali rumus perkalian selisih kuadrat yang disingkat:

Dalam hal ini,

Ternyata:

Menjawab: .

2. Kita mereduksi pecahan dalam eksponen ke bentuk yang sama: baik desimal, atau keduanya biasa. Kita mendapatkan, misalnya:

Jawaban: 16

3. Tidak ada yang istimewa, kami menggunakan properti derajat yang biasa:

TINGKAT LANJUTAN

Penentuan derajat

Gelar merupakan ekspresi dalam bentuk: , dimana:

• — dasar gelar;
• - eksponen.

Derajat dengan indikator alami (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan suatu bilangan ke pangkat alami n berarti mengalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri dikalikan:

Derajat dengan eksponen bilangan bulat (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponennya adalah bilangan bulat positif nomor:

Konstruksi ke nol derajat:

Ungkapannya tidak tentu, karena, di satu sisi, pada derajat apa pun adalah ini, dan di sisi lain, bilangan apa pun hingga derajat ke-th adalah ini.

Jika eksponennya adalah bilangan bulat negatif nomor:

(karena Anda tidak dapat membaginya).

Sekali lagi tentang nol: ekspresi tidak ditentukan dalam kasus ini. Jika, maka.

Contoh:

Kekuatan dengan eksponen rasional

• — bilangan asli;
• - bilangan bulat;

Contoh:

Sifat derajat

Untuk mempermudah penyelesaian masalah, mari kita coba memahami: dari manakah sifat-sifat tersebut berasal? Mari kita buktikan.

Mari kita lihat: apa itu dan?

Menurut definisi:

Jadi, di sisi kanan ekspresi ini kita mendapatkan produk berikut:

Namun menurut definisinya itu adalah pangkat suatu bilangan dengan eksponen, yaitu:

Q.E.D.

Contoh : Menyederhanakan ekspresi.

Larutan : .

Contoh : Menyederhanakan ekspresi.

Larutan : Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami Perlu pasti ada alasan yang sama. Oleh karena itu, kami menggabungkan kekuatan dengan basis, namun tetap menjadi faktor terpisah:

Catatan penting lainnya: aturan ini - hanya untuk produk kekuasaan!

Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.

Sama seperti sifat sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Mari kita kelompokkan kembali pekerjaan ini seperti ini:

Ternyata ekspresi tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri, yaitu menurut definisinya, ini adalah pangkat ke-th dari bilangan tersebut:

Intinya, hal ini bisa disebut “mengeluarkan indikator dari tanda kurung.” Namun Anda tidak akan pernah bisa melakukan ini secara total: !

Mari kita ingat rumus perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis? Tapi ini tidak benar.

Kekuatan dengan basis negatif.

Sejauh ini kita hanya membahas bagaimana seharusnya indikator derajat. Tapi apa yang harus dijadikan dasar? Dalam kekuasaan alami indikator dasarnya mungkin nomor berapa pun .

Memang benar, kita bisa mengalikan bilangan apa pun, baik bilangan positif, negatif, atau genap. Mari kita pikirkan tanda mana ("" atau "") yang memiliki pangkat bilangan positif dan negatif?

Misalnya, apakah bilangan tersebut positif atau negatif? A? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak bilangan positif yang kita kalikan, hasilnya akan positif.

Namun sisi negatifnya sedikit lebih menarik. Kita ingat aturan sederhana dari kelas 6 SD: “minus untuk minus memberi nilai tambah.” Yaitu, atau. Namun jika kita mengalikannya dengan (), kita mendapatkan - .

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap perkalian berikutnya tandanya akan berubah. Aturan sederhana berikut dapat dirumuskan:

1. bahkan derajat, - nomor positif.
2. Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
3. Bilangan positif pada derajat apa pun adalah bilangan positif.
4. Nol pangkat apa pun sama dengan nol.

Tentukan sendiri tanda apa yang dimiliki ekspresi berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Apakah Anda berhasil? Inilah jawabannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kita cukup melihat basis dan eksponennya lalu menerapkan aturan yang sesuai.

Dalam contoh 5) semuanya juga tidak seseram kelihatannya: lagi pula, tidak masalah sama dengan apa basisnya - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif. Ya, kecuali jika basisnya nol. Basisnya tidak sama, bukan? Jelas tidak, sejak (karena).

Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu. Di sini Anda perlu mencari tahu mana yang lebih kecil: atau? Jika kita mengingatnya, menjadi jelas bahwa alasnya kurang dari nol. Artinya, kita menerapkan aturan 2: hasilnya negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi derajat:

Semuanya seperti biasa - kami menuliskan definisi derajat dan membaginya satu sama lain, membaginya menjadi berpasangan dan mendapatkan:

Sebelum kita melihat aturan terakhir, mari kita selesaikan beberapa contoh.

Hitung ekspresi:

Solusi :

Jika kita mengabaikan kekuatan kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita ingat program kelas 7. Jadi, apakah kamu ingat? Inilah rumus perkalian yang disingkat yaitu selisih kuadrat!

Kami mendapatkan:

Mari kita perhatikan baik-baik penyebutnya. Kelihatannya mirip sekali dengan salah satu faktor pembilangnya, tapi apa yang salah? Urutan istilahnya salah. Jika dibalik, aturan 3 bisa diterapkan. Ternyata caranya sangat mudah: derajat penyebut genap membantu kita dalam hal ini.

Jika dikalikan, tidak ada yang berubah, bukan? Tapi sekarang ternyata seperti ini:

Secara ajaib istilah-istilah itu berpindah tempat. “Fenomena” ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga tingkat yang genap: kita dapat dengan mudah mengubah tanda dalam tanda kurung. Namun penting untuk diingat: Semua tanda berubah pada saat bersamaan! Anda tidak dapat menggantinya dengan hanya mengubah satu kelemahan yang tidak kami sukai!

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

Jadi sekarang aturan terakhir:

Bagaimana kita membuktikannya? Tentu saja, seperti biasa: mari kita kembangkan konsep derajat dan sederhanakan:

Nah, sekarang mari kita buka tanda kurungnya. Berapa jumlah huruf seluruhnya? dikalikan dengan pengganda - hal ini mengingatkan Anda pada apa? Ini tidak lebih dari definisi suatu operasi perkalian: Hanya ada pengganda di sana. Artinya, menurut definisi, ini adalah pangkat suatu bilangan dengan eksponen:

Contoh:

Gelar dengan eksponen irasional

Selain informasi tentang derajat untuk tingkat rata-rata, kami akan menganalisis derajat dengan eksponen irasional. Semua aturan dan sifat derajat di sini persis sama dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagi pula, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu , bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).

Saat mempelajari derajat dengan eksponen natural, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kita membuat “gambar”, “analogi”, atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih familiar. Misalnya, derajat dengan eksponen natural adalah bilangan yang dikalikan sendiri beberapa kali; bilangan pangkat nol seolah-olah merupakan bilangan yang dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu belum mulai mengalikannya, artinya bilangan itu sendiri belum muncul - oleh karena itu hasilnya hanya tertentu “nomor kosong”, yaitu suatu nomor; derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif - seolah-olah telah terjadi “proses sebaliknya”, yaitu bilangan tersebut tidak dikalikan dengan sendirinya, tetapi dibagi.

Sangat sulit membayangkan suatu derajat dengan eksponen irasional (sama seperti sulitnya membayangkan ruang 4 dimensi). Ini lebih merupakan objek matematika murni yang diciptakan oleh ahli matematika untuk memperluas konsep derajat ke seluruh ruang bilangan.

Ngomong-ngomong, dalam sains sering digunakan derajat dengan eksponen kompleks, yaitu eksponennya bukan bilangan real. Namun di sekolah kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen yang tidak rasional? Kami mencoba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)

Misalnya:

Putuskan sendiri:

1)

2)

3)

Jawaban:

1. Mari kita ingat perbedaan rumus kuadrat. Menjawab: .
2. Kami mereduksi pecahan ke bentuk yang sama: keduanya desimal, atau keduanya biasa. Kita mendapatkan, misalnya: .
3. Tidak ada yang istimewa, kami menggunakan properti derajat yang biasa:

RINGKASAN BAGIAN DAN RUMUS DASAR

Derajat disebut ekspresi bentuk: , dimana:

Derajat dengan eksponen bilangan bulat

derajat yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).

Kekuatan dengan eksponen rasional

derajat, yang eksponennya adalah bilangan negatif dan pecahan.

Gelar dengan eksponen irasional

derajat yang eksponennya merupakan pecahan desimal atau akar tak terhingga.

Sifat derajat

Fitur derajat.

• Angka negatif dinaikkan menjadi bahkan derajat, - nomor positif.
• Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
• Bilangan positif pada derajat apa pun adalah bilangan positif.
• Nol sama dengan pangkat apa pun.
• Bilangan apa pun yang dipangkatkan nol adalah sama.

SEKARANG ANDA MEMILIKI FIRMAN...

Bagaimana Anda menyukai artikelnya? Tulis di bawah di komentar apakah Anda menyukainya atau tidak.

Ceritakan kepada kami tentang pengalaman Anda menggunakan properti derajat.

Mungkin Anda memiliki pertanyaan. Atau saran.

Tulis di komentar.

Dan semoga sukses dalam ujianmu!

Pada materi kali ini kita akan membahas apa itu pangkat suatu bilangan. Selain definisi dasar, kami akan merumuskan apa yang dimaksud dengan pangkat natural, bilangan bulat, rasional, dan irasional. Seperti biasa, semua konsep akan diilustrasikan dengan contoh soal.

Yandex.RTB RA-339285-1

Pertama, mari kita rumuskan definisi dasar derajat dengan eksponen natural. Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat aturan dasar perkalian. Mari kita perjelas terlebih dahulu bahwa untuk saat ini kita akan mengambil bilangan real sebagai basis (dilambangkan dengan huruf a), dan bilangan asli sebagai indikator (dilambangkan dengan huruf n).

Definisi 1

Pangkat suatu bilangan a dengan eksponen natural n adalah hasil kali bilangan ke-n faktor yang masing-masing sama dengan bilangan a. Gelarnya ditulis seperti ini: sebuah, dan dalam bentuk rumus komposisinya dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Misalnya, jika eksponennya adalah 1 dan basisnya adalah a, maka pangkat pertama dari a ditulis sebagai sebuah 1. Mengingat a adalah nilai faktor dan 1 adalah banyaknya faktor, maka kita dapat menyimpulkan demikian sebuah 1 = sebuah.

Secara umum, kita dapat mengatakan bahwa derajat adalah bentuk penulisan sejumlah besar faktor yang sama. Jadi, catatan formulirnya 8 8 8 8 dapat disingkat menjadi 8 4 . Dengan cara yang sama, perkalian membantu kita menghindari penulisan suku dalam jumlah besar (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Kita telah membahas hal ini di artikel tentang perkalian bilangan asli.

Bagaimana cara membaca entri gelar dengan benar? Opsi yang diterima secara umum adalah “a pangkat n”. Atau Anda bisa mengatakan "kekuatan ke-n dari a" atau "kekuatan ke-n". Jika, katakanlah, dalam contoh kita menemukan entri 8 12 , kita dapat membaca "8 pangkat 12", "8 pangkat 12" atau "pangkat 12 dari 8".

Pangkat kedua dan ketiga dari bilangan mempunyai nama tersendiri: persegi dan kubus. Jika kita melihat pangkat dua, misalnya angka 7 (7 2), maka kita dapat mengatakan “7 kuadrat” atau “kuadrat dari angka 7”. Demikian pula derajat ketiga dibaca seperti ini: 5 3 - ini adalah "kubus angka 5" atau "5 kubus". Namun, Anda juga dapat menggunakan rumusan standar “pangkat kedua/ketiga”; ini tidak salah.

Contoh 1

Mari kita lihat contoh gelar dengan eksponen natural: for 5 7 lima akan menjadi basis, dan tujuh akan menjadi eksponen.

Basis tidak harus berupa bilangan bulat: untuk derajat (4 , 32) 9 basisnya adalah pecahan 4, 32, dan eksponennya adalah sembilan. Perhatikan tanda kurung: notasi ini dibuat untuk semua pangkat yang basisnya berbeda dengan bilangan asli.

Contoh: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Untuk apa tanda kurung? Mereka membantu menghindari kesalahan dalam perhitungan. Katakanlah kita memiliki dua entri: (− 2) 3 Dan − 2 3 . Yang pertama berarti bilangan negatif dikurangi dua yang dipangkatkan dengan eksponen natural tiga; yang kedua adalah bilangan yang sesuai dengan nilai kebalikan dari derajatnya 2 3 .

Terkadang di buku Anda dapat menemukan ejaan pangkat angka yang sedikit berbeda - sebuah^n(di mana a adalah basis dan n adalah eksponen). Artinya, 4^9 sama dengan 4 9 . Jika n adalah bilangan multi-digit, maka ditempatkan dalam tanda kurung. Misalnya, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Tapi kami akan menggunakan notasinya sebuah sebagai lebih umum.

Cara menghitung nilai eksponen dengan eksponen natural mudah ditebak dari definisinya: Anda hanya perlu mengalikannya sebanyak ke-n. Kami menulis lebih banyak tentang ini di artikel lain.

Konsep derajat adalah kebalikan dari konsep matematika lainnya - akar suatu bilangan. Jika kita mengetahui nilai pangkat dan eksponennya, kita dapat menghitung basisnya. Derajat mempunyai beberapa sifat tertentu yang berguna untuk menyelesaikan permasalahan, yang telah kita bahas pada materi tersendiri.

Eksponen tidak hanya mencakup bilangan asli, tetapi juga nilai bilangan bulat apa pun secara umum, termasuk bilangan negatif dan nol, karena bilangan tersebut juga termasuk dalam himpunan bilangan bulat.

Definisi 2

Pangkat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat positif dapat direpresentasikan sebagai rumus: .

Dalam hal ini, n adalah bilangan bulat positif.

Mari kita pahami konsep nol derajat. Untuk melakukan hal ini, kami menggunakan pendekatan yang memperhitungkan sifat hasil bagi untuk pangkat dengan basis yang sama. Ini dirumuskan seperti ini:

Definisi 3

Persamaan saya: sebuah = saya − n akan benar dalam kondisi berikut: m dan n adalah bilangan asli, m< n , a ≠ 0 .

Kondisi terakhir ini penting karena menghindari pembagian dengan nol. Jika nilai m dan n sama, maka diperoleh hasil sebagai berikut: an: an = an − n = a 0

Tetapi pada saat yang sama a n: a n = 1 adalah hasil bagi dari bilangan-bilangan yang sama sebuah dan sebuah. Ternyata pangkat nol suatu bilangan bukan nol sama dengan satu.

Namun pembuktian tersebut tidak berlaku untuk nol pangkat nol. Untuk melakukan ini, kita memerlukan properti lain dari kekuasaan - properti produk dari kekuasaan dengan dasar yang sama. Ini terlihat seperti ini: saya · sebuah n = saya + n .

Jika n sama dengan 0, maka saya · a 0 = saya(kesetaraan ini juga membuktikan kepada kita hal itu sebuah 0 = 1). Namun jika dan juga sama dengan nol, persamaan kita akan terbentuk 0 m · 0 0 = 0 m, Ini akan berlaku untuk semua nilai alami n, dan tidak peduli apa sebenarnya nilai derajatnya 0 0 , yaitu dapat sama dengan bilangan apa pun, dan hal ini tidak akan mempengaruhi keakuratan persamaan. Oleh karena itu, notasi formulir 0 0 tidak memiliki arti khusus, dan kami tidak akan menghubungkannya dengan itu.

Jika diinginkan, mudah untuk memeriksanya sebuah 0 = 1 konvergen dengan properti derajat (saya) n = saya n asalkan alas derajatnya tidak nol. Jadi, pangkat suatu bilangan bukan nol yang eksponennya nol adalah satu.

Contoh 2

Mari kita lihat contoh dengan bilangan tertentu: Jadi, 5 0 - satuan, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , dan nilainya 0 0 tidak ditentukan.

Setelah derajat nol, kita tinggal mencari tahu apa itu derajat negatif. Untuk melakukan ini, kita memerlukan properti yang sama dari produk pangkat dengan basis yang sama yang telah kita gunakan di atas: a m · a n = am + n.

Mari kita perkenalkan kondisi: m = − n, maka a tidak boleh sama dengan nol. Oleh karena itu a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Ternyata n dan a−n kami memiliki nomor timbal balik.

Akibatnya, a terhadap bilangan bulat negatif tidak lebih dari pecahan 1 a n.

Rumusan ini menegaskan bahwa untuk derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif, semua sifat yang sama valid yang dimiliki oleh derajat dengan eksponen alami (asalkan basisnya tidak sama dengan nol).

Contoh 3

Pangkat a dengan eksponen bilangan bulat negatif n dapat direpresentasikan sebagai pecahan 1 a n . Jadi, a - n = 1 a n tunduk pada sebuah ≠ 0 dan n adalah bilangan asli apa pun.

Mari kita ilustrasikan ide kita dengan contoh spesifik:

Contoh 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Di bagian terakhir paragraf, kami akan mencoba menggambarkan semua yang telah dikatakan dengan jelas dalam satu rumus:

Definisi 4

Pangkat suatu bilangan dengan eksponen natural z adalah: a z = a z, e dengan l dan z - bilangan bulat positif 1, z = 0 dan a ≠ 0, (untuk z = 0 dan a = 0 hasilnya adalah 0 0, maka nilai ekspresi 0 0 tidak ditentukan) 1 a z, jika dan z adalah bilangan bulat negatif dan a ≠ 0 ( jika z adalah bilangan bulat negatif dan a = 0 Anda mendapatkan 0 z, egoz nilainya tidak dapat ditentukan)

Apa yang dimaksud dengan pangkat dengan eksponen rasional?

Kami memeriksa kasus ketika eksponen berisi bilangan bulat. Namun, Anda dapat menaikkan suatu bilangan menjadi pangkat meskipun eksponennya berisi bilangan pecahan. Ini disebut pangkat dengan eksponen rasional. Pada bagian ini kita akan membuktikan bahwa ia memiliki sifat yang sama dengan kekuatan lainnya.

Apa itu bilangan rasional? Himpunannya mencakup bilangan bulat dan pecahan, dan bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa (baik positif maupun negatif). Mari kita rumuskan definisi pangkat suatu bilangan a dengan eksponen pecahan m/n, dimana n adalah bilangan asli dan m adalah bilangan bulat.

Kita mempunyai derajat tertentu dengan eksponen pecahan a m n . Agar properti pangkat ke pangkat dapat dipertahankan, persamaan a m n n = am n · n = am harus benar.

Mengingat definisi akar ke-n dan bahwa a m n n = a m, kita dapat menerima kondisi a m n = a m n jika a m n masuk akal untuk nilai m, n dan a yang diberikan.

Sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat di atas akan benar dengan syarat a m n = a m n .

Kesimpulan utama dari alasan kami adalah: pangkat suatu bilangan a dengan eksponen pecahan m / n adalah akar ke-n dari bilangan a pangkat m. Hal ini benar jika, untuk nilai m, n dan a tertentu, ekspresi a m n tetap bermakna.

1. Kita dapat membatasi nilai dasar derajat: ambil a, yang untuk nilai positif m akan lebih besar dari atau sama dengan 0, dan untuk nilai negatif - lebih kecil (karena untuk m ≤ 0 kita dapatkan 0 m, tetapi gelar tersebut tidak ditentukan). Dalam hal ini, definisi derajat dengan eksponen pecahan akan terlihat seperti ini:

Pangkat dengan eksponen pecahan m/n untuk suatu bilangan positif a adalah akar ke-n dari a yang dipangkatkan m. Hal ini dapat dinyatakan dalam rumus:

Untuk pangkat dengan basis nol, ketentuan ini juga berlaku, tetapi hanya jika eksponennya bilangan positif.

Pangkat dengan basis nol dan eksponen positif pecahan m/n dapat dinyatakan sebagai

0 m n = 0 m n = 0 dengan syarat m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli.

Untuk rasio negatif m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Mari kita perhatikan satu hal. Karena kami memperkenalkan kondisi bahwa a lebih besar atau sama dengan nol, kami akhirnya membuang beberapa kasus.

Ungkapan a m n terkadang masih masuk akal untuk beberapa nilai negatif a dan beberapa m. Jadi, entri yang benar adalah (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, yang basisnya negatif.

2. Pendekatan kedua adalah dengan mempertimbangkan secara terpisah akar a m n dengan eksponen genap dan ganjil. Maka kita perlu memperkenalkan kondisi lain: derajat a, yang eksponennya terdapat pecahan biasa yang dapat direduksi, dianggap sebagai derajat a, yang eksponennya terdapat pecahan tak tereduksi yang bersesuaian. Nanti akan kami jelaskan mengapa kita memerlukan kondisi ini dan mengapa hal ini sangat penting. Jadi, jika kita mempunyai notasi a m · k n · k , maka kita dapat mereduksinya menjadi a m n dan menyederhanakan perhitungannya.

Jika n adalah bilangan ganjil dan nilai m positif dan a adalah bilangan non-negatif, maka a m n masuk akal. Syarat agar a menjadi non-negatif diperlukan karena akar derajat genap tidak dapat diekstraksi dari bilangan negatif. Jika nilai m positif, maka a dapat bernilai negatif dan nol, karena Akar ganjil dapat diambil dari bilangan real apa pun.

Mari gabungkan semua definisi di atas dalam satu entri:

Di sini m/n berarti pecahan tak tersederhanakan, m adalah bilangan bulat apa pun, dan n adalah bilangan asli apa pun.

Definisi 5

Untuk pecahan biasa yang dapat direduksi m · k n · k derajatnya dapat diganti dengan a m n .

Pangkat suatu bilangan a dengan eksponen pecahan tak tersederhanakan m / n – dapat dinyatakan sebagai a m n dalam kasus berikut: - untuk sembarang a nyata, nilai bilangan bulat positif m dan nilai natural ganjil n. Contoh: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Untuk sembarang real bukan nol a, nilai bilangan bulat negatif m dan nilai ganjil n, misalnya 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Untuk sembarang a non-negatif, bilangan bulat positif m dan genap n, misalnya, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Untuk sembarang a positif, bilangan bulat negatif m dan genap n, misalnya, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Dalam hal nilai lain, derajat dengan eksponen pecahan tidak ditentukan. Contoh derajatnya : - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Sekarang mari kita jelaskan pentingnya kondisi yang dibahas di atas: mengapa mengganti pecahan dengan eksponen yang dapat direduksi dengan pecahan yang eksponennya tidak dapat direduksi. Jika kita tidak melakukan ini, kita akan mengalami situasi berikut, katakanlah, 6/10 = 3/5. Maka seharusnya benar (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , tapi - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , dan (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Pengertian derajat dengan eksponen pecahan yang kami sampaikan pertama kali lebih mudah digunakan dalam praktek dibandingkan yang kedua, oleh karena itu kami akan terus menggunakannya.

Definisi 6

Jadi, pangkat bilangan positif a dengan eksponen pecahan m/n didefinisikan sebagai 0 m n = 0 m n = 0. Jika negatif A notasi a m n tidak masuk akal. Pangkat nol untuk eksponen pecahan positif M N didefinisikan sebagai 0 m n = 0 m n = 0 , untuk eksponen pecahan negatif kita tidak mendefinisikan derajat nol.

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa Anda dapat menulis eksponen pecahan apa pun baik sebagai bilangan campuran maupun pecahan desimal: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Saat menghitung, sebaiknya eksponen diganti dengan pecahan biasa, lalu gunakan definisi eksponen dengan eksponen pecahan. Untuk contoh di atas kita mendapatkan:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Apa yang dimaksud dengan pangkat yang eksponennya irasional dan nyata?

Apa itu bilangan real? Himpunannya mencakup bilangan rasional dan irasional. Oleh karena itu, untuk memahami apa yang dimaksud dengan derajat dengan eksponen real, kita perlu mendefinisikan derajat dengan eksponen rasional dan irasional. Kami telah menyebutkan yang rasional di atas. Mari kita bahas indikator irasional selangkah demi selangkah.

Contoh 5

Misalkan kita mempunyai bilangan irasional a dan barisan aproksimasi desimalnya a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Misalnya kita ambil nilai a = 1,67175331. . . , Kemudian

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Kita dapat mengasosiasikan barisan aproksimasi dengan barisan derajat a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Jika kita mengingat apa yang kami katakan sebelumnya tentang menaikkan angka ke pangkat rasional, maka kita dapat menghitung sendiri nilai pangkat tersebut.

Mari kita ambil contoh sebuah = 3, maka a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . dll.

Barisan pangkat dapat direduksi menjadi suatu bilangan, yang merupakan nilai pangkat dengan basis a dan eksponen irasional a. Hasilnya: gelar dengan eksponen irasional berbentuk 3 1, 67175331. . dapat direduksi menjadi angka 6, 27.

Definisi 7

Pangkat bilangan positif a dengan eksponen irasional a ditulis sebagai a a . Nilainya merupakan limit barisan a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , dimana a 0 , a 1 , a 2 , . . . adalah perkiraan desimal berturut-turut dari bilangan irasional a. Derajat dengan basis nol juga dapat didefinisikan untuk eksponen irasional positif, dengan 0 a = 0 Jadi, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Namun hal ini tidak dapat dilakukan untuk nilai negatif, karena misalnya nilai 0 - 5, 0 - 2 π tidak terdefinisi. Misalnya, satuan yang dipangkatkan irasional tetap merupakan satuan, dan 1 2, 1 5 dalam 2, dan 1 - 5 akan sama dengan 1.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter