Apa yang dimaksud dengan simetri lipat. Bagaimana simetri menjadi gagasan keindahan

Simetri bisa tepat atau perkiraan.

Simetri dalam geometri

Simetri geometris merupakan jenis simetri yang paling dikenal banyak orang. Suatu benda geometri dikatakan simetris apabila setelah diubah secara geometri masih tetap mempertahankan sebagian sifat aslinya. Misalnya, sebuah lingkaran yang diputar mengelilingi pusatnya akan memiliki bentuk dan ukuran yang sama dengan lingkaran aslinya. Oleh karena itu, lingkaran disebut simetris terhadap rotasi (memiliki simetri aksial). Jenis kesimetrian yang mungkin terjadi pada suatu benda geometri bergantung pada himpunan transformasi geometri yang ada dan sifat benda mana yang tidak boleh berubah setelah transformasi.

Jenis-jenis simetri geometri:

Simetri cermin

Dalam fisika, invarian dalam kelompok rotasi disebut isotropi ruang(semua arah dalam ruang adalah sama) dan dinyatakan dalam invarian hukum fisika, khususnya persamaan gerak, sehubungan dengan rotasi. Teorema Noether menghubungkan invarian ini dengan adanya besaran kekal (integral gerak) - momentum sudut.

Simetri terhadap suatu titik

Simetri geser

Simetri dalam fisika

Simetri dalam fisika
Konversi	Sesuai invarian	Sesuai hukum konservasi
↕ Siaran waktu	Keseragaman waktu	...energi
⊠ , , dan -simetri	Isotropi waktu	...keserasian
↔ Ruang siaran	Keseragaman ruang angkasa	...impuls
↺ Rotasi ruang	Isotropi ruang angkasa	...saat ini impuls
⇆ Grup Lorentz (peningkatan)	Relativitas Kovariansi Lorentz	...gerakan pusat massa
~ Transformasi pengukur	Invariansi pengukur	...mengenakan biaya

Dalam fisika teoretis, perilaku suatu sistem fisik dijelaskan dengan persamaan tertentu. Jika persamaan-persamaan ini mempunyai kesimetrian, seringkali penyelesaiannya dapat disederhanakan dengan mencarinya jumlah yang dilestarikan (integral gerak). Jadi, dalam mekanika klasik, teorema Noether telah dirumuskan, yang menghubungkan besaran kekal dengan setiap jenis simetri kontinu. Dari sini, misalnya, dapat disimpulkan bahwa invarian persamaan gerak suatu benda terhadap waktu mengarah pada hukum kekekalan energi; invarian terhadap pergeseran ruang - terhadap hukum kekekalan momentum; invarian dalam rotasi - sesuai dengan hukum kekekalan momentum sudut.

Supersimetri

Perpindahan dalam ruang-waktu empat dimensi datar tidak mengubah hukum fisika. Dalam teori medan, simetri translasi, menurut teorema Noether, berhubungan dengan kekekalan tensor energi-momentum. Secara khusus, translasi temporal murni sesuai dengan hukum kekekalan energi, dan pergeseran spasial murni sesuai dengan hukum kekekalan momentum.

Simetri dalam biologi

Simetri dalam biologi- ini adalah susunan teratur dari bagian-bagian tubuh atau bentuk organisme hidup yang serupa (identik, berukuran sama), kumpulan organisme hidup relatif terhadap pusat atau sumbu simetri. Jenis simetri tidak hanya menentukan struktur umum tubuh, tetapi juga kemungkinan berkembangnya sistem organ hewan. Struktur tubuh banyak organisme multiseluler mencerminkan bentuk simetri tertentu. Jika tubuh hewan secara mental dapat dibagi menjadi dua bagian, kanan dan kiri, maka bentuk simetri ini disebut bilateral. Jenis simetri ini merupakan karakteristik sebagian besar spesies, serta manusia. Jika tubuh seekor binatang secara mental dapat dibagi bukan menjadi satu, tetapi oleh beberapa bidang simetri menjadi bagian-bagian yang sama, maka hewan tersebut disebut simetris secara radial. Jenis simetri ini lebih jarang terjadi.

Asimetri- kurangnya simetri. Kadang-kadang istilah ini digunakan untuk menggambarkan organisme yang kurang simetri, bukannya ketidaksimitrisan- hilangnya simetri sekunder atau elemen individualnya.

Konsep simetri dan asimetri adalah kebalikan. Semakin simetris suatu organisme maka semakin sedikit asimetrisnya dan sebaliknya. Sejumlah kecil organisme benar-benar asimetris. Dalam hal ini, perlu dibedakan antara variabilitas bentuk (misalnya pada amuba) dan kurangnya simetri. Di alam dan, khususnya, di alam yang hidup, simetri tidak mutlak dan selalu mengandung asimetri pada tingkat tertentu. Misalnya, daun tanaman yang simetris tidak sama persis jika dilipat menjadi dua.

Jenis simetri berikut ditemukan pada objek biologis:

simetri bola rotasi dalam ruang tiga dimensi pada sudut sembarang.
simetri aksial (simetri radial, simetri rotasi dengan urutan tidak terbatas) - simetri terhadap rotasi pada sudut sembarang di sekitar sumbu apa pun.
- simetri rotasi orde ke-n - simetri terhadap rotasi melalui sudut 360°/n di sekitar sumbu apa pun.
simetri bilateral (bilateral) - simetri relatif terhadap bidang simetri (simetri pantulan cermin).
simetri translasi - simetri sehubungan dengan pergeseran ruang ke segala arah pada jarak tertentu (kasus khusus pada hewan adalah metamerisme (biologi)).
asimetri triaksial - kurangnya simetri sepanjang ketiga sumbu spasial.

Simetri radial

Biasanya dua atau lebih bidang simetri melewati sumbu simetri. Bidang-bidang ini berpotongan sepanjang garis lurus - sumbu simetri. Jika hewan tersebut berputar pada sumbu tersebut sampai derajat tertentu, maka ia akan ditampilkan pada dirinya sendiri (bertepatan dengan dirinya sendiri). Mungkin ada beberapa sumbu simetri (simetri poliakson) atau satu (simetri monakson). Simetri poliaksonal umum terjadi pada protista (misalnya radiolaria).

Biasanya, pada hewan multiseluler, kedua ujung (kutub) dari sumbu simetri tunggal tidak sama (misalnya, pada ubur-ubur, mulutnya terletak di satu kutub (lisan), dan ujung bel berada di kutub yang berlawanan. (aboral) tiang. Simetri seperti itu (varian simetri radial) dalam anatomi komparatif disebut uniaksial-heteropol. Dalam proyeksi dua dimensi, simetri radial dapat dipertahankan jika sumbu simetri diarahkan tegak lurus terhadap bidang proyeksi Dengan kata lain, pelestarian simetri radial bergantung pada sudut pandang.

Simetri radial merupakan ciri khas banyak cnidaria, serta sebagian besar echinodermata. Diantaranya ada yang disebut pentasimetri, berdasarkan lima bidang simetri. Pada echinodermata, simetri radial bersifat sekunder: larvanya simetri bilateral, dan pada hewan dewasa, simetri radial eksternal rusak karena adanya pelat madrepore.

Selain simetri radial yang khas, terdapat simetri radial biradial (dua bidang simetri, misalnya pada ctenophores). Jika hanya ada satu bidang simetri, maka simetrinya bilateral (hewan dalam kelompok mempunyai simetri seperti itu Bilateria).

Kelompok simetri titik kristalografi adalah kelompok simetri titik yang menggambarkan makrosimetri suatu kristal. Karena sumbu (rotasi dan rotasi tidak wajar) hanya orde 1, 2, 3, 4 dan 6 yang diperbolehkan dalam kristal, dari seluruh kelompok simetri titik yang jumlahnya tak terhingga, hanya 32 yang diklasifikasikan sebagai kristalografi.

Anisotropi (dari bahasa Yunani kuno. ἄνισος - tidak setara dan τρόπος - arah) - perbedaan sifat-sifat medium (misalnya, fisik: elastisitas, konduktivitas listrik, konduktivitas termal, indeks bias, kecepatan suara atau cahaya, dll.) dalam berbagai arah dalam medium ini; sebagai lawan dari

Dalam geometri, properti bangun geometris. Dua titik yang terletak pada tegak lurus yang sama terhadap suatu bidang (atau garis) tertentu pada sisi yang berlawanan dan pada jarak yang sama darinya disebut simetris terhadap bidang (atau garis) tersebut. Suatu bangun (datar atau spasial) dikatakan simetris terhadap suatu garis lurus (sumbu simetri) atau bidang (bidang simetri) jika titik-titiknya yang berpasangan mempunyai sifat-sifat tertentu. Suatu bangun dikatakan simetris terhadap suatu titik (pusat simetri) jika titik-titiknya terletak berpasangan pada garis lurus yang melalui pusat simetri, pada sisi-sisi yang berhadapan dan berjarak sama dari titik tersebut.

Definisi simetri

Konsep "simetri" (Yunani simetria - proporsionalitas), menurut salah satu ahli matematika terhebat abad kedua puluh. Hermann Weyl (1885 - 1955), "adalah gagasan yang melaluinya manusia selama berabad-abad mencoba memahami dan menciptakan keteraturan, keindahan, dan kesempurnaan." Biasanya kata “simetri” berarti keselarasan proporsi – sesuatu yang seimbang, tidak dibatasi oleh objek spasial (misalnya dalam musik, puisi, dll). Di sisi lain, konsep ini juga mempunyai makna geometris murni, yang terdiri dari pengulangan alami dalam ruang dari bangun-bangun yang sama atau bagian-bagiannya. Seperti yang ditulis E.S. Fedorov (1901), “simetri adalah sifat bangun-bangun geometris yang mengulangi bagian-bagiannya, atau, lebih tepatnya, sifat-sifatnya pada posisi yang berbeda agar sejajar dengan posisi aslinya.”

Namun, berbicara tentang bangun datar simetris, kita harus membedakan antara dua jenis persamaan: kongruen (Yunani kongruens - gabungan) dan enantiomorfik - cermin sama (Yunani enantios - berlawanan, morphe - bentuk). Dalam kasus pertama, yang kami maksud adalah gambar atau bagian-bagiannya, yang persamaannya dapat diungkapkan dengan kombinasi sederhana - saling tumpang tindih, yaitu. gerakan "sendiri", memindahkan gambar kiri (L) (misalnya, sekrup kiri, tangan) ke kiri, kanan (R) - ke kanan, di mana semua titik dari satu gambar bertepatan dengan titik-titik yang sesuai dari gambar tersebut lainnya. Dalam kasus kedua, kesetaraan terungkap melalui refleksi - suatu gerakan yang mengubah suatu objek menjadi bayangan cerminnya (kiri ke kanan dan sebaliknya).

Dalam hal ini, semua titik pada bangun ruang menjadi simetris berpasangan terhadap bidang. Akibat transformasi (gerakan) tersebut, benda tersebut menyatu dengan dirinya sendiri, yaitu. berubah menjadi dirinya sendiri. Dengan kata lain, ia invarian terhadap transformasi ini, dan karenanya simetris. Transformasi itu sendiri, yang mengungkapkan kesimetrian suatu benda, disebut transformasi simetri, mempertahankan sifat metrik bagian-bagian benda tersebut, dan juga jarak antara pasangan titik mana pun. Jadi, benda-benda dapat dianggap sama secara simetris jika semua titik pada salah satu benda diubah menjadi titik-titik yang bersesuaian pada benda lain menurut satu aturan.

Simetri SAYA Simetri (dari bahasa Yunani simetria - proporsionalitas)

dalam matematika,

1) simetri (dalam arti sempit), atau pemantulan (cermin) terhadap bidang dalam ruang (relatif terhadap garis lurus A pada bidang), merupakan transformasi ruang (bidang), yang didalamnya terdapat setiap titik M tepat sasaran M" sedemikian rupa sehingga segmennya MM" tegak lurus bidang α (garis lurus A) dan membaginya menjadi dua. Bidang α (lurus A) disebut bidang (sumbu) C.

Refleksi adalah contoh transformasi ortogonal (Lihat Transformasi ortogonal) yang mengubah orientasi (Lihat Orientasi) (sebagai lawan gerak diri). Transformasi ortogonal apa pun dapat dilakukan dengan melakukan refleksi dalam jumlah terbatas secara berurutan - fakta ini memainkan peran penting dalam studi struktur bangun geometri.

2) Simetri (dalam arti luas) - properti bangun geometris F, mencirikan beberapa keteraturan bentuk F, kekekalannya di bawah pengaruh gerakan dan refleksi. Lebih tepatnya, angkanya F memiliki S. (simetris) jika terdapat transformasi ortogonal non-identik yang mengambil gambar tersebut ke dalam dirinya sendiri. Himpunan semua transformasi ortogonal yang menggabungkan suatu bangun datar F dengan dirinya sendiri, adalah suatu grup (Lihat Grup) yang disebut grup simetri dari gambar ini (kadang-kadang transformasi ini sendiri disebut simetri).

Jadi, bangun datar yang berubah menjadi dirinya sendiri setelah dipantulkan adalah simetris terhadap garis lurus - sumbu C (. beras. 1 ); di sini kelompok simetri terdiri dari dua elemen. Jika angkanya F pada bidang sedemikian rupa sehingga rotasi relatif terhadap sembarang titik O melalui sudut 360°/ N, N- bilangan bulat ≥ 2, lalu ubah menjadi dirinya sendiri F memiliki S. N-urutan relatif terhadap intinya TENTANG- pusat C. Contoh bangun tersebut adalah poligon beraturan ( beras. 2 ); grup S. di sini - yang disebut. kelompok siklik N urutan -th. Sebuah lingkaran memiliki lingkaran yang tatanannya tak terhingga (karena ia dapat digabungkan dengan dirinya sendiri dengan memutarnya melalui sudut mana pun).

Jenis sistem spasial yang paling sederhana, selain sistem yang dihasilkan oleh refleksi, adalah sistem sentral, sistem aksial, dan sistem transfer.

a) Dalam kasus simetri pusat (inversi) terhadap titik O, bangun Ф digabungkan dengan dirinya sendiri setelah refleksi berturut-turut dari tiga bidang yang saling tegak lurus, dengan kata lain titik O adalah titik tengah segmen yang menghubungkan titik-titik simetris Ф ( beras. 3 ). b) Dalam hal simetri aksial, atau S. relatif terhadap garis lurus N-urutan ke-, bangun ditumpangkan pada dirinya sendiri dengan cara memutar mengelilingi garis lurus tertentu (sumbu C) dengan sudut 360°/ N. Misalnya sebuah kubus mempunyai garis lurus AB sumbu C orde ketiga, dan garis lurus CD- sumbu C orde keempat ( beras. 3 ); Secara umum, polihedra beraturan dan semi beraturan adalah simetris terhadap sejumlah garis. Lokasi, jumlah dan urutan sumbu kristal memainkan peran penting dalam kristalografi (lihat Simetri kristal), c) Gambar yang ditumpangkan pada dirinya sendiri melalui rotasi berturut-turut pada sudut 360°/2 k mengelilingi garis lurus AB dan pemantulan pada bidang yang tegak lurus, mempunyai sumbu cermin C. Garis lurus AB, disebut sumbu putar cermin C. orde 2 k, adalah sumbu keteraturan C k (beras. 4 ). Penjajaran aksial cermin orde 2 setara dengan penjajaran pusat d) Dalam hal simetri perpindahan, bangun ditumpangkan pada dirinya sendiri dengan berpindah sepanjang garis lurus tertentu (sumbu translasi) ke segmen mana pun. Misalnya, bangun datar dengan sumbu translasi tunggal memiliki jumlah bidang C yang tak terhingga (karena setiap translasi dapat dilakukan dengan dua refleksi berturut-turut dari bidang yang tegak lurus terhadap sumbu translasi) ( beras. 5 ). Gambar yang memiliki beberapa sumbu transfer memainkan peran penting dalam studi kisi kristal (Lihat Kisi kristal).

Dalam seni rupa, komposisi sebagai salah satu jenis komposisi harmonis telah meluas (Lihat Komposisi). Ini adalah karakteristik karya arsitektur (menjadi kualitas yang sangat diperlukan, jika bukan seluruh struktur secara keseluruhan, maka bagian dan detailnya - denah, fasad, kolom, ibu kota, dll.) dan seni dekoratif dan terapan. S. juga digunakan sebagai teknik utama untuk membuat batas dan ornamen (gambar datar yang masing-masing memiliki satu atau lebih perpindahan S. yang dikombinasikan dengan pantulan) ( beras. 6 , 7 ).

Kombinasi simetri yang dihasilkan oleh pemantulan dan rotasi (menghabiskan semua jenis simetri bangun geometri), serta transfer, menarik dan menjadi bahan penelitian di berbagai bidang ilmu pengetahuan alam. Misalnya, S. heliks, yang dilakukan dengan rotasi pada sudut tertentu di sekitar sumbu, ditambah dengan perpindahan sepanjang sumbu yang sama, diamati pada susunan daun pada tumbuhan ( beras. 8 ) (untuk lebih jelasnya lihat artikel Simetri dalam Biologi). Simetri konfigurasi molekul, yang mempengaruhi sifat fisik dan kimianya, penting dalam analisis teoritis struktur senyawa, sifat dan perilakunya dalam berbagai reaksi (lihat Simetri dalam kimia). Terakhir, dalam ilmu fisika secara umum, selain struktur geometris kristal dan kisi yang telah disebutkan, konsep struktur dalam pengertian umum memperoleh arti penting (lihat di bawah). Dengan demikian, simetri ruang-waktu fisik, yang dinyatakan dalam homogenitas dan isotropinya (lihat teori Relativitas), memungkinkan kita untuk menetapkan apa yang disebut. hukum konservasi; simetri umum memainkan peran penting dalam pembentukan spektrum atom dan dalam klasifikasi partikel elementer (lihat Simetri dalam fisika).

3) Simetri (dalam pengertian umum) berarti invarian struktur suatu objek matematika (atau fisik) terhadap transformasinya. Misalnya, sistem hukum relativitas ditentukan oleh invariansinya terhadap transformasi Lorentz (Lihat Transformasi Lorentz). Definisi sekumpulan transformasi yang membiarkan semua hubungan struktural suatu objek tidak berubah, yaitu definisi grup G automorfismenya telah menjadi prinsip panduan matematika dan fisika modern, yang memungkinkan seseorang untuk menembus secara mendalam struktur internal suatu objek secara keseluruhan dan bagian-bagiannya.

Karena benda tersebut dapat diwakili oleh unsur-unsur suatu ruang R, diberkahi dengan struktur karakteristik yang sesuai, sejauh transformasi suatu objek adalah transformasi R. Itu. representasi kelompok diperoleh G dalam kelompok transformasi R(atau masuk saja R), dan studi tentang objek S. direduksi menjadi studi tentang tindakan G pada R dan menemukan invarian dari tindakan ini. Dengan cara yang sama, hukum fisika S. yang mengatur objek yang diteliti dan biasanya dijelaskan dengan persamaan yang dipenuhi oleh unsur-unsur ruang. R, ditentukan oleh tindakan G untuk persamaan seperti itu.

Jadi, misalnya, jika suatu persamaan linier pada ruang linier R dan tetap invarian di bawah transformasi beberapa kelompok G, lalu setiap elemen G dari G sesuai dengan transformasi linier Tg dalam ruang linier R solusi persamaan ini. Korespondensi G → Tg adalah representasi linier G dan pengetahuan tentang semua representasi tersebut memungkinkan seseorang untuk menetapkan berbagai sifat solusi, dan juga membantu menemukan dalam banyak kasus (dari “pertimbangan simetri”) solusi itu sendiri. Hal ini, khususnya, menjelaskan perlunya matematika dan fisika untuk mengembangkan teori representasi linier kelompok. Untuk contoh spesifik, lihat Art. Simetri dalam fisika.

menyala.: Shubnikov A.V., Simetri. (Hukum simetri dan penerapannya dalam ilmu pengetahuan, teknologi dan seni terapan), M. - L., 1940; Coxeter G.S.M., Pengantar Geometri, trans. dari bahasa Inggris, M., 1966; Weil G., Simetri, trans. dari bahasa Inggris, M., 1968; Wigner E., Studi tentang Simetri, trans. dari bahasa Inggris, M., 1971.

M. I. Voitsekhovsky.

Beras. 3. Sebuah kubus dengan garis lurus AB sebagai sumbu simetri orde ketiga, garis lurus CD sebagai sumbu simetri orde keempat, dan titik O sebagai pusat simetri. Titik M dan M" kubus adalah simetris terhadap sumbu AB dan CD, dan terhadap pusat O.

II Simetri

dalam fisika. Jika hukum-hukum yang menetapkan hubungan antara besaran-besaran yang menjadi ciri suatu sistem fisika, atau yang menentukan perubahan besaran-besaran ini seiring waktu, tidak berubah dalam operasi (transformasi) tertentu yang dapat dilakukan sistem tersebut, maka hukum-hukum tersebut dikatakan memiliki S . (atau invarian) sehubungan dengan transformasi data. Secara matematis, transformasi S. membentuk suatu grup (Lihat Grup).

Pengalaman menunjukkan bahwa hukum fisika bersifat simetris terhadap transformasi paling umum berikut.

Transformasi berkelanjutan

1) Perpindahan (pergeseran) sistem secara keseluruhan dalam ruang. Transformasi ruang-waktu ini dan selanjutnya dapat dipahami dalam dua pengertian: sebagai transformasi aktif - transfer nyata sistem fisik relatif terhadap sistem referensi yang dipilih, atau sebagai transformasi pasif - transfer paralel dari sistem referensi. Simbol hukum fisika mengenai pergeseran ruang berarti kesetaraan semua titik dalam ruang, yaitu tidak adanya titik-titik yang dapat dibedakan dalam ruang (homogenitas ruang).

2) Rotasi sistem secara keseluruhan dalam ruang. S.hukum fisika mengenai transformasi ini berarti kesetaraan semua arah dalam ruang (isotropi ruang).

3) Mengubah permulaan waktu (time shift). S. mengenai transformasi ini berarti bahwa hukum fisika tidak berubah seiring waktu.

4) Transisi ke sistem referensi yang bergerak relatif terhadap sistem tertentu dengan kecepatan konstan (dalam arah dan besaran). S. relatif terhadap transformasi ini berarti, khususnya, kesetaraan semua sistem referensi inersia (Lihat Sistem referensi inersia) (Lihat Teori Relativitas).

5) Transformasi pengukur. Hukum yang menggambarkan interaksi partikel dengan muatan apa pun (muatan listrik (Lihat Muatan listrik), muatan baryon (Lihat muatan Baryon), muatan leptonik (Lihat muatan Lepton), Muatan hiper) adalah simetris terhadap transformasi pengukur jenis pertama. Transformasi ini terdiri dari fakta bahwa fungsi gelombang (Lihat Fungsi gelombang) semua partikel dapat dikalikan secara bersamaan dengan faktor fase yang berubah-ubah:

di mana ψ J- fungsi gelombang partikel J, z j adalah muatan yang berhubungan dengan partikel, dinyatakan dalam satuan muatan dasar (misalnya, muatan listrik dasar e), β adalah faktor numerik sembarang.

A→A + lulusan f, , (2)

Di mana F(X,pada, z, T) - fungsi koordinat yang berubah-ubah ( X,pada,z) dan waktu ( T), Dengan- kecepatan cahaya. Agar transformasi (1) dan (2) dapat dilakukan secara bersamaan dalam kasus medan elektromagnetik, perlu untuk menggeneralisasikan transformasi pengukur jenis pertama: hukum interaksi harus simetris terhadap transformasi (1) dengan nilai β, yang merupakan fungsi koordinat dan waktu yang berubah-ubah: η - Konstanta Planck. Hubungan antara transformasi pengukur jenis pertama dan kedua dalam interaksi elektromagnetik disebabkan oleh peran ganda muatan listrik: di satu sisi, muatan listrik adalah kuantitas yang kekal, dan di sisi lain, ia bertindak sebagai konstanta interaksi yang mencirikan hubungan medan elektromagnetik dengan partikel bermuatan.

Transformasi (1) sesuai dengan hukum kekekalan berbagai muatan (lihat di bawah), serta beberapa interaksi internal. Jika muatan bukan hanya kuantitas yang kekal, namun juga sumber medan (seperti muatan listrik), maka medan yang bersesuaian dengannya juga harus merupakan medan pengukur (mirip dengan medan elektromagnetik), dan transformasi (1) digeneralisasikan ke kasus ketika kuantitas β adalah fungsi koordinat dan waktu yang berubah-ubah (dan bahkan operator (Lihat Operator) yang mengubah keadaan sistem internal). Pendekatan terhadap teori medan interaksi ini mengarah pada berbagai teori ukuran interaksi kuat dan lemah (yang disebut teori Yang-Mills).

Transformasi diskrit

Jenis sistem yang tercantum di atas dicirikan oleh parameter yang dapat terus berubah dalam rentang nilai tertentu (misalnya, pergeseran ruang ditandai dengan tiga parameter perpindahan sepanjang masing-masing sumbu koordinat, rotasi tiga sudut rotasi di sekitar sumbu ini, dll.). Selain sistem kontinu, sistem diskrit juga sangat penting dalam fisika. Yang utama adalah sebagai berikut.

Hukum simetri dan konservasi

Menurut teorema Noether (Lihat teorema Noether), setiap transformasi suatu sistem, yang dicirikan oleh satu parameter yang terus berubah, sesuai dengan nilai yang kekal (tidak berubah seiring waktu) untuk sistem yang memiliki sistem tersebut Dari sistem fisik hukum mengenai pergeseran suatu sistem tertutup dalam ruang, rotasinya secara keseluruhan, dan perubahan asal mula waktu masing-masing mengikuti hukum kekekalan momentum, momentum sudut, dan energi. Dari sistem mengenai transformasi pengukur jenis pertama - hukum kekekalan muatan (listrik, baryon, dll.), dari invarian isotop - kekekalan putaran isotop (Lihat Putaran isotop) dalam proses interaksi kuat. Adapun sistem diskrit, dalam mekanika klasik tidak mengarah pada hukum kekekalan apa pun. Namun, dalam mekanika kuantum, yang keadaan sistemnya dijelaskan oleh fungsi gelombang, atau untuk medan gelombang (misalnya, medan elektromagnetik), di mana prinsip superposisi berlaku, keberadaan sistem diskrit menyiratkan hukum kekekalan bagi beberapa orang. besaran tertentu yang tidak memiliki analogi dalam mekanika klasik. Keberadaan besaran-besaran tersebut dapat ditunjukkan dengan contoh paritas spasial (Lihat Paritas), yang kekekalannya mengikuti sistem sehubungan dengan inversi spasial. Misalkan ψ 1 adalah fungsi gelombang yang menggambarkan suatu keadaan sistem, dan ψ 2 adalah fungsi gelombang sistem yang dihasilkan dari ruang. inversi (secara simbolis: ψ 2 = Rψ 1, dimana R- operator ruang. inversi). Kemudian, jika ada sistem yang berkenaan dengan inversi spasial, ψ 2 adalah salah satu kemungkinan keadaan sistem dan, berdasarkan prinsip superposisi, kemungkinan keadaan sistem adalah superposisi ψ 1 dan ψ 2: kombinasi simetris ψ s = ψ 1 + ψ 2 dan antisimetris ψ a = ψ 1 - ψ 2. Selama transformasi inversi, keadaan ψ 2 tidak berubah (sejak Pψ s = Pψ 1 + Pψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s), dan keadaan ψ a berubah tanda ( Pψ a = Pψ 1 - Pψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). Dalam kasus pertama, mereka mengatakan bahwa paritas spasial sistem adalah positif (+1), dalam kasus kedua - negatif (-1). Jika fungsi gelombang sistem ditentukan menggunakan besaran yang tidak berubah selama inversi spasial (seperti momentum sudut dan energi), maka paritas sistem juga akan mempunyai nilai yang sangat pasti. Sistem akan berada dalam keadaan dengan paritas positif atau negatif (dan transisi dari satu keadaan ke keadaan lain di bawah pengaruh gaya simetris sehubungan dengan inversi spasial sangat dilarang).

Simetri sistem mekanika kuantum dan keadaan stasioner. Degenerasi

Kekekalan besaran-besaran yang bersesuaian dengan berbagai sistem mekanika kuantum adalah konsekuensi dari fakta bahwa operator-operator yang bersesuaian dengannya berpindah-pindah dengan Hamiltonian sistem jika tidak bergantung secara eksplisit pada waktu (lihat Mekanika kuantum, Hubungan pergantian). Ini berarti bahwa besaran-besaran ini dapat diukur secara bersamaan dengan energi sistem, yaitu, besaran-besaran tersebut dapat mengambil nilai yang sepenuhnya pasti untuk nilai energi tertentu. Oleh karena itu, dari mereka dimungkinkan untuk menyusun apa yang disebut. sekumpulan besaran lengkap yang menentukan keadaan sistem. Jadi, keadaan stasioner (Lihat Keadaan Stasioner) (keadaan dengan energi tertentu) suatu sistem ditentukan oleh besaran yang sesuai dengan stabilitas sistem yang sedang dipertimbangkan.

Kehadiran mekanika kuantum mengarah pada fakta bahwa berbagai keadaan gerak sistem mekanika kuantum, yang diperoleh satu sama lain melalui transformasi mekanika kuantum, memiliki nilai besaran fisika yang sama yang tidak berubah selama transformasi tersebut. Jadi, kegagalan sistem, sebagai suatu peraturan, mengarah pada degenerasi (lihat Degenerasi). Misalnya, nilai energi tertentu suatu sistem dapat berhubungan dengan beberapa keadaan berbeda yang ditransformasikan satu sama lain selama transformasi sistem. Secara matematis, keadaan-keadaan ini mewakili dasar representasi kelompok sistem yang tidak dapat direduksi (lihat Kelompok ). Hal ini menentukan keberhasilan penerapan metode teori grup dalam mekanika kuantum.

Selain degenerasi tingkat energi yang terkait dengan kontrol eksplisit suatu sistem (misalnya, sehubungan dengan rotasi sistem secara keseluruhan), dalam sejumlah masalah terdapat degenerasi tambahan yang terkait dengan apa yang disebut. interaksi S. tersembunyi. Osilator tersembunyi seperti itu ada, misalnya, untuk interaksi Coulomb dan untuk osilator isotropik.

Jika suatu sistem yang memiliki sistem berada dalam medan gaya yang melanggar sistem ini (tetapi cukup lemah untuk dianggap sebagai gangguan kecil), terjadi pemisahan tingkat energi yang merosot dari sistem aslinya: keadaan berbeda yang, karena sistem. sistem memiliki energi yang sama, di bawah pengaruh gangguan "asimetris" mereka memperoleh perpindahan energi yang berbeda. Dalam kasus di mana medan pengganggu memiliki nilai tertentu yang merupakan bagian dari nilai sistem asli, degenerasi tingkat energi tidak sepenuhnya hilang: beberapa tingkat tetap mengalami degenerasi sesuai dengan nilai interaksi yang “mencakup” bidang yang mengganggu.

Kehadiran keadaan-keadaan yang mengalami kemunduran energi dalam suatu sistem, pada gilirannya, menunjukkan adanya interaksi sistemik dan pada prinsipnya memungkinkan untuk menemukan sistem ini ketika tidak diketahui sebelumnya. Keadaan terakhir ini memainkan peran penting, misalnya, dalam fisika partikel dasar. Keberadaan kelompok partikel dengan massa serupa dan karakteristik lain yang sama, tetapi muatan listrik berbeda (disebut kelipatan isotop) memungkinkan terbentuknya invarian isotop interaksi kuat, dan kemungkinan menggabungkan partikel dengan sifat yang sama menjadi lebih luas. kelompok mengarah pada penemuan tersebut S.U.(3)-C. interaksi kuat dan interaksi yang melanggar sistem ini (lihat Interaksi kuat). Terdapat indikasi bahwa interaksi kuat memiliki grup C yang lebih luas.

Konsep yang disebut ini sangat bermanfaat. sistem dinamis, yang muncul ketika transformasi dianggap mencakup transisi antara keadaan sistem dengan energi yang berbeda. Representasi tak tersederhanakan dari grup sistem dinamis adalah seluruh spektrum keadaan stasioner sistem. Konsep sistem dinamis juga dapat diperluas ke kasus-kasus ketika Hamiltonian suatu sistem bergantung secara eksplisit pada waktu, dan dalam hal ini semua keadaan sistem mekanika kuantum yang tidak stasioner (yaitu, tidak mempunyai energi tertentu) adalah digabungkan menjadi satu representasi yang tidak dapat direduksi dari grup dinamis sistem.

menyala.: Wigner E., Studi tentang Simetri, trans. dari bahasa Inggris, M., 1971.

S. S. Gershtein.

AKU AKU AKU Simetri

dalam kimia ia memanifestasikan dirinya dalam konfigurasi geometris molekul, yang mempengaruhi sifat fisik dan kimia spesifik molekul dalam keadaan terisolasi, dalam medan eksternal dan ketika berinteraksi dengan atom dan molekul lain.

Kebanyakan molekul sederhana memiliki unsur simetri spasial dengan konfigurasi kesetimbangan: sumbu simetri, bidang simetri, dll. (lihat Simetri dalam matematika). Jadi, molekul amonia NH 3 memiliki simetri piramida segitiga beraturan, molekul metana CH 4 memiliki simetri tetrahedron. Dalam molekul kompleks, simetri konfigurasi kesetimbangan secara keseluruhan, sebagai suatu peraturan, tidak ada, tetapi simetri masing-masing fragmennya kira-kira dipertahankan (simetri lokal). Deskripsi paling lengkap tentang simetri konfigurasi kesetimbangan dan non-kesetimbangan molekul dicapai berdasarkan gagasan tentang apa yang disebut. kelompok simetri dinamis - kelompok yang tidak hanya mencakup operasi simetri spasial konfigurasi inti, tetapi juga operasi penataan ulang inti identik dalam konfigurasi berbeda. Misalnya, gugus simetri dinamis untuk molekul NH 3 juga mencakup operasi inversi molekul ini: transisi atom N dari satu sisi bidang yang dibentuk oleh atom H ke sisi lainnya.

Simetri konfigurasi kesetimbangan inti dalam suatu molekul memerlukan kesimetrian tertentu dari fungsi gelombang (Lihat Fungsi gelombang) dari berbagai keadaan molekul ini, yang memungkinkan untuk mengklasifikasikan keadaan menurut jenis simetri. Transisi antara dua keadaan yang terkait dengan penyerapan atau emisi cahaya, tergantung pada jenis simetri keadaan tersebut, dapat muncul dalam spektrum molekul (Lihat Spektrum molekul) atau dilarang, sehingga garis atau pita yang sesuai dengan transisi ini akan absen dalam spektrum. Jenis-jenis simetri keadaan yang memungkinkan terjadinya transisi mempengaruhi intensitas garis dan pita, serta polarisasinya. Misalnya, dalam molekul diatomik homonuklir, transisi antara keadaan elektronik dengan paritas yang sama, yang fungsi gelombang elektroniknya berperilaku sama selama operasi inversi, dilarang dan tidak muncul dalam spektrum; dalam molekul benzena dan senyawa serupa, transisi antara keadaan elektronik yang tidak mengalami degenerasi dengan jenis simetri yang sama, dll. dilarang. Aturan pemilihan simetri dilengkapi untuk transisi antara keadaan yang berbeda dengan aturan seleksi yang terkait dengan Putaran keadaan ini.

Untuk molekul dengan pusat paramagnetik, simetri lingkungan pusat-pusat ini mengarah pada jenis anisotropi tertentu G-faktor (Pengganda Lande), yang mempengaruhi struktur spektrum resonansi paramagnetik elektron (Lihat Resonansi paramagnetik elektron), sedangkan pada molekul yang inti atomnya memiliki putaran bukan nol, simetri fragmen lokal individu menyebabkan jenis pemisahan energi tertentu negara-negara dengan proyeksi putaran nuklir yang berbeda, yang mempengaruhi struktur spektrum resonansi magnetik nuklir (Lihat Resonansi magnetik nuklir).

Dalam pendekatan perkiraan kimia kuantum, dengan menggunakan gagasan orbital molekul, klasifikasi berdasarkan simetri dimungkinkan tidak hanya untuk fungsi gelombang molekul secara keseluruhan, tetapi juga untuk masing-masing orbital. Jika konfigurasi kesetimbangan suatu molekul mempunyai bidang simetri di mana inti berada, maka semua orbital molekul tersebut dibagi menjadi dua kelas: simetris (σ) dan antisimetris (π) terhadap operasi pemantulan pada bidang ini. Molekul yang orbitalnya ditempati (dalam energi) tertinggi adalah orbital π, membentuk kelas tertentu senyawa tak jenuh dan terkonjugasi dengan sifat-sifat yang khas. Pengetahuan tentang simetri lokal dari masing-masing fragmen molekul dan orbital molekul yang terletak pada fragmen ini memungkinkan kita untuk menilai fragmen mana yang lebih mudah tereksitasi dan berubah lebih kuat selama transformasi kimia, misalnya, selama reaksi fotokimia.

Konsep simetri penting dalam analisis teoritis struktur senyawa kompleks, sifat dan perilakunya dalam berbagai reaksi. Teori medan kristal dan teori medan ligan menetapkan posisi relatif orbital terisi dan kosong suatu senyawa kompleks berdasarkan data simetri, sifat dan derajat pemisahan tingkat energi ketika simetri medan ligan berubah. Pengetahuan tentang simetri suatu kompleks sering kali memungkinkan seseorang menilai sifat-sifatnya secara kualitatif.

Pada tahun 1965, P. Woodward dan R. Hoffman mengemukakan prinsip kekekalan simetri orbital dalam reaksi kimia, yang kemudian dikonfirmasi oleh bahan percobaan yang luas dan mempunyai pengaruh yang besar terhadap perkembangan kimia organik preparatif. Prinsip ini (aturan Woodward-Hoffman) menyatakan bahwa tindakan dasar tertentu dari reaksi kimia terjadi dengan tetap mempertahankan simetri orbital molekul, atau simetri orbital. Semakin banyak simetri orbital yang dilanggar selama peristiwa elementer, semakin sulit reaksinya.

Mempertimbangkan simetri molekul penting ketika mencari dan memilih zat yang digunakan dalam pembuatan laser kimia dan penyearah molekuler, ketika membangun model superkonduktor organik, ketika menganalisis zat karsinogenik dan aktif secara farmakologis, dll.

menyala.: Hochstrasser R., Aspek simetri molekul, trans. dari bahasa Inggris, M., 1968; Bolotin A.B., Stepanov N.f.. Teori grup dan penerapannya dalam mekanika kuantum molekul, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Konservasi Simetri Orbital, trans. dari bahasa Inggris, M., 1971.

N.F.Stepanov.

IV Simetri

dalam biologi (biosimetri). Fenomena keharmonisan alam yang hidup diperhatikan di Yunani kuno oleh kaum Pythagoras (abad ke-5 SM) sehubungan dengan perkembangan doktrin harmoni. Pada abad ke-19 Beberapa karya muncul tentang sintesis tumbuhan (ilmuwan Prancis O.P. Decandolle dan O. Bravo), hewan (Jerman - E. Haeckel), dan molekul biogenik (ilmuwan Prancis - A. Vechan, L. Pasteur, dan lain-lain). Pada abad ke-20 objek biologis dipelajari dari sudut pandang teori umum kristalisasi (ilmuwan Soviet Yu.V. Wulf, V.N. Beklemishev, B.K. Vainshtein, ahli kimia fisik Belanda F.M. Yeger, ahli kristalografi Inggris yang dipimpin oleh J. Bernal) dan doktrin kanan dan kiri ( Ilmuwan Soviet V.I. Vernadsky, V.V. Alpatov, G.F. Gause dan lainnya; Karya-karya ini mengarah pada identifikasi pada tahun 1961 arah khusus dalam studi S. - biosimetri.

S. struktural objek biologis telah dipelajari paling intensif. Studi tentang biostruktur—molekuler dan supramolekul—dari sudut pandang struktur struktural memungkinkan untuk mengidentifikasi terlebih dahulu kemungkinan jenis strukturnya, dan dengan demikian jumlah serta jenis modifikasi yang mungkin dilakukan, dan untuk mendeskripsikan secara ketat bentuk eksternal dan struktur internal. dari setiap objek biologis spasial. Hal ini menyebabkan meluasnya penggunaan konsep S. struktural dalam zoologi, botani, dan biologi molekuler. Struktural S. memanifestasikan dirinya terutama dalam bentuk pengulangan teratur tertentu. Dalam teori klasik struktur struktur, yang dikembangkan oleh ilmuwan Jerman I.F.Hessel, E.S. Fedorov (Lihat Fedorov) dan lain-lain, kenampakan struktur suatu benda dapat digambarkan dengan sekumpulan elemen strukturnya, yaitu geometrik. elemen (titik, garis, bidang) yang relatif terhadap bagian-bagian identik dari suatu objek diurutkan (lihat Simetri dalam matematika). Misalnya spesies bunga S. phlox ( beras. 1 , c) - satu sumbu orde 5 melewati pusat bunga; dihasilkan melalui operasinya - 5 rotasi (72, 144, 216, 288 dan 360°), yang masing-masing bunga bertepatan dengan dirinya sendiri. Pemandangan sosok S. kupu-kupu ( beras. 2 , b) - satu bidang yang membaginya menjadi 2 bagian - kiri dan kanan; Operasi yang dilakukan melalui bidang tersebut merupakan pantulan cermin, “membuat” separuh kiri menjadi kanan, separuh kanan menjadi kiri, dan sosok kupu-kupu menyatu dengan dirinya sendiri. Spesies S. radiolaria Lithocubus geometrius ( beras. 3 , b), selain sumbu rotasi dan bidang pantulan, juga terdapat pusat C. Setiap garis lurus yang ditarik melalui satu titik di dalam radiolaria bertemu dengan titik-titik yang identik (sesuai) pada gambar di kedua sisinya dan di jarak yang sama. Operasi yang dilakukan melalui pusat S. merupakan refleksi pada suatu titik, setelah itu sosok radiolaria juga digabungkan dengan dirinya sendiri.

Di alam hidup (seperti di alam mati), karena berbagai keterbatasan, jumlah spesies S. yang biasanya ditemukan jauh lebih kecil daripada yang dimungkinkan secara teori. Misalnya, pada tahap perkembangan satwa liar yang lebih rendah, perwakilan dari semua kelas struktur titik ditemukan - hingga organisme yang dicirikan oleh struktur polihedra dan bola beraturan (lihat. beras. 3 ). Namun, pada tahap evolusi yang lebih tinggi, tumbuhan dan hewan terutama disebut. aksial (tipe N) dan aktinomorfik (tipe N(M)DENGAN. (dalam kedua kasus N dapat mengambil nilai dari 1 hingga ∞). Benda biologis dengan aksial S. (lihat. beras. 1 ) hanya dicirikan oleh sumbu keteraturan C N. Bioobjek Sactinomorphic S. (lihat. beras. 2 ) dicirikan oleh satu sumbu keteraturan N dan bidang-bidang yang berpotongan sepanjang sumbu ini M. Spesies yang paling umum di alam liar adalah S. spp. N = 1 dan 1․ m = M, masing-masing disebut asimetri (Lihat Asimetri) dan bilateral, atau bilateral, S. Asimetri adalah karakteristik daun sebagian besar spesies tumbuhan, S. bilateral - sampai batas tertentu untuk bentuk luar tubuh manusia, vertebrata, dan banyak invertebrata. Pada organisme yang bergerak, pergerakan tersebut rupanya dikaitkan dengan perbedaan pergerakannya ke atas dan ke bawah serta ke depan dan ke belakang, sedangkan pergerakannya ke kanan dan ke kiri adalah sama. Pelanggaran terhadap S. bilateral mereka pasti akan menyebabkan terhambatnya pergerakan salah satu sisi dan transformasi gerakan translasi menjadi gerakan melingkar. Pada tahun 50-70an. abad ke-20 Yang disebut objek biologis yang tidak simetris ( beras. 4 ). Yang terakhir ini dapat ada setidaknya dalam dua modifikasi - dalam bentuk asli dan bayangan cerminnya (antipode). Selain itu, salah satu bentuk ini (tidak peduli yang mana) disebut kanan atau D (dari bahasa Latin dextro), yang lain disebut kiri atau L (dari bahasa Latin laevo). Ketika mempelajari bentuk dan struktur bioobjek D dan L, teori faktor disimetrisasi dikembangkan, yang membuktikan kemungkinan modifikasi dua atau lebih (hingga jumlah tak terhingga) untuk setiap objek D atau L (lihat juga beras. 5 ); sekaligus berisi rumus untuk menentukan jumlah dan jenis yang terakhir. Teori ini mengarah pada penemuan apa yang disebut. isomerisme biologis (Lihat Isomerisme) (objek biologis berbeda dengan komposisi yang sama; di beras. 5 16 isomer daun linden ditampilkan).

Ketika mempelajari keberadaan objek biologis, ditemukan bahwa dalam beberapa kasus bentuk D mendominasi, dalam kasus lain bentuk L, dalam kasus lain bentuk tersebut sama seringnya. Bechamp dan Pasteur (40-an abad ke-19), dan pada tahun 30-an. abad ke-20 Ilmuwan Soviet G.F. Gause dan yang lainnya menunjukkan bahwa sel-sel organisme dibangun hanya atau sebagian besar dari asam L-amino, L-protein, asam D-deoksiribonukleat, gula D, L-alkaloid, D- dan L-terpen, dll. Ciri mendasar dan karakteristik sel hidup, yang disebut oleh Pasteur sebagai ketidaksimetrisan protoplasma, memberikan sel, seperti yang didirikan pada abad ke-20, metabolisme yang lebih aktif dan dipertahankan melalui mekanisme biologis dan fisikokimia kompleks yang muncul dalam proses tersebut. evolusi. burung hantu. ilmuwan V.V. Alpatov pada tahun 1952, dengan menggunakan 204 spesies tumbuhan berpembuluh, menetapkan bahwa 93,2% spesies tumbuhan termasuk dalam tipe dengan L-, 1,5% - dengan jalur D penebalan heliks pada dinding pembuluh darah, 5,3% spesies - ke tipe rasemat (jumlah pembuluh D kira-kira sama dengan jumlah pembuluh L).

Saat mempelajari bioobjek D dan L, ditemukan bahwa kesetaraan antara bentuk D dan L dilanggar dalam beberapa kasus karena perbedaan sifat fisiologis, biokimia, dan lainnya. Ciri alam yang hidup ini disebut dissimetri kehidupan. Jadi, efek eksitasi asam L-amino terhadap pergerakan plasma dalam sel tumbuhan puluhan dan ratusan kali lebih besar daripada efek yang sama dari bentuk D-nya. Banyak antibiotik (penisilin, gramisidin, dll.) yang mengandung asam D-amino lebih bersifat bakterisidal dibandingkan bentuk asam L-amino. Bit gula L-kop berbentuk ulir yang lebih umum memiliki berat 8-44% (tergantung varietasnya) dan mengandung gula 0,5-1% lebih banyak daripada bit gula D-kop.

Konferensi ilmiah dan praktis regional

anak sekolah "Menuju puncak ilmu pengetahuan"

Bagian “Disiplin Alam dan Matematika”

Tema: “Simetri adalah lambang keindahan, keselarasan dan kesempurnaan”

Diselesaikan oleh: Nuralinova Evgeniya Sergeevna

Institusi pendidikan kota Sekolah menengah Rozhdestvenskaya, kelas 8.

Pemimpin: Mitina Svetlana Petrovna,

guru matematika

Hubungi telepon: 26-539.

§1. Perkenalan

§2. Apa itu simetri? Jenisnya dalam geometri

§3. Perwujudan simetri pada alam hidup dan mati

§4. Penerapan hukum simetri oleh manusia

§5. Kesimpulan

§6. Literatur

§7. Aplikasi

§1. Perkenalan

Ketika kami membahas topik “Simetri” dalam geometri, sangat sedikit waktu yang diberikan untuk topik tersebut, tetapi menurut saya topik ini menarik, dan saya memutuskan untuk mengambilnya untuk penelitian. Saya ingin mempelajari lebih lanjut tentang masalah ini, karena saya sudah mendengar istilah ini lebih dari satu kali dalam mata pelajaran lain dan dalam kehidupan sehari-hari. Ketika saya mulai melakukan penelitian, saya memperhatikan bahwa simetri bukan hanya sebuah konsep matematika, tetapi juga memanifestasikan dirinya sebagai sesuatu yang indah di alam hidup dan mati, serta dalam ciptaan manusia. Oleh karena itu, saya bertanya pada diri sendiri pertanyaan-pertanyaan bermasalah berikut:

Bagaimana harmoni simetri terwujud di alam;

Jenis simetri apa yang ditemukan di alam;

Bagaimana manusia menerapkan keindahan simetri dalam ciptaannya?

Oleh karena itu, saya menyebut topik penelitian saya “Simetri - simbol keindahan, harmoni, dan kesempurnaan”.

§2. Apa itu simetri? Jenisnya dalam geometri.

Oh, simetri! Aku menyanyikan lagumu!

Saya mengenali Anda di mana pun di dunia.

Anda berada di Menara Eiffel, di tengah-tengah pengusir hama kecil,

Anda berada di pohon Natal dekat jalan setapak di hutan.

Baik tulip maupun mawar berteman denganmu,

Dan kawanan salju adalah ciptaan embun beku!

Apa itu simetri? Dalam kamus penjelasan S.I. Simetri Ozhegov diartikan sebagai “proporsionalitas, kesamaan susunan bagian-bagian sesuatu pada sisi berlawanan dari suatu titik, garis atau bidang.” Dari kamus yang sama saya mengetahui bahwa kata harmoni berarti “koherensi, keselarasan dalam kombinasi sesuatu”. Kita melihat bahwa simetri dan harmoni saling berhubungan.

Pertama, saya akan membahas jenis-jenis simetri apa saja yang terdapat dalam mata pelajaran geometri sekolah, yaitu:

Pusat (relatif terhadap titik)

Aksial (relatif lurus)

Cermin (relatif terhadap pesawat).

Simetri pusat.

Suatu bangun dikatakan simetris terhadap titik O jika, untuk setiap titik pada bangun tersebut, terdapat sebuah titik yang simetris terhadap titik O juga termasuk pada bangun tersebut. Titik O disebut pusat simetri bangun tersebut. Gambar tersebut juga dikatakan memiliki simetri pusat (lihat Gambar 1).

Simetri aksial.

Bangun tersebut dikatakan simetris terhadap garis lurus A, jika untuk setiap titik pada gambar terdapat titik yang simetris terhadap garis lurus A, juga termasuk dalam gambar ini. Lurus A disebut sumbu simetri bangun tersebut. Gambar tersebut juga dikatakan memiliki simetri aksial (lihat Gambar 2).

Simetri cermin.

Simetri cermin (simetri relatif terhadap suatu bidang) adalah pemetaan ruang pada dirinya sendiri di mana setiap titik M masuk ke titik M1 yang simetris terhadap bidang tersebut (lihat Gambar 3).

Sekarang saya ingin, setelah mengamati dan mempelajari literatur khusus, melihat di mana simetri akan tercermin. Mengapa kita menganggap beberapa hal indah dan yang lainnya tidak? Mengapa melihat gambar simetris lebih menyenangkan daripada gambar asimetris?

§3. Perwujudan simetri pada alam hidup dan mati

Keindahan alam tidak diciptakan, melainkan hanya direkam dan diungkapkan. Mari kita perhatikan perwujudan simetri dari yang “global”, yaitu dari planet Bumi kita.

Fakta bahwa Bumi berbentuk bola telah diketahui oleh orang-orang terpelajar pada zaman dahulu. Bumi, dalam pikiran sebagian besar orang yang banyak membaca sebelum era Copernicus, adalah pusat alam semesta. Oleh karena itu, mereka menganggap garis lurus yang melalui pusat bumi sebagai pusat simetri alam semesta. Oleh karena itu, bahkan model Bumi - bola dunia memiliki sumbu simetri (lihat Gambar 4).

Di antara bunga, misalnya, terdapat simetri putar. Banyak bunga yang dapat diputar sehingga setiap kelopak mengambil posisi tetangganya, bunga sejajar dengan dirinya sendiri. Sudut minimum rotasi tersebut tidak sama untuk warna yang berbeda. Untuk iris, suhunya 120° (lihat Gambar 5), untuk bunga lonceng – 72° (lihat Gambar 6), untuk narsisis – 60° (lihat Gambar 7). Terdapat simetri heliks pada susunan daun pada batang tanaman. Diposisikan seperti sekrup di sepanjang batang, daun tampak menyebar ke arah yang berbeda dan tidak mengaburkan satu sama lain dari cahaya (lihat Gambar 8), meskipun daunnya sendiri juga memiliki sumbu simetri (lihat Gambar 9). Mengingat rencana umum struktur hewan apa pun, kita biasanya memperhatikan keteraturan tertentu dalam susunan bagian-bagian tubuh atau organ, yang diulangi pada sumbu tertentu atau menempati posisi yang sama dalam kaitannya dengan bidang tertentu. Keteraturan ini disebut simetri tubuh. Fenomena simetri begitu tersebar luas di dunia hewan sehingga sangat sulit untuk menunjukkan suatu kelompok di mana tidak ada simetri tubuh yang terlihat. Serangga kecil dan hewan besar memiliki simetri (lihat Gambar 10, 11, 12).

· Di antara keragaman bentuk alam mati yang tak terbatas, gambaran sempurna seperti itu banyak ditemukan, yang penampilannya selalu menarik perhatian kita. Mengamati keindahan alam, Anda dapat melihat bahwa ketika benda dipantulkan di genangan air dan danau, muncul simetri cermin.

Apakah kamu melihat? Ini adalah spekularitas telanjang!

Sifatnya yang bodoh dan bodoh, dia tidak begitu peduli pada apapun,

tentang keseimbangan (lihat Gambar 13).

(Venedikt Erofeev)

Kristal menghadirkan pesona simetri ke dunia alam mati (lihat Gambar 14). Setiap kepingan salju adalah kristal kecil air beku. Bentuk kepingan salju bisa sangat beragam, tetapi semuanya memiliki simetri rotasi dan, sebagai tambahan, simetri cermin (lihat Gambar 15).

Apa itu kristal? Benda padat yang memiliki bentuk alami polihedron. Garam, es, pasir, dll. terdiri dari kristal. Pertama-tama, Romeu-Delisle menekankan bentuk geometris kristal yang benar berdasarkan hukum keteguhan sudut antara permukaannya. Dia menulis: "Semua benda di kerajaan mineral mulai diklasifikasikan sebagai kristal, yang karenanya ditemukan sosok polihedron geometris..." Bentuk kristal yang benar muncul karena dua alasan. Pertama, kristal terdiri dari partikel elementer - molekul, yang memiliki bentuk yang benar. Kedua, “molekul-molekul tersebut memiliki sifat luar biasa dalam menghubungkan satu sama lain dalam urutan simetris.”

Mengapa kristal begitu indah dan menarik? Sifat fisik dan kimianya ditentukan oleh struktur geometrisnya. Dalam kristalografi (ilmu tentang kristal) bahkan ada bagian yang disebut “Kristalografi Geometris”. Pada tahun 1867, jenderal artileri, profesor di Akademi Mikhailovsky di St. Petersburg A.V. Gadolin secara matematis menurunkan semua kombinasi elemen simetri yang menjadi ciri polihedra kristal. Misalnya, garnet termasuk dalam sistem kubik pertama, yang semua kristalnya memiliki elemen simetri yang sama dengan kubus.

(kristal garam meja, misalnya, berbentuk kubus). Total ada 32 jenis simetri bentuk kristal ideal.

Sangat mudah untuk membayangkan kekacauan macam apa yang akan terjadi di Bumi jika simetri alam dipatahkan!

§4. Penerapan hukum simetri oleh manusia

Setelah melihat perwujudan simetri di alam, saya ingin mengetahui apakah manusia menerapkan pola-pola tersebut dalam ciptaannya.

Simetri dapat ditemukan hampir di mana-mana jika Anda tahu cara mencarinya. Sejak zaman kuno, banyak orang memiliki gagasan tentang simetri dalam arti luas - sebagai keseimbangan dan harmoni. Kreativitas manusia dalam segala manifestasinya cenderung ke arah simetri. Melalui simetri, manusia selalu berusaha, seperti kata matematikawan Jerman Hermann Weyl, “untuk memahami dan menciptakan keteraturan, keindahan, dan kesempurnaan.” G. Weil memahami simetri sebagai “kekekalan suatu objek di bawah jenis transformasi tertentu; suatu objek dikatakan simetris jika objek tersebut dapat dikenai beberapa operasi dan setelahnya objek tersebut akan terlihat sama seperti sebelum transformasi.” G. Weil mengabdikan satu bab tertentu untuk simetri hias. Kami menemukan keteraturan dan subordinasi terhadap seperangkat aturan tertentu dalam pola dan ornamen (lihat Gambar 16).

Seseorang tidak bisa tidak melihat simetri pada batu permata segi. Banyak pemotong mencoba memberi berlian bentuk tetrahedron, kubus, oktahedron, atau ikosahedron. Karena garnet memiliki unsur yang sama dengan kubus, maka garnet sangat dihargai oleh para pecinta batu permata. Barang-barang artistik yang terbuat dari garnet telah ditemukan di makam Mesir Kuno sejak periode pra-dinasti (lebih dari dua milenium SM).

Dalam koleksi Hermitage, perhiasan emas bangsa Skit kuno mendapat perhatian khusus. Karya artistik yang terbuat dari karangan bunga emas, tiara, kayu dan dihiasi dengan garnet merah-ungu yang berharga sangat bagus (lihat Gambar 17, 18).

Salah satu kegunaan hukum simetri yang paling jelas dalam kehidupan adalah dalam struktur arsitektur. Inilah yang paling sering kita lihat. Dalam arsitektur, sumbu simetri digunakan sebagai sarana untuk mengekspresikan desain arsitektur. Ada banyak contoh penggunaan simetri dalam arsitektur, salah satunya adalah Opera dan Teater Balet Novosibirsk yang indah (lihat Gambar 19). Dan bahkan di sini, di kota Kupino, terdapat sebuah bangunan yang memiliki simetri - gedung Administrasi Distrik Kupinsky (lihat Gambar 20).