Bahan ajar ini hanya untuk referensi dan berkaitan dengan berbagai topik. Artikel ini memberikan ikhtisar grafik fungsi dasar dasar dan membahas masalah yang paling penting - cara membuat grafik dengan benar dan CEPAT. Dalam pembelajaran matematika tingkat tinggi tanpa mengetahui grafik fungsi dasar dasar akan sulit, sehingga sangat penting untuk mengingat seperti apa grafik parabola, hiperbola, sinus, kosinus, dll, dan mengingat beberapa tentang arti dari fungsi-fungsi tersebut. Kami juga akan membahas beberapa properti dari fungsi utama.

Saya tidak mengklaim kelengkapan dan ketelitian ilmiah dari materi; penekanannya akan diberikan, pertama-tama, pada praktik - hal-hal yang dengannya seseorang bertemu secara harfiah di setiap langkah, dalam topik matematika tingkat tinggi apa pun. Grafik untuk boneka? Bisa dikatakan demikian.

Karena banyaknya permintaan dari pembaca daftar isi yang dapat diklik:

Selain itu, ada sinopsis ultra-pendek tentang topik tersebut
– kuasai 16 jenis grafik dengan mempelajari ENAM halaman!

Serius, enam, bahkan aku terkejut. Ringkasan ini berisi grafik yang ditingkatkan dan tersedia dengan sedikit biaya; versi demo dapat dilihat. Lebih mudah untuk mencetak file sehingga grafik selalu tersedia. Terima kasih telah mendukung proyek ini!

Dan mari kita mulai sekarang juga:

Bagaimana cara membuat sumbu koordinat dengan benar?

Dalam praktiknya, tes hampir selalu diselesaikan oleh siswa dalam buku catatan terpisah, berjajar dalam bentuk persegi. Mengapa Anda memerlukan tanda kotak-kotak? Toh, pekerjaan itu pada prinsipnya bisa dilakukan di lembar A4. Dan sangkar diperlukan hanya untuk desain gambar yang berkualitas tinggi dan akurat.

Setiap penggambaran grafik fungsi dimulai dengan sumbu koordinat.

Gambar bisa berbentuk dua dimensi atau tiga dimensi.

Mari kita perhatikan kasus dua dimensi terlebih dahulu Sistem koordinat persegi panjang kartesius:

1) Gambarlah sumbu koordinat. Sumbu disebut sumbu x , dan sumbunya adalah sumbu y . Kami selalu mencoba menggambarnya rapi dan tidak bengkok. Anak panahnya juga tidak boleh menyerupai janggut Papa Carlo.

2) Kami menandatangani sumbu dengan huruf besar “X” dan “Y”. Jangan lupa memberi label pada sumbunya.

3) Atur skala di sepanjang sumbu: menggambar nol dan dua satu. Saat membuat gambar, skala yang paling nyaman dan sering digunakan adalah: 1 unit = 2 sel (gambar di sebelah kiri) - jika memungkinkan, patuhi skala tersebut. Namun, kadang-kadang gambarnya tidak muat di lembar buku catatan - lalu kita perkecil skalanya: 1 unit = 1 sel (gambar di sebelah kanan). Jarang terjadi, tetapi skala gambar harus diperkecil (atau diperbesar) lebih jauh lagi

TIDAK PERLU “senapan mesin” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Sebab bidang koordinat bukanlah monumen Descartes, dan muridnya bukanlah seekor merpati. Kami menempatkan nol Dan dua unit di sepanjang sumbu. Kadang-kadang alih-alih unit, akan lebih mudah untuk "menandai" nilai lain, misalnya, "dua" pada sumbu absis dan "tiga" pada sumbu ordinat - dan sistem ini (0, 2 dan 3) juga akan secara unik menentukan kisi koordinat.

Lebih baik memperkirakan perkiraan dimensi gambar SEBELUM membuat gambar. Jadi, misalnya, jika tugasnya mengharuskan menggambar segitiga dengan titik sudut , , , maka jelas sekali bahwa skala populer 1 unit = 2 sel tidak akan berfungsi. Mengapa? Mari kita lihat intinya - di sini Anda harus mengukur ke bawah lima belas sentimeter, dan, jelas, gambarnya tidak akan muat (atau hampir tidak muat) pada lembar buku catatan. Oleh karena itu, kita langsung memilih skala yang lebih kecil: 1 unit = 1 sel.

Ngomong-ngomong, tentang sentimeter dan sel buku catatan. Benarkah 30 sel buku catatan berisi 15 sentimeter? Untuk bersenang-senang, ukur 15 sentimeter di buku catatan Anda dengan penggaris. Di Uni Soviet, hal ini mungkin benar... Menarik untuk dicatat bahwa jika Anda mengukur sentimeter yang sama secara horizontal dan vertikal, hasilnya (dalam sel) akan berbeda! Sebenarnya, buku catatan modern tidak berbentuk kotak-kotak, melainkan persegi panjang. Ini mungkin tampak tidak masuk akal, tetapi menggambar, misalnya, lingkaran dengan kompas dalam situasi seperti itu sangat merepotkan. Sejujurnya, pada saat-saat seperti itu Anda mulai berpikir tentang kebenaran Kamerad Stalin, yang dikirim ke kamp untuk melakukan pekerjaan peretasan di bidang produksi, belum lagi industri otomotif dalam negeri, pesawat jatuh, atau pembangkit listrik yang meledak.

Berbicara tentang kualitas, atau rekomendasi singkat tentang alat tulis. Saat ini, sebagian besar buku catatan yang dijual, sedikitnya, adalah barang bekas. Karena basah, dan tidak hanya dari pulpen gel, tapi juga dari pulpen! Mereka menghemat uang di atas kertas. Untuk menyelesaikan pengujian, saya sarankan menggunakan buku catatan dari Pabrik Pulp dan Kertas Arkhangelsk (18 lembar, persegi) atau “Pyaterochka”, meskipun lebih mahal. Dianjurkan untuk memilih pena gel; bahkan isi ulang gel Cina termurah pun jauh lebih baik daripada pulpen, yang akan membuat kertasnya luntur atau robek. Satu-satunya pulpen “kompetitif” yang saya ingat adalah Erich Krause. Dia menulis dengan jelas, indah dan konsisten – baik dengan inti penuh atau hampir kosong.

Selain itu: Visi sistem koordinat persegi panjang melalui kacamata geometri analitik dibahas dalam artikel Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor, Informasi rinci tentang koordinat kuarter dapat ditemukan di paragraf kedua pelajaran Ketimpangan linier.

kasus 3D

Di sini hampir sama.

1) Gambarlah sumbu koordinat. Standar: penerapan sumbu – mengarah ke atas, sumbu – mengarah ke kanan, sumbu – mengarah ke bawah ke kiri secara ketat pada sudut 45 derajat.

2) Beri label pada sumbunya.

3) Atur skala di sepanjang sumbu. Skala sepanjang sumbu dua kali lebih kecil dibandingkan skala sepanjang sumbu lainnya. Perhatikan juga bahwa pada gambar kanan saya menggunakan "takik" non-standar di sepanjang sumbu (kemungkinan ini telah disebutkan di atas). Dari sudut pandang saya, ini lebih akurat, lebih cepat, dan lebih estetis - tidak perlu mencari bagian tengah sel di bawah mikroskop dan “memahat” unit yang dekat dengan titik asal koordinat.

Saat membuat gambar 3D, sekali lagi, berikan prioritas pada skala
1 unit = 2 sel (gambar di sebelah kiri).

Untuk apa semua peraturan ini? Aturan dibuat untuk dilanggar. Itulah yang akan saya lakukan sekarang. Faktanya adalah gambar artikel selanjutnya akan saya buat di Excel, dan sumbu koordinat akan terlihat salah dari sudut pandang desain yang benar. Saya dapat menggambar semua grafik dengan tangan, namun sebenarnya menakutkan untuk menggambarnya karena Excel enggan menggambarnya dengan lebih akurat.

Grafik dan sifat dasar fungsi dasar

Fungsi linier diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi liniernya adalah langsung. Untuk membuat garis lurus, cukup mengetahui dua titik.

Contoh 1

Buatlah grafik fungsi tersebut. Mari kita temukan dua poin. Adalah menguntungkan untuk memilih nol sebagai salah satu poinnya.

Jika , maka

Mari kita ambil poin lain, misalnya 1.

Jika , maka

Saat menyelesaikan tugas, koordinat titik biasanya dirangkum dalam tabel:

Dan nilainya sendiri dihitung secara lisan atau pada rancangan, kalkulator.

Dua poin sudah ditemukan, mari kita buat gambarnya:

Saat menyiapkan gambar, kami selalu menandatangani grafiknya.

Akan berguna untuk mengingat kasus-kasus khusus dari fungsi linier:

Perhatikan bagaimana saya membubuhkan tanda tangan, tanda tangan tidak boleh membiarkan adanya perbedaan saat mempelajari gambar. Dalam hal ini, sangat tidak diinginkan untuk membubuhkan tanda tangan di sebelah titik perpotongan garis, atau di kanan bawah di antara grafik.

1) Fungsi linier berbentuk () disebut proporsionalitas langsung. Misalnya, . Grafik proporsionalitas langsung selalu melalui titik asal. Dengan demikian, pembuatan garis lurus disederhanakan - cukup menemukan satu titik saja.

2) Persamaan bentuk menentukan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, khususnya sumbu itu sendiri diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi dibuat segera, tanpa menemukan titik apa pun. Artinya, entri tersebut harus dipahami sebagai berikut: “y selalu sama dengan –4, untuk nilai x berapa pun.”

3) Persamaan bentuk menentukan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, khususnya sumbu itu sendiri diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi juga langsung diplot. Entri tersebut harus dipahami sebagai berikut: “x selalu, untuk setiap nilai y, sama dengan 1.”

Ada yang bertanya, kenapa ingat kelas 6 SD?! Begitulah, mungkin memang begitu, tetapi selama bertahun-tahun berlatih, saya telah bertemu dengan banyak siswa yang bingung dengan tugas membuat grafik seperti atau.

Membuat garis lurus adalah tindakan paling umum saat membuat gambar.

Garis lurus dibahas secara rinci pada mata kuliah geometri analitik, dan bagi yang berminat dapat merujuk pada artikel tersebut Persamaan garis lurus pada bidang datar.

Grafik fungsi kuadrat, kubik, grafik polinomial

Parabola. Grafik fungsi kuadrat () melambangkan parabola. Perhatikan kasus terkenal:

Mari kita mengingat kembali beberapa properti dari fungsi tersebut.

Jadi, penyelesaian persamaan kita: – pada titik inilah titik puncak parabola berada. Mengapa demikian dapat dipelajari dari artikel teoretis tentang turunan dan pelajaran tentang ekstrem suatu fungsi. Sementara itu, mari kita hitung nilai “Y” yang sesuai:

Jadi, titik puncaknya berada pada titik tersebut

Sekarang kita cari titik lain, sambil dengan berani menggunakan simetri parabola. Perlu diperhatikan fungsinya – tidak genap, namun demikian, tidak ada yang membatalkan simetri parabola.

Bagaimana cara mencari poin yang tersisa, saya pikir akan jelas dari tabel akhir:

Algoritma konstruksi ini secara kiasan dapat disebut sebagai prinsip “shuttle” atau “bolak-balik” dengan Anfisa Chekhova.

Mari kita membuat gambarnya:

Dari grafik yang diperiksa, fitur berguna lainnya muncul dalam pikiran saya:

Untuk fungsi kuadrat () yang berikut ini benar:

Jika , maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas.

Jika , maka cabang-cabang parabola mengarah ke bawah.

Pengetahuan mendalam tentang kurva dapat diperoleh pada pelajaran Hiperbola dan parabola.

Parabola kubik diberikan oleh fungsinya. Ini gambar yang familiar dari sekolah:

Mari kita daftar properti utama dari fungsi tersebut

Grafik suatu fungsi

Ini mewakili salah satu cabang parabola. Mari kita membuat gambarnya:

Properti utama dari fungsi:

Dalam hal ini, porosnya adalah asimtot vertikal untuk grafik hiperbola di .

Akan menjadi kesalahan BESAR jika, saat menggambar, Anda secara sembarangan membiarkan grafik berpotongan dengan asimtot.

Batas satu sisi juga memberi tahu kita bahwa hiperbola tidak dibatasi dari atas Dan tidak dibatasi dari bawah.

Mari kita periksa fungsinya di tak terhingga: , yaitu, jika kita mulai bergerak sepanjang sumbu ke kiri (atau kanan) hingga tak terhingga, maka “permainan” tersebut akan berjalan secara teratur sangat dekat mendekati nol, dan, karenanya, cabang-cabang hiperbola sangat dekat mendekati sumbu.

Jadi porosnya adalah asimtot horizontal untuk grafik suatu fungsi, jika “x” cenderung plus atau minus tak terhingga.

Fungsinya adalah aneh, dan oleh karena itu, hiperbolanya simetris terhadap titik asal. Fakta ini terlihat jelas dari gambar, selain itu mudah diverifikasi secara analitis: .

Grafik fungsi berbentuk () mewakili dua cabang hiperbola.

Jika , maka hiperbola tersebut terletak pada kuarter koordinat pertama dan ketiga(lihat gambar di atas).

Jika , maka hiperbola tersebut terletak pada kuarter koordinat kedua dan keempat.

Pola tempat tinggal hiperbola yang ditunjukkan mudah dianalisis dari sudut pandang transformasi geometri grafik.

Contoh 3

Bangunlah cabang kanan hiperbola

Kami menggunakan metode konstruksi titik-bijaksana, dan akan bermanfaat untuk memilih nilai-nilai sehingga dapat dibagi secara keseluruhan:

Mari kita membuat gambarnya:

Tidak akan sulit untuk membangun cabang kiri hiperbola; keanehan fungsinya akan membantu di sini. Secara kasar, dalam tabel konstruksi titik, kita secara mental menambahkan minus ke setiap angka, menempatkan poin yang sesuai dan menggambar cabang kedua.

Informasi geometri rinci tentang garis yang dibahas dapat ditemukan di artikel Hiperbola dan parabola.

Grafik Fungsi Eksponensial

Pada bagian ini, saya akan langsung membahas fungsi eksponensial, karena dalam soal matematika tingkat tinggi dalam 95% kasus yang muncul adalah eksponensial.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa ini adalah bilangan irasional: , ini akan diperlukan saat membuat grafik, yang sebenarnya akan saya buat tanpa upacara. Tiga poin mungkin cukup:

Mari kita tinggalkan grafik fungsinya untuk saat ini, akan dibahas lebih lanjut nanti.

Properti utama dari fungsi:

Grafik fungsi, dll., pada dasarnya terlihat sama.

Saya harus mengatakan bahwa kasus kedua lebih jarang terjadi dalam praktiknya, tetapi memang terjadi, jadi saya menganggap perlu untuk memasukkannya ke dalam artikel ini.

Grafik fungsi logaritma

Pertimbangkan suatu fungsi dengan logaritma natural.
Mari kita membuat gambar poin demi poin:

Jika Anda lupa apa itu logaritma, silakan merujuk ke buku pelajaran sekolah Anda.

Properti utama dari fungsi:

Domain definisi:

Rentang nilai: .

Fungsinya tidak dibatasi dari atas: , meski lambat, tapi cabang logaritmanya naik hingga tak terhingga.
Mari kita periksa perilaku fungsi mendekati nol di sebelah kanan: . Jadi porosnya adalah asimtot vertikal karena grafik fungsi “x” cenderung nol dari kanan.

Sangat penting untuk mengetahui dan mengingat nilai khas logaritma: .

Pada prinsipnya grafik logaritma ke basis terlihat sama: , , (logaritma desimal ke basis 10), dst. Selain itu, semakin besar basisnya, grafiknya akan semakin datar.

Kami tidak akan mempertimbangkan kasus ini; saya tidak ingat kapan terakhir kali saya membuat grafik dengan dasar seperti itu. Dan logaritma nampaknya jarang ditemui dalam permasalahan matematika tingkat tinggi.

Di akhir paragraf ini saya akan mengatakan satu fakta lagi: Fungsi eksponensial dan fungsi logaritma– ini adalah dua fungsi yang saling berbanding terbalik. Jika Anda perhatikan lebih dekat grafik logaritmanya, Anda dapat melihat bahwa ini adalah eksponen yang sama, hanya saja letaknya sedikit berbeda.

Grafik fungsi trigonometri

Di mana penyiksaan trigonometri dimulai di sekolah? Benar. Dari sinus

Mari kita plot fungsinya

Baris ini disebut sinusoidal.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa “pi” adalah bilangan irasional: , dan dalam trigonometri membuat mata Anda terpesona.

Properti utama dari fungsi:

Fungsi ini adalah berkala dengan periode. Apa maksudnya? Mari kita lihat segmennya. Di kiri dan kanannya, bagian grafik yang persis sama diulangi tanpa henti.

Domain definisi: , artinya, untuk setiap nilai “x” pasti ada nilai sinusnya.

Rentang nilai: . Fungsinya adalah terbatas: , yaitu, semua "permainan" berada di segmen tersebut.
Ini tidak terjadi: atau, lebih tepatnya, terjadi, tetapi persamaan ini tidak mempunyai solusi.

Fungsi dari bentuk dimana dipanggil fungsi kuadrat.

Grafik fungsi kuadrat – parabola.

Mari kita pertimbangkan kasusnya:

KASUS SAYA, PARABOLA KLASIK

Yaitu , ,

Untuk menyusunnya, isi tabel dengan mensubstitusikan nilai x ke dalam rumus:

Tandai poinnya (0;0); (1;1); (-1;1), dst. pada bidang koordinat (semakin kecil langkah yang kita ambil nilai x (dalam hal ini langkah 1), dan semakin banyak nilai x yang kita ambil, maka kurvanya akan semakin mulus), kita mendapatkan parabola:

Sangat mudah untuk melihat bahwa jika kita mengambil kasus , , , maka kita mendapatkan parabola yang simetris terhadap sumbu (oh). Sangat mudah untuk memverifikasi ini dengan mengisi tabel serupa:

II KASUS, “a” BERBEDA DARI UNIT

Apa yang akan terjadi jika kita mengambil , , ? Bagaimana perilaku parabola akan berubah? Dengan title="Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pada gambar pertama (lihat di atas) terlihat jelas bahwa titik-titik dari tabel parabola (1;1), (-1;1) diubah menjadi titik (1;4), (1;-4), yaitu, dengan nilai yang sama, ordinat setiap titik dikalikan dengan 4. Hal ini akan terjadi pada semua titik kunci pada tabel asli. Kami beralasan serupa dalam kasus gambar 2 dan 3.

Dan ketika parabola “menjadi lebih lebar” dari parabola:

Mari kita rangkum:

1)Tanda koefisien menentukan arah cabang. Dengan judul = "(! LANG: Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Nilai mutlak koefisien (modulus) bertanggung jawab atas “ekspansi” dan “kompresi” parabola. Semakin besar , semakin sempit parabolanya; semakin kecil |a|, semakin lebar parabolanya.

III KASUS, “C” MUNCUL

Sekarang mari kita perkenalkan ke dalam permainan (yaitu, pertimbangkan kasus kapan), kita akan mempertimbangkan bentuk parabola . Tidak sulit untuk menebak (Anda selalu dapat merujuk ke tabel) bahwa parabola akan bergeser ke atas atau ke bawah sepanjang sumbu tergantung pada tandanya:

IV KASUS, “b” MUNCUL

Kapan parabola akan “melepaskan diri” dari sumbunya dan akhirnya “berjalan” sepanjang seluruh bidang koordinat? Kapan hal itu akan berhenti menjadi setara?

Di sini untuk membuat parabola kita perlu rumus menghitung titik puncak: , .

Jadi pada titik ini (seperti pada titik (0;0) dari sistem koordinat baru) kita akan membuat parabola, yang sudah bisa kita lakukan. Jika kita berhadapan dengan kasus tersebut, maka dari titik puncak kita letakkan satu satuan ruas ke kanan, satu ke atas, - titik yang dihasilkan adalah milik kita (demikian pula, satu langkah ke kiri, satu langkah ke atas adalah titik kita); jika kita berhadapan dengan, misalnya, maka dari titik sudut kita letakkan satu ruas satuan ke kanan, dua ke atas, dst.

Misalnya titik puncak parabola:

Sekarang hal utama yang harus dipahami adalah pada titik ini kita akan membuat parabola sesuai dengan pola parabola, karena dalam kasus kita.

Saat membuat parabola setelah menemukan koordinat titik puncaknyaAkan lebih mudah untuk mempertimbangkan poin-poin berikut:

1) parabola pasti akan melewati titik tersebut . Memang, dengan memasukkan x=0 ke dalam rumus, kita memperoleh bahwa . Artinya, ordinat titik potong parabola dengan sumbu (oy) adalah . Dalam contoh kita (di atas), parabola memotong ordinatnya di titik , karena .

2) sumbu simetri parabola adalah garis lurus, maka semua titik pada parabola tersebut akan simetris terhadap garis tersebut. Dalam contoh kita, kita segera mengambil titik (0; -2) dan membangunnya simetris terhadap sumbu simetri parabola, kita mendapatkan titik (4; -2) yang akan dilalui parabola.

3) Sama dengan , kita mencari titik potong parabola dengan sumbu (oh). Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaannya. Bergantung pada diskriminannya, kita akan mendapatkan satu (, ), dua ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Pada contoh sebelumnya, akar diskriminan kita bukanlah bilangan bulat; ketika membangun, tidak masuk akal bagi kita untuk mencari akarnya, tetapi kita melihat dengan jelas bahwa kita akan memiliki dua titik perpotongan dengan sumbu (oh) (sejak title="Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Jadi mari kita selesaikan

Algoritma untuk membuat parabola jika diberikan dalam bentuk

1) tentukan arah cabang (a>0 – ke atas, a<0 – вниз)

2) kita mencari koordinat titik puncak parabola menggunakan rumus , .

3) kita mencari titik potong parabola dengan sumbu (oy) menggunakan suku bebas, buatlah sebuah titik yang simetris terhadap titik ini relatif terhadap sumbu simetri parabola (perlu dicatat bahwa tidak menguntungkan untuk menandai ini pointnya, misal karena nilainya besar... kita lewati point ini...)

4) Pada titik yang ditemukan - titik puncak parabola (seperti pada titik (0;0) dari sistem koordinat baru) kita membuat parabola. Jika title="Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Kita mencari titik potong parabola dengan sumbu (oy) (jika belum “muncul”) dengan menyelesaikan persamaan

Contoh 1

Contoh 2

Catatan 1. Jika parabola awalnya diberikan kepada kita dalam bentuk , di mana ada beberapa bilangan (misalnya ), maka akan lebih mudah untuk membangunnya, karena kita telah diberikan koordinat titik puncaknya . Mengapa?

Mari kita ambil trinomial kuadrat dan pisahkan seluruh persegi di dalamnya: Lihat, kita dapat , . Anda dan saya sebelumnya menyebut titik puncak parabola, yaitu sekarang.

Misalnya, . Kita menandai titik puncak parabola pada bidang, kita memahami bahwa cabang-cabangnya mengarah ke bawah, parabola melebar (relatif terhadap ). Artinya, kita melaksanakan poin 1; 3; 4; 5 dari algoritma pembuatan parabola (lihat di atas).

Catatan 2. Jika parabola diberikan dalam bentuk yang mirip dengan ini (yaitu disajikan sebagai hasil kali dua faktor linier), maka kita langsung melihat titik potong parabola dengan sumbu (sapi). Dalam hal ini – (0;0) dan (4;0). Selebihnya, kami bertindak sesuai algoritma, membuka tanda kurung.

- — [] fungsi kuadrat Fungsi bentuk y= ax2 + bx + c (a ? 0). Grafik K.f. - parabola yang titik puncaknya mempunyai koordinat [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], dengan a>0 cabang parabola ... ...

FUNGSI KUADRAT, FUNGSI matematis yang nilainya bergantung pada kuadrat variabel bebas x, dan masing-masing dinyatakan dalam POLINOMI kuadrat, contoh: f(x) = 4x2 + 17 atau f(x) = x2 + 3x + 2. lihat juga PERSAMAAN KOTAK... Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis

Fungsi kuadrat- Fungsi kuadrat - fungsi berbentuk y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Grafik K.f. - parabola yang titik puncaknya mempunyai koordinat [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], untuk a > 0 cabang parabola mengarah ke atas, untuk a< 0 –вниз… …

- (kuadrat) Fungsi yang mempunyai bentuk sebagai berikut: y=ax2+bx+c, dimana a≠0 dan derajat tertinggi x adalah persegi. Persamaan kuadrat y=ax2 +bx+c=0 juga dapat diselesaikan dengan rumus berikut: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Akar ini nyata... Kamus ekonomi

Fungsi kuadrat affine pada ruang affine S adalah fungsi apa pun Q: S→K yang berbentuk Q(x)=q(x)+l(x)+c dalam bentuk vektor, dengan q adalah fungsi kuadrat, l adalah fungsi linier, c adalah konstanta. Daftar Isi 1 Menggeser titik acuan 2 ... ... Wikipedia

Fungsi kuadrat affine pada ruang affine adalah fungsi apa pun yang berbentuk vektor, dengan matriks simetris, fungsi linier, konstanta. Isi... Wikipedia

Suatu fungsi pada ruang vektor yang ditentukan oleh polinomial homogen derajat kedua dalam koordinat vektor. Isi 1 Definisi 2 Definisi terkait... Wikipedia

- adalah fungsi yang, dalam teori keputusan statistik, mencirikan kerugian akibat pengambilan keputusan yang salah berdasarkan data yang diamati. Jika masalah memperkirakan parameter sinyal dengan latar belakang noise diselesaikan, maka fungsi kerugian adalah ukuran perbedaannya... ... Wikipedia

fungsi objektif- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Kamus Inggris-Rusia tentang teknik elektro dan teknik tenaga, Moskow, 1999] fungsi tujuan Dalam permasalahan ekstrem, suatu fungsi yang harus dicari nilai minimum atau maksimumnya. Ini… … Panduan Penerjemah Teknis

Fungsi objektif- dalam masalah ekstrim, suatu fungsi yang minimum atau maksimumnya harus ditemukan. Ini adalah konsep kunci dalam pemrograman optimal. Setelah menemukan titik ekstrem C.f. dan, oleh karena itu, setelah menentukan nilai variabel terkontrol yang masuk ke dalamnya... ... Kamus ekonomi-matematika

Buku

• Seperangkat tabel. Matematika. Grafik fungsi (10 tabel), . Album pendidikan 10 lembar.
• Fungsi linier. Penugasan fungsi secara grafis dan analitis. Fungsi kuadrat. Transformasi grafik fungsi kuadrat. Fungsi y=sinx. Fungsi y=cosx.…

Fungsi matematika sekolah yang paling penting adalah kuadrat - dalam masalah dan solusi, Petrov N.N.. Fungsi kuadrat merupakan fungsi utama mata kuliah matematika sekolah. Hal ini tidak mengherankan. Di satu sisi, kesederhanaan fungsi ini, dan di sisi lain, makna yang mendalam. Banyak tugas sekolah... Dalam pelajaran matematika di sekolah, Anda telah mengenal sifat-sifat paling sederhana dan grafik suatu fungsi kamu = x 2 . Mari kita perluas pengetahuan kita tentang.

fungsi kuadrat

Tugas 1. Dalam pelajaran matematika di sekolah, Anda telah mengenal sifat-sifat paling sederhana dan grafik suatu fungsi Buat grafik fungsinya . Skala: 1 = 2 cm Tandai sebuah titik pada sumbu Oy F . Skala: 1 = 2 cm Tandai sebuah titik pada sumbu Oy(0; 1/4). Dengan menggunakan kompas atau selembar kertas, ukur jarak dari titik tersebut ke beberapa titik M parabola. Kemudian sematkan strip pada titik M dan putar mengelilingi titik tersebut hingga vertikal. Ujung strip akan jatuh sedikit di bawah sumbu x(Gbr. 1)

. Tandai pada strip seberapa jauh garis tersebut melampaui sumbu x. Sekarang ambil titik lain pada parabola dan ulangi pengukurannya lagi. Berapa jauh tepi strip berada di bawah sumbu x? Hasil:

tidak peduli titik mana pada parabola y = x 2 yang Anda ambil, jarak dari titik ini ke titik F(0; 1/4) akan lebih besar dari jarak dari titik yang sama ke sumbu absis dengan bilangan yang selalu sama - 1/4. Kita dapat mengatakannya secara berbeda: jarak dari titik mana pun pada parabola ke titik (0; 1/4) sama dengan jarak dari titik yang sama pada parabola ke garis lurus y = -1/4. Titik indah F(0; 1/4) ini disebut fokus parabola y = x 2, dan garis lurus y = -1/4 – kepala sekolah

parabola ini. Setiap parabola mempunyai direktriks dan fokus.

Sifat-sifat menarik dari parabola:

1. Setiap titik pada parabola berjarak sama dari suatu titik, yang disebut fokus parabola, dan suatu garis lurus, yang disebut direktriksnya.

2. Jika Anda memutar parabola mengelilingi sumbu simetri (misalnya parabola y = x 2 mengelilingi sumbu Oy), Anda akan mendapatkan permukaan yang sangat menarik yang disebut paraboloid revolusi.

Permukaan zat cair dalam bejana yang berputar berbentuk paraboloid rotasi. Anda dapat melihat permukaan ini jika Anda mengaduk kuat-kuat dengan sendok di dalam gelas teh yang tidak lengkap, lalu mengeluarkan sendoknya. 3. Jika sebuah batu dilempar ke dalam kehampaan dengan sudut tertentu terhadap cakrawala, batu tersebut akan terbang membentuk parabola

(Gbr. 2). 4. Jika permukaan kerucut dipotong dengan bidang yang sejajar dengan salah satu generatriknya, maka penampang tersebut akan menghasilkan parabola.

5. Taman hiburan terkadang memiliki wahana menyenangkan yang disebut Paraboloid of Wonders. Bagi semua orang yang berdiri di dalam paraboloid yang berputar, tampaknya dia berdiri di lantai, sementara orang lain entah bagaimana secara ajaib berpegangan pada dinding.

6. Dalam teleskop pemantul, cermin parabola juga digunakan: cahaya bintang jauh, yang datang dalam berkas paralel, jatuh pada cermin teleskop, dikumpulkan menjadi fokus.

7. Lampu sorot biasanya memiliki cermin berbentuk paraboloid. Jika sumber cahaya ditempatkan pada titik fokus paraboloid, maka sinar yang dipantulkan dari cermin parabola akan membentuk berkas sejajar.

Membuat Grafik Fungsi Kuadrat

Pada pelajaran matematika, Anda telah mempelajari cara memperoleh grafik fungsi dari grafik fungsi y = x 2:

1) y = kapak 2– merentangkan grafik y = x 2 sepanjang sumbu Oy di |a| kali (dengan |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, beras. 4).

2) kamu = x 2 + n– pergeseran grafik sebesar n satuan sepanjang sumbu Oy, dan jika n > 0, maka pergeserannya ke atas, dan jika n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) kamu = (x + m) 2– pergeseran grafik sebanyak m satuan sepanjang sumbu Ox: jika m< 0, то вправо, а если m >0, lalu kiri, (Gbr. 5).

4) kamu = -x 2– tampilan simetris relatif terhadap sumbu Ox pada grafik y = x 2 .

Mari kita lihat lebih dekat cara memplot fungsinya kamu = a(x – m) 2 + n.

Fungsi kuadrat berbentuk y = ax 2 + bx + c selalu dapat direduksi menjadi bentuk tersebut

y = a(x – m) 2 + n, dimana m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Mari kita buktikan.

Benar-benar,

y = kapak 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Mari kita perkenalkan notasi baru.

Membiarkan m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

maka kita peroleh y = a(x – m) 2 + n atau y – n = a(x – m) 2.

Mari kita lakukan substitusi lagi: misalkan y – n = Y, x – m = X (*).

Kemudian kita peroleh fungsi Y = aX 2 yang grafiknya berbentuk parabola.

Titik puncak parabola berada pada titik asal. X = 0; kamu = 0.

Substitusikan koordinat titik tersebut ke dalam (*), kita peroleh koordinat titik sudut grafik y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Jadi, untuk memplot fungsi kuadrat direpresentasikan sebagai

kamu = a(x – m) 2 + n

melalui transformasi, Anda dapat melanjutkan sebagai berikut:

A) plot fungsinya y = x 2 ;

B) dengan translasi paralel sepanjang sumbu Ox sebanyak m satuan dan sepanjang sumbu Oy sebanyak n satuan - pindahkan titik puncak parabola dari titik asal ke titik dengan koordinat (m; n) (Gbr. 6).

Merekam transformasi:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Contoh.

Dengan menggunakan transformasi, buatlah grafik fungsi y = 2(x – 3) 2 dalam sistem koordinat Cartesian – 2.

Larutan.

Rantai transformasi:

kamu = x 2 (1) → kamu = (x – 3) 2 (2) → kamu = 2(x – 3) 2 (3) → kamu = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Plotnya ditunjukkan pada beras. 7.

Anda dapat berlatih sendiri membuat grafik fungsi kuadrat. Misalnya membuat grafik fungsi y = 2(x + 3) 2 + 2 dalam satu sistem koordinat dengan menggunakan transformasi pelajaran 25 menit gratis dengan tutor online setelah pendaftaran. Untuk bekerja lebih lanjut dengan guru, Anda dapat memilih paket tarif yang sesuai untuk Anda.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara membuat grafik fungsi kuadrat?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.