다양한 방법을 사용하여 방정식 시스템을 해결합니다. 방정식 시스템을 풀기 위한 기본 방법

이 기사의 자료는 방정식 시스템을 처음 접하기 위한 것입니다. 여기에서는 방정식 시스템의 정의와 그 해를 소개하고 가장 일반적인 유형의 방정식 시스템도 고려합니다. 평소와 같이 설명적인 예를 제시하겠습니다.

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방정식 시스템이란 무엇입니까?

우리는 방정식 시스템의 정의에 점진적으로 접근할 것입니다. 첫째, 두 가지 점을 나타내는 것이 편리하다고 가정 해 보겠습니다. 첫째, 녹음 유형, 둘째, 이 녹음에 담긴 의미입니다. 차례로 살펴보고 방정식 시스템의 정의에 대한 추론을 일반화해 보겠습니다.

우리 앞에 몇 개가 있게 해주세요. 예를 들어, 2 x+y=−3 및 x=5라는 두 방정식을 생각해 보겠습니다. 아래에 하나씩 쓰고 왼쪽에 중괄호를 사용하여 결합해 보겠습니다.

한 열에 배열되고 왼쪽에 중괄호로 통합된 여러 방정식인 이 유형의 레코드는 방정식 시스템의 레코드입니다.

그러한 항목은 무엇을 의미합니까? 그들은 각 방정식의 해인 시스템의 방정식에 대한 모든 해의 집합을 정의합니다.

다른 말로 표현해도 나쁠 것 없습니다. 첫 번째 방정식의 일부 해가 시스템의 다른 모든 방정식의 해라고 가정해 보겠습니다. 따라서 시스템 기록은 단지 이를 의미합니다.

이제 우리는 방정식 시스템의 정의를 적절하게 받아들일 준비가 되었습니다.

정의.

방정식 시스템호출 레코드는 서로 아래에 위치한 방정식으로, 왼쪽에 중괄호로 통합되어 있으며, 이는 시스템의 각 방정식에 대한 해이기도 한 방정식에 대한 모든 해의 집합을 나타냅니다.

유사한 정의가 교과서에 나와 있지만 일반적인 경우가 아니라 두 개의 변수가 있는 두 개의 유리 방정식에 대해 나와 있습니다.

주요 유형

무한한 수의 다양한 방정식이 있다는 것이 분명합니다. 당연히 이를 사용하여 컴파일된 방정식 시스템도 무한히 많습니다. 따라서 방정식 시스템을 연구하고 작업하는 편의를 위해 유사한 특성에 따라 그룹으로 나눈 다음 개별 유형의 방정식 시스템을 고려하는 것이 좋습니다.

첫 번째 분할은 시스템에 포함된 방정식의 수로 나타납니다. 두 개의 방정식이 있으면 두 개의 방정식 시스템이 있다고 말할 수 있고, 세 개가 있으면 세 개의 방정식 시스템이 있다고 말할 수 있습니다. 이 경우 본질적으로 시스템이 아니라 방정식 자체를 다루고 있기 때문에 하나의 방정식 시스템에 대해 이야기하는 것이 의미가 없다는 것이 분명합니다.

다음 나눗셈은 시스템의 방정식을 작성하는 데 관련된 변수의 수를 기반으로 합니다. 변수가 하나 있으면 변수가 하나인 방정식 시스템(하나의 미지수가 있음)을 다루고, 변수가 두 개 있으면 변수가 두 개(미지수가 두 개임)가 있는 방정식 시스템을 처리합니다. 예를 들어, 는 두 변수 x와 y를 갖는 방정식 시스템입니다.

이는 기록에 관련된 모든 다양한 변수의 수를 나타냅니다. 각 방정식의 기록에 한 번에 모두 포함될 필요는 없습니다. 최소한 하나의 방정식에 존재하면 충분합니다. 예: 는 세 개의 변수 x, y 및 z를 갖는 방정식 시스템입니다. 첫 번째 방정식에는 변수 x가 명시적으로 존재하고 y와 z는 암시적이며(이 변수는 0이라고 가정할 수 있음) 두 번째 방정식에는 x와 z가 있지만 변수 y는 명시적으로 제시되지 않습니다. 즉, 첫 번째 방정식은 다음과 같이 볼 수 있습니다. , 두 번째는 x+0·y−3·z=0 입니다.

방정식 시스템이 다른 세 번째 점은 방정식 자체의 유형입니다.

학교에서 방정식 시스템에 대한 연구는 다음과 같이 시작됩니다. 두 변수의 두 선형 방정식 시스템. 즉, 이러한 시스템은 두 개의 선형 방정식을 구성합니다. 다음은 몇 가지 예입니다. 그리고 . 그들은 방정식 시스템 작업의 기본을 배웁니다.

더 복잡한 문제를 풀 때 세 개의 미지수가 있는 세 개의 선형 방정식 시스템을 접할 수도 있습니다.

또한 9학년에서는 비선형 방정식이 두 변수가 있는 두 방정식 시스템에 추가됩니다. 대부분은 2차 전체 방정식이며 덜 자주-더 높은 차수입니다. 이러한 시스템을 비선형 방정식 시스템이라고 합니다. 필요한 경우 방정식과 미지수의 수가 지정됩니다. 이러한 비선형 방정식 시스템의 예를 보여드리겠습니다. 그리고 .

그리고 시스템에는 예를 들어 . 이는 일반적으로 어떤 방정식을 지정하지 않고 단순히 방정식 시스템이라고 합니다. 여기에서는 대부분의 경우 방정식 시스템을 간단히 "방정식 시스템"이라고 부르며 필요한 경우에만 설명이 추가된다는 점에 주목할 가치가 있습니다.

고등학교에서는 자료를 연구하면서 비합리적, 삼각법, 로그 및 지수 방정식이 시스템에 침투합니다. , , .

1학년 대학 커리큘럼을 더 자세히 살펴보면 선형 대수 방정식(SLAE) 시스템, 즉 왼쪽에 1차 다항식이 포함된 방정식의 연구와 해법에 중점을 두고 있습니다. 오른쪽에는 특정 숫자가 포함되어 있습니다. 그러나 학교와 달리 더 이상 두 개의 변수가 있는 두 개의 선형 방정식을 사용하지 않고 임의의 수의 변수가 있는 임의의 수의 방정식을 사용하며 이는 종종 방정식 수와 일치하지 않습니다.

연립방정식의 해는 무엇입니까?

"방정식 시스템의 해"라는 용어는 방정식 시스템을 직접적으로 의미합니다. 학교에서는 두 개의 변수를 사용하여 방정식 시스템을 푸는 것에 대한 정의가 제공됩니다. :

정의.

두 변수를 사용하여 연립방정식 풀기시스템의 각 방정식을 올바른 방정식으로 바꾸는 이러한 변수의 값 쌍, 즉 시스템의 각 방정식에 대한 해를 호출합니다.

예를 들어, 한 쌍의 변수 값 x=5, y=2((5, 2)로 쓸 수 있음)는 정의에 따라 방정식 시스템에 대한 해입니다. 왜냐하면 시스템의 방정식은 x= 5, y=2가 이에 대입되어 각각 올바른 수치 동등성 5+2=7 및 5−2=3으로 변합니다. 그러나 x=3, y=0 값 쌍은 이 시스템의 솔루션이 아닙니다. 왜냐하면 이 값을 방정식에 대입하면 첫 번째 값이 잘못된 평등 3+0=7로 바뀌기 때문입니다.

변수가 1개인 시스템뿐만 아니라 3개, 4개 등의 시스템에 대해서도 유사한 정의를 공식화할 수 있습니다. 변수.

정의.

변수가 하나인 연립방정식 풀기시스템의 모든 방정식의 근본이 되는 변수의 값이 있을 것입니다. 즉, 모든 방정식을 올바른 수치 평등으로 바꾸는 것입니다.

예를 들어 보겠습니다. 다음 형식의 하나의 변수 t를 갖는 연립방정식을 생각해 보세요. . (−2) 2 =4와 5·(−2+2)=0이 모두 진정한 수치 동등이기 때문에 숫자 −2가 그 해입니다. 그리고 t=1은 시스템에 대한 해가 아닙니다. 이 값을 대체하면 두 개의 잘못된 등식 1 2 =4 및 5·(1+2)=0이 제공되기 때문입니다.

정의.

3, 4 등으로 시스템을 해결합니다. 변수 3, 4 등으로 불린다. 변수의 값은 각각 시스템의 모든 방정식을 진정한 평등으로 바꿉니다.

따라서 정의에 따르면 변수 x=1, y=2, z=0 값의 3배는 시스템에 대한 해입니다. , 2·1=2, 5·2=10, 1+2+0=3은 진정한 수치동등이기 때문입니다. 그리고 (1, 0, 5)는 이 시스템의 해법이 아닙니다. 왜냐하면 이러한 변수 값을 시스템의 방정식에 대입하면 두 번째 변수가 잘못된 평등 5·0=10으로 바뀌고 세 번째도 1+0+5=3입니다.

연립방정식에는 해가 없을 수도 있고, 유한한 수의 해(예: 1, 2, ...)가 있을 수도 있고, 무한히 많은 해가 있을 수도 있습니다. 주제를 더 깊이 파고들면 이 내용을 보게 될 것입니다.

방정식 시스템의 정의와 해당 솔루션을 고려하면 방정식 시스템에 대한 솔루션은 모든 방정식의 솔루션 집합의 교차점이라는 결론을 내릴 수 있습니다.

결론적으로 몇 가지 관련 정의는 다음과 같습니다.

정의.

비관절, 솔루션이 없으면 시스템이 호출됩니다. 관절.

정의.

방정식 시스템은 다음과 같습니다. 불확실한, 무한히 많은 솔루션이 있는 경우 확실한, 유한한 수의 해가 있거나 전혀 없는 경우.

예를 들어 이러한 용어는 교과서에 소개되어 있지만 학교에서는 거의 사용되지 않으며 고등 교육 기관에서는 더 자주 듣습니다.

서지.

1. 대수학:교과서 7학년용. 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 17판. -M .: 교육, 2008. - 240p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. 대수학: 9학년: 교육적. 일반 교육용 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 16판. -M .: 교육, 2009. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. 모르드코비치 A.G.대수학. 7 학년. 2시간 후. 1부. 일반 교육 기관 학생을 위한 교과서 / A. G. Mordkovich. - 17판, 추가. - M .: Mnemosyne, 2013. - 175 p .: 아픈. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. 모르드코비치 A.G.대수학. 9 등급. 2부. 1부. 일반 교육 기관 학생을 위한 교과서 / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13판, 삭제됨. - M .: Mnemosyne, 2011. - 222 p .: 아픈. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. 모르드코비치 A.G.대수학과 수학적 분석의 시작. 11학년. 2부. 1부. 일반 교육 기관 학생을 위한 교과서(프로필 수준) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2판, 삭제되었습니다. - M .: Mnemosyne, 2008. - 287 p .: 아픈. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. 대수학분석의 시작: Proc. 10~11학년용. 일반 교육 기관 / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. 에드. A. N. Kolmogorov. - 14판 - M.: 교육, 2004. - 384 페이지: ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. 쿠로쉬. 고등 대수학 과정.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. 분석 기하학:교과서: 대학용. – 5판. – M.: 과학. Fizmatlit, 1999. – 224p. – (고등 수학과 수리 물리학 과정). – ISBN 5-02-015234 – X (3호)

이전 단락에서 설명한 그래픽 방법보다 더 안정적입니다.

대체방법

우리는 7학년 때 선형 방정식 시스템을 풀기 위해 이 방법을 사용했습니다. 7학년 때 개발된 알고리즘은 두 개의 변수 x와 y를 사용하여 임의의 두 방정식(반드시 선형은 아님)의 시스템을 푸는 데 매우 적합합니다(물론 변수는 중요하지 않은 다른 문자로 지정될 수 있습니다). 실제로 우리는 이전 단락에서 두 자리 숫자의 문제가 방정식 시스템인 수학적 모델로 이어질 때 이 알고리즘을 사용했습니다. 우리는 대체 방법을 사용하여 위의 방정식 시스템을 풀었습니다(§ 4의 예 1 참조).

두 개의 변수 x, y를 사용하여 두 방정식의 시스템을 풀 때 대체 방법을 사용하기 위한 알고리즘입니다.

1. 시스템의 한 방정식에서 y를 x로 표현합니다.
2. y 대신 결과 표현식을 시스템의 다른 방정식으로 대체합니다.
3. x에 대한 결과 방정식을 풉니다.
4. x 대신에 세 번째 단계에서 구한 방정식의 각 근을 첫 번째 단계에서 얻은 y부터 x까지의 식에 대입합니다.
5. 세 번째와 네 번째 단계에서 각각 찾은 값(x; y)의 쌍 형태로 답을 작성합니다.

4) 발견된 y 값을 하나씩 공식 x = 5 - 3에 대입합니다. 그렇다면
5) 주어진 방정식 시스템에 대한 쌍(2; 1)과 해.

답: (2; 1);

대수적 덧셈 방법

대체 방법과 마찬가지로 이 방법은 선형 방정식 시스템을 푸는 데 사용되었던 7학년 대수학 과정에서 익숙합니다. 다음 예를 통해 방법의 본질을 떠올려 보겠습니다.

예시 2.연립방정식 풀기

시스템의 첫 번째 방정식의 모든 항에 3을 곱하고 두 번째 방정식은 변경하지 않고 그대로 두겠습니다.
첫 번째 방정식에서 시스템의 두 번째 방정식을 뺍니다.

원래 시스템의 두 방정식을 대수적으로 더한 결과, 주어진 시스템의 첫 번째 및 두 번째 방정식보다 간단한 방정식이 얻어졌습니다. 이 간단한 방정식으로 우리는 주어진 시스템의 방정식, 예를 들어 두 번째 방정식을 대체할 권리가 있습니다. 그러면 주어진 방정식 시스템은 더 간단한 시스템으로 대체됩니다.

이 시스템은 대체 방법을 사용하여 풀 수 있습니다. 두 번째 방정식에서 y 대신 이 표현식을 시스템의 첫 번째 방정식으로 대체하면 다음을 얻습니다.

발견된 x 값을 공식에 ​​대체하는 것이 남아 있습니다.

x = 2이면

따라서 우리는 시스템에 대한 두 가지 솔루션을 찾았습니다.

새로운 변수를 도입하는 방법

8학년 대수학 과목에서 하나의 변수로 유리방정식을 풀 때 새로운 변수를 도입하는 방법을 소개받았습니다. 방정식 시스템을 해결하는 이 방법의 본질은 동일하지만 기술적 관점에서 볼 때 다음 예에서 논의할 몇 가지 기능이 있습니다.

예시 3.연립방정식 풀기

새로운 변수를 도입해 보겠습니다. 그런 다음 시스템의 첫 번째 방정식을 더 간단한 형식으로 다시 작성할 수 있습니다. 변수 t에 대해 이 방정식을 풀어 보겠습니다.

이 두 값은 모두 조건을 만족하므로 변수 t를 갖는 유리 방정식의 근이 됩니다. 하지만 이는 x = 2y를 찾을 수 있는 위치 또는
따라서 새로운 변수를 도입하는 방법을 사용하여 외관상 상당히 복잡했던 시스템의 첫 번째 방정식을 두 개의 더 간단한 방정식으로 "층화"했습니다.

x = 2y; y-2x.

무엇 향후 계획? 그리고 얻은 두 개의 간단한 방정식 각각은 우리가 아직 기억하지 못한 방정식 x 2 - y 2 = 3을 사용하는 시스템에서 차례로 고려되어야 합니다. 즉, 문제는 두 가지 방정식 시스템을 푸는 것으로 귀결됩니다.

우리는 첫 번째 시스템, 두 번째 시스템에 대한 솔루션을 찾고 결과 값 쌍을 모두 답변에 포함해야 합니다. 첫 번째 연립방정식을 풀어보겠습니다.

특히 여기에서는 모든 것이 준비되어 있으므로 대체 방법을 사용해 보겠습니다. x 대신 표현식 2y를 시스템의 두 번째 방정식으로 대체해 보겠습니다. 우리는 얻는다

x = 2y이므로 각각 x 1 = 2, x 2 = 2를 찾습니다. 따라서 주어진 시스템의 두 가지 해, 즉 (2; 1)과 (-2; -1)이 얻어집니다. 두 번째 연립방정식을 풀어보겠습니다.

대체 방법을 다시 사용해 보겠습니다. 시스템의 두 번째 방정식에 y 대신 2x라는 표현을 대체합니다. 우리는 얻는다

이 방정식에는 근이 없습니다. 이는 연립방정식에 해가 없음을 의미합니다. 따라서 첫 번째 시스템의 해만 답에 포함하면 됩니다.

답: (2; 1); (-2;-1).

두 개의 변수를 갖는 두 방정식의 연립방정식을 풀 때 새로운 변수를 도입하는 방법은 두 가지 버전으로 사용됩니다. 첫 번째 옵션: 하나의 새로운 변수가 도입되어 시스템의 하나의 방정식에만 사용됩니다. 이것이 바로 예제 3에서 일어난 일입니다. 두 번째 옵션: 두 개의 새로운 변수가 도입되어 시스템의 두 방정식에 동시에 사용됩니다. 이는 예제 4의 경우입니다.

예시 4.연립방정식 풀기

두 가지 새로운 변수를 소개하겠습니다.

그렇다면 고려해보자

이를 통해 주어진 시스템을 훨씬 간단한 형식으로 다시 작성할 수 있지만 새 변수 a 및 b와 관련하여:

a = 1이므로 방정식 a + 6 = 2에서 다음을 찾습니다. 1 + 6 = 2; 6=1. 따라서 변수 a와 b에 관해 우리는 하나의 해결책을 얻었습니다.

변수 x와 y로 돌아가서 방정식 시스템을 얻습니다.

이 연립방정식을 풀기 위해 대수적 덧셈 방법을 적용해 보겠습니다.

그 이후로 방정식 2x + y = 3에서 우리는 다음을 찾습니다:
따라서 변수 x와 y에 관해 우리는 하나의 해결책을 얻었습니다.

간단하지만 다소 진지한 이론적 논의로 이 단락을 마무리하겠습니다. 당신은 이미 선형, 2차, 유리, 비합리 등 다양한 방정식을 푸는 경험을 얻었습니다. 방정식을 푸는 주요 아이디어는 한 방정식에서 다른 방정식으로 점진적으로 이동하는 것입니다. 더 간단하지만 주어진 방정식과 동일합니다. 이전 단락에서 우리는 두 개의 변수가 있는 방정식의 등가 개념을 소개했습니다. 이 개념은 방정식 시스템에도 사용됩니다.

정의.

변수 x와 y를 갖는 두 방정식 시스템은 동일한 해를 가지거나 두 시스템 모두 해가 없는 경우 등가라고 합니다.

이 섹션에서 논의한 세 가지 방법(대체, 대수적 추가 및 새 변수 도입)은 모두 등가의 관점에서 절대적으로 정확합니다. 즉, 이러한 방법을 사용하여 한 방정식 시스템을 더 간단하지만 원래 시스템과 동등한 다른 방정식 시스템으로 대체합니다.

방정식 시스템을 풀기 위한 그래픽 방법

우리는 이미 대입법, 대수적 덧셈, 새로운 변수의 도입 등 일반적이고 신뢰할 수 있는 방법으로 연립방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 이제 이전 수업에서 이미 공부한 방법을 기억해 봅시다. 즉, 그래픽 솔루션 방법에 대해 알고 있는 내용을 반복해 보겠습니다.

방정식 시스템을 그래픽으로 해결하는 방법은 주어진 시스템에 포함되고 동일한 좌표 평면에 위치한 각 특정 방정식에 대한 그래프를 구성하는 것뿐만 아니라 이러한 점의 교차점을 찾는 데 필요한 위치를 포함합니다. 그래프. 이 방정식 시스템을 풀려면 이 점(x; y)의 좌표가 필요합니다.

그래픽 방정식 시스템에는 하나의 올바른 해가 있거나 무한한 수의 해가 있거나 전혀 해가 없는 것이 일반적이라는 점을 기억해야 합니다.

이제 각 솔루션을 더 자세히 살펴보겠습니다. 따라서 연립방정식의 그래프인 선이 교차하면 연립방정식은 고유한 해를 가질 수 있습니다. 이 선들이 평행하다면, 그러한 연립방정식에는 전혀 해가 없습니다. 시스템 방정식의 직접 그래프가 일치하면 이러한 시스템을 통해 많은 솔루션을 찾을 수 있습니다.

이제 그래픽 방법을 사용하여 2개의 미지수가 있는 2개의 방정식 시스템을 해결하는 알고리즘을 살펴보겠습니다.

먼저 첫 번째 방정식의 그래프를 작성합니다.
두 번째 단계는 두 번째 방정식과 관련된 그래프를 구성하는 것입니다.
셋째, 그래프의 교차점을 찾아야 합니다.
결과적으로 우리는 방정식 시스템의 해가 될 각 교차점의 좌표를 얻습니다.

예제를 사용하여 이 방법을 더 자세히 살펴보겠습니다. 해결해야 할 방정식 시스템이 제공됩니다.

방정식 풀기

1. 먼저 x2+y2=9 방정식의 그래프를 작성합니다.

그러나 이 방정식 그래프는 원점에 중심이 있는 원이 될 것이며 반경은 3과 같습니다.

2. 다음 단계는 y = x – 3과 같은 방정식의 그래프를 그리는 것입니다.

이 경우 직선을 구성하고 점 (0;-3)과 (3;0)을 찾아야 합니다.

3. 우리가 무엇을 얻었는지 봅시다. 직선이 원의 두 점 A와 B에서 교차하는 것을 볼 수 있습니다.

이제 우리는 이 점들의 좌표를 찾고 있습니다. 좌표 (3;0)은 점 A에 해당하고 좌표 (0;-3)는 점 B에 해당하는 것을 알 수 있습니다.

결과적으로 우리는 무엇을 얻습니까?

선이 원과 교차할 때 얻은 숫자 (3;0)과 (0;−3)은 정확하게 시스템의 두 방정식에 대한 해입니다. 그리고 이것으로부터 이 숫자들은 또한 이 방정식 시스템의 해가 됩니다.

즉, 이 해법의 답은 숫자(3;0)과 (0;−3)입니다.

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선형 대수 방정식(SLAE) 시스템을 푸는 것은 의심할 여지 없이 선형 대수 과정에서 가장 중요한 주제입니다. 수학의 모든 분야에서 발생하는 수많은 문제는 선형 방정식 시스템의 해결로 귀결됩니다. 이러한 요소가 이 기사의 이유를 설명합니다. 기사의 자료는 도움을 받아 다음을 수행할 수 있도록 선택되고 구성되었습니다.

• 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 최적의 방법을 선택하고,
• 선택한 방법의 이론을 연구하고,
• 일반적인 예와 문제에 대한 자세한 솔루션을 고려하여 선형 방정식 시스템을 해결합니다.

기사 자료에 대한 간략한 설명입니다.

먼저 필요한 모든 정의, 개념을 제공하고 표기법을 소개합니다.

다음으로, 방정식의 수가 미지 변수의 수와 동일하고 고유한 해를 갖는 선형 대수 방정식 시스템을 해결하는 방법을 고려할 것입니다. 먼저 Cramer의 방법에 초점을 맞추고, 두 번째로 이러한 연립방정식을 풀기 위한 행렬법을 보여주고, 세 번째로 Gauss 방법(미지 변수를 순차적으로 제거하는 방법)을 분석합니다. 이론을 통합하기 위해 여러 SLAE를 다양한 방식으로 해결할 것입니다.

그런 다음 방정식의 수가 미지 변수의 수와 일치하지 않거나 시스템의 주 행렬이 단수인 일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 푸는 방법으로 넘어갑니다. SLAE의 호환성을 확립할 수 있는 Kronecker-Capelli 정리를 공식화해 보겠습니다. 행렬의 기초 마이너 개념을 사용하여 시스템의 솔루션(호환 가능한 경우)을 분석해 보겠습니다. 또한 가우스 방법을 고려하고 예제에 대한 솔루션을 자세히 설명합니다.

우리는 선형 대수 방정식의 균질 및 비균질 시스템의 일반 솔루션의 구조에 대해 확실히 설명할 것입니다. 기본 솔루션 시스템의 개념을 제시하고 기본 솔루션 시스템의 벡터를 사용하여 SLAE의 일반 솔루션이 어떻게 작성되는지 보여 드리겠습니다. 더 나은 이해를 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

결론적으로 우리는 선형 방정식으로 축소할 수 있는 방정식 시스템과 SLAE가 발생하는 솔루션의 다양한 문제를 고려할 것입니다.

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정의, 개념, 지정.

우리는 다음 형식의 n개의 미지 변수(p는 n과 같을 수 있음)를 갖는 p 선형 대수 방정식 시스템을 고려할 것입니다.

알 수 없는 변수 - 계수(일부 실수 또는 복소수) - 자유 항(실수 또는 복소수).

이러한 형태의 녹음 SLAE를 SLAE라고 합니다. 동등 어구.

안에 행렬 형태이 방정식 시스템을 작성하면 다음과 같은 형식을 갖습니다.
어디 - 시스템의 주요 행렬 - 알 수 없는 변수의 열 행렬 - 자유 항의 열 행렬

자유 항의 행렬 열을 행렬 A에 (n+1)번째 열로 추가하면 소위 다음을 얻습니다. 확장 행렬선형 방정식 시스템. 일반적으로 확장 행렬은 문자 T로 표시되며 자유 용어 열은 나머지 열과 수직선으로 구분됩니다.

선형 대수 방정식 시스템 풀기시스템의 모든 방정식을 항등식으로 바꾸는 알 수 없는 변수의 값 집합이라고 합니다. 알 수 없는 변수의 주어진 값에 대한 행렬 방정식도 항등식이 됩니다.

연립방정식에 적어도 하나의 해가 있는 경우 이를 다음이라고 합니다. 관절.

방정식 시스템에 해가 없으면 이를 호출합니다. 비관절.

SLAE에 고유한 솔루션이 있는 경우 이를 SLAE라고 합니다. 확실한; 솔루션이 두 개 이상인 경우 – 불확실한.

시스템의 모든 방정식의 자유 항이 0인 경우 , 시스템이 호출됩니다. 동종의, 그렇지 않으면 - 이질적인.

선형 대수 방정식의 기본 시스템을 해결합니다.

시스템의 방정식 수가 알 수 없는 변수의 수와 같고 주 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우 이러한 SLAE가 호출됩니다. 초등학교. 이러한 방정식 시스템은 고유한 해를 가지며, 동차 시스템의 경우 모든 미지 변수는 0과 같습니다.

우리는 고등학교 때부터 그러한 SLAE를 연구하기 시작했습니다. 문제를 풀 때 우리는 하나의 방정식을 선택하고, 하나의 미지 변수를 다른 방정식으로 표현하고 이를 나머지 방정식에 대입한 다음, 다음 방정식을 선택하고, 다음 미지 변수를 표현하고 이를 다른 방정식에 대체하는 등의 작업을 수행했습니다. 또는 그들은 추가 방법을 사용했습니다. 즉, 일부 알려지지 않은 변수를 제거하기 위해 두 개 이상의 방정식을 추가했습니다. 이러한 방법은 본질적으로 Gauss 방법을 수정한 것이므로 자세히 설명하지 않겠습니다.

선형 방정식의 기본 시스템을 푸는 주요 방법으로는 Cramer 방법, 행렬 방법 및 Gauss 방법이 있습니다. 그것들을 정리해보자.

Cramer의 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 해결합니다.

선형 대수 방정식 시스템을 풀어야 한다고 가정합니다.

여기서 방정식의 수는 미지 변수의 수와 같고 시스템의 주 행렬의 행렬식은 0과 다릅니다.

시스템의 주요 행렬의 결정 요인이 되고, - 대체에 의해 A로부터 얻은 행렬의 행렬식 첫째, 둘째, ..., n번째열을 자유 멤버 열에 각각:

이 표기법을 사용하면 미지 변수는 다음과 같은 Cramer 방법의 공식을 사용하여 계산됩니다. . 이것이 Cramer의 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템의 해를 구하는 방법입니다.

예.

크레이머의 방법 .

해결책.

시스템의 주요 매트릭스는 다음과 같은 형식을 갖습니다. . 행렬식을 계산해 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조).

시스템의 주 행렬의 행렬식은 0이 아니므로 시스템은 Cramer의 방법으로 찾을 수 있는 고유한 해를 갖습니다.

필요한 행렬식을 구성하고 계산해 봅시다 (행렬 A의 첫 번째 열을 자유 항의 열로 대체하고, 행렬식은 두 번째 열을 자유 항의 열로 대체하고, 행렬 A의 세 번째 열을 자유 항의 열로 대체하여 행렬식을 얻습니다.) :

수식을 사용하여 알려지지 않은 변수 찾기 :

답변:

Cramer 방법의 주요 단점(단점이라고 할 수 있는 경우)은 시스템의 방정식 수가 3개보다 많은 경우 행렬식을 계산하는 것이 복잡하다는 것입니다.

행렬 방법(역행렬 사용)을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템을 해결합니다.

선형 대수 방정식 시스템이 행렬 형식으로 주어지며, 여기서 행렬 A는 n x n 차원을 갖고 행렬식은 0이 아닙니다.

, 행렬 A는 가역행렬이므로, 즉 역행렬이 있습니다. 등식의 양쪽에 왼쪽을 곱하면 알 수 없는 변수의 행렬 열을 찾는 공식을 얻습니다. 이것이 행렬 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템에 대한 솔루션을 얻은 방법입니다.

예.

선형 방정식 시스템 풀기 매트릭스 방법.

해결책.

방정식 시스템을 행렬 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

왜냐하면

그러면 SLAE는 행렬 방법을 사용하여 풀 수 있습니다. 역행렬을 사용하여 이 시스템의 해는 다음과 같이 찾을 수 있습니다. .

행렬 A 요소의 대수적 추가로 얻은 행렬을 사용하여 역행렬을 구성해 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조).

역행렬을 곱하여 알려지지 않은 변수의 행렬을 계산하는 것이 남아 있습니다. 무료 회원의 매트릭스 열에 (필요한 경우 기사 참조):

답변:

또는 다른 표기법으로 x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1입니다.

행렬 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템에 대한 해를 찾을 때 주요 문제는 특히 3차보다 높은 차수의 정사각 행렬의 경우 역행렬을 찾는 것이 복잡하다는 것입니다.

가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푼다.

n개의 알 수 없는 변수가 있는 n개의 선형 방정식 시스템에 대한 해를 찾아야 한다고 가정합니다.
주 행렬의 행렬식은 0과 다릅니다.

가우스 방법의 본질알 수 없는 변수를 순차적으로 제거하는 것으로 구성됩니다. 먼저, 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 x 1을 제외하고, 세 번째부터 시작하여 x 2를 모든 방정식에서 제외하는 식으로, 알 수 없는 변수 x n만 남을 때까지 계속됩니다. 마지막 방정식에서. 미지의 변수를 순차적으로 제거하기 위해 시스템 방정식을 변환하는 과정을 호출합니다. 직접 가우스 방법. 가우시안 방법의 전진 스트로크를 완료한 후 마지막 방정식에서 xn을 찾고, 두 번째 방정식에서 이 값을 사용하여 xn-1을 계산하는 식으로 첫 번째 방정식에서 x1을 찾습니다. 계의 마지막 방정식에서 첫 번째 방정식으로 이동할 때 미지수를 계산하는 과정을 소위 가우스 방법의 반대.

알려지지 않은 변수를 제거하는 알고리즘을 간략하게 설명하겠습니다.

우리는 항상 시스템의 방정식을 재배열함으로써 이를 달성할 수 있기 때문에 이라고 가정합니다. 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 알 수 없는 변수 x 1을 제거해 보겠습니다. 이를 위해 시스템의 두 번째 방정식에 를 곱한 첫 번째 방정식을 세 번째 방정식에 추가하고 첫 번째 방정식에 를 곱한 다음 n번째 방정식에 를 곱한 첫 번째 방정식을 추가합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디서 , 그리고 .

시스템의 첫 번째 방정식에서 x 1을 다른 미지 변수로 표현하고 결과 표현식을 다른 모든 방정식에 대입했다면 동일한 결과에 도달했을 것입니다. 따라서 변수 x 1은 두 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로 비슷한 방식으로 진행하지만 그림에 표시된 결과 시스템의 일부만 사용합니다.

이를 위해 시스템의 세 번째 방정식에 를 곱한 두 번째 방정식을 네 번째 방정식에 추가하고 두 번째 방정식에 를 곱한 다음 n번째 방정식에 두 번째 방정식을 곱한 를 추가합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디서 , 그리고 . 따라서 변수 x 2는 세 번째부터 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로, 알려지지 않은 x 3 제거를 진행하면서 그림에 표시된 시스템 부분과 유사하게 작동합니다.

따라서 시스템이 다음 형식을 취할 때까지 가우스 방법의 직접적인 진행을 계속합니다.

이 순간부터 우리는 가우스 방법의 역방향을 시작합니다. 마지막 방정식에서 xn을 다음과 같이 계산하고, 얻은 xn 값을 사용하여 두 번째 방정식에서 xn-1을 찾는 식으로 첫 번째 방정식에서 x1을 찾습니다. .

예.

선형 방정식 시스템 풀기 가우스 방법.

해결책.

시스템의 두 번째 및 세 번째 방정식에서 미지 변수 x 1을 제외해 보겠습니다. 이를 위해 두 번째 및 세 번째 방정식의 양쪽에 첫 번째 방정식의 해당 부분을 각각 곱한 값을 추가합니다.

이제 두 번째 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 다음을 곱하여 세 번째 방정식에서 x 2를 제거합니다.

이로써 가우스 방법의 전방향 스트로크가 완료되고 역방향 스트로크가 시작됩니다.

결과 방정식 시스템의 마지막 방정식에서 x 3을 찾습니다.

두 번째 방정식으로부터 우리는 를 얻습니다.

첫 번째 방정식에서 나머지 미지의 변수를 찾아 가우스 방법의 역을 완성합니다.

답변:

X 1 = 4, X 2 = 0, X 3 = -1.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 해결합니다.

일반적으로 시스템 p의 방정식 수는 미지 변수 n의 수와 일치하지 않습니다.

이러한 SLAE에는 솔루션이 없거나, 단일 솔루션이 있거나, 무한히 많은 솔루션이 있을 수 있습니다. 이 진술은 주 행렬이 정사각형 및 단수인 방정식 시스템에도 적용됩니다.

크로네커-카펠리 정리.

선형 방정식 시스템의 해를 찾기 전에 호환성을 확립해야 합니다. SLAE가 호환되는 경우와 일관성이 없는 경우에 대한 질문에 대한 대답은 다음과 같습니다. 크로네커-카펠리 정리:
n개의 미지수(p는 n과 동일할 수 있음)가 있는 p 방정식 시스템이 일관성을 유지하려면 시스템의 주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같아야 합니다. 즉, , 순위(A)=순위(T).

일례로 선형 방정식 시스템의 호환성을 결정하기 위해 Kronecker-Capelli 정리를 적용하는 것을 고려해 보겠습니다.

예.

선형 방정식 시스템이 다음을 가지고 있는지 알아보세요. 솔루션.

해결책.

. 미성년자를 경계하는 방법을 활용해보자. 두 번째 순서의 마이너 제로와는 다릅니다. 경계를 이루는 3차 미성년자를 살펴보겠습니다.

3차 경계에 있는 모든 마이너는 0이므로 주 행렬의 순위는 2와 같습니다.

확장된 행렬의 순위는 다음과 같습니다. 미성년자는 3차이므로 3과 같습니다.

제로와는 다릅니다.

따라서, 따라서 Rang(A)는 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 원래 선형 방정식 시스템이 일관성이 없다는 결론을 내릴 수 있습니다.

답변:

시스템에는 해결책이 없습니다.

그래서 우리는 크로네커-카펠리 정리를 사용하여 시스템의 불일치를 확립하는 방법을 배웠습니다.

하지만 호환성이 확립된 경우 SLAE에 대한 솔루션을 찾는 방법은 무엇입니까?

이를 위해서는 행렬의 기저 마이너 개념과 행렬의 순위에 대한 정리가 필요합니다.

0과 다른 행렬 A의 가장 높은 차수의 마이너를 호출합니다. 기초적인.

기초 마이너의 정의에 따르면 그 순서는 행렬의 순위와 동일합니다. 0이 아닌 행렬 A의 경우 여러 개의 기본 마이너가 있을 수 있습니다. 항상 하나의 기본 마이너가 있습니다.

예를 들어, 행렬을 고려해보세요 .

이 행렬의 세 번째 행 요소는 첫 번째 행과 두 번째 행의 해당 요소의 합이므로 이 행렬의 모든 3차 마이너는 0과 같습니다.

다음 2차 미성년자는 0이 아니므로 기본입니다.

미성년자 0과 같기 때문에 기본이 아닙니다.

행렬 순위 정리.

p x n 차 행렬의 순위가 r과 같으면 선택된 기저 마이너를 형성하지 않는 행렬의 모든 행(및 열) 요소는 다음을 형성하는 해당 행(및 열) 요소로 선형적으로 표현됩니다. 기초 마이너.

행렬 순위 정리는 우리에게 무엇을 말해주는가?

Kronecker-Capelli 정리에 따라 시스템의 호환성을 확립한 경우 시스템의 기본 행렬의 기본 마이너(차수는 r과 동일)를 선택하고 다음을 수행하는 모든 방정식을 시스템에서 제외합니다. 선택된 기초 미성년자를 형성하지 않습니다. 이러한 방식으로 얻은 SLAE는 폐기된 방정식이 여전히 중복되기 때문에 원래 방정식과 동일합니다(행렬 순위 정리에 따르면 나머지 방정식의 선형 조합입니다).

결과적으로 시스템의 불필요한 방정식을 버린 후에는 두 가지 경우가 가능합니다.

결과 시스템의 방정식 r의 수가 미지 변수의 수와 같으면 이는 명확해지며 유일한 해는 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법으로 찾을 수 있습니다.

예.

.

해결책.

시스템의 주요 매트릭스 순위 마이너가 2차이므로 2와 같습니다. 제로와는 다릅니다. 확장된 매트릭스 순위 유일한 3차 마이너가 0이기 때문에 는 2와 같습니다.

위에서 고려한 2차 마이너는 0과 다릅니다. 크로네커-카펠리 정리에 기초하여 순위(A)=순위(T)=2이므로 원래 선형 방정식 시스템의 호환성을 주장할 수 있습니다.

기본 미성년자로서 우리는 . 이는 첫 번째 및 두 번째 방정식의 계수로 구성됩니다.


시스템의 세 번째 방정식은 기초 마이너 형성에 참여하지 않으므로 행렬 순위에 대한 정리를 기반으로 하는 시스템에서 이를 제외합니다.


이것이 우리가 선형 대수 방정식의 기본 시스템을 얻은 방법입니다. Cramer의 방법을 사용하여 문제를 해결해 보겠습니다.


답변:

x 1 = 1, x 2 = 2.

결과 SLAE의 방정식 수 r이 알 수 없는 변수 n의 수보다 적으면 방정식의 왼쪽에 기저 마이너를 형성하는 항을 남겨두고 나머지 항을 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다. 반대 부호를 가진 시스템의 방정식.

방정식의 왼쪽에 남아 있는 미지 변수(r개)를 호출합니다. 기본.

오른쪽에 있는 알 수 없는 변수(n – r개 조각이 있음)를 호출합니다. 무료.

이제 우리는 자유 미지 변수가 임의의 값을 취할 수 있는 반면, r개의 주요 미지 변수는 고유한 방식으로 자유 미지 변수를 통해 표현될 것이라고 믿습니다. 그 표현은 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법을 사용하여 결과 SLAE를 풀어서 찾을 수 있습니다.

예를 들어 살펴 보겠습니다.

예.

선형 대수 방정식 시스템 풀기 .

해결책.

시스템의 주요 행렬의 순위를 찾아봅시다 미성년자를 경계하는 방법으로. 1 1 = 1을 1차의 0이 아닌 마이너로 가정해 보겠습니다. 이 마이너와 경계를 이루는 두 번째 순서의 0이 아닌 마이너 검색을 시작해 보겠습니다.


이것이 우리가 두 번째 순서의 0이 아닌 마이너를 찾은 방법입니다. 세 번째 순서의 0이 아닌 경계 미성년자를 검색해 보겠습니다.


따라서 메인 매트릭스의 랭크는 3이다. 확장 행렬의 순위도 3과 같습니다. 즉, 시스템이 일관성이 있습니다.

발견된 0이 아닌 세 번째 차수의 마이너를 기본으로 사용합니다.

명확성을 위해 기본 마이너를 구성하는 요소를 표시합니다.


우리는 시스템 방정식의 왼쪽에 기저 마이너와 관련된 항을 남겨두고 반대 기호가 있는 나머지를 오른쪽으로 옮깁니다.


무료로 알려지지 않은 변수 x 2 및 x 5에 임의의 값을 부여해 보겠습니다. 즉, 다음을 받아들입니다. , 임의의 숫자는 어디에 있습니까? 이 경우 SLAE는 다음과 같은 형식을 취합니다.


Cramer의 방법을 사용하여 선형 대수 방정식의 결과 기본 시스템을 풀어 보겠습니다.


따라서, .

답변에 알 수 없는 무료 변수를 표시하는 것을 잊지 마십시오.

답변:

임의의 숫자는 어디에 있습니까?

요약하다.

일반 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위해 먼저 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 호환성을 결정합니다. 기본 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같지 않으면 시스템이 호환되지 않는다고 결론을 내립니다.

기본 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같으면 기본 마이너를 선택하고 선택된 기본 마이너의 형성에 참여하지 않는 시스템의 방정식을 폐기합니다.

기본 마이너의 순서가 알려지지 않은 변수의 수와 같으면 SLAE는 우리에게 알려진 모든 방법으로 찾을 수 있는 고유한 솔루션을 갖습니다.

기초 미성년자의 차수가 알려지지 않은 변수의 수보다 적다면 시스템 방정식의 왼쪽에 주요 알려지지 않은 변수가 있는 항을 남겨두고 나머지 항을 오른쪽으로 옮기고 임의의 값을 제공합니다. 무료 알려지지 않은 변수. 선형 방정식의 결과 시스템에서 우리는 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법을 사용하여 주요 미지 변수를 찾습니다.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 방법.

가우스 방법은 일관성을 먼저 테스트하지 않고도 모든 종류의 선형 대수 방정식 시스템을 해결하는 데 사용할 수 있습니다. 알 수 없는 변수를 순차적으로 제거하는 과정을 통해 SLAE의 호환성과 비호환성에 대한 결론을 도출할 수 있으며, 솔루션이 존재하면 이를 찾는 것도 가능해집니다.

계산적인 관점에서는 가우스 방법이 더 바람직합니다.

일반 선형 대수 방정식 시스템을 해결하기 위한 가우스 방법 기사에서 자세한 설명과 분석된 예를 참조하세요.

기본 해 시스템의 벡터를 사용하여 동차 및 비동차 선형 대수 시스템에 대한 일반 해를 작성합니다.

이 섹션에서는 무한한 수의 해를 갖는 선형 대수 방정식의 동차 및 비동차 동시 시스템에 대해 설명합니다.

먼저 동종 시스템을 다루겠습니다.

솔루션의 기본 시스템 n개의 미지 변수를 갖는 p 선형 대수 방정식의 동차 시스템은 이 시스템의 (n – r) 선형 독립 해의 모음입니다. 여기서 r은 시스템의 주 행렬의 기저 마이너 차수입니다.

동종 SLAE의 선형 독립 해를 X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) 은 차원 n의 열 행렬로 나타냅니다. 1) 에 의해 이 동종 시스템의 일반 해는 임의의 상수 계수 C 1, C 2, ..., C (n-r)을 갖는 기본 해 시스템 벡터의 선형 조합으로 표시됩니다.

동질적인 선형 대수 방정식 시스템의 일반해(oroslau)라는 용어는 무엇을 의미합니까?

의미는 간단합니다. 공식은 원래 SLAE의 가능한 모든 솔루션을 지정합니다. 즉, 공식을 사용하여 임의의 상수 C 1, C 2, ..., C (n-r) 값 세트를 취합니다. 원래 동종 SLAE의 솔루션 중 하나를 얻습니다.

따라서 기본 솔루션 시스템을 찾으면 이 동종 SLAE의 모든 솔루션을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

동질적인 SLAE에 대한 솔루션의 기본 시스템을 구축하는 과정을 보여드리겠습니다.

우리는 원래 선형 방정식 시스템의 기초 마이너를 선택하고 시스템에서 다른 모든 방정식을 제외하고 자유 미지 변수를 포함하는 모든 항을 반대 부호가 있는 시스템 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다. 자유 미지수 변수에 1,0,0,...,0 값을 부여하고 예를 들어 Cramer 방법을 사용하여 어떤 방식으로든 선형 방정식의 기본 시스템을 풀어서 주요 미지수를 계산해 보겠습니다. 그러면 기본 시스템의 첫 번째 솔루션인 X(1)이 생성됩니다. 무료 미지수에 0,1,0,0,…,0 값을 제공하고 주요 미지수를 계산하면 X(2)를 얻습니다. 등등. 0.0,…,0.1 값을 자유 미지수에 할당하고 주요 미지수를 계산하면 X(n-r)을 얻습니다. 이러한 방식으로 동종 SLAE에 대한 솔루션의 기본 시스템이 구축되고 이에 대한 일반적인 솔루션은 다음과 같은 형식으로 작성될 수 있습니다.

선형 대수 방정식의 불균일 시스템의 경우 일반 해는 다음 형식으로 표시됩니다. 여기서 는 해당 동차 시스템의 일반 해이고 는 원래 불균일 SLAE의 특정 해입니다. 이는 자유 미지수에 값을 제공하여 얻습니다. ​0,0,...,0 및 주요 미지수의 값을 계산합니다.

예를 살펴보겠습니다.

예.

해의 기본 시스템과 선형 대수 방정식의 동차 시스템의 일반 해 찾기 .

해결책.

선형 방정식의 동차 시스템의 기본 행렬의 순위는 항상 확장 행렬의 순위와 같습니다. 마이너 경계법을 이용하여 메인행렬의 랭크를 구해보자. 1차의 0이 아닌 마이너로서 시스템의 주 행렬의 요소 a 1 1 = 9를 사용합니다. 두 번째 차수의 0이 아닌 경계에 있는 마이너를 찾아보겠습니다.

0이 아닌 2차의 마이너가 발견되었습니다. 0이 아닌 것을 찾기 위해 경계를 이루는 3차 미성년자를 살펴보겠습니다.

모든 3차 경계 마이너는 0이므로 기본 및 확장 행렬의 순위는 2와 같습니다. 해 보자 . 명확성을 위해 이를 구성하는 시스템 요소를 살펴보겠습니다.

원본 SLAE의 세 번째 방정식은 기본 마이너 구성에 참여하지 않으므로 제외될 수 있습니다.

주요 미지수를 포함하는 항은 방정식의 우변에 남겨두고 자유 미지수가 있는 항은 우변으로 옮깁니다.

원래의 동차 선형 방정식 시스템에 대한 기본 해 시스템을 구축해 보겠습니다. 이 SLAE의 기본 솔루션 시스템은 두 가지 솔루션으로 구성됩니다. 원래 SLAE에는 4개의 미지 변수가 포함되어 있고 기본 마이너의 차수는 2와 같기 때문입니다. X (1)을 찾기 위해 무료 미지 변수에 x 2 = 1, x 4 = 0 값을 제공한 다음 방정식 시스템에서 주요 미지수를 찾습니다.
.

주제에 대한 강의 및 프레젠테이션: "방정식 시스템. 대체 방법, 추가 방법, 새 변수 도입 방법"

추가 자료
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Atanasyan L.S.의 교과서 시뮬레이터 교과서 시뮬레이터 Pogorelova A.V.

불평등 시스템을 해결하는 방법

여러분, 우리는 방정식 시스템을 연구하고 그래프를 사용하여 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 이제 시스템을 해결하는 다른 방법이 무엇인지 살펴 보겠습니다.
문제를 해결하는 거의 모든 방법은 7학년 때 공부한 방법과 다르지 않습니다. 이제 우리가 배운 방정식에 따라 몇 가지 조정을 해야 합니다.
이 단원에서 설명하는 모든 방법의 핵심은 시스템을 더 간단한 형태와 솔루션을 갖춘 동등한 시스템으로 대체하는 것입니다. 여러분, 동등한 시스템이 무엇인지 기억하십시오.

대체방법

두 개의 변수가 있는 방정식 시스템을 푸는 첫 번째 방법은 우리에게 잘 알려져 있습니다. 이것이 대체 방법입니다. 우리는 선형 방정식을 풀기 위해 이 방법을 사용했습니다. 이제 일반적인 경우에 방정식을 푸는 방법을 살펴 보겠습니다.

결정을 내릴 때 어떻게 진행해야 합니까?
1. 변수 중 하나를 다른 변수로 표현합니다. 방정식에 가장 자주 사용되는 변수는 x와 y입니다. 방정식 중 하나에서 우리는 하나의 변수를 다른 변수로 표현합니다. 팁: 풀기 전에 두 방정식을 주의 깊게 살펴보고 변수를 표현하기 더 쉬운 방정식을 선택하세요.
2. 결과 표현식을 표시된 변수 대신 두 번째 방정식으로 대체합니다.
3. 우리가 구한 방정식을 풀어보세요.
4. 결과 솔루션을 두 번째 방정식으로 대체합니다. 여러 가지 솔루션이 있는 경우 몇 가지 솔루션을 잃지 않도록 순차적으로 대체해야 합니다.
5. 결과적으로, 답으로 적어야 하는 숫자 쌍 $(x;y)$을 받게 됩니다.

예.
대체 방법 $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$을 사용하여 두 개의 변수가 있는 시스템을 풉니다.

해결책.
방정식을 자세히 살펴보겠습니다. 분명히 첫 번째 방정식에서 y를 x로 표현하는 것이 훨씬 간단합니다.
$\begin(케이스)y=5-x, \\xy=6\end(케이스)$.
첫 번째 표현식을 두 번째 방정식 $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$로 대체해 보겠습니다.
두 번째 방정식을 별도로 풀어 보겠습니다.
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
두 번째 방정식 $x_1=2$ 및 $x_2=3$에 대한 두 가지 해를 구했습니다.
두 번째 방정식에 순차적으로 대입합니다.
$x=2$이면 $y=3$입니다. $x=3$이면 $y=2$입니다.
답은 두 쌍의 숫자가 될 것입니다.
답: $(2;3)$ 및 $(3;2)$.

대수적 덧셈 방법

우리는 7학년 때에도 이 방법을 공부했습니다.
방정식의 양쪽에 곱하는 것을 잊지 않고 두 변수의 유리 방정식에 임의의 숫자를 곱할 수 있는 것으로 알려져 있습니다. 방정식 중 하나에 특정 숫자를 곱하여 결과 방정식을 시스템의 두 번째 방정식에 추가할 때 변수 중 하나가 파괴되었습니다. 그런 다음 나머지 변수에 대해 방정식을 풀었습니다.
변수 중 하나를 파괴하는 것이 항상 가능한 것은 아니지만 이 방법은 여전히 ​​작동합니다. 그러나 이를 통해 방정식 중 하나의 형식을 크게 단순화할 수 있습니다.

예.
시스템을 푼다: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

해결책.
첫 번째 방정식에 2를 곱해 보겠습니다.
$\begin(케이스)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(케이스)$.
첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 뺍니다.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
보시다시피 결과 방정식의 형식은 원래 방정식보다 훨씬 간단합니다. 이제 대체 방법을 사용할 수 있습니다.
$\begin(케이스)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(케이스)$.
결과 방정식에서 x를 y로 표현해 보겠습니다.
$\begin(케이스)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(케이스)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(케이스)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(케이스)$.
$\begin(케이스)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(케이스)$.
$\begin(케이스)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(케이스)$.
$\begin(케이스)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(케이스)$.
우리는 $y=-1$ 및 $y=-3$를 얻었습니다.
이 값을 첫 번째 방정식에 순차적으로 대입해 보겠습니다. $(1;-1)$ 및 $(-1;-3)$라는 두 쌍의 숫자를 얻습니다.
답: $(1;-1)$ 및 $(-1;-3)$.

새로운 변수를 도입하는 방법

이 방법도 연구했는데, 다시 한번 살펴보겠습니다.

예.
시스템을 푼다: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

해결책.
대체 $t=\frac(x)(y)$를 소개하겠습니다.
새 변수 $t+\frac(2)(t)=3$를 사용하여 첫 번째 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.
결과 방정식을 풀어 보겠습니다.
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
우리는 $t=2$ 또는 $t=1$를 얻었습니다. 역변화 $t=\frac(x)(y)$를 소개하겠습니다.
$x=2y$ 및 $x=y$를 얻었습니다.

각 표현식에 대해 원래 시스템을 별도로 풀어야 합니다.
$\begin(케이스)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(케이스)$.    $\begin(케이스)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(케이스)$.
$\begin(케이스)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(케이스)$.    $\begin(케이스)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(케이스)$.
$\begin(케이스)x=2y, \\7y^2=1\end(케이스)$.       $\begin(케이스)x=2y, \\y^2=1\end(케이스)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.      $\begin(케이스)x=y, \\y=±1\end(케이스)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.     $\begin(케이스)x=±1, \\y=±1\end(케이스)$.
우리는 네 쌍의 솔루션을 받았습니다.
답: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

예.
시스템을 푼다: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(건수)$.

해결책.
대체 방법을 소개하겠습니다: $z=\frac(2)(x-3y)$ 및 $t=\frac(3)(2x+y)$.
새로운 변수를 사용하여 원래 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.
$\begin(케이스)z+t=2, \\4z-3t=1\end(케이스)$.
대수적 덧셈 방법을 사용해 보겠습니다.
$\begin(케이스)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(케이스)$.
$\begin(케이스)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(케이스)$.
$\begin(케이스)7z=7, \\4z-3t=1\end(케이스)$.
$\begin(케이스)z=1, \\-3t=1-4\end(케이스)$.
$\begin(케이스)z=1, \\t=1\end(케이스)$.
역치환을 도입해 보겠습니다.
$\begin(케이스)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(케이스)$.
$\begin(케이스)x-3y=2, \\2x+y=3\end(케이스)$.
대체 방법을 사용해 보겠습니다.
$\begin(케이스)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(케이스)$.
$\begin(케이스)x=2+3y, \\7y=-1\end(케이스)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(케이스)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(케이스)$.
답: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

독립해를 위한 연립방정식 문제

시스템 해결:
1. $\begin(케이스)2x-2y=6,\\xy =-2\end(케이스)$.
2. $\begin(케이스)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(케이스)$.
3. $\begin(케이스)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(케이스)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ 종료(건수)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.