Višestrani trapez... Može biti proizvoljan, jednakokraki ili pravougaoni. I u svakom slučaju morate znati kako pronaći površinu trapeza. Naravno, najlakši način je zapamtiti osnovne formule. Ali ponekad je lakše koristiti onaj koji je izveden uzimajući u obzir sve karakteristike određene geometrijske figure.

Nekoliko riječi o trapezu i njegovim elementima

Svaki četverougao čije su dvije stranice paralelne može se nazvati trapezom. Općenito, one nisu jednake i nazivaju se bazama. Veći je donji, a drugi gornji.

Ostale dvije strane ispadaju bočne. U proizvoljnom trapezu imaju različite dužine. Ako su jednaki, tada figura postaje jednakokračna.

Ako se iznenada ugao između bilo koje strane i baze pokaže jednakim 90 stepeni, tada je trapez pravougaonik.

Sve ove karakteristike mogu pomoći u rješavanju problema kako pronaći površinu trapeza.

Među elementima figure koji mogu biti neophodni u rješavanju problema možemo izdvojiti sljedeće:

• visina, odnosno segment okomit na obje baze;
• srednja linija, koja na svojim krajevima ima sredine bočnih strana.

Koja formula se može koristiti za izračunavanje površine ako su baza i visina poznate?

Ovaj izraz je dat kao osnovni jer se najčešće mogu prepoznati ove veličine i kada nisu eksplicitno date. Dakle, da biste razumjeli kako pronaći površinu trapeza, morat ćete dodati obje baze i podijeliti ih sa dva. Zatim pomnožite rezultirajuću vrijednost sa vrijednošću visine.

Ako odredimo baze kao 1 i a 2, a visinu kao n, tada će formula za površinu izgledati ovako:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Formula koja izračunava površinu ako su date njena visina i središnja linija

Ako pažljivo pogledate prethodnu formulu, lako je primijetiti da ona jasno sadrži vrijednost srednje linije. Naime, zbir osnovica podijeljen sa dva. Neka je srednja linija označena slovom l, tada formula za površinu postaje:

S = l * n.

Sposobnost pronalaženja područja pomoću dijagonala

Ova metoda će pomoći ako je poznat kut koji su formirali. Pretpostavimo da su dijagonale označene slovima d 1 i d 2, a uglovi između njih su α i β. Tada će formula kako pronaći površinu trapeza biti napisana na sljedeći način:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Možete lako zamijeniti α sa β u ovom izrazu. Rezultat se neće promijeniti.

Kako saznati površinu ako su poznate sve strane figure?

Postoje i situacije kada su tačno poznate strane ove figure. Ova formula je glomazna i teško ju je zapamtiti. Ali vjerovatno. Neka stranice imaju oznaku: a 1 i a 2, osnova a 1 je veća od a 2. Tada će formula površine poprimiti sljedeći oblik:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (u 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + u 1 2 - u 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Metode za izračunavanje površine jednakokračnog trapeza

Prvi je zbog činjenice da se u njega može upisati krug. A, znajući njegov polumjer (označen je slovom r), kao i ugao na bazi - γ, možete koristiti sljedeću formulu:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Posljednja opća formula, koja se temelji na poznavanju svih strana figure, bit će značajno pojednostavljena zbog činjenice da strane imaju isto značenje:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (u 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Metode za izračunavanje površine pravokutnog trapeza

Jasno je da je bilo šta od gore navedenog prikladno za bilo koju figuru. Ali ponekad je korisno znati o jednoj osobini takvog trapeza. Ona leži u činjenici da je razlika između kvadrata dužina dijagonala jednaka razlici koju čine kvadrati baza.

Često se zaboravljaju formule za trapez, a pamte se izrazi za površine pravougaonika i trougla. Tada možete koristiti jednostavnu metodu. Podijelite trapez na dva oblika, ako je pravougaona, ili na tri. Jedan će sigurno biti pravougaonik, a drugi, ili preostala dva, će biti trougao. Nakon izračunavanja površina ovih figura, ostaje samo da ih saberemo.

Ovo je prilično jednostavan način za pronalaženje površine pravokutnog trapeza.

Šta ako su koordinate vrhova trapeza poznate?

U ovom slučaju, morat ćete koristiti izraz koji vam omogućava da odredite udaljenost između tačaka. Može se primijeniti tri puta: kako bi se saznale obje baze i jedna visina. I onda samo primijenite prvu formulu, koja je opisana malo više.

Za ilustraciju ove metode može se dati sljedeći primjer. Dati vrhovi sa koordinatama A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Morate saznati površinu figure.

Prije nego što pronađete površinu trapeza, morate izračunati dužine baza iz koordinata. Trebat će vam sljedeća formula:

dužina segmenta = √((razlika prvih koordinata tačaka) 2 + (razlika drugih koordinata tačaka) 2 ).

Gornja baza je označena AB, što znači da će njena dužina biti jednaka √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Donja je CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Sada morate nacrtati visinu od vrha do baze. Neka njegov početak bude u tački A. Kraj segmenta će biti na donjoj bazi u tački sa koordinatama (5; 1), neka je ovo tačka H. Dužina segmenta AN će biti jednaka √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Sve što ostaje je zamijeniti rezultirajuće vrijednosti u formulu za površinu trapeza:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problem je riješen bez mjernih jedinica, jer nije specificirana skala koordinatne mreže. Može biti milimetar ili metar.

Problemi sa uzorcima

Br. 1. Stanje. Ugao između dijagonala proizvoljnog trapeza je jednak 30 stepeni. Manja dijagonala ima vrijednost 3 dm, a druga je 2 puta veća. Potrebno je izračunati površinu trapeza.

Rješenje. Prvo morate saznati dužinu druge dijagonale, jer bez toga neće biti moguće izračunati odgovor. Nije teško izračunati, 3 * 2 = 6 (dm).

Sada morate koristiti odgovarajuću formulu za područje:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problem je riješen.

odgovor: Površina trapeza je 4,5 dm2.

br. 2. Stanje. U trapezu ABCD, baze su segmenti AD i BC. Tačka E je sredina SD strane. Iz nje je povučena okomita linija AB, kraj ovog segmenta označen je slovom H. Poznato je da su dužine AB i EH jednake 5 i 4 cm, respektivno trapeza.

Rješenje. Prvo morate napraviti crtež. Budući da je vrijednost okomice manja od strane na koju je povučena, trapez će biti malo izdužen prema gore. Dakle, EH će biti unutar figure.

Da biste jasno vidjeli napredak rješavanja problema, morat ćete izvršiti dodatnu konstrukciju. Naime, nacrtajte pravu liniju koja će biti paralelna sa stranicom AB. Tačke preseka ove prave sa AD su P, a sa nastavkom BC su X. Dobijena figura VHRA je paralelogram. Štaviše, njegova površina je jednaka potrebnoj. To je zbog činjenice da su trokuti koji su dobijeni tokom dodatne konstrukcije jednaki. To proizlazi iz jednakosti stranice i dva susjedna ugla, jedan okomit, a drugi poprečno.

Područje paralelograma možete pronaći pomoću formule koja sadrži proizvod stranice i visine spuštene na nju.

Dakle, površina trapeza je 5 * 4 = 20 cm 2.

odgovor: S = 20 cm 2.

br. 3. Stanje. Elementi jednakokračnog trapeza imaju sljedeće vrijednosti: donja osnova - 14 cm, gornja - 4 cm, oštar ugao - 45º. Morate izračunati njegovu površinu.

Rješenje. Neka je manja baza označena BC. Visina povučena iz tačke B zvaće se VH. Pošto je ugao 45º, trougao ABH će biti pravougaoni i jednakokraki. Dakle AN=VN. Štaviše, AN je vrlo lako pronaći. Jednaka je polovini razlike u bazama. To je (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Osnove su poznate, visine su izračunate. Možete koristiti prvu formulu, o kojoj je ovdje bilo riječi za proizvoljni trapez.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

odgovor: Potrebna površina je 45 cm 2.

br. 4. Stanje. Postoji proizvoljan trapez ABCD. Tačke O i E su uzete na njegovim bočnim stranama, tako da je OE paralelan osnovici AD. Površina AOED trapeza je pet puta veća od površine OVSE. Izračunajte OE vrijednost ako su poznate dužine baza.

Rješenje. Moraćete da nacrtate dve paralelne prave AB: prvu kroz tačku C, njen presek sa OE - tačkom T; drugi kroz E i tačka preseka sa AD će biti M.

Neka je nepoznati OE=x. Visina manjeg trapeza OVSE je n 1, većeg AOED je n 2.

Pošto su površine ova dva trapeza povezane kao 1 do 5, možemo napisati sljedeću jednakost:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Visine i stranice trokuta su po konstrukciji proporcionalne. Stoga možemo napisati još jednu jednakost:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

U zadnja dva unosa na lijevoj strani nalaze se jednake vrijednosti, što znači da možemo napisati da je (x + a 1) / (5(x + a 2)) jednako (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

Ovdje su potrebne brojne transformacije. Prvo pomnožite unakrsno. Pojavit će se zagrade koje označavaju razliku kvadrata, nakon primjene ove formule dobit ćete kratku jednačinu.

U njemu treba da otvorite zagrade i pomerite sve pojmove sa nepoznatim "x" ulevo, a zatim izdvojite kvadratni koren.

Odgovori: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Trapez je reljefni četverougao u kojem su dvije suprotne strane paralelne, a druge dvije neparalelne. Ako su sve suprotne strane četvorougla paralelne u parovima, onda je to paralelogram.

Trebaće ti

• – sve strane trapeza (AB, BC, CD, DA).

Instrukcije

1. Neparalelni strane trapezi nazivaju se bočne stranice, a paralelne stranice se nazivaju bazama. Linija između baza, okomita na njih - visina trapezi. Ako je bočno strane trapezi su jednaki, onda se naziva jednakokraki. Prvo, pogledajmo rješenje za trapezi, koji nije jednakokraki.

2. Nacrtajte segment BE od tačke B do donje baze AD paralelno sa stranicom trapezi CD. Zato što su BE i CD paralelni i povučeni između paralelnih baza trapezi BC i DA, tada je BCDE paralelogram i njegova suprotnost strane BE i CD su jednaki. BE=CD.

3. Pogledajte trougao ABE. Izračunajte stranu AE. AE=AD-ED. Grounds trapezi BC i AD su poznati, au paralelogramu BCDE su suprotne strane ED i BC su jednaki. ED=BC, dakle AE=AD-BC.

4. Sada saznajte površinu trokuta ABE koristeći Heronovu formulu tako što ćete izračunati poluperimetar. S=korijen(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). U ovoj formuli, p je poluperimetar trougla ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Da biste izračunali površinu, znate sve potrebne podatke: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Izrazite iz ove formule visinu trokuta, koja je ujedno i visina trapezi. BH=2*S/AE. Izračunaj.

7. Ako je trapez jednakokraki, rješenje se može izvesti drugačije. Pogledajte trougao ABH. Pravougaona je jer je jedan od uglova, BHA, pravi.

8. Izvucite visinu CF iz temena C.

9. Proučite HBCF cifru. HBCF pravougaonik, jer postoje dva strane su visine, a druge dvije su baze trapezi, odnosno uglovi su pravi, a suprotni strane paralelno. To znači da je BC=HF.

10. Pogledajte pravouglove trougla ABH i FCD. Uglovi na visinama BHA i CFD su pravi, a uglovi na bočnim strane x BAH i CDF su jednaki jer je trapez ABCD jednakokraki, što znači da su trouglovi slični. Zato što su visine BH i CF jednake ili bočne strane jednakokraki trapezi AB i CD su podudarni, onda su slični trouglovi podudarni. Dakle oni strane AH i FD su također jednaki.

11. Otkrijte AH. AH+FD=AD-HF. Jer iz paralelograma HF=BC, a iz trouglova AH=FD, onda je AH=(AD-BC)*1/2.

Trapez je geometrijska figura, koja je četverougao u kojem su dvije stranice, koje se nazivaju bazama, paralelne, a druge dvije nisu paralelne. Zovu se strane trapezi. Segment povučen kroz sredine bočnih strana naziva se srednja linija trapezi. Trapez može imati različite dužine stranica ili identične, u tom slučaju se naziva jednakokračnim. Ako je jedna od stranica okomita na bazu, tada će trapez biti pravokutni. Ali mnogo je praktičnije znati otkriti kvadrat trapezi .

Trebaće ti

• Lenjir sa milimetarskim podjelama

Instrukcije

1. Izmjerite sve strane trapezi: AB, BC, CD i DA. Zabilježite svoja mjerenja.

2. Na segmentu AB označiti sredinu - tačku K. Na segmentu DA označiti tačku L, koja se takođe nalazi na sredini segmenta AD. Kombinujte tačke K i L, rezultujući segment KL će biti srednja linija trapezi A B C D. Izmjerite segment KL.

3. Sa vrha trapezi– baciti C, spustiti okomicu na njegovu osnovu AD na segment CE. To će biti visina trapezi A B C D. Izmjerite segment CE.

4. Nazovimo tada segment KL slovom m, a segment CE slovom h kvadrat S trapezi ABCD se izračunava pomoću formule: S=m*h, gdje je m srednja linija trapezi ABCD, h – visina trapezi A B C D.

5. Postoji još jedna formula koja vam omogućava da izračunate kvadrat trapezi A B C D. Donja baza trapezi– Nazovimo AD slovom b, a gornju osnovu BC slovom a. Površina je određena formulom S=1/2*(a+b)*h, gdje su a i b baze trapezi, h – visina trapezi .

Video na temu

Savjet 3: Kako pronaći visinu trapeza ako je područje poznato

Trapez je četverougao u kojem su dvije od četiri strane paralelne jedna s drugom. Paralelne stranice su osnove ovoga trapezi, druge dvije su bočne strane ovoga trapezi. Otkrijte visina trapezi, ako znate njegovu oblast, to će biti vrlo lako.

Instrukcije

1. Moramo shvatiti kako izračunati površinu početne trapezi. Za to postoji nekoliko formula, ovisno o početnim podacima: S = ((a+b)*h)/2, gdje su a i b dužine baza trapezi, a h je njegova visina (vis trapezi– okomito, spušteno sa jedne baze trapezi na drugu);S = m*h, gdje je m srednja linija trapezi(Srednja linija je segment paralelan sa bazama trapezi i spajanje sredine njegovih strana).

2. Sada, poznavajući formule za izračunavanje površine trapezi, dozvoljeno je izvoditi nove iz njih da bi se pronašla visina trapezi:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Da bi vam bilo jasnije kako riješiti slične probleme, možete pogledati primjere: Primjer 1: Dat je trapez čija je površina 68 cm?, čija je srednja linija 8 cm, potrebno je pronaći visina dato trapezi. Da biste riješili ovaj problem, morate koristiti prethodno izvedenu formulu: h = 68/8 = 8,5 cm Odgovor: visina ovog trapezi je 8,5 cmPrimjer 2: Neka je y trapezi površina je 120 cm?, data je dužina baza trapezi jednake su 8 cm i 12 cm respektivno, potrebno je otkriti visina ovo trapezi. Da biste to uradili, potrebno je da primenite jednu od izvedenih formula: h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cm Odgovor: visina datog trapezi jednaka 12 cm

Video na temu

Bilješka!
Svaki trapez ima nekoliko svojstava: - srednja linija trapeza jednaka je polovini zbira njegovih osnova - segment koji spaja dijagonale trapeza jednak je polovini njegove osnove; je povučen kroz sredine osnova, tada će preseći tačku preseka dijagonala trapeza - možete upisati krug u trapez ako je zbir osnova datog trapeza jednak zbiru njegovih; strane Koristite ova svojstva prilikom rješavanja problema.

Savjet 4: Kako pronaći visinu trougla s obzirom na koordinate tačaka

Visina u trokutu je segment prave linije koji povezuje vrh figure sa suprotnom stranom. Ovaj segment mora nužno biti okomit na stranu, stoga je iz bilo kojeg vrha dozvoljeno povući samo jedan visina. Budući da na ovoj slici postoje tri vrha, postoji isti broj visina. Ako je trokut zadan koordinatama njegovih vrhova, dužina svake od visina može se izračunati, recimo, koristeći formulu za pronalaženje površine i izračunavanje dužina stranica.

Instrukcije

1. Nastavite u svojim proračunima od činjenice da je površina trougao jednaka je polovini umnožaka dužine svake njegove strane s dužinom visine spuštene na ovu stranu. Iz ove definicije slijedi da za pronalaženje visine morate znati površinu figure i dužinu stranice.

2. Počnite s izračunavanjem dužina stranica trougao. Označite koordinate vrhova slike na sljedeći način: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) i C(X?,Y?,Z?). Tada možete izračunati dužinu stranice AB koristeći formulu AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Za druge 2 strane, ove formule će izgledati ovako: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) i AC = ?(( X ?-X?) + (Y?-Y?) + (Z?-Z?)?). Recimo za trougao sa koordinatama A(3,5,7), B(16,14,19) i C(1,2,13) ​​dužina stranice AB će biti?((3-16)? + (5-14) ) + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. Dužine stranica BC i AC, izračunate istom metodom, bit će jednake?(15? + 12? + 6?) = ?405? 20,12 i?(2? + 3? + (-6?)) =?49 = 7.

3. Poznavanje dužina 3 strane dobijene u prethodnom koraku dovoljno je za izračunavanje površine trougao(S) prema Heronovoj formuli: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Recimo, nakon zamjene u ovu formulu vrijednosti ​​dobijenih iz koordinata trougao-primjer iz prethodnog koraka, ova formula će dati sljedeću vrijednost: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12) * (19.85+ 20,12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768.55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Na osnovu površine trougao, izračunate u prethodnom koraku, i dužine stranica dobijene u drugom koraku, izračunajte visine za svaku od stranica. Budući da je površina jednaka polovini proizvoda visine i dužine stranice na koju je povučena, da biste pronašli visinu, podijelite udvostručenu površinu dužinom tražene stranice: H = 2*S/a. Za gornji primjer, visina spuštena na stranu AB bit će 2*68.815/16.09? 8.55, visina do BC strane će imati dužinu 2*68.815/20.12? 6,84, a za AC stranu ova vrijednost će biti jednaka 2*68,815/7? 19.66.

Područje trapeza. Pozdrav! U ovoj publikaciji ćemo pogledati ovu formulu. Zašto je baš ovakva i kako je razumeti. Ako postoji razumijevanje, onda ga ne treba učiti. Ako samo želite pogledati ovu formulu i to hitno, možete odmah pomaknuti stranicu))

Sada detaljno i po redu.

Trapez je četvorougao, dve strane ovog četvorougla su paralelne, druge dve nisu. One koje nisu paralelne su osnove trapeza. Druge dvije se zovu strane.

Ako su stranice jednake, tada se trapez naziva jednakokraki. Ako je jedna od stranica okomita na baze, onda se takav trapez naziva pravokutnim.

U svom klasičnom obliku, trapez je prikazan na sljedeći način - veća baza je na dnu, odnosno manja je na vrhu. Ali niko ne zabranjuje prikazivanje nje i obrnuto. Evo skica:

Sljedeći važan koncept.

Srednja linija trapeza je segment koji povezuje sredine stranica. Srednja linija je paralelna osnovama trapeza i jednaka je njihovom poluzbiru.

Hajdemo sada dublje. Zašto je to tako?

Zamislite trapez sa bazama a i b i sa srednjom linijom l, i izvedite neke dodatne konstrukcije: povucite ravne linije kroz osnove, a okomite kroz krajeve srednje linije dok se ne sijeku s osnovama:

*Slovne oznake za vrhove i druge tačke nisu uključene namjerno kako bi se izbjegle nepotrebne oznake.

Vidite, trokuti 1 i 2 su jednaki prema drugom znaku jednakosti trokuta, trokuti 3 i 4 su isti. Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost elemenata, odnosno nogu (označene su plavom, odnosno crvenom bojom).

Sada pažnja! Ako mentalno "odsiječemo" plavi i crveni segment od donje baze, ostat će nam segment (ovo je strana pravokutnika) jednak srednjoj liniji. Zatim, ako "zalijepimo" izrezane plave i crvene segmente na gornju bazu trapeza, tada ćemo također dobiti segment (ovo je i stranica pravokutnika) jednak središnjoj liniji trapeza.

Jasno? Ispada da će zbir baza biti jednak dvije srednje linije trapeza:

Pogledajte još jedno objašnjenje

Uradimo sljedeće - konstruiraj pravu liniju koja prolazi kroz donju osnovu trapeza i pravu koja će prolaziti kroz tačke A i B:

Dobijamo trouglove 1 i 2, jednaki su duž strane i susjednih uglova (drugi znak jednakosti trokuta). To znači da je rezultujući segment (na skici je označen plavom bojom) jednak gornjoj bazi trapeza.

Sada razmotrite trougao:

*Središnja linija ovog trapeza i srednja linija trougla se poklapaju.

Poznato je da je trokut jednak polovini osnovice paralelne s njim, odnosno:

Ok, shvatili smo. Sada o površini trapeza.

Formula površine trapeza:

Kažu: površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira njegovih osnova i visine.

Odnosno, ispada da je jednak umnošku središnje linije i visine:

Verovatno ste već primetili da je ovo očigledno. Geometrijski, to se može izraziti na ovaj način: ako mentalno odsiječemo trokute 2 i 4 od trapeza i stavimo ih na trokute 1 i 3, redom:

Tada ćemo dobiti pravougaonik čija je površina jednaka površini našeg trapeza. Površina ovog pravokutnika bit će jednaka umnošku središnje linije i visine, odnosno možemo napisati:

Ali poenta ovdje nije u pisanju, naravno, već u razumijevanju.

Preuzmite (pogledajte) materijal za članak u *pdf formatu

To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander.

Trapez je četverougao čije su dvije stranice paralelne (ovo su osnove trapeza, prikazane na slikama a i b), a druge dvije nisu (na slikama AD i CB). Visina trapeza je segment h povučen okomito na osnovice.

Kako pronaći visinu trapeza s obzirom na poznate vrijednosti površine trapeza i dužine baza?

Za izračunavanje površine S trapeza ABCD koristimo formulu:

S = ((a+b) × h)/2.

Ovdje su segmenti a i b osnove trapeza, h je visina trapeza.

Transformirajući ovu formulu, možemo napisati:

Koristeći ovu formulu, dobijamo vrijednost h ako su poznata površina S i dužine baza a i b.

Primjer

Ako je poznato da je površina trapeza S 50 cm², dužina osnove a 4 cm, a dužina baze b 6 cm, tada da bismo pronašli visinu h koristimo formulu:

U formulu zamjenjujemo poznate količine.

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 cm

Odgovor: Visina trapeza je 10 cm.

Kako pronaći visinu trapeza ako su date površina trapeza i dužina srednje linije?

Koristimo formulu za izračunavanje površine trapeza:

Ovdje je m srednja linija, h je visina trapeza.

Ako se postavlja pitanje kako pronaći visinu trapeza, formula je:

h = S/m će biti odgovor.

Tako možemo pronaći visinu trapeza h, s obzirom na poznate vrijednosti površine S i segmenta srednje linije m.

Primjer

Poznata je dužina srednje linije trapeza m, koja je 20 cm, i površina S, koja iznosi 200 cm². Nađimo vrijednost visine trapeza h.

Zamjenom vrijednosti S i m dobijamo:

h = 200/20 = 10 cm

Odgovor: visina trapeza je 10 cm

Kako pronaći visinu pravokutnog trapeza?

Ako je trapez četvorougao, sa dve paralelne stranice (baze) trapeza. Tada je dijagonala segment koji spaja dva suprotna vrha uglova trapeza (segment AC na slici). Ako je trapez pravokutni, pomoću dijagonale nalazimo visinu trapeza h.

Pravougaoni trapez je trapez kod kojeg je jedna strana okomita na osnovice. U ovom slučaju, njegova dužina (AD) poklapa se sa visinom h.

Dakle, razmotrite pravougaoni trapez ABCD, gdje je AD visina, DC baza, AC dijagonala. Koristimo Pitagorinu teoremu. Kvadrat hipotenuze AC pravokutnog trougla ADC jednak je zbiru kvadrata njegovih krakova AB i BC.

Tada možemo napisati:

AC² = AD² + DC².

AD je krak trougla, bočna strana trapeza i, istovremeno, njegova visina. Na kraju krajeva, segment AD je okomit na baze. Njegova dužina će biti:

AD = √(AC² - DC²)

Dakle, imamo formulu za izračunavanje visine trapeza h = AD

Primjer

Ako je dužina osnove pravokutnog trapeza (DC) 14 cm, a dijagonala (AC) 15 cm, koristimo Pitagorinu teoremu da dobijemo vrijednost visine (AD - stranica).

Neka je x nepoznati krak pravouglog trougla (AD).

AC² = AD² + DC² se može napisati

15² = 14² + x²,

x = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 cm

Odgovor: visina pravokutnog trapeza (AB) bit će √29 cm, što je otprilike 5,385 cm

Kako pronaći visinu jednakokračnog trapeza?

Jednakokraki trapez je trapez čije su dužine stranica jednake jedna drugoj. Prava linija povučena kroz sredine osnova takvog trapeza bit će osa simetrije. Poseban slučaj je trapez, čije su dijagonale okomite jedna na drugu, tada će visina h biti jednaka polovini zbira baza.

Razmotrimo slučaj ako dijagonale nisu okomite jedna na drugu. U jednakostraničnom (jednakokrakom) trapezu, uglovi na osnovama su jednaki, a dužine dijagonala jednake. Također je poznato da svi vrhovi jednakokračnog trapeza dodiruju liniju kružnice povučene oko ovog trapeza.

Pogledajmo crtež. ABCD je jednakokraki trapez. Poznato je da su osnovice trapeza paralelne, što znači da je BC = b paralelna sa AD = a, stranica AB = CD = c, što znači da su uglovi pri osnovama shodno tome jednaki, možemo napisati ugao BAQ = CDS = α, a ugao ABC = BCD = β. Dakle, zaključujemo da je trokut ABQ jednak trouglu SCD, što znači segment

AQ = SD = (AD - BC)/2 = (a - b)/2.

Imajući, prema uslovima zadatka, vrijednosti osnova a i b, i dužinu bočne stranice c, nalazimo visinu trapeza h, jednaku segmentu BQ.

Razmotrimo pravokutni trokut ABQ. VO je visina trapeza, okomita na osnovu AD, a samim tim i na segment AQ. Nalazimo stranu AQ trokuta ABQ koristeći formulu koju smo ranije izveli:

Imajući vrijednosti dva kraka pravokutnog trokuta, nalazimo hipotenuzu BQ = h. Koristimo Pitagorinu teoremu.

AB²= AQ² + BQ²

Zamijenimo ove zadatke:

c² = AQ² + h².

Dobijamo formulu za pronalaženje visine jednakokračnog trapeza:

h = √(c²-AQ²).

Primjer

Dat je jednakokraki trapez ABCD, gdje je osnova AD = a = 10 cm, osnova BC = b = 4 cm, a stranica AB = c = 12 cm. Pod takvim uslovima, pogledajmo primjer kako pronaći visinu trapeza, jednakokračnog trapeza ABCD.

Nađimo stranicu AQ trokuta ABQ zamjenom poznatih podataka:

AQ = (a - b)/2 = (10-4)/2=3cm.

Sada zamijenimo vrijednosti stranica trokuta u formulu Pitagorine teoreme.

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.

Odgovori. Visina h jednakokračnog trapeza ABCD je 11,6 cm.

Praksa prošlogodišnjeg Jedinstvenog državnog ispita i državnog ispita pokazuje da problemi geometrije izazivaju teškoće kod mnogih školaraca. Lako ćete se nositi s njima ako zapamtite sve potrebne formule i vježbate rješavanje problema.

U ovom članku ćete vidjeti formule za pronalaženje površine trapeza, kao i primjere problema s rješenjima. Na iste možete naići na KIM-ovima tokom ispita za sertifikaciju ili na olimpijadama. Stoga pažljivo postupajte s njima.

Šta treba da znate o trapezu?

Za početak, podsjetimo se toga trapezoid se naziva četverougao u kojem su dvije suprotne stranice, koje se nazivaju i baze, paralelne, a druge dvije nisu.

U trapezu se visina (okomita na bazu) također može spustiti. Povučena je srednja linija - ovo je prava linija koja je paralelna bazama i jednaka polovini njihovog zbira. Kao i dijagonale koje se mogu ukrštati, formirajući oštre i tupe uglove. Ili, u nekim slučajevima, pod pravim uglom. Osim toga, ako je trapez jednakokračan, u njega se može upisati krug. I opišite krug oko njega.

Formule površine trapeza

Prvo, pogledajmo standardne formule za pronalaženje površine trapeza. U nastavku ćemo razmotriti načine za izračunavanje površine jednakokrakih i krivolinijskih trapeza.

Dakle, zamislite da imate trapez sa osnovama a i b, u kojem je visina h spuštena na veću osnovu. Izračunavanje površine figure u ovom slučaju je jednostavno kao i ljuštenje krušaka. Samo trebate podijeliti zbir dužina baza sa dva i rezultat pomnožiti sa visinom: S = 1/2(a + b)*h.

Uzmimo još jedan slučaj: pretpostavimo da u trapezu, pored visine, postoji i srednja linija m. Znamo formulu za pronalaženje dužine srednje linije: m = 1/2(a + b). Stoga s pravom možemo pojednostaviti formulu za površinu trapeza na sljedeći oblik: S = m* h. Drugim riječima, da biste pronašli površinu trapeza, morate pomnožiti središnju liniju s visinom.

Razmotrimo drugu opciju: trapez sadrži dijagonale d 1 i d 2, koje se ne sijeku pod pravim uglom α. Da biste izračunali površinu takvog trapeza, trebate podijeliti proizvod dijagonala s dva i rezultat pomnožiti s grijehom kuta između njih: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Sada razmotrite formulu za pronalaženje površine trapeza ako se o njemu ne zna ništa osim dužina svih njegovih stranica: a, b, c i d. Ovo je glomazna i složena formula, ali će vam biti korisno da je zapamtite za svaki slučaj: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Usput, gornji primjeri vrijede i za slučaj kada vam je potrebna formula za površinu pravokutnog trapeza. Ovo je trapez, čija strana graniči sa bazama pod pravim uglom.

Jednakokraki trapez

Trapez čije su stranice jednake naziva se jednakokraki. Razmotrit ćemo nekoliko opcija za formulu za područje jednakokračnog trapeza.

Prva opcija: za slučaj kada je kružnica poluprečnika r upisana unutar jednakokračnog trapeza, a bočna i veća osnova tvore oštar ugao α. Krug se može upisati u trapez pod uslovom da je zbir dužina njegovih osnova jednak zbiru dužina stranica.

Površina jednakokračnog trapeza izračunava se na sljedeći način: pomnožite kvadrat polumjera upisane kružnice sa četiri i podijelite sve sa sinα: S = 4r 2 /sinα. Druga formula površine je poseban slučaj za opciju kada je kut između velike baze i stranice 30 0: S = 8r2.

Druga opcija: ovog puta uzimamo jednakokraki trapez, u kojem su dodatno nacrtane dijagonale d 1 i d 2, kao i visina h. Ako su dijagonale trapeza međusobno okomite, visina je polovina zbira osnovica: h = 1/2(a + b). Znajući to, lako je transformirati formulu za područje trapeza koji vam je već poznat u ovaj oblik: S = h2.

Formula za površinu zakrivljenog trapeza

Počnimo tako što ćemo otkriti šta je zakrivljeni trapez. Zamislite koordinatnu osu i graf neprekidne i nenegativne funkcije f koja ne mijenja predznak unutar datog segmenta na x-osi. Krivolinijski trapez formira se grafikom funkcije y = f(x) - na vrhu, os x je na dnu (segment), a sa strane - prave linije povučene između tačaka a i b i grafika funkcija.

Nemoguće je izračunati površinu takve nestandardne figure koristeći gore navedene metode. Ovdje trebate primijeniti matematičku analizu i koristiti integral. Naime: Newton-Leibniz formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). U ovoj formuli, F je antiderivat naše funkcije na odabranom segmentu. A površina krivolinijskog trapeza odgovara prirastu antiderivata na datom segmentu.

Problemi sa uzorcima

Kako biste sve ove formule lakše razumjeli u svojoj glavi, evo nekoliko primjera problema za pronalaženje površine trapeza. Najbolje bi bilo da prvo pokušate sami da rešite probleme, pa tek onda uporedite dobijeni odgovor sa gotovim rešenjem.

Zadatak #1: Dat je trapez. Njegova veća baza je 11 cm, a manja 4 cm. Trapez ima dijagonale, jedna duga 12 cm, druga 9 cm.

Rješenje: Konstruirajte trapez AMRS. Povucite pravu liniju RH kroz vrh P tako da bude paralelna sa dijagonalom MC i da seče pravu liniju AC u tački X. Dobićete trougao APH.

Razmotrit ćemo dvije figure dobivene kao rezultat ovih manipulacija: trokut APX i paralelogram CMRX.

Zahvaljujući paralelogramu saznajemo da je PX = MC = 12 cm i CX = MR = 4 cm. Odakle možemo izračunati stranicu AX trougla ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Takođe možemo dokazati da je trougao APX pravougli (da biste to uradili, primenite Pitagorinu teoremu - AX 2 = AP 2 + PX 2). I izračunajte njegovu površinu: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Zatim ćete morati dokazati da su trouglovi AMP i PCX jednaki po površini. Osnova će biti ravnopravnost stranaka MR i CX (već dokazano gore). I visine koje spuštate na ovim stranama - jednake su visini AMRS trapeza.

Sve ovo će vam omogućiti da kažete da je S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Zadatak #2: Dat je trapez KRMS. Na njegovim bočnim stranama nalaze se tačke O i E, dok su OE i KS paralelne. Takođe je poznato da su površine trapeza ORME i OKSE u odnosu 1:5. RM = a i KS = b. Morate pronaći OE.

Rješenje: Nacrtajte pravu paralelnu sa RK kroz tačku M, i označite tačku njenog sjecišta sa OE kao T. A je tačka preseka prave povučene kroz tačku E paralelno sa RK sa bazom KS.

Hajde da uvedemo još jednu notaciju - OE = x. I visina h 1 za trokut TME i visina h 2 za trokut AEC (možete samostalno dokazati sličnost ovih trouglova).

Pretpostavićemo da je b > a. Površine trapeza ORME i OKSE su u omjeru 1:5, što nam daje pravo da napravimo sljedeću jednačinu: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformirajmo i dobijemo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Pošto su trokuti TME i AEC slični, imamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombinirajmo oba unosa i dobijemo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Dakle, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Zaključak

Geometrija nije najlakša nauka, ali se sa ispitnim pitanjima sigurno možete nositi. Dovoljno je pokazati malo upornosti u pripremama. I, naravno, zapamtite sve potrebne formule.

Pokušali smo sakupiti sve formule za izračunavanje površine trapeza na jednom mjestu kako biste ih mogli koristiti kada se pripremate za ispite i obnavljate gradivo.

Obavezno obavijestite svoje kolege i prijatelje na društvenim mrežama o ovom članku. Neka bude više dobrih ocjena na Jedinstvenom državnom ispitu i državnim ispitima!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.