Mi az a szimmetriavonal. Hogyan vált a szimmetriából a szépség gondolata
A szimmetriák lehetnek pontosak vagy közelítőek.
Szimmetria a geometriában
A geometriai szimmetria sok ember számára a szimmetria legismertebb típusa. Egy geometriai objektumot akkor mondunk szimmetrikusnak, ha geometriai átalakítás után megőrzi eredeti tulajdonságainak egy részét. Például a középpontja körül elforgatott kör alakja és mérete megegyezik az eredeti körrel. Ezért a kört a forgás szempontjából szimmetrikusnak nevezik (tengelyirányú szimmetriája van). A geometriai objektumok lehetséges szimmetriái attól függnek, hogy milyen geometriai transzformációk halmaza áll rendelkezésre, és hogy az objektum mely tulajdonságainak kell változatlannak maradniuk a transzformáció után.
A geometriai szimmetriák típusai:
Tükör szimmetria
A fizikában egy forgáscsoport alatti invarianciát ún a tér izotrópiája(a térben minden irány egyenlő), és a fizikai törvények, különösen a mozgásegyenletek invarianciájában fejeződik ki a forgások tekintetében. Noether tétele ezt az invarianciát egy konzervált mennyiség (a mozgás integrálja) – a szögimpulzus – jelenlétével kapcsolja össze.
Szimmetria egy pontról
Csúszó szimmetria
Szimmetriák a fizikában
| Szimmetria a fizikában | ||
|---|---|---|
| Átalakítás | Megfelelő változatlanság |
Megfelelő törvény Megőrzés |
| ↕ Időközvetítések | Egyöntetűség idő |
...energia |
| ⊠ , , és -szimmetriák | Izotrópia idő |
...egyenletesség |
| ↔ Műsorszórási tér | Egyöntetűség hely |
...impulzus |
| ↺ A tér forgása | Izotrópia hely |
...a pillanatban impulzus |
| ⇆ Lorentz csoport (növeli) | Relativitás Lorentz-kovariancia |
...mozgások a tömeg közepe |
| ~ Mérő átalakítás | Mérő invariancia | ...díj |
Az elméleti fizikában egy fizikai rendszer viselkedését bizonyos egyenletek írják le. Ha ezeknek az egyenleteknek van szimmetriája, akkor gyakran lehetséges a megoldás egyszerűsítése kereséssel tartósított mennyiségeket (a mozgás integráljai). Így már a klasszikus mechanikában megfogalmazódik a Noether-tétel, amely a folytonos szimmetria minden típusához konzervált mennyiséget rendel. Ebből például az következik, hogy egy test mozgásegyenleteinek időbeli változatlansága az energiamegmaradás törvényéhez vezet; változatlanság a térbeli eltolódások tekintetében - a lendület megmaradásának törvényéhez; invariancia forgások alatt - a szögimpulzus megmaradásának törvényéhez.
Szuperszimmetria
A lapos négydimenziós téridőben történő átvitel nem változtatja meg a fizikai törvényeket. A térelméletben a transzlációs szimmetria Noether tétele szerint az energia-impulzus tenzor megmaradásának felel meg. Különösen a tisztán időbeli fordítások felelnek meg az energia megmaradás törvényének, a tisztán térbeli eltolódások pedig a lendület megmaradásának törvényének.
Szimmetriák a biológiában
Szimmetria a biológiában- ez egy élő szervezet hasonló (azonos, egyenlő méretű) testrészeinek vagy formáinak szabályos elrendezése, élő szervezetek halmaza a szimmetria középpontjához vagy tengelyéhez képest. A szimmetria típusa nemcsak a test általános felépítését határozza meg, hanem az állat szervrendszereinek fejlesztésének lehetőségét is. Számos többsejtű szervezet testszerkezete a szimmetria bizonyos formáit tükrözi. Ha egy állat teste mentálisan két részre osztható, jobbra és balra, akkor a szimmetria ezen formáját ún. kétoldalú. Ez a fajta szimmetria a fajok túlnyomó többségére jellemző, csakúgy, mint az emberre. Ha egy állat teste mentálisan nem egy, hanem több szimmetriasíkkal egyenlő részekre osztható, akkor az ilyen állatot ún. radiálisan szimmetrikus. Ez a fajta szimmetria sokkal kevésbé gyakori.
Aszimmetria- a szimmetria hiánya. Néha ezt a kifejezést olyan organizmusok leírására használják, amelyeknek elsősorban nincs szimmetriája, ellentétben asszimetria- másodlagos szimmetriavesztés vagy egyes elemei.
A szimmetria és az aszimmetria fogalma inverz. Minél szimmetrikusabb egy szervezet, annál kevésbé aszimmetrikus, és fordítva. Néhány élőlény teljesen aszimmetrikus. Ebben az esetben különbséget kell tenni az alak változékonysága (például amőbánál) és a szimmetria hiánya között. A természetben és különösen az élő természetben a szimmetria nem abszolút, és mindig tartalmaz bizonyos fokú aszimmetriát. Például a szimmetrikus növényi levelek nem egyeznek pontosan félbehajtva.
A következő típusú szimmetria található a biológiai objektumokban:
- háromdimenziós térben tetszőleges szögben történő forgások gömbszimmetriája.
- tengelyszimmetria (sugárszimmetria, határozatlan rendű forgásszimmetria) - szimmetria a tetszőleges szögben tetszőleges tengely körüli forgások tekintetében.
- n-edrendű forgásszimmetria - szimmetria a tetszőleges tengely körüli 360°/n szögű elforgatásokhoz képest.
- kétoldali (kétoldali) szimmetria - szimmetria a szimmetriasíkhoz képest (tükörreflexiós szimmetria).
- transzlációs szimmetria - szimmetria a tér bármely irányú eltolódásához képest egy bizonyos távolságon belül (speciális esete állatoknál a metamerizmus (biológia)).
- triaxiális aszimmetria - a szimmetria hiánya mindhárom térbeli tengely mentén.
Radiális szimmetria
Általában két vagy több szimmetriasík halad át a szimmetriatengelyen. Ezek a síkok egy egyenes vonal mentén metszik egymást - a szimmetriatengelyt. Ha az állat egy bizonyos mértékben elfordul e tengely körül, akkor önmagában jelenik meg (egybeesik önmagával). Több ilyen szimmetriatengely (poliaxonszimmetria) vagy egy (monaxonszimmetria) lehet. A poliaxonális szimmetria gyakori a protisták (pl. radiolárisok) körében.
Általános szabály, hogy többsejtű állatokban egyetlen szimmetriatengely két vége (pólusa) nem egyenlő (például a medúzánál a száj az egyik póluson (orális), a harang hegye pedig az ellenkező oldalon található. (aborális) pólus. Az ilyen szimmetriát (a radiális szimmetria egy változatát) az összehasonlító anatómiában egytengelyű-heteropólusnak nevezik. Kétdimenziós vetítésben a radiális szimmetria megőrizhető, ha a szimmetriatengelyt a vetítési síkra merőlegesen irányítjuk. szóval a radiális szimmetria megőrzése a látószögtől függ.
A radiális szimmetria sok cnidáriumra, valamint a legtöbb tüskésbőrűre jellemző. Köztük van az úgynevezett pentaszimmetria, amely öt szimmetriasíkon alapul. A tüskésbőrűeknél a radiális szimmetria másodlagos: lárváik kétoldali szimmetrikusak, felnőtt állatoknál pedig a külső sugárszimmetriát egy madrepore lemez jelenléte töri meg.
A tipikus radiális szimmetria mellett létezik biradiális sugárszimmetria (két szimmetriasík például a ctenoforokban). Ha csak egy szimmetriasík van, akkor a szimmetria kétoldalú (a csoportba tartozó állatoknak van ilyen szimmetriája Bilateria).
A krisztallográfiai pontszimmetria-csoport egy olyan pontszimmetria-csoport, amely egy kristály makroszimmetriáját írja le. Mivel a kristályokban csak 1, 2, 3, 4 és 6 rendű tengelyek (forgás és nem megfelelő forgás) megengedettek, a végtelen számú pontszimmetriacsoportból csak 32 tartozik krisztallográfiai csoportba.
Anizotrópia (az ógörögből. ἄνισος - egyenlőtlen és τρόπος - irány) - a közeg tulajdonságainak (például fizikai: rugalmasság, elektromos vezetőképesség, hővezetőképesség, törésmutató, hang- vagy fénysebesség stb.) különbsége ezen a közegen belül különböző irányokban; szemben a
A geometriában a geometriai alakzatok tulajdonsága. Egy adott síkra (vagy egyenesre) egyazon merőlegesen fekvő és attól azonos távolságra lévő két pontot ehhez a síkhoz (vagy egyeneshez) képest szimmetrikusnak nevezzük. Egy ábra (sík vagy térbeli) szimmetrikus egy egyeneshez (szimmetriatengelyhez) vagy síkhoz (szimmetriasíkhoz) képest, ha a párokban lévő pontjai a megadott tulajdonsággal rendelkeznek. Egy ábra szimmetrikus egy ponthoz (szimmetriaközépponthoz) képest, ha pontjai páronként a szimmetriaközépponton átmenő egyeneseken, egymással szemben lévő oldalakon és attól egyenlő távolságra helyezkednek el.
A szimmetria definíciója
A „szimmetria” (görögül szimmetria - arányosság) fogalma a huszadik század egyik legnagyobb matematikusa szerint. Hermann Weyl (1885-1955) "az az eszme, amelyen keresztül az ember évszázadokon keresztül megpróbálta megérteni és megteremteni a rendet, a szépséget és a tökéletességet." Általában a „szimmetria” szó az arányok harmóniáját jelenti - valami kiegyensúlyozottat, amelyet nem korlátoznak térbeli objektumok (például zenében, költészetben stb.). Másrészt ennek a fogalomnak tisztán geometriai jelentése is van, amely egyenlő alakok vagy részeik természetes ismétlődéséből áll a térben. Ahogy E. S. Fedorov írta (1901), „a szimmetria a geometriai alakzatok azon tulajdonsága, hogy megismételjék a részeiket, vagy pontosabban, a különböző pozíciókban lévő tulajdonságuk, hogy az eredeti helyzethez igazodjanak”.
Ha azonban a szimmetrikus ábrákról beszélünk, meg kell különböztetni az egyenlőség két típusát: egybevágó (görög kongruens - kombinált) és enantiomorf - tükör egyenlő (görög enantios - ellentéte, morphe - forma). Az első esetben olyan figurákat vagy azok részeit értjük, amelyek egyenlősége egyszerű kombinációval - egymást átfedve - feltárható, pl. „saját” mozgás, a bal (L) figura (például a bal csavar, a kéz) balra, a jobb (R) - jobbra átvitele, amelyben egy figura minden pontja egybeesik a figura megfelelő pontjaival. Egyéb. A második esetben az egyenlőség a reflexión keresztül mutatkozik meg – egy mozgás, amely egy tárgyat tükörképévé alakít (balról jobbra és fordítva).
Ebben az esetben a téralak minden pontja páronként szimmetrikussá válik a síkhoz képest. Az ilyen átalakítások (mozgások) eredményeként a tárgy egyesül önmagával, azaz. átalakul önmagává. Más szóval, invariáns ehhez a transzformációhoz képest, ezért szimmetrikus. Maga az objektum szimmetriáját feltáró transzformáció, amelyet szimmetria-transzformációnak nevezünk, változatlanul megőrzi az objektum részeinek metrikus tulajdonságait, így bármely pontpárjuk közötti távolságot. Így az objektumok szimmetrikusan egyenlőnek tekinthetők, ha egyikük minden pontját egyetlen szabály szerint lefordítják egy másik megfelelő pontjaira.
Szimmetria én
Szimmetria (a görög szimmetria szóból - arányosság)
a matematikában, 1) szimmetria (szűk értelemben), vagy tükrözés (tükör) az α síkhoz képest a térben (az egyeneshez viszonyítva) A a síkon), a tér (sík) transzformációja, amelyben minden pont M pontra megy M"úgy, hogy a szegmens MM" merőleges az α síkra (egyenes A) és kettéosztja. α sík (egyenes A) C síknak (tengelynek) nevezzük. A tükrözés egy példa az ortogonális transzformációra (lásd: Ortogonális transzformáció), amely megváltoztatja az orientációt (lásd: Orientáció) (a megfelelő mozgással szemben). Bármilyen ortogonális transzformáció végrehajtható véges számú visszaverődés szekvenciális végrehajtásával - ez a tény jelentős szerepet játszik a geometriai alakzatok szerkezetének vizsgálatában. 2) Szimmetria (tág értelemben) - egy geometriai alak tulajdonsága F, a forma valamilyen szabályszerűségét jellemzi F, változatlansága mozdulatok és reflexiók hatására. Pontosabban az ábra F van S. (szimmetrikus), ha van egy nem azonos ortogonális transzformáció, amely magába veszi ezt az alakzatot. Az összes ortogonális transzformáció halmaza, amely egy ábrát egyesít Fönmagával van egy csoport (lásd a csoportot), amelyet ennek az alaknak a szimmetriacsoportjának neveznek (néha magukat ezeket a transzformációkat szimmetriáknak nevezik). Így egy lapos alak, amely visszaverődés hatására önmagává alakul, szimmetrikus egy egyeneshez - a C tengelyhez. rizs. 1
); itt a szimmetriacsoport két elemből áll. Ha az ábra F a síkon olyan, hogy bármely O ponthoz képest 360°-os szögben elforduljon. n, n- egész szám ≥ 2, konvertálja önmagára, majd F birtokolja S. n-edik sorrend a ponthoz képest RÓL RŐL- C középpont. Ilyen alakok például a szabályos sokszögek ( rizs. 2
); csoport S. itt - ún. ciklikus csoport n-edik sorrend. A körnek van egy végtelen rendű köre (mivel bármely szögben elforgatva önmagával kombinálható). A térrendszerek legegyszerűbb típusai a reflexiók által generált rendszeren kívül a központi rendszer, az axiális rendszer és az átviteli rendszer. a) Az O pontra vonatkozó centrális szimmetria (inverzió) esetén a Ф ábrát három egymásra merőleges síkról történő egymás utáni visszaverődések után önmagával kombináljuk, vagyis az O pont a Ф szimmetrikus pontokat összekötő szakasz közepe. ( rizs. 3
). b) Tengelyszimmetria esetén, vagy S. egyeneshez képest n-edik rendű, az ábra egy bizonyos egyenes (C. tengely) körül 360°-os szögben elforgatva önmagára rakódik/ n. Például egy kockának van egy egyenes vonala AB a C tengely harmadrendű, az egyenes pedig CD- negyedrendű C tengely ( rizs. 3
); Általánosságban elmondható, hogy a szabályos és félszabályos poliéderek számos vonalhoz képest szimmetrikusak. A kristálytengelyek elhelyezkedése, száma és sorrendje fontos szerepet játszik a krisztallográfiában (lásd: A kristályok szimmetriája), c) 360°/2-os szögben egymást követő elforgatással önmagára ráhelyezett alakzat k egyenes vonal körül ABés a rá merőleges síkban való visszaverődés tükörtengelyű C. Közvetlen vonal AB, tükörforgató C tengelynek nevezzük. 2. sorrend k, a sorrend C tengelye k (rizs. 4
). A 2-es rendű tükörtengelyes igazítás egyenértékű a középső igazítással d) Átviteli szimmetria esetén az ábra egy meghatározott egyenes (fordítási tengely) mentén bármely szegmensre történő átvitellel önmagára szuperponálódik. Például egy egyetlen transzlációs tengellyel rendelkező ábrának végtelen számú C síkja van (mivel bármely transzláció megvalósítható a transzlációs tengelyre merőleges síkok két egymást követő visszaverődésével) ( rizs. 5
). A kristályrácsok vizsgálatában fontos szerepet játszanak a több átviteli tengelyű figurák (lásd Kristályrács). A művészetben a kompozíció a harmonikus kompozíció egyik fajtájaként terjedt el (lásd: Kompozíció). Jellemző az építészeti alkotásokra (lévén ha nem is a teljes szerkezet egészére, de annak részeire és részleteire - terv, homlokzat, oszlopok, tőkék stb.) és a díszítő- és iparművészetre. Az S.-t a szegélyek és díszek (lapos figurák, amelyeknél egy vagy több S. transzfer tükröződéssel kombinálva) készítésének fő technikájaként is használják ( rizs. 6
, 7
). A reflexiók és forgatások által generált szimmetria-kombinációk (amelyek a geometriai alakzatok minden szimmetriáját kimerítik), valamint az átvitelek érdekesek, és a természettudomány különböző területein kutatások tárgyát képezik. Például a spirális S., amelyet egy tengely körül bizonyos szögben történő elforgatással hajtanak végre, kiegészítve az ugyanazon tengely mentén történő átvitellel, megfigyelhető a növények leveleinek elrendezésében ( rizs. 8
) (további részletekért lásd a cikket. Szimmetria a biológiában). A molekulák konfigurációjának szimmetriája, amely befolyásolja azok fizikai és kémiai jellemzőit, fontos a vegyületek szerkezetének, tulajdonságainak és különféle reakciókban való viselkedésének elméleti elemzésében (lásd Szimmetria a kémiában). Végül a fizikai tudományokban általában a kristályok és rácsok már jelzett geometriai szerkezete mellett fontos jelentőséget kap az általános értelemben vett szerkezet fogalma (lásd alább). Így a fizikai téridő homogenitásában és izotrópiájában kifejeződő szimmetriája (lásd Relativitáselmélet) lehetővé teszi, hogy megállapítsuk az ún. Természetvédelmi törvények; az általánosított szimmetria jelentős szerepet játszik az atomspektrumok kialakításában és az elemi részecskék osztályozásában (lásd Szimmetria
a fizikában). 3) A szimmetria (általános értelemben) egy matematikai (vagy fizikai) objektum szerkezetének változatlanságát jelenti a transzformációihoz képest. Például a relativitástörvények rendszerét a Lorentz-transzformációkhoz viszonyított változatlanságuk határozza meg (lásd Lorentz-transzformációk). Egy objektum összes szerkezeti kapcsolatát változatlanul hagyó transzformációk halmazának meghatározása, azaz egy csoport meghatározása G automorfizmusai a modern matematika és fizika vezérelveivé váltak, lehetővé téve, hogy mélyen behatoljunk egy tárgy egészének és részeinek belső szerkezetébe. Mivel egy ilyen objektumot valamilyen tér elemei ábrázolhatnak R, amelynek megfelelő jellemző szerkezettel van felruházva, amennyiben egy objektum transzformációi transzformációk R. Hogy. csoportos reprezentációt kapunk G transzformációs csoportban R(vagy csak be R), az S. objektum tanulmányozása pedig a cselekvés tanulmányozására vezethető vissza G tovább Rés megtaláljuk ennek a cselekvésnek az invariánsait. Ugyanígy az S. fizikai törvények, amelyek a vizsgált objektumot szabályozzák, és általában olyan egyenletekkel írják le, amelyeket a tér elemei kielégítenek. R, a cselekvés határozza meg G az ilyen egyenletekhez. Tehát például, ha valamelyik egyenlet lineáris egy lineáris térben Rés invariáns marad valamely csoport transzformációja során G, majd az egyes elemeket g tól től G lineáris transzformációnak felel meg T g lineáris térben R megoldások erre az egyenletre. Levelezés g → T g egy lineáris ábrázolás Gés ennek minden ilyen reprezentációjának ismerete lehetővé teszi a megoldások különféle tulajdonságainak megállapítását, és sok esetben ("szimmetriamegfontolásokból") maguknak a megoldásoknak a megtalálását is. Ez különösen megmagyarázza annak szükségességét, hogy a matematika és a fizika kidolgozza a csoportok lineáris reprezentációinak fejlett elméletét. Konkrét példákért lásd az Art. Szimmetria a fizikában. Megvilágított.: Shubnikov A.V., Szimmetria. (A szimmetria törvényei és alkalmazása a tudományban, a technikában és az iparművészetben), M. - L., 1940; Coxeter G.S.M., Bevezetés a geometriába, ford. angolból, M., 1966; Weil G., Szimmetria, ford. angolból, M., 1968; Wigner E., Tanulmányok a szimmetriáról, ford. angolból, M., 1971. M. I. Voitsekhovsky. Rizs. 3. Egy kocka, amelynek harmadrendű szimmetriatengelye az AB egyenes, negyedrendű szimmetriatengelye a CD, a szimmetriaközéppontja pedig az O pont. A kocka M és M" pontjai szimmetrikusak az AB és CD tengelyekre, valamint az O középpontra nézve. a fizikában. Ha azok a törvények, amelyek egy fizikai rendszert jellemző mennyiségek között összefüggéseket állapítanak meg, vagy amelyek meghatározzák ezeknek a mennyiségeknek az időbeli változását, nem változnak bizonyos műveletek (transzformációk) során, amelyeknek a rendszer alávethető, akkor ezekről a törvényekről azt mondjuk, hogy S. (vagy invariánsak) az adattranszformációk tekintetében. Matematikailag az S. transzformációk egy csoportot alkotnak (lásd csoport). A tapasztalat azt mutatja, hogy a fizikai törvények szimmetrikusak az alábbi legáltalánosabb transzformációk tekintetében. Folyamatos átalakulás 1) A rendszer egészének átvitele (eltolása) a térben. Ez és az azt követő tér-idő transzformációk két értelemben is felfoghatók: aktív transzformációként - egy fizikai rendszer valós átvitele egy kiválasztott referenciarendszerhez képest, vagy passzív transzformációként - egy referenciarendszer párhuzamos átvitele. A térbeli eltolódásokra vonatkozó fizikai törvények szimbóluma a tér összes pontjának egyenértékűségét jelenti, vagyis a térben megkülönböztetett pontok hiányát (a tér homogenitását). 2) A rendszer egészének elforgatása a térben. S. erre az átalakulásra vonatkozó fizikai törvények a tér minden irányának egyenértékűségét jelentik (a tér izotrópiája). 3) Az idő kezdetének megváltoztatása (time shift). S. erre az átalakulásra vonatkozóan azt jelenti, hogy a fizikai törvények nem változnak az idő múlásával. 4) Áttérés egy adott rendszerhez képest állandó (irányban és nagyságrendben) sebességgel mozgó referenciarendszerre. Az S. ehhez a transzformációhoz képest különösen az összes inerciális vonatkoztatási rendszer ekvivalenciáját jelenti (Lásd Inerciális referenciarendszer) (Lásd Relativitáselmélet). 5) Mérőtranszformációk. Azok a törvények, amelyek leírják a részecskék kölcsönhatását bármilyen töltéssel (elektromos töltés (lásd Elektromos töltés), barion töltés (lásd Baryon töltés), lepton töltés (Lásd Lepton töltés), Hipertöltés) szimmetrikusak az 1. típusú mérőtranszformációk tekintetében. Ezek a transzformációk abból állnak, hogy az összes részecske hullámfüggvényét (lásd Hullámfüggvény) egyidejűleg meg lehet szorozni egy tetszőleges fázistényezővel: ahol ψ j- részecskehullám függvény j, z j a részecskének megfelelő töltés elemi töltés egységeiben kifejezve (például elemi elektromos töltés e), β egy tetszőleges numerikus tényező. A→A + grad f, Ahol f(x,nál nél, z, t) - koordináták tetszőleges függvénye ( x,nál nél,z) és az idő ( t), Val vel- fénysebesség. Ahhoz, hogy elektromágneses terek esetén az (1) és (2) transzformációt egyidejűleg végre lehessen hajtani, általánosítani kell az 1. típusú mérőtranszformációkat: meg kell követelni, hogy a kölcsönhatási törvények szimmetrikusak legyenek a transzformációk tekintetében. (1) β értékkel, amely a koordináták és az idő tetszőleges függvénye: Az átalakulások (1) megfelelnek a különféle töltések megmaradási törvényeinek (lásd alább), valamint néhány belső kölcsönhatásnak. Ha a töltések nem csak megmaradó mennyiségek, hanem mezőforrások is (például egy elektromos töltés), akkor a hozzájuk tartozó mezőknek mérőtereknek is kell lenniük (hasonlóan az elektromágneses terekhez), és az (1) transzformációkat általánosítjuk arra az esetre, amikor a A β mennyiségek koordináták és idő tetszőleges függvényei (sőt operátorok (lásd Operátorok), amelyek átalakítják a belső rendszer állapotait). A kölcsönható mezők elméletének ez a megközelítése az erős és gyenge kölcsönhatások különféle mérőelméleteihez vezet (az úgynevezett Yang-Mills elmélet). Diszkrét transzformációk A fent felsorolt rendszertípusokat olyan paraméterek jellemzik, amelyek egy bizonyos értéktartományban folyamatosan változhatnak (például a térbeli eltolódást három elmozdulási paraméter jellemzi az egyes koordinátatengelyek mentén, három elfordulási szöggel történő elforgatás e tengelyek körül stb.). A folytonos rendszerek mellett a diszkrét rendszerek is nagy jelentőséggel bírnak a fizikában, melyek közül a legfontosabbak a következők. Szimmetria és természetvédelmi törvények Noether tétele szerint (Lásd Noether tétele) egy rendszer minden transzformációja, amelyet egy folyamatosan változó paraméter jellemez, egy olyan értéknek felel meg, amely megmarad (idővel nem változik) egy olyan rendszer számára, amelyik rendelkezik ezzel a rendszerrel. A zárt rendszer térbeli eltolódására, egészének forgatására és az idő eredetének megváltoztatására vonatkozó törvények a lendület, a szögimpulzus és az energia megmaradásának törvényeit követik. Az 1. típusú mérőtranszformációkra vonatkozó rendszerből - a töltések megmaradásának törvényei (elektromos, barion stb.), az izotópos invarianciából - az izotópos spin megmaradása (Lásd Izotópos spin) erős kölcsönhatási folyamatokban. Ami a diszkrét rendszereket illeti, a klasszikus mechanikában nem vezetnek semmilyen természetvédelmi törvényhez. Azonban a kvantummechanikában, ahol a rendszer állapotát hullámfüggvény írja le, vagy hullámterekre (például elektromágneses térre), ahol a szuperpozíció elv érvényesül, a diszkrét rendszerek létezése bizonyos esetekben megmaradási törvényeket feltételez. specifikus mennyiségek, amelyeknek nincs analógja a klasszikus mechanikában. Az ilyen mennyiségek megléte a térbeli paritás példájával igazolható (Lásd: Paritás), amelynek megmaradása a térbeli inverzió tekintetében következik a rendszerből. Valóban, legyen ψ 1 a rendszer valamilyen állapotát leíró hullámfüggvény, ψ 2 pedig a rendszer hullámfüggvénye a terekből eredően. inverzió (szimbolikusan: ψ 2 = Rψ 1, ahol R- terek üzemeltetője. inverzió). Ekkor, ha van rendszer a térbeli inverzió szempontjából, akkor ψ 2 a rendszer egyik lehetséges állapota, és a szuperpozíció elve szerint a rendszer lehetséges állapotai a ψ 1 és ψ 2 szuperpozíciók: szimmetrikus kombináció ψ s = ψ 1 + ψ 2 és antiszimmetrikus ψ a = ψ 1 - ψ 2. Az inverziós transzformációk során ψ 2 állapota nem változik (mivel Pψ s = Pψ 1 + Pψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s), és a ψ a állapot előjelet vált ( Pψ a = Pψ 1 - Pψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). Az első esetben azt mondják, hogy a rendszer térbeli paritása pozitív (+1), a másodikban negatív (-1). Ha a rendszer hullámfüggvényét olyan mennyiségekkel adjuk meg, amelyek a térbeli inverzió során nem változnak (például szögimpulzus és energia), akkor a rendszer paritása is nagyon határozott értékű lesz. A rendszer akár pozitív, akár negatív paritású állapotban lesz (és a térbeli inverzióval szimmetrikus erők hatására egyik állapotból a másikba való átmenet teljesen tilos). Kvantummechanikai rendszerek és stacionárius állapotok szimmetriája. Degeneráció A különféle kvantummechanikai rendszereknek megfelelő mennyiségek megmaradása annak a következménye, hogy a nekik megfelelő operátorok ingáznak a rendszer Hamilton-rendszerével, ha az nem függ kifejezetten az időtől (lásd Kvantummechanika, Kommutációs relációk). Ez azt jelenti, hogy ezek a mennyiségek a rendszer energiájával egyidejűleg mérhetők, azaz egy adott energiaértékhez teljesen határozott értékeket vehetnek fel. Ezért belőlük lehet összeállítani az ún. a rendszer állapotát meghatározó mennyiségek teljes halmaza. Így egy rendszer stacionárius állapotait (lásd: Stacionárius állapot) (adott energiájú állapotokat) a vizsgált rendszer stabilitásának megfelelő mennyiségek határozzák meg. A kvantummechanika jelenléte oda vezet, hogy egy kvantummechanikai rendszer különböző mozgásállapotai, amelyeket a kvantummechanika transzformációjával kapunk meg egymástól, ugyanazokkal a fizikai mennyiségekkel rendelkeznek, amelyek ezen átalakulások során nem változnak. Így a rendszerek rendszere, mint szabály, degenerációhoz vezet (lásd Degeneráció). Például egy rendszer energiaértékének egy bizonyos értéke több különböző állapotnak felelhet meg, amelyek a rendszer transzformációi során egymáson keresztül alakulnak át, matematikailag ezek az állapotok jelentik a rendszercsoport irreducibilis reprezentációjának alapját (lásd Csoport ). Ez határozza meg a csoportelméleti módszerek alkalmazásának eredményességét a kvantummechanikában. A rendszer explicit irányításával járó energiaszintek degenerációja mellett (például a rendszer egészének forgását illetően) számos problémában további degeneráció jár az ún. rejtett S. interakció. Ilyen rejtett oszcillátorok léteznek például a Coulomb-kölcsönhatáshoz és az izotróp oszcillátorhoz. Ha egy rendszer, amelynek bármilyen rendszere van, olyan erőtérben van, amely megsérti ezt a rendszert (de elég gyengék ahhoz, hogy kis zavarnak lehessen tekinteni), akkor az eredeti rendszer degenerált energiaszintjei kettéválnak: különböző állapotok, amelyek a rendszer.rendszerek energiája azonos volt, „aszimmetrikus” zavarok hatására eltérő energiaeltolódásra tesznek szert. Azokban az esetekben, amikor a zavaró mezőnek van egy bizonyos értéke, amely az eredeti rendszer értékének részét képezi, az energiaszintek degenerációja nem szűnik meg teljesen: a szintek egy része degenerált marad a „befogadó” kölcsönhatás értékének megfelelően. a zavaró mező. Az energia-degenerált állapotok jelenléte egy rendszerben viszont egy rendszerszintű kölcsönhatás létezését jelzi, és elvileg lehetővé teszi ennek a rendszernek a megtalálását, ha az előre nem ismert. Ez utóbbi körülmény döntő szerepet játszik például az elemi részecskefizikában. A hasonló tömegű és más jellemzőkkel azonos, de eltérő elektromos töltésű részecskecsoportok (ún. izotóp-multitek) létezése lehetővé tette az erős kölcsönhatások izotópos invarianciájának megállapítását, az azonos tulajdonságú részecskék szélesebb csoportokba való kombinálásának lehetőségét. vezetett a felfedezéshez S.U.(3)-C. erős kölcsönhatások és kölcsönhatások, amelyek megsértik ezt a rendszert (lásd Erős kölcsönhatások). Vannak arra utaló jelek, hogy az erős interakciónak még szélesebb C csoportja van. Nagyon termékeny a koncepció az ún. dinamikus rendszer, amely akkor jön létre, ha olyan transzformációkat veszünk figyelembe, amelyek a rendszer különböző energiájú állapotai közötti átmeneteket tartalmaznak. Egy dinamikus rendszercsoport irreducibilis reprezentációja a rendszer stacionárius állapotainak teljes spektruma lesz. A dinamikus rendszer fogalma kiterjeszthető azokra az esetekre is, amikor egy rendszer Hamilton-rendszere kifejezetten az időtől függ, és ebben az esetben a kvantummechanikai rendszer minden olyan állapota, amely nem stacioner (vagyis nem rendelkezik adott energiával) a rendszer dinamikus csoportjának egyetlen irreducibilis reprezentációjává egyesítve. ). Megvilágított.: Wigner E., Tanulmányok a szimmetriáról, ford. angolból, M., 1971. S. S. Gershtein. a kémiában a molekulák geometriai konfigurációjában nyilvánul meg, ami befolyásolja a molekulák specifikus fizikai és kémiai tulajdonságait izolált állapotban, külső térben és más atomokkal, molekulákkal való kölcsönhatásban. A legtöbb egyszerű molekulában vannak az egyensúlyi konfiguráció térbeli szimmetriájának elemei: szimmetriatengelyek, szimmetriasíkok stb. (lásd Szimmetria a matematikában). Így az NH 3 ammónia molekula egy szabályos háromszög alakú piramis szimmetriájával, a CH 4 metán molekula egy tetraéder szimmetriájával rendelkezik. Az összetett molekulákban az egyensúlyi konfiguráció egészének szimmetriája általában hiányzik, de az egyes fragmentumok szimmetriája megközelítőleg megmarad (lokális szimmetria). A molekulák egyensúlyi és nem egyensúlyi konfigurációinak szimmetriájának legteljesebb leírását az ún. dinamikus szimmetriacsoportok - olyan csoportok, amelyek nemcsak a magkonfiguráció térbeli szimmetriájának műveleteit tartalmazzák, hanem az azonos magok különböző konfigurációkban történő átrendezésének műveleteit is. Például az NH 3 molekula dinamikus szimmetriacsoportja magában foglalja ennek a molekulának az inverziós műveletét is: az N atom átmenetét a H atomok által alkotott sík egyik oldaláról a másik oldalára. Egy molekulában a magok egyensúlyi konfigurációjának szimmetriája magában foglalja a molekula különböző állapotainak hullámfüggvényeinek bizonyos szimmetriáját (lásd Hullámfüggvény), ami lehetővé teszi az állapotok szimmetriatípusok szerinti osztályozását. A fény abszorpciójával vagy emissziójával kapcsolatos két állapot közötti átmenet az állapotok szimmetriájának típusától függően megjelenhet a molekulaspektrumban (lásd Molekulaspektrumok), vagy tilos, így az ennek az átmenetnek megfelelő vonal vagy sáv hiányzik a spektrumból. Azok az állapotok szimmetriájának típusai, amelyek között átmenet lehetséges, befolyásolja a vonalak és sávok intenzitását, valamint polarizációjukat. Például homonukleáris kétatomos molekulákban az azonos paritású elektronállapotok közötti átmenetek, amelyek elektronhullámfüggvényei az inverziós művelet során ugyanúgy viselkednek, tilosak és nem jelennek meg a spektrumokban; benzolmolekulákban és hasonló vegyületekben tilos az azonos típusú szimmetriájú, nem degenerált elektronállapotok közötti átmenetek stb.. A szimmetria kiválasztási szabályokat a különböző állapotok közötti átmenetekre kiegészítik az ezen állapotok Spinjéhez kapcsolódó szelekciós szabályok. A paramágneses centrumokkal rendelkező molekulák esetében ezeknek a központoknak a környezetének szimmetriája bizonyos típusú anizotrópiához vezet g-faktor (Lande szorzó), amely az elektron paramágneses rezonancia spektrumának szerkezetét befolyásolja (Lásd Elektron paramágneses rezonancia), míg azokban a molekulákban, amelyek atommagjainak spinje nem nulla, az egyes lokális fragmentumok szimmetriája bizonyos típusú energiahasadáshoz vezet. különböző vetületű állapotok magspin, amely befolyásolja a magmágneses rezonancia spektrumának szerkezetét (Lásd Magmágneses rezonancia). A kvantumkémia hozzávetőleges megközelítéseiben, a molekuláris pályák gondolatát használva, a szimmetria szerinti osztályozás nemcsak a molekula egészének hullámfüggvényére, hanem az egyes pályákra is lehetséges. Ha egy molekula egyensúlyi konfigurációjának van egy szimmetriasíkja, amelyben az atommagok találhatók, akkor ennek a molekulának az összes pályája két osztályba oszlik: szimmetrikus (σ) és antiszimmetrikus (π) a reflexió ezen a síkon történő működése szempontjából. Azok a molekulák, amelyekben a legmagasabb (energiájában) elfoglalt pályák π-pályák, a telítetlen és konjugált vegyületek sajátos osztályait alkotják, amelyek tulajdonságai jellemzőek rájuk. Az egyes molekulatöredékek lokális szimmetriájának és az ezeken a fragmentumokon lokalizált molekulapályák ismerete lehetővé teszi annak megítélését, hogy a kémiai átalakulások során, például fotokémiai reakciók során mely fragmentumok gerjeszthetők könnyebben és változnak erősebben. A szimmetriafogalmak fontosak a komplex vegyületek szerkezetének, tulajdonságainak és különféle reakciókban való viselkedésének elméleti elemzésében. A kristálytérelmélet és a ligandumtérelmélet egy komplex vegyület foglalt és üres pályáinak egymáshoz viszonyított helyzetét állapítja meg a szimmetriájára, a ligandumtér szimmetriájának megváltozásakor az energiaszintek felosztásának természetére és mértékére vonatkozó adatok alapján. Egy komplex szimmetriájának ismerete önmagában nagyon gyakran lehetővé teszi annak tulajdonságainak minőségi megítélését. P. Woodward és R. Hoffman 1965-ben terjesztette elő a kémiai reakciókban a pályaszimmetria megőrzésének elvét, amelyet később kiterjedt kísérleti anyagok is megerősítettek, és nagy hatással volt a preparatív szerves kémia fejlődésére. Ez az elv (a Woodward-Hoffman-szabály) kimondja, hogy a kémiai reakciók egyes elemi aktusai a molekuláris pályák szimmetriájának vagy a pályaszimmetriának megőrzése mellett mennek végbe. Minél jobban megsérül a pályák szimmetriája egy elemi esemény során, annál nehezebb a reakció. A molekulák szimmetriájának figyelembe vétele fontos a kémiai lézerek és molekuláris egyenirányítók létrehozásához használt anyagok keresésénél, kiválasztásánál, szerves szupravezetők modelljeinek megalkotásánál, rákkeltő és farmakológiailag aktív anyagok elemzésénél stb. Megvilágított.: Hochstrasser R., A szimmetria molekuláris vonatkozásai, ford. angolból, M., 1968; Bolotin A. B., Stepanov N. f.. Csoportelmélet és alkalmazásai a molekulák kvantummechanikájában, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Conservation of Orbital Symmetry, ford. angolból, M., 1971. N. F. Sztyepanov. biológiában (bioszimmetria). A harmónia jelenségére az élő természetben a pitagoreusok az ókori Görögországban (Kr. e. V. század) figyeltek fel a harmónia tanának kidolgozása kapcsán. A 19. században Volt néhány munka a növények (O. P. Decandolle és O. Bravo francia tudósok), az állatok (németül E. Haeckel) és a biogén molekulák (francia tudósok - A. Vechan, L. Pasteur és mások) szintézisével. A 20. században A biológiai objektumokat a kristályosodás általános elmélete (Szovjet tudósok Yu. V. Wulf, V. N. Beklemisev, B. K. Weinstein, F. M. Yeger holland fizikai kémikus, J. Bernal vezette angol krisztallográfusok), valamint a jobb- és baloldaliság doktrínája szempontjából vizsgálták. (Szovjet tudósok V. I. Vernadsky, V. V. Alpatov, G. F. Gause és mások; német tudós W. Ludwig). Ezek a munkák vezettek 1961-ben a S. - bioszimmetria - tanulmányozásának egy speciális irányának meghatározásához. A biológiai objektumok szerkezeti S.-ét vizsgálták a legintenzívebben. A biostruktúrák - molekuláris és szupramolekuláris - szerkezeti felépítés szempontjából történő vizsgálata lehetővé teszi a számukra lehetséges szerkezettípusok, ezáltal a lehetséges módosítások számának és típusának előzetes azonosítását, valamint a külső forma és belső szerkezet szigorú leírását. bármely térbeli biológiai objektumról. Ez vezetett a szerkezeti S. fogalmának széles körű használatához a zoológiában, a botanikában és a molekuláris biológiában. A szerkezeti S. elsősorban egyik-másik szabályos ismétlés formájában nyilvánul meg. A szerkezeti felépítés klasszikus elméletében, amelyet I. F. Hessel német tudós, E. S. Fedorov (lásd Fedorov) és mások dolgoztak ki, egy objektum szerkezetének megjelenése a szerkezet elemeinek halmazával írható le, azaz olyan geometriai. olyan elemek (pontok, vonalak, síkok), amelyekhez képest egy objektum azonos részei vannak rendezve (lásd Szimmetria a matematikában). Például a S. phlox virág ( rizs. 1
, c) - a virág közepén áthaladó egy 5. rendű tengely; működése során készült - 5 forgatás (72, 144, 216, 288 és 360°), amelyek mindegyikével a virág egybeesik önmagával. S. pillangó figura ( rizs. 2
, b) - egy sík, amely két részre osztja - balra és jobbra; a síkon keresztül végrehajtott művelet tükörtükrözés, a bal felét jobbra, a jobb felét balra „teszi”, a pillangó figuráját pedig önmagával kombinálja. Faj S. radiolaria Lithocubus geometricus ( rizs. 3
, b), a forgástengelyen és a visszaverődési síkon kívül C középpontot is tartalmaz. Bármilyen egyenes, amelyet a radiolárium belsejében egy ilyen egyetlen ponton keresztül húzunk, az ábra mindkét oldalán és az ábra azonos (megfelelő) pontjaival találkozik. egyenlő távolságok. Az S. központon keresztül végzett műveletek egy pontban reflexiók, amelyek után a radiolaria alakja is kombinálódik önmagával. Az élő természetben (mint az élettelen természetben) a különböző korlátok miatt általában lényegesen kevesebb S. faj található, mint az elméletileg lehetséges. Például az élő természet fejlődésének alsó szakaszában a pontszerkezet minden osztályának képviselői megtalálhatók - egészen a szabályos poliéderek és a golyó szerkezetével jellemezhető szervezetekig (lásd. rizs. 3
). Az evolúció magasabb szakaszaiban azonban a növények és állatok főleg ún. axiális (típus n) és aktinomorf (típus n(m)VAL VEL. (mindkét esetben n 1 és ∞ közötti értékeket vehet fel). Biológiai objektumok axiális S.-vel (lásd. rizs. 1
) csak a C sorrendi tengely jellemzi n. A sactinomorf S. bioobjektumai (lásd. rizs. 2
) egy sorrendi tengely jellemzi nés e tengely mentén metsző síkok m. A vadon élő állatok leggyakoribb fajai az S. spp. n =
1 és 1. m = m, az úgynevezett aszimmetria (Lásd Aszimmetria) és kétoldali, vagy kétoldali, S. Az aszimmetria a legtöbb növényfaj leveleire jellemző, kétoldali S. - bizonyos mértékig az ember, gerincesek testének külső alakjára, és sok gerinctelen. A mozgó szervezetekben az ilyen mozgás nyilvánvalóan összefügg a fel-le, illetve előre és hátra mozgásuk különbségeivel, míg jobbra és balra mozgásuk azonos. A kétoldali S. megsértése elkerülhetetlenül az egyik oldal mozgásának gátlásához és a transzlációs mozgás körkörössé való átalakulásához vezetne. Az 50-70-es években. 20. század Az úgynevezett aszimmetrikus biológiai objektumok ( rizs. 4
). Ez utóbbi legalább két módosításban létezhet - az eredeti és annak tükörképe (antipóda) formájában. Sőt, ezen formák egyikét (mindegy melyik) jobbnak vagy D-nek (a latin dextro szóból), a másikat balnak vagy L-nek (a latin laevo szóból) hívják. A D- és L-bioobjektumok formájának és szerkezetének tanulmányozásakor kidolgozták a disszimmetrizáló tényezők elméletét, amely bizonyítja bármely D- vagy L-objektum két vagy több (legfeljebb végtelen számú) módosításának lehetőségét (lásd még rizs. 5
); egyúttal ez utóbbiak számának és típusának meghatározására szolgáló képleteket is tartalmazta. Ez az elmélet vezetett az ún. biológiai izomerizmus (lásd Izomerizmus) (különböző biológiai objektumok azonos összetételű; tovább rizs. 5
A hárslevél 16 izomerje látható). A biológiai objektumok előfordulásának vizsgálata során kiderült, hogy egyes esetekben a D-formák dominálnak, máshol az L-formák, máshol pedig ugyanolyan gyakran. Bechamp és Pasteur (19. század 40-es évei), illetve a 30-as években. 20. század G. F. Gause szovjet tudós és mások kimutatták, hogy az élőlények sejtjei csak vagy túlnyomórészt L-aminosavakból, L-fehérjékből, D-dezoxiribonukleinsavakból, D-cukrokból, L-alkaloidokból, D- és L-terpénekből stb. épülnek fel. Az élő sejtek egy ilyen alapvető és jellemző tulajdonsága, amelyet Pasteur a protoplazma diszszimmetriájának nevez, a 20. században kialakult módon aktívabb anyagcserét biztosít a sejtnek, és a folyamat során létrejött összetett biológiai és fizikokémiai mechanizmusok tartják fenn. az evolúció. Sov. V. V. Alpatov tudós 1952-ben, 204 edényes növényfajt felhasználva megállapította, hogy a növényfajok 93,2%-a az L-, 1,5%-a - az erek falának spirális megvastagodása D-folyamatú, a fajok 5,3%-a - racém típusra (a D-erek száma megközelítőleg megegyezik az L-erek számával). A D- és L-bioobjektumok vizsgálatakor azt találták, hogy a D- és L-formák közötti egyenlőség számos esetben sérül fiziológiai, biokémiai és egyéb tulajdonságaik eltérései miatt. Az élő természetnek ezt a sajátosságát az élet disszimmetriájának nevezték. Így az L-aminosavak izgalmas hatása a növényi sejtekben a plazma mozgására tízszer és százszor nagyobb, mint a D-formáik azonos hatása. Sok D-aminosavakat tartalmazó antibiotikum (penicillin, gramicidin stb.) baktericidebb, mint az L-aminosavakat tartalmazó formáik. A gyakoribb csavar alakú L-kop cukorrépa 8-44%-kal (fajtától függően) nehezebb és 0,5-1%-kal több cukrot tartalmaz, mint a D-kop.
, (2)
η - Planck-állandó. Az elektromágneses kölcsönhatások 1. és 2. típusú mérőtranszformációi közötti kapcsolat az elektromos töltés kettős szerepéből adódik: egyrészt az elektromos töltés konzervált mennyiség, másrészt kölcsönhatási állandóként működik. az elektromágneses tér összekapcsolása töltött részecskékkel.
Regionális tudományos és gyakorlati konferencia
iskolások "A tudás magasságáig"
„Természetes és matematikai tudományok” szekció
Téma: „A szimmetria a szépség, a harmónia és a tökéletesség szimbóluma”
Készítette: Nuralinova Evgeniya Sergeevna
Városi oktatási intézmény Rozhdestvenskaya középiskola, 8. osztály.
Vezető: Mitina Svetlana Petrovna,
matematika tanár
Elérhetőség: 26-539.
§1. Bevezetés
§2. Mi a szimmetria? Típusai a geometriában
§3. A szimmetria megnyilvánulása az élő és élettelen természetben
4. §. A szimmetriatörvények alkalmazása az ember által
§5. Következtetés
6. §. Irodalom
§7. Alkalmazások
§1. Bevezetés
Amikor a „Szimmetria” témával foglalkoztunk a geometriában, nagyon kevés idő jutott rá, de érdekesnek tartottam ezt a témát, és úgy döntöttem, hogy kutatásra veszem. Szerettem volna többet megtudni erről a kérdésről, mert ezt a kifejezést nem egyszer hallottam már más tantárgyakból és a mindennapi életben. Amikor elkezdtem kutatni, arra lettem figyelmes, hogy a szimmetria nem csak matematikai fogalom, hanem valami gyönyörűségként jelenik meg az élő és élettelen természetben, valamint az emberi alkotásokban. Ezért a következő problémás kérdéseket tettem fel magamnak:
Hogyan nyilvánul meg a szimmetria harmóniája a természetben?
Milyen típusú szimmetriák találhatók a természetben;
Hogyan alkalmazza az ember a szimmetria szépségét alkotásaiban?
Ezért kutatásom témáját „Szimmetria – a szépség, a harmónia és a tökéletesség szimbóluma” neveztem el.
§2. Mi a szimmetria? Típusai a geometriában.
Ó, szimmetria! Énekelem a himnuszt!
A világon mindenhol felismerlek.
Az Eiffel-toronyban vagy, egy kis szúnyogban,
Egy karácsonyfán vagy egy erdei ösvény közelében.
Egy tulipán és egy rózsa is barátságban van veled,
A hóraj pedig a fagy teremtménye!
Mi a szimmetria? S.I. magyarázó szótárában Ozhegov szimmetriáját úgy értelmezik, mint „arányosság, azonosság valaminek egy pont, egyenes vagy sík ellentétes oldalán lévő részeinek elrendezésében”. Ugyanebből a szótárból megtudtam, hogy a harmónia szó jelentése „koherencia, harmónia valaminek a kombinációjában”. Látjuk, hogy a szimmetria és a harmónia összefügg.
Először is megvizsgálom, hogy milyen típusú szimmetria található az iskolai geometria kurzusban, és ez a következő:
Központi (ponthoz viszonyítva)
Axiális (viszonylag egyenes)
Tükör (a síkhoz képest).
Központi szimmetria.
Egy ábrát az O ponthoz képest szimmetrikusnak mondunk, ha az ábra minden pontjához tartozik ehhez az alakhoz egy O pontra szimmetrikus pont is. Az O pontot az ábra szimmetriaközéppontjának nevezzük. Állítólag az ábra központi szimmetriájú is (lásd 1. ábra).
Axiális szimmetria.
Azt mondják, hogy az ábra szimmetrikus egy egyenesre A, ha az ábra minden pontjához van az egyeneshez képest szimmetrikus pont A, szintén ehhez az alakhoz tartozik. Egyenes Aábra szimmetriatengelyének nevezzük. Az ábrának állítólag tengelyirányú szimmetriája is van (lásd a 2. ábrát).
Tükör szimmetria.
A tükörszimmetria (síkhoz viszonyított szimmetria) a tér önmagára való leképezése, amelyben bármely M pont egy olyan M1 pontba kerül, amely szimmetrikus vele ehhez a síkhoz képest (lásd 3. ábra).
Most a szakirodalom megfigyelése és tanulmányozása után szeretném látni, hogy a szimmetria hol találja meg tükröződését. Miért tartunk néhány dolgot szépnek, mást miért nem? Miért kellemesebb szimmetrikus képeket nézni, mint aszimmetrikusakat?
§3. A szimmetria megnyilvánulása az élő és élettelen természetben
A természet szépsége nem jön létre, hanem csak rögzítésre és kifejezésre jut. Tekintsük a szimmetria megnyilvánulását a „globálisról”, nevezetesen a Föld bolygónkról.
Az a tény, hogy a Föld egy labda, már az ókorban ismertté vált a művelt emberek előtt. A Kopernikusz korszaka előtt a legtöbb olvasott ember elméjében a Föld volt a világegyetem középpontja. Ezért a Föld középpontján áthaladó egyeneseket tekintették az Univerzum szimmetriaközéppontjának. Ezért még a Föld modelljének is van szimmetriatengelye (lásd a 4. ábrát).
A virágok között például van forgásszimmetria. Sok virág forgatható úgy, hogy minden szirom felveszi a szomszédja pozícióját, a virág magához igazodik. Az ilyen elforgatás minimális szöge nem azonos a különböző színeknél. Az írisznél 120° (lásd 5. kép), a harangvirágnál – 72° (lásd a 6. ábrát), a nárcisznál – 60° (lásd a 7. ábrát). A növényi száron lévő levelek elrendezésében spirális szimmetria van. A szár mentén csavarszerűen elhelyezkedő levelek úgy tűnik, hogy szétterülnek különböző irányokba, és nem takarják el egymást a fény elől (lásd 8. ábra), bár maguknak a leveleknek is van szimmetriatengelye (lásd 9. ábra). Bármely állat felépítésének általános tervét figyelembe véve általában bizonyos szabályosságokat észlelünk a testrészek vagy szervek elrendezésében, amelyek egy bizonyos tengely körül ismétlődnek, vagy egy bizonyos síkhoz képest ugyanazt a pozíciót foglalják el. Ezt a szabályosságot testszimmetriának nevezzük. A szimmetria jelenségei annyira elterjedtek az állatvilágban, hogy nagyon nehéz olyan csoportot megjelölni, amelyben nem lehet észrevenni a test szimmetriáját. Mind a kis rovarok, mind a nagy állatok szimmetriája van (lásd 10., 11., 12. ábra).
· Az élettelen természet formáinak végtelen sokfélesége között rengeteg olyan tökéletes kép található, amelyek megjelenése mindig felkelti a figyelmünket. A természet szépségét figyelve észrevehető, hogy amikor a tárgyak tükröződnek a tócsákban és tavakban, tükörszimmetria jelenik meg.
Látod? Ez meztelen spekuláció!
Hülye, buta természet, nem törődik semmivel olyan buzgón,
mint az egyensúlyról (lásd 13. ábra).
(Venedikt Erofejev)
A kristályok elhozzák a szimmetria varázsát az élettelen természet világába (lásd 14. ábra). Minden hópehely egy kis fagyott vízkristály. A hópelyhek alakja nagyon változatos lehet, de mindegyiknek van forgásszimmetriája és ezen kívül tükörszimmetriája is (lásd 15. ábra).
Mi az a kristály? Szilárd test, amelynek természetes poliéder alakja van. Só, jég, homok stb. kristályokból állnak. Romeu-Delisle mindenekelőtt a kristályok helyes geometriai alakját hangsúlyozta, amely a lapok közötti szögek állandóságának törvényén alapul. Ezt írta: „Az ásványi birodalom minden testét elkezdték kristályok közé sorolni, amelyhez egy geometriai poliéder alakját találták...” A kristályok helyes alakja két okból adódik. Először is, a kristályok elemi részecskékből állnak - molekulákból, amelyek maguk is megfelelő alakúak. Másodszor, „az ilyen molekuláknak megvan az a figyelemre méltó tulajdonságuk, hogy szimmetrikus sorrendben kapcsolódnak egymáshoz”.
Miért olyan szépek és vonzóak a kristályok? Fizikai és kémiai tulajdonságaikat geometriai szerkezetük határozza meg. A krisztallográfiában (a kristályok tudományában) van még egy „geometriai krisztallográfia” nevű rész is. 1867-ben tüzérségi tábornok, a szentpétervári Mihajlovszkij Akadémia professzora A.V. Gadolin szigorúan matematikailag származtatta a szimmetriaelemek összes kombinációját, amely a kristályos poliédereket jellemzi. Például egy gránát az első, úgynevezett köbös rendszerbe esik, amelynek minden kristálya ugyanazokkal a szimmetriaelemekkel rendelkezik, mint a kocka.
(a konyhasó kristályai például kocka alakúak). Összesen 32 féle ideális kristályforma szimmetria létezik.
Könnyű elképzelni, micsoda zűrzavar uralkodna el a Földön, ha a természetben megtörne a szimmetria!
4. §. A szimmetriatörvények alkalmazása az ember által
Látva a szimmetria megnyilvánulását a természetben, szerettem volna tudni, hogy az emberek alkalmazzák-e ezeket a mintákat alkotásaikban.
A szimmetria szinte mindenhol megtalálható, ha tudod, hogyan kell keresni. Az ókor óta sok népnek volt fogalma a szimmetriáról tág értelemben - mint egyensúlyról és harmóniáról. Az emberi kreativitás minden megnyilvánulásában a szimmetria felé hajlik. Hermann Weyl német matematikus szavaival élve, a szimmetria révén az ember mindig is megpróbálta „rendet, szépséget és tökéletességet felfogni és megteremteni”. G. Weil a szimmetriát úgy értette, mint „bármely tárgy megváltoztathatatlanságát egy bizonyos fajta átalakulás alatt; egy objektum akkor szimmetrikus, ha valamilyen műveletnek vethető alá, amely után ugyanúgy fog kinézni, mint az átalakítás előtt.” G. Weil egy bizonyos fejezetet szentelt a díszítő szimmetriának. A mintákban és az ornamentikában rendet és egy bizonyos szabályrendszernek való alárendeltséget találunk (lásd 16. ábra).
Nem lehet nem látni a szimmetriát a csiszolt drágakövekben. Sok vágó megpróbálja a gyémántoknak tetraéder, kocka, oktaéder vagy ikozaéder alakját adni. Mivel a gránát ugyanazokat az elemeket tartalmazza, mint a kocka, a drágakő ínyencei nagyra értékelik. A gránátból készült művészi tárgyakat az ókori Egyiptom sírjaiban fedezték fel, amelyek a dinasztia előtti időszakból származnak (i.e. két évezred).
A Hermitage kollekciókban kiemelt figyelmet kapnak az ókori szkíták arany ékszerei. Az aranykoszorúk, tiarák, fa és értékes vörös-ibolya gránátokkal díszített művészi alkotások szokatlanul finomak (lásd 17., 18. kép).
A szimmetriatörvények egyik legkézenfekvőbb felhasználása az életben az építészeti struktúrákban. Ezt látjuk leggyakrabban. Az építészetben a szimmetriatengelyeket használják az építészeti tervezés kifejezésére. Számos példa van a szimmetria építészetben való használatára, ezek egyike a gyönyörű Novoszibirszki Opera- és Balettszínház (lásd 19. ábra). És még itt, Kupino városában is van egy szimmetrikus épület - a Kupinszkij kerületi adminisztráció épülete (lásd: 20. ábra).