Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi

Nilai terbesar suatu fungsi adalah yang terbesar, nilai terkecil adalah nilai terkecil dari seluruh nilainya.

Suatu fungsi hanya boleh mempunyai satu nilai terbesar dan hanya satu nilai terkecil, atau mungkin tidak mempunyai nilai sama sekali. Pencarian nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu didasarkan pada sifat-sifat fungsi berikut:

1) Jika dalam interval tertentu (berhingga atau tak terhingga) fungsi y=f(x) kontinu dan hanya mempunyai satu ekstrem dan jika maksimum (minimum), maka itu adalah nilai terbesar (terkecil) dari fungsi tersebut dalam interval ini.

2) Jika fungsi f(x) kontinu pada suatu ruas tertentu, maka fungsi tersebut tentu mempunyai nilai terbesar dan terkecil pada ruas tersebut. Nilai-nilai ini dicapai baik pada titik ekstrem yang terletak di dalam segmen, atau pada batas segmen ini.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil pada suatu segmen, disarankan menggunakan skema berikut:

1. Temukan turunannya.

2. Temukan titik kritis dari fungsi yang =0 atau tidak ada.

3. Tentukan nilai fungsi pada titik kritis dan ujung ruas dan pilih f max terbesar dan f max terkecil.

Saat menyelesaikan masalah terapan, khususnya masalah optimasi, masalah mencari nilai terbesar dan terkecil (maksimum global dan minimum global) dari suatu fungsi pada interval X adalah penting , pilih variabel independen dan nyatakan nilai yang diteliti melalui variabel ini. Kemudian cari nilai terbesar atau terkecil yang diinginkan dari fungsi yang dihasilkan. Dalam hal ini interval perubahan variabel bebas, baik berhingga maupun tak terhingga, juga ditentukan dari kondisi permasalahan.

Contoh. Tangki yang berbentuk bagian atas terbuka sejajar dengan bagian bawah berbentuk persegi, bagian dalamnya harus dilapisi dengan timah. Berapa ukuran tangki jika kapasitasnya 108 liter? air agar biaya pengalengan minimal?

Larutan. Biaya melapisi tangki dengan timah akan minimal jika, untuk kapasitas tertentu, luas permukaannya minimal. Mari kita nyatakan dengan a dm sisi alasnya, b dm tinggi tangki. Maka luas S permukaannya sama dengan

DAN

Hubungan yang dihasilkan membentuk hubungan antara luas permukaan reservoir S (fungsi) dan sisi alas a (argumen). Mari kita periksa fungsi S secara ekstrim. Mari kita cari turunan pertama, samakan dengan nol dan selesaikan persamaan yang dihasilkan:

Jadi a = 6. (a) > 0 untuk a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Contoh. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada interval.

Larutan: Fungsi yang diberikan kontinu sepanjang garis bilangan. Turunan dari suatu fungsi

Turunan untuk dan untuk . Mari kita hitung nilai fungsi pada titik-titik ini:

.

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertentu adalah sama. Oleh karena itu, nilai terbesar dari fungsi tersebut sama dengan pada , nilai terkecil dari fungsi tersebut sama dengan pada .

Pertanyaan tes mandiri

1. Merumuskan aturan L'Hopital untuk mengungkap ketidakpastian bentuk. Sebutkan berbagai jenis ketidakpastian yang dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan L'Hopital.

2. Merumuskan tanda-tanda kenaikan dan penurunan fungsi.

3. Menentukan maksimum dan minimum suatu fungsi.

4. Merumuskan kondisi yang diperlukan bagi keberadaan suatu ekstrem.

5. Nilai argumen apa (poin mana) yang disebut kritis? Bagaimana cara menemukan titik-titik tersebut?

6. Apa saja tanda-tanda cukup adanya suatu fungsi ekstrem? Buat garis besar skema untuk mempelajari suatu fungsi pada suatu ekstrem menggunakan turunan pertama.

7. Uraikan skema mempelajari suatu fungsi pada suatu ekstrem dengan menggunakan turunan kedua.

8. Definisi kecembungan dan kecekungan suatu kurva.

9. Apa yang disebut titik belok grafik suatu fungsi? Tunjukkan metode untuk menemukan titik-titik ini.

10. Merumuskan tanda-tanda kecembungan dan kecekungan suatu kurva yang perlu dan cukup pada suatu ruas tertentu.

11. Mendefinisikan asimtot suatu kurva. Bagaimana cara mencari asimtot vertikal, horizontal, dan miring dari grafik suatu fungsi?

12. Uraikan skema umum mempelajari suatu fungsi dan membuat grafiknya.

13. Merumuskan aturan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada interval tertentu.

Pernyataan masalah 2:

Diberikan suatu fungsi yang terdefinisi dan kontinu pada interval tertentu. Anda perlu mencari nilai fungsi terbesar (terkecil) pada interval ini.

Landasan teori.
Teorema (Teorema Weierstrass Kedua):

Jika suatu fungsi terdefinisi dan kontinu dalam interval tertutup, maka fungsi tersebut mencapai nilai maksimum dan minimumnya dalam interval tersebut.

Suatu fungsi dapat mencapai nilai terbesar dan terkecilnya baik pada titik-titik dalam interval maupun pada batas-batasnya. Mari kita ilustrasikan semua opsi yang memungkinkan.

Penjelasan:
1) Fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya pada batas kiri interval di titik , dan nilai minimumnya pada batas kanan interval di titik .
2) Fungsi mencapai nilai terbesarnya di suatu titik (ini adalah titik maksimum), dan nilai minimumnya berada di batas kanan interval di titik tersebut.
3) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada batas kiri interval di titik , dan nilai minimumnya di titik (ini adalah titik minimum).
4) Fungsinya konstan pada interval, yaitu. ia mencapai nilai minimum dan maksimumnya pada titik mana pun dalam interval, dan nilai minimum dan maksimumnya sama satu sama lain.
5) Fungsi mencapai nilai maksimumnya di titik , dan nilai minimumnya di titik (walaupun fungsi tersebut memiliki maksimum dan minimum pada interval ini).
6) Fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya di suatu titik (ini adalah titik maksimum), dan nilai minimumnya di suatu titik (ini adalah titik minimum).
Komentar:

“Maksimum” dan “nilai maksimum” adalah hal yang berbeda. Hal ini mengikuti definisi maksimum dan pemahaman intuitif dari frase “nilai maksimum”.

Algoritma untuk menyelesaikan masalah 2.



4) Pilih nilai terbesar (terkecil) dari nilai yang diperoleh dan tuliskan jawabannya.

Contoh 4:

Tentukan nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada segmen tersebut.
Larutan:
1) Temukan turunan dari fungsi tersebut.

2) Temukan titik stasioner (dan titik yang diduga ekstrem) dengan menyelesaikan persamaan. Perhatikan titik-titik yang tidak mempunyai turunan berhingga dua sisi.

3) Hitung nilai fungsi pada titik stasioner dan pada batas interval.

4) Pilih nilai terbesar (terkecil) dari nilai yang diperoleh dan tuliskan jawabannya.

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai terbesarnya pada titik dengan koordinat .

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai minimumnya pada titik dengan koordinat .

Anda dapat memverifikasi kebenaran perhitungan dengan melihat grafik fungsi yang diteliti.


Komentar: Fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya pada titik maksimum, dan nilai minimumnya pada batas segmen.

Kasus khusus.

Misalkan Anda perlu mencari nilai maksimum dan minimum dari beberapa fungsi pada suatu segmen. Setelah menyelesaikan poin pertama dari algoritma, yaitu. menghitung turunannya, menjadi jelas bahwa, misalnya, hanya dibutuhkan nilai negatif di seluruh interval yang dipertimbangkan. Ingatlah bahwa jika turunannya negatif, maka fungsinya menurun. Kami menemukan bahwa fungsinya menurun di seluruh segmen. Situasi ini ditunjukkan pada grafik No. 1 di awal artikel.

Fungsinya menurun pada segmen tersebut, mis. tidak memiliki titik ekstrem. Terlihat dari gambar bahwa fungsi tersebut akan mengambil nilai terkecil pada batas kanan ruas, dan nilai terbesar pada batas kiri. jika turunan pada ruas tersebut positif dimana-mana, maka fungsinya bertambah. Nilai terkecil ada di tepi kiri ruas, nilai terbesar ada di tepi kanan.

Seringkali dalam fisika dan matematika diperlukan untuk mencari nilai terkecil suatu fungsi. Kami sekarang akan memberi tahu Anda cara melakukan ini.

Cara mencari nilai terkecil suatu fungsi: instruksi

1. Untuk menghitung nilai terkecil dari fungsi kontinu pada segmen tertentu, Anda harus mengikuti algoritma berikut:
2. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
3. Temukan pada segmen tertentu titik-titik yang turunannya sama dengan nol, serta semua titik kritis. Kemudian cari tahu nilai fungsi pada titik-titik tersebut, yaitu selesaikan persamaan dimana x sama dengan nol. Cari tahu nilai mana yang terkecil.
4. Identifikasi nilai apa yang dimiliki suatu fungsi pada titik akhir. Tentukan nilai terkecil fungsi pada titik-titik tersebut.
5. Bandingkan data yang diperoleh dengan nilai terendah. Semakin kecil angka yang dihasilkan akan menjadi nilai terkecil dari fungsi tersebut.

Perhatikan bahwa jika suatu fungsi pada suatu segmen tidak memiliki titik terkecil, berarti fungsi tersebut bertambah atau berkurang pada segmen tersebut. Oleh karena itu, nilai terkecil harus dihitung pada segmen berhingga dari fungsi tersebut.

Dalam semua kasus lainnya, nilai fungsi dihitung sesuai dengan algoritma yang ditentukan. Di setiap titik dalam algoritme, Anda perlu menyelesaikan persamaan linier sederhana dengan satu akar. Selesaikan persamaan menggunakan gambar untuk menghindari kesalahan.

Bagaimana cara mencari nilai terkecil suatu fungsi pada segmen setengah terbuka? Pada fungsi periode setengah terbuka atau terbuka, nilai terkecil harus dicari sebagai berikut. Di titik akhir nilai fungsi, hitung limit satu sisi fungsi tersebut. Dengan kata lain, selesaikan persamaan yang titik kecenderungannya diberikan oleh nilai a+0 dan b+0, dengan a dan b adalah nama titik kritisnya.

Sekarang Anda tahu cara mencari nilai terkecil suatu fungsi. Yang utama adalah melakukan semua perhitungan dengan benar, akurat dan tanpa kesalahan.

Biarkan fungsinya kamu =F(X) kontinu pada interval [ a, b]. Seperti diketahui, fungsi tersebut mencapai nilai maksimum dan minimumnya pada segmen ini. Fungsi tersebut dapat mengambil nilai-nilai ini baik di titik dalam segmen [ a, b], atau pada batas segmen.

Mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada ruas [ a, b] diperlukan:

1) temukan titik kritis fungsi tersebut pada interval ( a, b);

2) menghitung nilai fungsi pada titik kritis yang ditemukan;

3) menghitung nilai fungsi pada ujung-ujung ruas, yaitu kapan X=A dan x = B;

4) dari semua nilai fungsi yang dihitung, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

pada segmen tersebut.

Menemukan poin-poin penting:

Titik-titik ini terletak di dalam segmen; kamu(1) = ‒ 3; kamu(2) = ‒ 4; kamu(0) = ‒ 8; kamu(3) = 1;

pada intinya X= 3 dan pada intinya X= 0.

Mempelajari fungsi konveksitas dan titik belok.

Fungsi kamu = F (X) ditelepon cembung di antaranya (A, B) , jika grafiknya terletak di bawah garis singgung yang ditarik pada titik mana pun dalam interval ini, dan disebut cembung ke bawah (cekung), jika grafiknya terletak di atas garis singgung.

Titik dimana konveksitas digantikan oleh cekungan atau sebaliknya disebut titik belok.

Algoritma untuk memeriksa konveksitas dan titik belok:

1. Carilah titik-titik kritis jenis kedua, yaitu titik-titik yang turunan keduanya sama dengan nol atau tidak ada.

2. Gambarkan titik-titik kritis pada garis bilangan, bagi menjadi beberapa interval. Temukan tanda turunan kedua pada setiap interval; jika , maka fungsinya cembung ke atas, jika , maka fungsinya cembung ke bawah.

3. Jika ketika melewati suatu titik kritis jenis kedua tandanya berubah dan pada titik tersebut turunan keduanya sama dengan nol, maka titik tersebut adalah absis titik belok. Temukan ordinatnya.

Asimtot grafik suatu fungsi. Studi tentang fungsi asimtot.

Definisi. Asimtot grafik suatu fungsi disebut lurus, yang mempunyai sifat bahwa jarak dari titik mana pun pada grafik ke garis ini cenderung nol karena titik pada grafik bergerak tanpa batas dari titik asal.

Ada tiga jenis asimtot: vertikal, horizontal dan miring.

Definisi. Garis lurus disebut asimtot vertikal grafik fungsi kamu = f(x), jika setidaknya salah satu batas satu sisi fungsi pada titik ini sama dengan tak terhingga, yaitu

dimana adalah titik diskontinuitas fungsi tersebut, artinya tidak termasuk dalam domain definisi.

Contoh.

D ( kamu) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – titik istirahat.

Definisi. Lurus kamu =A ditelepon asimtot horizontal grafik fungsi kamu = f(x) di, jika

Contoh.

X
kamu

Definisi. Lurus kamu =kx+B (k≠ 0) dipanggil asimtot miring grafik fungsi kamu = f(x) di, di mana

Skema umum untuk mempelajari fungsi dan membuat grafik.

Algoritma Penelitian Fungsikamu = f(x) :

1. Temukan domain dari fungsi tersebut D (kamu).

2. Temukan (jika mungkin) titik potong grafik dengan sumbu koordinat (jika X= 0 dan pada kamu = 0).

3. Periksa kegenapan dan keanehan fungsi tersebut ( kamu (‒ X) = kamu (X) ‒ keseimbangan; kamu(‒ X) = ‒ kamu (X) ‒ aneh).

4. Temukan asimtot grafik fungsi tersebut.

5. Temukan interval monotonisitas fungsi tersebut.

6. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut.

7. Tentukan interval kecembungan (concavity) dan titik belok grafik fungsi.

8. Berdasarkan penelitian yang dilakukan, buatlah grafik fungsi tersebut.

Contoh. Jelajahi fungsinya dan buat grafiknya.

1) D (kamu) =

X= 4 – titik istirahat.

2) Kapan X = 0,

(0; ‒ 5) – titik potong dengan Oh.

Pada kamu = 0,

3) kamu(‒ X)= suatu fungsi yang berbentuk umum (tidak genap maupun ganjil).

4) Kami memeriksa asimtotnya.

a) vertikal

b) horisontal

c) temukan asimtot miring di mana

‒persamaan asimtot miring

5) Dalam persamaan ini tidak perlu mencari interval monotonisitas suatu fungsi.

6)

Titik kritis ini membagi seluruh domain definisi fungsi ke dalam interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Lebih mudah untuk menyajikan hasil yang diperoleh dalam bentuk tabel berikut.