Koordinat perpotongan dua garis lurus online. Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang


Dalam ruang dua dimensi, dua garis hanya berpotongan di satu titik yang ditentukan oleh koordinat (x,y). Karena kedua garis melalui titik potongnya, koordinat (x,y) harus memenuhi kedua persamaan yang menggambarkan garis tersebut. Dengan beberapa keterampilan tambahan, Anda dapat menemukan titik potong parabola dan kurva kuadrat lainnya.

Tangga

Titik potong dua garis

    Tulis persamaan untuk setiap garis, pisahkan variabel “y” di sisi kiri persamaan. Suku-suku persamaan lainnya harus ditempatkan di sisi kanan persamaan. Mungkin persamaan yang diberikan kepada Anda akan berisi variabel f(x) atau g(x) dan bukan “y”; dalam hal ini, isolasi variabel tersebut. Untuk mengisolasi suatu variabel, lakukan perhitungan matematika yang sesuai pada kedua sisi persamaan.

    • Jika persamaan garis tidak diberikan kepada Anda, berdasarkan informasi yang Anda ketahui.
    • Contoh. Diberikan garis lurus yang dijelaskan oleh persamaan dan y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Untuk mengisolasi “y” pada persamaan kedua, tambahkan angka 12 pada kedua ruas persamaan:

  1. Anda mencari titik potong kedua garis, yaitu titik yang koordinatnya (x, y) memenuhi kedua persamaan. Karena variabel “y” berada di ruas kiri setiap persamaan, ekspresi yang terletak di ruas kanan setiap persamaan dapat disamakan. Tuliskan persamaan baru.

    • Contoh. Karena y = x + 3 (\gaya tampilan y=x+3) Dan y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), maka kita dapat menulis persamaan berikut: .

  2. Temukan nilai variabel "x". Persamaan baru hanya berisi satu variabel, "x". Untuk mencari "x", pisahkan variabel tersebut di ruas kiri persamaan dengan melakukan perhitungan matematika yang sesuai pada kedua ruas persamaan. Anda akan mendapatkan persamaan dalam bentuk x = __ (jika Anda tidak bisa melakukannya, lihat bagian ini).

    • Contoh. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
    • Menambahkan 2 x (\gaya tampilan 2x) ke setiap sisi persamaan:
    • 3 x + 3 = 12 (\gaya tampilan 3x+3=12)
    • Kurangi 3 dari setiap sisi persamaan:
    • 3 x = 9 (\gaya tampilan 3x=9)
    • Bagilah setiap ruas persamaan dengan 3:
    • x = 3 (\gaya tampilan x=3).

  3. Gunakan nilai yang ditemukan dari variabel "x" untuk menghitung nilai variabel "y". Untuk melakukan ini, substitusikan nilai “x” yang ditemukan ke dalam persamaan garis lurus (apa saja).

    • Contoh. x = 3 (\gaya tampilan x=3) Dan y = x + 3 (\gaya tampilan y=x+3)
    • y = 3 + 3 (\gaya tampilan y=3+3)
    • y = 6 (\gaya tampilan y=6)

  4. Periksa jawabannya. Caranya, substitusikan nilai “x” ke dalam persamaan garis yang lain dan carilah nilai “y”. Jika Anda mendapatkan nilai y yang berbeda, periksa apakah perhitungan Anda sudah benar.

    • Contoh: x = 3 (\gaya tampilan x=3) Dan y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
    • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
    • y = 12 − 6 (\gaya tampilan y=12-6)
    • y = 6 (\gaya tampilan y=6)
    • Anda mendapatkan nilai y yang sama, jadi tidak ada kesalahan dalam perhitungan Anda.

  5. Tuliskan koordinat (x,y). Setelah menghitung nilai “x” dan “y”, Anda telah menemukan koordinat titik potong dua garis. Tuliskan koordinat titik potongnya dalam bentuk (x,y).

    • Contoh. x = 3 (\gaya tampilan x=3) Dan y = 6 (\gaya tampilan y=6)
    • Jadi, dua garis lurus berpotongan di suatu titik dengan koordinat (3,6).

  6. Perhitungan dalam kasus khusus. Dalam beberapa kasus, nilai variabel "x" tidak dapat ditemukan. Namun bukan berarti Anda melakukan kesalahan. Kasus khusus terjadi bila salah satu kondisi berikut terpenuhi:

    • Jika dua garis sejajar maka keduanya tidak berpotongan. Dalam hal ini, variabel “x” akan dikurangi begitu saja, dan persamaan Anda akan berubah menjadi persamaan yang tidak berarti (misalnya, 0 = 1 (\gaya tampilan 0=1)). Dalam hal ini, tuliskan dalam jawaban Anda bahwa garis-garis tersebut tidak berpotongan atau tidak ada penyelesaian.
    • Jika kedua persamaan menggambarkan satu garis lurus, maka jumlah titik potongnya tak terhingga. Dalam hal ini, variabel “x” akan hilang begitu saja, dan persamaan Anda akan berubah menjadi persamaan ketat (misalnya, 3 = 3 (\gaya tampilan 3=3)). Dalam hal ini, tuliskan dalam jawaban Anda bahwa kedua garis tersebut bertepatan.

    Masalah dengan fungsi kuadrat

    1. Definisi fungsi kuadrat. Dalam fungsi kuadrat, satu atau lebih variabel mempunyai derajat kedua (tetapi tidak lebih tinggi), misalnya, x 2 (\gaya tampilan x^(2)) atau kamu 2 (\gaya tampilan y^(2)). Grafik fungsi kuadrat adalah kurva yang tidak boleh berpotongan atau berpotongan di satu atau dua titik. Pada bagian ini, kami akan memberi tahu Anda cara mencari titik potong atau titik kurva kuadrat.

    2. Tulis ulang setiap persamaan dengan mengisolasi variabel “y” di sisi kiri persamaan. Suku-suku persamaan lainnya harus ditempatkan di sisi kanan persamaan.

      • Contoh. Temukan titik potong grafiknya x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) Dan
      • Pisahkan variabel "y" di ruas kiri persamaan:
      • Dan y = x + 7 (\gaya tampilan y=x+7) .
      • Dalam contoh ini, Anda diberikan satu fungsi kuadrat dan satu fungsi linier. Ingatlah bahwa jika Anda diberikan dua fungsi kuadrat, perhitungannya serupa dengan langkah-langkah yang diuraikan di bawah ini.

    3. Samakan ekspresi di sisi kanan setiap persamaan. Karena variabel “y” berada di ruas kiri setiap persamaan, ekspresi yang terletak di ruas kanan setiap persamaan dapat disamakan.

      • Contoh. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) Dan y = x + 7 (\gaya tampilan y=x+7)

    4. Pindahkan semua suku persamaan yang dihasilkan ke ruas kirinya, dan tulis 0 di ruas kanannya. Untuk melakukan ini, lakukan beberapa matematika dasar. Ini akan memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan yang dihasilkan.

      • Contoh. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Kurangi "x" dari kedua ruas persamaan:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\gaya tampilan x^(2)+x+1=7)
      • Kurangi 7 dari kedua ruas persamaan:

    5. Selesaikan persamaan kuadrat. Dengan memindahkan semua suku persamaan ke ruas kiri, diperoleh persamaan kuadrat. Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan tiga cara: menggunakan rumus khusus, dan.

      • Contoh. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Saat Anda memfaktorkan suatu persamaan, Anda mendapatkan dua binomial, yang jika dikalikan akan menghasilkan persamaan aslinya. Dalam contoh kita, suku pertama x 2 (\gaya tampilan x^(2)) dapat diuraikan menjadi x * x. Tuliskan ini: (x)(x) = 0
      • Dalam contoh kita, suku bebas -6 dapat difaktorkan menjadi beberapa faktor berikut: − 6 ∗ 1 (\gaya tampilan -6*1), − 3 ∗ 2 (\gaya tampilan -3*2), − 2 ∗ 3 (\gaya tampilan -2*3), − 1 ∗ 6 (\gaya tampilan -1*6).
      • Dalam contoh kita, suku kedua adalah x (atau 1x). Tambahkan setiap pasangan faktor dari suku dummy (dalam contoh kita -6) hingga Anda mendapatkan 1. Dalam contoh kita, pasangan faktor dari suku dummy yang sesuai adalah angka -2 dan 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), Karena − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Isilah bagian yang kosong dengan pasangan angka yang ditemukan: .

    6. Jangan lupakan titik potong kedua kedua grafik tersebut. Jika Anda menyelesaikan soal dengan cepat dan tidak terlalu hati-hati, Anda mungkin melupakan titik persimpangan kedua. Berikut cara mencari koordinat x dua titik potong:

      • Contoh (faktorisasi). Jika dalam Persamaan. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) salah satu ekspresi dalam tanda kurung akan sama dengan 0, maka seluruh persamaan akan sama dengan 0. Oleh karena itu, kita dapat menuliskannya seperti ini: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\gaya tampilan x=2) Dan x + 3 = 0 (\gaya tampilan x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (yaitu, Anda menemukan dua akar persamaan).
      • Contoh (menggunakan rumus atau menyelesaikan kuadrat sempurna). Saat menggunakan salah satu metode ini, akar kuadrat akan muncul dalam proses penyelesaian. Misalnya, persamaan dari contoh kita akan berbentuk x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Ingatlah bahwa saat mengambil akar kuadrat, Anda akan mendapatkan dua solusi. Dalam kasus kami: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), Dan 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Jadi tuliskan dua persamaan dan temukan dua nilai x.

    7. Grafik tersebut berpotongan pada satu titik atau tidak berpotongan sama sekali. Situasi seperti ini terjadi jika kondisi berikut terpenuhi:

      • Jika grafik-grafik tersebut berpotongan di satu titik, maka persamaan kuadrat tersebut didekomposisi menjadi faktor-faktor yang identik, misalnya (x-1) (x-1) = 0, dan akar kuadrat dari 0 muncul pada rumus ( 0 (\gaya tampilan (\sqrt (0)))). Dalam hal ini, persamaan tersebut hanya mempunyai satu solusi.
      • Jika grafiknya tidak berpotongan sama sekali, maka persamaan tersebut tidak difaktorkan, dan akar kuadrat dari bilangan negatif muncul dalam rumus (misalnya, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). Dalam hal ini, tuliskan jawaban Anda bahwa tidak ada solusi.

Oh-oh-oh-oh-oh... yah, susah, seolah-olah dia sedang membacakan kalimat untuk dirinya sendiri =) Namun, relaksasi akan membantu nanti, apalagi hari ini saya membeli aksesoris yang sesuai. Oleh karena itu mari kita lanjutkan ke bagian pertama, semoga di akhir artikel suasana hati saya tetap ceria.

Posisi relatif dua garis lurus

Hal ini terjadi ketika penonton ikut bernyanyi dalam paduan suara. Dua garis lurus bisa:

1) pertandingan;

2) sejajar: ;

3) atau berpotongan di satu titik: .

Bantuan untuk boneka : Harap diingat tanda persimpangan matematika, itu akan sangat sering muncul. Notasi tersebut berarti garis tersebut berpotongan dengan garis di titik .

Bagaimana cara menentukan posisi relatif dua garis?

Mari kita mulai dengan kasus pertama:

Dua garis berhimpitan jika dan hanya jika koefisien-koefisien yang bersesuaian sebanding, yaitu ada bilangan “lambda” yang memenuhi persamaan tersebut

Mari kita perhatikan garis lurus dan buat tiga persamaan dari koefisien yang sesuai: . Oleh karena itu, dari setiap persamaan dapat disimpulkan bahwa garis-garis ini bertepatan.

Memang, jika semua koefisien persamaan kalikan dengan –1 (ubah tanda), dan semua koefisien persamaan dipotong 2, Anda mendapatkan persamaan yang sama: .

Kasus kedua, ketika garis-garisnya sejajar:

Dua garis sejajar jika dan hanya jika koefisien variabelnya sebanding: , Tetapi.

Sebagai contoh, perhatikan dua garis lurus. Kami memeriksa proporsionalitas koefisien yang sesuai untuk variabel:

Namun, hal itu cukup jelas.

Dan kasus ketiga, ketika garis-garis tersebut berpotongan:

Dua garis berpotongan jika dan hanya jika koefisien variabelnya TIDAK proporsional, artinya, TIDAK ada nilai “lambda” yang memenuhi persamaan tersebut

Jadi, untuk garis lurus kita akan membuat sistem:

Dari persamaan pertama maka , dan dari persamaan kedua: , yang artinya sistemnya tidak konsisten(tidak ada solusi). Dengan demikian, koefisien variabelnya tidak proporsional.

Kesimpulan: garis berpotongan

Dalam permasalahan praktis, Anda dapat menggunakan skema solusi yang baru saja dibahas. Omong-omong, ini sangat mengingatkan pada algoritma untuk memeriksa kolinearitas vektor, yang kita lihat di kelas Konsep ketergantungan linier (dalam) vektor. Dasar vektor. Namun ada kemasan yang lebih beradab:

Contoh 1

Cari tahu posisi relatif garis:

Larutan berdasarkan kajian vektor pengarah garis lurus:

a) Dari persamaan kita mencari vektor arah garis: .


, artinya vektor-vektornya tidak segaris dan garis-garisnya berpotongan.

Untuk jaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan tanda di persimpangan jalan:

Sisanya melompati batu dan mengikuti lebih jauh, langsung ke Kashchei the Immortal =)

b) Temukan vektor arah garis:

Garis-garis tersebut mempunyai vektor arah yang sama, artinya garis-garis tersebut sejajar atau berhimpitan. Tidak perlu menghitung determinannya di sini.

Jelaslah bahwa koefisien dari hal-hal yang tidak diketahui adalah proporsional, dan .

Mari kita cari tahu apakah persamaan tersebut benar:

Dengan demikian,

c) Temukan vektor arah garis:

Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor berikut:
, oleh karena itu, vektor arahnya adalah segaris. Garis-garisnya sejajar atau berhimpitan.

Koefisien proporsionalitas “lambda” mudah dilihat langsung dari perbandingan vektor-vektor arah collinear. Namun, hal ini juga dapat ditemukan melalui koefisien persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar. Kedua istilah bebasnya adalah nol, jadi:

Nilai yang dihasilkan memenuhi persamaan ini (bilangan apa pun secara umum memenuhinya).

Jadi, garis-garisnya bertepatan.

Menjawab:

Segera Anda akan belajar (atau bahkan sudah belajar) untuk memecahkan masalah yang dibahas secara lisan hanya dalam hitungan detik. Dalam hal ini, saya tidak melihat ada gunanya menawarkan solusi independen apa pun; lebih baik meletakkan batu bata penting lainnya dalam fondasi geometris:

Bagaimana cara membuat garis yang sejajar dengan garis tertentu?

Karena ketidaktahuan akan tugas paling sederhana ini, Nightingale the Robber akan menghukum dengan berat.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tuliskan persamaan garis sejajar yang melalui suatu titik.

Larutan: Mari kita nyatakan garis yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan kondisi tersebut tentang dirinya? Garis lurus melewati suatu titik. Dan jika garis-garisnya sejajar, maka jelas vektor arah garis lurus “tse” juga cocok untuk membuat garis lurus “de”.

Kita keluarkan vektor arah dari persamaan:

Menjawab:

Contoh geometri terlihat sederhana:

Pengujian analitik terdiri dari langkah-langkah berikut:

1) Kita periksa apakah garis-garis tersebut mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak disederhanakan dengan baik, maka vektor-vektornya akan segaris).

2) Periksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan yang dihasilkan.

Dalam kebanyakan kasus, pengujian analitis dapat dengan mudah dilakukan secara lisan. Lihatlah kedua persamaan tersebut, dan banyak dari Anda akan dengan cepat menentukan paralelisme garis tanpa menggambar apa pun.

Contoh solusi independen saat ini akan menjadi kreatif. Karena kamu masih harus bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, lho, pecinta segala macam teka-teki.

Contoh 3

Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik yang sejajar dengan garis tersebut jika

Ada cara yang rasional dan tidak begitu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek adalah di akhir pelajaran.

Kami bekerja sedikit dengan garis paralel dan akan kembali lagi nanti. Kasus garis yang bersesuaian kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang sangat Anda kenal dari kurikulum sekolah:

Bagaimana cara mencari titik potong dua garis?

Jika lurus berpotongan di titik , maka koordinatnya adalah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana cara mencari titik potong garis? Selesaikan sistem.

Ini dia arti geometris dari sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui- ini adalah dua garis yang berpotongan (paling sering) pada sebuah bidang.

Contoh 4

Temukan titik potong garis

Larutan: Ada dua cara untuk menyelesaikannya - grafis dan analitis.

Metode grafisnya adalah dengan menggambar garis-garis tertentu dan mencari titik potong langsung dari gambar:

Inilah poin kami: . Untuk memeriksanya, Anda harus memasukkan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis; koordinatnya harus sesuai di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat suatu titik merupakan solusi sistem. Pada dasarnya, kami melihat solusi grafis sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Metode grafis, tentu saja, tidak buruk, tetapi ada kelemahan yang nyata. Bukan, intinya bukan siswa kelas tujuh yang memutuskan seperti itu, intinya butuh waktu untuk membuat gambar yang benar dan AKURAT. Selain itu, beberapa garis lurus tidak begitu mudah untuk dibuat, dan titik perpotongannya mungkin terletak di suatu tempat di kerajaan ketiga puluh di luar lembar buku catatan.

Oleh karena itu, pencarian titik potong lebih tepat dilakukan dengan menggunakan metode analitik. Mari kita selesaikan sistemnya:

Untuk menyelesaikan sistem tersebut digunakan metode penjumlahan persamaan suku demi suku. Untuk mengembangkan keterampilan yang relevan, ambillah pelajaran Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan?

Menjawab:

Pemeriksaannya sepele - koordinat titik potong harus memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Temukan titik potong garis-garis tersebut jika berpotongan.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Akan lebih mudah untuk membagi tugas menjadi beberapa tahap. Analisis kondisi menunjukkan perlunya:
1) Tuliskan persamaan garis lurus.
2) Tuliskan persamaan garis lurus.
3) Cari tahu posisi relatif garis-garis tersebut.
4) Jika garis-garis tersebut berpotongan, tentukan titik potongnya.

Pengembangan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometri, dan saya akan berulang kali fokus pada hal ini.

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran:

Bahkan sepasang sepatu pun tidak rusak sebelum kita sampai pada bagian kedua dari pelajaran ini:

Garis tegak lurus. Jarak suatu titik ke suatu garis.
Sudut antar garis lurus

Mari kita mulai dengan tugas yang khas dan sangat penting. Pada bagian pertama, kita belajar cara membuat garis lurus sejajar dengan garis ini, dan sekarang gubuk di atas kaki ayam akan berubah 90 derajat:

Bagaimana cara membuat garis yang tegak lurus terhadap garis tertentu?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tuliskan persamaan tegak lurus garis yang melalui titik tersebut.

Larutan: Dengan syarat diketahui bahwa . Akan menyenangkan untuk menemukan vektor pengarah garis. Karena garisnya tegak lurus, triknya sederhana:

Dari persamaan tersebut kita “menghilangkan” vektor normal: , yang akan menjadi vektor pengarah garis lurus.

Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Menjawab:

Mari kita perluas sketsa geometrisnya:

Hmm... Langit jingga, laut jingga, unta jingga.

Verifikasi analitis dari solusi:

1) Kami mengambil vektor arah dari persamaan dan dengan bantuan produk skalar vektor kita sampai pada kesimpulan bahwa garis-garis tersebut memang tegak lurus: .

Omong-omong, Anda bisa menggunakan vektor normal, bahkan lebih mudah.

2) Periksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan yang dihasilkan .

Tes ini, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Temukan titik potong garis tegak lurus jika persamaannya diketahui dan titik.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Ada beberapa tindakan dalam masalah ini, sehingga akan lebih mudah untuk merumuskan solusi poin demi poin.

Perjalanan menarik kami berlanjut:

Jarak dari titik ke garis

Kami memiliki aliran sungai yang lurus di depan kami dan tugas kami adalah mencapainya melalui jalur terpendek. Tidak ada hambatan, dan rute yang paling optimal adalah bergerak tegak lurus. Artinya, jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang ruas tegak lurus tersebut.

Jarak dalam geometri secara tradisional dilambangkan dengan huruf Yunani “rho”, misalnya: – jarak dari titik “em” ke garis lurus “de”.

Jarak dari titik ke garis dinyatakan dengan rumus

Contoh 8

Temukan jarak dari suatu titik ke garis

Larutan: yang perlu Anda lakukan hanyalah mengganti angka-angka tersebut dengan hati-hati ke dalam rumus dan melakukan perhitungan:

Menjawab:

Mari kita membuat gambarnya:

Jarak yang didapat dari titik ke garis sama persis dengan panjang ruas merah. Jika Anda membuat gambar di atas kertas kotak-kotak dengan skala 1 satuan. = 1 cm (2 sel), maka jaraknya dapat diukur dengan penggaris biasa.

Mari pertimbangkan tugas lain berdasarkan gambar yang sama:

Tugasnya adalah mencari koordinat suatu titik yang simetris terhadap titik tersebut terhadap garis lurus . Saya sarankan melakukan langkah-langkahnya sendiri, tetapi saya akan menguraikan algoritma solusi dengan hasil antara:

1) Carilah garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut.

2) Temukan titik potong garis: .

Kedua tindakan tersebut dibahas secara rinci dalam pelajaran ini.

3) Titik adalah titik tengah ruas tersebut. Kita mengetahui koordinat tengah dan salah satu ujungnya. Oleh rumus koordinat titik tengah suatu ruas kami menemukan.

Sebaiknya periksa apakah jaraknya juga 2,2 satuan.

Kesulitan mungkin timbul dalam perhitungan di sini, tetapi mikrokalkulator sangat membantu dalam menara ini, memungkinkan Anda menghitung pecahan biasa. Saya telah menasihati Anda berkali-kali dan akan merekomendasikan Anda lagi.

Bagaimana cara mencari jarak antara dua garis sejajar?

Contoh 9

Temukan jarak antara dua garis sejajar

Ini adalah contoh lain untuk Anda putuskan sendiri. Saya akan memberi Anda sedikit petunjuk: ada banyak cara untuk menyelesaikan masalah ini. Pembekalan di akhir pelajaran, tapi lebih baik coba tebak sendiri, menurut saya kecerdikan Anda sudah berkembang dengan baik.

Sudut antara dua garis lurus

Setiap sudut adalah kusen:


Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus dianggap sudut yang LEBIH KECIL, sehingga otomatis tidak mungkin tumpul. Pada gambar, sudut yang ditunjukkan oleh busur merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis yang berpotongan. Dan tetangganya yang “hijau” atau berorientasi berlawanan sudut "raspberry".

Jika garis-garisnya tegak lurus, maka salah satu dari 4 sudut tersebut dapat diambil sebagai sudut di antara keduanya.

Bagaimana perbedaan sudutnya? Orientasi. Pertama, arah “gulir” sudut adalah hal yang sangat penting. Kedua, sudut yang berorientasi negatif ditulis dengan tanda minus, misalnya .

Mengapa aku memberitahumu hal ini? Tampaknya kita dapat bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Faktanya adalah rumus yang digunakan untuk mencari sudut dapat dengan mudah memberikan hasil negatif, dan ini tidak akan mengejutkan Anda. Sudut dengan tanda minus juga tidak lebih buruk, dan memiliki arti geometris yang sangat spesifik. Pada gambar, untuk sudut negatif, pastikan untuk menunjukkan orientasinya dengan panah (searah jarum jam).

Bagaimana cara mencari sudut antara dua garis lurus? Ada dua rumus kerja:

Contoh 10

Temukan sudut antar garis

Larutan Dan Metode satu

Mari kita perhatikan dua garis lurus yang ditentukan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak tegak lurus, Itu berorientasi Sudut antara keduanya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Mari kita perhatikan baik-baik penyebutnya - inilah tepatnya produk titik mengarahkan vektor garis lurus:

Jika , maka penyebut rumusnya menjadi nol, vektor-vektornya ortogonal dan garis-garisnya tegak lurus. Oleh karena itu dibuat reservasi tentang garis lurus yang tidak tegak lurus dalam formulasinya.

Berdasarkan penjelasan di atas, akan lebih mudah untuk memformalkan solusi dalam dua langkah:

1) Mari kita hitung hasil kali skalar dari vektor-vektor arah garis:
, yang berarti garis-garisnya tidak tegak lurus.

2) Carilah sudut antar garis lurus dengan rumus:

Dengan menggunakan fungsi invers, mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam hal ini, kami menggunakan keanehan garis singgung busur (lihat. Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar):

Menjawab:

Dalam jawaban Anda, kami menunjukkan nilai pastinya, serta nilai perkiraan (sebaiknya dalam derajat dan radian), dihitung menggunakan kalkulator.

Ya, minus, minus, bukan masalah besar. Berikut adalah ilustrasi geometris:

Tidak mengherankan jika sudutnya ternyata berorientasi negatif, karena dalam rumusan masalah bilangan pertama adalah garis lurus dan “pelepasan” sudut dimulai tepat dari situ.

Jika memang ingin mendapatkan sudut positif, Anda perlu menukar garisnya, yaitu mengambil koefisien dari persamaan kedua , dan ambil koefisien dari persamaan pertama. Singkatnya, Anda harus memulai dengan langsung .

Untuk menyelesaikan suatu permasalahan geometri dengan menggunakan metode koordinat diperlukan suatu titik potong yang koordinatnya digunakan dalam penyelesaiannya. Situasi muncul ketika Anda perlu mencari koordinat perpotongan dua garis pada suatu bidang atau menentukan koordinat garis yang sama dalam ruang. Artikel ini membahas kasus-kasus pencarian koordinat titik-titik di mana garis-garis tertentu berpotongan.

Yandex.RTB RA-339285-1

Penting untuk menentukan titik potong dua garis.

Bagian kedudukan relatif garis-garis pada suatu bidang menunjukkan bahwa garis-garis tersebut dapat berhimpitan, sejajar, berpotongan pada satu titik persekutuan, atau berpotongan. Dua garis dalam ruang disebut berpotongan jika kedua garis tersebut mempunyai satu titik persekutuan.

Pengertian titik potong garis adalah sebagai berikut:

Definisi 1

Titik potong dua garis disebut titik potongnya. Dengan kata lain, titik potong garis adalah titik potongnya.

Mari kita lihat gambar di bawah ini.

Sebelum mencari koordinat titik potong dua garis, perlu diperhatikan contoh di bawah ini.

Jika bidang tersebut mempunyai sistem koordinat O x y, maka ditentukan dua garis lurus a dan b. Garis a sesuai dengan persamaan umum berbentuk A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, untuk garis b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Maka M 0 (x 0 , y 0) adalah suatu titik tertentu pada bidang tersebut; perlu ditentukan apakah titik M 0 akan menjadi titik potong garis-garis tersebut.

Untuk mengatasi masalah tersebut, perlu dipatuhi definisinya. Maka garis-garis tersebut harus berpotongan di suatu titik yang koordinatnya merupakan penyelesaian persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Artinya koordinat titik potong disubstitusikan ke dalam semua persamaan yang diberikan. Jika, setelah substitusi, keduanya memberikan identitas yang benar, maka M 0 (x 0 , y 0) dianggap sebagai titik potongnya.

Contoh 1

Diberikan dua garis berpotongan 5 x - 2 y - 16 = 0 dan 2 x - 5 y - 19 = 0. Akankah titik M 0 dengan koordinat (2, - 3) menjadi titik potong.

Larutan

Agar perpotongan garis menjadi valid, koordinat titik M 0 harus memenuhi persamaan garis. Ini dapat diperiksa dengan menggantinya. Kami mengerti

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Kedua persamaan tersebut benar, artinya M 0 (2, - 3) adalah titik potong garis-garis tersebut.

Mari kita gambarkan solusi ini pada garis koordinat gambar di bawah.

Menjawab: titik tertentu dengan koordinat (2, - 3) akan menjadi titik potong garis-garis tersebut.

Contoh 2

Akankah garis 5 x + 3 y - 1 = 0 dan 7 x - 2 y + 11 = 0 berpotongan di titik M 0 (2, - 3)?

Larutan

Untuk menyelesaikan soal tersebut, Anda perlu mensubstitusikan koordinat titik ke dalam semua persamaan. Kami mengerti

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Persamaan kedua tidak benar, artinya titik tersebut tidak termasuk dalam garis 7 x - 2 y + 11 = 0. Dari sini kita mengetahui bahwa titik M 0 bukanlah titik potong garis.

Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa M 0 bukanlah titik potong garis. Mereka memiliki titik yang sama dengan koordinat (- 1, 2).

Menjawab: titik dengan koordinat (2, - 3) bukan merupakan titik potong garis-garis tersebut.

Kita lanjutkan mencari koordinat titik potong dua garis menggunakan persamaan yang diberikan pada bidang.

Dua garis berpotongan a dan b ditentukan oleh persamaan bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, terletak di O x y. Saat menentukan titik potong M 0, kita menemukan bahwa kita harus melanjutkan pencarian koordinat menggunakan persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Dari definisi tersebut jelas bahwa M 0 adalah titik potong garis-garis yang sama. Dalam hal ini koordinatnya harus memenuhi persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Dengan kata lain, ini adalah solusi dari sistem yang dihasilkan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Artinya untuk mencari koordinat titik potong, perlu menjumlahkan semua persamaan ke dalam sistem dan menyelesaikannya.

Contoh 3

Diberikan dua garis lurus x - 9 y + 14 = 0 dan 5 x - 2 y - 16 = 0 pada bidang. perlu untuk menemukan persimpangan mereka.

Larutan

Data kondisi persamaan harus dikumpulkan ke dalam sistem, setelah itu diperoleh x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Untuk menyelesaikannya, persamaan pertama diselesaikan untuk x, dan ekspresi tersebut disubstitusikan ke persamaan kedua:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Angka-angka yang dihasilkan adalah koordinat yang perlu dicari.

Menjawab: M 0 (4, 2) adalah titik potong garis x - 9 y + 14 = 0 dan 5 x - 2 y - 16 = 0.

Menemukan koordinat dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Jika dengan syarat diberikan jenis persamaan yang berbeda, maka persamaan tersebut harus direduksi ke bentuk normal.

Contoh 4

Tentukan koordinat titik potong garis x - 5 = y - 4 - 3 dan x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Larutan

Pertama, Anda perlu membawa persamaan ke bentuk umum. Maka kita mendapatkan bahwa x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R ditransformasikan sebagai berikut:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 tahun + 14 = 0

Kemudian kita ambil persamaan bentuk kanonik x - 5 = y - 4 - 3 dan transformasikan. Kami mengerti

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Dari sini kita mengetahui bahwa koordinatnya adalah titik potong

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Mari gunakan metode Cramer untuk mencari koordinat:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Menjawab: M 0 (- 5 , 1) .

Ada juga cara untuk mencari koordinat titik potong garis-garis yang terletak pada suatu bidang. Hal ini berlaku jika salah satu garis diberikan oleh persamaan parametrik berbentuk x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Kemudian sebagai pengganti nilai x kita substitusikan x = x 1 + a x · λ dan y = y 1 + a y · λ, dimana kita mendapatkan λ = λ 0, sesuai dengan titik potong yang memiliki koordinat x 1 + a x · λ 0 , kamu 1 + kamu · λ 0 .

Contoh 5

Tentukan koordinat titik potong garis x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R dan x - 5 = y - 4 - 3.

Larutan

Perlu dilakukan substitusi pada x - 5 = y - 4 - 3 dengan persamaan x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, maka diperoleh:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Saat menyelesaikannya, kita menemukan bahwa λ = - 1. Maka terdapat titik potong antara garis x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R dan x - 5 = y - 4 - 3. Untuk menghitung koordinat, Anda perlu mensubstitusikan ekspresi λ = - 1 ke dalam persamaan parametrik. Maka kita peroleh bahwa x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Menjawab: M 0 (- 5 , 1) .

Untuk memahami topik sepenuhnya, Anda perlu mengetahui beberapa nuansanya.

Pertama, Anda perlu memahami lokasi garisnya. Ketika keduanya berpotongan, kita akan menemukan koordinatnya; jika tidak, tidak akan ada solusi. Untuk menghindari pemeriksaan ini, Anda dapat membuat sistem dengan bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Jika ada penyelesaian, kita simpulkan bahwa garis-garis tersebut berpotongan. Jika tidak ada solusi, maka keduanya paralel. Jika suatu sistem mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga, maka solusi-solusi tersebut dikatakan berhimpitan.

Contoh 6

Diberikan garis x 3 + y - 4 = 1 dan y = 4 3 x - 4. Tentukan apakah mereka memiliki kesamaan.

Larutan

Menyederhanakan persamaan di atas, kita memperoleh 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 dan 4 3 x - y - 4 = 0.

Persamaan harus dikumpulkan ke dalam sistem untuk solusi selanjutnya:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Dari sini kita dapat melihat bahwa persamaan-persamaan tersebut dinyatakan satu sama lain, maka kita memperoleh solusi yang jumlahnya tak terhingga. Maka persamaan x 3 + y - 4 = 1 dan y = 4 3 x - 4 mendefinisikan garis yang sama. Oleh karena itu tidak ada titik potong.

Menjawab: persamaan yang diberikan mendefinisikan garis lurus yang sama.

Contoh 7

Tentukan koordinat titik potong garis 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 dan 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Larutan

Dengan syarat, hal itu dimungkinkan, garis-garisnya tidak akan berpotongan. Penting untuk membuat sistem persamaan dan menyelesaikannya. Untuk menyelesaikannya, perlu menggunakan metode Gaussian, karena dengan bantuannya dimungkinkan untuk memeriksa kompatibilitas persamaan. Kami mendapatkan sistem dalam bentuk:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Kami menerima persamaan yang salah, yang berarti sistem tidak memiliki solusi. Kita menyimpulkan bahwa garis-garis tersebut sejajar. Tidak ada titik persimpangan.

Solusi kedua.

Pertama, Anda perlu menentukan keberadaan perpotongan garis.

n 1 → = (2, 2 - 3) adalah vektor normal garis 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, maka vektor n 2 → = (2 (3 + 2), - 7 adalah vektor normal untuk garis 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Perlu dilakukan pengecekan kolinearitas vektor n 1 → = (2, 2 - 3) dan n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7). Kita memperoleh persamaan bentuk 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Benar karena 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Oleh karena itu, vektor-vektornya segaris. Artinya garis-garis tersebut sejajar dan tidak mempunyai titik potong.

Menjawab: tidak ada titik potong, garisnya sejajar.

Contoh 8

Tentukan koordinat perpotongan garis 2 x - 1 = 0 dan y = 5 4 x - 2.

Larutan

Untuk menyelesaikannya, kami membuat sistem persamaan. Kami mengerti

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Mari kita cari determinan matriks utama. Untuk ini, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Karena tidak sama dengan nol, sistem mempunyai 1 solusi. Oleh karena itu, garis-garis tersebut berpotongan. Mari kita selesaikan sistem untuk mencari koordinat titik potong:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Kami menemukan bahwa titik potong garis-garis tertentu memiliki koordinat M 0 (1 2, - 11 8).

Menjawab: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Mencari koordinat titik potong dua garis dalam ruang

Dengan cara yang sama, ditemukan titik potong garis lurus dalam ruang.

Bila garis lurus a dan b diberikan pada bidang koordinat O x y z dengan persamaan bidang-bidang yang berpotongan, maka terdapat garis lurus a, yang dapat ditentukan dengan menggunakan sistem yang diberikan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 dan garis lurus b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

Bila titik M 0 merupakan titik potong garis, maka koordinatnya harus merupakan penyelesaian kedua persamaan. Kami memperoleh persamaan linear dalam sistem:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 kamu + C 4 z + D 4 = 0

Mari kita lihat tugas serupa menggunakan contoh.

Contoh 9

Tentukan koordinat titik potong garis x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 dan 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Larutan

Kita buat sistem x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 dan selesaikan. Untuk mencari koordinatnya, Anda perlu menyelesaikannya melalui matriks. Kemudian diperoleh matriks utama berbentuk A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 dan matriks diperluas T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Kami menentukan peringkat Gaussian dari matriks.

Kami mengerti

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Oleh karena itu rank matriks yang diperluas memiliki nilai 3. Maka sistem persamaan x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 hanya menghasilkan satu penyelesaian.

Basis minor mempunyai determinan 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , maka persamaan terakhir tidak berlaku. Kita peroleh x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Penyelesaian sistem x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Artinya titik potong x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 dan 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 mempunyai koordinat (1, - 3, 0).

Menjawab: (1 , - 3 , 0) .

Sistem berbentuk A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 hanya mempunyai satu solusi. Artinya garis a dan b berpotongan.

Dalam kasus lain, persamaan tersebut tidak memiliki solusi, yaitu juga tidak memiliki titik persekutuan. Artinya, tidak mungkin menemukan suatu titik dengan koordinat, karena titik tersebut tidak ada.

Jadi, sistem berbentuk A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 diselesaikan dengan metode Gaussian. Jika tidak sesuai maka garisnya tidak berpotongan. Jika terdapat solusi yang jumlahnya tak terhingga, maka solusi-solusi tersebut berhimpitan.

Anda dapat menyelesaikannya dengan menghitung pangkat utama dan pangkat matriks yang diperluas, lalu menerapkan teorema Kronecker-Capelli. Kita mendapatkan satu, banyak atau tidak ada solusi sama sekali.

Contoh 10

Persamaan garis x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 dan x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 diberikan. Temukan titik persimpangan.

Larutan

Pertama, mari kita buat sistem persamaan. Kita peroleh x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Kami menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Jelasnya, sistem tidak mempunyai solusi, yang berarti garis-garisnya tidak berpotongan. Tidak ada titik persimpangan.

Menjawab: tidak ada titik potong.

Jika garis diberikan menggunakan persamaan kononik atau parametrik, Anda perlu mereduksinya menjadi persamaan bidang yang berpotongan, lalu mencari koordinatnya.

Contoh 11

Diberikan dua garis x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R dan x 2 = y - 3 0 = z 5 pada O x y z. Temukan titik persimpangan.

Larutan

Kita mendefinisikan garis lurus dengan persamaan dua bidang yang berpotongan. Kami mengerti

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Kita cari koordinatnya 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, untuk ini kita menghitung pangkat matriksnya. Rank matriksnya adalah 3, dan basis minornya adalah 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, artinya persamaan terakhir harus dikeluarkan dari sistem. Kami mengerti

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Mari selesaikan sistem menggunakan metode Cramer. Kita peroleh bahwa x = - 2 y = 3 z = - 5. Dari sini kita mendapatkan bahwa perpotongan garis-garis tersebut menghasilkan suatu titik dengan koordinat (- 2, 3, - 5).

Menjawab: (- 2 , 3 , - 5) .

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Saat menyelesaikan beberapa masalah geometri dengan menggunakan metode koordinat, Anda harus mencari koordinat titik potong garis. Seringkali Anda harus mencari koordinat titik potong dua garis pada suatu bidang, namun terkadang ada kebutuhan untuk menentukan koordinat titik potong dua garis dalam ruang. Pada artikel ini kita akan membahas pencarian koordinat titik perpotongan dua garis.

Navigasi halaman.

Titik potong dua garis merupakan suatu definisi.

Mari kita tentukan terlebih dahulu titik potong dua garis.

Pada bagian kedudukan relatif garis-garis pada suatu bidang, diperlihatkan bahwa dua garis pada suatu bidang dapat berimpit (dan mempunyai banyak titik persekutuan yang tak terhingga), atau sejajar (dan dua garis tidak mempunyai titik persekutuan), atau berpotongan. , memiliki satu kesamaan. Ada lebih banyak pilihan untuk posisi relatif dua garis dalam ruang - keduanya dapat bertepatan (memiliki banyak titik persekutuan yang tak terhingga), dapat sejajar (yaitu, terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan), dapat berpotongan (tidak terletak pada bidang yang sama), dan keduanya juga dapat mempunyai satu titik yang sama, yaitu berpotongan. Jadi, dua garis baik pada bidang datar maupun ruang disebut berpotongan jika kedua garis tersebut mempunyai satu titik persekutuan.

Dari pengertian garis berpotongan berikut ini menentukan titik potong garis: Titik potong dua garis disebut titik potong garis tersebut. Dengan kata lain, satu-satunya titik persekutuan dari dua garis yang berpotongan adalah titik potong garis-garis tersebut.

Untuk lebih jelasnya, kami sajikan ilustrasi grafis titik potong dua garis lurus pada suatu bidang dan ruang.

Bagian atas halaman

Mencari koordinat titik potong dua garis pada suatu bidang.

Sebelum mencari koordinat titik potong dua garis lurus pada suatu bidang menggunakan persamaan yang diketahui, perhatikan soal bantu.

Oks A Dan B. Kami akan berasumsi dengan benar A sesuai dengan persamaan umum garis lurus berbentuk , dan garis lurus B- jenis . Misalkan ada suatu titik pada bidang tersebut, dan kita perlu mencari tahu apakah titik tersebut ada M 0 titik potong garis-garis tertentu.

Mari kita selesaikan masalahnya.

Jika M0 A Dan B, maka menurut definisi itu juga termasuk dalam garis A dan lurus B, yaitu koordinatnya harus memenuhi persamaan dan persamaan tersebut. Oleh karena itu, kita perlu mengganti koordinat titik tersebut M 0 ke dalam persamaan garis yang diberikan dan lihat apakah ini menghasilkan dua persamaan yang benar. Jika koordinat titiknya M 0 memenuhi kedua persamaan dan , maka adalah titik potong garisnya A Dan B, jika tidak M 0 .

Apakah intinya M 0 dengan koordinat (2, -3) titik potong garis 5x-2y-16=0 Dan 2x-5y-19=0?

Jika M 0 memang merupakan titik potong garis tertentu, maka koordinatnya memenuhi persamaan garis. Mari kita periksa dengan mengganti koordinat titiknya M 0 ke dalam persamaan yang diberikan:

Oleh karena itu, kami mendapat dua persamaan sejati, M 0 (2, -3)- titik potong garis 5x-2y-16=0 Dan 2x-5y-19=0.

Untuk lebih jelasnya, kami menyajikan gambar yang menunjukkan garis lurus dan terlihat koordinat titik potongnya.

ya, titik M 0 (2, -3) adalah titik potong garis 5x-2y-16=0 Dan 2x-5y-19=0.

Apakah garis-garisnya berpotongan? 5x+3y-1=0 Dan 7x-2y+11=0 pada intinya M 0 (2, -3)?

Mari kita substitusikan koordinat titik tersebut M 0 ke dalam persamaan garis lurus, tindakan ini akan memeriksa apakah titik tersebut termasuk M 0 kedua garis lurus secara bersamaan:

Sejak persamaan kedua, saat mensubstitusikan koordinat titik ke dalamnya M 0 tidak berubah menjadi persamaan yang sebenarnya, maka titik M 0 bukan milik garis tersebut 7x-2y+11=0. Dari fakta ini kita dapat menyimpulkan bahwa maksudnya M 0 bukanlah titik potong garis-garis tersebut.

Gambar tersebut juga dengan jelas menunjukkan maksudnya M 0 bukan merupakan titik potong garis 5x+3y-1=0 Dan 7x-2y+11=0. Jelasnya, garis-garis tertentu berpotongan di suatu titik dengan koordinat (-1, 2) .

M 0 (2, -3) bukan merupakan titik potong garis 5x+3y-1=0 Dan 7x-2y+11=0.

Sekarang kita dapat melanjutkan ke tugas mencari koordinat titik potong dua garis menggunakan persamaan garis pada suatu bidang.

Biarkan sistem koordinat kartesius persegi panjang dipasang pada bidang Oks dan diberi dua garis berpotongan A Dan B persamaan dan masing-masing. Mari kita nyatakan titik potong garis-garis yang diberikan sebagai M 0 dan selesaikan soal berikut: tentukan koordinat titik potong dua garis A Dan B menurut persamaan yang diketahui dari garis-garis ini dan .

Dot M0 milik masing-masing garis yang berpotongan A Dan B menurut definisi. Kemudian koordinat titik potong garis tersebut A Dan B memenuhi persamaan dan persamaan tersebut. Jadi, koordinat titik potong dua garis A Dan B adalah solusi sistem persamaan (lihat artikel penyelesaian sistem persamaan aljabar linier).

Jadi, untuk mencari koordinat titik potong dua garis lurus yang ditentukan pada suatu bidang dengan persamaan umum, Anda perlu menyelesaikan sistem yang terdiri dari persamaan garis lurus tertentu.

Mari kita lihat contoh solusinya.

Temukan titik potong dua garis yang ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang menggunakan persamaan x-9y+14=0 Dan 5x-2y-16=0.

Kita diberikan dua persamaan garis umum, mari kita buat sistem dari keduanya: . Solusi terhadap sistem persamaan yang dihasilkan mudah ditemukan dengan menyelesaikan persamaan pertama terhadap variabel X dan substitusikan ekspresi ini ke persamaan kedua:

Solusi yang ditemukan untuk sistem persamaan memberi kita koordinat titik potong dua garis yang diinginkan.

M 0 (4, 2)– titik potong garis x-9y+14=0 Dan 5x-2y-16=0.

Jadi, mencari koordinat titik potong dua garis lurus, yang ditentukan oleh persamaan umum pada suatu bidang, berarti menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua variabel yang tidak diketahui. Namun bagaimana jika garis pada suatu bidang diberikan bukan dengan persamaan umum, melainkan dengan persamaan yang jenisnya berbeda (lihat jenis persamaan garis pada bidang)? Dalam kasus ini, pertama-tama Anda dapat mereduksi persamaan garis ke bentuk umum, dan baru setelah itu mencari koordinat titik potongnya.

Sebelum mencari koordinat titik potong garis-garis tertentu, kita turunkan persamaannya ke bentuk umum. Transisi dari persamaan parametrik suatu garis ke persamaan umum garis terlihat seperti ini:

Sekarang mari kita lakukan tindakan yang diperlukan dengan persamaan kanonik garis lurus:

Jadi, koordinat titik potong garis yang diinginkan merupakan solusi sistem persamaan berbentuk . Kami menggunakan metode Cramer untuk menyelesaikannya:

M 0 (-5, 1)

Ada cara lain untuk mencari koordinat titik potong dua garis pada suatu bidang. Lebih mudah digunakan jika salah satu garis diberikan oleh persamaan parametrik berbentuk , dan garis lainnya diberikan oleh persamaan garis yang jenisnya berbeda. Dalam hal ini, dalam persamaan lain, bukan variabel X Dan kamu Anda dapat mengganti ekspresi dan , dari mana Anda bisa mendapatkan nilai yang sesuai dengan titik potong garis yang diberikan. Dalam hal ini titik potong garis mempunyai koordinat.

Mari kita cari koordinat titik potong garis dari contoh sebelumnya menggunakan metode ini.

Tentukan koordinat titik potong garis dan .

Mari kita substitusikan ekspresi garis lurus ke dalam persamaan:

Setelah menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, kita mendapatkan . Nilai ini sesuai dengan titik persekutuan garis dan . Kita menghitung koordinat titik potong dengan mensubstitusikan garis lurus ke dalam persamaan parametrik:
.

M 0 (-5, 1).

Untuk melengkapi gambaran ini, satu hal lagi harus didiskusikan.

Sebelum mencari koordinat titik potong dua garis pada suatu bidang, ada baiknya kita memastikan bahwa garis-garis tersebut benar-benar berpotongan. Jika ternyata garis-garis aslinya berhimpitan atau sejajar, maka tidak ada pertanyaan untuk mencari koordinat titik potong garis-garis tersebut.

Anda tentu saja dapat melakukannya tanpa pemeriksaan seperti itu, tetapi segera buat sistem persamaan bentuk dan selesaikan. Jika suatu sistem persamaan mempunyai solusi unik, maka sistem tersebut memberikan koordinat titik perpotongan garis aslinya. Jika sistem persamaan tidak mempunyai solusi, maka kita dapat menyimpulkan bahwa garis-garis aslinya sejajar (karena tidak ada pasangan bilangan real seperti itu. X Dan kamu, yang secara bersamaan akan memenuhi kedua persamaan garis yang diberikan). Dari adanya solusi sistem persamaan yang jumlahnya tak terhingga, maka garis-garis lurus asal mempunyai banyak titik persekutuan yang tak terhingga, yaitu bertepatan.

Mari kita lihat contoh yang sesuai dengan situasi ini.

Cari tahu apakah garis-garis tersebut berpotongan, dan jika berpotongan, carilah koordinat titik potongnya.

Persamaan garis yang diberikan sesuai dengan persamaan dan . Mari selesaikan sistem yang terdiri dari persamaan ini.

Jelaslah bahwa persamaan sistem dinyatakan secara linier satu sama lain (persamaan kedua sistem diperoleh dari persamaan pertama dengan mengalikan kedua bagiannya dengan 4 ), oleh karena itu, sistem persamaan mempunyai jumlah penyelesaian yang tak terhingga. Jadi, persamaan mendefinisikan garis yang sama, dan kita tidak dapat berbicara tentang mencari koordinat titik potong garis-garis tersebut.

persamaan dan didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang Oks garis lurus yang sama, jadi kita tidak bisa membicarakan mencari koordinat titik potongnya.

Temukan koordinat titik potong garis dan , jika memungkinkan.

Kondisi masalahnya memungkinkan garis-garis tersebut tidak boleh berpotongan. Mari kita buat sistem dari persamaan ini. Mari kita terapkan metode Gauss untuk menyelesaikannya, karena metode ini memungkinkan kita menentukan kompatibilitas atau ketidakcocokan suatu sistem persamaan, dan jika kompatibel, temukan solusinya:

Persamaan terakhir sistem setelah melewati metode Gauss secara langsung berubah menjadi persamaan yang salah, oleh karena itu, sistem persamaan tersebut tidak memiliki solusi. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa garis-garis aslinya sejajar, dan kita tidak dapat berbicara tentang mencari koordinat titik potong garis-garis tersebut.

Solusi kedua.

Mari kita cari tahu apakah garis-garis yang diberikan berpotongan.

Vektor normal adalah sebuah garis, dan vektor adalah vektor normal suatu garis. Mari kita periksa apakah syarat kolinearitas vektor dan : persamaan tersebut benar, karena , oleh karena itu, vektor normal dari garis lurus yang diberikan adalah segaris. Maka garis-garis tersebut sejajar atau berhimpitan. Dengan demikian, kita tidak dapat menemukan koordinat titik potong garis aslinya.

tidak mungkin menemukan koordinat titik potong garis-garis tertentu, karena garis-garis ini sejajar.

Temukan koordinat titik potong garis 2x-1=0 dan , jika keduanya berpotongan.

Mari kita buat sistem persamaan yang merupakan persamaan umum dari garis-garis tertentu: . Penentu matriks utama sistem persamaan ini adalah bukan nol, oleh karena itu sistem persamaan tersebut mempunyai solusi unik yang menunjukkan perpotongan garis-garis tertentu.

Untuk mencari koordinat titik potong garis, kita perlu menyelesaikan sistem:

Solusi yang dihasilkan memberi kita koordinat titik potong garis, yaitu titik potong garis 2x-1=0 Dan .

Bagian atas halaman

Mencari koordinat titik potong dua garis dalam ruang.

Koordinat titik potong dua garis dalam ruang tiga dimensi ditemukan dengan cara yang sama.

Biarkan garis berpotongan A Dan B ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang Oksiz persamaan dua bidang yang berpotongan, yaitu garis lurus A ditentukan oleh sistem bentuk , dan garis lurus B- . Membiarkan M 0– titik potong garis A Dan B. Lalu tunjuk M 0 menurut definisi juga termasuk dalam garis A dan lurus B, oleh karena itu, koordinatnya memenuhi persamaan kedua garis. Jadi, koordinat titik potong garis tersebut A Dan B mewakili solusi sistem persamaan linear berbentuk . Di sini kita memerlukan informasi dari bagian penyelesaian sistem persamaan linier yang jumlah persamaannya tidak sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui.

Mari kita lihat solusi dari contoh tersebut.

Temukan koordinat titik potong dua garis yang didefinisikan dalam ruang oleh persamaan dan .

Mari kita buat sistem persamaan dari persamaan garis yang diberikan: . Penyelesaian sistem ini akan memberi kita koordinat titik perpotongan garis dalam ruang yang diperlukan. Mari kita cari solusi dari sistem persamaan tertulis.

Matriks utama sistem berbentuk , dan matriks diperluas - .

Mari kita tentukan rank matriksnya A dan peringkat matriks T. Kami menggunakan metode border minor, namun kami tidak akan menjelaskan secara detail perhitungan determinan (bila perlu lihat artikel Perhitungan determinan suatu matriks):

Jadi, pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks yang diperluas dan sama dengan tiga.

Akibatnya, sistem persamaan memiliki solusi unik.

Kita akan mengambil determinan sebagai basis minor, oleh karena itu persamaan terakhir harus dikeluarkan dari sistem persamaan, karena tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor. Jadi,

Solusi dari sistem yang dihasilkan mudah ditemukan:

Jadi, titik potong garis tersebut mempunyai koordinat (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Perlu diperhatikan bahwa sistem persamaan mempunyai solusi unik jika dan hanya jika garis lurus A Dan B memotong. Jika lurus A Dan B sejajar atau berpotongan, maka sistem persamaan terakhir tidak mempunyai penyelesaian, karena dalam hal ini garis-garis tersebut tidak mempunyai titik-titik persekutuan. Jika lurus A Dan B bertepatan, maka mereka mempunyai jumlah titik persekutuan yang tak terhingga, oleh karena itu, sistem persamaan yang ditunjukkan memiliki jumlah penyelesaian yang tak terhingga. Namun, dalam kasus ini kita tidak dapat berbicara tentang mencari koordinat titik potong garis, karena garis tersebut tidak berpotongan.

Jadi, jika kita tidak mengetahui terlebih dahulu apakah garis-garis tersebut berpotongan A Dan B atau tidak, maka masuk akal untuk membuat sistem persamaan bentuk dan menyelesaikannya dengan metode Gauss. Jika kita mendapatkan solusi unik, maka solusi tersebut akan sesuai dengan koordinat titik potong garis tersebut A Dan B. Jika sistem ternyata tidak konsisten, maka langsung A Dan B jangan berpotongan. Jika sistem mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga, maka garis lurus A Dan B cocok.

Anda dapat melakukannya tanpa menggunakan metode Gaussian. Alternatifnya, Anda dapat menghitung pangkat matriks utama dan matriks yang diperluas dari sistem ini, dan berdasarkan data yang diperoleh dan teorema Kronecker-Capelli, simpulkan adanya solusi tunggal, atau adanya banyak solusi, atau tidak adanya solusi. solusi. Ini masalah selera.

Jika garis-garis tersebut berpotongan, tentukan koordinat titik potongnya.

Mari kita buat sistem dari persamaan yang diberikan: . Mari kita selesaikan menggunakan metode Gaussian dalam bentuk matriks:

Menjadi jelas bahwa sistem persamaan tidak memiliki solusi, oleh karena itu, garis-garis yang diberikan tidak berpotongan, dan tidak ada pertanyaan untuk menemukan koordinat titik potong garis-garis tersebut.

kita tidak dapat menemukan koordinat titik potong garis-garis tersebut, karena garis-garis tersebut tidak berpotongan.

Jika garis-garis yang berpotongan diberikan oleh persamaan kanonik suatu garis dalam ruang atau persamaan parametrik suatu garis dalam ruang, maka persamaannya harus diperoleh terlebih dahulu dalam bentuk dua bidang yang berpotongan, dan baru setelah itu mencari koordinat titik potongnya.

Dua garis berpotongan didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang Oksiz persamaan dan . Temukan koordinat titik potong garis-garis tersebut.

Mari kita definisikan garis lurus awal dengan persamaan dua bidang yang berpotongan:

Untuk mencari koordinat titik potong garis, tinggal menyelesaikan sistem persamaan. Pangkat matriks utama sistem ini sama dengan pangkat matriks yang diperluas dan sama dengan tiga (sebaiknya periksa fakta ini). Mari kita ambil minor sebagai basisnya, oleh karena itu, kita dapat menghilangkan persamaan terakhir dari sistem. Setelah menyelesaikan sistem yang dihasilkan menggunakan metode apa pun (misalnya, metode Cramer), kita memperoleh solusinya. Jadi, titik potong garis tersebut mempunyai koordinat (-2, 3, -5) .

Pelajaran dari seri “Algoritma Geometris”

Halo pembaca yang budiman!

Mari kita lanjutkan perkenalan dengan algoritma geometri. Pada pelajaran terakhir, kita menemukan persamaan garis lurus menggunakan koordinat dua titik. Kami mendapat persamaan bentuk:

Hari ini kita akan menulis sebuah fungsi yang, dengan menggunakan persamaan dua garis lurus, akan mencari koordinat titik potongnya (jika ada). Untuk memeriksa persamaan bilangan real, kita akan menggunakan fungsi khusus RealEq().

Titik-titik pada bidang digambarkan dengan sepasang bilangan real. Saat menggunakan tipe nyata, lebih baik mengimplementasikan operasi perbandingan menggunakan fungsi khusus.

Diketahui alasannya: pada tipe Real pada sistem pemrograman Pascal tidak terdapat relasi keteraturan, sehingga sebaiknya tidak menggunakan record berbentuk a = b, dimana a dan b adalah bilangan real.
Hari ini kami akan memperkenalkan fungsi RealEq() untuk mengimplementasikan operasi “=” (sama persis):

Fungsi RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (sangat sama) mulai RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Tugas. Persamaan dua garis lurus diberikan: dan . Temukan titik perpotongannya.

Larutan. Solusi yang jelas adalah menyelesaikan sistem persamaan garis: Mari kita menulis ulang sistem ini sedikit berbeda:
(1)

Mari kita perkenalkan notasi berikut: , , . Di sini D adalah determinan sistem, dan merupakan determinan yang dihasilkan dari penggantian kolom koefisien untuk variabel yang tidak diketahui dengan kolom suku bebas. Jika , maka sistem (1) pasti, yaitu mempunyai solusi unik. Solusi ini dapat ditemukan dengan menggunakan rumus berikut: , yang disebut Rumus Cramer. Izinkan saya mengingatkan Anda bagaimana determinan orde kedua dihitung. Penentu membedakan dua diagonal: utama dan sekunder. Diagonal utama terdiri dari elemen-elemen yang diambil searah dari sudut kiri atas determinan ke sudut kanan bawah. Sisi diagonal - dari kanan atas ke kiri bawah. Penentu orde kedua sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal sekunder.

Kode ini menggunakan fungsi RealEq() untuk memeriksa kesetaraan. Perhitungan bilangan real dilakukan dengan akurasi _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Nyata=1e-7;(akurasi perhitungan) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real;<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Fungsi RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (sangat sama) mulai RealEq:=Abs(a-b)



@ 2024 nobelbar.ru - Sepatu, pakaian, gaya, aksesoris, manikur, gaya rambut