Előzetes tüzérségi előkészítés után a 3-4-5 funkciófészkelésű példák kevésbé lesznek ijesztőek. A következő két példa bonyolultnak tűnhet egyesek számára, de ha megérti őket (valaki szenvedni fog), akkor szinte minden más a differenciálszámításban gyerekviccnek tűnik.

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Mint már említettük, egy komplex függvény deriváltjának megtalálásához először is szükség van rá JobbÉRTSE MEG befektetéseit. Azokban az esetekben, amikor kétségek merülnek fel, emlékeztetek egy hasznos technikára: vesszük például az „x” kísérleti értékét, és megpróbáljuk (mentálisan vagy vázlatosan) ezt az értéket behelyettesíteni a „szörnyű kifejezésbe”.

1) Először ki kell számítanunk a kifejezést, ami azt jelenti, hogy az összeg a legmélyebb beágyazás.

2) Ezután ki kell számítania a logaritmust:

4) Ezután felkockázzuk a koszinuszát:

5) Az ötödik lépésben a különbség:

6) És végül, a legkülső függvény a négyzetgyök:

Képlet egy összetett függvény megkülönböztetésére fordított sorrendben alkalmazzák, a legkülső funkciótól a legbelsőig. Mi döntünk:

Úgy tűnik, hiba nélkül:

1) Vegyük a négyzetgyök deriváltját.

2) Vegye ki a különbség deriváltját a szabály segítségével

3) A hármas deriváltja nulla. A második tagban vesszük a fok (kocka) deriváltját.

4) Vegyük a koszinusz deriváltját.

6) És végül vesszük a legmélyebb beágyazás származékát.

Lehet, hogy túl nehéznek tűnik, de nem ez a legbrutálisabb példa. Vegyük például Kuznyecov gyűjteményét, és értékelni fogja az elemzett származék minden szépségét és egyszerűségét. Észrevettem, hogy szeretnek hasonlót adni egy vizsgán, hogy ellenőrizzék, hogy a hallgató érti-e, hogyan kell egy komplex függvény deriváltját megtalálni, vagy nem érti.

A következő példa arra szolgál, hogy egyedül oldja meg.

3. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Tipp: Először a linearitási szabályokat és a termékdifferenciálási szabályokat alkalmazzuk

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Ideje áttérni valami kisebbre és szebbre.
Nem ritka, hogy egy példa nem két, hanem három függvény szorzatát mutatja. Hogyan találjuk meg a három tényező szorzatának deriváltját?

4. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Először is nézzük meg, hogy lehet-e három függvény szorzatát két függvény szorzatává alakítani? Például, ha két polinom van a szorzatban, akkor kinyithatjuk a zárójeleket. De a vizsgált példában az összes függvény különbözik: fok, kitevő és logaritmus.

Ilyen esetekben szükséges szekvenciálisan alkalmazza a termékdifferenciálási szabályt kétszer

A trükk az, hogy „y”-vel két függvény szorzatát jelöljük: , „ve”-vel pedig a logaritmust: . Miért lehet ezt megtenni? Ez valóban - ez nem két tényező szorzata és a szabály nem működik?! Nincs semmi bonyolult:

Most már másodszor kell alkalmazni a szabályt zárójelbe:

Meg is csavarodhat, és zárójelbe tesz valamit, de ebben az esetben jobb, ha pontosan ebben a formában hagyja a választ - könnyebb lesz ellenőrizni.

A vizsgált példa a második módon is megoldható:

Mindkét megoldás teljesen egyenértékű.

5. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa egy független megoldásra, a mintában az első módszerrel van megoldva.

Nézzünk hasonló példákat a törtekkel.

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Többféleképpen is eljuthatsz ide:

Vagy így:

De a megoldást tömörebben írjuk le, ha először a hányados differenciálási szabályát alkalmazzuk , figyelembe véve a teljes számlálót:

Elvileg a példa meg van oldva, és ha így marad, akkor nem lesz hiba. De ha van időd, mindig célszerű megnézni egy piszkozatot, hátha egyszerűsíthető a válasz?

Csökkentsük a számláló kifejezését közös nevezőre, és szabaduljunk meg a tört háromemeletes szerkezetétől:

A további egyszerűsítések hátránya, hogy nem a származék megtalálásakor, hanem a banális iskolaátalakítások során fennáll a hiba veszélye. Másrészt a tanárok gyakran elutasítják a feladatot, és azt kérik, hogy „hozzuk eszünkbe” a származékot.

Egy egyszerűbb példa önálló megoldásra:

7. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Továbbra is elsajátítjuk a derivált megtalálásának módszereit, és most egy tipikus esetet veszünk figyelembe, amikor a „szörnyű” logaritmust javasolják a differenciáláshoz

Komplex függvény származéka. Példák megoldásokra

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan kell megtalálni komplex függvény deriváltja. A lecke a lecke logikus folytatása Hogyan lehet megtalálni a származékot?, amelyben a legegyszerűbb származékokat vizsgáltuk, valamint megismerkedtünk a differenciálás szabályaival és néhány technikai technikával a származékok megtalálásához. Ezért, ha nem ismeri túl jól a függvények származékait, vagy a cikk egyes pontjai nem teljesen világosak, akkor először olvassa el a fenti leckét. Kérem, legyen komoly a hangulata – az anyag nem egyszerű, de azért igyekszem egyszerűen és érthetően bemutatni.

A gyakorlatban nagyon gyakran, mondhatnám, szinte mindig kell egy komplex függvény deriváltjával foglalkozni, amikor feladatokat kapunk a deriváltok keresésére.

Nézzük a táblázatot az összetett függvény megkülönböztetésére szolgáló (5. sz.) szabálynál:

Találjuk ki. Először is figyeljünk a bejegyzésre. Itt két függvényünk van - és, és a függvény képletesen szólva a függvénybe van beágyazva. Az ilyen típusú függvényt (amikor az egyik függvény egy másikba van beágyazva) összetett függvénynek nevezzük.

Meghívom a függvényt külső funkcióés a funkciót – belső (vagy beágyazott) függvény.

! Ezek a definíciók nem elméletiek, és nem szerepelhetnek a feladatok végső kialakításában. A „külső funkció”, „belső” funkció informális kifejezéseket csak azért használom, hogy megkönnyítsem az anyag megértését.

A helyzet tisztázásához vegye figyelembe:

1. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

A szinusz alatt nem csak az „X” betű van, hanem egy teljes kifejezés, így a derivált közvetlenül a táblázatból való megtalálása nem fog működni. Azt is észrevesszük, hogy az első négy szabályt itt lehetetlen alkalmazni, látszólag van különbség, de tény, hogy a szinusz nem „téphető darabokra”:

Ebben a példában már intuitív módon világos a magyarázataimból, hogy a függvény egy komplex függvény, a polinom pedig egy belső függvény (beágyazás), és egy külső függvény.

Első lépés amit egy komplex függvény deriváltjának megtalálásakor kell tennie, hogy megérteni, hogy melyik funkció belső és melyik külső.

Egyszerű példák esetén egyértelműnek tűnik, hogy egy polinom van beágyazva a szinusz alá. De mi van, ha nem minden nyilvánvaló? Hogyan lehet pontosan meghatározni, hogy melyik funkció külső és melyik belső? Ehhez a következő technikát javaslom, amit lehet mentálisan vagy piszkozatban is.

Képzeljük el, hogy ki kell számítanunk az at kifejezés értékét egy számológépen (egy helyett tetszőleges szám lehet).

Mit számolunk először? Először is a következő műveletet kell végrehajtania: , ezért a polinom belső függvény lesz:

Másodszor meg kell találni, tehát a szinusz – külső függvény lesz:

Miután mi ELADVA A belső és külső függvényeknél itt az ideje alkalmazni az összetett függvények megkülönböztetésének szabályát.

Kezdjük el dönteni. Az osztályból Hogyan lehet megtalálni a származékot? ne felejtsük el, hogy bármely származék megoldásának tervezése mindig így kezdődik - a kifejezést zárójelbe tesszük, és egy körvonalat teszünk a jobb felső sarokban:

Először megtaláljuk a külső függvény deriváltját (szinusz), nézzük meg az elemi függvények deriváltjainak táblázatát, és vegyük észre, hogy . Minden táblázati képlet akkor is alkalmazható, ha az „x”-t összetett kifejezéssel helyettesítjük, ebben az esetben:

Felhívjuk figyelmét, hogy a belső funkció nem változott, nem nyúlunk hozzá.

Nos, ez teljesen nyilvánvaló

A képlet alkalmazásának végeredménye így néz ki:

A konstans tényező általában a kifejezés elejére kerül:

Félreértés esetén írja le a megoldást papírra, és olvassa el újra a magyarázatokat.

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

3. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Mint mindig, most is leírjuk:

Nézzük meg, hol van külső és hol belső funkciónk. Ehhez megpróbáljuk (mentálisan vagy vázlatosan) kiszámítani a kifejezés értékét a -nál. Mit kell először csinálni? Először is ki kell számolni, hogy mi az alap: ezért a polinom a belső függvény:

És csak ezután hajtják végre a hatványozást, ezért a hatványfüggvény egy külső függvény:

A képlet szerint először meg kell találni a külső függvény deriváltját, jelen esetben a fokát. A táblázatban keressük a szükséges képletet: . Még egyszer megismételjük: bármely táblázatos képlet nem csak „X”-re, hanem összetett kifejezésre is érvényes. Így az összetett függvény megkülönböztetésére vonatkozó szabály alkalmazásának eredménye a következő:

Ismét hangsúlyozom, hogy ha a külső függvény deriváltját vesszük, a belső funkciónk nem változik:

Most már csak meg kell találni a belső függvény nagyon egyszerű deriváltját, és egy kicsit módosítani az eredményt:

4. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (válasz a lecke végén).

Hogy megszilárdítsam egy összetett függvény deriváltjának megértését, egy megjegyzés nélkül hozok egy példát, próbálja meg egyedül kitalálni, indokolja meg, hol van a külső és hol a belső függvény, miért így oldják meg a feladatokat?

5. példa

a) Keresse meg a függvény deriváltját!

b) Keresse meg a függvény deriváltját!

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt van egy gyökér, és a gyökér megkülönböztetéséhez hatalomként kell ábrázolni. Így először hozzuk a függvényt a megkülönböztetéshez megfelelő formába:

A függvényt elemezve arra a következtetésre jutunk, hogy a három tag összege belső függvény, a hatványra emelés pedig külső függvény. Alkalmazzuk az összetett függvények differenciálási szabályát:

A fokot ismét gyökként (gyökként) ábrázoljuk, és a belső függvény deriváltjára egy egyszerű szabályt alkalmazunk az összeg differenciálására:

Kész. A kifejezést zárójelben lévő közös nevezőre is csökkentheti, és mindent egy törtként írhat le. Természetesen szép, de ha nehézkes hosszú származékokat kap, jobb, ha ezt nem teszi (könnyű összezavarodni, felesleges hibát elkövetni, és a tanárnak kényelmetlen lesz ellenőrizni).

7. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (válasz a lecke végén).

Érdekes megjegyezni, hogy néha az összetett függvények megkülönböztetésének szabálya helyett használhatja a hányadosok megkülönböztetésének szabályát. , de egy ilyen megoldás vicces perverziónak tűnik. Íme egy tipikus példa:

8. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt használhatja a hányados differenciálásának szabályát , de sokkal jövedelmezőbb egy komplex függvény differenciálási szabályán keresztül megtalálni a deriváltot:

Felkészítjük a függvényt a differenciálásra - a mínuszt kimozgatjuk a derivált előjelből, és a koszinust a számlálóba emeljük:

A koszinusz belső függvény, a hatványozás külső függvény.
Használjuk a szabályunkat:

Megkeressük a belső függvény deriváltját, és visszaállítjuk a koszinuszát:

Kész. A vizsgált példában fontos, hogy ne keveredjünk össze a jelekben. Egyébként próbáld meg a szabály segítségével megoldani , a válaszoknak egyeznie kell.

9. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (válasz a lecke végén).

Eddig olyan eseteket vizsgáltunk, amikor egy komplex függvényben csak egy fészkelődésünk volt. A gyakorlati feladatokban gyakran találhatunk származékokat, ahol a fészkelő babákhoz hasonlóan egymásba 3 vagy akár 4-5 függvény kerül egyszerre.

10. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ismerjük meg ennek a függvénynek a mellékleteit. Próbáljuk meg kiszámítani a kifejezést a kísérleti érték segítségével. Hogyan számolnánk egy számológéppel?

Először meg kell találni, ami azt jelenti, hogy az arcszinusz a legmélyebb beágyazás:

Az egyiknek ezt az arcszinuszát négyzetre kell emelni:

És végül hetet emelünk hatványra:

Vagyis ebben a példában három különböző függvényünk és két beágyazásunk van, míg a legbelső függvény az arcszinusz, a legkülső függvény pedig az exponenciális függvény.

Kezdjük el dönteni

A szabály szerint először a külső függvény deriváltját kell venni. Megnézzük a derivált táblázatot, és megkeressük az exponenciális függvény deriváltját: Az egyetlen különbség az, hogy „x” helyett egy komplex kifejezésünk van, ami nem tagadja ennek a képletnek az érvényességét. Tehát az összetett függvények megkülönböztetésére vonatkozó szabály alkalmazásának eredménye a következő:

A stroke alatt ismét összetett funkciónk van! De ez már egyszerűbb. Könnyen ellenőrizhető, hogy a belső függvény az arcszinusz, a külső függvény a fokszám. Az összetett függvények megkülönböztetésének szabálya szerint először a hatvány deriváltját kell venni.

Mióta idejöttél, valószínűleg már láttad ezt a képletet a tankönyvben

és csinálj egy ilyen arcot:

Barátom, ne aggódj! Valójában minden egyszerűen felháborító. Biztosan mindent meg fogsz érteni. Csak egy kérés - olvassa el a cikket lassan, próbáljon megérteni minden lépést. A lehető legegyszerűbben és érthetőbben írtam, de még mindig meg kell értened az ötletet. És feltétlenül oldja meg a feladatokat a cikkből.

Mi az összetett függvény?

Képzelje el, hogy egy másik lakásba költözik, és ezért nagy dobozokba csomagolja a dolgokat. Tegyük fel, hogy össze kell gyűjtened néhány apróságot, például iskolai írószereket. Ha csak bedobod őket egy hatalmas dobozba, többek között elvesznek. Ennek elkerülése érdekében először tedd például egy zacskóba, amit aztán egy nagy dobozba teszel, utána lezárod. Ezt az „összetett” folyamatot az alábbi diagram mutatja be:

Úgy tűnik, mi köze ehhez a matematikának? Igen, annak ellenére, hogy egy komplex függvény PONTOSAN UGYANÉBEN jön létre! Csak mi nem füzeteket és tollakat „pakolunk”, hanem \(x\), míg a „csomagok” és a „dobozok” különböznek.

Például vegyük x-et és „csomagoljuk” egy függvénybe:

Ennek eredményeként természetesen a \(\cos⁡x\) értéket kapjuk. Ez a mi „táskánk”. Most tegyük egy „dobozba” - csomagoljuk például egy kockafüggvénybe.

Mi lesz a végén? Igen, ez így van, lesz egy „zsák holmi egy dobozban”, azaz „X koszinusz kockában”.

Az így létrejövő tervezés összetett funkció. Abban különbözik az egyszerűtől TÖBB „befolyást” (csomagot) alkalmazunk egy X-re egymás utánés kiderül, mintha „funkció a funkcióból” – „csomagolás a csomagoláson belül”.

Az iskolai tanfolyamon ezeknek a „csomagoknak” nagyon kevés típusa van, mindössze négy:

Most „csomagoljuk” X-et először egy 7-es bázisú exponenciális függvénybe, majd egy trigonometrikus függvénybe. Kapunk:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Most „csomagoljuk” x-et kétszer trigonometrikus függvényekbe, először be, majd be:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Egyszerű, igaz?

Most írd be magad a függvényeket, ahol x:
- először koszinuszba, majd \(3\) bázisú exponenciális függvénybe „csomagoljuk”;
- először az ötödik hatványra, majd az érintőre;
- először a logaritmushoz \(4\) bázishoz , majd a \(-2\) hatványra.

Erre a feladatra a cikk végén találja meg a választ.

Nem kétszer, hanem háromszor „pakolhatjuk” X-et? Nincs mit! És négyszer, ötször és huszonötször. Itt van például egy függvény, amelyben az x \(4\)-szer „be van csomagolva”:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

De az iskolai gyakorlatban nem lesz ilyen képlet (a tanulók szerencsésebbek, az övék lehet bonyolultabb☺).

Egy összetett funkció "kicsomagolása".

Nézze meg újra az előző funkciót. Ki tudod találni a „csomagolási” sorrendet? Mibe tömték bele először X-et, mibe aztán, és így tovább a legvégéig. Vagyis melyik függvény melyikbe van beágyazva? Vegyen egy papírt, és írja le, mit gondol. Ezt megteheti nyilakkal ellátott lánccal, ahogy fent írtuk, vagy bármilyen más módon.

Most a helyes válasz: először x-et „pakoltunk” a \(4\)-edik hatványba, majd az eredményt egy szinuszba, azt viszont a logaritmusba a \(2\) bázisba. , és végül ezt az egész konstrukciót egy hatványötösbe tömték.

Vagyis a szekvenciát FORDÍTOTT SORBAN kell letekernie. És itt van egy tipp, hogyan csináld könnyebben: azonnal nézd meg az X-et – táncolni kell belőle. Nézzünk néhány példát.

Például itt van a következő függvény: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Nézzük az X-et – mi történik vele először? Elvették tőle. És akkor? Az eredmény tangensét veszik. A sorrend ugyanaz lesz:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Egy másik példa: \(y=\cos⁡((x^3))\). Elemezzük – először X-et kockáztunk, majd vettük az eredmény koszinuszát. Ez azt jelenti, hogy a sorozat a következő lesz: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Figyelem, a funkció hasonlónak tűnik a legelsőhöz (ahol képek vannak). De ez egy teljesen más függvény: itt van a kockában x (vagyis \(\cos⁡((x·x·x)))\), és ott van a kockában a koszinusz \(x\) ( azaz \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ez a különbség a különböző „csomagolási” szekvenciákból adódik.

Az utolsó példa (fontos információval benne): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jól látható, hogy itt először aritmetikai műveleteket végeztek x-szel, majd vették az eredmény szinuszát: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). És ez egy fontos szempont: annak ellenére, hogy az aritmetikai műveletek önmagukban nem függvények, itt is „csomagolásként” működnek. Vegyünk egy kicsit mélyebben ebbe a finomságba.

Ahogy fentebb mondtam, az egyszerű függvényekben az x egyszer van „csomagolva”, az összetett függvényekben pedig kettő vagy több. Ezenkívül egyszerű függvények bármilyen kombinációja (azaz összegük, különbségük, szorzásuk vagy osztásuk) szintén egyszerű függvény. Például az \(x^7\) egy egyszerű függvény, és a \(ctg x\) is az. Ez azt jelenti, hogy minden kombinációjuk egyszerű függvény:

\(x^7+ ctg x\) - egyszerű,
\(x^7· kiságy x\) – egyszerű,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – egyszerű stb.

Ha azonban egy ilyen kombinációra még egy függvényt alkalmazunk, az összetett függvény lesz, mivel két „csomag” lesz. Lásd a diagramot:

Oké, menj tovább. Írja fel a „csomagolás” függvények sorrendjét:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
A válaszok ismét a cikk végén találhatóak.

Belső és külső funkciók

Miért kell megértenünk a függvénybeágyazódást? Mit ad ez nekünk? A helyzet az, hogy ilyen elemzés nélkül nem tudjuk megbízhatóan megtalálni a fent tárgyalt függvények származékait.

A továbblépéshez pedig még két fogalomra lesz szükségünk: belső és külső funkciókra. Ez egy nagyon egyszerű dolog, sőt, tulajdonképpen fentebb már elemeztük őket: ha a legelején emlékezünk a hasonlatunkra, akkor a belső funkció egy „csomag”, a külső funkció pedig egy „doboz”. Azok. amibe X először „be van csomagolva”, az belső függvény, és amibe a belső függvény „be van csomagolva”, az már külső. Nos, világos, hogy miért – kívül van, ez azt jelenti, hogy külső.

Ebben a példában: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), a \(\log_2⁡x\) függvény belső, és
- külső.

És ebben: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) belső, és
- külső.

Végezzük el az összetett függvények elemzésének utolsó gyakorlatát, és menjünk végre arra, amiért mindannyian elkezdtük – megtaláljuk az összetett függvények származékait:

Töltse ki a táblázat üres helyeit:

Komplex függvény származéka

Bravó nekünk, végre eljutottunk ennek a témának a „főnökéhez” – tulajdonképpen egy összetett függvény származékához, és konkrétan ahhoz a nagyon szörnyű képlethez a cikk elején.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ez a képlet így hangzik:

Egy komplex függvény deriváltja egyenlő a külső függvény egy állandó belső függvényre vonatkozó deriváltjának és a belső függvény deriváltjának szorzatával.

És azonnal nézze meg az elemzési diagramot a szavak szerint, hogy megértse, mit kell tennie:

Remélem, a „származék” és a „termék” kifejezések nem okoznak nehézséget. „Összetett funkció” – már rendeztük. A fogás a „külső függvény származékában van egy állandó belső függvényhez képest”. Ami?

Válasz: Ez egy külső függvény szokásos deriváltja, amelyben csak a külső függvény változik, a belső pedig ugyanaz marad. Még mindig nem világos? Oké, használjunk egy példát.

Legyen egy \(y=\sin⁡(x^3)\) függvény. Nyilvánvaló, hogy a belső függvény itt \(x^3\), és a külső
. Most keressük meg a külső származékát az állandó belső vonatkozásában.

Komplex származékok. Logaritmikus derivált.
Hatvány-exponenciális függvény deriváltja

Továbbra is fejlesztjük differenciálási technikánkat. Ebben a leckében összevonjuk az általunk tárgyalt anyagot, megnézzük az összetettebb deriváltokat, valamint megismerkedünk a derivált megtalálásának új technikáival és trükkjeivel, különösen a logaritmikus deriválttal.

Azok az olvasók, akik alacsony felkészültséggel rendelkeznek, olvassák el a cikket Hogyan lehet megtalálni a származékot? Példák megoldásokra, amely lehetővé teszi, hogy szinte a semmiből emelje tudását. Ezután alaposan tanulmányoznia kell az oldalt Komplex függvény származéka, megérteni és megoldani Minden az általam felhozott példákat. Ez a lecke logikusan a harmadik a sorban, és elsajátítása után magabiztosan megkülönbözteti a meglehetősen összetett funkciókat. Nem kívánatos a „Hol máshol? Elég volt!”, hiszen minden példa és megoldás valós tesztekből származik, és gyakran találkozunk vele a gyakorlatban.

Kezdjük az ismétléssel. A leckében Komplex függvény származéka Számos példát néztünk meg részletes megjegyzésekkel. A differenciálszámítás és a matematikai elemzés más ágainak tanulmányozása során nagyon gyakran kell differenciálni, és nem mindig kényelmes (és nem is mindig szükséges) a példák részletes leírása. Ezért szóban fogjuk gyakorolni a származékok megtalálását. Erre a legalkalmasabb „jelöltek” a legegyszerűbb összetett függvények származékai, például:

Az összetett függvények differenciálási szabálya szerint :

A jövőben más matan témák tanulmányozásakor ilyen részletes nyilvántartásra legtöbbször nincs szükség, feltételezhető, hogy a hallgató tudja, hogyan találhat ilyen származékokat autopilotán. Képzeljük el, hogy hajnali 3 órakor megszólalt a telefon, és egy kellemes hang megkérdezte: "Mi a deriváltja két X tangensének?" Ezt szinte azonnali és udvarias válasznak kell követnie: .

Az első példa azonnal önálló megoldásra lesz szánva.

1. példa

Keresse meg szóban, például egy műveletben a következő származékokat: . A feladat elvégzéséhez csak használnia kell elemi függvények deriváltjainak táblázata(ha még nem emlékeztél rá). Ha nehézségei vannak, javaslom, hogy olvassa el újra a leckét Komplex függvény származéka.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Válaszok a lecke végén

Komplex származékok

Előzetes tüzérségi előkészítés után a 3-4-5 funkciófészkelésű példák kevésbé lesznek ijesztőek. A következő két példa bonyolultnak tűnhet egyesek számára, de ha megérti őket (valaki szenvedni fog), akkor szinte minden más a differenciálszámításban gyerekviccnek tűnik.

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Mint már említettük, egy komplex függvény deriváltjának megtalálásához először is szükség van rá JobbÉRTSE MEG befektetéseit. Azokban az esetekben, amikor kétségek merülnek fel, emlékeztetek egy hasznos technikára: vesszük például az „x” kísérleti értékét, és megpróbáljuk (mentálisan vagy vázlatosan) ezt az értéket behelyettesíteni a „szörnyű kifejezésbe”.

1) Először ki kell számítanunk a kifejezést, ami azt jelenti, hogy az összeg a legmélyebb beágyazás.

2) Ezután ki kell számítania a logaritmust:

4) Ezután felkockázzuk a koszinuszát:

5) Az ötödik lépésben a különbség:

6) És végül, a legkülső függvény a négyzetgyök:

Képlet egy összetett függvény megkülönböztetésére fordított sorrendben alkalmazzák, a legkülső funkciótól a legbelsőig. Mi döntünk:

Úgy tűnik, nincs hiba...

(1) Vegyük a négyzetgyök deriváltját.

(2) A különbség deriváltját a szabály segítségével vesszük

(3) A hármas deriváltja nulla. A második tagban vesszük a fok (kocka) deriváltját.

(4) Vegyük a koszinusz deriváltját.

(5) Vegyük a logaritmus deriváltját.

(6) És végül vesszük a legmélyebb beágyazás származékát.

Lehet, hogy túl nehéznek tűnik, de nem ez a legbrutálisabb példa. Vegyük például Kuznyecov gyűjteményét, és értékelni fogja az elemzett származék minden szépségét és egyszerűségét. Észrevettem, hogy szeretnek hasonlót adni egy vizsgán, hogy ellenőrizzék, hogy a hallgató érti-e, hogyan kell egy komplex függvény deriváltját megtalálni, vagy nem érti.

A következő példa arra szolgál, hogy egyedül oldja meg.

3. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Tipp: Először a linearitási szabályokat és a termékdifferenciálási szabályokat alkalmazzuk

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Ideje áttérni valami kisebbre és szebbre.
Nem ritka, hogy egy példa nem két, hanem három függvény szorzatát mutatja. Hogyan találjuk meg a három tényező szorzatának deriváltját?

4. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Először is nézzük meg, hogy lehet-e három függvény szorzatát két függvény szorzatává alakítani? Például, ha két polinom van a szorzatban, akkor kinyithatjuk a zárójeleket. De a vizsgált példában az összes függvény különbözik: fok, kitevő és logaritmus.

Ilyen esetekben szükséges szekvenciálisan alkalmazza a termékdifferenciálási szabályt kétszer

A trükk az, hogy „y”-vel két függvény szorzatát jelöljük: , „ve”-vel pedig a logaritmust: . Miért lehet ezt megtenni? Ez valóban – ez nem két tényező szorzata és a szabály nem működik?! Nincs semmi bonyolult:

Most már másodszor kell alkalmazni a szabályt zárójelbe:

Meg is csavarodhat, és zárójelbe tesz valamit, de ebben az esetben jobb, ha pontosan ebben a formában hagyja a választ - könnyebb lesz ellenőrizni.

A vizsgált példa a második módon is megoldható:

Mindkét megoldás teljesen egyenértékű.

5. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa egy független megoldásra, a mintában az első módszerrel van megoldva.

Nézzünk hasonló példákat a törtekkel.

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Többféleképpen is eljuthatsz ide:

Vagy így:

De a megoldást tömörebben írjuk le, ha először a hányados differenciálási szabályát alkalmazzuk , figyelembe véve a teljes számlálót:

Elvileg a példa meg van oldva, és ha így marad, akkor nem lesz hiba. De ha van időd, mindig célszerű megnézni egy piszkozatot, hátha egyszerűsíthető a válasz? A számláló kifejezését redukáljuk közös nevezőre és szabaduljunk meg a háromemeletes törttől:

A további egyszerűsítések hátránya, hogy nem a származék megtalálásakor, hanem a banális iskolaátalakítások során fennáll a hiba veszélye. Másrészt a tanárok gyakran elutasítják a feladatot, és azt kérik, hogy „hozzuk eszünkbe” a származékot.

Egy egyszerűbb példa önálló megoldásra:

7. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Továbbra is elsajátítjuk a derivált megtalálásának módszereit, és most egy tipikus esetet veszünk figyelembe, amikor a „szörnyű” logaritmust javasolják a differenciáláshoz

8. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt hosszú utat tehet meg az összetett függvények megkülönböztetésének szabályával:

De a legelső lépés azonnal csüggedtségbe sodor – törthatványból kell venni a kellemetlen származékot, majd törtből is.

Ezért előtt hogyan vegyük le egy „kifinomult” logaritmus deriváltját, először egyszerűsítjük a jól ismert iskolai tulajdonságok segítségével:

! Ha van kéznél egy gyakorlófüzet, másolja közvetlenül oda ezeket a képleteket. Ha nincs jegyzetfüzete, másolja ki őket egy papírra, mivel a lecke többi példája ezen képletek körül fog forogni.

Magát a megoldást így írhatjuk le:

Alakítsuk át a függvényt:

A származék megkeresése:

Maga a függvény előzetes konvertálása nagyban leegyszerűsítette a megoldást. Így ha hasonló logaritmust javasolnak a differenciáláshoz, mindig tanácsos „lebontani”.

És most néhány egyszerű példa, amelyet önállóan megoldhat:

9. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

10. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Minden átalakítás és válasz a lecke végén található.

Logaritmikus derivált

Ha a logaritmusok származéka ilyen édes zene, akkor felmerül a kérdés: lehetséges-e bizonyos esetekben mesterségesen rendszerezni a logaritmust? Tud! És még szükséges is.

11. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Nemrég néztünk hasonló példákat. Mit kell tenni? Alkalmazhatja egymás után a hányados differenciálási szabályát, majd a szorzat differenciálási szabályát. Ennek a módszernek az a hátránya, hogy a végén egy hatalmas háromemeletes törtet kapunk, amivel egyáltalán nem akarunk foglalkozni.

De elméletben és gyakorlatban van egy olyan csodálatos dolog, mint a logaritmikus derivált. A logaritmusokat mesterségesen is meg lehet szervezni, ha mindkét oldalra „akasztjuk” őket:

Most a jobb oldal logaritmusát kell „szétszedni”, amennyire csak lehetséges (képletek a szemed előtt?). Ezt a folyamatot részletesen leírom:

Kezdjük a megkülönböztetéssel.
Mindkét részt a prime alatt zárjuk:

A jobb oldal származéka meglehetősen egyszerű, nem kommentálom, mert ha ezt a szöveget olvassa, akkor magabiztosan kell kezelnie.

Mi van a bal oldallal?

A bal oldalon van összetett funkció. Előre látom a kérdést: „Miért van egy „Y” betű a logaritmus alatt?

Az a tény, hogy ez az „egy betűs játék” - ÖNMAGA FUNKCIÓ(ha nem túl világos, nézze meg az implicit módon megadott függvény származéka című cikket). Ezért a logaritmus egy külső függvény, az „y” pedig egy belső függvény. És a szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére használjuk :

A bal oldalon, mintha varázsütésre, van egy származékunk. Ezután az arányszabály szerint átvisszük az „y”-t a bal oldali nevezőből a jobb oldal tetejére:

És most emlékezzünk, milyen „játékos” funkcióról beszéltünk a megkülönböztetés során? Nézzük a feltételt:

Végső válasz:

12. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A lecke végén egy ilyen típusú minta minta látható.

A logaritmikus derivált segítségével a 4-7. példák bármelyikét meg lehetett oldani, más dolog, hogy ott egyszerűbbek a függvények, és talán a logaritmikus derivált használata nem nagyon indokolt.

Hatvány-exponenciális függvény deriváltja

Ezt a funkciót még nem vettük figyelembe. A hatvány-exponenciális függvény olyan függvény, amelyre mind a fok, mind az alap az „x”-től függ. Egy klasszikus példa, amelyet bármelyik tankönyvben vagy előadásban megadunk:

Hogyan találjuk meg a hatvány-exponenciális függvény deriváltját?

Az imént tárgyalt technikát kell használni - a logaritmikus deriváltot. Mindkét oldalra logaritmusokat akasztunk:

Általában a jobb oldalon a fokszám kikerül a logaritmus alól:

Ennek eredményeként a jobb oldalon két függvény szorzata látható, amelyeket a szabványos képlet szerint különböztetünk meg. .

Megtaláljuk a származékot, ehhez mindkét részt vonjuk be körvonalakkal:

A további műveletek egyszerűek:

Végül:

Ha bármely konverzió nem teljesen egyértelmű, kérjük, olvassa el újra figyelmesen a 11. példa magyarázatait.

A gyakorlati feladatokban a hatvány-exponenciális függvény mindig bonyolultabb lesz, mint a vizsgált előadási példa.

13. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

A logaritmikus deriváltot használjuk.

A jobb oldalon van egy konstans és két tényező szorzata - „x” és „x logaritmus” (a logaritmus alá egy másik logaritmus van beágyazva). A differenciálásnál, mint emlékszünk, jobb, ha a konstanst azonnal kimozdítjuk a származékjelből, hogy ne álljon útban; és természetesen alkalmazzuk az ismert szabályt :

Mint látható, a logaritmikus derivált használatának algoritmusa nem tartalmaz semmilyen különleges trükköt vagy trükköt, és a hatvány-exponenciális függvény deriváltjának megtalálása általában nem jár „kínnal”.

Példák a deriváltak kiszámítására egy komplex függvény deriváltjának képletével.

Az alábbiakban példákat adunk a következő függvények deriváltjainak kiszámítására:
; ; ; ; .

Ha egy függvény összetett függvényként ábrázolható a következő formában:
,
akkor a származékát a következő képlet határozza meg:
.
Az alábbi példákban ezt a képletet a következőképpen írjuk fel:
.
Ahol .
Itt a származékjel alatt található alsó indexek vagy jelölik azokat a változókat, amelyek alapján a differenciálás történik.

Általában a derivált táblázatokban az x változóból származó függvények deriváltjait adjuk meg. Az x azonban formális paraméter. Az x változó bármely más változóval helyettesíthető. Ezért amikor egy függvényt változótól megkülönböztetünk, egyszerűen a derivált táblázatban az x változót u változóra cseréljük.

Egyszerű példák

1. példa

Keresse meg egy komplex függvény deriváltját!
.

Megoldás

Írjuk fel az adott függvényt ekvivalens formában:
.
A származékok táblázatában a következőket találjuk:
;
.

Az összetett függvény deriváltjának képlete szerint a következőket kapjuk:
.
Itt .

Válasz

2. példa

Keresse meg a származékot
.

Megoldás

A derivált előjelből kivesszük az 5-ös konstanst, és a deriváltak táblázatából ezt kapjuk:
.

.
Itt .

Válasz

3. példa

Keresse meg a származékot
.

Megoldás

Kiveszünk egy állandót -1 a derivált előjelére és a származéktáblázatból ezt találjuk:
;
A származékok táblázatából a következőket találjuk:
.

Az összetett függvény deriváltjának képletét alkalmazzuk:
.
Itt .

Válasz

Bonyolultabb példák

Bonyolultabb példákban többször alkalmazzuk az összetett függvény megkülönböztetésének szabályát. Ebben az esetben a deriváltot a végétől számítjuk. Ez azt jelenti, hogy a függvényt komponensrészekre bontjuk, és a legegyszerűbb részek deriváltjait használjuk származékok táblázata. Mi is használjuk összegek megkülönböztetésének szabályai, termékek és frakciók. Ezután behelyettesítéseket végzünk, és alkalmazzuk a komplex függvény deriváltjának képletét.

4. példa

Keresse meg a származékot
.

Megoldás

Válasszuk ki a képlet legegyszerűbb részét, és keressük meg a származékát. .

.
Itt a jelölést használtuk
.

A kapott eredmények felhasználásával megtaláljuk az eredeti függvény következő részének deriváltját. Az összeg megkülönböztetésére a következő szabályt alkalmazzuk:
.

Ismét alkalmazzuk az összetett függvények differenciálásának szabályát.

.
Itt .

Válasz

5. példa

Keresse meg a függvény deriváltját!
.

Megoldás

Válasszuk ki a képlet legegyszerűbb részét, és keressük meg a deriváltját a deriválttáblából. .

Alkalmazzuk az összetett függvények differenciálásának szabályát.
.
Itt
.