3 v rôznej miere. Mocninné alebo exponenciálne rovnice
Prejdite na youtube kanál našej webovej stránky, aby ste mali prehľad o všetkých nových video lekciách.
Najprv si pripomeňme základné vzorce mocnin a ich vlastnosti.
Súčin čísla a vyskytuje sa na sebe n-krát, môžeme tento výraz zapísať ako a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Mocninné alebo exponenciálne rovnice– sú to rovnice, v ktorých sú premenné v mocninách (alebo exponentoch) a základom je číslo.
Príklady exponenciálnych rovníc:
V tomto príklade je číslo 6 základ, je vždy na spodku a premenná X stupňa alebo ukazovateľa.
Uveďme viac príkladov exponenciálnych rovníc.
2 x * 5 = 10
16 x - 4 x - 6 = 0
Teraz sa pozrime, ako sa riešia exponenciálne rovnice?
Zoberme si jednoduchú rovnicu:
2 x = 2 3
Tento príklad sa dá vyriešiť aj v hlave. Je možné vidieť, že x=3. Koniec koncov, aby boli ľavá a pravá strana rovnaké, musíte namiesto x zadať číslo 3.
Teraz sa pozrime, ako formalizovať toto rozhodnutie:
2 x = 2 3
x = 3
Aby sme takúto rovnicu vyriešili, odstránili sme rovnaké dôvody(teda dvojky) a zapísal čo ostalo, to sú stupne. Dostali sme odpoveď, ktorú sme hľadali.
Teraz si zhrňme naše rozhodnutie.
Algoritmus na riešenie exponenciálnej rovnice:
1. Treba skontrolovať rovnakýči má rovnica základy vpravo a vľavo. Ak dôvody nie sú rovnaké, hľadáme možnosti riešenia tohto príkladu.
2. Keď sa základy stanú rovnakými, rovnať stupňa a vyriešiť výslednú novú rovnicu.
Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov:
Začnime niečím jednoduchým.
Základy na ľavej a pravej strane sa rovnajú číslu 2, čo znamená, že môžeme základňu zahodiť a prirovnať ich stupne.
x+2=4 Získame najjednoduchšiu rovnicu.
x = 4 – 2
x=2
Odpoveď: x=2
V nasledujúcom príklade môžete vidieť, že základy sú rôzne: 3 a 9.
3 3x - 9x+8 = 0
Najprv presuňte deviatku na pravú stranu a získame:
Teraz musíte urobiť rovnaké základy. Vieme, že 9=3 2. Použime mocninový vzorec (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Dostaneme 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Teraz je jasné, že na ľavej a pravej strane sú základy rovnaké a rovnajú sa trom, čo znamená, že ich môžeme zahodiť a priradiť stupne.
3x=2x+16 dostaneme najjednoduchšiu rovnicu
3x - 2x=16
x=16
Odpoveď: x=16.
Pozrime sa na nasledujúci príklad:
2 2x+4 - 104 x = 2 4
Najprv sa pozrieme na základy, základy dva a štyri. A potrebujeme, aby boli rovnaké. Štvoricu transformujeme pomocou vzorca (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
A tiež používame jeden vzorec a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Pridajte do rovnice:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Trápia nás však iné čísla 10 a 24. Čo s nimi? Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť, že na ľavej strane sa opakuje 2 2x, tu je odpoveď - môžeme dať 2 2x zo zátvoriek:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Vypočítajme výraz v zátvorkách:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Celú rovnicu vydelíme 6:
Predstavme si 4=2 2:
2 2x = 2 2 základy sú rovnaké, zahodíme ich a zrovnáme stupne.
2x = 2 je najjednoduchšia rovnica. Vydelíme 2 a dostaneme
x = 1
Odpoveď: x = 1.
Poďme vyriešiť rovnicu:
9 x – 12 x 3 x +27 = 0
Poďme previesť:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dostaneme rovnicu:
3 2x - 12 3x +27 = 0
Naše základy sú rovnaké, rovné 3. V tomto príklade môžete vidieť, že prvé tri majú stupeň dvakrát (2x) ako druhé (len x). V tomto prípade môžete vyriešiť náhradná metóda. Číslo nahradíme najmenším stupňom:
Potom 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Všetky x mocniny v rovnici nahradíme t:
t2 - 12t+27 = 0
Dostaneme kvadratickú rovnicu. Riešením cez diskriminant dostaneme:
D = 144-108 = 36
ti = 9
t2 = 3
Návrat k premennej X.
Vezmite t 1:
ti = 9 = 3 x
teda
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého z t 2:
t2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpoveď: x 1 = 2; x 2 = 1.
Na stránke sa môžete v sekcii POMOC ROZHODNÚŤ opýtať na akékoľvek otázky, určite vám odpovieme.
Pridajte sa do skupiny
Vzorce stupňov používa sa v procese znižovania a zjednodušovania zložitých výrazov, pri riešení rovníc a nerovníc.
číslo c je n-tá mocnina čísla a Kedy:
Operácie so stupňami.
1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele pripočítajú:
a m·a n = a m + n .
2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú:
3. Stupeň súčinu 2 alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:
(a/b) n = an/bn.
5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:
(a m) n = a m n.
Každý vzorec vyššie platí v smere zľava doprava a naopak.
Napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operácie s koreňmi.
1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:
2. Odmocnina pomeru sa rovná podielu dividendy a deliteľa koreňov:
3. Pri zvýšení odmocniny na mocninu stačí povýšiť radikálne číslo na túto mocninu:
4. Ak zvýšite stupeň koreňa v n raz a zároveň zabudovať do n mocnina je radikálne číslo, potom sa hodnota odmocniny nezmení:
5. Ak znížite stupeň koreňa v n súčasne extrahujte koreň n-tá mocnina radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:
Titul so záporným exponentom. Mocnina určitého čísla s kladným (celým) exponentom je definovaná ako mocnina vydelená mocninou toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:
Vzorec a m:a n =a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj s m< n.
Napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.
Formulovať a m:a n =a m - n sa stal spravodlivým, keď m=n, vyžaduje sa prítomnosť nulového stupňa.
Titul s nulovým indexom. Mocnina akéhokoľvek čísla, ktoré sa nerovná nule s nulovým exponentom, sa rovná jednej.
Napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo A na stupeň m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m-tá mocnina tohto čísla A.
REFERENČNÝ MATERIÁL O ALGEBRA PRE ROČNÍKY 7-11.
Vážení rodičia! Ak hľadáte učiteľa matematiky pre svoje dieťa, potom je tento inzerát určený práve vám. Ponúkam Skype doučovanie: príprava na Jednotnú štátnu skúšku, Jednotnú štátnu skúšku, doplnenie vedomostných medzier. Vaše výhody sú zrejmé:
1) Vaše dieťa je doma a vy môžete byť o ňom pokojní;
2) Triedy sa konajú v čase, ktorý je pre dieťa vhodný, a môžete ich dokonca navštevovať. Vysvetľujem to jednoducho a jasne na bežnej školskej tabuli.
3) Ďalšie dôležité výhody Skype lekcií si môžete vymyslieť sami!
- Práca n faktory, z ktorých každý je rovnaký A volal n-tá mocnina čísla A a je určený An.
- Akcia, pri ktorej sa nájde súčin niekoľkých rovnakých faktorov, sa nazýva umocňovanie. Číslo, ktoré sa zvýši na mocninu, sa nazýva základ moci. Číslo, ktoré ukazuje, na akú mocninu je základňa umocnená, sa nazýva exponent. takže, An- titul, A- základ titulu, n– exponent.
- a 0 = 1
- a 1 = a
- a m∙ a n= a m + n
- a m: a n= a m — n
- (a m) n= a mn
- (a∙b) n =a n ∙b n
- (a/ b) n= a n/ b n Pri umocnení zlomku na mocninu sa čitateľ aj menovateľ zlomku zvýši na túto mocninu.
- (- n) mocninné (n – prirodzené) číslo A, nerovná sa nule, uvažuje sa inverzné číslo n-tá mocnina čísla A, t.j. . a — n=1/ a n. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
- (a/ b) — n=(b/ a) n
- Vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom platia aj pre stupne s akýmkoľvek exponentom.
Veľmi veľké a veľmi malé čísla sa zvyčajne píšu v štandardnom tvare: a∙10 n, Kde 1≤a<10 A n(prirodzené alebo celé číslo) – je poradie čísla zapísaného v štandardnom tvare.
- Výrazy, ktoré sa skladajú z čísel, premenných a ich mocničiek pomocou akcie násobenia, sa nazývajú jednočleny.
- Tento typ monomiálu, keď je na prvom mieste číselný faktor (koeficient) a za ním premenné so svojimi mocnosťami, sa nazýva štandardný typ monomilu. Súčet exponentov všetkých premenných zahrnutých v jednočlene sa nazýva stupeň jednočlena.
- Monomiály, ktoré majú rovnakú časť písmena, sa nazývajú podobné monomály.
- Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Monomály, ktoré tvoria polynóm, sa nazývajú členy polynómu.
- Binóm je polynóm pozostávajúci z dvoch členov (monómov).
- Trojčlen je polynóm pozostávajúci z troch členov (monómov).
- Stupeň polynómu je najvyšší zo stupňov monomílov, z ktorých sa skladá.
- Polynóm štandardného tvaru neobsahuje podobné členy a je zapísaný v zostupnom poradí stupňov jeho členov.
- Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte vynásobiť každý člen polynómu týmto monočlenom a výsledné produkty sčítať.
- Reprezentácia polynómu ako súčinu dvoch alebo viacerých polynómov sa nazýva faktorizácia polynómu.
- Vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek je najjednoduchší spôsob rozdelenia polynómu.
- Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom iného polynómu a výsledné produkty zapísať ako súčet monočlenov. V prípade potreby pridajte podobné výrazy.
- (a+b)2=a2+2ab+b 2Druhá mocnina súčtu dvoch výrazov sa rovná druhej mocnine prvého výrazu plus dvojnásobku súčinu prvého výrazu a druhého plus druhej mocniny druhého výrazu.
- (a-b)2=a2-2ab+b 2Druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov sa rovná druhej mocnine prvého výrazu mínus dvojnásobok súčinu prvého výrazu a druhého plus druhej mocniny druhého výrazu.
- a 2 -b 2 = (a-b) (a+b) Rozdiel štvorcov dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu medzi samotnými výrazmi a ich súčtom.
- (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 3Kocka súčtu dvoch výrazov sa rovná kocke prvého výrazu plus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu a druhého plus trojnásobku súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého plus kocky druhého výrazu.
- (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3Kocka rozdielu dvoch výrazov sa rovná kocke prvého výrazu mínus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu a druhého plus trojnásobku súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého mínus súčin druhej mocniny druhého výrazu.
- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Súčet kociek dvoch výrazov sa rovná súčinu súčtu samotných výrazov a neúplnej druhej mocniny ich rozdielu.
- a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2) Rozdiel kociek dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu medzi samotnými výrazmi a parciálnou druhou mocninou ich súčtu.
- (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Druhá mocnina súčtu troch výrazov sa rovná súčtu druhých mocnín týchto výrazov plus všetkých možných zdvojených párových súčinov samotných výrazov.
- Odkaz. Dokonalý štvorec súčtu dvoch výrazov: a 2 + 2ab + b 2
Čiastočný štvorec súčtu dvoch výrazov: a 2 + ab + b 2
Funkcia formulára y=x2 nazývaná štvorcová funkcia. Grafom kvadratickej funkcie je parabola s vrcholom v počiatku. Vetvy paraboly y=x² smerované nahor.
Funkcia formulára y=x 3 nazývaná kubická funkcia. Graf kubickej funkcie je kubická parabola prechádzajúca počiatkom. Vetvy kubickej paraboly y=x³ sa nachádzajú v 1. a 3. kvartáli.
Dokonca aj funkcia.
Funkcia f sa volá aj keď spolu s každou hodnotou premennej X -X f(- X)= f(X). Graf párnej funkcie je symetrický okolo ordinátnej osi (Oy). Funkcia y=x 2 je párna.
Neobyčajná funkcia.
Funkcia f sa nazýva nepárne, ak spolu s každou hodnotou premennej X z domény funkčnej hodnoty ( -X) je tiež zahrnutá do rozsahu tejto funkcie a je splnená rovnosť: f(- X)=- f(X) . Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu. Funkcia y=x 3 je nepárna.
Kvadratická rovnica.
Definícia. Rovnica formulára ax 2 + bx + c = 0, Kde a, b A c– akékoľvek reálne čísla a a≠0, x– premenná, nazývaná kvadratická rovnica.
a- prvý koeficient, b- druhý koeficient, c- voľný člen.
Riešenie neúplných kvadratických rovníc.
- ax 2 = 0 – neúplné kvadratická rovnica (b=0, c=0 ). Riešenie: x=0. odpoveď: 0.
- ax 2 + bx = 0 –neúplné kvadratická rovnica (c=0 ). Riešenie: x (ax+b)=0 → x 1 =0 alebo ax+b=0 → x 2 =-b/a. Odpoveď: 0; -b/a.
- ax 2 + c = 0 –neúplné kvadratická rovnica (b=0 ); Riešenie: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
Ak (-c/a)<0 , potom neexistujú žiadne skutočné korene. Ak (-с/а)>0
- ax 2 + bx + c = 0- kvadratická rovnica všeobecný pohľad
Diskriminačný D=b2-4ac.
Ak D>0, potom máme dva skutočné korene:
Ak D = 0, potom máme jeden koreň (alebo dva rovnaké korene) x=-b/(2a).
Ak D<0, то действительных корней нет.
- ax 2 + bx + c = 0 – kvadratická rovnica súkromná forma aj na sekundu
Koeficient b
- ax 2 + bx + c = 0 – kvadratická rovnica poskytnutý súkromný typ : a-b+c=0.
Prvý koreň je vždy rovný mínus jedna a druhý koreň je vždy rovný mínus s, deleno A:
x1 = -1, x2 = -c/a.
- ax 2 + bx + c = 0 – kvadratická rovnica poskytnutý súkromný typ: a+b+c=0.
Prvý koreň sa vždy rovná jednej a druhý koreň sa rovná s, deleno A:
x 1 = 1, x 2 = c/a.
Riešenie daných kvadratických rovníc.
- x 2 +px+q=0 – redukovaná kvadratická rovnica (prvý koeficient sa rovná jednej).
Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +px+q=0 sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu:
ax 2 +bx+c=a (x-x 1) (x-x 2), Kde x 1, x 2- korene kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0.
Funkcia prirodzeného argumentu sa nazýva postupnosť čísel a čísla tvoriace postupnosť sa nazývajú členy postupnosti.
Číselná postupnosť môže byť špecifikovaná týmito spôsobmi: verbálnym, analytickým, opakujúcim sa, grafickým.
Číselná postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu pripočítanému k rovnakému číslu pre danú postupnosť d, sa nazýva aritmetická progresia. číslo d nazývaný rozdiel aritmetickej progresie. V aritmetickej progresii (a n), t.j. v aritmetickej postupnosti s členmi: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ..., a n-1, a n, ... podľa definície: a 2 = a 1 + d; a 3 = a 2 + d; a 4 = a 3 + d; a 5 = a 4 + d; ...; a n = a n-1 + d; …
Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti.
a n = ai + (n-1) d.
Vlastnosti aritmetickej progresie.
- Každý člen aritmetickej progresie, začínajúc od druhého, sa rovná aritmetickému priemeru susedných členov:
a n = (a n-1 + a n + 1): 2;
- Každý člen aritmetickej progresie, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru termínov, ktoré sú od neho rovnako vzdialené:
a n = (a n-k +a n+k):2.
Vzorce pre súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti.
1) Sn = (ai+an)∙n/2; 2) Sn = (2a1 + (n-1) d)∙n/2
Geometrická progresia.
Definícia geometrickej progresie.
Číselná postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom pre danú postupnosť q, sa nazýva geometrická progresia. číslo q nazývaný menovateľ geometrickej progresie. V geometrickej postupnosti (b n), teda v geometrickej postupnosti b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ..., b n, ... podľa definície: b 2 = b 1 ∙q; b3=b2∙q; b4=b3∙q; ... ; b n = b n -1 ∙q.
Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti.
bn =b1∙qn-1.
Vlastnosti geometrickej progresie.
Vzorec pre súčet prvéhon z hľadiska geometrickej progresie.
Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie.
Nekonečné periodické desatinné miesto sa rovná bežnému zlomku, v čitateli ktorého je rozdiel medzi celým číslom za desatinnou čiarkou a číslom za desatinnou čiarkou pred bodkou zlomku a menovateľ pozostáva z „deviatky“ a „núl“, pričom je toľko „ deviatky“, koľko je číslic v období, a toľko „núl“, koľko je číslic za desatinnou čiarkou pred zlomkovou periódou. Príklad:
Sínus, kosínus, tangens a kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka.
(α+β=90°)
Máme: sinβ=cosα; cosp=sina; tgp=ctga; ctgp=tgα. Pretože β=90°-α, potom
sin(90°-a)=cosa; cos (90°-a)=sina;
tg(90°-a)=ctga; ctg (90°-a) = tga.
Kofunkcie uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú do 90°, sú rovnaké.
Sčítacie vzorce.
9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;
10) sin (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;
11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;
12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;
Vzorce pre dvojité a trojité argumenty.
17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2a=cos2a-sin2a;
19) 1+cos2a=2cos2a; 20) 1-cos2α=2sin2α
21) sin3α=3sinα-4sin 3α; 22) cos3a=4cos3a-3cosa;
Vzorce na prepočet sumy (rozdielu) na súčin.
Vzorce na prepočet súčinu na súčet (rozdiel).
Polovičné argumenty.
Sínus a kosínus ľubovoľného uhla.
Párnosť (nepárnosť) goniometrických funkcií.
Z goniometrických funkcií je párna len jedna: y=cosx, ostatné tri sú nepárne, teda cos (-α)=cosα;
sin (-a)=-sina; tg(-a)=-tga; ctg (-α) = -ctgα.
Znaky goniometrických funkcií podľa súradnicových štvrtín.
Hodnoty goniometrických funkcií niektorých uhlov.
radiány.
1) 1 radián je hodnota stredového uhla na základe oblúka, ktorého dĺžka sa rovná polomeru danej kružnice. 1 rad≈57°.
2) Prevod miery uhla na mieru radiánu.
3) Prevod miery radiánového uhla na mieru stupňa.
Redukčné vzorce.
Mnemotechnické pravidlo:
1. Pred redukovanú funkciu umiestnite redukovateľné znamienko.
2. Ak je argument π/2 (90°) zapísaný nepárny počet krát, potom sa funkcia zmení na kofunkciu.
Inverzné goniometrické funkcie.
Arkussínus čísla (arcsin a) je uhol z intervalu [-π/2; π/2 ], ktorého sínus sa rovná a.
arcsin(- a)=- arcsina.
Arkosínus čísla (arccos a) je uhol z intervalu, ktorého kosínus sa rovná a.
arccos(-a)=π – arccosa.
Arkustangens čísla (arctg a) je uhol z intervalu (-π/2; π/2), ktorého dotyčnica sa rovná a.
arctg(- a)=- arctga.
Arkotangens čísla a (arcctg a) je uhol z intervalu (0; π), ktorého kotangens sa rovná a.
arcctg(-a)=π – arcctg a.
Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc.
Všeobecné vzorce.
1)
hriech t=a, 0 2)
sin t = - a, 0 3)
cos t=a, 0 4)
cos t = -a, 0 5)
tg t =a, a>0, potom t=arctg a + πn, nϵZ; 6)
tg t =-a, a>0, potom t= - arctg a + πn, nϵZ; 7)
ctg t=a, a>0, potom t=arcctg a + πn, nϵZ; 8)
ctg t= -a, a>0, potom t=π – arcctg a + πn, nϵZ. Osobitné vzorce. 1)
sin t = 0, potom t = πn, nϵZ; 2)
sin t=1, potom t= π/2 +2πn, nϵZ; 3)
sin t= -1, potom t= — π/2 +2πn, nϵZ; 4)
cos t=0, potom t= π/2+ πn, nϵZ; 5)
cos t=1, potom t=2πn, nϵZ; 6)
cos t=1, potom t=π +2πn, nϵZ; 7)
tg t = 0, potom t = πn, nϵZ; 8)
detská postieľka t=0, potom t = π/2+πn, nϵZ. Riešenie jednoduchých goniometrických nerovností.
Vážení hostia mojej stránky, všetci základné matematické vzorce 7-11 môžete ho získať (úplne zadarmo) kliknutím na odkaz.