Sinus sudut antara garis lurus dan bidang. Sudut antara garis lurus dan bidang

Sudut a antara garis lurus l dan bidang 6 dapat ditentukan melalui sudut tambahan p antara suatu garis lurus tertentu l dan tegak lurus n terhadap suatu bidang tertentu yang ditarik dari titik mana pun pada garis lurus tersebut (Gbr. 144). Sudut P melengkapi sudut a yang diinginkan hingga 90°. Setelah menentukan nilai sebenarnya dari sudut P dengan memutar di sekitar garis lurus tingkat bidang sudut yang dibentuk oleh garis lurus l dan tegak lurus dan, tetap melengkapinya menjadi sudut siku-siku. Sudut tambahan ini akan memberikan nilai sebenarnya sudut a antara garis lurus l dan bidang 0.

27. Menentukan sudut antara dua bidang.

Nilai sebenarnya sudut dihedral adalah antara dua bidang Q dan l. - dapat ditentukan dengan mengganti bidang proyeksi untuk mengubah tepi sudut dihedral menjadi garis proyeksi (soal 1 dan 2), atau jika tepinya tidak ditentukan, karena sudut antara dua garis tegak lurus n1 dan n2 ditarik ke bidang-bidang ini dari suatu titik sembarang M dalam ruang B bidang tegak lurus ini di titik M kita memperoleh dua sudut bidang a dan P, yang masing-masing sama dengan sudut linier dari dua sudut yang berdekatan (dihedral) yang dibentuk oleh bidang q dan l. Setelah menentukan nilai sebenarnya dari sudut antara tegak lurus n1 dan n2 dengan memutar mengelilingi garis lurus sejajar tersebut, maka kita akan menentukan sudut linier dari sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang q dan l.

Garis melengkung. Titik-titik khusus garis lengkung.

Dalam gambar kurva yang kompleks, titik-titik istimewanya, yang meliputi titik belok, titik kembali, putus, dan titik simpul, juga merupakan titik-titik khusus pada proyeksinya. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa titik-titik tunggal kurva terhubung dengan garis singgung di titik-titik tersebut.

Jika bidang kurva menempati posisi menonjol (Gbr. A), maka salah satu proyeksi kurva ini berbentuk garis lurus.

Untuk kurva spasial, semua proyeksinya berupa garis lengkung (Gbr. 2). B).

Untuk menentukan dari gambar kurva mana yang diberikan (bidang atau spasial), perlu diketahui apakah semua titik pada kurva tersebut berada pada bidang yang sama. Ditentukan pada Gambar. B kurvanya spasial, sejak titik D kurva tersebut tidak termasuk dalam bidang yang ditentukan oleh tiga titik lainnya A, B Dan E kurva ini.

Lingkaran - kurva bidang orde kedua, yang proyeksi ortogonalnya dapat berupa lingkaran dan elips

Heliks silinder (heliks) adalah kurva spasial yang mewakili lintasan suatu titik yang melakukan gerakan heliks.

29. Garis lengkung datar dan spasial.

Lihat pertanyaan 28

30. Gambar permukaan yang rumit. Ketentuan dasar.

Permukaan adalah sekumpulan posisi garis berurutan yang bergerak dalam ruang. Garis ini bisa lurus atau melengkung dan disebut matriks generasi permukaan. Jika generatrixnya berbentuk kurva, maka ia dapat memiliki tampilan yang konstan atau variabel. Generatrix terus bergerak panduan, mewakili garis dengan arah yang berbeda dari generator. Garis panduan mengatur hukum gerak generator. Saat menggerakkan generatrix sepanjang pemandu, a bingkai permukaan (Gbr. 84), yang merupakan kumpulan beberapa posisi generatrice dan pemandu yang berurutan. Saat memeriksa bingkainya, orang dapat yakin bahwa itu adalah generator aku dan panduan T bisa ditukar, tapi permukaannya tetap sama.

Permukaan apa pun dapat diperoleh dengan berbagai cara.

Tergantung pada bentuk generatrix, semua permukaan dapat dibagi menjadi memerintah, yang mempunyai garis lurus generatif, dan tidak diatur, yang mempunyai garis lengkung yang membentuk.

Permukaan yang dapat dikembangkan meliputi permukaan semua permukaan polihedra, silinder, kerucut, dan batang tubuh. Semua permukaan lainnya tidak dapat dikembangkan. Permukaan tak bergaris dapat memiliki generatrix dengan bentuk konstan (permukaan rotasi dan permukaan tubular) dan generatrix dengan bentuk bervariasi (permukaan saluran dan bingkai).

Permukaan dalam gambar kompleks ditentukan oleh proyeksi bagian geometris determinannya, yang menunjukkan metode pembuatan konstituennya. Dalam menggambar suatu permukaan, untuk titik mana pun dalam ruang, pertanyaan apakah titik tersebut termasuk dalam permukaan tertentu sudah terpecahkan dengan jelas. Menentukan secara grafis elemen-elemen penentu permukaan memastikan reversibilitas gambar, tetapi tidak membuatnya visual. Untuk lebih jelasnya, mereka menggunakan proyeksi kerangka generatrice yang cukup padat dan konstruksi garis kontur permukaan (Gbr. 86). Ketika permukaan Q diproyeksikan ke bidang proyeksi, sinar proyeksi menyentuh permukaan ini pada titik-titik yang membentuk garis tertentu di atasnya aku, yang disebut kontur garis. Proyeksi garis kontur disebut karangan permukaan. Dalam gambar yang kompleks, permukaan apa pun memiliki: P 1 - garis horizontal, pada P 2 - garis depan, pada P 3 - garis profil permukaan. Sketsa tersebut, selain proyeksi garis kontur, juga mencakup proyeksi garis potong.

Biarkan beberapa sistem koordinat persegi panjang dan garis lurus diberikan . Membiarkan Dan - dua bidang berbeda yang berpotongan pada suatu garis lurus dan diberikan sesuai dengan persamaan. Kedua persamaan ini secara bersama-sama menentukan garis lurus jika dan hanya jika keduanya tidak sejajar dan tidak berhimpitan satu sama lain, yaitu vektor normal
Dan
bidang-bidang ini tidak segaris.

Definisi. Jika koefisien persamaan

tidak proporsional, maka persamaan ini disebut persamaan umum garis lurus, didefinisikan sebagai garis perpotongan bidang.

Definisi. Setiap vektor bukan nol yang sejajar dengan suatu garis disebut vektor panduan garis lurus ini.

Mari kita turunkan persamaan garis lurus melewati suatu titik tertentu
ruang dan memiliki vektor arah tertentu
.

Biarkan intinya
- titik sembarang pada garis lurus . Titik ini terletak pada garis jika dan hanya jika vektornya
, memiliki koordinat
, segaris terhadap vektor arah
langsung. Menurut (2.28), kondisi kolinearitas vektor
Dan sepertinya

. (3.18)

Persamaan (3.18) disebut persamaan kanonik garis lurus yang melalui suatu titik
dan memiliki vektor arah
.

Jika lurus diberikan oleh persamaan umum (3.17), maka vektor arah garis ini ortogonal terhadap vektor normal
Dan
bidang yang ditentukan oleh persamaan. Vektor
menurut sifat hasil kali vektor, ia ortogonal terhadap masing-masing vektor Dan . Menurut definisinya, sebagai vektor arah langsung Anda dapat mengambil vektor
, yaitu
.

Untuk menemukan suatu titik
pertimbangkan sistem persamaan
. Karena bidang-bidang yang ditentukan oleh persamaan tidak sejajar dan tidak berhimpitan, maka setidaknya salah satu persamaan tidak berlaku
. Hal ini mengarah pada fakta bahwa setidaknya salah satu faktor penentu ,
,
berbeda dari nol. Untuk kepastiannya, kami akan berasumsi demikian
. Kemudian, mengambil nilai sewenang-wenang , kita memperoleh sistem persamaan untuk yang tidak diketahui Dan :

Menurut teorema Cramer, sistem ini memiliki solusi unik yang ditentukan oleh rumus

,
. (3.19)

Jika Anda mengambil
, maka garis lurus yang diberikan oleh persamaan (3.17) melalui titik tersebut
.

Jadi, untuk kasus kapan
, persamaan kanonik garis (3.17) berbentuk

Persamaan kanonik garis lurus (3.17) ditulis serupa untuk kasus ketika determinannya bukan nol
atau
.

Jika suatu garis melewati dua titik yang berbeda
Dan
, maka persamaan kanoniknya berbentuk

. (3.20)

Hal ini didasarkan pada fakta bahwa garis lurus melalui suatu titik
dan mempunyai vektor arah.

Mari kita perhatikan persamaan kanonik (3.18) dari garis lurus. Mari kita ambil masing-masing relasi sebagai parameter , yaitu
. Salah satu penyebut pecahan ini bukan nol, dan pembilang yang bersesuaian dapat bernilai berapa pun, sehingga parameternya dapat mengambil nilai nyata apa pun. Mengingat masing-masing rasionya sama , kita dapatkan persamaan parametrik langsung:

,
,
. (3.21)

Biarkan pesawat diberikan oleh persamaan umum, dan garis lurus - persamaan parametrik
,
,
. Dot
perpotongan suatu garis lurus dan pesawat harus secara bersamaan menjadi bagian dari suatu bidang dan garis. Ini hanya mungkin jika parameternya memenuhi persamaan, yaitu
. Jadi, titik potong garis lurus dan bidang mempunyai koordinat

Contoh 32. Tuliskan persamaan parametrik untuk garis yang melalui titik-titik
Dan
.

Larutan. Untuk vektor pengarah garis lurus kita ambil vektornya

. Sebuah garis lurus melewati suatu titik , oleh karena itu, menurut rumus (3.21), persamaan garis lurus yang diperlukan mempunyai bentuk
,
,
.

Contoh 33. Titik sudut segitiga
memiliki koordinat
,
Dan
masing-masing. Buatlah persamaan parametrik untuk median yang diambil dari titik sudut .

Larutan. Membiarkan
- tengah samping
, Kemudian
,
,
. Sebagai vektor panduan median, kita ambil vektornya
. Maka persamaan parametrik median berbentuk
,
,
.

Contoh 34. Buatlah persamaan kanonik garis yang melalui suatu titik
sejajar dengan garis
.

Larutan. Garis lurus didefinisikan sebagai garis perpotongan bidang dengan vektor normal
Dan
. Sebagai vektor pemandu ambil vektor garis ini
, yaitu
. Menurut (3.18), persamaan yang diperlukan memiliki bentuk
atau
.

3.8. Sudut antara garis lurus dalam ruang. Sudut antara garis lurus dan bidang

Biarkan dua garis lurus Dan di ruang angkasa diberikan oleh persamaan kanoniknya
Dan
. Lalu salah satu sudutnya antara garis-garis ini sama dengan sudut antara vektor arahnya
Dan
. Menggunakan rumus (2.22), untuk menentukan sudut kita mendapatkan rumusnya

. (3.22)

Sudut kedua antara garis-garis ini adalah sama
Dan
.

Syarat garis sejajar Dan setara dengan kondisi kolinearitas vektor
Dan
dan terletak pada proporsionalitas koordinatnya, yaitu syarat garis sejajar berbentuk

. (3.23)

Jika lurus Dan tegak lurus, maka vektor arahnya ortogonal, yaitu kondisi tegak lurus ditentukan oleh persamaan

. (3.24)

Bayangkan sebuah pesawat , diberikan oleh persamaan umum, dan garis lurus , diberikan oleh persamaan kanonik
.

Sudut antara garis lurus dan pesawat saling melengkapi dengan sudut antara vektor pengarah garis lurus dan vektor normal bidang, yaitu
Dan
, atau

. (3.24)

Syarat paralelisme suatu garis dan pesawat ekuivalen dengan syarat vektor arah garis dan vektor normal bidang tegak lurus, yaitu hasil kali skalar vektor-vektor tersebut harus sama dengan nol:

Jika garis tegak lurus bidang, maka vektor arah garis dan vektor normal bidang tersebut harus segaris. Dalam hal ini, koordinat vektornya proporsional, yaitu.

. (3.26)

Contoh 35. Temukan sudut tumpul antara garis lurus
,
,
Dan
,
,
.

Larutan. Vektor arah garis-garis ini memiliki koordinat
Dan
. Oleh karena itu satu sudut antara garis lurus ditentukan oleh perbandingan, yaitu
. Oleh karena itu, kondisi soal dipenuhi oleh sudut kedua antara garis, sama dengan
.

3.9. Jarak suatu titik ke garis dalam ruang

Membiarkan
 titik dalam ruang dengan koordinat
, garis lurus yang diberikan oleh persamaan kanonik
. Mari kita cari jaraknya dari titik
ke garis lurus .

Mari kita terapkan vektor panduan
langsung ke intinya
. Jarak dari titik
ke garis lurus adalah tinggi jajar genjang yang dibangun di atas vektor Dan
. Mari kita cari luas jajar genjang menggunakan perkalian silang:

Di sisi lain,. Dari persamaan ruas kanan dari dua relasi terakhir berikut ini

. (3.27)

3.10. Elipsoid

Definisi. Elipsoid adalah permukaan orde kedua, yang dalam beberapa sistem koordinat ditentukan oleh persamaan

. (3.28)

Persamaan (3.28) disebut persamaan kanonik ellipsoid.

Dari persamaan (3.28) diketahui bahwa bidang koordinat adalah bidang simetri ellipsoid, dan titik asal koordinat adalah pusat simetri. Angka
disebut semi-sumbu ellipsoid dan menyatakan panjang ruas dari titik asal sampai perpotongan ellipsoid dengan sumbu koordinat. Ellipsoid adalah permukaan terbatas yang dikelilingi oleh paralelepiped
,
,
.

Mari kita tentukan bentuk geometris ellipsoid. Untuk melakukannya, mari kita cari tahu bentuk garis perpotongan bidang-bidangnya yang sejajar dengan sumbu koordinat.

Untuk lebih spesifiknya, perhatikan garis perpotongan ellipsoid dengan bidang
, sejajar dengan bidang
. Persamaan proyeksi garis potong pada bidang
diperoleh dari (3.28) jika kita memasukkannya
. Persamaan proyeksi ini adalah

. (3.29)

Jika
, maka (3.29) adalah persamaan elips imajiner dan titik potong ellipsoid dengan bidang
TIDAK. Oleh karena itu
. Jika
, maka garis (3.29) merosot menjadi titik-titik, yaitu bidang
menyentuh ellipsoid pada titik-titik
Dan
. Jika
, Itu
dan Anda dapat memperkenalkan notasinya

,
. (3.30)

Kemudian persamaan (3.29) mengambil bentuk

, (3.31)

yaitu proyeksi ke bidang
garis perpotongan ellipsoid dan bidang
adalah elips dengan sumbu semi, yang ditentukan oleh persamaan (3.30). Karena garis perpotongan permukaan dengan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat merupakan proyeksi yang “diangkat” ke ketinggian , maka garis potongnya sendiri berbentuk elips.

Saat menurunkan nilainya poros gandar Dan meningkat dan mencapai nilai terbesarnya pada
, yaitu pada bagian ellipsoidal oleh bidang koordinat
elips terbesar dengan setengah sumbu diperoleh
Dan
.

Ide tentang ellipsoid dapat diperoleh dengan cara lain. Pertimbangkan di pesawat
keluarga elips (3.31) dengan sumbu semi Dan , ditentukan oleh relasi (3.30) dan bergantung pada . Setiap elips tersebut merupakan garis datar, yaitu garis pada setiap titik yang mempunyai nilai sama. “Menaikkan” setiap elips tersebut ke ketinggian , kita memperoleh tampilan spasial ellipsoid.

Gambaran serupa diperoleh ketika suatu permukaan tertentu berpotongan dengan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang koordinat
Dan
.

Jadi, ellipsoid adalah permukaan elips yang tertutup. Jika
Ellipsoid adalah sebuah bola.

Garis perpotongan ellipsoid dengan suatu bidang adalah elips, karena garis tersebut merupakan garis berbatas orde kedua, dan satu-satunya garis berbatas orde kedua adalah elips.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Ini berarti mencari sudut antara garis ini dan proyeksinya pada bidang tertentu.

Model spasial yang mengilustrasikan tugas tersebut disajikan pada gambar.

Rencana solusi masalah:
1. Dari titik sembarang A∈A turunkan tegak lurus terhadap bidang α ;
2. Tentukan titik pertemuan tegak lurus tersebut dengan bidang α . Dot Sebuah α- proyeksi ortogonal A ke pesawat α ;
3. Temukan titik potong garis tersebut A dengan pesawat α . Dot sebuah α- jalur lurus A di pesawat α ;
4. Kami melaksanakan ( Sebuah α sebuah α) - proyeksi garis lurus A ke pesawat α ;
5. Tentukan nilai sebenarnya ∠ Aa α A α, yaitu ∠ φ .

Solusi masalah mencari sudut antara garis dan bidang dapat disederhanakan jika kita tidak mendefinisikan ∠ φ antara garis lurus dan bidang, dan berkomplemen pada 90° ∠ γ . Dalam hal ini, tidak perlu menentukan proyeksi suatu titik A dan proyeksi garis lurus A ke pesawat α . Mengetahui besarnya γ , dihitung dengan rumus:

$φ = 90° - $

A dan pesawat α , ditentukan oleh garis sejajar M Dan N.

A α
Dengan memutar garis horizontal yang ditentukan oleh titik 5 dan 6, kita menentukan ukuran alami ∠ γ . Mengetahui besarnya γ , dihitung dengan rumus: