Központi és axiális szimmetria. Szimmetriatengelyek

Az emberek élete tele van szimmetriával. Kényelmes, gyönyörű, és nem kell új szabványokat kitalálni. De mi is ez valójában, és vajon olyan szép-e a természetben, mint ahogyan azt általában hiszik?

Szimmetria

Ősidők óta az emberek igyekeztek megszervezni a körülöttük lévő világot. Ezért néhány dolgot szépnek tartanak, és néhányat nem annyira. Esztétikai szempontból az arany és az ezüst aránya számít vonzónak, valamint természetesen a szimmetria. Ez a kifejezés görög eredetű, és szó szerint „arányosságot” jelent. Természetesen ezen az alapon nem csak a véletlenről beszélünk, hanem néhány másról is. Általános értelemben a szimmetria egy objektum olyan tulajdonsága, amikor bizonyos formációk eredményeként az eredmény megegyezik az eredeti adatokkal. Mind az élő, mind az élettelen természetben, valamint az ember által készített tárgyakban megtalálható.

Először is, a "szimmetria" kifejezést a geometriában használják, de számos tudományterületen alkalmazzák, és jelentése általában változatlan. Ez a jelenség meglehetősen gyakran előfordul, és érdekesnek tekinthető, mivel számos típusa, valamint eleme különbözik. A szimmetria használata azért is érdekes, mert nemcsak a természetben található meg, hanem a szövetmintákban, az épületek szegélyén és sok más ember alkotta tárgyon is. Érdemes ezt a jelenséget részletesebben is megvizsgálni, mert rendkívül lenyűgöző.

A kifejezés használata más tudományterületeken

A továbbiakban a szimmetriát a geometria szemszögéből vizsgáljuk, de érdemes megemlíteni, hogy ezt a szót nem csak itt használjuk. Biológia, virológia, kémia, fizika, krisztallográfia - mindez azon területek hiányos listája, amelyeken ezt a jelenséget különböző szögekből és körülmények között tanulmányozzák. Például az osztályozás attól függ, hogy melyik tudományra vonatkozik ez a kifejezés. Így a típusokra való felosztás nagyon változó, bár néhány alapvető talán mindvégig változatlan marad.

Osztályozás

A szimmetriának több fő típusa van, amelyek közül három a leggyakoribb:

Ezenkívül a következő típusokat is megkülönböztetik a geometriában; sokkal kevésbé gyakoriak, de nem kevésbé érdekesek:

• csúszó;
• forgó;
• pont;
• haladó;
• csavar;
• fraktál;
• stb.

A biológiában minden fajt kissé eltérően neveznek, bár lényegében ugyanazok lehetnek. Az egyes csoportokra való felosztás az egyes elemek, például középpontok, síkok és szimmetriatengelyek megléte vagy hiánya, valamint mennyisége alapján történik. Ezeket külön és részletesebben kell megvizsgálni.

Alapelemek

A jelenségnek vannak bizonyos jellemzői, amelyek közül az egyik szükségszerűen jelen van. Az úgynevezett alapelemek közé tartoznak a síkok, a középpontok és a szimmetriatengelyek. Jelenlétükkel, hiányukkal és mennyiségükkel összhangban kerül meghatározásra a típus.

A szimmetria középpontja az a pont egy alakban vagy kristályon belül, ahol az egymással párhuzamos oldalakat párban összekötő vonalak összefolynak. Természetesen nem mindig létezik. Ha vannak oldalak, amelyekhez nincs párhuzamos pár, akkor ilyen pont nem található, mivel nem létezik. A definíció szerint nyilvánvaló, hogy a szimmetria középpontja az, amelyen keresztül egy figura önmagára tükröződik. Példa lehet például egy kör és egy pont a közepén. Ezt az elemet általában C-vel jelölik.

A szimmetria síkja természetesen képzeletbeli, de pontosan ez osztja az ábrát két egyenlő részre. Áthaladhat egy vagy több oldalon, párhuzamos lehet vele, vagy megoszthatja azokat. Ugyanazon ábrán több sík is létezhet egyszerre. Ezeket az elemeket általában P-vel jelölik.

De talán a leggyakoribb az úgynevezett „szimmetriatengely”. Ez egy általános jelenség, amely a geometriában és a természetben egyaránt megfigyelhető. És ez külön megfontolást érdemel.

Tengelyek

Gyakran az az elem, amelyhez képest egy alak szimmetrikusnak nevezhető

egy egyenes vagy szakasz jelenik meg. Mindenesetre nem pontról vagy síkról beszélünk. Ezután figyelembe veszik a számokat. Nagyon sok lehet, és bármilyen módon elhelyezkedhetnek: az oldalakat elosztva, vagy párhuzamosan velük, valamint a sarkokat metszően vagy nem. A szimmetriatengelyeket általában L-nek jelölik.

Példák az egyenlő szárúak és Az első esetben lesz egy függőleges szimmetriatengely, amelynek mindkét oldalán egyenlő lapok vannak, a másodikban pedig a vonalak metszik az egyes szögeket, és egybeesnek az összes felezővel, mediánnal és magassággal. A közönséges háromszögekben nincs ilyen.

Egyébként a krisztallográfiában és a sztereometriában a fenti elemek összességét szimmetriafoknak nevezzük. Ez a mutató a tengelyek, síkok és középpontok számától függ.

Példák a geometriában

Hagyományosan feloszthatjuk a matematikusok által vizsgált objektumok egész halmazát olyan ábrákra, amelyeknek van szimmetriatengelye, és olyanokra, amelyeknek nincs szimmetriatengelye. Minden kör, ovális, valamint néhány speciális eset automatikusan az első kategóriába, míg a többi a második csoportba tartozik.

Mint abban az esetben, amikor a háromszög szimmetriatengelyéről beszéltünk, ez az elem nem mindig létezik egy négyszög esetében. Négyzetre, téglalapra, rombuszra vagy paralelogrammára igen, de szabálytalan alakra ennek megfelelően nem. Egy kör esetében a szimmetriatengely a középpontján átmenő egyenesek halmaza.

Ezen kívül ebből a szempontból érdekes a háromdimenziós alakzatokat is megvizsgálni. Az összes szabályos sokszög és a golyó mellett néhány kúpnak, valamint piramisoknak, paralelogrammáknak és másoknak legalább egy szimmetriatengelye lesz. Minden esetet külön kell megvizsgálni.

Példák a természetben

Az életben bilaterálisnak hívják, ez fordul elő legtöbbször
gyakran. Bármely ember és sok állat jó példa erre. Az axiálist radiálisnak nevezik, és általában sokkal ritkábban található meg a növényvilágban. És mégis léteznek. Például érdemes elgondolkodni azon, hogy egy csillagnak hány szimmetriatengelye van, és van-e egyáltalán? Természetesen a tengeri élőlényekről beszélünk, és nem a csillagászok tanulmányozásának tárgyáról. A helyes válasz pedig az lenne: a csillag sugarainak számától függ, például öt, ha ötágú.

Ezenkívül számos virágnál megfigyelhető a sugárirányú szimmetria: százszorszép, búzavirág, napraforgó stb. Rengeteg példa van rá, szó szerint mindenhol megtalálhatók.

Szívritmuszavar

Ez a kifejezés elsősorban az orvostudományra és a kardiológiára emlékeztet, de kezdetben kissé eltérő jelentéssel bír. Ebben az esetben a szinonimája az „aszimmetria”, vagyis a szabályosság hiánya vagy megsértése ilyen vagy olyan formában. Megtalálható véletlenül, és néha csodálatos technikává válhat, például a ruházatban vagy az építészetben. Hiszen nagyon sok szimmetrikus épület van, de a híres kissé ferde, és bár nem ez az egyetlen, de a leghíresebb példa. Köztudott, hogy ez véletlenül történt, de ennek megvan a maga varázsa.

Emellett nyilvánvaló, hogy az emberek és állatok arca és teste sem teljesen szimmetrikus. Még olyan tanulmányok is születtek, amelyek azt mutatják, hogy a „helyes” arcokat élettelennek vagy egyszerűen nem vonzónak ítélik. Mégis, a szimmetria érzékelése és ez a jelenség önmagában is csodálatos, és még nem vizsgálták teljesen, ezért rendkívül érdekesek.

Axiális szimmetria és a tökéletesség fogalma

A tengelyirányú szimmetria a természet minden formája velejárója, és a szépség egyik alapelve. Ősidők óta az ember próbálkozott

hogy megértsük a tökéletesség jelentését. Ezt a koncepciót először az ókori Görögország művészei, filozófusai és matematikusai támasztották alá. És magát a „szimmetria” szót is ők találták ki. Az egész részeinek arányosságát, harmóniáját és azonosságát jelöli. Az ókori görög gondolkodó, Platón azt állította, hogy csak az a tárgy lehet szép, amely szimmetrikus és arányos. Valóban, azok a jelenségek és formák, amelyek arányosak és teljesek, „tetszik a szemnek”. Mi helyesnek nevezzük őket.

Az axiális szimmetria mint fogalom

A szimmetria az élőlények világában az azonos testrészek középponthoz vagy tengelyhez viszonyított szabályos elrendezésében nyilvánul meg. Gyakrabban bent

Tengelyszimmetria fordul elő a természetben. Nemcsak a szervezet általános felépítését határozza meg, hanem későbbi fejlődésének lehetőségeit is. Az élőlények geometriai alakzatait és arányait a „tengelyszimmetria” alakítja ki. Definíciója a következőképpen fogalmazódik meg: ez az objektumok azon tulajdonsága, hogy különféle transzformációk során kombinálhatók. A régiek azt hitték, hogy a gömb a legteljesebb mértékben rendelkezik a szimmetria elvével. Harmonikusnak és tökéletesnek tartották ezt a formát.

Tengelyszimmetria az élő természetben

Ha bármelyik élőlényre ránézel, a test felépítésének szimmetriája azonnal megragadja a tekintetét. Ember: két kar, két láb, két szem, két fül és így tovább. Minden állatfajnak van egy jellegzetes színe. Ha egy minta jelenik meg a színezésben, akkor általában mindkét oldalon tükröződik. Ez azt jelenti, hogy van egy bizonyos vonal, amely mentén az állatok és az emberek vizuálisan két azonos félre oszthatók, vagyis geometriai felépítésük axiális szimmetrián alapul. A természet minden élő szervezetet nem kaotikusan és értelmetlenül, hanem a világrend általános törvényei szerint hoz létre, mert az Univerzumban semminek sincs pusztán esztétikai, dekoratív célja. A különféle formák jelenléte a természetes szükségszerűségnek is köszönhető.

Tengelyszimmetria az élettelen természetben

A világon mindenhol olyan jelenségek és tárgyak vesznek körül bennünket, mint: tájfun, szivárvány, csepp, levelek, virágok stb. Tükrös, sugárirányú, központi, tengelyirányú szimmetriájuk nyilvánvaló. Ez nagyrészt a gravitáció jelenségének köszönhető. A szimmetria fogalma gyakran utal bizonyos jelenségek változásának szabályosságára: nappal és éjszaka, tél, tavasz, nyár és ősz stb. A gyakorlatban ez a tulajdonság ott van, ahol a rendet betartják. És maguk a természeti törvények - biológiai, kémiai, genetikai, csillagászati ​​- a mindannyiunkra jellemző szimmetriaelveknek vannak alávetve, mivel irigylésre méltó rendszerességük van. Így az egyensúlynak, az identitásnak mint elvnek egyetemes hatálya van. A természetben a tengelyirányú szimmetria az egyik „sarokkő” törvény, amelyen az univerzum egésze alapul.

én . Szimmetria a matematikában :

Alapfogalmak és definíciók.

Tengelyszimmetria (definíciók, kiviteli terv, példák)

Központi szimmetria (definíciók, kiviteli terv, mikorintézkedések)

Összefoglaló táblázat (összes tulajdonság, szolgáltatás)

II . A szimmetria alkalmazásai:

1) matematikából

2) kémiában

3) biológiából, növénytanból és állattanból

4) művészetben, irodalomban és építészetben

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. A szimmetria alapfogalmai és típusai.

A szimmetria fogalma R visszanyúlik az emberiség egész történelmére. Már az emberi tudás eredeténél megtalálható. Egy élő szervezet, nevezetesen az ember tanulmányozása kapcsán merült fel. És a szobrászok használták még a Kr.e. V. században. e. A „szimmetria” szó görögül azt jelenti, hogy „arányosság, arányosság, azonosság az alkatrészek elrendezésében”. A modern tudomány minden területe kivétel nélkül széles körben alkalmazza. Sok nagyszerű ember gondolt már erre a mintára. Például L. N. Tolsztoj ezt mondta: „Egy fekete tábla előtt állva, és krétával különböző figurákat rajzoltam rá, hirtelen megütött a gondolat: miért tiszta a szimmetria a szemnek? Mi a szimmetria? Ez egy veleszületett érzés – válaszoltam magamnak. Min alapul?" A szimmetria igazán kellemes a szemnek. Ki ne csodálta volna a természet alkotásainak szimmetriáját: levelek, virágok, madarak, állatok; vagy emberi alkotások: épületek, technika, minden, ami gyermekkorunk óta körülvesz bennünket, minden, ami szépségre és harmóniára törekszik. Hermann Weyl azt mondta: „A szimmetria az az elképzelés, amelyen keresztül az ember a korszakok során megpróbálta megérteni és megteremteni a rendet, a szépséget és a tökéletességet.” Hermann Weyl német matematikus. Tevékenysége a huszadik század első felét öleli fel. Ő fogalmazta meg a szimmetria definícióját, megállapította, hogy adott esetben milyen kritériumok alapján lehet meghatározni a szimmetria meglétét, vagy éppen ellenkezőleg, annak hiányát. Így viszonylag nemrégiben - a huszadik század elején - alakult ki egy matematikailag szigorú koncepció. Elég bonyolult. Forduljunk meg, és emlékezzünk még egyszer azokra a meghatározásokra, amelyeket a tankönyvben kaptunk.

2. Tengelyszimmetria.

2.1 Alapvető definíciók

Meghatározás. Két A és A 1 pontot szimmetrikusnak nevezünk az a egyeneshez képest, ha ez az egyenes áthalad az AA 1 szakasz közepén és merőleges rá. Az a egyenes minden pontját önmagára szimmetrikusnak tekintjük.

Meghatározás. Azt mondják, hogy az ábra szimmetrikus egy egyenesre A, ha az ábra minden pontjához van az egyeneshez képest szimmetrikus pont A is ehhez az alakhoz tartozik. Egyenes Aábra szimmetriatengelyének nevezzük. A figurának állítólag tengelyszimmetriája is van.

2.2 Építési terv

Tehát egy egyeneshez képest szimmetrikus alakzat megalkotásához minden pontból merőlegest húzunk erre az egyenesre, és ugyanarra a távolságra kiterjesztjük, és megjelöljük a kapott pontot. Ezt minden ponttal megtesszük, és egy új ábra szimmetrikus csúcsait kapjuk. Ezután sorba kapcsoljuk őket, és egy adott relatív tengely szimmetrikus alakját kapjuk.

2.3 Példák axiális szimmetriájú ábrákra.

3. Központi szimmetria

3.1 Alapvető definíciók

Meghatározás. Két A és A 1 pontot szimmetrikusnak nevezünk az O ponthoz képest, ha O az AA 1 szakasz közepe. Az O pontot önmagára nézve szimmetrikusnak tekintjük.

Meghatározás. Egy ábrát az O ponthoz képest szimmetrikusnak mondunk, ha az ábra minden pontjához tartozik ehhez az alakhoz egy O pontra szimmetrikus pont is.

3.2 Építési terv

Az adott háromszögre szimmetrikus háromszög szerkesztése az O középponthoz képest.

Egy pontra szimmetrikus pont megalkotása A ponthoz képest RÓL RŐL, elég egy egyenest húzni OA(46. ábra ) és a pont másik oldalán RÓL RŐL szegmenssel egyenlő szegmenst tegye félre OA. Más szavakkal , pont A és ; In és ; C és szimmetrikus valamely O pontra. Az ábrán. 46 egy háromszöget szerkesztünk, amely szimmetrikus egy háromszöggel ABC ponthoz képest RÓL RŐL. Ezek a háromszögek egyenlőek.

A középponthoz képest szimmetrikus pontok felépítése.

Az ábrán az M és M 1, N és N 1 pont szimmetrikus az O ponthoz képest, de a P és Q pont nem szimmetrikus ehhez a ponthoz képest.

Általában egy bizonyos pontra szimmetrikus ábrák egyenlőek .

3.3 Példák

Adjunk példákat olyan ábrákra, amelyeknek központi szimmetriája van. A legegyszerűbb központi szimmetriájú alakzat a kör és a paralelogramma.

Az O pontot az ábra szimmetriaközéppontjának nevezzük. Ilyen esetekben az ábra központi szimmetriájú. A kör szimmetriaközéppontja a kör középpontja, a paralelogramma szimmetriaközéppontja pedig az átlóinak metszéspontja.

Az egyenesnek is van középponti szimmetriája, de a körtől és a paralelogrammától eltérően, amelyeknek csak egy szimmetriaközéppontja van (az ábrán az O pont), az egyenesben végtelen sok van - az egyenes bármely pontja a középpontja a szimmetria.

A képeken a csúcshoz képest szimmetrikus szög, a középponthoz képest egy másik szakaszra szimmetrikus szakasz látható Aés a csúcsára szimmetrikus négyszög M.

Példa egy olyan ábrára, amelynek nincs szimmetriaközéppontja, egy háromszög.

4. Óra összefoglalója

Foglaljuk össze a megszerzett ismereteket. Ma az órán a szimmetria két fő típusát tanultuk meg: a központi és az axiális szimmetriát. Nézzünk a képernyőre, és rendszerezzük a megszerzett ismereteket.

Összefoglaló táblázat

	Axiális szimmetria	Központi szimmetria
Sajátosság	Az ábra minden pontjának szimmetrikusnak kell lennie valamely egyeneshez képest.	Az ábra minden pontjának szimmetrikusnak kell lennie a szimmetriaközéppontnak választott ponthoz képest.
Tulajdonságok	1. A szimmetrikus pontok egy egyenesre merőlegesen helyezkednek el. 3. Az egyenesek egyenesekké, a szögek egyenlő szögekké válnak. 4. A figurák méretei és formái megmaradnak.	1. A szimmetrikus pontok az ábra középpontján és egy adott pontján átmenő egyenesen fekszenek. 2. A pont és az egyenes távolsága egyenlő az egyenes és a szimmetrikus pont távolságával. 3. A figurák méretei és formái megmaradnak.

II. A szimmetria alkalmazása

Matematika	Az algebra órákon az y=x és y=x függvények grafikonjait tanulmányoztuk A képeken különböző parabolaágak felhasználásával ábrázolt képek láthatók. a) oktaéder, (b) rombikus dodekaéder, (c) hatszögletű oktaéder.
orosz nyelv	Az orosz ábécé nyomtatott betűi is különböző típusú szimmetriákkal rendelkeznek. Vannak „szimmetrikus” szavak az orosz nyelvben - palindromák, amely mindkét irányban egyformán olvasható.	A D L M P T F W- függőleges tengely V E Z K S E Y - vízszintes tengely F N O X- függőleges és vízszintes is B G I Y R U C CH SCHY- nincs tengely Alla Anna radarkunyhó
Irodalom	A mondatok palindromikusak is lehetnek. Bryusov írt egy verset „A Hold hangja”, amelyben minden sor palindrom. Nézze meg A. S. Puskin „A bronzlovas” négyesét. Ha a második vonal után egy vonalat húzunk, akkor axiális szimmetria elemeket vehetünk észre	A rózsa pedig Azor mancsára esett. A bíró kardjával jövök. (Deržavin) "Taxi keresése" "Argentína hívja a négert" "Az argentin nagyra értékeli a fekete embert" – Lesha hibát talált a polcon. A Néva gránitba van öltözve; Hidak lógtak a vizek fölött; Sötétzöld kertek Szigetek borították...

Biológia

Az emberi test a kétoldalú szimmetria elvén épül fel. A legtöbben az agyat egyetlen szerkezetnek tekintjük, valójában két részre oszlik. Ez a két rész – két félgömb – szorosan illeszkedik egymáshoz. Az emberi test általános szimmetriájával teljes összhangban minden félteke a másik szinte pontos tükörképe. Az emberi test alapvető mozgásainak és érzékszervi funkcióinak irányítása egyenletesen oszlik meg a két agyfélteke között. A bal félteke irányítja az agy jobb oldalát, a jobb félteke pedig a bal oldalt.

Növénytan

Egy virágot szimmetrikusnak tekintünk, ha minden periant azonos számú részből áll. A páros részekből álló virágokat kettős szimmetriájú virágoknak tekintjük stb. A hármas szimmetria gyakori az egyszikű növényeknél, az ötszörös - a kétszikűeknél A növények szerkezetének és fejlődésének jellemző sajátossága a spiralitás. Ügyeljen a hajtások levélelrendezésére - ez is egy sajátos típusú spirál - csavaros. Még Goethe is, aki nemcsak nagy költő volt, hanem természettudós is, a spiralitást minden organizmus egyik jellemző vonásának, az élet legbensőbb lényegének megnyilvánulásának tartotta. A növények indái spirálisan csavarodnak, a fatörzsekben a szövetek növekedése spirálisan történik, a napraforgóban a magvak spirálisan helyezkednek el, a gyökerek és hajtások növekedése során spirális mozgások figyelhetők meg.

A növények felépítésére és fejlődésükre jellemző a spiralitás. Nézd meg a fenyőtobozt. A felületén lévő mérlegek szigorúan szabályosan vannak elrendezve - két spirál mentén, amelyek körülbelül derékszögben metszik egymást. Az ilyen spirálok száma a fenyőtobozokban 8 és 13 vagy 13 és 21.

Állattan

A szimmetria az állatoknál a méret, a forma és a körvonal egyezését, valamint az elválasztó vonal ellentétes oldalán elhelyezkedő testrészek egymáshoz viszonyított elrendezését jelenti. Radiális vagy radiális szimmetria esetén a test rövid vagy hosszú henger vagy központi tengelyű edény alakú, amelyből a test részei sugárirányban nyúlnak ki. Ezek a coelenterates, a tüskésbőrűek és a tengeri csillagok. Kétoldali szimmetria esetén három szimmetriatengely van, de csak egy pár szimmetrikus oldal. Mert a másik két oldal - hasi és háti - nem hasonlít egymásra. Ez a fajta szimmetria a legtöbb állatra jellemző, beleértve a rovarokat, halakat, kétéltűeket, hüllőket, madarakat és emlősöket.

Axiális szimmetria

	A fizikai jelenségek különböző szimmetriája: elektromos és mágneses mezők szimmetriája (1. ábra) A kölcsönösen merőleges síkban az elektromágneses hullámok terjedése szimmetrikus (2. ábra)	Fig.1 Fig.2
Művészet	A tükörszimmetria gyakran megfigyelhető a műalkotásokon. A tükör" szimmetria széles körben megtalálható a primitív civilizációk műalkotásaiban és az ókori festményekben. A középkori vallásos festményeket is ez a fajta szimmetria jellemzi. Raphael egyik legjobb korai műve, a „Mária eljegyzése” 1504-ben készült. A napfényes kék ég alatt egy völgy húzódik, amelynek tetején egy fehér kőtemplom található. Az előtérben az eljegyzési szertartás. A főpap összehozza Mária és József kezét. Mária mögött egy csapat lány, József mögött egy csapat fiatal férfi. A szimmetrikus kompozíció mindkét részét a szereplők ellenmozgása tartja össze. A modern ízlés számára egy ilyen festmény kompozíciója unalmas, mivel a szimmetria túl nyilvánvaló.

Kémia	A vízmolekulának van egy szimmetriasíkja (egyenes függőleges vonal) A DNS molekulák (dezoxiribonukleinsav) rendkívül fontos szerepet töltenek be az élő természet világában. Ez egy kétláncú, nagy molekulájú polimer, amelynek monomerje nukleotid. A DNS-molekulák kettős hélix szerkezettel rendelkeznek, amely a komplementaritás elvén épül fel.
Architekultúra	Az ember régóta használja a szimmetriát az építészetben. Az ókori építészek különösen ragyogóan használták fel a szimmetriát az építészeti struktúrákban. Ráadásul az ókori görög építészek meg voltak győződve arról, hogy munkáik során a természetet irányító törvények vezérlik őket. A szimmetrikus formák kiválasztásával a művész ezzel kifejezte a természetes harmónia mint stabilitás és egyensúly megértését. Oslo, Norvégia fővárosa a természet és a művészet kifejező együttesével rendelkezik. Ez a Frogner Park - egy tájkertészeti szobrok komplexuma, amelyet 40 év alatt hoztak létre.	Pashkov House Louvre (Párizs)

© Sukhacheva Elena Vladimirovna, 2008-2009.

Tudományos és gyakorlati konferencia

Önkormányzati oktatási intézmény "23. számú középiskola"

Vologda városa

szekció: természettudomány

tervezési és kutatómunka

A SZIMMETRIA TÍPUSAI

A munkát egy 8. osztályos tanuló végezte el

Kreneva Margarita

Vezetője: felsőfokú matematika tanár

2014-es év

Projekt felépítése:

1. Bemutatkozás.

2. A projekt céljai és célkitűzései.

3. A szimmetria típusai:

3.1. Központi szimmetria;

3.2. Axiális szimmetria;

3.3. Tükörszimmetria (szimmetria egy sík körül);

3.4. Forgásszimmetria;

3.5. Hordozható szimmetria.

4. Konklúziók.

A szimmetria az a gondolat, amelyen keresztül az ember évszázadok óta próbálja megérteni és megteremteni a rendet, a szépséget és a tökéletességet.

G. Weil

Bevezetés.

Munkám témáját a „8. osztályos geometria” tantárgy „Axiális és központi szimmetria” szakaszának tanulmányozása után választottam ki. Nagyon érdekelt ez a téma. Azt szerettem volna megtudni: milyen szimmetriatípusok léteznek, miben térnek el egymástól, milyen alapelvei vannak az egyes típusoknál a szimmetrikus figurák megalkotásának.

A munka célja : Bevezetés a szimmetria különböző típusaiba.

Feladatok:

Tanulmányozza a témával kapcsolatos irodalmat.

Foglalja össze és rendszerezze a tanult anyagot.

Készítsen prezentációt.

Az ókorban a „SZIMMETRIA” szó „harmóniát”, „szépséget” jelentett. Görögül fordítva ez a szó azt jelenti: „arányosság, arányosság, azonosság valaminek a részeinek elrendezésében egy pont, egyenes vagy sík ellentétes oldalán.

A szimmetriáknak két csoportja van.

Az első csoportba a pozíciók, formák, struktúrák szimmetriája tartozik. Ez a szimmetria, amely közvetlenül látható. Nevezhetjük geometriai szimmetriának.

A második csoport a fizikai jelenségek és a természeti törvények szimmetriáját jellemzi. Ez a szimmetria a természettudományos világkép alapja: ezt nevezhetjük fizikai szimmetriának.

Abbahagyom a tanulástgeometriai szimmetria .

A geometriai szimmetriának többféle típusa is létezik: központi, axiális, tükör (a síkhoz viszonyított szimmetria), radiális (vagy forgó), hordozható és mások. Ma 5 féle szimmetriát fogok megvizsgálni.

Központi szimmetria

Két A és A pont 1 szimmetrikusnak nevezzük az O ponthoz képest, ha az O ponton átmenő egyenesen fekszenek, és annak ellentétes oldalán azonos távolságra vannak. Az O pontot szimmetriaközéppontnak nevezzük.

Azt mondják, hogy az ábra szimmetrikus a pontraRÓL RŐL , ha az ábra minden pontjához van a ponthoz képest szimmetrikus pontRÓL RŐL is ehhez az alakhoz tartozik. PontRÓL RŐL az ábra szimmetriaközéppontjának nevezett alakzatról azt mondják, hogy központi szimmetriája van.

A központi szimmetriájú ábrákra példa a kör és a paralelogramma.

A dián látható ábrák egy bizonyos ponthoz képest szimmetrikusak

2. Axiális szimmetria

Két pontx És Y egyenesre szimmetrikusnak nevezzükt , ha ez az egyenes áthalad az XY szakasz közepén és merőleges rá. Azt is el kell mondani, hogy minden pont egy egyenest önmagára nézve szimmetrikusnak tekinthető.

Egyenest – szimmetriatengely.

Azt mondják, hogy az ábra szimmetrikus egy egyenesret, ha az ábra minden pontjához az egyeneshez képest szimmetrikus pont tartozikt is ehhez az alakhoz tartozik.

Egyenestegy ábra szimmetriatengelyének nevezzük, az alakról azt mondják, hogy tengelyszimmetriája van.

A kidolgozatlan szög, az egyenlőszárú és egyenlő oldalú háromszög, a téglalap és a rombusz tengelyszimmetriával rendelkezik.levelek (lásd bemutató).

Tükör szimmetria (szimmetria egy sík körül)

Két pont P 1 És P-t szimmetrikusnak nevezzük az a síkhoz képest, ha az a síkra merőleges egyenesen fekszenek, és azonos távolságra vannak attól

Tükör szimmetria mindenki számára jól ismert. Bármilyen tárgyat és annak tükröződését összeköti egy lapos tükörben. Azt mondják, hogy az egyik alak tükörszimmetrikus a másikhoz.

Egy síkon egy számtalan szimmetriatengellyel rendelkező alak egy kör volt. A térben egy golyónak számtalan szimmetriasíkja van.

De ha egy kör egyfajta, akkor a háromdimenziós világban végtelen számú szimmetriasíkkal rendelkező testek egész sora létezik: egy egyenes henger körrel az alján, egy kúp kör alakú alappal, egy labda.

Könnyen megállapítható, hogy tükör segítségével minden szimmetrikus síkfigura önmagához igazítható. Meglepő, hogy az olyan összetett alakzatok is szimmetrikusak, mint az ötágú csillag vagy az egyenlő oldalú ötszög. Mivel ez a tengelyek számából következik, nagy szimmetria jellemzi őket. És fordítva: nem olyan könnyű megérteni, hogy egy ilyen szabályosnak tűnő alak, akár egy ferde paralelogramma, miért aszimmetrikus.

4. P forgásszimmetria (vagy radiális szimmetria)

Forgásszimmetria - ez a szimmetria, a tárgy alakjának megőrzéseha egy bizonyos tengely körül 360°-os szögben forog/n(vagy ennek többszöröse), aholn= 2, 3, 4, … A jelzett tengelyt forgótengelynek nevezzükn-edik sorrend.

Nál néln=2 az ábra összes pontja 180 -os szögben el van forgatva 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) a tengely körül, miközben az ábra alakja megmarad, i.e. az ábra minden pontja ugyanannak az alaknak egy pontjába kerül (az ábra önmagává alakul). A tengelyt másodrendű tengelynek nevezzük.

A 2. ábra egy harmadrendű tengelyt mutat, a 3. ábra - 4. rend, a 4. ábra - az 5. rend.

Egy objektumnak több forgástengelye lehet: 1. ábra - 3 forgástengely, 2. ábra - 4 tengely, 3. ábra - 5 tengely, Fig. 4 – csak 1 tengely

A jól ismert „I” és „F” betűk forgásszimmetriájúak.Ha az „I” betűt 180°-kal elforgatjuk egy, a betű síkjára merőleges és a középpontján áthaladó tengely körül, a betű magához igazodik. Más szavakkal, az „I” betű szimmetrikus a 180°-os elforgatáshoz, 180°= 360°: 2,n=2, ami azt jelenti, hogy másodrendű szimmetriája van.

Vegye figyelembe, hogy az „F” betű másodrendű forgásszimmetriával is rendelkezik.

Ezenkívül a betűnek van egy szimmetriaközéppontja, az F betűnek pedig egy szimmetriatengelye

Térjünk vissza az életből vett példákhoz: egy pohár, egy kúp alakú kiló fagylalt, egy darab drót, egy pipa.

Ha közelebbről megvizsgáljuk ezeket a testeket, észrevehetjük, hogy így vagy úgy mindegyik egy körből áll, végtelen számú szimmetriatengelyen keresztül számtalan szimmetriasík létezik. A legtöbb ilyen testnek (ezeket forgástesteknek nevezzük) természetesen van egy szimmetriaközéppontja is (kör középpontja), amelyen legalább egy forgási szimmetriatengely áthalad.

Például jól látható a fagylalttölcsér tengelye. A kör közepétől (a fagylaltból kilógó!) a tölcsérkúp éles végéig fut. Egy test szimmetriaelemeinek összességét egyfajta szimmetria-mértékként fogjuk fel. A labda kétségtelenül a szimmetria szempontjából a tökéletesség felülmúlhatatlan megtestesítője, ideális. Az ókori görögök a legtökéletesebb testnek, a kört pedig természetesen a legtökéletesebb lapos alaknak tekintették.

Egy adott objektum szimmetriájának leírásához meg kell jelölni az összes forgástengelyt és azok sorrendjét, valamint az összes szimmetriasíkot.

Vegyünk például egy geometriai testet, amely két azonos szabályos négyszög alakú piramisból áll.

Egy 4. rendű forgótengelye (AB tengely), négy 2. rendű forgótengelye (CE tengely,DF, MP, NQ), öt szimmetriasík (síkokCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Hordozható szimmetria

A szimmetria egy másik fajtája azhordozható Val vel szimmetria.

Ilyen szimmetriáról akkor beszélünk, ha egy alakot egyenes vonal mentén valamilyen „a” távolságra vagy olyan távolságra mozgatva, amely ennek az értéknek a többszöröse, egybeesik önmagával. Az egyenes vonalat, amely mentén az átvitel megtörténik, átviteli tengelynek, az „a” távolságot pedig elemi átvitelnek, periódusnak vagy szimmetrialépésnek nevezzük.

A

Egy hosszú csíkon periodikusan ismétlődő mintát szegélynek nevezünk. A gyakorlatban a szegélyek különféle formákban találhatók (falfestés, öntöttvas, gipszdombormű vagy kerámia). A szegélyeket festők és művészek használják a szoba díszítésekor. Ezen díszek elkészítéséhez sablont készítenek. Mozgatjuk a stencilt, megfordítva vagy nem, a körvonalat nyomkodjuk, megismételjük a mintát, és díszt kapunk (vizuális bemutató).

A szegély könnyen megépíthető stencil segítségével (a kiinduló elem), mozgatva vagy megfordítva és megismételve a mintát. Az ábrán ötféle sablon látható:A ) aszimmetrikus;időszámításunk előtt ) amelynek egy szimmetriatengelye van: vízszintes vagy függőleges;G ) központilag szimmetrikus;d ), amelynek két szimmetriatengelye van: függőleges és vízszintes.

A határok létrehozásához a következő átalakításokat kell használni:

A ) párhuzamos átvitel;b ) szimmetria a függőleges tengely körül;V ) központi szimmetria;G ) szimmetria a vízszintes tengely körül.

Ugyanígy építhetsz aljzatokat. Ehhez a kört fel kell osztanin egyenlő szektorokat, az egyikben mintamintát készítünk, majd az utóbbit egymás után megismételjük a kör többi részében, minden alkalommal 360°-os szögben elforgatva a mintát/n .

Az axiális és hordozható szimmetria használatának egyértelmű példája a fényképen látható kerítés.

Következtetés: A szimmetriának tehát különböző típusai vannak, a szimmetrikus pontok mindegyikében bizonyos törvények szerint épülnek fel. Az életben mindenhol egyfajta szimmetriával találkozunk, és gyakran a minket körülvevő tárgyakban is többféle szimmetria figyelhető meg egyszerre. Ez rendet, szépséget és tökéletességet teremt a körülöttünk lévő világban.

IRODALOM:

Az elemi matematika kézikönyve. M.Ya. Vigodszkij. – „Nauka” kiadó. – Moszkva 1971 – 416 oldal.

Idegen szavak modern szótára. - M.: Orosz nyelv, 1993.

A matematika története az iskolábanIX - xosztályok. GI. Glaser. – „Prosveshcheniye” kiadó. – Moszkva 1983 – 351 oldal.

Vizuális geometria 5. – 6. évfolyam. HA. Sharygin, L.N. Erganzhieva. – „Drofa” kiadó, Moszkva 2005. – 189 oldal

Enciklopédia gyerekeknek. Biológia. S. Ismailova. – Avanta+ Kiadó. – Moszkva 1997 – 704 oldal.

Urmancev Yu.A. A természet szimmetriája és a szimmetria természete - M.: Mysl arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/

("arányosságot" jelent) - a geometriai objektumok azon tulajdonsága, hogy bizonyos átalakítások során önmagukkal kombinálhatók. A „szimmetria” alatt a test vagy az alak belső szerkezetének bármilyen szabályosságát értjük.

Központi szimmetria— szimmetria egy pont körül.

ponthoz képest O, ha egy ábra minden pontjához tartozik az O ponthoz képest vele szimmetrikus pont is ehhez az ábrához. Az O pontot az ábra szimmetriaközéppontjának nevezzük.

BAN BEN egydimenziós tér (egyenes vonalon) a központi szimmetria tükörszimmetria.

Egy repülőn (be 2-dimenziós tér) szimmetria A középponttal 180 fokos elforgatás A középponttal. A síkban lévő központi szimmetria a forgatáshoz hasonlóan megőrzi a tájolást.

Központi szimmetria be háromdimenziós a teret gömbszimmetriának is nevezik. A szimmetriaközépponton átmenő síkhoz viszonyított visszaverődés kompozíciójaként ábrázolható, 180°-os elforgatással a szimmetriaközépponton átmenő és a fent említett visszaverődési síkra merőleges egyeneshez képest.

BAN BEN 4 dimenziós térben, a központi szimmetria két egymásra merőleges, a szimmetriaközépponton áthaladó sík körüli 180°-os elforgatás összetételeként ábrázolható.

Axiális szimmetria- szimmetria egy egyeneshez képest.

Az ábrát szimmetrikusnak nevezzük viszonylag egyenes a, ha egy ábra minden pontjához tartozik az a egyeneshez képest vele szimmetrikus pont is ehhez az ábrához. Az a egyenest az ábra szimmetriatengelyének nevezzük.

Axiális szimmetria két definíciója van:

- Fényvisszaverő szimmetria.

A matematikában az axiális szimmetria egyfajta mozgás (tükörtükrözés), amelyben a rögzített pontok halmaza egy egyenes, az úgynevezett szimmetriatengely. Például egy lapos téglalap térben aszimmetrikus, és 3 szimmetriatengelye van, ha nem négyzet.

- Forgásszimmetria.

A természettudományokban az axiális szimmetria alatt az egyenes vonal körüli forgásokhoz viszonyított forgásszimmetriát értünk. Ebben az esetben a testeket tengelyszimmetrikusnak nevezzük, ha az egyenes körüli tetszőleges forgásnál önmaguvá alakulnak át. Ebben az esetben a téglalap nem tengelyszimmetrikus test lesz, hanem a kúp.

A minket körülvevő világ számos objektumának síkján lévő képeknek van szimmetriatengelye vagy szimmetriaközéppontja. Sok falevél és virágszirom szimmetrikus az átlagos szárra.

Gyakran találkozunk szimmetriával a művészetben, az építészetben, a technológiában és a mindennapi életben. Számos épület homlokzata tengelyirányú szimmetriával rendelkezik. A legtöbb esetben a szőnyegek, szövetek és beltéri tapéták mintái szimmetrikusak a tengely vagy a középpont körül. A mechanizmusok sok része, például a fogaskerekek, szimmetrikusak.