3 σε διάφορους βαθμούς. Ισχύς ή εκθετικές εξισώσεις
Μεταβείτε στο κανάλι youtube της ιστοσελίδας μας για να μείνετε ενημερωμένοι με όλα τα νέα μαθήματα βίντεο.
Αρχικά, ας θυμηθούμε τους βασικούς τύπους των δυνάμεων και τις ιδιότητές τους.
Προϊόν ενός αριθμού έναεμφανίζεται στον εαυτό του n φορές, μπορούμε να γράψουμε αυτή την έκφραση ως a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Ισχύς ή εκθετικές εξισώσεις– πρόκειται για εξισώσεις στις οποίες οι μεταβλητές είναι σε δυνάμεις (ή εκθέτες) και η βάση είναι ένας αριθμός.
Παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων:
Σε αυτό το παράδειγμα, ο αριθμός 6 είναι η βάση· είναι πάντα στο κάτω μέρος και η μεταβλητή Χβαθμός ή δείκτης.
Ας δώσουμε περισσότερα παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Τώρα ας δούμε πώς λύνονται οι εκθετικές εξισώσεις;
Ας πάρουμε μια απλή εξίσωση:
2 x = 2 3
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να λυθεί ακόμα και στο κεφάλι σας. Μπορεί να φανεί ότι x=3. Εξάλλου, για να είναι ίσες η αριστερή και η δεξιά πλευρά, πρέπει να βάλετε τον αριθμό 3 αντί για το x.
Ας δούμε τώρα πώς να επισημοποιήσετε αυτήν την απόφαση:
2 x = 2 3
x = 3
Για να λύσουμε μια τέτοια εξίσωση, αφαιρέσαμε πανομοιότυπους λόγους(δηλαδή δύο) και σημείωσε ό,τι απέμεινε, αυτά είναι πτυχία. Πήραμε την απάντηση που ψάχναμε.
Τώρα ας συνοψίσουμε την απόφασή μας.
Αλγόριθμος για την επίλυση της εκθετικής εξίσωσης:
1. Χρειάζεται έλεγχος το ίδιοαν η εξίσωση έχει βάσεις δεξιά και αριστερά. Εάν οι λόγοι δεν είναι οι ίδιοι, αναζητούμε επιλογές για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα.
2. Αφού οι βάσεις γίνουν ίδιες, εξισώνωμοίρες και λύστε τη νέα εξίσωση που προκύπτει.
Ας δούμε τώρα μερικά παραδείγματα:
Ας ξεκινήσουμε με κάτι απλό.
Οι βάσεις στην αριστερή και δεξιά πλευρά είναι ίσες με τον αριθμό 2, που σημαίνει ότι μπορούμε να απορρίψουμε τη βάση και να εξισώσουμε τις μοίρες τους.
x+2=4 Λαμβάνεται η απλούστερη εξίσωση.
x=4 – 2
x=2
Απάντηση: x=2
Στο παρακάτω παράδειγμα μπορείτε να δείτε ότι οι βάσεις είναι διαφορετικές: 3 και 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Πρώτα, μετακινήστε το εννέα στη δεξιά πλευρά, παίρνουμε:
Τώρα πρέπει να φτιάξετε τις ίδιες βάσεις. Γνωρίζουμε ότι 9=3 2. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο ισχύος (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Παίρνουμε 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Τώρα είναι σαφές ότι στην αριστερή και δεξιά πλευρά οι βάσεις είναι ίδιες και ίσες με τρεις, που σημαίνει ότι μπορούμε να τις απορρίψουμε και να εξισώσουμε τις μοίρες.
3x=2x+16 παίρνουμε την απλούστερη εξίσωση
3x - 2x=16
x=16
Απάντηση: x=16.
Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Πρώτα από όλα, κοιτάμε τις βάσεις, τις βάσεις δύο και τέσσερις. Και χρειαζόμαστε να είναι το ίδιο. Μετασχηματίζουμε τα τέσσερα χρησιμοποιώντας τον τύπο (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Και χρησιμοποιούμε επίσης έναν τύπο a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Προσθέστε στην εξίσωση:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Δώσαμε ένα παράδειγμα για τους ίδιους λόγους. Μας ενοχλούν όμως άλλοι αριθμοί 10 και 24. Τι να τους κάνουμε; Αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ότι στην αριστερή πλευρά έχουμε 2 2 φορές επαναλαμβανόμενα, εδώ είναι η απάντηση - μπορούμε να βάλουμε 2 2 φορές εκτός παρενθέσεων:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Ας υπολογίσουμε την έκφραση σε αγκύλες:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με το 6:
Ας φανταστούμε 4=2 2:
2 2x = 2 2 βάσεις είναι ίδιες, τις πετάμε και εξισώνουμε τις μοίρες.
2x = 2 είναι η απλούστερη εξίσωση. Το χωρίζουμε με το 2 και παίρνουμε
x = 1
Απάντηση: x = 1.
Ας λύσουμε την εξίσωση:
9 x – 12*3 x +27= 0
Ας μετατρέψουμε:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Παίρνουμε την εξίσωση:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Οι βάσεις μας είναι ίδιες, ίσες με τρία.Σε αυτό το παράδειγμα, μπορείτε να δείτε ότι οι τρεις πρώτοι έχουν βαθμό διπλάσιο (2x) από το δεύτερο (μόλις x). Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε να λύσετε μέθοδος αντικατάστασης. Αντικαθιστούμε τον αριθμό με τον μικρότερο βαθμό:
Τότε 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Αντικαθιστούμε όλες τις x δυνάμεις στην εξίσωση με t:
t 2 - 12t+27 = 0
Παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση. Επιλύοντας μέσω της διάκρισης, παίρνουμε:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Επιστρέφοντας στη μεταβλητή Χ.
Πάρτε το t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Αυτό είναι,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Βρέθηκε μια ρίζα. Ψάχνουμε για το δεύτερο από το t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Απάντηση: x 1 = 2; x 2 = 1.
Στην ιστοσελίδα μπορείτε να κάνετε όποιες ερωτήσεις μπορεί να έχετε στην ενότητα ΒΟΗΘΕΙΑ ΑΠΟΦΑΣΙΣΤΕ, σίγουρα θα σας απαντήσουμε.
Εγγραφείτε στην ομάδα
Τύποι πτυχίωνχρησιμοποιείται στη διαδικασία μείωσης και απλοποίησης σύνθετων εκφράσεων, στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων.
Αριθμός ντοείναι n-η δύναμη ενός αριθμού έναΟταν:
Επιχειρήσεις με πτυχία.
1. Πολλαπλασιάζοντας τις μοίρες με την ίδια βάση, προστίθενται οι δείκτες τους:
είμαι·a n = a m + n .
2. Κατά τη διαίρεση των μοιρών με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται:
3. Ο βαθμός του γινομένου 2 ή περισσότερων παραγόντων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών αυτών των παραγόντων:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Ο βαθμός ενός κλάσματος είναι ίσος με τον λόγο των μοιρών του μερίσματος και του διαιρέτη:
(a/b) n = a n /b n .
5. Ανεβάζοντας μια δύναμη σε δύναμη, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται:
(a m) n = a m n .
Κάθε τύπος παραπάνω ισχύει στις κατευθύνσεις από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα.
Για παράδειγμα. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Επεμβάσεις με ρίζες.
1. Η ρίζα του γινομένου πολλών παραγόντων είναι ίση με το γινόμενο των ριζών αυτών των παραγόντων:
2. Η ρίζα ενός λόγου είναι ίση με τον λόγο του μερίσματος και του διαιρέτη των ριζών:
3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε δύναμη, αρκεί να αυξήσετε τον ριζικό αριθμό σε αυτήν την ισχύ:
4. Αν αυξήσετε το βαθμό της ρίζας μέσα nμια φορά και ταυτόχρονα ενσωματώνονται nΗ ισχύς είναι ένας ριζικός αριθμός, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:
5. Αν μειώσετε το βαθμό της ρίζας μέσα nεξάγετε τη ρίζα ταυτόχρονα n-η δύναμη ενός ριζικού αριθμού, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:
Ένας βαθμός με αρνητικό εκθέτη.Η ισχύς ενός ορισμένου αριθμού με έναν μη θετικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τη δύναμη του ίδιου αριθμού με έναν εκθέτη ίσο με την απόλυτη τιμή του μη θετικού εκθέτη:
Τύπος είμαι:a n =a m - nμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για Μ> n, αλλά και με Μ< n.
Για παράδειγμα. ένα4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Στη φόρμουλα είμαι:a n =a m - nέγινε δίκαιο όταν m=n, απαιτείται η παρουσία μηδενικού βαθμού.
Πτυχίο με μηδενικό δείκτη.Η ισχύς οποιουδήποτε αριθμού που δεν ισούται με μηδέν με μηδενικό εκθέτη είναι ίση με ένα.
Για παράδειγμα. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Βαθμός με κλασματικό εκθέτη.Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό ΕΝΑστον βαθμό m/n, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα nο βαθμός του Μ-η δύναμη αυτού του αριθμού ΕΝΑ.
ΥΛΙΚΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΙΑ ΤΑ ΤΑΞΕΙΣ 7-11.
Αγαπητοί γονείς!Αν ψάχνετε για δάσκαλο μαθηματικών για το παιδί σας, τότε αυτή η διαφήμιση είναι για εσάς. Προσφέρω μαθήματα Skype: προετοιμασία για τις εξετάσεις Unified State, Unified State Exam, κλείσιμο των κενών γνώσεων. Τα οφέλη σας είναι προφανή:
1) Το παιδί σας είναι στο σπίτι και μπορείτε να είστε ήρεμοι μαζί του.
2) Τα μαθήματα γίνονται σε ώρα βολική για το παιδί και μπορείτε ακόμη και να παρακολουθήσετε αυτά τα μαθήματα. Το εξηγώ απλά και ξεκάθαρα στον συνηθισμένο σχολικό πίνακα.
3) Μπορείτε να σκεφτείτε μόνοι σας άλλα σημαντικά πλεονεκτήματα των μαθημάτων Skype!
- Δουλειά nπαράγοντες, καθένας από τους οποίους είναι ίσος ΕΝΑπου ονομάζεται n-η δύναμη του αριθμού ΕΝΑκαι ορίζεται ΕΝΑn.
- Η ενέργεια με την οποία βρίσκεται το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων ονομάζεται εκθετική. Ο αριθμός που αυξάνεται σε μια δύναμη ονομάζεται βάση της δύναμης. Ο αριθμός που δείχνει σε ποια δύναμη ανυψώνεται η βάση ονομάζεται εκθέτης. Ετσι, ΕΝΑn- βαθμός, ΕΝΑ– τη βάση του πτυχίου, n– εκθέτης.
- και 0 = 1
- α 1 =α
- είμαι∙ a n= είμαι + n
- είμαι: a n= είμαι — n
- (είμαι) n= ένα μν
- (a∙b) n =a n ∙b n
- (ένα/ σι) n= a n/ b nΌταν ανυψώνουμε ένα κλάσμα σε δύναμη, τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής του κλάσματος αυξάνονται σε αυτή τη δύναμη.
- (- n) ου δύναμη (n – φυσικός) αριθμός ΕΝΑ, όχι ίσο με μηδέν, θεωρείται ο αντίστροφος αριθμός n-η δύναμη του αριθμού ΕΝΑ, δηλ. . ένα — n=1/ a n. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
- (ένα/ σι) — n=(σι/ ένα) n
- Οι ιδιότητες ενός βαθμού με φυσικό εκθέτη ισχύουν και για βαθμούς με οποιονδήποτε εκθέτη.
Οι πολύ μεγάλοι και οι πολύ μικροί αριθμοί συνήθως γράφονται σε τυπική μορφή: ένα∙10 n, Οπου 1≤a<10 Και n(φυσικός ή ακέραιος) – είναι η σειρά ενός αριθμού γραμμένου σε τυπική μορφή.
- Οι παραστάσεις που αποτελούνται από αριθμούς, μεταβλητές και τις δυνάμεις τους χρησιμοποιώντας την ενέργεια του πολλαπλασιασμού ονομάζονται μονώνυμα.
- Αυτός ο τύπος μονωνύμου, όταν έρχεται πρώτος ο αριθμητικός παράγοντας (συντελεστής) και ακολουθούν οι μεταβλητές με τις δυνάμεις τους, ονομάζεται τυπικός τύπος μονωνύμου. Το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε ένα μονώνυμο ονομάζεται βαθμός του μονωνύμου.
- Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο γράμμα ονομάζονται παρόμοια μονώνυμα.
- Το άθροισμα των μονοωνύμων ονομάζεται πολυώνυμο. Τα μονώνυμα που αποτελούν ένα πολυώνυμο ονομάζονται όροι του πολυωνύμου.
- Ένα διώνυμο είναι ένα πολυώνυμο που αποτελείται από δύο όρους (μονώνυμα).
- Ένα τριώνυμο είναι ένα πολυώνυμο που αποτελείται από τρεις όρους (μονώνυμα).
- Ο βαθμός ενός πολυωνύμου είναι ο υψηλότερος από τους βαθμούς των μονοωνύμων που το αποτελούν.
- Ένα πολυώνυμο τυπικής μορφής δεν περιέχει παρόμοιους όρους και γράφεται με φθίνουσα σειρά των βαθμών των όρων του.
- Για να πολλαπλασιάσετε ένα μονώνυμο με ένα πολυώνυμο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο του πολυωνύμου με αυτό το μονώνυμο και να προσθέσετε τα γινόμενα που προκύπτουν.
- Η αναπαράσταση ενός πολυωνύμου ως γινόμενο δύο ή περισσότερων πολυωνύμων ονομάζεται παραγοντοποίηση του πολυωνύμου.
- Η αφαίρεση του κοινού παράγοντα εκτός αγκύλων είναι ο απλούστερος τρόπος για να παραγοντοποιήσετε ένα πολυώνυμο.
- Για να πολλαπλασιάσετε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο ενός πολυωνύμου με κάθε όρο ενός άλλου πολυωνύμου και να γράψετε τα γινόμενα που προκύπτουν ως άθροισμα μονοωνύμων. Εάν χρειάζεται, προσθέστε παρόμοιους όρους.
- (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Τετράγωνο του αθροίσματος δύο παραστάσεωνισούται με το τετράγωνο της πρώτης παράστασης συν το διπλάσιο του γινόμενου της πρώτης παράστασης και της δεύτερης συν το τετράγωνο της δεύτερης παράστασης.
- (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Τετράγωνο διαφοράς δύο εκφράσεωνισούται με το τετράγωνο της πρώτης παράστασης μείον το διπλάσιο του γινόμενου της πρώτης παράστασης και της δεύτερης συν το τετράγωνο της δεύτερης παράστασης.
- a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Διαφορά τετραγώνων δύο παραστάσεωνισούται με το γινόμενο της διαφοράς μεταξύ των ίδιων των εκφράσεων και του αθροίσματος τους.
- (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Κύβος του αθροίσματος δύο παραστάσεωνισούται με τον κύβο της πρώτης παράστασης συν τριπλάσιο το γινόμενο του τετραγώνου της πρώτης παράστασης και το δεύτερο συν τριπλάσιο το γινόμενο της πρώτης παράστασης και το τετράγωνο της δεύτερης συν τον κύβο της δεύτερης παράστασης.
- (α-β) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3Κύβος διαφοράς δύο εκφράσεωνισούται με τον κύβο της πρώτης παράστασης μείον τριπλάσιο το γινόμενο του τετραγώνου της πρώτης παράστασης και το δεύτερο συν τριπλάσιο του γινόμενου της πρώτης παράστασης και το τετράγωνο της δεύτερης μείον τον κύβο της δεύτερης παράστασης.
- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Άθροισμα κύβων δύο παραστάσεωνισούται με το γινόμενο του αθροίσματος των ίδιων των παραστάσεων και του ημιτελούς τετραγώνου της διαφοράς τους.
- a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Διαφορά κύβων δύο παραστάσεωνισούται με το γινόμενο της διαφοράς μεταξύ των ίδιων των εκφράσεων και του μερικού τετραγώνου του αθροίσματος τους.
- (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Τετράγωνο του αθροίσματος τριών παραστάσεωνισούται με το άθροισμα των τετραγώνων αυτών των παραστάσεων συν όλα τα πιθανά διπλασιασμένα σε ζεύγη γινόμενα των ίδιων των παραστάσεων.
- Αναφορά. Το τέλειο τετράγωνο του αθροίσματος δύο παραστάσεων: a 2 + 2ab + b 2
Μερικό τετράγωνο του αθροίσματος δύο παραστάσεων: α 2 + αβ + β 2
Λειτουργία της φόρμας y=x2ονομάζεται τετράγωνη συνάρτηση. Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι μια παραβολή με την κορυφή της στην αρχή. Κλαδιά παραβολής y=x²κατευθύνεται προς τα πάνω.
Λειτουργία της φόρμας y=x 3ονομάζεται κυβική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση μιας κυβικής συνάρτησης είναι μια κυβική παραβολή που διέρχεται από την αρχή. Κλάδοι κυβικής παραβολής y=x³βρίσκονται στο 1ο και 3ο τρίμηνο.
Ομοιόμορφη λειτουργία.
Λειτουργία φάκαλείται έστω και αν, μαζί με κάθε τιμή της μεταβλητής Χ -Χ φά(- Χ)= φά(Χ). Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα τεταγμένων (Oy). Η συνάρτηση y=x 2 είναι άρτια.
Περιττή συνάρτηση.
Λειτουργία φάονομάζεται περιττός εάν, μαζί με κάθε τιμή της μεταβλητής Χαπό τον τομέα της τιμής συνάρτησης ( -Χ) περιλαμβάνεται επίσης στο πεδίο εφαρμογής αυτής της λειτουργίας και η ισότητα ικανοποιείται: φά(- Χ)=- φά(Χ) . Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση. Η συνάρτηση y=x 3 είναι περιττή.
Τετραγωνική εξίσωση.
Ορισμός. Εξίσωση της φόρμας ax 2 +bx+c=0, Οπου α, βΚαι ντο– τυχόν πραγματικούς αριθμούς και a≠0, x– μεταβλητή, που ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση.
ένα– πρώτος συντελεστής, σι– δεύτερος συντελεστής, ντο- δωρεάν μέλος.
Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.
- τσεκούρι 2 =0 – ατελής τετραγωνική εξίσωση (b=0, c=0 ). Λύση: x=0. Απάντηση: 0.
- τσεκούρι 2 +bx=0 –ατελής τετραγωνική εξίσωση (c=0 ). Λύση: x (ax+b)=0 → x 1 =0 ή ax+b=0 → x 2 =-b/a. Απάντηση: 0; -β/α.
- τσεκούρι 2 +γ=0 –ατελής τετραγωνική εξίσωση (b=0 ) Λύση: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
Αν (-c/a)<0 , τότε δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες. Αν (-σ/α)>0
- ax 2 +bx+c=0- τετραγωνική εξίσωσηγενική εικόνα
Διακριτικός D=b 2 - 4ac.
Αν D>0, τότε έχουμε δύο πραγματικές ρίζες:
Αν D=0, τότε έχουμε μία ρίζα (ή δύο ίσες ρίζες) x=-b/(2a).
Αν ο Δ<0, то действительных корней нет.
- ax 2 +bx+c=0 – τετραγωνική εξίσωση ιδιωτική μορφή για έστω και δεύτερο
Συντελεστής σι
- ax 2 +bx+c=0 – τετραγωνική εξίσωση παρέχεται ιδιωτικός τύπος : a-b+c=0.
Η πρώτη ρίζα είναι πάντα ίση με μείον ένα και η δεύτερη ρίζα είναι πάντα ίση με μείον Με, διαιρούμενο με ΕΝΑ:
x 1 =-1, x 2 =-c/a.
- ax 2 +bx+c=0 – τετραγωνική εξίσωση παρέχεται ιδιωτικός τύπος: a+b+c=0 .
Η πρώτη ρίζα είναι πάντα ίση με μία και η δεύτερη ρίζα είναι ίση με Με, διαιρούμενο με ΕΝΑ:
x 1 =1, x 2 =c/a.
Επίλυση των δοσμένων τετραγωνικών εξισώσεων.
- x 2 +px+q=0 – μειωμένη τετραγωνική εξίσωση (ο πρώτος συντελεστής είναι ίσος με ένα).
Άθροισμα ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +px+q=0ισούται με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο:
ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Οπου x 1, x 2- ρίζες δευτεροβάθμιας εξίσωσης ax 2 +bx+c=0.
Η συνάρτηση του φυσικού ορίσματος ονομάζεται αριθμητική ακολουθία και οι αριθμοί που σχηματίζουν την ακολουθία ονομάζονται όροι της ακολουθίας.
Η αριθμητική ακολουθία μπορεί να προσδιοριστεί με τους εξής τρόπους: λεκτική, αναλυτική, επαναλαμβανόμενη, γραφική.
Μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ίσο με το προηγούμενο που προστίθεται στον ίδιο αριθμό για μια δεδομένη ακολουθία ρε, ονομάζεται αριθμητική πρόοδος. Αριθμός ρεονομάζεται διαφορά μιας αριθμητικής προόδου. Σε αριθμητική πρόοδο (α ν), δηλαδή σε μια αριθμητική πρόοδο με όρους: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ..., a n-1, a n, ... εξ ορισμού: a 2 =a 1 + ρε; a 3 =a 2 + ρε; a 4 =a 3 + ρε; a 5 =a 4 + ρε; ...; a n =a n-1 + ρε; …
Τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου.
a n =a 1 +(n-1) d.
Ιδιότητες αριθμητικής προόδου.
- Κάθε όρος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τον δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών του όρων:
a n =(a n-1 +a n+1):2;
- Κάθε όρος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τον δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των όρων που απέχουν ίσα από αυτόν:
a n =(a n-k +a n+k):2.
Τύποι για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου.
1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2
Γεωμετρική πρόοδος.
Ορισμός γεωμετρικής προόδου.
Μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ίσο με το προηγούμενο, πολλαπλασιαζόμενο με τον ίδιο αριθμό για μια δεδομένη ακολουθία q, ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος. Αριθμός qονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου. Στη γεωμετρική πρόοδο (b n), δηλ. στη γεωμετρική πρόοδο b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ..., b n, ... εξ ορισμού: b 2 = b 1 ∙q; b 3 =b 2 ∙q; b 4 =b 3 ∙q; ... ; b n =b n -1 ∙q.
Τύπος για τον ένατο όρο μιας γεωμετρικής προόδου.
b n =b 1 ∙q n -1 .
Ιδιότητες γεωμετρικής προόδου.
Τύπος για το άθροισμα του πρώτουn όροι γεωμετρικής προόδου.
Το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.
Ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό είναι ίσο με ένα κοινό κλάσμα, στον αριθμητή του οποίου είναι η διαφορά μεταξύ ολόκληρου του αριθμού μετά την υποδιαστολή και του αριθμού μετά την υποδιαστολή πριν από την περίοδο του κλάσματος, και ο παρονομαστής αποτελείται από "εννιά" και "μηδενικά", και υπάρχουν τόσα " εννιά» όσα ψηφία υπάρχουν στην περίοδο και τόσα «μηδενικά» όσα ψηφία μετά την υποδιαστολή πριν από την περίοδο του κλάσματος. Παράδειγμα:
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου.
(α+β=90°)
Έχουμε: sinβ=cosα; cosβ=sina; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. Αφού β=90°-α λοιπόν
sin(90°-α)=cosα; cos (90°-α)=sina;
tg (90°-α)=ctgα; ctg (90°-α)=tgα.
Οι συν-συναρτήσεις γωνιών που αλληλοσυμπληρώνονται μέχρι τις 90° είναι ίσες.
Τύποι προσθήκης.
9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;
10) sin (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;
11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;
12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;
Τύποι για διπλά και τριπλά ορίσματα.
17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;
19) 1+cos2α=2cos 2 α; 20) 1-cos2α=2sin 2 α
21) sin3α=3sinα-4sin 3 α; 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;
Τύποι μετατροπής αθροίσματος (διαφοράς) σε γινόμενο.
Τύποι μετατροπής προϊόντος σε άθροισμα (διαφορά).
Τύποι μισού επιχειρήματος.
Ημίτονο και συνημίτονο οποιασδήποτε γωνίας.
Ομοιότητα (περονότητα) τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μόνο μία είναι άρτια: y=cosx, οι άλλες τρεις είναι περιττές, δηλαδή cos (-α)=cosα;
sin (-α)=-sina; tg (-α)=-tgα; ctg (-α)=-ctgα.
Σημάδια τριγωνομετρικών συναρτήσεων κατά τέταρτα συντεταγμένων.
Τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων ορισμένων γωνιών.
Radians.
1) 1 ακτίνιο είναι η τιμή της κεντρικής γωνίας που βασίζεται σε ένα τόξο του οποίου το μήκος είναι ίσο με την ακτίνα του δεδομένου κύκλου. 1 rad≈57°.
2) Μετατροπή του μέτρου της μοίρας μιας γωνίας στο μέτρο του ακτινίου.
3) Μετατροπή μέτρησης ακτινικής γωνίας σε μέτρο μοιρών.
Φόρμουλες μείωσης.
Μνημονικός κανόνας:
1. Πριν από τη μειωμένη συνάρτηση, βάλτε το μειωτικό πρόσημο.
2. Εάν το όρισμα π/2 (90°) γραφτεί περιττές φορές, τότε η συνάρτηση μετατρέπεται σε συνσυνάρτηση.
Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Το τόξο ενός αριθμού (τοξίνη α) είναι γωνία από το διάστημα [-π/2; π/2 ], του οποίου το ημίτονο είναι ίσο με α.
τόξο(- ένα)=- τόξοένα.
Το αρκκοσίνη ενός αριθμού (arccos a) είναι μια γωνία από το διάστημα του οποίου το συνημίτονο είναι ίσο με a.
arccos(-a)=π – arccosa.
Η εφαπτομένη ενός αριθμού α (arctg a) είναι μια γωνία από το διάστημα (-π/2, π/2), η εφαπτομένη του οποίου είναι ίση με a.
arctg(- ένα)=- arctgένα.
Το τόξο ενός αριθμού α (arcctg a) είναι μια γωνία από το διάστημα (0, π), η συνεφαπτομένη του οποίου είναι ίση με a.
arcctg(-a)=π – arcctg α.
Επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Γενικοί τύποι.
1)
αμαρτία t=a, 0 2)
sin t = - a, 0 3)
cos t=a, 0 4)
cos t =-a, 0 5)
tg t =a, a>0, μετά t=arctg a + πn, nϵZ; 6)
tg t =-a, a>0, μετά t= - arctg a + πn, nϵZ; 7)
ctg t=a, a>0, μετά t=arcctg a + πn, nϵZ; 8)
ctg t= -a, a>0, μετά t=π – arcctg a + πn, nϵZ. Ιδιαίτεροι τύποι. 1)
sin t =0, τότε t=πn, nϵZ; 2)
sin t=1, τότε t= π/2 +2πn, nϵZ; 3)
sin t= -1, τότε t= — π/2 +2πn, nϵZ; 4)
cos t=0, τότε t= π/2+ πn, nϵZ; 5)
cos t=1, τότε t=2πn, nϵZ; 6)
cos t=1, τότε t=π +2πn, nϵZ; 7)
tg t =0, τότε t = πn, nϵZ; 8)
cot t=0, τότε t = π/2+πn, nϵZ. Επίλυση απλών τριγωνομετρικών ανισώσεων.
Αγαπητοί επισκέπτες του ιστότοπού μου, όλοι βασικοί τύποι μαθηματικών 7-11μπορείτε να το αποκτήσετε (εντελώς δωρεάν) κάνοντας κλικ στον σύνδεσμο.