§ 129. Klarifikasi awal.

Seseorang terus-menerus berurusan dengan berbagai macam kuantitas. Seorang pekerja dan seorang pekerja berusaha untuk berangkat kerja pada waktu tertentu, seorang pejalan kaki sedang terburu-buru untuk mencapai suatu tempat melalui jalur terpendek, seorang tukang pemanas uap khawatir suhu di dalam ketel perlahan naik, a eksekutif bisnis membuat rencana untuk mengurangi biaya produksi, dll.

Kita dapat memberikan sejumlah contoh seperti itu. Waktu, jarak, suhu, biaya - semua ini adalah jumlah yang berbeda. Pada bagian pertama dan kedua buku ini, kita mengenal beberapa besaran umum: luas, volume, berat. Banyak sekali besaran yang kita jumpai ketika mempelajari fisika dan ilmu-ilmu lainnya.

Bayangkan Anda sedang bepergian dengan kereta api. Sesekali Anda melihat arloji Anda dan memperhatikan sudah berapa lama Anda berada di jalan. Misalnya, Anda mengatakan bahwa 2, 3, 5, 10, 15 jam telah berlalu sejak kereta Anda berangkat, dan seterusnya. Angka-angka ini mewakili periode waktu yang berbeda; mereka disebut nilai besaran ini (waktu). Atau Anda melihat ke luar jendela dan mengikuti tiang jalan untuk melihat jarak yang ditempuh kereta Anda. Angka 110, 111, 112, 113, 114 km berkedip di depan Anda. Angka-angka ini menunjukkan perbedaan jarak yang ditempuh kereta dari titik keberangkatannya. Mereka juga disebut nilai, kali ini besarnya berbeda (jalur atau jarak antara dua titik). Jadi, satu besaran, misalnya waktu, jarak, suhu, dapat memakan waktu sebanyak itu arti yang berbeda.

Perlu diketahui bahwa seseorang hampir tidak pernah mempertimbangkan satu besaran saja, tetapi selalu menghubungkannya dengan beberapa besaran lainnya. Dia harus menangani dua, tiga atau lebih kuantitas secara bersamaan. Bayangkan Anda harus tiba di sekolah pada jam 9 malam. Anda melihat arloji Anda dan melihat bahwa Anda punya waktu 20 menit. Kemudian Anda segera memikirkan apakah Anda harus naik trem atau apakah Anda bisa berjalan kaki ke sekolah. Setelah berpikir, kamu memutuskan untuk berjalan. Perhatikan bahwa ketika Anda berpikir, Anda sedang memecahkan suatu masalah. Tugas ini menjadi sederhana dan familiar, karena Anda memecahkan masalah seperti itu setiap hari. Di dalamnya Anda dengan cepat membandingkan beberapa kuantitas. Andalah yang melihat jam, artinya Anda memperhitungkan waktu, lalu secara mental Anda membayangkan jarak dari rumah Anda ke sekolah; Terakhir, Anda membandingkan dua nilai: kecepatan langkah Anda dan kecepatan trem, dan menyimpulkan bahwa dalam waktu tertentu (20 menit) Anda akan punya waktu untuk berjalan kaki. Dari contoh sederhana ini Anda dapat melihat bahwa dalam praktik kami, beberapa besaran saling berhubungan, yaitu bergantung satu sama lain

Bab dua belas membahas tentang hubungan besaran homogen. Misalnya, jika satu ruas berukuran 12 m dan ruas lainnya berukuran 4 m, maka perbandingan ruas-ruas tersebut adalah 12:4.

Kami mengatakan bahwa ini adalah perbandingan dua besaran homogen. Cara lain untuk mengatakan ini adalah perbandingan dua bilangan satu nama.

Sekarang kita sudah lebih mengenal besaran dan telah memperkenalkan konsep nilai suatu besaran, kita dapat menyatakan definisi rasio dengan cara yang baru. Faktanya, ketika kita mempertimbangkan dua segmen berukuran 12 m dan 4 m, kita berbicara tentang satu nilai - panjang, dan 12 m dan 4 m hanyalah dua nilai berbeda dari nilai ini.

Oleh karena itu, di masa depan, ketika kita mulai berbicara tentang rasio, kita akan mempertimbangkan dua nilai dari satu besaran, dan perbandingan suatu nilai suatu besaran dengan nilai lain dari besaran yang sama akan disebut hasil bagi pembagian nilai pertama. pada detik.

§ 130. Nilai berbanding lurus.

Mari kita perhatikan masalah yang kondisinya mencakup dua besaran: jarak dan waktu.

Tugas 1. Sebuah benda yang bergerak lurus beraturan menempuh jarak 12 cm setiap sekon. Tentukan jarak yang ditempuh benda tersebut dalam waktu 2, 3, 4, ..., 10 sekon.

Mari kita buat tabel yang bisa digunakan untuk melacak perubahan waktu dan jarak.

Tabel ini memberi kita kesempatan untuk membandingkan dua rangkaian nilai ini. Kita melihat dari situ bahwa ketika nilai besaran pertama (waktu) berangsur-angsur bertambah 2, 3,..., 10 kali lipat, maka nilai besaran kedua (jarak) juga bertambah 2, 3, ..., 10 kali. Jadi, ketika nilai suatu besaran bertambah beberapa kali lipat, nilai besaran lain bertambah sama besarnya, dan bila nilai suatu besaran turun beberapa kali, nilai besaran lain berkurang sebesar nomor yang sama.

Sekarang mari kita perhatikan masalah yang melibatkan dua kuantitas: jumlah materi dan biayanya.

Tugas 2. Kain sepanjang 15 m berharga 120 rubel. Hitung harga kain ini untuk beberapa jumlah meter lainnya yang ditunjukkan dalam tabel.

Dengan menggunakan tabel ini, kita dapat menelusuri bagaimana harga suatu produk meningkat secara bertahap tergantung pada peningkatan kuantitasnya. Terlepas dari kenyataan bahwa masalah ini melibatkan jumlah yang sama sekali berbeda (dalam masalah pertama - waktu dan jarak, dan di sini - jumlah barang dan nilainya), namun, kesamaan besar dapat ditemukan dalam perilaku jumlah ini.

Faktanya, di baris atas tabel terdapat angka-angka yang menunjukkan jumlah meter kain; di bawah masing-masing meter terdapat angka yang menyatakan harga sejumlah barang yang bersangkutan. Sekilas tabel ini menunjukkan bahwa angka di baris atas dan bawah terus meningkat; setelah memeriksa tabel lebih dekat dan ketika membandingkan kolom-kolom individual, ditemukan bahwa dalam semua kasus, nilai-nilai besaran kedua meningkat dengan jumlah yang sama dengan nilai-nilai kenaikan pertama, yaitu jika nilai dari besaran pertama bertambah, katakanlah 10 kali lipat, maka nilai besaran kedua juga bertambah 10 kali lipat.

Jika kita melihat tabel dari kanan ke kiri, kita akan menemukan bahwa nilai besaran yang ditunjukkan akan berkurang dengan jumlah yang sama. Dalam pengertian ini, ada kesamaan tanpa syarat antara tugas pertama dan tugas kedua.

Pasangan besaran yang kita jumpai pada soal pertama dan kedua disebut berbanding lurus.

Jadi, jika dua besaran dihubungkan satu sama lain sedemikian rupa sehingga ketika nilai salah satunya bertambah (berkurang) beberapa kali, nilai yang lain bertambah (berkurang) dengan jumlah yang sama, maka besaran tersebut disebut berbanding lurus. .

Besaran-besaran tersebut juga dikatakan berhubungan satu sama lain dengan hubungan berbanding lurus.

Ada banyak besaran serupa yang ditemukan di alam dan kehidupan di sekitar kita. Berikut beberapa contohnya:

1. Waktu kerja (hari, dua hari, tiga hari, dst) dan pendapatan, diterima selama ini dengan gaji harian.

2. Volume benda apa pun yang terbuat dari bahan homogen, dan berat barang ini.

§ 131. Sifat besaran berbanding lurus.

Mari kita ambil soal yang mencakup dua besaran berikut: waktu kerja dan pendapatan. Jika penghasilan harian adalah 20 rubel, maka penghasilan selama 2 hari akan menjadi 40 rubel, dll. Cara paling mudah adalah membuat tabel di mana jumlah hari tertentu akan sesuai dengan penghasilan tertentu.

Melihat tabel ini, kita melihat bahwa kedua besaran tersebut memiliki 10 nilai yang berbeda. Setiap nilai dari nilai pertama sesuai dengan nilai tertentu dari nilai kedua, misalnya, 2 hari sama dengan 40 rubel; 5 hari setara dengan 100 rubel. Dalam tabel, angka-angka ini ditulis satu di bawah yang lain.

Kita telah mengetahui bahwa jika dua besaran berbanding lurus, maka masing-masing besaran tersebut, dalam proses perubahannya, bertambah berkali-kali lipat seiring bertambahnya kenaikan lainnya. Dari sini langsung disimpulkan: jika kita mengambil perbandingan dua nilai besaran pertama, maka itu akan sama dengan perbandingan dua nilai yang bersesuaian dari besaran kedua. Nyatanya:

Mengapa ini terjadi? Namun karena nilai-nilai tersebut berbanding lurus, yaitu bila salah satunya (waktu) bertambah 3 kali lipat, maka yang lain (penghasilan) bertambah 3 kali lipat.

Oleh karena itu kita sampai pada kesimpulan berikut: jika kita mengambil dua nilai besaran pertama dan membaginya satu sama lain, lalu membaginya dengan salah satu nilai yang bersesuaian dari besaran kedua, maka dalam kedua kasus kita akan mendapatkan nomor yang sama, yaitu hubungan yang sama. Artinya kedua relasi yang kita tulis di atas dapat dihubungkan dengan tanda sama dengan, yaitu.

Tidak ada keraguan bahwa jika kita tidak mengambil hubungan-hubungan ini, tetapi yang lain, dan bukan dalam urutan itu, tetapi dalam urutan yang berlawanan, kita juga akan memperoleh persamaan hubungan. Faktanya, kita akan mempertimbangkan nilai besaran kita dari kiri ke kanan dan mengambil nilai ketiga dan kesembilan:

60:180 = 1 / 3 .

Jadi kita bisa menulis:

Hal ini mengarah pada kesimpulan berikut: jika dua besaran berbanding lurus, maka perbandingan dua nilai besaran pertama yang diambil secara sembarang sama dengan perbandingan dua nilai besaran kedua yang bersesuaian.

§ 132. Rumus proporsionalitas langsung.

Mari kita buat tabel biaya berbagai jumlah permen, jika 1 kgnya berharga 10,4 rubel.

Sekarang mari kita lakukan dengan cara ini. Ambil nomor apa pun di baris kedua dan bagi dengan nomor yang sesuai di baris pertama. Misalnya:

Anda melihat bahwa dalam hasil bagi selalu diperoleh bilangan yang sama. Akibatnya, untuk pasangan besaran berbanding lurus tertentu, hasil bagi membagi nilai suatu besaran dengan nilai besaran lain yang bersesuaian adalah bilangan konstan (yaitu tidak berubah). Dalam contoh kita, hasil bagi ini adalah 10,4. Bilangan konstan ini disebut faktor proporsionalitas. Dalam hal ini menyatakan harga satuan ukuran, yaitu satu kilogram barang.

Bagaimana cara mencari atau menghitung koefisien proporsionalitas? Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil nilai apa pun dari satu besaran dan membaginya dengan nilai yang sesuai dari besaran lainnya.

Mari kita nyatakan nilai sembarang suatu besaran ini dengan huruf pada , dan nilai yang sesuai dari besaran lain - huruf X , maka koefisien proporsionalitas (kami menyatakannya KE) kita temukan berdasarkan pembagian:

Dalam kesetaraan ini pada - habis dibagi, X - pembagi dan KE- hasil bagi, dan karena, berdasarkan sifat pembagian, pembagiannya sama dengan pembagi dikalikan dengan hasil bagi, kita dapat menulis:

kamu= K X

Persamaan yang dihasilkan disebut rumus proporsionalitas langsung. Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat menghitung sejumlah nilai dari salah satu besaran yang berbanding lurus jika kita mengetahui nilai-nilai yang bersesuaian dari besaran lain dan koefisien proporsionalitasnya.

Contoh. Dari fisika kita mengetahui berat itu R suatu benda sama dengan berat jenisnya D , dikalikan dengan volume benda ini V, yaitu R = D V.

Mari kita ambil lima batang besi dengan volume berbeda; Mengetahui berat jenis besi (7,8), kita dapat menghitung berat batangan tersebut dengan menggunakan rumus:

R = 7,8 V.

Membandingkan rumus ini dengan rumus pada = KE X , kami melihatnya kamu = R, x = V, dan koefisien proporsionalitas KE= 7.8. Rumusnya sama, hanya hurufnya saja yang berbeda.

Dengan menggunakan rumus ini, mari kita buat tabel: misalkan volume blanko pertama sama dengan 8 meter kubik. cm, maka beratnya 7,8 8 = 62,4 (g). Volume blanko ke-2 adalah 27 meter kubik. cm Beratnya 7,8 27 = 210,6 (g). Tabelnya akan terlihat seperti ini:

Hitung angka-angka yang hilang dalam tabel ini menggunakan rumus R= D V.

§ 133. Metode lain untuk menyelesaikan masalah dengan besaran berbanding lurus.

Pada paragraf sebelumnya, kita menyelesaikan soal yang kondisinya mencakup besaran berbanding lurus. Untuk tujuan ini, pertama-tama kita menurunkan rumus proporsionalitas langsung dan kemudian menerapkan rumus ini. Sekarang kami akan menunjukkan dua cara lain untuk menyelesaikan masalah serupa.

Mari kita buat soal menggunakan data numerik yang diberikan pada tabel di paragraf sebelumnya.

Tugas. Blanko dengan volume 8 meter kubik. cm beratnya 62,4 g Berapa berat benda kerja yang volumenya 64 meter kubik? cm?

Larutan. Berat besi diketahui sebanding dengan volumenya. Jika 8 meter kubik. cm beratnya 62,4 g, lalu 1 cu. cm akan beratnya 8 kali lebih sedikit, mis.

62,4:8 = 7,8 (g).

Blanko dengan volume 64 meter kubik. cm akan memiliki berat 64 kali lebih banyak dari blanko berukuran 1 meter kubik. cm, yaitu

7,8 64 = 499,2(g).

Kami memecahkan masalah kami dengan mengurangi kesatuan. Arti nama ini dibenarkan oleh fakta bahwa untuk menyelesaikannya kita harus mencari berat satuan volume pada pertanyaan pertama.

2. Metode proporsi. Mari kita selesaikan masalah yang sama dengan menggunakan metode proporsi.

Karena berat besi dan volumenya merupakan besaran yang berbanding lurus, maka perbandingan dua nilai suatu besaran (volume) sama dengan perbandingan dua nilai yang bersesuaian dari besaran lain (berat), yaitu.

(surat R kami menentukan berat benda kerja yang tidak diketahui). Dari sini:

(G).

Masalahnya diselesaikan dengan menggunakan metode proporsi. Artinya untuk menyelesaikannya disusun suatu proporsi dari angka-angka yang termasuk dalam kondisi tersebut.

§ 134. Nilai berbanding terbalik.

Perhatikan permasalahan berikut ini: “Lima tukang batu dapat memasang dinding bata sebuah rumah dalam waktu 168 hari. Tentukan dalam berapa hari 10, 8, 6, dst. tukang batu dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama.”

Jika 5 tukang memasang tembok sebuah rumah dalam waktu 168 hari, maka (dengan produktivitas tenaga kerja yang sama) 10 tukang dapat mengerjakan separuh waktu yang dibutuhkan, karena rata-rata 10 orang mengerjakan pekerjaan dua kali lebih banyak dibandingkan 5 orang.

Mari kita buat tabel yang dapat digunakan untuk memantau perubahan jumlah pekerja dan jam kerja.

Misalnya untuk mengetahui berapa hari yang dibutuhkan 6 pekerja, pertama-tama harus dihitung berapa hari yang dibutuhkan satu pekerja (168 5 = 840), lalu berapa hari yang dibutuhkan enam pekerja (840: 6 = 140). Melihat tabel ini, kita melihat bahwa kedua besaran tersebut mempunyai enam nilai yang berbeda. Setiap nilai besaran pertama berhubungan dengan nilai tertentu; nilai nilai kedua, misalnya 10 sama dengan 84, angka 8 sama dengan angka 105, dst.

Jika kita perhatikan nilai kedua besaran dari kiri ke kanan, kita akan melihat bahwa nilai besaran atas bertambah, dan nilai besaran bawah berkurang. Kenaikan dan penurunan tersebut tunduk pada hukum berikut: nilai jumlah pekerja bertambah seiring dengan penurunan nilai waktu kerja yang dihabiskan. Gagasan ini dapat diungkapkan dengan lebih sederhana sebagai berikut: semakin banyak pekerja yang terlibat dalam suatu tugas, semakin sedikit waktu yang mereka perlukan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan. Dua besaran yang kita temui dalam soal ini disebut berbanding terbalik.

Jadi, jika dua besaran dihubungkan satu sama lain sedemikian rupa sehingga ketika nilai salah satunya bertambah (berkurang) beberapa kali, nilai yang lain berkurang (bertambah) dengan jumlah yang sama, maka besaran tersebut disebut berbanding terbalik. .

Ada banyak besaran serupa dalam kehidupan. Mari kita beri contoh.

1. Jika untuk 150 rubel. Jika Anda perlu membeli beberapa kilogram manisan, jumlah manisan akan tergantung pada harga satu kilogramnya. Semakin tinggi harganya, semakin sedikit barang yang dapat Anda beli dengan uang tersebut; ini dapat dilihat dari tabel:

Ketika harga permen naik beberapa kali lipat, jumlah kilogram permen yang dapat dibeli seharga 150 rubel berkurang dengan jumlah yang sama. Dalam hal ini, dua kuantitas (berat produk dan harganya) berbanding terbalik.

2. Jika jarak dua kota adalah 1.200 km, maka dapat ditempuh dalam waktu yang berbeda-beda tergantung kecepatan geraknya. Ada berbagai cara untuk bepergian: berjalan kaki, menunggang kuda, bersepeda, naik perahu, naik mobil, naik kereta api, naik pesawat. Semakin rendah kecepatannya, semakin lama waktu yang dibutuhkan untuk bergerak. Hal ini dapat dilihat dari tabel:

Dengan peningkatan kecepatan beberapa kali lipat, waktu tempuh berkurang dengan jumlah yang sama. Artinya pada kondisi tersebut kecepatan dan waktu merupakan besaran yang berbanding terbalik.

§ 135. Sifat besaran berbanding terbalik.

Mari kita ambil contoh kedua, yang kita lihat di paragraf sebelumnya. Di sana kami berurusan dengan dua besaran - kecepatan dan waktu. Jika kita melihat nilai besaran-besaran tersebut dari kiri ke kanan pada tabel, kita akan melihat bahwa nilai besaran pertama (kecepatan) bertambah, dan nilai besaran kedua (waktu) berkurang, dan kecepatan bertambah dengan jumlah yang sama dengan berkurangnya waktu. Tidak sulit untuk memahami bahwa jika Anda menulis perbandingan beberapa nilai suatu besaran, maka itu tidak akan sama dengan perbandingan nilai-nilai yang bersesuaian dengan besaran lain. Padahal, jika kita mengambil perbandingan nilai keempat dan ketujuh dari nilai yang lebih rendah (40:80), maka tidak akan sama dengan perbandingan nilai keempat dan ketujuh dari nilai yang lebih rendah (30: 15). Dapat ditulis seperti ini:

40:80 tidak sama dengan 30:15, atau 40:80 =/=30:15.

Tetapi jika alih-alih salah satu dari relasi ini kita mengambil yang sebaliknya, maka kita mendapatkan kesetaraan, yaitu dari relasi ini dimungkinkan untuk membuat proporsi. Misalnya:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Berdasarkan uraian di atas, kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut: jika dua besaran berbanding terbalik, maka perbandingan dua nilai yang diambil secara sembarangan dari suatu besaran sama dengan perbandingan terbalik dari nilai-nilai yang bersesuaian dari besaran lain.

§ 136. Rumus proporsionalitas terbalik.

Perhatikan masalahnya: “Ada 6 lembar kain sutra dengan ukuran dan kualitas berbeda. Semua bagian harganya sama. Satu potong berisi kain sepanjang 100 m, dengan harga 20 rubel. per meter Berapa meter masing-masing dari lima potong lainnya, jika satu meter kain dalam potongan-potongan ini masing-masing berharga 25, 40, 50, 80, 100 rubel?” Untuk mengatasi masalah ini, mari buat tabel:

Kita perlu mengisi sel kosong di baris atas tabel ini. Mari kita coba tentukan dulu berapa meter jarak pada potongan kedua. Hal ini dapat dilakukan sebagai berikut. Dari kondisi soal diketahui harga semua bagian adalah sama. Harga potongan pertama mudah ditentukan: berisi 100 meter dan setiap meter berharga 20 rubel, yang berarti potongan sutra pertama bernilai 2.000 rubel. Karena potongan sutra kedua mengandung jumlah rubel yang sama, maka dibagi 2.000 rubel. untuk harga satu meter yaitu 25, kita cari ukuran potongan kedua : 2.000 : 25 = 80 (m). Dengan cara yang sama kita akan menemukan ukuran semua bagian lainnya. Tabelnya akan terlihat seperti:

Sangat mudah untuk melihat bahwa ada hubungan berbanding terbalik antara jumlah meter dan harga.

Jika Anda melakukan perhitungan yang diperlukan sendiri, Anda akan melihat bahwa setiap kali Anda harus membagi angka 2.000 dengan harga 1 m , Anda akan selalu mendapatkan nomor 2.000. Ini dan Anda harus menunggu, karena setiap bagian berharga 2.000 rubel.

Dari sini kita dapat menarik kesimpulan berikut: untuk sepasang besaran berbanding terbalik, hasil kali nilai suatu besaran dengan nilai besaran lain yang bersesuaian adalah bilangan konstan (yaitu tidak berubah).

Dalam soal kita, hasil kali ini sama dengan 2.000. Periksa bahwa pada soal sebelumnya, yang membahas tentang kecepatan pergerakan dan waktu yang diperlukan untuk berpindah dari satu kota ke kota lain, juga terdapat bilangan konstan untuk soal tersebut (1.200).

Dengan mempertimbangkan semua hal di atas, mudah untuk menurunkan rumus proporsionalitas terbalik. Mari kita nyatakan nilai tertentu dari suatu besaran dengan huruf X , dan nilai yang sesuai dari besaran lain diwakili oleh huruf pada . Kemudian, berdasarkan hal di atas, pekerjaan X pada pada harus sama dengan suatu nilai konstanta, yang kita nyatakan dengan huruf KE, yaitu

x kamu = KE.

Dalam kesetaraan ini X - perkalian pada - pengganda dan K- bekerja. Berdasarkan sifat perkalian, pengali sama dengan hasil kali dibagi pengali. Cara,

Ini adalah rumus proporsionalitas terbalik. Dengan menggunakannya, kita dapat menghitung sejumlah nilai dari salah satu besaran berbanding terbalik, dengan mengetahui nilai besaran lain dan bilangan konstan. KE.

Mari kita pertimbangkan masalah lain: “Penulis sebuah esai menghitung bahwa jika bukunya dalam format biasa, maka akan memiliki 96 halaman, tetapi jika dalam format saku, maka akan memiliki 300 halaman. Dia mencoba opsi yang berbeda, dimulai dengan 96 halaman, dan kemudian berakhir dengan 2.500 surat per halaman. Kemudian dia mengambil nomor halaman yang ditunjukkan pada tabel di bawah dan menghitung lagi berapa banyak huruf yang ada pada halaman tersebut.”

Mari kita coba menghitung berapa banyak huruf dalam satu halaman jika buku tersebut memiliki 100 halaman.

Ada 240.000 surat dalam keseluruhan buku, karena 2.500 96 = 240.000.

Mengingat hal ini, kami menggunakan rumus proporsionalitas terbalik ( pada - jumlah huruf pada halaman, X - jumlah halaman):

Dalam contoh kita KE= 240.000 oleh karena itu

Jadi ada 2.400 huruf dalam satu halaman.

Demikian pula kita mengetahui bahwa jika sebuah buku mempunyai 120 halaman, maka jumlah huruf pada halaman tersebut adalah:

Tabel kami akan terlihat seperti:

Isi sendiri sel yang tersisa.

§ 137. Metode lain untuk menyelesaikan masalah dengan besaran berbanding terbalik.

Pada paragraf sebelumnya, kita menyelesaikan soal yang syaratnya mencakup besaran berbanding terbalik. Pertama-tama kita menurunkan rumus proporsionalitas terbalik dan kemudian menerapkan rumus ini. Kami sekarang akan menunjukkan dua solusi lain untuk masalah tersebut.

1. Metode reduksi menjadi kesatuan.

Tugas. 5 orang tukang dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam waktu 16 hari. Dalam berapa hari pekerjaan ini dapat diselesaikan oleh 8 orang tukang bubut?

Larutan. Ada hubungan terbalik antara jumlah turner dan jam kerja. Jika 5 orang tukang menyelesaikan pekerjaan dalam 16 hari, maka satu orang memerlukan waktu 5 kali lebih lama, yaitu.

5 orang tukang menyelesaikan pekerjaannya dalam waktu 16 hari,

1 tukang bubut akan menyelesaikannya dalam waktu 16 5 = 80 hari.

Soal menanyakan berapa hari yang dibutuhkan 8 tukang untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut. Jelas, mereka akan mengatasi pekerjaan 8 kali lebih cepat dari 1 turner, mis

80 : 8 = 10 (hari).

Ini adalah solusi untuk masalah tersebut dengan mereduksinya menjadi kesatuan. Di sini pertama-tama perlu ditentukan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan oleh seorang pekerja.

2. Metode proporsi. Mari kita selesaikan masalah yang sama dengan cara kedua.

Karena terdapat hubungan yang berbanding terbalik antara jumlah pekerja dengan waktu kerja, maka dapat dituliskan: lama kerja 5 tukang bubut jumlah tukang baru (8) lama kerja 8 tukang jumlah tukang bubut sebelumnya (5) Mari kita nyatakan durasi kerja yang diperlukan melalui surat X dan gantikan angka-angka yang diperlukan ke dalam proporsi yang dinyatakan dalam kata-kata:

Masalah yang sama diselesaikan dengan metode proporsi. Untuk menyelesaikannya, kami harus membuat proporsi dari angka-angka yang terdapat dalam rumusan masalah.

Catatan. Pada paragraf sebelumnya kita telah membahas masalah proporsionalitas langsung dan terbalik. Alam dan kehidupan memberi kita banyak contoh ketergantungan besaran berbanding lurus dan berbanding terbalik. Namun perlu diperhatikan bahwa kedua jenis ketergantungan ini hanyalah yang paling sederhana. Selain itu, ada ketergantungan lain yang lebih kompleks antar besaran. Selain itu, kita tidak boleh berpikir bahwa jika ada dua besaran yang meningkat secara bersamaan, maka pasti ada proporsionalitas langsung di antara keduanya. Ini jauh dari kebenaran. Misalnya, tarif kereta api naik tergantung pada jarak: semakin jauh kita melakukan perjalanan, semakin banyak biaya yang kita bayar, namun hal ini tidak berarti bahwa tarifnya sebanding dengan jarak.

I. Besaran berbanding lurus.

Biarkan nilainya kamu tergantung pada ukurannya X. Jika ketika meningkat X beberapa kali ukurannya pada meningkat dengan jumlah yang sama, maka nilai tersebut X Dan pada disebut berbanding lurus.

Contoh.

1 . Jumlah barang yang dibeli dan harga pembelian (dengan harga tetap untuk satu unit barang - 1 buah atau 1 kg, dll.) Berapa kali lebih banyak barang dibeli, semakin banyak pula mereka membayar.

2 . Jarak yang ditempuh dan waktu yang dihabiskan untuk menempuhnya (dengan kecepatan konstan). Berapa kali lagi jalannya, berapa kali lagi waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikannya.

3 . Volume suatu benda dan massanya. ( Jika satu semangka berukuran 2 kali lebih besar dari semangka lainnya, maka massanya akan menjadi 2 kali lebih besar)

II. Sifat proporsionalitas langsung besaran.

Jika dua besaran berbanding lurus, maka perbandingan dua nilai besaran pertama yang diambil secara sembarang sama dengan perbandingan dua nilai besaran kedua yang bersesuaian.

Tugas 1. Untuk selai raspberry yang kami ambil 12kg raspberry dan 8kg Sahara. Berapa banyak gula yang Anda perlukan jika Anda meminumnya? 9kg raspberry?

Larutan.

Kami beralasan seperti ini: biarlah itu perlu xkg gula untuk 9kg raspberry Massa raspberry dan massa gula merupakan besaran yang berbanding lurus: berapa kali lebih sedikit raspberry, maka semakin sedikit pula gula yang dibutuhkan. Oleh karena itu, rasio raspberry yang diambil (berdasarkan berat) ( 12:9 ) akan sama dengan perbandingan gula yang diambil ( 8:x). Kami mendapatkan proporsinya:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Menjawab: pada 9kg raspberry perlu diambil 6kg Sahara.

Solusi masalah Ini bisa dilakukan seperti ini:

Memberitahu 9kg raspberry perlu diambil xkg Sahara.

(Panah pada gambar mengarah ke satu arah, atas atau bawah tidak menjadi masalah. Artinya: berapa kali bilangan tersebut 12 nomor lebih banyak 9 , beberapa kali 8 nomor lebih banyak X, yaitu ada hubungan langsung di sini).

Menjawab: pada 9kg Saya perlu mengambil beberapa raspberry 6kg Sahara.

Tugas 2. Mobil untuk 3 jam menempuh jarak tersebut 264km. Berapa lama waktu yang dia perlukan untuk melakukan perjalanan? 440 km, apakah dia mengemudi dengan kecepatan yang sama?

Larutan.

Biarkan untuk x jam mobil akan menempuh jarak tersebut 440km.

Menjawab: mobil akan lewat 440 km dalam 5 jam.

Tugas 3. Air mengalir dari pipa ke kolam. Untuk 2 jam dia mengisi 1/5 kolam renang Bagian kolam mana yang terisi air 5 jam?

Larutan.

Kami menjawab pertanyaan tugas: untuk 5 jam akan terisi 1/x bagian dari kolam. (Seluruh kolam diambil sebagai satu kesatuan).

Hari ini kita akan melihat besaran apa saja yang disebut berbanding terbalik, seperti apa grafik proporsionalitas terbalik, dan bagaimana semua ini dapat bermanfaat bagi Anda tidak hanya dalam pelajaran matematika, tetapi juga di luar sekolah.

Proporsi yang berbeda

Proporsionalitas sebutkan dua besaran yang saling bergantung satu sama lain.

Ketergantungannya bisa langsung dan terbalik. Oleh karena itu, hubungan antar besaran digambarkan dengan proporsionalitas langsung dan terbalik.

Proporsionalitas langsung– ini adalah hubungan antara dua besaran yang kenaikan atau penurunan salah satu besarannya menyebabkan kenaikan atau penurunan besaran yang lain. Itu. sikap mereka tidak berubah.

Misalnya, semakin banyak usaha yang Anda lakukan untuk belajar menghadapi ujian, semakin tinggi nilai Anda. Atau semakin banyak barang yang Anda bawa saat mendaki, semakin berat ransel Anda untuk dibawa. Itu. Besarnya usaha yang dikeluarkan untuk mempersiapkan ujian berbanding lurus dengan nilai yang diperoleh. Dan jumlah barang yang dimasukkan ke dalam tas ransel berbanding lurus dengan beratnya.

Proporsionalitas terbalik– ini adalah ketergantungan fungsional di mana penurunan atau peningkatan beberapa kali dalam nilai independen (disebut argumen) menyebabkan peningkatan atau penurunan nilai dependen secara proporsional (yaitu, dalam jumlah yang sama) (disebut a fungsi).

Mari kita ilustrasikan dengan contoh sederhana. Anda ingin membeli apel di pasar. Apel di konter dan jumlah uang di dompet Anda berbanding terbalik. Itu. Semakin banyak apel yang Anda beli, semakin sedikit uang yang tersisa.

Fungsi dan grafiknya

Fungsi proporsionalitas terbalik dapat digambarkan sebagai kamu = k/x. Di mana X≠ 0 dan k≠ 0.

Fungsi ini memiliki properti berikut:

1. Domain definisinya adalah himpunan semua bilangan real kecuali X = 0. D(kamu): (-∞; 0) kamu (0; +∞).
2. Kisarannya adalah semua bilangan real kecuali kamu= 0. E(kamu): (-∞; 0) kamu (0; +∞) .
3. Tidak memiliki nilai maksimum atau minimum.
4. Ganjil dan grafiknya simetris terhadap titik asal.
5. Non-periodik.
6. Grafiknya tidak memotong sumbu koordinat.
7. Tidak memiliki angka nol.
8. Jika k> 0 (yaitu argumennya bertambah), fungsinya berkurang secara proporsional pada setiap intervalnya. Jika k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ketika argumen meningkat ( k> 0) nilai negatif fungsi berada pada interval (-∞; 0), dan nilai positif berada pada interval (0; +∞). Ketika argumen berkurang ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Grafik fungsi proporsionalitas terbalik disebut hiperbola. Ditampilkan sebagai berikut:

Masalah proporsionalitas terbalik

Agar lebih jelas, mari kita lihat beberapa tugas. Hal ini tidak terlalu rumit, dan menyelesaikannya akan membantu Anda memvisualisasikan apa itu proporsionalitas terbalik dan bagaimana pengetahuan ini dapat berguna dalam kehidupan Anda sehari-hari.

Tugas No.1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 60 km/jam. Butuh waktu 6 jam untuk sampai ke tujuannya. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak yang sama jika ia bergerak dengan kecepatan dua kali lipat?

Kita bisa memulainya dengan menuliskan rumus yang menggambarkan hubungan antara waktu, jarak dan kecepatan: t = S/V. Setuju, ini sangat mengingatkan kita pada fungsi proporsionalitas terbalik. Dan ini menunjukkan bahwa waktu yang dihabiskan mobil di jalan dan kecepatan pergerakannya berbanding terbalik.

Untuk membuktikannya, carilah V 2 yang menurut kondisinya 2 kali lebih tinggi: V 2 = 60 * 2 = 120 km/jam. Kemudian kita hitung jaraknya dengan rumus S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sekarang tidak sulit untuk mengetahui waktu t 2 yang kita perlukan sesuai dengan kondisi soal: t 2 = 360/120 = 3 jam.

Seperti yang Anda lihat, waktu tempuh dan kecepatan memang berbanding terbalik: pada kecepatan 2 kali lebih tinggi dari kecepatan aslinya, mobil akan menghabiskan waktu 2 kali lebih sedikit di jalan.

Penyelesaian masalah ini juga dapat dituliskan dalam bentuk proporsi. Jadi mari kita buat diagram ini terlebih dahulu:

↓ 60 km/jam – 6 jam

↓120 km/jam – x jam

Tanda panah menunjukkan hubungan berbanding terbalik. Mereka juga menyarankan bahwa ketika membuat proporsi, sisi kanan catatan harus dibalik: 60/120 = x/6. Dimana kita mendapatkan x = 60 * 6/120 = 3 jam.

Tugas No.2. Bengkel ini mempekerjakan 6 orang pekerja yang dapat menyelesaikan sejumlah pekerjaan tertentu dalam waktu 4 jam. Jika jumlah pekerja dikurangi setengahnya, berapa lama waktu yang dibutuhkan sisa pekerja untuk menyelesaikan jumlah pekerjaan yang sama?

Mari kita tuliskan kondisi permasalahan dalam bentuk diagram visual:

↓ 6 pekerja – 4 jam

↓ 3 pekerja – x ​​jam

Mari kita tuliskan ini sebagai proporsi: 6/3 = x/4. Dan kita mendapatkan x = 6 * 4/3 = 8 jam. Jika pekerjanya 2 kali lebih sedikit, maka pekerja yang tersisa akan menghabiskan waktu 2 kali lebih banyak untuk melakukan semua pekerjaan.

Tugas No.3. Ada dua pipa yang menuju ke kolam. Melalui satu pipa, air mengalir dengan kecepatan 2 l/s dan memenuhi kolam dalam waktu 45 menit. Melalui pipa lain, kolam akan terisi dalam waktu 75 menit. Berapa kecepatan air masuk ke kolam melalui pipa ini?

Untuk memulainya, mari kita kurangi semua besaran yang diberikan kepada kita sesuai dengan kondisi soal ke dalam satuan pengukuran yang sama. Untuk melakukannya, kita nyatakan kecepatan pengisian kolam dalam liter per menit: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/mnt.

Karena kondisi tersebut berarti kolam terisi lebih lambat melalui pipa kedua, sehingga laju aliran air menjadi lebih rendah. Proporsionalitasnya berbanding terbalik. Mari kita nyatakan kecepatan yang tidak diketahui melalui x dan buatlah diagram berikut:

↓ 120 l/mnt – 45 menit

↓ x l/mnt – 75 menit

Lalu kita membuat proporsinya: 120/x = 75/45, dari mana x = 120 * 45/75 = 72 l/mnt.

Dalam soal tersebut, laju pengisian kolam dinyatakan dalam liter per detik; mari kita kurangi jawaban yang kita terima ke bentuk yang sama: 72/60 = 1,2 l/s.

Tugas No.4. Sebuah percetakan swasta kecil mencetak kartu nama. Seorang karyawan percetakan bekerja dengan kecepatan 42 kartu nama per jam dan bekerja sehari penuh - 8 jam. Jika dia bekerja lebih cepat dan mencetak 48 kartu nama dalam satu jam, berapa lama lagi dia bisa pulang?

Kami mengikuti jalur yang telah terbukti dan membuat diagram sesuai dengan kondisi masalah, menetapkan nilai yang diinginkan sebagai x:

↓ 42 kartu nama/jam – 8 jam

↓ 48 kartu nama/jam – x jam

Kita mempunyai hubungan yang berbanding terbalik: berapa kali lebih banyak kartu nama yang dicetak oleh seorang pegawai percetakan per jam, berapa kali lebih sedikit waktu yang dia perlukan untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama. Mengetahui hal ini, mari buat proporsinya:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 jam.

Dengan demikian, setelah menyelesaikan pekerjaan dalam waktu 7 jam, pegawai percetakan tersebut bisa pulang satu jam lebih awal.

Kesimpulan

Bagi kami, permasalahan proporsionalitas terbalik ini tampaknya sangat sederhana. Kami berharap sekarang Anda juga menganggapnya seperti itu. Dan yang terpenting, pengetahuan tentang ketergantungan besaran berbanding terbalik benar-benar dapat bermanfaat bagi Anda lebih dari satu kali.

Tidak hanya dalam pelajaran matematika dan ujian. Namun demikian, ketika Anda bersiap untuk melakukan perjalanan, berbelanja, memutuskan untuk mendapatkan sedikit uang tambahan selama liburan, dll.

Beri tahu kami di komentar contoh hubungan berbanding terbalik dan berbanding lurus apa yang Anda perhatikan di sekitar Anda. Biarlah ini menjadi permainan seperti itu. Anda akan melihat betapa menariknya itu. Jangan lupa untuk membagikan artikel ini ke media sosial agar teman dan teman sekelasmu juga bisa bermain.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Tujuan utama:

• memperkenalkan konsep ketergantungan besaran berbanding lurus dan berbanding terbalik;
• mengajarkan cara memecahkan masalah menggunakan dependensi ini;
• mempromosikan pengembangan keterampilan pemecahan masalah;
• mengkonsolidasikan keterampilan memecahkan persamaan menggunakan proporsi;
• ulangi langkah-langkah tersebut dengan pecahan biasa dan desimal;
• mengembangkan pemikiran logis siswa.

KEMAJUAN PELAJARAN

SAYA. Penentuan nasib sendiri untuk aktivitas(momen organisasi)

- Teman-teman! Hari ini dalam pelajaran kita akan berkenalan dengan masalah yang diselesaikan dengan menggunakan proporsi.

II. Memperbarui pengetahuan dan mencatat kesulitan dalam beraktivitas

2.1. Pekerjaan lisan (3 menit)

– Temukan arti ungkapan dan temukan kata yang dienkripsi dalam jawabannya.

14 – detik; 0,1 – dan; 7 – aku; 0,2 – sebuah; 17 – c; 25 – sampai

– Kata yang dihasilkan adalah kekuatan. Bagus sekali!
– Motto pelajaran kita hari ini: Kekuatan ada pada pengetahuan! Saya sedang mencari - itu artinya saya sedang belajar!
– Buatlah proporsi dari angka-angka yang dihasilkan. (14:7 = 0,2:0,1 dst.)

2.2. Mari kita perhatikan hubungan antara besaran yang kita ketahui (7 menit)

– jarak yang ditempuh mobil dengan kecepatan tetap, dan waktu geraknya: S = vt ( dengan bertambahnya kecepatan (waktu), jarak bertambah);
– kecepatan kendaraan dan waktu yang dihabiskan dalam perjalanan: v=S:t(seiring dengan bertambahnya waktu yang ditempuh, kecepatan berkurang);
– harga pokok pembelian pada satu harga dan kuantitasnya: C = a · n (dengan kenaikan (penurunan) harga, biaya pembelian meningkat (menurun));
– harga produk dan kuantitasnya: a = C: n (dengan bertambahnya kuantitas, harga menurun)
– luas persegi panjang dan panjang (lebarnya): S = a · b (dengan bertambahnya panjang (lebar), luasnya bertambah;
– panjang dan lebar persegi panjang: a = S: b (semakin bertambah panjangnya, lebarnya berkurang;
– jumlah pekerja yang melakukan suatu pekerjaan dengan produktivitas tenaga kerja yang sama, dan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut: t = A: n (dengan bertambahnya jumlah pekerja, waktu yang dihabiskan untuk melakukan pekerjaan tersebut berkurang), dst .

Kita telah memperoleh ketergantungan di mana, ketika suatu besaran bertambah beberapa kali, besaran lain segera bertambah dengan jumlah yang sama (contoh ditunjukkan dengan panah) dan ketergantungan di mana, dengan peningkatan satu besaran beberapa kali, besaran kedua berkurang sebesar beberapa kali yang sama.
Ketergantungan seperti ini disebut proporsionalitas langsung dan terbalik.
Ketergantungan berbanding lurus– hubungan di mana ketika satu nilai meningkat (menurun) beberapa kali, nilai kedua meningkat (menurun) dengan jumlah yang sama.
Hubungan berbanding terbalik– hubungan di mana ketika satu nilai bertambah (berkurang) beberapa kali, nilai kedua berkurang (meningkat) dengan jumlah yang sama.

AKU AKU AKU. Menetapkan tugas belajar

– Masalah apa yang sedang kita hadapi? (Belajar membedakan antara ketergantungan langsung dan terbalik)
- Ini - target pelajaran kita. Sekarang rumuskan topik pelajaran. (Hubungan proporsional langsung dan terbalik).
- Bagus sekali! Tuliskan topik pelajaran di buku catatan Anda. (Guru menuliskan topik tersebut di papan tulis.)

IV. "Penemuan" pengetahuan baru(10 menit)

Mari kita lihat soal no.199.

1. Printer mencetak 27 halaman dalam waktu 4,5 menit. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencetak 300 halaman?

27 halaman – 4,5 menit.
300 halaman - x?

2. Kotak tersebut berisi 48 bungkus teh, masing-masing 250 g. Berapa bungkus 150g teh ini yang akan Anda dapatkan?

48 bungkus – 250 gram.
X? – 150 gram.

3. Mobil menempuh jarak 310 km dengan menggunakan bensin sebanyak 25 liter. Seberapa jauh sebuah mobil dapat menempuh jarak dengan tangki 40L penuh?

310 km – 25 liter
X? – 40 liter

4. Salah satu roda gigi kopling mempunyai 32 gigi dan roda gigi yang lain mempunyai 40 gigi. Berapa putaran yang akan dilakukan oleh gigi kedua sedangkan roda gigi pertama menghasilkan 215 putaran?

32 gigi – 315 putaran.
40 gigi – x?

Untuk menyusun suatu proporsi, diperlukan satu arah panah; untuk itu, dalam proporsionalitas terbalik, satu rasio diganti dengan kebalikannya.

Di papan tulis, siswa menemukan arti besaran; di tempat, siswa memecahkan satu masalah pilihan mereka.

– Merumuskan aturan penyelesaian masalah ketergantungan proporsional langsung dan terbalik.

Sebuah tabel muncul di papan:

V. Konsolidasi primer dalam pidato eksternal(10 menit)

Tugas lembar kerja:

1. Dari 21 kg biji kapas diperoleh 5,1 kg minyak.
2. Berapa banyak minyak yang diperoleh dari 7 kg biji kapas?

Untuk membangun stadion, 5 buldoser membersihkan lokasi dalam waktu 210 menit. Berapa lama waktu yang dibutuhkan 7 buldoser untuk membersihkan lokasi ini?VI. Pekerjaan mandiri dengan self test sesuai standar

(5 menit)
Dua siswa menyelesaikan tugas No. 225 secara mandiri di papan tersembunyi, dan sisanya - di buku catatan. Mereka kemudian memeriksa kerja algoritma dan membandingkannya dengan solusi di papan tulis. Kesalahan diperbaiki dan penyebabnya ditentukan. Jika tugas diselesaikan dengan benar, maka siswa memberi tanda “+” di sebelahnya.

Siswa yang melakukan kesalahan dalam pekerjaan mandiri dapat menggunakan konsultan.№ 271, № 270.

VII. Inklusi dalam sistem pengetahuan dan pengulangan

Enam orang bekerja di dewan. Setelah 3-4 menit, siswa yang bekerja di papan mempresentasikan solusinya, dan sisanya memeriksa tugas dan berpartisipasi dalam diskusi.

VIII. Refleksi kegiatan (ringkasan pelajaran)
– Hal baru apa yang Anda pelajari dalam pelajaran ini?
– Apa algoritma untuk menyelesaikan masalah proporsi?
– Sudahkah kita mencapai tujuan kita?
– Bagaimana Anda mengevaluasi pekerjaan Anda?

Proporsionalitas langsung dan terbalik

Jika t adalah waktu gerak pejalan kaki (dalam jam), s adalah jarak yang ditempuh (dalam kilometer), dan ia bergerak beraturan dengan kecepatan 4 km/jam, maka hubungan besaran tersebut dapat dinyatakan dengan rumus s = 4t. Karena setiap nilai t berhubungan dengan satu nilai s, kita dapat mengatakan bahwa suatu fungsi didefinisikan menggunakan rumus s = 4t. Ini disebut proporsionalitas langsung dan didefinisikan sebagai berikut.

Definisi. Proporsionalitas langsung adalah fungsi yang dapat ditentukan dengan rumus y=kx, dengan k adalah bilangan real bukan nol.

Dinamakannya fungsi y = k x karena pada rumus y = k x terdapat variabel x dan y yang dapat berupa nilai besaran. Dan jika perbandingan dua besaran sama dengan suatu bilangan selain nol, maka disebut berbanding lurus . Dalam kasus kami = k (k≠0). Nomor ini dipanggil koefisien proporsionalitas.

Fungsi y = kx adalah model matematika dari banyak situasi nyata yang telah dipertimbangkan pada kursus matematika awal. Salah satunya dijelaskan di atas. Contoh lain: jika satu kantong tepung berisi 2 kg, dan x kantong tersebut dibeli, maka seluruh massa tepung yang dibeli (dilambangkan dengan y) dapat direpresentasikan dengan rumus y = 2x, yaitu. hubungan antara jumlah kantong dengan seluruh massa tepung yang dibeli berbanding lurus dengan koefisien k=2.

Mari kita mengingat kembali beberapa sifat proporsionalitas langsung yang dipelajari dalam mata pelajaran matematika sekolah.

1. Daerah asal fungsi y = k x dan rentang nilainya adalah himpunan bilangan real.

2. Grafik proporsionalitas langsung adalah garis lurus yang melalui titik asal koordinat. Oleh karena itu, untuk membuat grafik proporsionalitas langsung, cukup mencari satu titik saja yang termasuk dalam grafik tersebut dan tidak berimpit dengan titik asal koordinat, kemudian menggambar garis lurus melalui titik tersebut dan titik asal koordinat.

Misalnya, untuk membuat grafik fungsi y = 2x, cukup memiliki sebuah titik dengan koordinat (1, 2), lalu menggambar garis lurus yang melaluinya dan titik asal koordinat (Gbr. 7).

3. Untuk k > 0, fungsi y = khx meningkat di seluruh domain definisi; di k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Jika fungsi f berbanding lurus dan (x 1, y 1), (x 2, y 2) merupakan pasangan nilai-nilai yang bersesuaian dari variabel x dan y, dan x 2 ≠0 maka.

Memang jika fungsi f berbanding lurus, maka dapat diberikan dengan rumus y = khx, lalu y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Karena pada x 2 ≠0 dan k≠0, maka y 2 ≠0. Itu sebabnya dan itu berarti.

Jika nilai variabel x dan y merupakan bilangan real positif, maka sifat pembuktian proporsionalitas langsung dapat dirumuskan sebagai berikut: dengan kenaikan (penurunan) nilai variabel x beberapa kali, maka nilai variabel y yang bersangkutan bertambah (menurun) dengan jumlah yang sama.

Sifat ini hanya melekat pada proporsionalitas langsung, dan dapat digunakan ketika menyelesaikan soal cerita yang memperhitungkan besaran berbanding lurus.

Soal 1. Dalam waktu 8 jam, seorang pembubut menghasilkan 16 bagian. Berapa jam yang diperlukan seorang operator mesin bubut untuk memproduksi 48 bagian jika ia bekerja dengan produktivitas yang sama?

Larutan. Permasalahan ini mempertimbangkan besaran-besaran berikut: waktu kerja tukang bubut, jumlah suku cadang yang dibuatnya, dan produktivitas (yaitu, jumlah suku cadang yang diproduksi oleh tukang bubut dalam 1 jam), dengan nilai terakhir konstan, dan dua lainnya mengambil alih nilai yang berbeda. Selain itu, jumlah suku cadang yang dibuat dan waktu pengerjaan merupakan nilai yang berbanding lurus, karena perbandingannya sama dengan suatu bilangan tertentu yang tidak sama dengan nol, yaitu banyaknya suku cadang yang dibuat oleh seorang tukang bubut dalam 1 jam bagian yang dibuat dilambangkan dengan huruf y, waktu kerja x, dan produktivitas k, maka diperoleh = k atau y = khx, yaitu Model matematika dari situasi yang disajikan dalam soal adalah proporsionalitas langsung.

Masalahnya dapat diselesaikan dengan dua cara aritmatika:

Cara ke-1: Cara ke-2:

1) 16:8 = 2 (anak-anak) 1) 48:16 = 3 (kali)

2) 48:2 = 24 (jam) 2) 8-3 = 24 (jam)

Menyelesaikan soal dengan cara pertama, pertama-tama kita mencari koefisien proporsionalitas k, sama dengan 2, dan kemudian, mengetahui bahwa y = 2x, kita menemukan nilai x dengan syarat y = 48.

Saat menyelesaikan masalah dengan cara kedua, kami menggunakan sifat proporsionalitas langsung: seiring bertambahnya jumlah bagian yang dibuat oleh seorang pembubut, maka jumlah waktu untuk produksinya meningkat dengan jumlah yang sama.

Sekarang mari kita beralih ke fungsi yang disebut proporsionalitas terbalik.

Jika t adalah waktu yang ditempuh pejalan kaki (dalam jam), v adalah kecepatannya (dalam km/jam) dan ia berjalan sejauh 12 km, maka hubungan besaran tersebut dapat dinyatakan dengan rumus v∙t = 20 atau v = .

Karena setiap nilai t (t ≠ 0) berhubungan dengan satu nilai kecepatan v, kita dapat mengatakan bahwa suatu fungsi ditentukan menggunakan rumus v =. Ini disebut proporsionalitas terbalik dan didefinisikan sebagai berikut.

Definisi. Proporsionalitas terbalik adalah fungsi yang dapat ditentukan dengan rumus y =, dimana k adalah bilangan real yang tidak sama dengan nol.

Nama fungsi ini disebabkan oleh fakta bahwa kamu = ada variabel x dan y yang dapat berupa nilai besaran. Dan jika hasil kali dua besaran sama dengan suatu bilangan selain nol, maka keduanya disebut berbanding terbalik. Dalam kasus kita xy = k(k ≠0). Angka k ini disebut koefisien proporsionalitas.

Fungsi kamu = adalah model matematika dari banyak situasi nyata yang telah dipertimbangkan dalam kursus matematika awal. Salah satunya dijelaskan sebelum pengertian proporsionalitas terbalik. Contoh lain: jika Anda membeli 12 kg tepung dan memasukkannya ke dalam kaleng l:y kg, maka hubungan antara jumlah tersebut dapat direpresentasikan sebagai x-y = 12, yaitu. berbanding terbalik dengan koefisien k=12.

Mari kita ingat kembali beberapa sifat proporsionalitas terbalik yang diketahui dari pelajaran matematika sekolah.

1.Domain definisi fungsi kamu = dan rentang nilainya x adalah himpunan bilangan real selain nol.

2. Grafik proporsionalitas terbalik adalah hiperbola.

3. Untuk k > 0, cabang-cabang hiperbola terletak pada kuarter ke-1 dan ke-3 dan fungsinya kamu = menurun di seluruh domain definisi x (Gbr. 8).

Beras. 8 Gambar.9

Di k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция kamu = meningkat di seluruh domain definisi x (Gbr. 9).

4. Jika fungsi f adalah proporsionalitas terbalik dan (x 1, y 1), (x 2, y 2) adalah pasangan nilai-nilai yang bersesuaian dari variabel x dan y, maka.

Memang jika fungsi f berbanding terbalik, maka dapat diberikan dengan rumus kamu = , kemudian . Karena x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, maka

Jika nilai variabel x dan y adalah bilangan real positif, maka sifat proporsionalitas terbalik ini dapat dirumuskan sebagai berikut: dengan kenaikan (penurunan) nilai variabel x beberapa kali, maka nilai variabel tersebut akan sama. y berkurang (meningkat) dengan jumlah yang sama.

Sifat ini hanya melekat pada proporsionalitas terbalik, dan dapat digunakan saat menyelesaikan soal cerita yang memperhitungkan besaran berbanding terbalik.

Soal 2. Seorang pengendara sepeda yang bergerak dengan kecepatan 10 km/jam menempuh jarak dari A ke B dalam waktu 6 jam. Berapa lama waktu yang dibutuhkan pengendara sepeda tersebut dalam perjalanan pulang jika ia melaju dengan kecepatan 20 km/jam?

Larutan. Soal tersebut mempertimbangkan besaran-besaran berikut: kecepatan pengendara sepeda, waktu gerak dan jarak dari A ke B, besaran terakhir konstan, sedangkan dua lainnya mempunyai nilai yang berbeda. Selain itu, kecepatan dan waktu gerak merupakan besaran yang berbanding terbalik, karena hasil kali keduanya sama dengan suatu bilangan tertentu, yaitu jarak yang ditempuh. Jika waktu gerak pengendara sepeda dilambangkan dengan huruf y, kecepatan dengan x, dan jarak AB dengan k, maka diperoleh xy = k atau y =, yaitu. Model matematika dari situasi yang disajikan dalam soal adalah proporsionalitas terbalik.

Ada dua cara untuk menyelesaikan masalah ini:

Cara ke-1: Cara ke-2:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (kali)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(jam)

Menyelesaikan soal dengan cara pertama, pertama-tama kita mencari koefisien proporsionalitas k, sama dengan 60, dan kemudian, mengetahui bahwa y =, kita menemukan nilai y dengan syarat x = 20.

Saat menyelesaikan soal dengan cara kedua, kami menggunakan sifat proporsionalitas terbalik: berapa kali kecepatan gerak bertambah, waktu untuk menempuh jarak yang sama berkurang dengan jumlah yang sama.

Perhatikan bahwa ketika memecahkan masalah tertentu dengan besaran berbanding terbalik atau berbanding lurus, beberapa batasan dikenakan pada x dan y khususnya, pembatasan tersebut tidak dapat dipertimbangkan pada seluruh himpunan bilangan real, tetapi pada himpunan bagiannya.

Soal 3. Lena membeli x pensil, dan Katya membeli 2 kali lebih banyak. Nyatakan banyaknya pensil yang dibeli Katya dengan y, nyatakan y dengan x dan buatlah grafik korespondensi yang telah ada dengan syarat x≤5. Apakah korespondensi ini termasuk fungsi? Apa domain definisi dan rentang nilainya?

Larutan. Katya membeli = 2 pensil. Saat membuat grafik fungsi y=2x, perlu diperhatikan bahwa variabel x menyatakan jumlah pensil dan x≤5, artinya hanya dapat mengambil nilai 0, 1, 2, 3 , 4, 5. Ini akan menjadi domain definisi fungsi ini. Untuk mendapatkan rentang nilai fungsi ini, Anda perlu mengalikan setiap nilai x dari rentang definisi dengan 2, yaitu. ini akan menjadi himpunan (0, 2, 4, 6, 8, 10). Oleh karena itu, grafik fungsi y = 2x dengan domain definisi (0, 1, 2, 3, 4, 5) adalah himpunan titik-titik seperti pada Gambar 10. Semua titik tersebut termasuk dalam garis lurus y = 2x .